d'Alembert श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण करें। संख्यात्मक श्रृंखला: परिभाषाएं, गुण, अभिसरण मानदंड, उदाहरण, समाधान

डी'अलेम्बर्ट का अभिसरण मानदंड कॉची का मूल अभिसरण मानदंड कॉची का अभिन्न अभिसरण मानदंड

व्यावहारिक उदाहरणों में होने वाले सामान्य तुलना संकेतों में से एक डी'अलेम्बर्ट संकेत है। कॉची के लक्षण कम आम हैं, लेकिन बहुत लोकप्रिय भी हैं। हमेशा की तरह, मैं सामग्री को सरल, सुलभ और समझने योग्य तरीके से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा। विषय सबसे कठिन नहीं है, और सभी कार्य एक निश्चित सीमा तक रूढ़िबद्ध हैं।

जीन लेरोन डी'अलेम्बर्ट 18वीं शताब्दी के प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं। सामान्य तौर पर, डी'एलेम्बर्ट ने अंतर समीकरणों में विशेषज्ञता हासिल की और अपने शोध के आधार पर, बैलिस्टिक में लगे हुए थे, ताकि महामहिम के तोप के गोले बेहतर तरीके से उड़ सकें। उसी समय, मैं संख्यात्मक श्रृंखला के बारे में नहीं भूलता था, यह कुछ भी नहीं था कि नेपोलियन सैनिकों की रैंक इतनी स्पष्ट रूप से परिवर्तित और अलग हो गई थी।

चिन्ह को स्वयं तैयार करने से पहले, आइए एक महत्वपूर्ण प्रश्न पर विचार करें:
d'Alembert अभिसरण मानदंड का उपयोग कब किया जाना चाहिए?

आइए पहले दोहराव से शुरू करें। उन मामलों को याद करें जब आपको सबसे लोकप्रिय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है सीमांत तुलना मानदंड. सीमा तुलना मानदंड तब लागू होता है जब श्रृंखला के सामान्य सदस्य में:
1) हर में एक बहुपद होता है।
2) बहुपद अंश और हर दोनों में होते हैं।
3) एक या दोनों बहुपद मूल के नीचे हो सकते हैं।

डी'अलेम्बर्ट चिन्ह लगाने के लिए मुख्य पूर्वापेक्षाएँ इस प्रकार हैं:

1) श्रृंखला के सामान्य सदस्य (श्रृंखला की "भराई") में डिग्री में कुछ संख्या शामिल होती है, उदाहरण के लिए, आदि। इसके अलावा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह चीज़ कहाँ स्थित है, अंश में या हर में - यह महत्वपूर्ण है कि यह वहाँ मौजूद है।

2) श्रृंखला के सामान्य शब्द में भाज्य शामिल है। फैक्टोरियल के साथ, हमने पाठ में तलवारें पार कीं संख्या क्रम और उसकी सीमा. हालाँकि, स्व-विधानसभा मेज़पोश को फिर से फैलाने में कोई हर्ज नहीं है:

…

…

! d'Alembert परीक्षण का उपयोग करते समय, हमें केवल फ़ैक्टोरियल को विस्तार से चित्रित करना होता है। जैसा कि पिछले पैराग्राफ में है, भाज्य भिन्न के ऊपर या नीचे स्थित हो सकता है।

3) यदि श्रृंखला के सामान्य पद में "कारकों की श्रृंखला" है, उदाहरण के लिए, . यह मामला दुर्लभ है, लेकिन! ऐसी श्रृंखला का अध्ययन करते समय अक्सर एक गलती हो जाती है - उदाहरण 6 देखें।

शक्तियों और (और) भाज्यों के साथ, बहुपद अक्सर श्रृंखला के भरने में पाए जाते हैं, इससे चीजें नहीं बदलती हैं - आपको डी'अलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग करने की आवश्यकता है।

इसके अलावा, श्रृंखला के सामान्य पद में, डिग्री और भाज्य दोनों एक ही समय में हो सकते हैं; दो फैक्टोरियल हो सकते हैं, दो डिग्री, यह महत्वपूर्ण है कि वहाँ है कम से कम कुछअंक माना जाता है - और यह डी'अलेम्बर्ट चिन्ह का उपयोग करने के लिए सिर्फ एक शर्त है।

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह: विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यदि अगले पद के पिछले पद के अनुपात की सीमा है: , तो:
ए) एक पंक्ति में अभिसरण. विशेष रूप से, श्रृंखला के लिए अभिसरण करता है।
बी) एक पंक्ति में अलग करना. विशेष रूप से, श्रृंखला में विचलन होता है।
ग) जब संकेत प्रतिक्रिया नहीं करता है. आपको दूसरे चिन्ह का उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे अधिक बार, उस मामले में एक इकाई प्राप्त की जाती है जब वे डी'अलेम्बर्ट परीक्षण को लागू करने का प्रयास करते हैं जहां सीमा तुलना परीक्षण का उपयोग करना आवश्यक होता है।

यदि आपको अभी भी सीमाओं की समस्या है या सीमाओं की गलतफहमी है, तो कृपया पाठ देखें सीमाएं। समाधान उदाहरण. सीमा की समझ और अनिश्चितता को और अधिक प्रकट करने की क्षमता के बिना, दुर्भाग्य से, कोई आगे नहीं बढ़ सकता है।

और अब लंबे समय से प्रतीक्षित उदाहरण।

उदाहरण 1

हम देखते हैं कि हमारे पास श्रृंखला के सामान्य शब्द में है, और यह सही आधार है कि हमें डी'अलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, एक पूर्ण समाधान और एक डिजाइन नमूना, नीचे टिप्पणी।

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

अभिसरण करता है।

(1) श्रृंखला के अगले सदस्य का अनुपात पिछले एक से लिखें: . शर्त से, हम देखते हैं कि श्रृंखला का सामान्य शब्द। श्रृंखला का अगला सदस्य प्राप्त करने के लिए यह आवश्यक है इसके बजाय स्थानापन्न करें: .
(2) चार मंजिला अंश से छुटकारा पाएं। इस चरण को हल करने में कुछ अनुभव के साथ, आप इसे छोड़ सकते हैं।
(3) अंश में कोष्ठक खोलें। हर में हम डिग्री से चार निकालते हैं।
(4) से कम करें। हम अचर को सीमा के चिन्ह से बाहर निकालते हैं। अंश में, हम कोष्ठकों में समान पद देते हैं।
(5) अनिश्चितता को मानक तरीके से समाप्त किया जाता है - अंश और हर को "एन" से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करके।
(6) अंशों को हर पद द्वारा पद से विभाजित करें, और उन पदों को इंगित करें जो शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं।
(7) हम उत्तर को सरल करते हैं और नोट करते हैं कि इस निष्कर्ष के साथ कि, डी'अलेम्बर्ट मानदंड के अनुसार, अध्ययन के तहत श्रृंखला अभिसरण करती है।

विचारित उदाहरण में, श्रृंखला के सामान्य पद में, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद का सामना करना पड़ा। क्या होगा यदि तीसरी, चौथी या उच्च डिग्री का बहुपद है? तथ्य यह है कि यदि उच्च डिग्री का बहुपद दिया जाता है, तो कोष्ठक खोलने में कठिनाइयाँ उत्पन्न होंगी। इस मामले में, आप "टर्बो" समाधान विधि लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 2

एक समान श्रृंखला लें और अभिसरण के लिए इसकी जांच करें

पहले पूर्ण समाधान, फिर टिप्पणियाँ:

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

(1) अनुपात लिखें।
(2) चार मंजिला अंश से छुटकारा पाएं।
(3) अंश में व्यंजक और हर में व्यंजक पर विचार करें। हम देखते हैं कि अंश में आपको कोष्ठक खोलने और चौथी घात: तक बढ़ाने की आवश्यकता है, जो आप बिल्कुल नहीं करना चाहते हैं। इसके अलावा, जो लोग न्यूटन के द्विपद से परिचित नहीं हैं, उनके लिए यह कार्य बिल्कुल भी संभव नहीं हो सकता है। आइए उच्चतम डिग्री का विश्लेषण करें: यदि हम शीर्ष पर कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें उच्चतम डिग्री प्राप्त होती है। नीचे हमारे पास वही वरिष्ठ डिग्री है: . पिछले उदाहरण के अनुरूप, यह स्पष्ट है कि अंश और हर के पद-दर-भाग के साथ हम सीमा में एक प्राप्त करेंगे। या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, बहुपद और - विकास का एक क्रम. इस प्रकार, एक साधारण पेंसिल के साथ अनुपात को घेरना काफी संभव है और तुरंत संकेत मिलता है कि यह बात एकता की ओर ले जाती है। इसी प्रकार, हम बहुपदों के दूसरे युग्म के साथ व्यवहार करते हैं: और, वे भी विकास का एक क्रम, और उनका अनुपात एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

वास्तव में, ऐसा "हैक" उदाहरण संख्या 1 में किया जा सकता था, लेकिन दूसरी डिग्री के बहुपद के लिए, ऐसा समाधान अभी भी किसी भी तरह से अशोभनीय लगता है। व्यक्तिगत रूप से, मैं यह करता हूं: यदि पहली या दूसरी डिग्री का बहुपद (या बहुपद) है, तो मैं उदाहरण 1 को हल करने की "लंबी" विधि का उपयोग करता हूं। यदि तीसरी या उच्च डिग्री का बहुपद आता है, तो मैं "टर्बो" का उपयोग करता हूं "विधि उदाहरण 2 के समान है।

उदाहरण 3

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

संख्या अनुक्रमों पर पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिजाइन नमूना।
(4) वह सब कुछ कम करें जिसे कम किया जा सकता है।
(5) हम अचर को सीमा के चिन्ह से आगे ले जाते हैं। अंश में कोष्ठक खोलें।
(6) अनिश्चितता को मानक तरीके से समाप्त किया जाता है - अंश और हर को "एन" से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करके।

उदाहरण 5

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिजाइन का नमूना

उदाहरण 6

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

कभी-कभी ऐसी पंक्तियाँ होती हैं जिनके भरने में गुणकों की "श्रृंखला" होती है; हमने अभी तक इस प्रकार की पंक्ति पर विचार नहीं किया है। कारकों की "श्रृंखला" वाली श्रृंखला का पता कैसे लगाएं? d'Alembert के चिन्ह का प्रयोग करें। लेकिन पहले, यह समझने के लिए कि क्या हो रहा है, हम एक श्रृंखला विस्तार से लिखेंगे:

विस्तार से, हम देखते हैं कि श्रृंखला के प्रत्येक अगले सदस्य के लिए, हर में एक अतिरिक्त कारक जोड़ा जाता है, इसलिए, यदि श्रृंखला का सामान्य सदस्य है, तो श्रृंखला का अगला सदस्य:
. यहां वे अक्सर स्वचालित रूप से गलती करते हैं, औपचारिक रूप से एल्गोरिथम के अनुसार लिखते हैं कि

एक उदाहरण समाधान इस तरह दिख सकता है:

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण करता है।

श्रृंखला के अभिसरण के संकेत।
डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह। कौची के लक्षण

काम, काम - और समझ बाद में आएगी
जे.एल. डी'अलेम्बर्ट

स्कूल वर्ष की शुरुआत पर सभी को बधाई! आज 1 सितंबर है, और छुट्टी के उपलक्ष्य में, मैंने पाठकों को उन बातों से परिचित कराने का फैसला किया, जिनका आप बेसब्री से इंतजार कर रहे हैं और जानने के लिए उत्सुक हैं - संख्यात्मक सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण के संकेत. पहली सितंबर की छुट्टी है और मेरी बधाई हमेशा प्रासंगिक होती है, यह ठीक है अगर यह वास्तव में खिड़की के बाहर गर्मी है, लेकिन अब आप तीसरी बार परीक्षा दे रहे हैं यदि आप इस पृष्ठ पर जाते हैं!

उन लोगों के लिए जो अभी श्रृंखला का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, मेरा सुझाव है कि आप पहले लेख पढ़ें डमी के लिए संख्या पंक्तियाँ. दरअसल, यह गाड़ी भोज का सिलसिला है। इसलिए, आज के पाठ में हम विषयों पर उदाहरण और समाधान देखेंगे:

डी'अलेम्बर्ट अभिसरण परीक्षण

1) हर में एक बहुपद होता है।
2) बहुपद अंश और हर दोनों में होते हैं।
3) एक या दोनों बहुपद मूल के नीचे हो सकते हैं।
4) बेशक, अधिक बहुपद और मूल हो सकते हैं।

डी'अलेम्बर्ट चिन्ह लगाने के लिए मुख्य पूर्वापेक्षाएँ इस प्रकार हैं:

2) श्रृंखला के सामान्य शब्द में भाज्य शामिल है। संख्यात्मक अनुक्रम और इसकी सीमा के पाठ में हमने भाज्यों के साथ तलवारें पार कीं। हालाँकि, स्व-विधानसभा मेज़पोश को फिर से फैलाने में कोई हर्ज नहीं है:

…

…

इसके अलावा, श्रृंखला के सामान्य पद में, डिग्री और भाज्य दोनों एक ही समय में हो सकते हैं; दो फैक्टोरियल हो सकते हैं, दो डिग्री, यह महत्वपूर्ण है कि वहाँ है कम से कम कुछविचार किए गए बिंदुओं में से - और यह d'Alembert चिह्न का उपयोग करने के लिए केवल एक पूर्वापेक्षा है।

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह: विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यदि अगले पद के पिछले पद के अनुपात की सीमा है: , तो:
ए) एक पंक्ति में अभिसरण
बी) एक पंक्ति में अलग करना
ग) जब संकेत प्रतिक्रिया नहीं करता है. आपको दूसरे चिन्ह का उपयोग करने की आवश्यकता है। अक्सर, एक इकाई प्राप्त की जाती है जब वे डी'अलेम्बर्ट परीक्षण को लागू करने का प्रयास करते हैं जहां सीमा तुलना परीक्षण का उपयोग करना आवश्यक होता है।

और अब लंबे समय से प्रतीक्षित उदाहरण।

उदाहरण 1

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

अभिसरण करता है।
(1) श्रृंखला के अगले सदस्य का अनुपात पिछले एक से लिखें: . शर्त से, हम देखते हैं कि श्रृंखला का सामान्य शब्द। श्रृंखला का अगला सदस्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए इसके बजाय स्थानापन्न: .
(2) चार मंजिला अंश से छुटकारा पाएं। इस चरण को हल करने में कुछ अनुभव के साथ, आप इसे छोड़ सकते हैं।
(3) अंश में कोष्ठक खोलें। हर में हम डिग्री से चार निकालते हैं।
(4) से कम करें। हम अचर को सीमा के चिन्ह से बाहर निकालते हैं। अंश में, हम कोष्ठकों में समान पद देते हैं।
(5) अनिश्चितता को मानक तरीके से समाप्त किया जाता है - अंश और हर को "एन" से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करके।
(6) अंशों को हर पद द्वारा पद से विभाजित करें, और उन पदों को इंगित करें जो शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं।
(7) हम उत्तर को सरल करते हैं और नोट करते हैं कि इस निष्कर्ष के साथ कि, डी'अलेम्बर्ट मानदंड के अनुसार, अध्ययन के तहत श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 2

एक समान श्रृंखला लें और अभिसरण के लिए इसकी जांच करें

पहले पूर्ण समाधान, फिर टिप्पणियाँ:

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

(1) अनुपात लिखें।

(3) अभिव्यक्ति पर विचार करें अंश में और हर में व्यंजक। हम देखते हैं कि अंश में आपको कोष्ठक खोलने और चौथी घात: तक बढ़ाने की आवश्यकता है, जो आप बिल्कुल नहीं करना चाहते हैं। और जो लोग न्यूटन के द्विपद से परिचित नहीं हैं, उनके लिए यह कार्य और भी कठिन होगा। आइए उच्च डिग्री का विश्लेषण करें: यदि हम शीर्ष पर कोष्ठक खोलते हैं , तो हम उच्चतम डिग्री प्राप्त करते हैं। नीचे हमारे पास वही वरिष्ठ डिग्री है: . पिछले उदाहरण के अनुरूप, यह स्पष्ट है कि अंश और हर के पद-दर-भाग के साथ हम सीमा में एक प्राप्त करेंगे। या, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, बहुपद और - विकास का एक क्रम. इस प्रकार, संबंध को वृत्त करना काफी संभव है एक साधारण पेंसिल के साथ और तुरंत इंगित करें कि यह चीज़ एक की ओर जाती है। इसी प्रकार, हम बहुपदों के दूसरे युग्म के साथ व्यवहार करते हैं: और, वे भी विकास का एक क्रम, और उनका अनुपात एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

उदाहरण 3

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

फैक्टोरियल के साथ विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 4

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

श्रृंखला के सामान्य शब्द में डिग्री और भाज्य दोनों शामिल हैं। दिन के उजाले के रूप में यह स्पष्ट है कि यहां डी'अलेम्बर्ट के चिन्ह का उपयोग किया जाना चाहिए। हमने निर्णय किया।

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करना.
(1) अनुपात लिखें। हम फिर से दोहराते हैं। शर्त के अनुसार, श्रृंखला का सामान्य शब्द: . श्रृंखला का अगला सदस्य प्राप्त करने के लिए, इसके बजाय प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, इस प्रकार: .
(2) चार मंजिला अंश से छुटकारा पाएं।
(3) हम डिग्री से सात को चुटकी लेते हैं। फैक्टोरियल्स का विस्तार से वर्णन किया गया है. यह कैसे करें - पाठ की शुरुआत या संख्या अनुक्रमों पर लेख देखें।
(4) वह सब कुछ कम करें जिसे कम किया जा सकता है।
(5) हम अचर को सीमा के चिन्ह से आगे ले जाते हैं। अंश में कोष्ठक खोलें।
(6) अनिश्चितता को मानक तरीके से समाप्त किया जाता है - अंश और हर को "एन" से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करके।

उदाहरण 5

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिजाइन का नमूना

उदाहरण 6

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

विस्तार से, हम देखते हैं कि श्रृंखला के प्रत्येक अगले सदस्य के लिए, हर में एक अतिरिक्त कारक जोड़ा जाता है, इसलिए, यदि श्रृंखला के सामान्य सदस्य , फिर श्रृंखला का अगला पद:
. यहां वे अक्सर स्वचालित रूप से गलती करते हैं, औपचारिक रूप से एल्गोरिथम के अनुसार लिखते हैं कि

एक उदाहरण समाधान इस तरह दिख सकता है:

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण करता है।

कॉची का मूल चिन्ह

ऑगस्टिन लुई कॉची एक और भी अधिक प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ हैं। तकनीकी विशेषता का कोई भी छात्र आपको कॉची की जीवनी बता सकता है। सबसे खूबसूरत रंगों में। यह कोई संयोग नहीं है कि यह उपनाम एफिल टॉवर की पहली मंजिल पर उकेरा गया है।

सकारात्मक संख्यात्मक श्रृंखला के लिए कॉची अभिसरण परीक्षण कुछ हद तक डी'अलेम्बर्ट परीक्षण के समान है जिसे अभी माना जाता है।

कॉची का कट्टरपंथी संकेत:विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यदि कोई सीमा है: , तो:
ए) एक पंक्ति में अभिसरण. विशेष रूप से, श्रृंखला के लिए अभिसरण करता है।
बी) एक पंक्ति में अलग करना. विशेष रूप से, श्रृंखला में विचलन होता है।
ग) जब संकेत प्रतिक्रिया नहीं करता है. आपको दूसरे चिन्ह का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि कॉची परीक्षण हमें श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, तो डी'अलेम्बर्ट परीक्षण भी उत्तर नहीं देगा। लेकिन अगर डी'एलेम्बर्ट का चिन्ह उत्तर नहीं देता है, तो कॉची का चिन्ह "काम" कर सकता है। अर्थात् कौची चिन्ह इस अर्थ में अधिक प्रबल चिन्ह है।

आपको कॉची रेडिकल साइन का उपयोग कब करना चाहिए?कॉची का मूल चिन्ह आमतौर पर उन मामलों में उपयोग किया जाता है जहां मूल "अच्छा" श्रृंखला में एक सामान्य शब्द से निकाला जाता है। एक नियम के रूप में, यह काली मिर्च डिग्री में है, जो निर्भर करता है. अभी भी विदेशी मामले हैं, लेकिन हम उनके साथ अपना सिर नहीं ठोकेंगे।

उदाहरण 7

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

हम देखते हैं कि अंश "एन" के आधार पर पूरी तरह से डिग्री के नीचे है, जिसका अर्थ है कि हमें कट्टरपंथी कॉची मानदंड का उपयोग करने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करना.

(1) हम मूल के तहत श्रृंखला का सामान्य शब्द बनाते हैं।

(2) हम उसी चीज़ को फिर से लिखते हैं, केवल बिना जड़ के, डिग्री के गुण का उपयोग करके।
(3) घातांक में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं, यह दर्शाता है कि
(4) परिणामस्वरूप, हमारे पास अनिश्चितता है। यहां आप एक लंबा रास्ता तय कर सकते हैं: घन, घन, फिर घन में अंश और हर को "एन" से विभाजित करें। लेकिन इस मामले में, एक अधिक कुशल समाधान है: इस तकनीक का उपयोग सीधे डिग्री-स्थिरांक के तहत किया जा सकता है। अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, हम अंश और हर को (बहुपदों की उच्चतम डिग्री) से विभाजित करते हैं।

(5) हम टर्म-बाय-टर्म डिवीजन करते हैं, और उन शब्दों को इंगित करते हैं जो शून्य की ओर जाते हैं।
(6) हम उत्तर को ध्यान में रखते हैं, उस पर निशान लगाते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि श्रृंखला अलग हो जाती है।

और यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक सरल उदाहरण है:

उदाहरण 8

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

और कुछ और विशिष्ट उदाहरण।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिजाइन का नमूना

उदाहरण 9

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें
हम कट्टरपंथी कॉची परीक्षण का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

(1) श्रेणी के उभयनिष्ठ पद को मूल के नीचे रखें।

(2) हम एक ही चीज़ को फिर से लिखते हैं, लेकिन रूट के बिना, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक खोलते समय: .
(3) घातांक में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं और इंगित करते हैं कि ।
(4) फॉर्म की अनिश्चितता प्राप्त होती है, और यहां भी, डिग्री के नीचे सीधे विभाजन किया जा सकता है। लेकिन एक शर्त के साथ:बहुपदों की उच्च घातों के गुणांक अलग-अलग होने चाहिए। हमारे पास उन्हें अलग (5 और 6) है, और इसलिए दोनों मंजिलों को विभाजित करना संभव (और आवश्यक) है। यदि ये गुणांक समान हैं, उदाहरण के लिए (1 और 1): , तो यह ट्रिक काम नहीं करती है और आपको उपयोग करने की आवश्यकता है दूसरी अद्भुत सीमा. यदि आपको याद हो, तो लेख के अंतिम पैराग्राफ में इन सूक्ष्मताओं पर विचार किया गया था। हल करने के तरीके सीमित करें.

(5) हम वास्तव में टर्म-बाय-टर्म डिवीजन करते हैं और संकेत देते हैं कि हमारे मामले में कौन से शब्द शून्य हैं।
(6) अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, हमारे पास सबसे सरल सीमा रह जाती है: . में क्यों असीम रूप से बड़ाडिग्री शून्य हो जाती है? क्योंकि डिग्री का आधार असमानता को संतुष्ट करता है। अगर किसी को सीमा की वैधता पर संदेह है , तो मैं बहुत आलसी नहीं हूँ, मैं एक कैलकुलेटर उठाऊँगा:
तो अगर
तो अगर
तो अगर
तो अगर
तो अगर
… आदि। अनंत तक - यानी सीमा में:

सिर्फ एक ही अपरिमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगतिउंगलियों पर =)
! सबूत के तौर पर इस तकनीक का इस्तेमाल कभी न करें! क्योंकि अगर कुछ स्पष्ट है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह सही है।

(7) हम इसे इंगित करते हैं और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 10

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

यह स्वयं का उदाहरण है।

कभी-कभी समाधान के लिए उत्तेजक उदाहरण पेश किया जाता है, उदाहरण के लिए:। यहाँ घातांक में नहीं "एन", केवल एक स्थिरांक। यहां आपको अंश और हर को वर्ग करने की आवश्यकता है (बहुपद निकलेंगे), और फिर लेख से एल्गोरिथ्म का पालन करें चायदानी के लिए पंक्तियाँ. ऐसे उदाहरण में, या तो श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड या तुलना के लिए सीमा मानदंड काम करना चाहिए।

इंटीग्रल कॉची टेस्ट

या सिर्फ एक अभिन्न विशेषता। मैं उन लोगों को निराश करूंगा जिन्होंने पहले पाठ्यक्रम की सामग्री को खराब तरीके से सीखा। कॉची इंटीग्रल मानदंड को लागू करने के लिए, कमोबेश आत्मविश्वास से डेरिवेटिव, इंटीग्रल खोजने में सक्षम होना और गणना करने का कौशल भी होना आवश्यक है अभिन्न अनुचितपहला प्रकार।

पथरी पाठ्यपुस्तकों में इंटीग्रल कॉची टेस्टगणितीय रूप से सख्ती से दिया गया है, लेकिन बहुत भ्रमित है, इसलिए मैं इस सुविधा को बहुत सख्ती से नहीं, बल्कि स्पष्ट रूप से तैयार करूंगा:

विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यदि कोई अनुचित अभिन्न है, तो श्रृंखला इस अभिन्न के साथ अभिसरण या विचलन करती है।

और यहाँ स्पष्टीकरण के लिए कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 11

अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

लगभग एक क्लासिक। प्राकृतिक लघुगणक और कुछ बकवास।

इंटीग्रल कॉची टेस्ट का उपयोग करने के लिए मुख्य शर्ततथ्य यह है कि श्रृंखला के सामान्य शब्द में कुछ फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के समान कारक होते हैं। विषय से

डी'अलेम्बर्ट चिन्ह लगाने के लिए मुख्य पूर्वापेक्षाएँ इस प्रकार हैं:

2) श्रृंखला के सामान्य शब्द में भाज्य शामिल है। फैक्टोरियल क्या है? कुछ भी जटिल नहीं है, फैक्टोरियल उत्पाद का सिर्फ एक मुड़ा हुआ रिकॉर्ड है:

…

…

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह: विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यदि अगले पद के पिछले पद के अनुपात की सीमा है: , तो:
ए) एक पंक्ति में अभिसरण
बी) एक पंक्ति में अलग करना
ग) जब संकेत प्रतिक्रिया नहीं करता है. आपको दूसरे चिन्ह का उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे अधिक बार, उस मामले में एक इकाई प्राप्त की जाती है जब वे डी'अलेम्बर्ट परीक्षण को लागू करने का प्रयास करते हैं जहां सीमा तुलना परीक्षण का उपयोग करना आवश्यक होता है।

उन लोगों के लिए जिन्हें अभी भी सीमा की समस्या है या सीमा की गलतफहमी है, कृपया विषय देखें सीमाएं। समाधान उदाहरण. सीमा की समझ और अनिश्चितता को और अधिक प्रकट करने की क्षमता के बिना, दुर्भाग्य से, कोई आगे नहीं बढ़ सकता है। और अब लंबे समय से प्रतीक्षित उदाहरण।

उदाहरण 1
हम देखते हैं कि हमारे पास श्रृंखला के सामान्य शब्द में है, और यह सही आधार है कि हमें डी'अलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, एक पूर्ण समाधान और एक डिजाइन नमूना, नीचे टिप्पणी।

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

अभिसरण करता है।

उदाहरण 2 एक समान श्रृंखला लें और अभिसरण के लिए इसकी जांच करें
पहले पूर्ण समाधान, फिर टिप्पणियाँ:

हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

उदाहरण 3 .

फैक्टोरियल के साथ विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 4 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करना.

(1) अनुपात लिखें। हम फिर से दोहराते हैं। शर्त के अनुसार, श्रृंखला का सामान्य शब्द: . श्रृंखला का अगला सदस्य प्राप्त करने के लिए, इसके बजाय प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, इस प्रकार: ।
(2) चार मंजिला अंश से छुटकारा पाएं।
(3) हम डिग्री से सात को चुटकी लेते हैं। फैक्टोरियल्स का विस्तार से वर्णन किया गया है. यह कैसे करें - पाठ की शुरुआत देखें।
(4) वह सब कुछ कम करें जिसे कम किया जा सकता है।
(5) हम अचर को सीमा के चिन्ह से आगे ले जाते हैं। अंश में कोष्ठक खोलें।
(6) अनिश्चितता को मानक तरीके से समाप्त किया जाता है - अंश और हर को "एन" से उच्चतम डिग्री तक विभाजित करके।

उदाहरण 5अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें पूर्ण समाधान नीचे है।

उदाहरण 6अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

एक उदाहरण समाधान इस तरह दिख सकता है: d'Alembert परीक्षण का उपयोग करना:
इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण करता है।
रेडिकल कॉची साइन

कॉची का कट्टरपंथी संकेत:विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यदि कोई सीमा है: , तो:
ए) एक पंक्ति में अभिसरण. विशेष रूप से, श्रृंखला के लिए अभिसरण करता है।
बी) एक पंक्ति में अलग करना. विशेष रूप से, श्रृंखला में विचलन होता है।
ग) जब संकेत प्रतिक्रिया नहीं करता है. आपको दूसरे चिन्ह का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि कॉची परीक्षण हमें श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, तो डी'अलेम्बर्ट परीक्षण हमें उत्तर भी नहीं देगा। लेकिन अगर डी'एलेम्बर्ट का चिन्ह उत्तर नहीं देता है, तो कॉची का चिन्ह "काम" कर सकता है। अर्थात् कौची चिन्ह इस अर्थ में अधिक प्रबल चिन्ह है।

आपको कॉची रेडिकल साइन का उपयोग कब करना चाहिए?रेडिकल कॉची परीक्षण आमतौर पर उन मामलों में उपयोग किया जाता है जहां श्रृंखला का सामान्य शब्द पूरी तरहडिग्री में है "एन" पर निर्भर. या जब मूल "अच्छा" श्रृंखला के सामान्य सदस्य से निकाला जाता है। अभी भी विदेशी मामले हैं, लेकिन हम उनके साथ अपना सिर नहीं ठोकेंगे।

उदाहरण 7अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

हम देखते हैं कि श्रृंखला का सामान्य शब्द पूरी तरह से निर्भर करता है, जिसका अर्थ है कि हमें कट्टरपंथी कॉची मानदंड का उपयोग करने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करना.

(1) हम मूल के तहत श्रृंखला का सामान्य शब्द बनाते हैं।
(2) हम उसी चीज़ को फिर से लिखते हैं, केवल बिना जड़ के, डिग्री के गुण का उपयोग करके।
(3) घातांक में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं, यह दर्शाता है कि
(4) परिणामस्वरूप, हमारे पास अनिश्चितता है। यहां आप एक लंबा रास्ता तय कर सकते हैं: घन, घन, फिर अंश और हर को उच्चतम डिग्री में "एन" से विभाजित करें। लेकिन इस मामले में, एक अधिक कुशल समाधान है: आप अंश और हर पद-दर-अवधि को डिग्री-स्थिरांक के ठीक नीचे विभाजित कर सकते हैं। अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, हम अंश और हर को (उच्चतम शक्ति) से विभाजित करते हैं।
(5) हम वास्तव में टर्म-बाय-टर्म डिवीजन करते हैं, और उन शब्दों को इंगित करते हैं जो शून्य की ओर जाते हैं।
(6) हम उत्तर को ध्यान में रखते हैं, उस पर निशान लगाते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि श्रृंखला अलग हो जाती है।

और यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक सरल उदाहरण है:

उदाहरण 8 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

और कुछ और विशिष्ट उदाहरण।

पूर्ण समाधान और नमूना डिजाइन नीचे है।

उदाहरण 9 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें
हम कट्टरपंथी कॉची परीक्षण का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

(1) श्रेणी के उभयनिष्ठ पद को मूल के नीचे रखें।
(2) हम एक ही चीज़ को फिर से लिखते हैं, लेकिन रूट के बिना, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक खोलते समय:।
(3) घातांक में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं और इंगित करते हैं कि ।
(4) फॉर्म की अनिश्चितता प्राप्त होती है। यहां आप हर द्वारा अंश को "एन" से विभाजित कर सकते हैं, जो ब्रैकेट में दाईं ओर उच्चतम डिग्री है। पढ़ाई के दौरान हमारा भी कुछ ऐसा ही सामना हुआ दूसरी उल्लेखनीय सीमा. लेकिन यहां स्थिति अलग है। यदि उच्च शक्तियों पर गुणांक थे वही, उदाहरण के लिए: , तो टर्म-बाय-टर्म डिवीजन वाली ट्रिक पास नहीं होती, और दूसरी अद्भुत सीमा का उपयोग करना पड़ता। लेकिन हमारे पास ये गुणांक हैं विभिन्न(5 और 6), इसलिए शब्द को शब्द से विभाजित करना संभव (और आवश्यक) है (वैसे, इसके विपरीत - के लिए दूसरी अद्भुत सीमा को अलगउच्च शक्तियों पर गुणांक अब काम नहीं करते हैं)।
(5) हम वास्तव में टर्म-बाय-टर्म डिवीजन करते हैं और संकेत देते हैं कि हमारे मामले में कौन से शब्द शून्य हैं।
(6) अनिश्चितता समाप्त हो जाती है, सरलतम सीमा बनी रहती है: क्यों में असीम रूप से बड़ाडिग्री शून्य हो जाती है? क्योंकि डिग्री का आधार असमानता को संतुष्ट करता है। यदि किसी को सीमा की निष्पक्षता के बारे में संदेह है, तो मैं आलसी नहीं होऊंगा, मैं एक कैलकुलेटर उठाऊंगा:
तो अगर
तो अगर
तो अगर
तो अगर
तो अगर
… आदि। अनंत तक - यानी सीमा में:
(7) हम इसे इंगित करते हैं और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 10 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

यह स्वयं का उदाहरण है।

मैं उन लोगों को निराश करूंगा जिन्होंने पहले पाठ्यक्रम की सामग्री को खराब तरीके से सीखा। कॉची इंटीग्रल मानदंड को लागू करने के लिए, कमोबेश आत्मविश्वास से डेरिवेटिव, इंटीग्रल खोजने में सक्षम होना और गणना करने का कौशल भी होना आवश्यक है अभिन्न अनुचितपहला प्रकार। गणितीय विश्लेषण पर पाठ्यपुस्तकों में, अभिन्न कॉची परीक्षण को गणितीय रूप से कठोरता से दिया गया है; आइए हम परीक्षण को बहुत ही आदिम, लेकिन समझने योग्य तरीके से तैयार करें। और तुरंत स्पष्टीकरण के लिए उदाहरण।

इंटीग्रल कॉची टेस्ट:विचार करना सकारात्मक संख्या श्रृंखला. यह श्रृंखला अभिसरण या विचलन करती है

उदाहरण 11 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

लगभग एक क्लासिक। प्राकृतिक लघुगणक और कुछ बकवास।

इंटीग्रल कॉची टेस्ट का उपयोग करने के लिए मुख्य शर्ततथ्य यह है कि श्रृंखला के सामान्य सदस्य में कुछ कार्य और उसके व्युत्पन्न होते हैं। विषय से यौगिकआपको शायद सबसे सरल सारणीबद्ध बात याद है: और हमारे पास ऐसा ही एक विहित मामला है।

इंटीग्रल साइन का उपयोग कैसे करें? सबसे पहले, हम इंटीग्रल आइकन लेते हैं और पंक्ति के "काउंटर" से ऊपरी और निचली सीमाओं को फिर से लिखते हैं: . फिर, अभिन्न के तहत, हम पंक्ति के "भराई" को "वह" अक्षर के साथ फिर से लिखते हैं:। कुछ याद आ रहा है ..., ओह, हाँ, आपको अंश में एक डिफरेंशियल आइकन भी चिपकाना होगा: ।

अब हमें अनुचित अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, दो मामले संभव हैं:

1) यदि यह पता चलता है कि अभिन्न अभिसरण करता है, तो हमारी श्रृंखला भी अभिसरण करेगी।

2) यदि यह पता चलता है कि अभिन्न विचलन होता है, तो हमारी श्रृंखला भी अलग हो जाएगी।

मैं दोहराता हूं, यदि सामग्री चल रही है, तो पैराग्राफ को पढ़ना मुश्किल और अस्पष्ट होगा, क्योंकि फीचर का आवेदन अनिवार्य रूप से गणना करने के लिए नीचे आता है अभिन्न अनुचितपहला प्रकार।

उदाहरण का पूरा समाधान और डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

हम अभिन्न सुविधा का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करनाएक साथ इसी अनुचित अभिन्न के साथ।

उदाहरण 12 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

पाठ के अंत में समाधान और नमूना डिजाइन

विचार किए गए उदाहरणों में, लघुगणक भी जड़ के नीचे हो सकता है, इससे समाधान विधि नहीं बदलेगी।

और नाश्ते के लिए दो और उदाहरण

उदाहरण 13 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

सामान्य "पैरामीटर" के अनुसार, श्रृंखला का सामान्य शब्द सीमा तुलना मानदंड का उपयोग करने के लिए उपयुक्त प्रतीत होता है। आपको बस कोष्ठकों को खोलने की जरूरत है और यथासंभव इस श्रृंखला की तुलना अभिसारी श्रृंखला से करने के लिए उम्मीदवार को तुरंत सौंप दें। हालाँकि, मैं थोड़ा चालाक था, कोष्ठक खोले नहीं जा सकते थे, लेकिन फिर भी, सीमा तुलना मानदंड के माध्यम से समाधान बल्कि दिखावटी लगेगा।

इसलिए, हम इंटीग्रल कॉची टेस्ट का उपयोग करते हैं:

इंटीग्रैंड निरंतर चालू है

अभिसरणएक साथ इसी अनुचित अभिन्न के साथ।

! टिप्पणी:प्राप्त संख्या -क्या नहीं है श्रृंखला का योग!

उदाहरण 14 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

अनुभाग के अंत में समाधान और डिज़ाइन टेम्प्लेट जो समाप्त होता है।

संख्या श्रंखला के विषय को अंतिम और अपरिवर्तनीय आत्मसात करने के उद्देश्य से, विषयों पर जाएँ।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3:हम d'Alembert चिह्न का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करना.
नोट: आप "टर्बो" समाधान विधि का भी उपयोग कर सकते हैं: एक पेंसिल के साथ अनुपात को तुरंत सर्कल करें, यह इंगित करें कि यह एकता की ओर जाता है और एक नोट बनाएं: "विकास के समान क्रम का।"

उदाहरण 5: d'Alembert परीक्षण का उपयोग करना: इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

उदाहरण 8:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

उदाहरण 10:
हम कट्टरपंथी कॉची मानदंड का उपयोग करते हैं।

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करना.
नोट: यहाँ डिग्री का आधार है, इसलिए

उदाहरण 12: हम अभिन्न चिह्न का उपयोग करते हैं।

एक परिमित संख्या प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण

उदाहरण 14: हम अभिन्न चिह्न का उपयोग करते हैं
इंटीग्रैंड चालू है।

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अलग करनाएक साथ इसी अनुचित अभिन्न के साथ।
नोट: एक श्रृंखला का उपयोग करके भी पता लगाया जा सकता हैसीमा तुलना मानदंड . ऐसा करने के लिए, आपको रूट के नीचे कोष्ठक खोलने और अध्ययन के तहत श्रृंखला की तुलना अलग श्रृंखला के साथ करने की आवश्यकता है।

बारी-बारी से पंक्तियाँ। लाइबनिज संकेत। समाधान उदाहरण

इस पाठ के उदाहरणों को समझने के लिए, सकारात्मक संख्यात्मक श्रृंखला में अच्छी तरह से वाकिफ होना आवश्यक है: एक श्रृंखला क्या है यह समझने के लिए, श्रृंखला के अभिसरण के आवश्यक संकेत को जानने के लिए, तुलना संकेतों को लागू करने में सक्षम होने के लिए, डी ' अलेम्बर्ट का चिन्ह, कॉची का चिन्ह। लेखों का क्रमिक रूप से अध्ययन करके विषय को लगभग खरोंच से उठाया जा सकता है चायदानी के लिए पंक्तियाँऔर डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह। कौची के लक्षण. तार्किक रूप से, यह पाठ लगातार तीसरा है, और यह न केवल वैकल्पिक पंक्तियों को समझने की अनुमति देगा, बल्कि पहले से कवर की गई सामग्री को समेकित करने की भी अनुमति देगा! थोड़ी नवीनता होगी, और बारी-बारी से पंक्तियों में महारत हासिल करना मुश्किल नहीं होगा। सब कुछ सरल और किफायती है।

एक वैकल्पिक श्रृंखला क्या है?यह नाम से ही स्पष्ट या लगभग स्पष्ट है। तुरंत सबसे सरल उदाहरण। श्रृंखला पर विचार करें और इसे और विस्तार से लिखें:

अब हत्यारे की टिप्पणी के लिए। एक वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्य वैकल्पिक संकेत: प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, प्लस, माइनस, आदि। अनन्त तक।
इंटरलीविंग एक गुणक प्रदान करता है: यदि सम है, तो एक धन चिह्न होगा, यदि विषम है, तो ऋण चिह्न होगा। गणितीय शब्दजाल में, इस कोंटरापशन को फ्लैशर कहा जाता है। इस प्रकार, वैकल्पिक श्रृंखला को "एन" की शक्ति से घटाकर "पहचाना" जाता है।

व्यावहारिक उदाहरणों में, श्रृंखला के सदस्यों का प्रत्यावर्तन न केवल कारक प्रदान कर सकता है, बल्कि उसके भाई-बहन भी प्रदान कर सकता है: , , ,…। उदाहरण के लिए:

नुकसान "चाल" है:, आदि। ऐसे गुणक हैं संकेत परिवर्तन प्रदान न करें. यह बिल्कुल स्पष्ट है कि किसी भी प्राकृतिक : , , . चाल के साथ पंक्तियाँ न केवल विशेष रूप से प्रतिभाशाली छात्रों के लिए फिसल जाती हैं, वे कभी-कभी हल करने के दौरान "स्वयं" दिखाई देती हैं कार्यात्मक पंक्तियाँ.

अभिसरण के लिए एक वैकल्पिक श्रृंखला की जांच कैसे करें?लाइबनिज चिन्ह का प्रयोग करें। मैं गॉटफ्रीड विल्हेम लिबनिज़ के विचार के जर्मन दिग्गज के बारे में बात नहीं करना चाहता, क्योंकि गणितीय कार्यों के अलावा, उन्होंने दर्शन पर कई संस्करणों को धराशायी कर दिया। दिमाग के लिए खतरनाक।

लाइबनिज़ संकेत: यदि प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्य नीरस रूप सेमॉड्यूलो को कम करें, फिर श्रृंखला अभिसरण करती है। या दो पैराग्राफ में:

2) श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम करती हैं:। इसके अलावा, वे नीरस रूप से घटते हैं।

अगर पूरी हुई दोनोंस्थितियाँ, तब श्रृंखला अभिसरण करती है.

मॉड्यूल के बारे में संक्षिप्त जानकारी मैनुअल में दी गई हैहॉट स्कूल गणित सूत्र , लेकिन फिर से सुविधा के लिए:

"मोडुलो" का क्या मतलब होता है? मॉड्यूल, जैसा कि हम स्कूल से याद करते हैं, ऋण चिह्न "खाता है"। आइए श्रृंखला पर वापस जाएं। इरेज़र से सभी चिह्नों को मानसिक रूप से मिटा दें और संख्याओं को देखो. हम देखेंगे कि प्रत्येक अगलापंक्ति सदस्य छोटेपिछले एक की तुलना में। इस प्रकार, निम्नलिखित वाक्यांशों का एक ही अर्थ है:

- एक श्रृंखला के सदस्य बिना संकेत केकमी।
- श्रृंखला के सदस्य घट रहे हैं सापेक्ष.
- श्रृंखला के सदस्य घट रहे हैं निरपेक्ष मूल्य में.
– मापांकश्रृंखला का सामान्य शब्द शून्य हो जाता है: मदद का अंत

अब थोड़ी एकरसता के बारे में बात करते हैं। एकरसता उबाऊ निरंतरता है।

पंक्ति सदस्य सख्ती से मोनोटोनयदि श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य हो तो मॉड्यूलो को कम करें सापेक्षपिछले से कम: . श्रृंखला के लिए, कमी की एक सख्त एकरसता का प्रदर्शन किया जाता है, इसे विस्तार से लिखा जा सकता है:

और हम संक्षेप में कह सकते हैं: श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले एक से कम:।

पंक्ति सदस्य सख्ती से एकरस नहींमापांक में कमी, यदि श्रृंखला मॉड्यूलो का प्रत्येक अगला पद पिछले एक से बड़ा नहीं है:। आइए एक भाज्य के साथ एक श्रृंखला पर विचार करें: यहां, गैर-सख्त एकरसता होती है, क्योंकि श्रृंखला के पहले दो शब्दों में एक ही मापांक होता है। यानी श्रृंखला का प्रत्येक अगला सदस्य सापेक्षपिछले एक से अधिक नहीं:।

लाइबनिज़ के प्रमेय की शर्तों के तहत, कमी की एकरसता को संतुष्ट किया जाना चाहिए (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह सख्त या गैर-सख्त है)। इस मामले में, श्रृंखला के सदस्य कर सकते हैं कुछ समय के लिए मोडुलो भी बढ़ाएँ, लेकिन श्रृंखला की "पूंछ" अनिवार्य रूप से नीरस रूप से घटती होनी चाहिए। मैंने जो ढेर किया है, उससे डरने की जरूरत नहीं है, व्यावहारिक उदाहरण सब कुछ अपनी जगह पर रख देंगे:

उदाहरण 1अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

श्रृंखला के सामान्य शब्द में कारक शामिल है, जिसका अर्थ है कि आपको लीबनिज़ परीक्षण का उपयोग करने की आवश्यकता है

1) विकल्प के लिए पंक्ति की जाँच करना। आमतौर पर, निर्णय में इस बिंदु पर, श्रृंखला का विस्तार से वर्णन किया जाता है और निर्णय "श्रृंखला बारी-बारी से संकेत में है" पारित किया जाता है।

2) क्या श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम करती हैं? सीमा को हल करना आवश्यक है, जो अक्सर बहुत सरल होता है।

- श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम नहीं करती हैं। वैसे, कमी की एकरसता के बारे में तर्क करने की कोई आवश्यकता नहीं है। निष्कर्ष: श्रृंखला अलग हो जाती है।

कैसे पता करें कि क्या बराबर है? बहुत आसान। जैसा कि आप जानते हैं, मॉड्यूल माइनस को नष्ट कर देता है, इसलिए मेकअप करने के लिए, आपको बस छत से चमकती बीकन को हटाने की जरूरत है। इस मामले में, श्रृंखला का सामान्य शब्द है। मूर्खता से "फ्लैशर" को हटा दें:।

उदाहरण 2 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

हम लाइबनिज़ चिन्ह का उपयोग करते हैं:

1) श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है।

2) - श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में कमी करती हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला पद पिछले एक की तुलना में मापांक में कम है: इस प्रकार, कमी नीरस है।

निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरण करती है।

सब कुछ बहुत आसान होगा - लेकिन यह समाधान का अंत नहीं है!

यदि श्रृंखला लाइबनिज परीक्षण के अनुसार अभिसरण करती है, तो श्रृंखला को भी कहा जाता है सशर्त रूप से अभिसरण.

यदि मॉड्यूल से बनी श्रृंखला भी अभिसरण करती है: , तो हम कहते हैं कि श्रृंखला बिल्कुल मिलती है.

इसलिए, एक विशिष्ट कार्य को हल करने का दूसरा चरण एजेंडे पर है - पूर्ण अभिसरण के लिए एक वैकल्पिक श्रृंखला का अध्ययन।

मैं दोषी नहीं हूँ - संख्या श्रृंखला का ऐसा सिद्धांत =)

हम पूर्ण अभिसरण के लिए अपनी श्रृंखला की जांच करते हैं।
आइए मॉड्यूल की एक श्रृंखला की रचना करें - फिर से हम केवल उस कारक को हटाते हैं, जो संकेतों के प्रत्यावर्तन को सुनिश्चित करता है: - विचलन (हार्मोनिक श्रृंखला)।

इस प्रकार, हमारी श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण नहीं है.
अध्ययन श्रृंखला केवल सशर्त रूप से अभिसरण करता है.

ध्यान दें कि उदाहरण संख्या 1 में, गैर-पूर्ण अभिसरण का अध्ययन करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि पहले चरण में यह निष्कर्ष निकाला गया था कि श्रृंखला विचलन करती है।

हम बाल्टी, फावड़े, कार इकट्ठा करते हैं और अपने उत्खनन के कैब से दुनिया को देखने के लिए सैंडबॉक्स छोड़ते हैं:

उदाहरण 3 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें हम लाइबनिज़ परीक्षण का उपयोग करते हैं:

1)
यह श्रंखला साइन-अल्टरनेटिंग है।

2) - श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में कमी करती हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला पद पिछले एक की तुलना में मापांक में कम है: जिसका अर्थ है कि कमी नीरस है। निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरण करती है।

श्रृंखला के भरने का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि यहां तुलना के सीमा चिह्न का उपयोग करना आवश्यक है। हर में कोष्ठक खोलना अधिक सुविधाजनक है:

इस श्रृंखला की तुलना अभिसारी श्रृंखला से करें। हम तुलना की सीमा परीक्षण का उपयोग करते हैं।

शून्य के अलावा एक परिमित संख्या प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला श्रृंखला के साथ अभिसरण करती है। अध्ययन श्रृंखला बिल्कुल मिलती है.

उदाहरण 4 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

उदाहरण 5 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

ये स्वयं सहायता उदाहरण हैं। खंड के अंत में एक संपूर्ण समाधान और नमूना डिजाइन।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बारी-बारी से पंक्तियाँ सरल और उबाऊ हैं! लेकिन पृष्ठ को बंद करने के लिए जल्दी मत करो, केवल कुछ स्क्रीन में हम एक ऐसे मामले पर विचार करेंगे जो कई लोगों को परेशान करता है। इस बीच, प्रशिक्षण और पुनरावृत्ति के लिए कुछ उदाहरण।

उदाहरण 6 अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

हम लाइबनिज परीक्षण का उपयोग करते हैं।
1) श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है।
2)
श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम करती हैं। श्रृंखला का प्रत्येक अगला पद पिछले एक की तुलना में मापांक में कम है, जिसका अर्थ है कि कमी नीरस है। निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरण करती है।

कृपया ध्यान दें कि मैंने श्रृंखला के सदस्यों का विस्तार से वर्णन नहीं किया है। उन्हें पेंट करना हमेशा वांछनीय होता है, लेकिन "गंभीर" मामलों में दुर्गम आलस्य से, कोई अपने आप को "श्रृंखला में संकेत में बारी-बारी से" वाक्यांश तक सीमित कर सकता है। वैसे आपको इस बात को औपचारिक रूप से लेने की जरूरत नहीं है, हमेशा जांचें(कम से कम मानसिक रूप से) कि श्रृंखला वास्तव में बदल जाती है। एक सरसरी निगाह विफल हो जाती है, और "मशीन पर" एक गलती हो जाती है। "ट्रिक्स" के बारे में याद रखें, यदि वे मौजूद हैं, तो आपको सकारात्मक सदस्यों के साथ "सामान्य" श्रृंखला प्राप्त करके उनसे छुटकारा पाने की आवश्यकता है।

दूसरी सूक्ष्मता एकरसता के बारे में वाक्यांश से संबंधित है, जिसे मैंने जितना संभव हो उतना कम कर दिया। आप यह कर सकते हैं, और लगभग हमेशा आपके कार्य को श्रेय दिया जाएगा। मैं बहुत बुरी बात कहूंगा - व्यक्तिगत रूप से, मैं अक्सर एकरसता के बारे में चुप रहता हूं, और इतनी संख्या बीत जाती है। लेकिन असमानताओं की विस्तृत श्रृंखला तक सब कुछ विस्तार से चित्रित करने के लिए तैयार रहें (पाठ की शुरुआत में उदाहरण देखें)। इसके अलावा, कभी-कभी एकरसता सख्त नहीं होती है, और "कम" शब्द को "अब और नहीं" शब्द से बदलने के लिए इसकी निगरानी करने की भी आवश्यकता होती है।

हम पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं:

जाहिर है, आपको कट्टरपंथी कॉची परीक्षण का उपयोग करने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, श्रृंखला अभिसरण करती है। अध्ययन श्रृंखला बिल्कुल मिलती है.

उदाहरण 7अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। अक्सर वैकल्पिक श्रृंखलाएं होती हैं जो कठिनाइयों का कारण बनती हैं।

उदाहरण 8अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

हम लाइबनिज़ चिन्ह का उपयोग करते हैं:
1) श्रृंखला साइन-अल्टरनेटिंग है।

तथ्य यह है कि ऐसी सीमाओं को हल करने के लिए कोई मानक दैनिक तरकीबें नहीं हैं। यह सीमा कहाँ जाती है? शून्य को, अनंत को? यहां यह महत्वपूर्ण है कि अनंत पर क्या तेजी से बढ़ता है- अंश या भाजक।

नोट: किसी फ़ंक्शन के विकास क्रम की अवधारणा को लेख में विस्तार से शामिल किया गया हैहल करने के तरीके सीमित करें . हमारे पास है अनुक्रम सीमा, लेकिन इससे बात नहीं बदलती।

यदि अंश भाज्य से तेजी से बढ़ता है, तो . यदि, अनंत पर, भाज्य अंश की तुलना में तेजी से बढ़ता है, तो, इसके विपरीत, यह सीमा को शून्य तक "खींचता" है: . या हो सकता है कि यह सीमा किसी गैर-शून्य संख्या के बराबर हो?

आइए श्रृंखला के पहले कुछ शब्दों को लिखने का प्रयास करें:
आप एक हजारवीं डिग्री के कुछ बहुपद को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, यह फिर से स्थिति को नहीं बदलेगा - जितनी जल्दी या बाद में भाज्य अभी भी इस तरह के एक भयानक बहुपद को "ओवरटेक" करेगा। कारख़ाने का वृद्धि का उच्च क्रमकिसी भी शक्ति अनुक्रम की तुलना में।

- भाज्य की तुलना में तेजी से बढ़ता है किसी भी मात्रा का उत्पादघातीय और शक्ति अनुक्रम (हमारा मामला)।

– कोई भीघातांकीय अनुक्रम किसी भी घात अनुक्रम की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है, उदाहरण के लिए: , . घातीय अनुक्रम वृद्धि का उच्च क्रमकिसी भी शक्ति अनुक्रम की तुलना में। फैक्टोरियल के समान, घातीय अनुक्रम किसी भी शक्ति अनुक्रम या बहुपद के किसी भी संख्या के उत्पाद को "खींचता" है:।

- क्या फैक्टोरियल की तुलना में "कूलर" कुछ है? वहाँ है! घातांकीय अनुक्रम ("एन" से "एन" की शक्ति) भाज्य की तुलना में तेजी से बढ़ता है। व्यवहार में, यह दुर्लभ है, लेकिन जानकारी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगी। मदद का अंत

इस प्रकार, अध्ययन का दूसरा बिंदु (क्या आपको अभी भी यह याद है? =)) इस प्रकार लिखा जा सकता है:
2) की तुलना में विकास के उच्च क्रम के कारण।
श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम करती हैं, कुछ नंबर से शुरू, उसी समय, श्रृंखला का प्रत्येक अगला पद पिछले एक की तुलना में निरपेक्ष मूल्य में कम है, इस प्रकार, कमी नीरस है।

निष्कर्ष: श्रृंखला अभिसरण करती है।

यहाँ केवल जिज्ञासु मामला है जब श्रृंखला की शर्तें पहले निरपेक्ष मूल्य में बढ़ती हैं, यही वजह है कि सीमा के बारे में हमारे पास एक गलत प्रारंभिक राय है। लेकिन, कुछ संख्या "एन" से शुरू, भाज्य अंश से आगे निकल जाता है, और श्रृंखला की "पूंछ" नीरस रूप से घट जाती है, जो लाइबनिज़ प्रमेय की शर्तों को पूरा करने के लिए मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। यह पता लगाना काफी मुश्किल है कि यह "एन" वास्तव में किसके बराबर है।

संबंधित प्रमेय के अनुसार, श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण श्रृंखला के सशर्त अभिसरण को दर्शाता है। निष्कर्ष: अध्ययन श्रृंखला बिल्कुल मिलती है.

और अंत में, एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण। उसी ओपेरा में से एक (सहायता को फिर से पढ़ें), लेकिन सरल। पेटू के लिए एक और अभिसरण के अभिन्न संकेत को ठीक करना है।

उदाहरण 9अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

उदाहरण 10अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करें

एक स्पष्ट विवेक के साथ संख्यात्मक सकारात्मक और वैकल्पिक श्रृंखला के गुणात्मक अध्ययन के बाद, आप जा सकते हैं कार्यात्मक पंक्तियाँ, जो कम नीरस और समान नहीं हैं, दिलचस्प हैं।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 4: हम लाइबनिज चिन्ह का प्रयोग करते हैं:

1) यह श्रृंखला बारी-बारी से है।
2)
श्रृंखला की शर्तें मॉड्यूलो को कम नहीं करती हैं। निष्कर्ष: श्रृंखला अलग हो जाती है।. , उसी समय, श्रृंखला का प्रत्येक अगला पद पिछले एक की तुलना में निरपेक्ष मूल्य में कम है, इस प्रकार, कमी नीरस है।

इस प्रकार, श्रृंखला संगत अनुचित समाकलन के साथ अपसारी हो जाती है। अध्ययन श्रृंखला केवल सशर्त रूप से अभिसरण करता है.

इस लेख ने संख्या श्रृंखला के विषय पर लगभग किसी भी उदाहरण को हल करने के लिए आवश्यक जानकारी एकत्र और संरचित की है, एक श्रृंखला के योग को खोजने से लेकर उसके अभिसरण की जांच तक।

लेख की समीक्षा।

आइए एक सकारात्मक-चिह्न, वैकल्पिक-चिह्न श्रृंखला और अभिसरण की अवधारणा की परिभाषाओं से शुरू करें। इसके बाद, मानक श्रृंखला पर विचार करें, जैसे कि एक हार्मोनिक श्रृंखला, एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला, और एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग खोजने के लिए सूत्र को याद करें। उसके बाद, हम अभिसरण श्रृंखला के गुणों की ओर मुड़ते हैं, श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और श्रृंखला के अभिसरण के लिए पर्याप्त मानदंड बताते हैं। हम विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ विशिष्ट उदाहरणों को हल करके सिद्धांत को पतला करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

बुनियादी परिभाषाएँ और अवधारणाएँ।

मान लीजिए हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जहां .

यहाँ एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक उदाहरण है: .

संख्या श्रृंखलाप्रपत्र के संख्यात्मक अनुक्रम के सदस्यों का योग है .

एक संख्या श्रृंखला के उदाहरण के रूप में, हम हर q = -0.5 के साथ एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग दे सकते हैं: .

कहा जाता है संख्या श्रृंखला का सामान्य सदस्यया श्रृंखला के kth सदस्य।

पिछले उदाहरण के लिए, संख्या श्रृंखला का सामान्य शब्द है।

एक संख्या श्रृंखला का आंशिक योगरूप का योग है, जहाँ n कुछ प्राकृत संख्या है। इसे संख्या श्रंखला का n-वाँ आंशिक योग भी कहते हैं।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला का चौथा आंशिक योग वहाँ है .

आंशिक रकम एक संख्या श्रृंखला के आंशिक योगों का एक अनंत अनुक्रम बनाते हैं।

हमारी श्रृंखला के लिए, nवां आंशिक योग एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र द्वारा पाया जाता है , अर्थात्, हमारे पास आंशिक राशियों का निम्नलिखित क्रम होगा: .

संख्या रेखा कहलाती है अभिसारी, अगर आंशिक रकम के अनुक्रम की एक सीमित सीमा है। यदि किसी संख्यात्मक श्रृंखला के आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा मौजूद नहीं है या अनंत है, तो श्रृंखला कहलाती है भिन्न।

अभिसारी संख्या श्रृंखला का योगइसके आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा कहलाती है, अर्थात् .

हमारे उदाहरण में, इसलिए, श्रृंखला अभिसरण, और इसका योग सोलह तिहाई के बराबर है: .

एक विचलन श्रृंखला का एक उदाहरण एक से अधिक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति का योग है: . nवाँ आंशिक योग द्वारा दिया गया है , और आंशिक रकम की सीमा अनंत है: .

अपसारी संख्या श्रृंखला का एक अन्य उदाहरण रूप का योग है . इस मामले में, nवें आंशिक योग के रूप में गणना की जा सकती है। आंशिक राशि की सीमा अनंत है .

योग दृश्य बुलाया हार्मोनिक संख्या श्रृंखला.

योग दृश्य जहाँ s कुछ वास्तविक संख्या है, कहलाती है सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्या श्रृंखला.

उपरोक्त परिभाषाएं निम्नलिखित अक्सर उपयोग किए जाने वाले कथनों को प्रमाणित करने के लिए पर्याप्त हैं, हम अनुशंसा करते हैं कि आप उन्हें याद रखें।

हार्मोनिक श्रृंखला अपसारी है।

आइए हम हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन को साबित करें।

आइए मान लें कि श्रृंखला अभिसरण करती है। तब इसके आंशिक योगों की एक सीमित सीमा होती है। इस मामले में, हम लिख सकते हैं और , जो हमें समानता की ओर ले जाता है .

दूसरी ओर,

निम्नलिखित असमानताएँ संदेह से परे हैं। इस प्रकार, । परिणामी असमानता हमें बताती है कि समानता प्राप्त नहीं किया जा सकता है, जो हार्मोनिक श्रृंखला के अभिसरण के बारे में हमारी धारणा का खंडन करता है।

निष्कर्ष: हार्मोनिक श्रृंखला विचलन करती है।

भाजक के साथ प्रकार की ज्यामितीय प्रगति का योग q एक अभिसारी संख्यात्मक श्रृंखला है, और एक भिन्न श्रृंखला पर है।

आइए इसे साबित करें।

हम जानते हैं कि किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है .

जब निष्पक्ष

जो संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण को इंगित करता है।

q = 1 के लिए हमारे पास एक संख्या श्रंखला है . इसका आंशिक योग इस प्रकार पाया जाता है, और आंशिक योगों की सीमा अनंत है , जो इस मामले में श्रृंखला के विचलन को इंगित करता है।

यदि q \u003d -1, तो संख्या श्रृंखला रूप ले लेगी . आंशिक योग विषम n , और सम n के लिए मान लेते हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आंशिक राशि की सीमा मौजूद नहीं है और श्रृंखला अलग हो जाती है।

जब निष्पक्ष

जो संख्यात्मक श्रृंखला के विचलन को इंगित करता है।

सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला एस> 1 और गोताखोरों के लिए परिवर्तित होती है।

प्रमाण।

एस = 1 के लिए हमें हार्मोनिक श्रृंखला मिलती है, और ऊपर हमने इसका विचलन स्थापित किया है।

पर s असमानता सभी प्राकृतिक k के लिए है। हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन के कारण, यह तर्क दिया जा सकता है कि इसके आंशिक रकम का अनुक्रम असीमित है (क्योंकि कोई सीमित सीमा नहीं है)। तब संख्या श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम अधिक असीमित होता है (इस श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य हार्मोनिक श्रृंखला के संबंधित सदस्य से बड़ा होता है), इसलिए सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला s पर विचलन करती है।

यह s > 1 के लिए श्रृंखला के अभिसरण को सिद्ध करना बाकी है।

आइए अंतर लिखें:

जाहिर है, तब

आइए n = 2, 4, 8, 16, ... के लिए परिणामी असमानता लिखें।

इन परिणामों का उपयोग करते हुए, मूल संख्यात्मक श्रृंखला के साथ निम्नलिखित क्रियाएं की जा सकती हैं:

अभिव्यक्ति एक ज्यामितीय प्रगति का योग है जिसका हर है। चूँकि हम s > 1 के मामले पर विचार कर रहे हैं, तो . इसलिए
. इस प्रकार, s> 1 के लिए सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम बढ़ रहा है और साथ ही ऊपर से मूल्य से घिरा हुआ है, इसलिए, इसकी एक सीमा है, जो श्रृंखला के अभिसरण को इंगित करती है। सबूत पूरा हो गया है।

संख्या रेखा कहलाती है साइन-पॉजिटिवयदि इसकी सभी शर्तें सकारात्मक हैं, अर्थात, .

संख्या रेखा कहलाती है बारीअगर इसके पड़ोसी शब्दों के संकेत अलग हैं। एक वैकल्पिक संख्या श्रृंखला को इस प्रकार लिखा जा सकता है या , कहाँ पे .

संख्या रेखा कहलाती है बारीयदि इसमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पदों की अनंत संख्या है।

एक वैकल्पिक संख्या श्रृंखला एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

रैंक

क्रमशः साइन-पॉजिटिव, साइन-अल्टरनेटिंग और साइन-अल्टरनेटिंग हैं।

एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण की अवधारणा है।

बिल्कुल अभिसरण, यदि इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों की एक श्रृंखला अभिसरण करती है, अर्थात, एक सकारात्मक-संकेत संख्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण के लिए, संख्या रेखाएँ और पूरी तरह से अभिसरण, क्योंकि श्रृंखला अभिसरण करती है , जो एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला कहलाती है सशर्त रूप से अभिसरणयदि श्रृंखला विचलन करती है और श्रृंखला अभिसरण करती है।

एक सशर्त रूप से अभिसरण संख्या श्रृंखला का एक उदाहरण श्रृंखला है . संख्या श्रृंखला , मूल श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बना है, भिन्न है, क्योंकि यह हार्मोनिक है। उसी समय, मूल श्रृंखला अभिसरण है, जिसका उपयोग करके आसानी से स्थापित किया जाता है। इस प्रकार, संख्यात्मक संकेत-वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण।

अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला के गुण।

उदाहरण।

संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण को सिद्ध करें।

फेसला।

आइए श्रृंखला को एक अलग रूप में लिखें . संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, क्योंकि सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला s > 1 के लिए अभिसरण है, और अभिसरण संख्या श्रृंखला की दूसरी संपत्ति के कारण, संख्यात्मक गुणांक वाली श्रृंखला भी अभिसरण करेगी।

उदाहरण।

क्या संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है?

फेसला।

आइए मूल श्रृंखला को रूपांतरित करें: . इस प्रकार, हमने दो संख्यात्मक श्रृंखलाओं का योग प्राप्त किया है, और उनमें से प्रत्येक अभिसरण करता है (पिछला उदाहरण देखें)। अतः अभिसारी संख्यात्मक श्रेणी के तृतीय गुण के कारण मूल श्रेणी भी अभिसरण करती है।

उदाहरण।

संख्या श्रृंखला के अभिसरण को सिद्ध करें और इसकी राशि की गणना करें।

फेसला।

इस संख्या श्रृंखला को दो श्रृंखलाओं के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है:

इनमें से प्रत्येक श्रृंखला एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, इसलिए अभिसारी है। अभिसरण श्रृंखला की तीसरी संपत्ति हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि मूल संख्यात्मक श्रृंखला अभिसरण करती है। आइए इसकी राशि की गणना करें।

श्रृंखला का पहला पद एक है, और संबंधित ज्यामितीय प्रगति का हर 0.5 है, इसलिए, .

श्रृंखला का पहला पद 3 है, और संबंधित अपरिमित रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का हर 1/3 है, इसलिए .

आइए प्राप्त परिणामों का उपयोग करके मूल संख्या श्रृंखला का योग ज्ञात करें:

एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक शर्त।

यदि संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो उसके k-वें पद की सीमा शून्य के बराबर होती है: .

अभिसरण के लिए किसी भी संख्यात्मक श्रृंखला के अध्ययन में, सबसे पहले अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति की जांच करना आवश्यक है। इस शर्त का पालन करने में विफलता संख्यात्मक श्रृंखला के विचलन को इंगित करती है, अर्थात, यदि , तो श्रृंखला का विचलन होता है।

दूसरी ओर, यह समझना चाहिए कि यह स्थिति पर्याप्त नहीं है। अर्थात्, समानता की पूर्ति संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का संकेत नहीं देती है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक श्रृंखला के लिए, आवश्यक अभिसरण शर्त संतुष्ट होती है, और श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण।

अभिसरण के लिए संख्या श्रृंखला का परीक्षण करें।

फेसला।

आइए संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की जाँच करें:

सीमा संख्यात्मक श्रृंखला का n-वां सदस्य शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, श्रृंखला विचलन करती है।

एक सकारात्मक संकेत श्रृंखला के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तें।

अभिसरण के लिए संख्यात्मक श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त सुविधाओं का उपयोग करते समय, आपको लगातार निपटना पड़ता है, इसलिए हम अनुशंसा करते हैं कि आप कठिनाई के मामले में इस अनुभाग को देखें।

एक सकारात्मक-चिह्न संख्या श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त।

साइन-पॉजिटिव संख्या श्रृंखला के अभिसरण के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके आंशिक योगों का क्रम सीमित हो।

आइए श्रृंखला तुलना सुविधाओं के साथ शुरू करते हैं। उनका सार अध्ययन की गई संख्यात्मक श्रृंखला की एक श्रृंखला के साथ तुलना करने में निहित है जिसका अभिसरण या विचलन ज्ञात है।

तुलना के पहले, दूसरे और तीसरे संकेत।

पंक्तियों की तुलना का पहला संकेत।

मान लीजिए और दो धनात्मक-संकेत संख्यात्मक श्रृंखलाएं हैं और असमानता सभी k = 1, 2, 3, ... के लिए है ... तब श्रृंखला का अभिसरण अभिसरण का अर्थ है, और श्रृंखला का विचलन विचलन का तात्पर्य है।

पहली तुलना मानदंड बहुत बार प्रयोग किया जाता है और अभिसरण के लिए संख्यात्मक श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है। मुख्य समस्या तुलना के लिए उपयुक्त श्रृंखला का चयन है। तुलना के लिए श्रृंखला को आमतौर पर (लेकिन हमेशा नहीं) चुना जाता है ताकि इसके k-वें सदस्य का घातांक अध्ययन के तहत संख्या श्रृंखला के k-वें सदस्य के अंश और हर के घातांक के अंतर के बराबर हो। उदाहरण के लिए, मान लीजिए, अंश और हर के घातांक के बीच का अंतर 2 - 3 = -1 है, इसलिए, तुलना के लिए, हम kth सदस्य के साथ एक श्रृंखला का चयन करते हैं, जो एक हार्मोनिक श्रृंखला है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

श्रृंखला का अभिसरण या विचलन सेट करें।

फेसला।

चूँकि श्रृंखला के उभयनिष्ठ पद की सीमा शून्य के बराबर है, इसलिए श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट होती है।

यह देखना आसान है कि असमानता सभी प्राकृतिक k के लिए सही है। हम जानते हैं कि हार्मोनिक श्रृंखला विचलन करती है, इसलिए, तुलना के पहले संकेत के अनुसार, मूल श्रृंखला भी भिन्न होती है।

उदाहरण।

अभिसरण के लिए संख्या श्रृंखला का परीक्षण करें।

फेसला।

संख्या श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट है, क्योंकि . स्पष्ट है कि असमानता k के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए। श्रृंखला अभिसरण करती है क्योंकि सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला s > 1 के लिए अभिसरण करती है। इस प्रकार, श्रृंखला तुलना का पहला संकेत हमें मूल संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण को बताने की अनुमति देता है।

उदाहरण।

संख्या श्रृंखला के अभिसरण या विचलन का निर्धारण करें।

फेसला।

इसलिए, संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट है। तुलना के लिए कौन सी पंक्ति चुननी है? एक संख्यात्मक श्रृंखला स्वयं को सुझाती है, और s को निर्धारित करने के लिए, हम संख्यात्मक अनुक्रम की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं। संख्यात्मक अनुक्रम की शर्तें अनंत की ओर बढ़ती हैं। इस प्रकार, किसी संख्या N (अर्थात् N = 1619 से) से प्रारंभ होकर, इस अनुक्रम के पद 2 से बड़े होंगे। इस संख्या N से शुरू होकर, असमानता मान्य है। संख्या श्रृंखला अभिसरण श्रृंखला की पहली संपत्ति के कारण अभिसरण करती है, क्योंकि यह पहली एन -1 शर्तों को छोड़कर एक अभिसरण श्रृंखला से प्राप्त की जाती है। इस प्रकार, तुलना के पहले संकेत के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण है, और अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला की पहली संपत्ति के कारण, श्रृंखला भी अभिसरण होगी।

तुलना का दूसरा संकेत।

चलो और साइन-पॉजिटिव संख्यात्मक श्रृंखला बनें। यदि , तो श्रृंखला के अभिसरण का अर्थ है . यदि , तो संख्यात्मक श्रृंखला के विचलन का तात्पर्य है .

परिणाम।

यदि और , तो एक श्रृंखला का अभिसरण दूसरे के अभिसरण का अर्थ है, और विचलन का अर्थ विचलन है।

हम दूसरी तुलना मानदंड का उपयोग करके अभिसरण के लिए श्रृंखला की जांच करते हैं। आइए एक श्रृंखला के रूप में एक अभिसरण श्रृंखला लें। आइए संख्यात्मक श्रृंखला के k-वें सदस्यों के अनुपात की सीमा ज्ञात करें:

इस प्रकार, तुलना के दूसरे मानदंड के अनुसार, संख्यात्मक श्रृंखला का अभिसरण मूल श्रृंखला के अभिसरण को दर्शाता है।

उदाहरण।

एक संख्या श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें।

फेसला।

आइए हम श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की जाँच करें . शर्त पूरी होती है। तुलना के दूसरे चिह्न को लागू करने के लिए, आइए एक हार्मोनिक श्रृंखला लें। आइए k-वें सदस्यों के अनुपात की सीमा ज्ञात करें:

नतीजतन, मूल श्रृंखला का विचलन तुलना के दूसरे मानदंड के अनुसार हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन से होता है।

जानकारी के लिए, हम श्रृंखला की तुलना के लिए तीसरा मानदंड प्रस्तुत करते हैं।

तुलना का तीसरा संकेत।

चलो और साइन-पॉजिटिव संख्यात्मक श्रृंखला बनें। यदि शर्त एक निश्चित संख्या N से संतुष्ट है, तो श्रृंखला का अभिसरण अभिसरण का अर्थ है, और श्रृंखला का विचलन विचलन का तात्पर्य है।

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह।

टिप्पणी।

d'Alembert का चिन्ह मान्य है यदि सीमा अनंत है, अर्थात यदि , तो श्रृंखला अभिसरण करती है यदि , फिर श्रृंखला अलग हो जाती है।

यदि , तो डी'अलेम्बर्ट परीक्षण श्रृंखला के अभिसरण या विचलन के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है, और अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

उदाहरण।

डी'अलेम्बर्ट के आधार पर अभिसरण के लिए संख्या श्रृंखला का परीक्षण कीजिए।

फेसला।

आइए संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति की जांच करें, हम सीमा की गणना करते हैं:

शर्त पूरी होती है।

आइए d'Alembert के चिह्न का उपयोग करें:

इस प्रकार, श्रृंखला अभिसरण करती है।

कॉची का कट्टरपंथी संकेत।

आज्ञा देना एक सकारात्मक संकेत संख्या श्रृंखला हो। यदि , तो श्रृंखला अभिसरण करती है, यदि , तो श्रृंखला विचलन करती है।

टिप्पणी।

कॉची का मूलक परीक्षण मान्य है यदि सीमा अनंत है, अर्थात यदि , तो श्रृंखला अभिसरण करती है यदि , फिर श्रृंखला अलग हो जाती है।

यदि , तो रेडिकल कॉची परीक्षण श्रृंखला के अभिसरण या विचलन के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है और अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होती है।

आमतौर पर उन मामलों को देखना काफी आसान होता है जहां रैडिकल कॉची परीक्षण का उपयोग करना सबसे अच्छा होता है। एक विशिष्ट मामला तब होता है जब संख्यात्मक श्रृंखला का सामान्य शब्द एक घातीय शक्ति अभिव्यक्ति है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

रेडिकल कॉची परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए एक सकारात्मक-चिह्न संख्या श्रृंखला की जांच करें।

फेसला।

. रेडिकल कॉची परीक्षण से, हम प्राप्त करते हैं .

इसलिए, श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण।

क्या संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है? .

फेसला।

आइए रेडिकल कॉची टेस्ट का उपयोग करें इसलिए, संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है।

इंटीग्रल कॉची टेस्ट।

आज्ञा देना एक सकारात्मक संकेत संख्या श्रृंखला हो। आइए हम फलन के समान निरंतर तर्क y = f(x) के एक फलन की रचना करें। मान लीजिए फलन y = f(x) धनात्मक, सतत और अंतराल पर घटते हुए है, जहाँ)। फिर अभिसरण के मामले में अभिन्न अनुचितअध्ययन की गई संख्या श्रृंखला को अभिसरण करता है। यदि अनुचित अभिन्न विचलन होता है, तो मूल श्रृंखला भी अलग हो जाती है।

एक अंतराल पर फ़ंक्शन y = f(x) के क्षय की जाँच करते समय, आप अनुभाग में सिद्धांत को उपयोगी पा सकते हैं।

उदाहरण।

अभिसरण के लिए धनात्मक पदों वाली संख्या श्रृंखला का परीक्षण कीजिए।

फेसला।

श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट है, क्योंकि . आइए एक समारोह पर विचार करें। यह अंतराल पर सकारात्मक, निरंतर और घटती है। इस समारोह की निरंतरता और सकारात्मकता संदेह से परे है, लेकिन आइए हम थोड़ा और विस्तार से कमी पर ध्यान दें। आइए व्युत्पन्न खोजें:
. यह अंतराल पर ऋणात्मक होता है, इसलिए इस अंतराल पर फलन घटता है।

इस विषय पर काम शुरू करने से पहले, मैं आपको सलाह देता हूं कि आप संख्या श्रृंखला के लिए शब्दावली वाले अनुभाग को देखें। यह विशेष रूप से एक श्रृंखला के एक सामान्य शब्द की अवधारणा पर ध्यान देने योग्य है। यदि आपको अभिसरण चिह्न के सही चुनाव के बारे में संदेह है, तो मैं आपको "संख्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण के संकेत का चयन" विषय को देखने की सलाह देता हूं।

D'Alembert परीक्षण (या d'Alembert परीक्षण) का उपयोग श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जिसका सामान्य शब्द शून्य से सख्ती से अधिक है, अर्थात $u_n> 0$। ऐसी श्रृंखला कहलाती है सख्ती से सकारात्मक. मानक उदाहरणों में, डी "एलेम्बर्ट का चिन्ह सीमित रूप में प्रयोग किया जाता है।

डी का चिन्ह "अम्बर (सीमित रूप में)

यदि श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ सख्ती से सकारात्मक है और $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ फिर $L . के लिए<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (और $L=\infty$ के लिए) श्रृंखला अलग हो जाती है।

सूत्रीकरण काफी सरल है, लेकिन निम्नलिखित प्रश्न खुला रहता है: क्या होगा यदि $L=1$? डी "अलेम्बर्ट का चिन्ह इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम नहीं है। यदि $L \u003d 1 $, तो श्रृंखला अभिसरण और विचलन दोनों कर सकती है।

अक्सर, मानक उदाहरणों में, डी "एलेम्बर्ट के संकेत का उपयोग किया जाता है यदि श्रृंखला के सामान्य शब्द की अभिव्यक्ति में $n$ में एक बहुपद होता है (बहुपद रूट के नीचे भी हो सकता है) और फॉर्म की एक डिग्री $a ^n$ या $n!$। उदाहरण के लिए, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (उदाहरण #1 देखें) या $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

अभिव्यक्ति "एन!" का क्या अर्थ है? दिखाओ छुपाओ

रिकॉर्डिंग "एन!" (पढ़ें "एन फैक्टोरियल") 1 से n तक सभी प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है, अर्थात।

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

परिभाषा के अनुसार, यह माना जाता है कि $0!=1!=1$। उदाहरण के लिए, आइए 5 खोजें !:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

इसके अलावा, डी "एलेम्बर्ट परीक्षण का उपयोग अक्सर एक श्रृंखला के अभिसरण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जिसके सामान्य शब्द में निम्नलिखित संरचना का उत्पाद होता है: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$।

उदाहरण 1

अभिसरण के लिए श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ की जांच करें।

चूंकि निचली योग सीमा 1 के बराबर है, श्रृंखला का सामान्य शब्द योग चिह्न के तहत लिखा गया है: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$। चूंकि $n≥ 1$ के लिए हमारे पास $3n+7 > 0$, $5^n>0$ और $2n^3-1 > 0$ है, तो $u_n > 0$। इसलिए, हमारी श्रृंखला सख्ती से सकारात्मक है।

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right) )(3n+7))=\बाएं|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left) (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ लेफ्ट(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\बाएं(2\बाएं(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \बाएं(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\दाएं)\cdot\बाएं(2-\frac(1)(n^3)\right))(\बाएं(2\बाएं(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

चूंकि $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, तो दी गई श्रृंखला के अनुसार विचलन होता है।

ईमानदार होने के लिए, डी "एलेम्बर्ट का संकेत इस स्थिति में एकमात्र विकल्प नहीं है। उदाहरण के लिए, आप कट्टरपंथी कॉची संकेत का उपयोग कर सकते हैं। हालांकि, कट्टरपंथी कॉची संकेत के उपयोग के लिए अतिरिक्त सूत्रों के ज्ञान (या प्रमाण) की आवश्यकता होगी इसलिए, इस स्थिति में डी" अलेम्बर्ट के चिन्ह का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

जवाब: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण #2

श्रृंखला का अन्वेषण करें $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

चूंकि निचली योग सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य शब्द योग चिह्न के तहत लिखा गया है: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

श्रृंखला के सामान्य पद में मूल के नीचे एक बहुपद होता है, अर्थात। $\sqrt(4n+5)$, और फैक्टोरियल $(3n-2)!$। एक मानक उदाहरण में एक भाज्य की उपस्थिति डी "एलेम्बर्ट संकेत के आवेदन की लगभग एक सौ प्रतिशत गारंटी है।

इस सुविधा को लागू करने के लिए, हमें संबंध की सीमा ज्ञात करनी होगी $\frac(u_(n+1))(u_n)$। $u_(n+1)$ लिखने के लिए, आपको $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) सूत्र का उपयोग करना होगा$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

चूंकि $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, के लिए सूत्र $u_(n+1)$ अन्यथा लिखा जा सकता है :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

यह प्रविष्टि आगे के समाधान के लिए सुविधाजनक है जब हमें सीमा के तहत अंश को कम करना होता है। यदि फैक्टोरियल के साथ समानता के लिए स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो कृपया नीचे दी गई टिप्पणी का विस्तार करें।

हमें $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ कैसे मिला? दिखाओ छुपाओ

संकेतन $(3n+1)!$ का अर्थ है 1 से $3n+1$ तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल। वे। इस अभिव्यक्ति को इस तरह लिखा जा सकता है:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1)। $$

$3n+1$ की संख्या के ठीक पहले एक संख्या कम है, अर्थात। संख्या $3n+1-1=3n$। और संख्या $3n$ से ठीक पहले, संख्या $3n-1$ है। ठीक है, संख्या $3n-1$ से ठीक पहले हमारे पास $3n-1-1=3n-2$ की संख्या है। आइए $(3n+1)!$ के लिए सूत्र को फिर से लिखें:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

$1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ का गुणनफल क्या है? यह उत्पाद $(3n-2)!$ के बराबर है। इसलिए, $(3n+1)!$ के लिए व्यंजक को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

यह प्रविष्टि आगे के समाधान के लिए सुविधाजनक है जब हमें सीमा के तहत अंश को कम करना होता है।

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$ के मूल्य की गणना करें:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

चूंकि $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

श्रृंखला के अभिसरण के संकेत। डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह। कौची के लक्षण

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कॉची का मूल चिन्ह

इंटीग्रल कॉची टेस्ट

बुनियादी परिभाषाएँ और अवधारणाएँ।

अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला के गुण।

एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक शर्त।

एक सकारात्मक संकेत श्रृंखला के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तें।

एक सकारात्मक-चिह्न संख्या श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त।

तुलना के पहले, दूसरे और तीसरे संकेत।

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह।

कॉची का कट्टरपंथी संकेत।

इंटीग्रल कॉची टेस्ट।

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