n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों की एक प्रणालीप्रपत्र की एक प्रणाली कहलाती है

कहाँ ऐजऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अज्ञात। गुणांकों के पदनाम में ऐजपहला सूचकांक मैंसमीकरण संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जे- अज्ञात की संख्या जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

हम अज्ञात के लिए गुणांकों को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखेंगे , जिसे हम कहेंगे सिस्टम का मैट्रिक्स.

समीकरण के दाईं ओर संख्याएँ हैं बी 1 ,…,बी एमकहा जाता है मुफ़्त सदस्य.

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फ़ैसलाइस प्रणाली का, यदि प्रणाली का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंगत अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान ढूंढना होगा. इस स्थिति में, तीन स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की वह प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान हो, कहलाती है संयुक्त. अन्यथा, यानी यदि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है गैर संयुक्त.

आइए सिस्टम का समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञातों के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त पदों के मैट्रिक्स कॉलम

चलिए काम ढूंढते हैं

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हमें इस प्रणाली के समीकरणों के बाएँ पक्ष प्राप्त होते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करके, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स=बी.

यहाँ मैट्रिक्स हैं एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअज्ञात। इसे ढूंढना जरूरी है, क्योंकि... इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स निर्धारक शून्य से भिन्न है | ए| ≠ 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण को निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स से गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का उलटा ए: . क्योंकि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हमें फॉर्म में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त होता है एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से मेल खाती है. हालाँकि, सिस्टम की मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं होगा और इसलिए फॉर्म में सिस्टम का समाधान ढूंढना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें.

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञातों के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक, यानी। अज्ञात के लिए गुणांकों से बना,

बुलाया प्रणाली के निर्धारक.

आइए निम्नानुसार तीन और निर्धारक बनाएं: निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलें।

तब हम निम्नलिखित परिणाम सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो विचाराधीन सिस्टम का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, आइए तीन अज्ञात वाले 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को बीजगणितीय पूरक से गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - चालू ए 21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

आइए इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाएँ पक्ष को देखें। प्रथम स्तंभ के तत्वों में सारणिक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और।

अंततः, इसे नोटिस करना आसान है

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

इस तरह, ।

समानताएँ और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जिससे प्रमेय का कथन अनुसरण करता है।

इस प्रकार, हम ध्यान दें कि यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान है और इसके विपरीत। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो सिस्टम में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है, यानी। असंगत.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले चर्चा की गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गॉस विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात को लगातार हटाना शामिल है।

तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देंगे, और दूसरे और तीसरे से हम युक्त पदों को बाहर कर देंगे एक्स 1. ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को इससे विभाजित करें ए 21 और गुणा करें - ए 11, और फिर इसे पहले समीकरण में जोड़ें। इसी प्रकार, हम तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11, और फिर इसे पहले वाले के साथ जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली यह रूप ले लेगी:

अब अंतिम समीकरण से हम युक्त पद को हटा देते हैं एक्स 2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करें, गुणा करें और दूसरे के साथ जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

यहां से, पिछले समीकरण से इसे ढूंढना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से एक्स 2और अंत में, 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों की अदला-बदली की जा सकती है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे खुद को सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक ही सीमित रखते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

को प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करना;
2. किसी स्ट्रिंग को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियाँ जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

एक अज्ञात के साथ एक समीकरण, जो कोष्ठक खोलने और समान पदों को लाने के बाद, रूप लेता है

कुल्हाड़ी + बी = 0, जहाँ a और b मनमानी संख्याएँ हैं, कहलाती हैं रेखीय समीकरण एक अज्ञात के साथ. आज हम यह पता लगाएंगे कि इन रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

उदाहरण के लिए, सभी समीकरण:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - रैखिक।

अज्ञात का वह मान जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है, कहलाता है फ़ैसला या समीकरण की जड़ .

उदाहरण के लिए, यदि समीकरण 3x + 7 = 13 में अज्ञात x के स्थान पर हम संख्या 2 रखते हैं, तो हमें सही समानता 3 2 +7 = 13 प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि मान x = 2 समाधान या मूल है समीकरण का.

और मान x = 3 समीकरण 3x + 7 = 13 को वास्तविक समानता में नहीं बदलता है, क्योंकि 3 2 +7 ≠ 13. इसका मतलब यह है कि मान x = 3 कोई समाधान या समीकरण का मूल नहीं है।

किसी भी रैखिक समीकरण को हल करने से प्रपत्र के समीकरणों को हल करना कम हो जाता है

कुल्हाड़ी + बी = 0.

आइए समीकरण के बाईं ओर से मुक्त पद को दाईं ओर ले जाएं, b के सामने के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, हमें मिलता है

यदि a ≠ 0, तो x = ‒ b/a .

उदाहरण 1। समीकरण 3x + 2 =11 को हल करें.

आइए 2 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएं, 2 के सामने के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, हमें मिलता है
3x = 11 – 2.

तो चलिए घटाव करते हैं
3x = 9.

x ज्ञात करने के लिए, आपको गुणनफल को किसी ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा, अर्थात
एक्स = 9:3.

इसका अर्थ यह है कि मान x = 3 समीकरण का हल या मूल है।

उत्तर: एक्स = 3.

यदि a = 0 और b = 0, तो हमें समीकरण 0x = 0 मिलता है। इस समीकरण के अनंत रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि जब हम किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं तो हमें 0 मिलता है, लेकिन b भी 0 के बराबर होता है। इस समीकरण का समाधान कोई भी संख्या है।

उदाहरण 2.समीकरण 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 को हल करें।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:
0x = 0.

उत्तर: x - कोई भी संख्या.

यदि a = 0 और b ≠ 0, तो हमें समीकरण 0x = - b प्राप्त होता है। इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि जब हम किसी संख्या को 0 से गुणा करते हैं तो हमें 0 मिलता है, लेकिन b ≠ 0 मिलता है।

उदाहरण 3.समीकरण x + 8 = x + 5 को हल करें।

आइए बायीं तरफ अज्ञात वाले शब्दों को और दायीं तरफ मुक्त शब्दों को समूहित करें:
एक्स - एक्स = 5 - 8.

यहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:
0х = ‒3.

उत्तर: कोई समाधान नहीं.

पर आकृति 1 रैखिक समीकरण को हल करने की योजना दिखाई गई है

आइए हम एक चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य योजना बनाएं। उदाहरण 4 के समाधान पर विचार करें.

उदाहरण 4. आइए समीकरण हल करें

1) समीकरण के सभी पदों को 12 के बराबर हर के लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें।

2) कटौती के बाद हमें मिलता है
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) अज्ञात और मुक्त पदों वाले शब्दों को अलग करने के लिए, कोष्ठक खोलें:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86।

4) आइए हम एक भाग में अज्ञात वाले पदों को समूहित करें, और दूसरे भाग में मुक्त पदों को समूहित करें:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12।

5) आइए हम समान शब्द प्रस्तुत करें:
- 22x = - 154.

6) – 22 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है
एक्स = 7.

जैसा कि आप देख सकते हैं, समीकरण का मूल सात है।

आम तौर पर ऐसा समीकरणों को निम्नानुसार हल किया जा सकता है:

ए) समीकरण को पूर्णांक रूप में लाएँ;

बी) कोष्ठक खोलें;

ग) समीकरण के एक भाग में अज्ञात और दूसरे भाग में मुक्त पदों वाले पदों को समूहित करें;

घ) समान सदस्य लाएँ;

ई) aх = b के रूप का एक समीकरण हल करें, जो समान पदों को लाने के बाद प्राप्त किया गया था।

हालाँकि, यह योजना हर समीकरण के लिए आवश्यक नहीं है। कई सरल समीकरणों को हल करते समय, आपको पहले से नहीं, बल्कि दूसरे से शुरुआत करनी होगी ( उदाहरण। 2), तीसरा ( उदाहरण। 13) और यहां तक ​​कि पांचवें चरण से भी, जैसा कि उदाहरण 5 में है।

उदाहरण 5.समीकरण 2x = 1/4 को हल करें।

हम अज्ञात x = 1/4: 2 पाते हैं,
एक्स = 1/8 .

आइए मुख्य राज्य परीक्षा में पाए गए कुछ रैखिक समीकरणों को हल करने पर नज़र डालें।

उदाहरण 6.समीकरण 2 (x + 3) = 5 - 6x को हल करें।

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

उत्तर:- 0.125

उदाहरण 7.समीकरण हल करें - 6 (5 - 3x) = 8x - 7।

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

उत्तर: 2.3

उदाहरण 8. प्रश्न हल करें

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

उदाहरण 9यदि f (x + 2) = 3 7 है तो f(6) ज्ञात कीजिए

समाधान

चूँकि हमें f(6) खोजने की आवश्यकता है, और हम f (x + 2) जानते हैं,
तो x + 2 = 6.

हम रैखिक समीकरण x + 2 = 6 को हल करते हैं,
हमें x = 6 – 2, x = 4 मिलता है।

यदि x = 4 है तो
एफ(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

उत्तर: 27.

यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं या आप समीकरणों को हल करने को अधिक अच्छी तरह से समझना चाहते हैं, तो अनुसूची में मेरे पाठों के लिए साइन अप करें। मुझे आपकी मदद करने में खुशी होगी!

ट्यूटरऑनलाइन हमारी ट्यूटर ओल्गा अलेक्जेंड्रोवना का एक नया वीडियो पाठ देखने की भी सिफारिश करता है, जो आपको रैखिक समीकरणों और अन्य दोनों को समझने में मदद करेगा।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

हम सिस्टम के लिए मुख्य निर्धारक की रचना करते हैं

और इसकी गणना करें.

फिर हम अतिरिक्त निर्धारकों की रचना करते हैं

और उनकी गणना करें.

क्रैमर के नियम के अनुसार, सिस्टम का समाधान सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है

;
;
,अगर

1)

आइए गणना करें:

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:

उत्तर: (1; 2; 3)

2)

आइए गणना करें:

चूंकि मुख्य निर्धारक
, और कम से कम एक अतिरिक्त शून्य के बराबर नहीं है (हमारे मामले में)।
), तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

3)

आइए गणना करें:

चूँकि सभी निर्धारक शून्य के बराबर हैं, सिस्टम में समाधानों का एक अनंत सेट है, जिसे इस प्रकार पाया जा सकता है

सिस्टम को स्वयं हल करें:

ए)
बी)

उत्तर: ए) (1; 2; 5) बी) ;;

विषय पर व्यावहारिक पाठ संख्या 3:

दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद और उसका अनुप्रयोग

1. यदि दिया गया हो
और
, तो हम सूत्र का उपयोग करके अदिश उत्पाद पाते हैं:

∙

2.यदि, तो इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

1. दो सदिश दिए गए हैं
और

हम उनका अदिश गुणनफल इस प्रकार पाते हैं:

.

2. दो सदिश दिए गए हैं:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

अदिश गुणनफल इस प्रकार पाया जाता है:

3.
,

3.1 पथ के सीधे खंड पर एक स्थिर बल का कार्य ज्ञात करना

1) 15 एन के बल के प्रभाव में, शरीर 2 मीटर सीधी रेखा में चला गया। बल और गति की दिशा के बीच का कोण =60 0. किसी पिंड को हिलाने के लिए किसी बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।

दिया गया:

समाधान:

2) दिया गया:

समाधान:

3) एक पिंड 60 N के बल के प्रभाव में बिंदु M(1; 2; 3) से बिंदु N(5; 4; 6) तक चला गया। बल की दिशा और विस्थापन वेक्टर के बीच का कोण =45 0. इस बल द्वारा किये गये कार्य की गणना कीजिये।

समाधान: विस्थापन वेक्टर खोजें

विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल ढूँढना:

सूत्र के अनुसार
एक नौकरी की तलाश:

3.2 दो वैक्टरों की ऑर्थोगोनलिटी का निर्धारण

यदि दो सदिश ओर्थोगोनल हैं
, वह है

क्योंकि

1)

- ऑर्थोगोनल नहीं

2)

-ऑर्थोगोनल

3) निर्धारित करें कि वेक्टर किसके लिए हैं
और
परस्पर ओर्थोगोनल।

क्योंकि
, वह
, मतलब

अपने लिए तय करें:

ए)

. उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

ख) गणना करें कि बल कितना कार्य करता है
, यदि इसके अनुप्रयोग का बिंदु, सीधी रेखा में चलते हुए, बिंदु M (5; -6; 1) से बिंदु N (1; -2; 3) तक चला गया है

ग) निर्धारित करें कि क्या सदिश ऑर्थोगोनल हैं
और

उत्तर: ए) 1 बी) 16 सी) हाँ

3.3. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना

1)

. खोजो .

हम देखतें है

सूत्र में प्लग करें:

.

1). त्रिभुज A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष A पर कोण ज्ञात कीजिए।

सूत्र में स्थानापन्न:

अपने लिए तय करें:

त्रिभुज A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष A पर आंतरिक कोण निर्धारित करें।

उत्तर: 90 ओ

विषय पर व्यावहारिक पाठ संख्या 4:

दो वेक्टरों का वेक्टर उत्पाद और उसका अनुप्रयोग।

दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करने का सूत्र:

	की तरह लगता है

1) वेक्टर उत्पाद मॉड्यूल खोजें:

आइए एक सारणिक बनाएं और उसकी गणना करें (सारस के नियम या पहली पंक्ति के तत्वों में सारणिक के विस्तार पर प्रमेय का उपयोग करके)।

पहली विधि: सारस के नियम के अनुसार

विधि 2: सारणिक को पहली पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करें।

2) वेक्टर उत्पाद का मापांक ज्ञात करें:

4.1. दो सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना।

1) सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें

2). सदिश उत्पाद और उसका मापांक ज्ञात कीजिए

4.2. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

उदाहरण: त्रिभुज A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) के शीर्ष दिए गए हैं। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें.

सबसे पहले, आइए एक ही शीर्ष से निकलने वाले दो सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

आइए उनका वेक्टर उत्पाद खोजें

4.3. दो वेक्टरों की संरेखता का निर्धारण

यदि वेक्टर
और
तो, संरेख हैं

, अर्थात सदिशों के निर्देशांक आनुपातिक होने चाहिए।

ए) दिए गए वेक्टर::
,
.

वे संरेख हैं क्योंकि
और

प्रत्येक भिन्न को घटाने पर हमें अनुपात प्राप्त होता है

बी) दिए गए वैक्टर:

.

वे संरेख नहीं हैं क्योंकि
या

अपने लिए तय करें:

ए) वेक्टर के एम और एन किन मूल्यों पर
संरेख?

उत्तर:
;

बी) वेक्टर उत्पाद और उसके मापांक का पता लगाएं
,
.

उत्तर:
,
.

विषय पर व्यावहारिक पाठ संख्या 5:

समतल पर सीधी रेखा

समस्या संख्या 1. रेखा के समानांतर बिंदु A(-2; 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए

1. रेखा का ढलान ज्ञात कीजिए
.

एक कोणीय गुणांक और एक प्रारंभिक कोटि के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण है (
). इसीलिए
.

2. चूँकि रेखाएँ MN और AC समानांतर हैं, उनके कोणीय गुणांक बराबर हैं, अर्थात।
.

3. सीधी रेखा AC का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम एक दिए गए ढलान वाले बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं:

. इसके बजाय इस सूत्र में और इसके स्थान पर बिंदु A(-2; 3) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें आइए प्रतिस्थापन करें - 3. प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

उत्तर:

कार्य क्रमांक 2. रेखा के समानांतर बिंदु K(1; –2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1. आइए रेखा का ढलान ज्ञात करें।

यह एक रेखा का सामान्य समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में सूत्र द्वारा दिया जाता है। समीकरणों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि A = 2, B = -3। समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा पाया जाता है
. इस सूत्र में A = 2 और B = -3 प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा MN का ढलान प्राप्त करते हैं। इसलिए,
.

2. चूँकि रेखाएँ MN और KS समानांतर हैं, उनके कोणीय गुणांक बराबर हैं:
.

3. सीधी रेखा KS का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम किसी दिए गए ढलान वाले बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं
. इसके बजाय इस सूत्र में और आइए इसके स्थान पर बिंदु K(-2; 3) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें

कार्य संख्या 3. सीधी रेखा के लंबवत बिंदु K (-1; -3) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1. एक सीधी रेखा का एक सामान्य समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में सूत्र द्वारा दिया जाता है।

और हम पाते हैं कि A = 3, B = 4.

समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा पाया जाता है:
. इस सूत्र में A = 3 और B = 4 को प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा MN का ढलान प्राप्त करते हैं:
.

2. चूँकि रेखाएँ MN और KD लंबवत हैं, उनके कोणीय गुणांक व्युत्क्रमानुपाती और चिह्न में विपरीत हैं:

.

3. सीधी रेखा केडी का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम किसी दिए गए कोणीय गुणांक वाले बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं

. इसके बजाय इस सूत्र में और हम इसके स्थान पर बिंदु K(-1; -3) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं आइए स्थानापन्न करें प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है:

अपने लिए तय करें:

1. सीधी रेखा के समानांतर बिंदु K (-4; 1) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

उत्तर:
.

2. सीधी रेखा के समानांतर बिंदु K (5; -2) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

3. रेखा के लंबवत बिंदु K(-2, -6) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

4. रेखा के लंबवत बिंदु K(7; –2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

उत्तर:
.

5. बिंदु K (-6; 7) से सीधी रेखा पर डाले गए लंब का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

2.3.1. परिभाषा.

मान लीजिए रैखिक समीकरण दिए गए हैं:

ए 1 एक्स + बी 1 य + सी 1 जेड = डी 1 , (2.3.1)

ए 2 एक्स + बी 2 य + सी 2 जेड = डी 2 , (2.3.2)

ए 3 एक्स + बी 3 य + सी 3 जेड = डी 3 . (2.3.3)

यदि समीकरणों (2.3.1) ¾ (2.3.3) का सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है, तो वे कहते हैं कि वे बनाते हैं प्रणाली . समीकरण (2.3.1) ¾ (2.3.3) से युक्त प्रणाली को इस प्रकार दर्शाया गया है:

सिस्टम को बनाने वाले समीकरणों का सामान्य समाधान कहलाता है सिस्टम समाधान . सिस्टम को हल करें (2.3.4) ¾ इसका अर्थ है या तो इसके सभी समाधानों का समुच्चय खोजना, या यह साबित करना कि कोई नहीं है।

पिछले मामलों की तरह, नीचे हम ऐसी स्थितियाँ पाएंगे जिनके तहत सिस्टम (2.3.4) में एक अद्वितीय समाधान है, एक से अधिक समाधान हैं, और कोई समाधान नहीं है।

2.3.2. परिभाषा. मान लीजिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली (2.3.4) दी गई है। मैट्रिसेस

तदनुसार बुलाया जाता है ( बुनियादी )आव्यूह और विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम.

2.3.3. प्रपत्र (2.3.4) की समतुल्य प्रणालियों की परिभाषाएँ, साथ ही 1 और 2 प्रकार के प्राथमिक परिवर्तन, उसी तरह पेश किए जाते हैं जैसे दो और तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणालियों के लिए।

प्राथमिक परिवर्तनतीसरे प्रकार की प्रणाली (2.3.4) को इस प्रणाली के कुछ दो समीकरणों का आदान-प्रदान कहा जाता है। 2 समीकरणों की प्रणालियों के पिछले मामलों के समान सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों के तहत, एक सिस्टम प्राप्त किया जाता है,इसके बराबर.

2.3.4. व्यायाम. समीकरणों की प्रणालियों को हल करें:

समाधान। ए)

(1) हमने सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण (प्रकार 3 परिवर्तन) की अदला-बदली की।

(2) पहले समीकरण को 4 से गुणा करने पर दूसरे से घटा दिया गया था, और पहले समीकरण को 6 से गुणा करने पर तीसरे से घटा दिया गया था (प्रकार 2 परिवर्तन); इस प्रकार, अज्ञात को दूसरे और तीसरे समीकरण से बाहर रखा गया एक्स .

(3) दूसरे समीकरण को 14 से गुणा करके तीसरे से घटा दिया गया; अज्ञात को तीसरे से बाहर रखा गया य .

(4) अंतिम समीकरण से हम पाते हैं जेड = 1, जिसे दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं य = 0. अंत में, प्रतिस्थापित करना य = 0 और जेड = 1 पहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स = -2.ñ

(1) हमने सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरणों की अदला-बदली की।

(2) पहले समीकरण का गुणा 4 दूसरे से घटाया जाता है, और पहले समीकरण का गुणा 6 तीसरे में से घटाया जाता है।

(3) दूसरा और तीसरा समीकरण मेल खाता है। हम उनमें से एक को सिस्टम से बाहर कर देते हैं (या, दूसरे शब्दों में, यदि हम तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटा देते हैं, तो तीसरा समीकरण पहचान 0 = 0 में बदल जाता है; इसे सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। हम मानते हैं जेड = ए .

(4) स्थानापन्न जेड = ए दूसरे और पहले समीकरण में.

(5) स्थानापन्न करना य = 12 - 12ए पहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स .

ग) यदि पहले समीकरण को 4 से विभाजित किया जाता है, और तीसरे को 6 से विभाजित किया जाता है, तो हम एक समतुल्य प्रणाली पर पहुंचते हैं

जो समीकरण के समतुल्य है एक्स - 2य - जेड = -3. इस समीकरण के समाधान ज्ञात हैं (उदाहरण 2.2.3 बी देखें))

परिणामी प्रणाली में अंतिम समानता विरोधाभासी है। इसलिए, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

परिवर्तन (1) और (2) ¾ बिल्कुल सिस्टम बी के संबंधित परिवर्तनों के समान हैं))

(3) अंतिम समीकरण से दूसरा घटाएँ।

उत्तर: ए) (-2; 0; 1);

बी) (21 - 23 ए ; 12 - 12ए ; ए ), ए Î आर;

ग) ((-3 + 2 ए + बी ; ए ; बी )|ए , बी Î आर};

घ) सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

2.3.5. पिछले उदाहरणों से यह निष्कर्ष निकलता है तीन अज्ञात के साथ प्रणाली, दो अज्ञातों वाली एक प्रणाली की तरह, केवल एक ही समाधान हो सकता है, समाधानों की अनंत संख्या और एक भी समाधान नहीं. नीचे हम सभी संभावित मामलों का विश्लेषण करेंगे। लेकिन पहले हम कुछ संकेतन का परिचय देते हैं।

मान लीजिए D सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक को दर्शाता है:

मान लीजिए कि D 1 पहले कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलकर D से प्राप्त निर्धारक को दर्शाता है:

इसी तरह, आइए डालते हैं

डी 2 = और डी 3 =।

2.3.6. प्रमेय. अगरडी¹0, फिर सिस्टम(2.3.4)एक अनोखा समाधान है

, , . (2.3.5)

सूत्र (2.3.5) कहलाते हैं सूत्र = = 0 सभी के लिए मैं ¹ जे और निर्धारकों में से कम से कम एक , , शून्य के बराबर नहीं, तब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

4) अगर = = = = = = 0 सभी के लिए मैं ¹ जे , तब सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, दो मापदंडों पर निर्भर करता है.

कार्य 1

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को दो तरीकों से हल करें: क्रैमर के सूत्रों और गॉस की विधि का उपयोग करके

1) क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजीय समीकरणों Ax = B की अमानवीय प्रणाली को हल करें

सिस्टम D का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। आइए सहायक निर्धारक डी 1, डी 2, डी 3 खोजें, यदि वे शून्य के बराबर नहीं हैं, तो कोई समाधान नहीं हैं, यदि वे बराबर हैं, तो अनंत संख्या में समाधान हैं

3 अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली, जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, हमेशा सुसंगत होता है और इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

उत्तर: हमें समाधान मिल गया:

2) गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों Ax = B की अमानवीय प्रणाली को हल करें

आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं

आइए पहली पंक्ति को एक मार्गदर्शक के रूप में लें, और तत्व a 11 = 1 को एक मार्गदर्शक के रूप में लें। गाइड लाइन का उपयोग करके हमें पहले कॉलम में शून्य मिलते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के सेट से मेल खाता है

उत्तर: हमें समाधान मिल गया:

समस्या 2

त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं

खोजो:

1) भुजा AB की लंबाई;

4) माध्यिका AE का समीकरण;

निर्देशांक प्रणाली में दिए गए त्रिभुज और सभी रेखाओं की रचना करें।

ए(1; -1), बी(4; 3). सी(5; 1).

1)बिंदु A( के बीच की दूरी एक्स 1; 1 पर) और बी( एक्स 2; दो पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जिसका उपयोग करके हम भुजा AB की लंबाई ज्ञात करते हैं;

2) भुजाओं AB और BC के समीकरण और उनके कोणीय गुणांक;

समतल A के दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एक्स 1; 1 पर) और बी( एक्स 2; दो पर) का स्वरूप है

बिंदु A और B के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा AB का समीकरण प्राप्त होता है:

हम परिणामी समीकरण को कोण गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण के रूप में परिवर्तित करके सीधी रेखा AB का कोण गुणांक k AB ज्ञात करते हैं। य =केएक्स - बी.

, अर्थात्, कहाँ से

इसी प्रकार, हम सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त करते हैं और इसका कोणीय गुणांक ज्ञात करते हैं।

बिंदु B और C के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा BC के लिए समीकरण प्राप्त होता है:

हम परिणामी समीकरण को कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण के रूप में परिवर्तित करके सीधी BC के BC का कोण गुणांक k ज्ञात करते हैं। य =केएक्स - बी.

, वह है

3) 0.01 की सटीकता के साथ रेडियन में शीर्ष बी पर आंतरिक कोण

हमारे त्रिभुज का आंतरिक कोण ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ध्यान दें कि इस अंश के अंश में कोणीय गुणांक के बीच अंतर की गणना करने की प्रक्रिया सीधी रेखाओं एबी और बीसी की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है।

k BC और k AB के पहले परिकलित मानों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

अब, एक इंजीनियरिंग माइक्रोकैलकुलेटर के साथ तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हमें बी »1.11 रेड मिलता है।

4) माध्यिका AE का समीकरण;

माध्यिका AE का समीकरण संकलित करने के लिए, हम पहले बिंदु E के निर्देशांक ज्ञात करते हैं, जो खंड BC के मध्य में स्थित है।

बिंदु A और E के निर्देशांकों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें माध्यिका समीकरण प्राप्त होता है:

5) ऊंचाई सीडी का समीकरण और लंबाई;

ऊंचाई सीडी के लिए समीकरण संकलित करने के लिए, हम किसी दिए गए बिंदु एम से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं एक्स 0 ; य 0)एक दिए गए ढलान के साथ क, जिसका स्वरूप है

और सीधी रेखाओं एबी और सीडी की लंबवतता की स्थिति, जो संबंध के एबी के सीडी = -1 द्वारा व्यक्त की जाती है, जहां से के सीडी = -1/के एबी = - 3/4

(4) में k के स्थान पर मान k C D = -3/4 रखने पर, और इसके स्थान पर एक्स 0 , य 0 बिंदु C के संगत निर्देशांकों से, हमें ऊँचाई CD के लिए समीकरण प्राप्त होता है

ऊँचाई CD की लंबाई की गणना करने के लिए, हम किसी दिए गए बिंदु M( से दूरी d ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एक्स 0 ; य 0) समीकरण Ax+ By + C = 0 के साथ दी गई सीधी रेखा पर, जिसका रूप है:

इसके स्थान पर (5) प्रतिस्थापित करना एक्स 0 ; य 0बिंदु C के निर्देशांक, और A, B, C के बजाय सीधी रेखा AB के समीकरण के गुणांक, हमें मिलता है

6) भुजा AB के समानांतर बिंदु E से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और ऊंचाई CD के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु M का समीकरण;

चूँकि वांछित सीधी रेखा EF सीधी रेखा AB के समानांतर है, तो k EF = k AB = 4/3. इसके स्थान पर समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करना एक्स 0 ; य 0बिंदु E के निर्देशांक, और k मान k EF के बजाय हम सीधी रेखा EF का समीकरण प्राप्त करते हैं।"

बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं EF और CD के समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करते हैं।

इस प्रकार, एम(5.48, 0.64)।

7) शीर्ष B से गुजरने वाले बिंदु E पर केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण

चूंकि वृत्त का केंद्र बिंदु E(4.5; 2) पर है और यह शीर्ष B(4; 3) से होकर गुजरता है, तो इसकी त्रिज्या

बिंदु M 0 पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का विहित समीकरण ( एक्स 0 ; य 0) का स्वरूप है

चित्र 1 में त्रिभुज ABC, ऊँचाई CD, माध्यिका AE, सीधी रेखा EF, बिंदु M और x0y निर्देशांक प्रणाली में निर्मित एक वृत्त।

कार्य 3

एक रेखा का समीकरण बनाएं, जिसके प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु A (2; 5) से उसकी दूरी सीधी रेखा y = 1 की दूरी के बराबर हो। समन्वय प्रणाली में परिणामी वक्र को आलेखित करें

समाधान

मुझे ( एक्स, य) - वांछित वक्र का वर्तमान बिंदु। आइए हम बिंदु M से सीधी रेखा y = 1 पर लंबवत MB को गिराएं (चित्र 2)। फिर बी(x; 1). चूँकि एमए = एमबी, तो