लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

आपको इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग ए आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स+लोग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
2. लॉग ए एक्स-log ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

लघुगणक को लॉग करने दें ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, यानी। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है ए? यह सही है: यह वही संख्या है ए. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत संकेतन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, मूल लघुगणकीय पहचान पर विचार करें।

पृष्ठ नेविगेशन।

लघुगणक की परिभाषा

एक लघुगणक की अवधारणा तब उत्पन्न होती है जब किसी समस्या को एक निश्चित अर्थ में उलटा हल किया जाता है, जब आपको डिग्री के ज्ञात मूल्य और ज्ञात आधार से घातांक खोजने की आवश्यकता होती है।

लेकिन पर्याप्त प्रस्तावना, "लघुगणक क्या है" प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है? आइए एक उपयुक्त परिभाषा दें।

परिभाषा।

b से आधार a . का लघुगणक, जहां a>0 , a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप आपको b प्राप्त करने के लिए संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" को तुरंत दो आगामी प्रश्न उठाने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं होता है, लेकिन किसी आधार में किसी संख्या का केवल लघुगणक होता है।

हम तुरंत परिचय देंगे लघुगणक संकेतन: आधार a से संख्या b का लघुगणक आमतौर पर log a b के रूप में दर्शाया जाता है। आधार ई से संख्या बी के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के अपने विशेष पदनाम क्रमशः lnb और lgb हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और लॉग 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब आप ला सकते हैं: .
और रिकॉर्ड इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में - आधार में एक ऋणात्मक संख्या, और तीसरे में - लघुगणक के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या और दोनों आधार में एक इकाई।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. प्रविष्टि लॉग a b को "b से आधार a के लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 तीन से आधार 2 का लघुगणक है, और पांच के वर्गमूल के दो आधार तिहाई के दो पूर्णांकों का लघुगणक है। आधार e का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और संकेतन lnb को "b के प्राकृतिक लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे pi के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 के लघुगणक का भी एक विशेष नाम है - दशमलव लघुगणक, और संकेतन lgb को "दशमलव लघुगणक b" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव पचहत्तर सौवें का दशमलव लघुगणक है।

यह शर्तों पर अलग से रहने लायक है a>0, a≠1 तथा b>0, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए बताते हैं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें फॉर्म की समानता से मदद मिलेगी, जिसे कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दिए गए लॉगरिदम की परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, समानता केवल b=1 के लिए सही हो सकती है, लेकिन log 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 स्वीकार किया जाता है।

आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता की पुष्टि करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ ही संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य शक्ति शून्य है। a≠0 की स्थिति से इस अस्पष्टता से बचा जा सकता है। और एक के लिए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और एक सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मान हमेशा सकारात्मक होता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि लॉगरिदम की आवाज वाली परिभाषा आपको लॉगरिदम के मूल्य को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लॉगरिदम के संकेत के तहत संख्या एक निश्चित डिग्री आधार होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि यदि b=a p , तो आधार a से संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समता लघुगणक a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8, फिर 2 8=3 लॉग करें। हम इस बारे में लेख में और बात करेंगे।

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। यह नाम ग्रीक भाषा से "नंबर" या "डिग्री" शब्द से आया है और इसका मतलब है कि अंतिम संख्या खोजने के लिए आधार पर संख्या को बढ़ाने के लिए आवश्यक डिग्री है।

लघुगणक के प्रकार

• लॉग ए बी संख्या बी का आधार ए (ए> 0, ए 1, बी> 0) का लॉगरिदम है;
• एलजी बी - दशमलव लघुगणक (लघुगणक आधार 10, ए = 10);
• एलएन बी - प्राकृतिक लॉगरिदम (लघुगणक आधार ई, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार a से संख्या b का लघुगणक एक घातांक है, जिसके लिए आधार a को संख्या b तक बढ़ाना आवश्यक है। परिणाम इस तरह उच्चारित किया जाता है: "बी का लॉगरिदम टू बेस ए"। लॉगरिदमिक समस्याओं का समाधान यह है कि आपको दी गई डिग्री को निर्दिष्ट संख्याओं द्वारा संख्याओं द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ संकेतन को बदलने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। उनका उपयोग करके, लॉगरिदमिक समीकरण हल किए जाते हैं, व्युत्पन्न पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूल रूप से, लघुगणक का समाधान ही इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मुख्य सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a 1 और किसी भी x के लिए; वाई> 0।

• a log a b = b मूल लघुगणकीय पहचान है
• लॉग ए 1 = 0
• लॉग ए = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• लॉग a x/ y = लॉग a x – लॉग a y
• लॉग a 1/x = -log a x
• लॉग a x p = p लॉग a x
• लॉग a k x = 1/k लॉग a x , k 0 . के लिए
• लॉग a x = लॉग a c x c
• लॉग ए एक्स \u003d लॉग बी एक्स / लॉग बी ए - एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र
• लॉग एक्स = 1/लॉग एक्स ए

लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण दर चरण निर्देश

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो रिकॉर्ड छोटा हो जाता है, एक दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। यदि कोई प्राकृतिक संख्या ई है, तो हम एक प्राकृतिक लघुगणक को कम करते हुए लिखते हैं। इसका अर्थ है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाया जाता है।

सीधे तौर पर, समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक के साथ हल करने से पहले, इसे नियम के अनुसार सरल बनाना चाहिए, अर्थात सूत्रों का उपयोग करना। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं के साथ लेकिन एक ही आधार के साथ लॉगरिदम जोड़ते और घटाते समय, क्रमशः बी और सी के उत्पाद या विभाजन के साथ एकल लॉगरिदम के साथ प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, आप संक्रमण सूत्र को दूसरे आधार पर लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए व्यंजकों का उपयोग कर रहे हैं, तो कुछ सीमाएँ हैं जिनके बारे में पता होना चाहिए। और वह है: लघुगणक का आधार a केवल एक धनात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, जैसे a, शून्य से अधिक होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद, आप संख्यात्मक रूप में लघुगणक की गणना करने में सक्षम नहीं होंगे। ऐसा होता है कि इस तरह की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई डिग्री अपरिमेय संख्याएं हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की शक्ति को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।