इस लेख में मैं आपको दिखाऊंगा सात प्रकार के तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम, जो चरों के परिवर्तन के माध्यम से वर्ग इकाई में कम हो जाते हैं। ज्यादातर मामलों में, परिवर्तन जो प्रतिस्थापन की ओर ले जाते हैं, वे बहुत ही गैर-तुच्छ होते हैं, और उनके बारे में स्वयं अनुमान लगाना काफी कठिन होता है।
प्रत्येक प्रकार के समीकरण के लिए, मैं समझाऊंगा कि इसमें चर का परिवर्तन कैसे किया जाता है, और फिर मैं संबंधित वीडियो ट्यूटोरियल में एक विस्तृत समाधान दिखाऊंगा।
आपके पास स्वयं समीकरणों को हल करना जारी रखने का अवसर है, और फिर वीडियो ट्यूटोरियल के साथ अपने समाधान की जांच करें।
तो, चलिए शुरू करते हैं।
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
ध्यान दें कि चार कोष्ठकों का गुणनफल समीकरण के बाईं ओर है, और संख्या दाईं ओर है।
1. आइए कोष्ठकों को दो से समूहित करें ताकि मुक्त पदों का योग समान हो।
2. उन्हें गुणा करें।
3. आइए हम चर के परिवर्तन का परिचय दें।
हमारे समीकरण में, हम पहले ब्रैकेट को तीसरे के साथ और दूसरे को चौथे के साथ समूहित करते हैं, क्योंकि (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
इस बिंदु पर, परिवर्तनशील परिवर्तन स्पष्ट हो जाता है:
हमें समीकरण मिलता है 
जवाब: 
2 .
इस प्रकार का एक समीकरण पिछले एक के समान होता है जिसमें एक अंतर होता है: समीकरण के दाईं ओर एक संख्या का गुणनफल होता है। और इसे पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है:
1. हम कोष्ठकों को दो से समूहित करते हैं ताकि मुक्त पदों का गुणनफल समान हो।
2. हम कोष्ठक के प्रत्येक युग्म को गुणा करते हैं।
3. प्रत्येक गुणनखंड से हम कोष्ठक में से x निकालते हैं।
4. समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें।
5. हम चर के परिवर्तन का परिचय देते हैं।
इस समीकरण में, हम पहले ब्रैकेट को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ समूहित करते हैं, क्योंकि:
ध्यान दें कि प्रत्येक कोष्ठक में गुणांक और मुक्त पद समान हैं। आइए प्रत्येक ब्रैकेट से गुणक निकालें:
चूँकि x=0 मूल समीकरण का मूल नहीं है, हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:
हमें समीकरण मिलता है: 
जवाब: 
3
. 
ध्यान दें कि दोनों भिन्नों के हर वर्ग त्रिपद हैं, जिनमें प्रमुख गुणांक और मुक्त पद समान हैं। हम दूसरे प्रकार के समीकरण के अनुसार, कोष्ठक से x निकालते हैं। हम पाते हैं:
प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को x से विभाजित करें:
अब हम चर के परिवर्तन का परिचय दे सकते हैं:
हम चर t के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:
4 .
ध्यान दें कि समीकरण के गुणांक केंद्रीय के संबंध में सममित हैं। इस तरह के समीकरण को कहा जाता है वापस करने .
इसे हल करने के लिए
1. समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें (हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि x=0 समीकरण का मूल नहीं है।) हम प्राप्त करते हैं:
2. शर्तों को इस प्रकार समूहित करें:
3. प्रत्येक समूह में, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं:
4. आइए एक प्रतिस्थापन पेश करें:
5. आइए व्यंजक को t के रूप में व्यक्त करें:
यहां से 
हमें टी के लिए समीकरण मिलता है:
जवाब:
5. सजातीय समीकरण।
घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय एक सजातीय संरचना वाले समीकरणों का सामना किया जा सकता है, इसलिए आपको इसे पहचानने में सक्षम होने की आवश्यकता है।
सजातीय समीकरणों में निम्नलिखित संरचना होती है:
इस समानता में, A, B और C संख्याएँ हैं, और समान व्यंजक एक वर्ग और एक वृत्त द्वारा दर्शाए जाते हैं। यही है, सजातीय समीकरण के बाईं ओर समान डिग्री वाले मोनोमियल का योग होता है (इस मामले में, मोनोमियल की डिग्री 2 है), और कोई मुक्त शब्द नहीं है।
सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं
ध्यान! समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित करते समय, आप मूल खो सकते हैं। इसलिए, यह जाँचना आवश्यक है कि क्या व्यंजक के मूल, जिससे हम समीकरण के दोनों भागों को विभाजित करते हैं, मूल समीकरण के मूल हैं।
चलिए पहले रास्ते पर चलते हैं। हमें समीकरण मिलता है:
अब हम एक परिवर्तनीय प्रतिस्थापन पेश करते हैं:
व्यंजक को सरल कीजिए और t के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त कीजिए:
जवाब:या
7
. 
इस समीकरण में निम्नलिखित संरचना है:
इसे हल करने के लिए, आपको समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करना होगा।
एक पूर्ण वर्ग का चयन करने के लिए, आपको दोहरे उत्पाद को जोड़ना या घटाना होगा। तब हमें योग या अंतर का वर्ग मिलता है। यह एक सफल परिवर्तनीय प्रतिस्थापन के लिए महत्वपूर्ण है।
आइए दोहरे उत्पाद को ढूंढकर शुरू करें। यह चर को बदलने की कुंजी होगी। हमारे समीकरण में, दोहरा उत्पाद है
अब आइए जानें कि हमारे लिए क्या अधिक सुविधाजनक है - योग या अंतर का वर्ग। शुरुआत के लिए, भावों के योग पर विचार करें:
बढ़िया! यह व्यंजक गुणनफल के दुगुने के ठीक बराबर है। फिर, कोष्ठक में योग का वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको दोहरे उत्पाद को जोड़ना और घटाना होगा:
हम आपको भिन्न के साथ समीकरणों को हल करने के तरीके पर एक पाठ में आमंत्रित करते हैं। सबसे अधिक संभावना है, आप पहले से ही ऐसे समीकरणों का सामना कर चुके हैं, इसलिए इस पाठ में हमें उस जानकारी को दोहराना और सारांशित करना होगा जो आप जानते हैं।
साइट पर अधिक पाठ
भिन्नात्मक-परिमेय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें परिमेय भिन्न होते हैं, अर्थात हर में एक चर। सबसे अधिक संभावना है, आप पहले से ही ऐसे समीकरणों से निपट चुके हैं, इसलिए इस पाठ में हम उस जानकारी को दोहराएंगे और संक्षेप में बताएंगे जो आप जानते हैं।
सबसे पहले, मैं इस विषय के पिछले पाठ - "द्विघात समीकरणों को हल करना" पाठ को संदर्भित करने का प्रस्ताव करता हूं। उस पाठ में भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के उदाहरण पर विचार किया गया था। इसका लिहाज़ करो
इस समीकरण का समाधान कई चरणों में किया जाता है:
- परिमेय भिन्नों वाले समीकरण का रूपांतरण।
- संपूर्ण समीकरण में संक्रमण और उसका सरलीकरण;
- द्विघात समीकरण का हल।
किसी भी भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण को हल करते समय पहले 2 चरणों से गुजरना आवश्यक है। तीसरा चरण वैकल्पिक है, क्योंकि सरलीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त समीकरण वर्गाकार नहीं, बल्कि रैखिक हो सकता है; एक रैखिक समीकरण को हल करना बहुत आसान है। भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने में एक और महत्वपूर्ण चरण है। यह अगले समीकरण को हल करते समय दिखाई देगा।
पहले क्या किया जाना चाहिए? - बेशक, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ। और इसका ठीक-ठीक पता लगाना बहुत जरूरी है कम से कमसामान्य हर, अन्यथा, आगे, हल करने की प्रक्रिया में, समीकरण जटिल हो जाएगा। यहाँ हम ध्यान दें कि अंतिम भिन्न के हर को गुणनखंडित किया जा सकता है परऔर वाई+2. यह ठीक यही उत्पाद है जो इस समीकरण में आम भाजक होगा। अब आपको प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है। बल्कि, अंतिम भिन्न के लिए ऐसे गुणनखंड की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसका हर सामान्य अंश के बराबर होता है। अब, जब सभी भिन्नों के हर समान हों, तो आप कुछ अंशों से बने पूरे समीकरण पर जा सकते हैं। लेकिन एक बात जरूर कहनी चाहिए कि अज्ञात का पाया गया मान किसी भी हर को गायब नहीं कर सकता. यह ओडीजेड है: वाई≠0, वाई≠2. यह समाधान के पहले वर्णित चरणों में से पहला पूरा करता है और दूसरे के लिए आगे बढ़ता है - हम परिणामी पूरे समीकरण को सरल बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम कोष्ठक खोलते हैं, सभी पदों को समीकरण के एक भाग में स्थानांतरित करते हैं और समान देते हैं। इसे स्वयं करें और जांचें कि क्या मेरी गणना सही है, जिसमें समीकरण प्राप्त होता है 3y 2 - 12y = 0.यह समीकरण द्विघात है, इसे मानक रूप में लिखा जाता है, और इसका एक गुणांक शून्य के बराबर होता है।
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हमने उपरोक्त समीकरण को 7 में प्रस्तुत किया है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि एक परिमेय व्यंजक क्या है। यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और चर x से बना एक बीजीय व्यंजक है।
यदि r(x) एक परिमेय व्यंजक है, तो समीकरण r(x) = 0 एक परिमेय समीकरण कहलाता है।
हालाँकि, व्यवहार में "तर्कसंगत समीकरण" शब्द की कुछ व्यापक व्याख्या का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है: यह h(x) = q(x) के रूप का एक समीकरण है, जहाँ h(x) और q(x) हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।
अब तक, हम किसी भी तर्कसंगत समीकरण को हल नहीं कर सके, लेकिन केवल एक ही, जो विभिन्न परिवर्तनों और तर्कों के परिणामस्वरूप कम हो गया था रेखीय समीकरण. अब हमारी संभावनाएं बहुत अधिक हैं: हम एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे, जो न केवल रैखिक को कम करता है
mu, लेकिन द्विघात समीकरण के लिए भी।
याद कीजिए कि कैसे हमने पहले परिमेय समीकरणों को हल किया था और एक समाधान एल्गोरिथम तैयार करने का प्रयास किया था।
उदाहरण 1प्रश्न हल करें
फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं
इस मामले में, हमेशा की तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि समानताएं ए \u003d बी और ए - बी \u003d 0 ए और बी के बीच समान संबंध व्यक्त करती हैं। इसने हमें समीकरण के बाईं ओर शब्द को स्थानांतरित करने की अनुमति दी विपरीत संकेत।
आइए समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है
समानता की शर्तों को याद करें अंशोंशून्य: यदि, और केवल तभी, जब दो संबंध एक साथ संतुष्ट हों:
1) भिन्न का अंश शून्य है (a = 0); 2) भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है)।
समीकरण (1) के बाईं ओर भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं
यह ऊपर उल्लिखित दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करने के लिए बनी हुई है। अनुपात का अर्थ समीकरण (1) के लिए है। मान x 1 = 2 और x 2 = 0.6 संकेतित संबंधों को संतुष्ट करते हैं और इसलिए समीकरण (1) की जड़ों के रूप में कार्य करते हैं, और साथ ही दिए गए समीकरण की जड़ें भी।
1) आइए समीकरण को रूप में बदलें
2) आइए इस समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करें:
(साथ ही अंश में चिह्नों को बदल दिया और
अंश)।
इस प्रकार, दिया गया समीकरण रूप लेता है
3) समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 को हल कीजिए
4) पाए गए मानों के लिए, स्थिति की जाँच करें 
. संख्या 4 इस शर्त को पूरा करती है, लेकिन संख्या 2 नहीं। अतः 4 दिए गए समीकरण का मूल है, और 2 एक बाह्य मूल है।
उत्तर - 4।
2. एक नए चर का परिचय देकर परिमेय समीकरणों का समाधान
एक नया चर पेश करने की विधि आप से परिचित है, हमने इसे एक से अधिक बार उपयोग किया है। आइए उदाहरणों के द्वारा दिखाएं कि इसका उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को हल करने में कैसे किया जाता है।
उदाहरण 3समीकरण x 4 + x 2 - 20 = 0 को हल करें।
फेसला। हम एक नया चर y \u003d x 2 पेश करते हैं। चूँकि x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, तो दिए गए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है
वाई 2 + वाई - 20 = 0।
यह एक द्विघात समीकरण है, जिसके मूल हम ज्ञात . का उपयोग करके ज्ञात करेंगे सूत्रों; हमें y 1 = 4, y 2 = - 5 प्राप्त होता है।
लेकिन y \u003d x 2, जिसका अर्थ है कि समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई है:
x2=4; एक्स 2 \u003d -5।
पहले समीकरण से हम पाते हैं कि दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
जवाब: ।
कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी \u003d 0 फॉर्म के समीकरण को द्विघात समीकरण ("द्वि" - दो, यानी, जैसा कि "दो बार वर्ग" समीकरण) कहा जाता है। अभी हल किया गया समीकरण बिल्कुल द्विघाती था। किसी भी द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे उदाहरण 3 से समीकरण: एक नया चर y \u003d x 2 पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण को चर y के संबंध में हल किया जाता है, और फिर चर x पर वापस आ जाता है।
उदाहरण 4प्रश्न हल करें
फेसला। ध्यान दें कि समान व्यंजक x 2 + 3x यहाँ दो बार आता है। इसलिए, एक नया चर y = x 2 + Zx पेश करना समझ में आता है। यह हमें एक सरल और अधिक सुखद रूप में समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देगा (जो वास्तव में, एक नए को पेश करने का उद्देश्य है चर- और रिकॉर्डिंग आसान है
, और समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है):
और अब हम एक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
1) आइए समीकरण के सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ:
= 0
2) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें
इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को रूप में बदल दिया है
3) समीकरण से - 7y 2 + 29y -4 = 0 हम पाते हैं (हमने पहले से ही बहुत सारे द्विघात समीकरणों को हल कर लिया है, इसलिए शायद यह हमेशा पाठ्यपुस्तक में विस्तृत गणना देने के लायक नहीं है)।
4) आइए 5 (y - 3) (y + 1) की स्थिति का उपयोग करके पाए गए जड़ों की जाँच करें। दोनों जड़ें इस शर्त को पूरा करती हैं।
तो, नए चर y के लिए द्विघात समीकरण हल हो गया है: 
चूंकि y \u003d x 2 + Zx, और y, जैसा कि हमने स्थापित किया है, दो मान लेता है: 4 और, - हमें अभी भी दो समीकरणों को हल करना है: x 2 + Zx \u003d 4; एक्स 2 + जेडएक्स \u003d। पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और -4 हैं, दूसरे समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं
विचार किए गए उदाहरणों में, एक नए चर को पेश करने की विधि थी, जैसा कि गणितज्ञ कहना चाहते हैं, स्थिति के लिए पर्याप्त है, अर्थात यह इसके साथ अच्छी तरह से मेल खाता है। क्यों? हाँ, क्योंकि एक ही व्यंजक कई बार समीकरण रिकॉर्ड में स्पष्ट रूप से सामने आया था और इस व्यंजक को एक नए अक्षर से निर्दिष्ट करना उचित था। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी एक नया चर केवल परिवर्तनों की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"। ठीक यही अगले उदाहरण में होगा।
उदाहरण 5प्रश्न हल करें
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
फेसला। हमारे पास है
एक्स (एक्स - 3) \u003d एक्स 2 - 3x;
(एक्स - 1) (एक्स - 2) \u003d एक्स 2 -3x + 2।
अतः दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
अब एक नया चर "प्रकट" हुआ है: y = x 2 - Zx।
इसकी मदद से, समीकरण को y (y + 2) \u003d 24 और फिर y 2 + 2y - 24 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण की जड़ें संख्या 4 और -6 हैं।
मूल चर x पर लौटने पर, हम दो समीकरण x 2 - Zx \u003d 4 और x 2 - Zx \u003d - 6. प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण से हम x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1 पाते हैं; दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।
उत्तर : 4,-1.
सबसे पहले, त्रुटियों के बिना तर्कसंगत अंशों के साथ काम करना सीखने के लिए, आपको संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को सीखना होगा। और केवल सीखने के लिए नहीं - उन्हें तब भी पहचाना जाना चाहिए जब साइन, लॉगरिदम और जड़ें शर्तों के रूप में कार्य करती हैं।
हालांकि, मुख्य उपकरण एक परिमेय भिन्न के अंश और हर का गुणनखंडन है। यह तीन अलग-अलग तरीकों से हासिल किया जा सकता है:
- वास्तव में, संक्षिप्त गुणन सूत्र के अनुसार: वे आपको एक बहुपद को एक या अधिक कारकों में संक्षिप्त करने की अनुमति देते हैं;
- विवेचक के माध्यम से एक वर्ग ट्रिनोमियल को कारकों में विभाजित करके। वही विधि यह सत्यापित करना संभव बनाती है कि किसी भी त्रिपद को बिल्कुल भी गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है;
- समूहीकरण विधि सबसे जटिल उपकरण है, लेकिन यह एकमात्र ऐसा है जो काम करता है यदि पिछले दो काम नहीं करते हैं।
जैसा कि आपने शायद इस वीडियो के शीर्षक से अनुमान लगाया है, हम फिर से परिमेय भिन्नों के बारे में बात करने जा रहे हैं। सचमुच कुछ मिनट पहले, मैंने दसवीं कक्षा के साथ एक पाठ समाप्त किया, और वहां हमने इन अभिव्यक्तियों का सटीक विश्लेषण किया। इसलिए, यह पाठ विशेष रूप से हाई स्कूल के छात्रों के लिए अभिप्रेत होगा।
निश्चित रूप से अब कई लोगों के मन में यह सवाल होगा: "कक्षा 10-11 के छात्र तर्कसंगत भिन्न जैसी सरल चीजें क्यों सीखते हैं, क्योंकि यह कक्षा 8 में किया जाता है?"। लेकिन यही परेशानी है, कि ज्यादातर लोग इस विषय पर सिर्फ "जाते" हैं। ग्रेड 10-11 में, उन्हें अब याद नहीं रहता कि ग्रेड 8 से गुणा, भाग, घटाव और परिमेय भिन्नों का जोड़ कैसे किया जाता है, और यह इस सरल ज्ञान पर है कि आगे, अधिक जटिल संरचनाओं का निर्माण किया जाता है, जैसे कि लॉगरिदमिक, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना और कई अन्य जटिल अभिव्यक्तियाँ, इसलिए हाई स्कूल में तर्कसंगत अंशों के बिना व्यावहारिक रूप से कुछ भी नहीं करना है।
समस्याओं को हल करने के सूत्र
चलो पहले कारोबार करें। सबसे पहले, हमें दो तथ्यों की आवश्यकता है - सूत्रों के दो सेट। सबसे पहले, आपको संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को जानना होगा:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ वर्गों का अंतर है;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ योग या अंतर का वर्ग है ;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ घनों का योग है;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ घनों का अंतर है।
वे अपने शुद्ध रूप में किसी उदाहरण में और वास्तविक गम्भीर भावों में नहीं मिलते। इसलिए, हमारा काम अक्षर $a$ और $b$ के तहत बहुत अधिक जटिल निर्माण देखना सीखना है, उदाहरण के लिए, लॉगरिदम, जड़ें, साइन इत्यादि। इसे निरंतर अभ्यास से ही सीखा जा सकता है। इसलिए परिमेय भिन्नों को हल करना नितांत आवश्यक है।
दूसरा, काफी स्पष्ट सूत्र एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड है:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ जड़ें हैं।
हमने सैद्धांतिक भाग पर विचार किया है। लेकिन वास्तविक परिमेय भिन्नों को कैसे हल करें, जिन्हें ग्रेड 8 में माना जाता है? अब हम अभ्यास करने जा रहे हैं।
कार्य 1
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
आइए उपरोक्त सूत्रों को परिमेय भिन्नों को हल करने के लिए लागू करने का प्रयास करें। सबसे पहले, मैं यह बताना चाहता हूं कि गुणनखंडन की आवश्यकता क्यों है। तथ्य यह है कि कार्य के पहले भाग में पहली नज़र में, मैं वर्ग के साथ घन को कम करना चाहता हूं, लेकिन यह बिल्कुल असंभव है, क्योंकि वे अंश और हर में शब्द हैं, लेकिन किसी भी मामले में कारक नहीं हैं। .
संक्षेप में वास्तव में क्या है? ऐसे भावों के साथ काम करने के लिए मूल नियम का उपयोग कमी है। एक भिन्न का मुख्य गुण यह है कि हम अंश और हर को "शून्य" के अलावा एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं। इस मामले में, जब हम कम करते हैं, तो, इसके विपरीत, हम "शून्य" के अलावा उसी संख्या से विभाजित करते हैं। हालाँकि, हमें हर के सभी पदों को समान संख्या से विभाजित करना चाहिए। आप ऐसा नहीं कर सकते। और हमें हर के साथ अंश को कम करने का अधिकार तभी है जब उन दोनों को गुणनखंडित किया जाए। हो जाए।
अब आपको यह देखने की जरूरत है कि किसी विशेष तत्व में कितने शब्द हैं, इसके अनुसार पता करें कि आपको किस सूत्र का उपयोग करना है।
आइए प्रत्येक अभिव्यक्ति को एक सटीक घन में बदलें:
आइए अंश को फिर से लिखें:
\[((\बाएं(3ए \दाएं))^(3))-((\बाएं(4बी \दाएं))^(3))=\बाएं(3ए-4बी \दाएं)\बाएं((\बाएं) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]
आइए भाजक को देखें। हम इसे वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार विस्तारित करते हैं:
\[((बी)^(2))-4=((बी)^(2))-((2)^(2))=\बाएं(बी-2 \दाएं)\बाएं(बी+2 \ सही)\]
अब आइए अभिव्यक्ति के दूसरे भाग को देखें:
अंश:
यह भाजक से निपटने के लिए बनी हुई है:
\[((बी)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]
आइए उपरोक्त तथ्यों को ध्यान में रखते हुए पूरे निर्माण को फिर से लिखें:
\[\frac(\बाएं(3ए-4बी \दाएं)\बाएं(((\बाएं(3ए \दाएं))^(2))+3a\cdot 4b+((\बाएं(4बी \दाएं))^(2 )) \ दाएँ)) (\ बाएँ (b-2 \ दाएँ) \ बाएँ (b + 2 \ दाएँ)) \ cdot \ frac ((\ बाएँ (b + 2 \ दाएँ)) ^ (2))) ( ((\बाएं(3ए \दाएं))^(2))+3a\cdot 4b+((\बाएं(4b \दाएं))^(2)))=\]
\[=\frac(\बाएं(3ए-4बी \दाएं)\बाएं(बी+2 \दाएं))(\बाएं(बी-2 \दाएं))\]
परिमेय भिन्नों को गुणा करने की बारीकियां
इन निर्माणों से मुख्य निष्कर्ष निम्नलिखित है:
- प्रत्येक बहुपद को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।
- यदि यह विघटित भी हो, तो भी यह ध्यान से देखना आवश्यक है कि संक्षिप्त गुणन के लिए कौन सा विशेष सूत्र है।
ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हमें यह अनुमान लगाने की आवश्यकता है कि कितने शब्द हैं (यदि दो हैं, तो हम केवल इतना कर सकते हैं कि या तो वर्गों के अंतर के योग से, या क्यूब्स के योग या अंतर से उनका विस्तार करें; और यदि उनमें से तीन हैं, तो यह , विशिष्ट रूप से, योग का वर्ग या अंतर का वर्ग)। अक्सर ऐसा होता है कि या तो अंश या हर को गुणनखंडन की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं होती है, यह रैखिक हो सकता है, या इसका विभेदक ऋणात्मक होगा।
कार्य #2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
सामान्य तौर पर, इस समस्या को हल करने की योजना पिछले एक से अलग नहीं है - बस अधिक क्रियाएं होंगी, और वे अधिक विविध हो जाएंगी।
आइए पहले अंश से शुरू करें: इसके अंश को देखें और संभव परिवर्तन करें:
अब आइए भाजक को देखें:
दूसरे भिन्न के साथ: अंश में कुछ भी नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह एक रैखिक अभिव्यक्ति है, और इसमें से किसी भी कारक को निकालना असंभव है। आइए भाजक को देखें:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]
हम तीसरे अंश पर जाते हैं। अंश:
आइए अंतिम भिन्न के हर से निपटें:
आइए उपरोक्त तथ्यों को ध्यान में रखते हुए अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:
\[\frac(3\बाएं(1-2x \दाएं))(2\बाएं(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \बाएं(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \दाएं))(\बाएं(2x-1 \दाएं)\बाएं(2x+1 \दाएं))=\]
\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\बाएं) (एक्स-2 \दाएं))\]
समाधान की बारीकियां
जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ नहीं और हमेशा संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों पर टिकी हुई नहीं है - कभी-कभी यह एक स्थिर या एक चर को ब्रैकेट करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, विपरीत स्थिति भी होती है, जब इतने सारे पद होते हैं या उनका निर्माण इस तरह से किया जाता है कि उनके लिए संक्षिप्त गुणन का सूत्र आम तौर पर असंभव होता है। इस मामले में, एक सार्वभौमिक उपकरण हमारी सहायता के लिए आता है, अर्थात् समूहीकरण विधि। इसे अब हम अगली समस्या में लागू करेंगे।
कार्य #3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
आइए पहले भाग पर एक नजर डालते हैं:
\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]
\[=5\बाएं(ए-बी \दाएं)-\बाएं(ए-बी \दाएं)\बाएं(ए+बी \दाएं)=\बाएं(ए-बी ) )\दाएं)=\]
\[=\बाएं(ए-बी \दाएं)\बाएं(5-ए-बी \दाएं)\]
आइए मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (बी)^(2))+25-10a)(((ए)^(2))-((बी)^(2)))\]
अब आइए दूसरे ब्रैकेट से निपटें:
\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]
\[=((\बाएं(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \सही)\]
चूँकि दो तत्वों को समूहित नहीं किया जा सकता था, इसलिए हमने तीन का समूह बनाया। यह केवल अंतिम भिन्न के हर से निपटने के लिए बनी हुई है:
\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]
अब हम अपनी पूरी संरचना को फिर से लिखते हैं:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \बाएं(ए-5+बी \दाएं))(\बाएं(ए-बी \दाएं)\बाएं(ए+बी \दाएं))=\frac(ए\बाएं(बी-ए+5 \दाएं))((( \बाएं(ए-बी \दाएं))^(2)))\]
समस्या हल हो गई है, और यहां और कुछ भी सरल नहीं किया जा सकता है।
समाधान की बारीकियां
हमने समूहन का पता लगाया और एक और बहुत शक्तिशाली उपकरण प्राप्त किया जो गुणनखंड की संभावनाओं का विस्तार करता है। लेकिन समस्या यह है कि वास्तविक जीवन में कोई भी हमें ऐसे परिष्कृत उदाहरण नहीं देगा, जहां ऐसे कई अंश हैं जिन्हें केवल अंश और हर का गुणन करने की आवश्यकता है, और फिर, यदि संभव हो तो उन्हें कम करें। वास्तविक अभिव्यक्तियाँ बहुत अधिक जटिल होंगी।
सबसे अधिक संभावना है, गुणा और भाग के अलावा, घटाव और जोड़ होंगे, सभी प्रकार के कोष्ठक - सामान्य तौर पर, आपको क्रियाओं के क्रम को ध्यान में रखना होगा। लेकिन सबसे बुरी बात यह है कि अलग-अलग हर के साथ अंशों को घटाना और जोड़ना, उन्हें घटाकर एक सामान्य करना होगा। ऐसा करने के लिए, उनमें से प्रत्येक को कारकों में विघटित करने की आवश्यकता होगी, और फिर ये अंश रूपांतरित हो जाएंगे: समान और बहुत कुछ दें। इसे सही तरीके से कैसे करें, जल्दी से, और साथ ही स्पष्ट रूप से सही उत्तर कैसे प्राप्त करें? निम्नलिखित निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके अब हम इसके बारे में बात करेंगे।
टास्क #4
\[\बाएं(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \right)\]
आइए पहले भिन्न को लिखें और इसे अलग से हल करने का प्रयास करें:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]
चलिए दूसरे पर चलते हैं। आइए हर के विवेचक की गणना करें:
यह गुणनखंड नहीं करता है, इसलिए हम निम्नलिखित लिखते हैं:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\बाएं(x+3 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]
हम अंश को अलग से लिखते हैं:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
इसलिए, इस बहुपद को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।
हम जो अधिकतम कर सकते थे और विघटित कर सकते थे, हम पहले ही कर चुके हैं।
कुल मिलाकर, हम अपने मूल निर्माण को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:
\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
सब कुछ, कार्य हल हो गया है।
सच कहूं, तो यह इतना मुश्किल काम नहीं था: वहां सब कुछ आसानी से तय किया गया था, समान शर्तें जल्दी से दी गई थीं, और सब कुछ खूबसूरती से कम हो गया था। तो चलिए अब समस्या को और गंभीरता से हल करने का प्रयास करते हैं।
टास्क नंबर 5
\[\बाएं(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
सबसे पहले, आइए पहले कोष्ठक से निपटें। शुरू से ही, हम दूसरे भिन्न के हर को अलग से निकालते हैं:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \दाएं)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ लेफ्ट (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac (((\ बाएँ (x-2 \ दाएँ)) ^ (2))) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ दाएँ ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
अब दूसरे भिन्न के साथ काम करते हैं:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\बाएं(x-2 \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ बाएँ (x-2 \ दाएँ)) (\ बाएँ (x-2 \ दाएँ) \ बाएँ (x + 2 \ दाएँ)) = \]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
हम अपने मूल डिजाइन पर लौटते हैं और लिखते हैं:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \दाएं)\बाएं(x+2 \दाएं))=\frac(1)(x+2)\]
प्रमुख बिंदु
एक बार फिर, आज के वीडियो ट्यूटोरियल के मुख्य तथ्य:
- आपको संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को दिल से जानने की जरूरत है - और न केवल जानने के लिए, बल्कि उन भावों में देखने में सक्षम हों जिनका सामना आप वास्तविक समस्याओं में करेंगे। एक अद्भुत नियम इसमें हमारी मदद कर सकता है: यदि दो पद हैं, तो यह या तो वर्गों का अंतर है, या अंतर या घनों का योग है; यदि तीन है, तो यह केवल योग या अंतर का वर्ग हो सकता है।
- यदि किसी निर्माण को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके विघटित नहीं किया जा सकता है, तो या तो त्रिपदों को कारकों में विभाजित करने के लिए मानक सूत्र या समूहन विधि हमारी सहायता के लिए आती है।
- अगर कुछ काम नहीं करता है, तो मूल अभिव्यक्ति को ध्यान से देखें - और क्या इसके साथ किसी भी परिवर्तन की आवश्यकता है। शायद यह गुणक को कोष्ठक से बाहर निकालने के लिए पर्याप्त होगा, और यह बहुत बार केवल एक स्थिरांक होता है।
- जटिल अभिव्यक्तियों में जहां आपको एक पंक्ति में कई क्रियाएं करने की आवश्यकता होती है, एक सामान्य हर को लाना न भूलें, और उसके बाद ही, जब सभी अंशों को कम कर दिया जाए, तो इसे नए अंश में लाना सुनिश्चित करें, और फिर नए अंश को फिर से गुणन करें - यह संभव है कि - कम हो जाएगा।
आज मैं आपको परिमेय भिन्नों के बारे में बस इतना ही बताना चाहता हूं। यदि कुछ स्पष्ट नहीं है, तो साइट पर अभी भी बहुत सारे वीडियो ट्यूटोरियल हैं, साथ ही एक स्वतंत्र समाधान के लिए बहुत सारे कार्य भी हैं। तो हमारे साथ रहो!
