विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "घातीय समीकरण और घातीय असमानताएँ"
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घातीय समीकरणों की परिभाषा
दोस्तों, हमने घातांकीय फलनों का अध्ययन किया, उनके गुणों का अध्ययन किया और रेखांकन बनाया, समीकरणों के उदाहरणों का विश्लेषण किया जिनमें घातांकीय फलन सामने आए थे। आज हम घातांकीय समीकरणों और असमानताओं का अध्ययन करेंगे।परिभाषा। फॉर्म के समीकरण: $a^(f(x))=a^(g(x))$, जहां $a>0$, $a≠1$ को घातीय समीकरण कहा जाता है।
"घातीय फलन" विषय में हमने जिन प्रमेयों का अध्ययन किया, उन्हें याद करते हुए, हम एक नई प्रमेय का परिचय दे सकते हैं:
प्रमेय। घातांकीय समीकरण $a^(f(x))=a^(g(x))$, जहां $a>0$, $a≠1$ समीकरण $f(x)=g(x) के बराबर है $.
घातीय समीकरणों के उदाहरण
उदाहरण।समीकरण हल करें:
क) $3^(3x-3)=27$।
बी) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$।
ग) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$।
समाधान।
क) हम अच्छी तरह जानते हैं कि $27=3^3$।
आइए हमारे समीकरण को फिर से लिखें: $3^(3x-3)=3^3$।
उपरोक्त प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि हमारा समीकरण समीकरण $ 3x-3 = 3 $ तक कम हो जाता है, इस समीकरण को हल करने पर, हमें $x=2$ मिलता है।
उत्तर: $x=2$।
बी) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$।
तब हमारे समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$।
$2x+0.2=$0.2.
$ एक्स = 0 $।
उत्तर: $x=0$।
सी) मूल समीकरण समीकरण के बराबर है: $x^2-6x=-3x+18$।
$x^2-3x-18=0$।
$(x-6)(x+3)=0$।
$x_1=6$ और $x_2=-3$।
उत्तर: $x_1=6$ और $x_2=-3$।
उदाहरण।
समीकरण को हल करें: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$।
समाधान:
हम क्रमिक रूप से क्रियाओं की एक श्रृंखला करेंगे और अपने समीकरण के दोनों भागों को एक ही आधार पर लाएंगे।
आइए बाईं ओर संचालन की एक श्रृंखला करें:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$।
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$।
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)) ^ एक्स $।
आइए दाईं ओर चलते हैं:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$।
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$।
मूल समीकरण समीकरण के बराबर है:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$।
$x=2x$.
$ एक्स = 0 $।
उत्तर: $x=0$।
उदाहरण।
समीकरण हल करें: $9^x+3^(x+2)-36=0$।
समाधान:
आइए हमारे समीकरण को फिर से लिखें: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$।
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$।
आइए चरों में परिवर्तन करें, $a=3^x$ दें।
नए चरों में, समीकरण का रूप लेगा: $a^2+9a-36=0$।
$(ए+12)(ए-3)=0$।
$a_1=-12$ और $a_2=3$।
आइए चरों का उल्टा परिवर्तन करें: $3^x=-12$ और $3^x=3$।
पिछले पाठ में, हमने सीखा कि घातांकीय व्यंजक केवल सकारात्मक मान ले सकते हैं, ग्राफ को याद रखें। इसलिए, पहले समीकरण का कोई हल नहीं है, दूसरे समीकरण का एक हल है: $x=1$।
उत्तर: $x=1$।
आइए घातांकीय समीकरणों को हल करने के तरीकों का एक मेमो बनाएं:
1. ग्राफिक विधि।हम समीकरण के दोनों भागों को कार्यों के रूप में प्रस्तुत करते हैं और उनके ग्राफ़ बनाते हैं, ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। (हमने पिछले पाठ में इस पद्धति का उपयोग किया था)।
2. संकेतकों की समानता का सिद्धांत।सिद्धांत इस तथ्य पर आधारित है कि समान आधार वाले दो व्यंजक समान हैं यदि और केवल यदि इन आधारों की डिग्री (घातांक) समान हैं। $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$।
3. चर विधि का परिवर्तन।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाना चाहिए जब समीकरण, चर बदलते समय, अपने रूप को सरल करता है और हल करना बहुत आसान होता है।
उदाहरण।
समीकरणों की प्रणाली को हल करें: $\begin (केस) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \ अंत (मामलों) $।
समाधान।
सिस्टम के दोनों समीकरणों पर अलग-अलग विचार करें:
$27^y*3^x=1$।
$3^(3y)*3^x=3^0$।
$3^(3y+x)=3^0$।
$x+3y=0$।
दूसरे समीकरण पर विचार करें:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$।
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$।
आइए परिवर्तन विधि का उपयोग करें, चलो $y=2^(x+y)$।
तब समीकरण रूप लेगा:
$y^2-y-12=0$।
$(y-4)(y+3)=0$।
$y_1=4$ और $y_2=-3$।
आइए प्रारंभिक चर पर चलते हैं, पहले समीकरण से हमें $x+y=2$ मिलता है। दूसरे समीकरण का कोई हल नहीं है। फिर समीकरणों की हमारी प्रारंभिक प्रणाली प्रणाली के बराबर है: $\begin (मामलों) x+3y=0, \\ x+y=2। \ अंत (मामलों) $।
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें मिलता है: $\begin (केस) 2y=-2, \\ x+y=2। \ अंत (मामलों) $।
$\शुरू (मामलों) y=-1, \\ x=3. \ अंत (मामलों) $।
उत्तर: $(3;-1)$।
घातीय असमानताएं
आइए असमानताओं की ओर बढ़ें। असमानताओं को हल करते समय, डिग्री के आधार पर ध्यान देना आवश्यक है। असमानताओं को हल करते समय घटनाओं के विकास के लिए दो संभावित परिदृश्य हैं।प्रमेय। अगर $a>1$, तो घातीय असमानता $a^(f(x))>a^(g(x))$ असमानता $f(x)>g(x)$ के बराबर है।
अगर $0
उदाहरण।
असमानताओं को हल करें:
a) $3^(2x+3)>81$।
ख) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ग) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
समाधान।
a) $3^(2x+3)>81$।
$3^(2x+3)>3^4$।
हमारी असमानता असमानता के बराबर है:
$2x+3>4$।
$2x>1$.
$x>0.5$।
बी) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) हमारे समीकरण में, एक डिग्री कम के साथ आधार 1 से अधिक, फिर असमानता को एक समान के साथ बदलते समय, संकेत को बदलना आवश्यक है।
$2x-4>2$।
$x>3$।
सी) हमारी असमानता असमानता के बराबर है:
$x^2+6x≥4x+15$।
$x^2+2x-15≥0$।
$(x-3)(x+5)≥0$।
आइए अंतराल समाधान विधि का उपयोग करें:
उत्तर: $(-∞;-5]यू \ \
उत्तर: $(-4,6)$.
उदाहरण 2
समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें
चित्र तीन
समाधान।
यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है
चित्र 4
हम समीकरणों को हल करने के लिए चौथी विधि लागू करते हैं। चलो $2^x=u\ (u >0)$ और $3^y=v\ (v >0)$, हमें मिलता है:
चित्र 5
हम परिणामी प्रणाली को जोड़ विधि द्वारा हल करते हैं। आइए समीकरण जोड़ें:
\ \
फिर दूसरे समीकरण से, हम पाते हैं कि
प्रतिस्थापन पर लौटने पर, मुझे घातीय समीकरणों की एक नई प्रणाली प्राप्त हुई:
चित्र 6
हम पाते हैं:
चित्र 7
उत्तर: $(0,1)$.
घातीय असमानताओं की प्रणाली
परिभाषा 2
घातीय समीकरणों से युक्त असमानताओं की प्रणाली को घातीय असमानताओं की प्रणाली कहा जाता है।
हम उदाहरणों का उपयोग करते हुए घातीय असमानताओं की प्रणालियों के समाधान पर विचार करेंगे।
उदाहरण 3
असमानताओं की प्रणाली को हल करें
आंकड़ा 8
समाधान:
असमानताओं की यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है
चित्र 9
पहली असमानता को हल करने के लिए, घातीय असमानताओं के लिए निम्नलिखित तुल्यता प्रमेय को याद करें:
प्रमेय 1.असमानता $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, जहां $a >0,a\ne 1$ दो प्रणालियों के सेट के बराबर है
\}
