चूंकि अनुप्रयोगों में कई यादृच्छिक चर कई कमजोर निर्भर यादृच्छिक कारकों के प्रभाव में बनते हैं, इसलिए उनका वितरण सामान्य माना जाता है। इस मामले में, इस शर्त को देखा जाना चाहिए कि कोई भी कारक प्रमुख नहीं है। इन मामलों में केंद्रीय सीमा प्रमेय सामान्य वितरण के आवेदन को सही ठहराते हैं।

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  एक परिमित गणितीय अपेक्षा और विचरण के साथ स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक अनंत अनुक्रम होने दें। अंतिम को निरूपित करें µ (\displaystyle \mu )और 2 (\displaystyle \सिग्मा ^(2)), क्रमश। चलो भी

  . S n - μ n σ n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n)))\to N(0,1) )वितरण द्वारा,

  कहाँ पे एन (0 , 1) (\displaystyle एन(0,1))- शून्य गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य वितरण और एक के बराबर मानक विचलन। नमूने को निरूपित करना पहले का माध्य n (\displaystyle n)मात्रा, अर्थात् X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i=1)^( n)X_(i)), हम केंद्रीय सीमा प्रमेय के परिणाम को निम्नलिखित रूप में फिर से लिख सकते हैं:

  n X ¯ n - μ → N (0 , 1) (\displaystyle (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\to एन(0,1))वितरण द्वारा n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  बेरी-एसेन असमानता का उपयोग करके अभिसरण की दर का अनुमान लगाया जा सकता है।

  टिप्पणियों

  • अनौपचारिक रूप से बोलते हुए, शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि योग n (\displaystyle n)स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण करीब है N (n μ , n 2) (\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^(2))). समान रूप से, X¯n (\displaystyle (\bar(X))_(n))के पास वितरण है एन (μ , σ 2 / n) (\displaystyle N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
  • चूंकि मानक सामान्य वितरण का वितरण कार्य निरंतर है, इस वितरण के लिए अभिसरण मानक सामान्य वितरण के वितरण कार्य के वितरण कार्यों के बिंदुवार अभिसरण के बराबर है। लाना Z n = S n - μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))), हम पाते हैं F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\displaystyle F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), कहाँ पे (x) (\displaystyle \Phi (x))मानक सामान्य वितरण का वितरण कार्य है।
  • केंद्रीय सीमा प्रमेय का शास्त्रीय सूत्रीकरण विशेषता कार्यों (लेवी की निरंतरता प्रमेय) की विधि से सिद्ध होता है।
  • सामान्यतया, वितरण कार्यों के अभिसरण से घनत्व का अभिसरण नहीं होता है। फिर भी, इस शास्त्रीय मामले में, यह मामला है।

  स्थानीय सी.पी.टी.

  शास्त्रीय सूत्रीकरण की मान्यताओं के तहत, इसके अलावा मान लीजिए कि यादृच्छिक चर का वितरण ( X i ) i = 1 (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty ))पूर्णतया निरंतर, अर्थात् इसका घनत्व होता है। तब वितरण भी पूर्णतः निरंतर होता है, और इसके अतिरिक्त,

  f Z n (x) → 1 2 π e - x 2 2 (\displaystyle f_(Z_(n))(x)\to (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2))))पर n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),

  कहाँ पे f Z n (x) (\displaystyle f_(Z_(n))(x))- यादृच्छिक चर का घनत्व Z n (\displaystyle Z_(n)), और दाईं ओर मानक सामान्य वितरण का घनत्व है।

  सामान्यीकरण

  शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय का परिणाम पूर्ण स्वतंत्रता और समान वितरण की तुलना में बहुत अधिक सामान्य स्थितियों के लिए मान्य है।

  सी. पी. टी. लिंडेबर्ग

  चलो स्वतंत्र यादृच्छिक चर एक्स 1 ,… , एक्स n , … (\displaystyle X_(1),\ldots ,X_(n),\ldots )समान संभाव्यता स्थान पर परिभाषित हैं और सीमित गणितीय अपेक्षाएं और भिन्नताएं हैं: ई [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 (\displaystyle \mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).

  रहने दो एस n = ∑ i = 1 n X i (\displaystyle S_(n)=\sum \limits _(i=1)^(n)X_(i)).

  फिर ई [ एस एन ] = एम एन = ∑ मैं = 1 एन μ आई , डी [ एस एन ] = एस एन 2 = ∑ मैं = 1 एन σ मैं 2 (\displaystyle \mathbb (ई) =m_(n)=\sum \ सीमाएं _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (डी) =s_(n)^(2)=\sum \limits _(i=1)^(n)\ सिग्मा _(i)^(2)).

  और चलने दो लिंडबर्ग की स्थिति:

  > 0 , lim n → ∞ i = 1 n E [ (X i - μ i) 2 s n 2 1 ( | X i - μ i | > s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _(n\to \infty )\sum \limits _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[(\frac ((X_(i)-\ mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (एन)\))\दाएं] = 0,)

  कहाँ पे 1 ( | X i − μ i | > s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\)))समारोह - सूचक।

  वितरण द्वारा n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  टी. पी. टी. ल्यपुनोवा

  Ts. P. T. Lindeberg की मूल धारणाओं को पूरा होने दें। यादृच्छिक चर दें (X i) (\displaystyle \(X_(i)\))एक सीमित तीसरा क्षण है। फिर क्रम

  आर एन 3 = ∑ मैं = 1 एन ई [ | एक्स मैं - μ मैं | 3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\सही]).

  अगर सीमा

  लिम एन → ∞ आर एन एस एन = 0 (\displaystyle \lim \limits _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) (ल्यपुनोव की स्थिति), S n - m n s n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n))\to N(0,1))वितरण द्वारा n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  मार्टिंगेल्स के लिए सी.पी.टी

  प्रक्रिया होने दें (X n) n N (\displaystyle (X_(n))_(n\in \mathbb (N) ))बाध्य वेतन वृद्धि के साथ एक मार्टिंगेल है। विशेष रूप से, मान लें कि

  ई [ एक्स एन + 1 - एक्स एन ∣ एक्स 1 , … , एक्स एन ] = 0 , n एन , एक्स 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (ई) \left=0,\;n\in \mathbb (एन) ,\;X_(0)\equiv 0,)

  और वेतन वृद्धि समान रूप से सीमित हैं, अर्थात्

  ∃ सी > 0 एन ∈ एन | एक्स एन + 1 - एक्स एन | ≤ सी (\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb (N) \;|X_(n+1)-X_(n)|\leq C) n = मिनट ( k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n ) (\displaystyle \tau _(n)=\min \left\(k\left\vert \;\sum _(i=1)^ (के)\सिग्मा _(i)^(2)\geq n\right.\right\)). X τ n n → N (0 , 1) (\displaystyle (\frac (X_(\tau _(n)))(\sqrt (n)))\to N(0,1))वितरण द्वारा n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

  वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान पढ़ाने के लिए पायथन: मॉडलिंग कतार प्रणाली

  • अनुवाद
  • ट्यूटोरियल

  टिप्पणी

  इस लेख में, हम शिक्षा में मॉडलिंग के आधार पर वैज्ञानिक सूचना विज्ञान में आरंभ करने के लिए एक पद्धति प्रस्तुत करते हैं। हम अध्ययन के तहत वस्तुओं के आधार के रूप में बहु-चरण कतार प्रणाली प्रदान करते हैं। हम मॉडल को लागू करने के लिए पायथन और समानांतर कंप्यूटिंग का उपयोग करते हैं, प्रोग्राम कोड और स्टोकेस्टिक सिमुलेशन परिणाम प्रदान करते हैं।

  1. परिचय और पृष्ठभूमि

  हमारे अध्ययन में, हम वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करने के लिए कंप्यूटर के उपयोग के रूप में "वैज्ञानिक सूचना विज्ञान" शब्द का अर्थ समझते हैं। हम उन्हें सरल संख्यात्मक गणनाओं से अलग करते हैं। शिक्षण में वैज्ञानिक सूचना विज्ञान का उपयोग हमेशा छात्र और शिक्षक दोनों के लिए एक चुनौती होता है। इस तरह की सीखने की प्रक्रिया कई तकनीकी और अंतःविषय मुद्दों से संबंधित है, और इसके लिए कंप्यूटर विज्ञान के साथ गणितीय ज्ञान के सिंक्रनाइज़ेशन की भी आवश्यकता होती है। इन चुनौतियों को दूर करने के लिए, हम शिक्षण सिद्धांतों और एक कार्यप्रणाली का एक सेट प्रस्तावित करते हैं जो सीखने के लिए एक रचनात्मक दृष्टिकोण पर आधारित है और शिक्षक के लिए एक उपयुक्त संरचनात्मक आधार प्रदान करता है। यह सब छात्रों को कंप्यूटर मॉडल के साथ कम्प्यूटेशनल प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित करने में सक्षम बनाता है। यह दृष्टिकोण गणित और प्रोग्रामिंग के ज्ञान से जुड़ा है, जो बदले में, मुख्य पाठ्यक्रम के पाठ्यक्रम में पढ़ाया जाता है और इससे निकटता से संबंधित है। हम कम्प्यूटेशनल सांख्यिकी के खंड को वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान के एक परिचयात्मक खंड के रूप में और इस अध्ययन के आवेदन के संभावित क्षेत्र के रूप में मानेंगे। इस पद्धति की पृष्ठभूमि नीचे प्रस्तुत की गई है।

  1.1. वैज्ञानिक सूचना विज्ञान

  कार्नियाडैक्स और किर्बी II ने "कंप्यूटर सूचना विज्ञान को अनुकरण अनुसंधान के 'हृदय' के रूप में परिभाषित किया।" लेखक "संख्यात्मक एल्गोरिदम, आधुनिक प्रोग्रामिंग विधियों और समानांतर कंप्यूटिंग के लिए एक समग्र दृष्टिकोण प्रदान करते हैं ... अक्सर ऐसी अवधारणाओं और समान उपकरणों का समय-समय पर विभिन्न संबंधित पाठ्यक्रमों और पाठ्यपुस्तकों में अध्ययन किया जाता है, और उनके बीच संबंध तुरंत स्पष्ट हो जाता है। अवधारणाओं और उपकरणों को एकीकृत करने की आवश्यकता आमतौर पर पाठ्यक्रम के पूरा होने के बाद स्पष्ट हो जाती है, उदाहरण के लिए पहले स्नातकोत्तर कार्य के दौरान या एक शोध थीसिस लिखते समय, जिससे छात्र को तीन स्वतंत्र क्षेत्रों की समझ को एक में प्राप्त करने के लिए मजबूर होना पड़ता है। आवश्यक समाधान। हालांकि यह प्रक्रिया निस्संदेह बहुत मूल्यवान है, इसमें समय लगता है और, कई मामलों में, अवधारणाओं और उपकरणों के प्रभावी संयोजन का परिणाम नहीं हो सकता है। शैक्षणिक दृष्टिकोण से, वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान विषयों की समझ को बढ़ाने के लिए, एक समग्र, एकीकृत दृष्टिकोण छात्र को एक साथ कई विषयों के लिए प्रेरित कर सकता है। चित्र 1 वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान की परिभाषा को संख्यात्मक गणित, कंप्यूटर विज्ञान और मॉडलिंग के प्रतिच्छेदन के रूप में प्रस्तुत करता है।
  

  

  
  चावल। एक।वैज्ञानिक सूचना विज्ञान।

  1.2. सीखने में रचनावाद

  केन और केन ने अपने मौलिक शोध में सीखने में रचनावाद के बुनियादी सिद्धांतों का प्रस्ताव रखा। हमारे लिए सबसे महत्वपूर्ण में से एक निम्नलिखित है: "मस्तिष्क एक ही समय में भागों और पूरे को संसाधित करता है।"

  इस प्रकार, एक सुव्यवस्थित सीखने की प्रक्रिया अंतर्निहित विवरण और विचारों को प्रदर्शित करती है। सिमुलेशन-आधारित दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, एक बार सिमुलेशन मॉडल बन जाने के बाद, अध्ययन के उद्देश्य स्पष्ट हो जाते हैं। यह हमें परिणामों का निरीक्षण करने और उचित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है।

  1.3. सिमुलेशन-आधारित शिक्षा: मॉडल क्यों?

  गिबन्स ने 2001 में एक सिमुलेशन-आधारित प्रशिक्षण कार्यक्रम शुरू किया। निम्नलिखित मूलभूत सिद्धांतों पर प्रकाश डालते हुए:
  • मॉडल के साथ बातचीत करके शिक्षार्थी अनुभव प्राप्त करता है;
  • छात्र एक मॉडल के साथ प्रयोग करके वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं को हल करता है;
  • समस्याओं पर विचार और निरूपण;
  • विशिष्ट शिक्षण लक्ष्यों की परिभाषा;
  • निर्णय के सन्दर्भ में सभी आवश्यक जानकारी प्रस्तुत करना।
  मिलार्ड एट अल "इंटरैक्टिव सिमुलेशन" का उपयोग करके सुविधाजनक सीखने का एक मॉडल प्रस्तावित करें। लेखक "सिस्टम डायनेमिक्स" पर आधारित "आशाजनक कार्यप्रणाली" पर आधारित आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकियां प्रस्तुत करते हैं। "व्यावहारिक अनुभव में इंटरैक्टिव ... मॉडल बनाना और परिकल्पनाओं और प्रयोगों का परीक्षण करने के लिए उनका उपयोग करना शामिल है।"

  लेहरर और शाउबल मॉडल के विभिन्न अभ्यावेदन के साथ प्रयोग पर ध्यान केंद्रित करते हैं: "छात्र सीखने को बढ़ाया जाता है जब छात्र को मॉडल के कई संस्करणों को बनाने और संशोधित करने का अवसर मिलता है, और फिर इन विभिन्न मॉडलों के विवरण की पर्याप्तता की तुलना करें।"

  1.4. शिक्षा के केंद्र में वैज्ञानिक सूचना विज्ञान: मॉडल के साथ प्रयोग

  ज़ू का प्रस्ताव है "मॉडलिंग और सिमुलेशन के माध्यम से 'वैज्ञानिक सूचना विज्ञान' में शिक्षण सुधार।" वह सलाह देते हैं "... प्रोग्रामिंग, मॉडलिंग और डेटा विश्लेषण की वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए मॉडलिंग और सिमुलेशन का उपयोग करने के लिए ..."। मॉडलिंग आधारित शिक्षा का उपयोग गणित की शिक्षा में किया जाता है। कई मॉडल जियोजेब्रा सॉफ्टवेयर का उपयोग करके बनाए गए हैं। विज्ञान शिक्षा में मॉडल एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

  1.5. कतार प्रणाली का स्टोकेस्टिक मॉडलिंग

  हम उनकी प्रारंभिक परिभाषाओं की सरलता और मॉडलिंग और सिमुलेशन की व्यापक संभावनाओं के कारण कतार प्रणालियों के उपयोग का सुझाव देते हैं। क्यूइंग सिद्धांत सर्वविदित है और क्यूइंग सिस्टम (क्यूएस) के मॉडलिंग का व्यापक रूप से विज्ञान और शिक्षा में उपयोग किया जाता है। समानांतर कंप्यूटिंग के उपयोग के रूप में, बहु-चरण कतार प्रणाली छात्र प्रयोग के लिए एक अच्छा मंच है। अध्ययन और शोध के लिए कई दिलचस्प सैद्धांतिक परिणाम भी हैं।

  1.6. वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान पर आधारित शिक्षा में पायथन

  पायथन वैज्ञानिकों और शिक्षकों के लिए सबसे लोकप्रिय प्रोग्रामिंग भाषाओं में से एक है। पायथन का व्यापक रूप से औद्योगिक वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में उपयोग किया जाता है। लैंगटैंगन ओस्लो विश्वविद्यालय में विज्ञान कम्प्यूटिंग सिखाने के लिए प्राथमिक भाषा के रूप में पायथन का उपयोग करने के दीर्घकालिक अनुभव पर रिपोर्ट करता है। प्रोग्रामिंग सीखने के साथ-साथ कम्प्यूटेशनल विधियों के उन्नत अध्ययन के लिए पायथन को पहली भाषा के रूप में बढ़ावा दिया जा रहा है।

  2. मूल बातें

  मॉडलिंग शुरू करने से पहले, आइए उन प्रमुख दृष्टिकोणों को परिभाषित करें जिनका उपयोग हम इस प्रक्रिया में करेंगे। इस अध्याय में, हम यादृच्छिक संख्या और संभाव्यता वितरण, स्टोकेस्टिक मॉडलिंग की पीढ़ी पर स्पर्श करेंगे। प्राथमिक संभाव्यता सिद्धांत पर विचार करें। इन प्रयोगों का मुख्य कार्य केंद्रीय सीमा प्रमेय का प्रायोगिक प्रमाण होगा। इन मॉडलों के साथ मॉडल और प्रयोग छद्म और अर्ध-यादृच्छिक संख्या जनरेटर के सिद्धांत को स्पष्ट करते हैं, साथ ही घातीय वितरण को समझते हैं। यह QS मॉडल के साथ अधिक विस्तृत प्रयोगों के लिए एक आधार प्रदान कर सकता है।

  2.1. यादृच्छिक चर और वितरण

  संभाव्यता सिद्धांत के सभी तत्वों को पारंपरिक रूप से समझना मुश्किल माना जाता है और हमेशा अंतरराष्ट्रीय शैक्षणिक संस्थानों के हित के क्षेत्र में होते हैं। साथ ही ये प्रश्न वैज्ञानिक अनुसंधान में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। मॉडलिंग दृष्टिकोण इस सामग्री को समझने में आसान बनाता है। इस लेख में हम जिस मॉडल को देखेंगे वह एक या एक से अधिक पासे को घुमाने का एक सरल मॉडल है, जो एक से शुरू होता है और कई पर समाप्त होता है।

  इन परिचयात्मक प्रयोगों का कार्य बल्कि जटिल है। हम न केवल संभाव्यता वितरण को देखेंगे, बल्कि मॉडलिंग और समानांतर कंप्यूटिंग पर भी ध्यान देंगे। हम वैज्ञानिक अनुसंधान में भी एक कदम आगे बढ़ेंगे: हम केंद्रीय सीमा प्रमेय को प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध करेंगे।

  हम यादृच्छिक संख्या (वितरण को प्रभावित किए बिना) उत्पन्न करके शुरू करेंगे। फिर हम समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर की व्याख्या करते हैं। लेखकों द्वारा सच्ची यादृच्छिकता और अर्ध यादृच्छिकता के बारे में चर्चा प्रस्तुत की जाती है। उन्नत शिक्षार्थियों के लिए, पायथन छद्म यादृच्छिक जनरेटर के साथ प्रयोगों की एक श्रृंखला प्रस्तुत की जाएगी। प्रारंभिक चरण में, अध्ययन की स्पष्टता के लिए, हम सिमुलेशन परिणाम देखकर परीक्षणों की संख्या में वृद्धि करेंगे। अगले चरण में, हम अधिक जटिल प्रयोगों और समानांतर कंप्यूटिंग की ओर बढ़ेंगे। हम मॉडलिंग के लिए पायथन रैंडम वैरिएबल मॉड्यूल और समानांतर कंप्यूटिंग के लिए mpi4py लाइब्रेरी का उपयोग करेंगे। पायथन रैंडम मॉड्यूल विभिन्न वितरणों के लिए छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर पर आधारित है। उदाहरण के लिए: random.randint (ए, बी)एक यादृच्छिक पूर्णांक N देता है जहाँ a N ≤ b और random.expovariate (lambd)पैरामीटर 'lambd' के साथ घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर लौटाता है। अधिक जानकारी के लिए पायथन दस्तावेज़ देखें। पासा फेंकने वाले मॉडल की प्रोग्रामिंग चित्र 2 में दिखाई गई है।

  इम्पोर्ट पाइलैब इम्पोर्ट रैंडम नंबर_ऑफ_ट्रियल्स = 100 ## यहां हम सिंगल सिक्स-साइड डाई लिस्ट_ऑफ_वैल्यूज़ के बार-बार फेंकने का अनुकरण करते हैं = आई इन रेंज (नंबर_ऑफ_ट्रियल्स) के लिए: लिस्ट_ऑफ_वैल्यूज। एपेंड (रैंडम.रैंडिंट (1,6)) प्रिंट "ट्रायल" =" , number_of_trials, "times।" प्रिंट "मीन =", pylab.mean(list_of_values) प्रिंट "मानक विचलन =", pylab.std(list_of_values) pylab.hist(list_of_values, bins=) pylab.xlabel("Value") pylab.ylabel("समय की संख्या) ") पाइलैब.शो ()
  चावल। 2.पायथन में सिंगल डाइस रोल मॉडल की प्रोग्रामिंग

  एक पासे को उछालने के अनुकरण के परिणाम चित्र 3 में दिखाए गए हैं।

  

  
  चावल। 3.सिंगल पासा सिमुलेशन परिणाम

  

  
  चावल। 4.संभाव्यता घनत्व कार्यों की तुलना

  दो पासों के रोल को इस तरह से अनुकरण करने के लिए कोड को संशोधित करके सीखने की प्रक्रिया जारी है जैसे कि कई पासा के मामले पर विचार करना शुरू करना। नीचे दिए गए कोड की दो पंक्तियों को छोड़कर, कोड सिंगल डाई कोड के समान है:

  List_of_values.append(random.randint(1, 6) + random.randint(1, 6)) ... pylab.hist(list_of_values, pylab.arange(1.5, 13.5, 1.0)) ...
  दो घनों के मामले में गणना का परिणाम चित्र 5 में दिखाया गया है।

  

  
  चावल। 5.दो घनों का मामला

  अब हम सामान्य वितरण पर विचार कर सकते हैं। इस स्तर पर कार्य, यह दिखाना है कि पिछले मामले में कई घनों के साथ सामान्य वितरण के साथ कैसे संबंध है। अगली समस्या हमें माध्य और मानक विचलन से परिचित कराएगी। नीचे दिए गए निर्देशों को छोड़कर, कोड एक ही मरने के मामले में वही रहता है:

  List_of_values.append(random.normalvariate(7, 2.4)) ...
  सामान्य वितरण के लिए सिमुलेशन परिणाम चित्र 6 में दिखाए गए हैं।

  

  
  चावल। 6.सामान्य वितरण के लिए सिमुलेशन परिणाम

  अंतिम चरण घातीय वितरण प्रदर्शित करना है। विभिन्न प्रकार की प्रणालियों में आवश्यकताओं के आगमन के क्षणों के बीच अंतराल के वितरण (अवधि) को मॉडल करने के लिए घातीय वितरण का उपयोग किया जाता है। उनके मॉडलिंग के परिणाम चित्र 7 और 8 में प्रस्तुत किए गए हैं।

  आयात पाइलैब आयात यादृच्छिक संख्या_of_trials = 1000 संख्या_of_customer_per_hour = 10 ## यहां हम ग्राहकों के अंतराल समय का अनुकरण करते हैं list_of_values ​​= i के लिए रेंज में (परीक्षणों की संख्या): list_of_values.append(random.expovariate(number_of_customer_per_hour)) माध्य = पाइलैब। माध्य (list_of_values) एसटीडी = pylab.std (list_of_values) प्रिंट "परीक्षण =", संख्या_ऑफ_ट्रियल, "बार" प्रिंट "मीन =", माध्य प्रिंट "मानक विचलन =", एसटीडी pylab.hist (list_of_values, 20) pylab.xlabel( "मान") pylab.ylabel("समय की संख्या") pylab.show()
  चावल। 7.घातीय वितरण के लिए पायथन मॉडल

  

  
  चावल। आठ।घातीय वितरण के लिए सिमुलेशन परिणाम

  2.2. स्टोकेस्टिक सिमुलेशन

  स्टोकेस्टिक मॉडलिंग वैज्ञानिक सूचना विज्ञान का एक महत्वपूर्ण तत्व है। हम मोंटे कार्लो पद्धति पर ध्यान केंद्रित करेंगे। एक बार मॉडल बन जाने के बाद, हम यादृच्छिक चर उत्पन्न कर सकते हैं और विभिन्न सिस्टम मापदंडों के साथ प्रयोग कर सकते हैं। इस लेख के ढांचे के भीतर, मोंटे कार्लो प्रयोगों का मुख्य बिंदु परिणामों को संचित और एकीकृत करने के लिए कई बार परीक्षणों को दोहराना है। पिछले अनुभाग में सबसे सरल अनुप्रयोग का वर्णन किया गया था। परीक्षणों की संख्या बढ़ाकर, हम सिमुलेशन परिणामों की सटीकता बढ़ाएंगे।

  यहां छात्र को परीक्षणों की संख्या में वृद्धि करके इस सरल मॉडल का उपयोग करके एक निश्चित संख्या में प्रयोग करने होते हैं। क्यूब्स की संख्या और परीक्षणों की संख्या में वृद्धि करके, छात्र अपेक्षाकृत लंबी गणना समय का अनुभव करेगा। समानांतर कंप्यूटिंग का उपयोग करने का यह एक बड़ा कारण है। कई पासों के लिए एक पायथन मॉडल चित्र 9 में दिखाया गया है। और सिमुलेशन के परिणाम चित्र 10 में दिखाए गए हैं। अगला कदम विभिन्न कतार प्रणालियों से संबंधित अधिक सामान्य मुद्दों पर विचार करना है। QS वर्गीकरण का संक्षिप्त परिचय इस लेख के अगले भाग में प्रस्तुत किया गया है। आइए एम/एम/1 सिस्टम और अधिक जटिल क्यूइंग सिस्टम से शुरू करें। स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की बुनियादी अवधारणाओं को लेख के इस भाग में विस्तार से शामिल किया जाएगा। एक संभावित उदाहरण के रूप में, हम आउटपुट स्ट्रीम के अध्ययन की समस्या का प्रस्ताव कर सकते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि निकाय का निर्गत M/M/1 एक पॉइसन प्रवाह है। इस प्रकार, एकत्रित डेटा को एक निर्मित आउटपुट अनुभवजन्य हिस्टोग्राम के रूप में प्रस्तुत किया जाएगा।

  इम्पोर्ट पाइलैब इम्पोर्ट रैंडम नंबर_ऑफ_ट्रियल्स = 15000 नंबर_ऑफ_डाइस = 200 ## यहां हम बार-बार फेंकने वाले ## सिंगल सिक्स-साइडेड पासा लिस्ट_ऑफ_वैल्यू = आई रेंज में (नंबर_ऑफ_ट्रियल्स) के लिए अनुकरण करते हैं: रेंज में जे के लिए योग = 0 (नंबर_ऑफ_डाइस) ): योग+=random.randint(1,6) list_of_values.append(sum) मतलब = pylab.mean(list_of_values) std=pylab.std(list_of_values) प्रिंट "ट्रायल =", number_of_trials, "times" प्रिंट "मीन =" , मतलब प्रिंट "मानक विचलन =", एसटीडी pylab.hist(list_of_values,20) pylab.xlabel("Value") pylab.ylabel("Number of Times") pylab.show()
  चावल। नौ।संवर्धित सामान्य वितरण के लिए पायथन सिमुलेशन मॉडल

  

  
  चावल। दस।विस्तारित सामान्य वितरण के लिए सिमुलेशन परिणाम

  3. मल्टीफ़ेज़ क्यूइंग सिस्टम और स्टोकेस्टिक मॉडलिंग

  मॉडलिंग और स्टोकेस्टिक की बारीकियों को ध्यान में रखते हुए, क्यूएस का परिचयात्मक विवरण नीचे दिया गया है।

  3.1. कतारबद्ध प्रणाली

  एक साधारण कतार प्रणाली में एक एकल सर्वर होता है जो आने वाले अनुरोधों को संसाधित करता है। एक साधारण कतार प्रणाली की सामान्य योजना चित्र 11 में दिखाई गई है। सामान्य तौर पर, QS में एक या अधिक सर्वर होते हैं जो आने वाले अनुरोधों को संसाधित करते हैं। प्रत्येक चरण में एक या अधिक सेवा उपकरणों के साथ एक या अधिक सेवा चरण होना भी संभव है। आने वाले क्लाइंट जिन्होंने सभी सर्वरों को व्यस्त पाया है, सेवारत उपकरणों के सामने एक या अधिक कतारों में शामिल हो जाते हैं। ऐसे कई अनुप्रयोग हैं जिनका उपयोग QS को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, जैसे उत्पादन प्रणाली, संचार प्रणाली, रखरखाव प्रणाली, और अन्य। एक सामान्य QS को तीन मुख्य घटकों द्वारा चित्रित किया जा सकता है: अनुरोधों का प्रवाह, सेवा प्रक्रिया और कतार विधि। आवेदन कई सीमित या असीमित स्रोतों से आ सकते हैं।

  

  
  चावल। ग्यारह।साधारण सीएमओ।

  टिकटिंग प्रक्रिया बताती है कि टिकट सिस्टम में कैसे आते हैं। आइए परिभाषित करें
  दावों के आगमन और -वें दावे के बीच के समय अंतराल के रूप में, दावों के आगमन के साथ-साथ दावों की प्राप्ति की आवृत्ति के बीच अपेक्षित (औसत) समय के रूप में

  हम सेवा उपकरणों की संख्या के रूप में भी परिभाषित करते हैं। सेवा तंत्र इस संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है। प्रत्येक सर्वर की अपनी कतार होती है, साथ ही अनुरोध सेवा समय का संभाव्य वितरण होता है।

  आइए हम -वें अनुरोध के सेवा समय के रूप में परिभाषित करें, अनुरोध की सेवा के लिए औसत समय और अनुरोध की सेवा की गति के रूप में।

  कतार से अगले अनुरोध का चयन करने के लिए सर्वर जिस नियम का उपयोग करता है उसे QS कतार अनुशासन कहा जाता है। सबसे आम कतारबद्ध विषय हैं: प्राथमिकता - ग्राहकों को उनके महत्व के क्रम में परोसा जाता है। फीफो - पहले आओ पहले पाओ; LIFO - स्टैक, लास्ट कम फर्स्ट सर्व। केंडल के अनुसार सिस्टम का विस्तारित वर्गीकरण 6 प्रतीकों का उपयोग करता है: ए/बी/एस/क्यू/सी/पी, जहां ए आने वाले अनुरोधों के बीच अंतराल का वितरण है, बी सेवा अंतराल का वितरण है, एस सर्वरों की संख्या है, q सेवा विषय है (FIFO के लिए छोड़ा गया), c - सिस्टम क्षमता (अनंत कतारों के लिए छोड़ा गया), p - संभावित अनुरोधों की संख्या (खुले सिस्टम के लिए छोड़ी गई) । उदाहरण के लिए, एम/एम/1 एक इनपुट पॉइसन प्रवाह, एक घातीय सर्वर, एक अनंत फीफो कतार और ग्राहकों की एक अनंत संख्या का वर्णन करता है।

  QS का उपयोग विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों के मॉडल और अध्ययन के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम कतार सिद्धांत का उपयोग करके उत्पादन या परिवहन प्रणालियों का मॉडल और अध्ययन कर सकते हैं। इसके अलावा, सेवा अनुरोधों को एक सेवा तंत्र के रूप में अनुप्रयोगों और रखरखाव प्रक्रियाओं के रूप में माना जाता है। अगला उदाहरण है: कंप्यूटर (टर्मिनल अनुरोध और सर्वर प्रतिक्रियाएं, क्रमशः), कंप्यूटर मल्टी-डिस्क मेमोरी सिस्टम (डेटा लिखने / पढ़ने के लिए अनुरोध, एक सामान्य डिस्क नियंत्रक), ट्रंक किए गए रेडियो संचार (टेलीफोन सिग्नल, रिपीटर्स), कंप्यूटर नेटवर्क (अनुरोध) , चैनल)। जीव विज्ञान में, कतार सिद्धांत का उपयोग एंजाइम सिस्टम (प्रोटीन, सामान्य एंजाइम) के मॉडल के लिए किया जा सकता है। जैव रसायन में, कतारबद्ध नेटवर्क मॉडल का उपयोग LAK ऑपेरॉन की नियामक श्रृंखला का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

  3.2. मल्टीफ़ेज़ क्यों?

  एक बहु-चरण क्यूएस पर विचार करें, जिसमें श्रृंखला में जुड़े कई सर्वर होते हैं और असीमित संख्या में अनुरोध होते हैं। अनुरोधों और प्रसंस्करण समय के बीच का समय स्वतंत्र और तेजी से वितरित किया जाता है। फीफो सेवा अनुशासन के साथ कतार अनंत है। मल्टीफ़ेज़ क्यूएस स्वाभाविक रूप से मल्टीकोर कंप्यूटर सिस्टम की टोपोलॉजी को दर्शाता है। जैसा कि हम बाद में देखेंगे, प्रत्येक मॉडल को प्रोग्रामिंग भाषा में आसानी से लिखा जा सकता है, सीखा और संशोधित किया जा सकता है। मॉडल मल्टीप्रोसेसिंग के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों के तुलनात्मक अध्ययन की भी अनुमति देता है। मल्टीफ़ेज़ QS मॉडल चित्र 12 में दिखाया गया है।

  

  
  चावल। 12.मल्टीफ़ेज़ क्यूएस।

  3.3. सैद्धांतिक आधार

  सांख्यिकीय मॉडलिंग के मामले में, हमें हमेशा कंप्यूटर कोड सत्यापन की समस्या का सामना करना पड़ता है। हमारे प्रोग्राम या एल्गोरिथम में हमेशा त्रुटियों का खुला प्रश्न होता है। मॉडल पूरी तरह से विश्लेषणात्मक नहीं है और हर बार जब हम प्रोग्राम चलाते हैं तो हमारे पास अलग-अलग इनपुट/आउटपुट डेटा होता है। इस प्रकार, एक कोड या एल्गोरिथम की शुद्धता की जांच करने के लिए, विभिन्न दृष्टिकोणों की आवश्यकता होती है (जिसका उपयोग हम पूरी तरह से नियतात्मक इनपुट डेटा के मामले में करते हैं)। इस मुद्दे को हल करने के लिए, हमें कुछ अध्ययनों के सैद्धांतिक परिणामों को लागू करना चाहिए जो वैज्ञानिक साहित्य में पाए जा सकते हैं। ये परिणाम हमें आउटपुट डेटा के सत्यापन और विश्लेषण के साथ-साथ सिमुलेशन परिणामों की शुद्धता की समस्या को हल करने के लिए एक आधार प्रदान करते हैं।

  हम एक मल्टीफ़ेज़ QS में किसी दावे के निवास समय की जाँच करेंगे। सेवा समय के रूप में, सिस्टम में अनुरोध के रहने के समय के रूप में निरूपित करें एन-वें आवेदन जे-वें चरण। विचार करें कि कैसे क-वें चरण।

  एक स्थिरांक है कि

  प्रमेय। यदि शर्तें (1) और (2) संतुष्ट हैं, तो

  3.4. सांख्यिकीय मॉडलिंग

  मॉडल बनने के बाद, हम इस मॉडल के साथ प्रयोगों की एक श्रृंखला चला सकते हैं। यह आपको सिस्टम की कुछ विशेषताओं का अध्ययन करने की अनुमति देगा। हम एक अपेक्षित माध्य के साथ यादृच्छिक चर उत्सर्जित कर सकते हैं और अध्ययन के लिए वांछित मूल्यों की गणना (नीचे पुनरावर्ती समीकरण का उपयोग करके) कर सकते हैं। ये मान भी यादृच्छिक होंगे (हमारे पास हमारे मॉडल के इनपुट डेटा की एक स्थिरता है - अनुरोधों के आने और एक यादृच्छिक सेवा समय के बीच एक यादृच्छिक समय)। नतीजतन, हम इन यादृच्छिक चर (चर) के कुछ मापदंडों की गणना कर सकते हैं: माध्य मान और संभाव्यता वितरण। मॉडल में मौजूद यादृच्छिकता के कारण हम इस पद्धति को सांख्यिकीय मॉडलिंग कहते हैं। यदि अधिक सटीक परिणामों की आवश्यकता है, तो हमें अपने मॉडल के साथ प्रयोगों को दोहराना चाहिए और फिर परिणामों को एकीकृत करना चाहिए, फिर अभिन्न विशेषताओं की गणना करें: माध्य मान या मानक विचलन। इसे मोंटे कार्लो पद्धति कहा जाता है और इसे लेख में थोड़ा अधिक वर्णित किया गया था।

  3.5. आवर्तक समीकरण

  पहले वर्णित क्यूएस मॉडलिंग के लिए एल्गोरिदम विकसित करने के लिए, कुछ गणितीय निर्माणों का विश्लेषण करना आवश्यक है। मुख्य कार्य चरणों से युक्त बहु-चरण QS में संख्या n के साथ अनुरोध के निवास समय का अध्ययन और गणना करना है। हम निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरण दे सकते हैं, निरूपित कर सकते हैं: - -वें क्रम का आगमन समय; -वें चरण के -वें दावे के सेवा समय के रूप में; . निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरण -वें चरण के -वें क्रम के लिए प्रतीक्षा समय के लिए मान्य है:
  

  मान्यता। मल्टीफ़ेज़ QS में किसी एप्लिकेशन के निवास समय की गणना के लिए पुनरावर्ती समीकरण।

  प्रमाण।यह सच है कि यदि समय है, तो -वें क्रम के -वें चरण में प्रतीक्षा समय 0 है। इस स्थिति में, -वें क्रम के -वें चरण में प्रतीक्षा समय और। उपरोक्त दो मामलों को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास अंततः इच्छित परिणाम है।

  अब हम प्राप्त सभी सैद्धांतिक परिणामों के आधार पर आवश्यक एल्गोरिदम को लागू करना शुरू कर सकते हैं।

  4. मल्टीप्रोसेसिंग के लिए पायथन

  एक प्रोग्रामिंग भाषा के रूप में पायथन वैज्ञानिकों और शिक्षकों के बीच बहुत लोकप्रिय है और विज्ञान-उन्मुख समस्याओं को हल करने के लिए बहुत आकर्षक हो सकता है। पायथन मॉडलिंग और सिमुलेशन के लिए एक शक्तिशाली मंच प्रदान करता है, जिसमें ग्राफिकल उपयोगिताओं, गणित की एक विस्तृत विविधता, सांख्यिकी और मल्टीप्रोसेसिंग पैकेज शामिल हैं। निष्पादन समय को कम करने के लिए, पायथन और सी कोड को संयोजित करना आवश्यक है। यह सब हमें सांख्यिकीय डेटा और प्रसंस्करण परिणाम प्राप्त करने के लिए एक शक्तिशाली मॉडलिंग मंच प्रदान करता है। पायथन में प्रमुख अवधारणाएं जो मॉडलिंग में भी महत्वपूर्ण हैं, वे हैं डेकोरेटर, कोरआउट्स, यील्ड एक्सप्रेशन, मल्टीप्रोसेसिंग और क्यू। इन बिंदुओं पर बेस्ली ने अपनी पुस्तक में बहुत अच्छी तरह से विचार किया है। इसके बावजूद, अंतर-प्रक्रिया संचार को व्यवस्थित करने के कई तरीके हैं, और हम कतारों के उपयोग से शुरू करेंगे, क्योंकि क्यूएस के अध्ययन के आलोक में यह बहुत स्वाभाविक है।

  कोड की दक्षता और प्रभावशीलता बढ़ाने के लिए मल्टीप्रोसेसिंग का उपयोग करने के लाभों का एक सरल उदाहरण नीचे दिया गया है। छात्र सुपरकंप्यूटर या क्लस्टर सिस्टम पर समानांतर कंप्यूटिंग का उपयोग करके सिमुलेशन परिणामों में सुधार कर सकता है। एक ओर, मल्टीप्रोसेसिंग हमें मल्टी-कोर प्रोसेसर के संसाधनों के साथ मल्टीफ़ेज़ मॉडल का मिलान करने की अनुमति देगा, और दूसरी ओर, हम समानांतर मोंटे कार्लो परीक्षणों की एक श्रृंखला करने के लिए मल्टीप्रोसेसिंग का उपयोग कर सकते हैं। हम इन दो दृष्टिकोणों को अगले भाग में देखेंगे। प्रेरित शिक्षार्थियों के लिए, पायथन के साथ मल्टीप्रोसेसिंग का संक्षिप्त परिचय निम्नलिखित है।

  हम mpi4py मॉड्यूल का उपयोग करके शुरू करेंगे। एमपीआई कैसे काम करता है इसका मुख्य विचार प्रस्तुत करने के लिए यह महत्वपूर्ण है। यह केवल प्रदान किए गए प्रोग्राम को उपयोगकर्ता द्वारा परिभाषित प्रोसेसर कोर में से एक में कॉपी करता है और इकट्ठा () विधि का उपयोग करने के बाद परिणामों को एकीकृत करता है। पायथन कोड (चित्र 13) और सिमुलेशन परिणाम (चित्र 14) का एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

  #!/usr/bin/python आयात pylab mpi4py से np के रूप में यादृच्छिक आयात numpy आयात करें MPI पासा आयात करें = 200 परीक्षण = 150000 रैंक = MPI.COMM_WORLD.Get_rank() आकार = MPI.COMM WORLD.Get_size() नाम = MPI.Get_processor_name () random.seed(रैंक) ## प्रत्येक प्रक्रिया - छह-पक्षीय पासा मानों की एक संख्या का एक फेंकना = np.zeros (परीक्षण) i के लिए रेंज (परीक्षण) में: योग = 0 रेंज में j के लिए (पासा): योग+=random.randint(l,6) मान [i]=योग डेटा=np.array(MPI.COMM_WORLD.gather(values, root=0)) अगर रैंक == 0: डेटा = डेटा.फ्लैटन () माध्य = pylab.mean(data) std=pylab.std(data) प्रिंट "परीक्षणों की संख्या =", आकार * परीक्षण, "समय।" प्रिंट "मीन =", माध्य प्रिंट "मानक विचलन =", एसटीडी pylab.hist (डेटा, 20) pylab.xlabel ("मान") pylab.ylabel ("समय की संख्या") pylab.savefig ("multi_dice_mpi.png" )
  चावल। तेरह।एमपीआई का उपयोग करके विस्तारित सामान्य वितरण के लिए पायथन मॉडल।

  

  
  चावल। चौदह।एमपीआई का उपयोग कर सामान्य वितरण।

  5. अनुकरण पर आधारित शैक्षिक दृष्टिकोण

  मल्टीफ़ेज़ क्यूएस हमें एक उपयुक्त सिमुलेशन-आधारित दृष्टिकोण विकसित करने के लिए एक कोर प्रदान करते हैं। इस दृष्टिकोण में पिछले अनुभागों में वर्णित बुनियादी अवधारणाएं, साथ ही अधिक जटिल सैद्धांतिक परिणाम और विधियां शामिल हैं। मुख्य विचार प्रकृति में स्टोकेस्टिक हैं: यादृच्छिक चर, यादृच्छिक संख्यात्मक वितरण, यादृच्छिक संख्या जनरेटर, केंद्रीय सीमा प्रमेय; पायथन प्रोग्रामिंग निर्माण:
  सज्जाकार, कोरटाइन और यील्ड एक्सप्रेशन। अधिक जटिल परिणामों में निम्नलिखित सैद्धांतिक अवधारणाएं शामिल हैं: सिस्टम में एक दावे द्वारा बिताया गया समय, क्यूएस में एक दावे द्वारा खर्च किए गए समय की गणना के लिए एक पुनरावर्ती समीकरण, स्टोकेस्टिक मॉडलिंग विधियों और मल्टीप्रोसेसर प्रौद्योगिकियों। चित्र 15 शैक्षिक ढांचे का वर्णन करने वाले मुख्य आरेख को दर्शाता है।

  

  
  चावल। पंद्रह।सिमुलेशन-आधारित शैक्षिक दृष्टिकोण

  ये सभी सैद्धांतिक और कार्यक्रम संरचनाएं छात्र को बहु-चरण क्यूएस के विभिन्न मॉडलों के साथ प्रयोग करने की अनुमति देती हैं। इन प्रयोगों का उद्देश्य दुगना है। सबसे पहले, यह छात्रों को निम्नलिखित अनुक्रम को समझाता है, जो किसी भी वैज्ञानिक अनुसंधान में महत्वपूर्ण है: अध्ययन के लिए आवश्यक सैद्धांतिक तथ्य, गणितीय मॉडल, कार्यक्रम संरचनाएं, कंप्यूटर मॉडल, स्टोकेस्टिक मॉडल और सिमुलेशन परिणामों का अवलोकन। यह छात्र को सामान्य वैज्ञानिक अनुसंधान की पूरी तस्वीर देगा (चित्र 16)।

  

  
  चावल। सोलह।अनुसंधान क्षेत्र

  यह दृष्टिकोण स्टोकेस्टिक मॉडलिंग और मल्टीप्रोसेसिंग और समानांतर प्रोग्रामिंग जैसे बुनियादी सॉफ्टवेयर निर्माण की गहरी समझ की अनुमति देगा। ये प्रावधान वैज्ञानिक कंप्यूटिंग के क्षेत्र में सर्वोपरि हैं।

  5.1. मॉडल प्रयोग

  इस खंड में, हम मल्टीफ़ेज़ QS के तीन कंप्यूटर मॉडल पर विचार करते हैं। ये सभी मॉडल अपने दार्शनिक और प्रमुख विशेषताओं में भिन्न हैं। इस तथ्य के बावजूद कि प्रयोगों का उद्देश्य एक सांख्यिकीय मॉडल बनाना और मल्टीफ़ेज़ सिस्टम के मुख्य मापदंडों का अध्ययन करना है, इन मॉडलों के वैचारिक विचार पूरी तरह से अलग हैं। इन बुनियादी विचारों की तुलना करने से छात्र को उन मूलभूत अवधारणाओं को समझने में मदद मिलेगी जो समानांतर कंप्यूटिंग, मल्टीप्रोसेसर सांख्यिकीय और सिमुलेशन मॉडलिंग के अंतर्गत आती हैं।

  हमारे द्वारा प्रस्तुत पहला मॉडल रीयल-टाइम रिकॉर्डिंग पर आधारित है और हम इसे सिमुलेशन मॉडल कहते हैं। यह पायथन मल्टीप्रोसेसर मॉड्यूल का उपयोग करता है। इस मॉडल की सटीकता समय () विधि की सटीकता और संकल्प पर निर्भर करती है। यह विभिन्न सामान्य प्रयोजन ऑपरेटिंग सिस्टम के मामले में काफी कम हो सकता है, और रीयल-टाइम सिस्टम के मामले में काफी अधिक हो सकता है। छात्र पहले से प्रस्तावित पुनरावर्ती समीकरण (सिस्टम में एक इकाई द्वारा खर्च किए गए समय की गणना करने के लिए) का उपयोग करके इस मॉडल को संशोधित कर सकता है और दोनों मामलों में परिणामों की तुलना कर सकता है।

  निम्नलिखित मॉडल सिस्टम में एक आदेश के निवास समय की गणना करता है और स्टोकेस्टिक सिमुलेशन पर आधारित है। मॉडल सीधे मल्टीप्रोसेसिंग का उपयोग नहीं करता है। पाइथन अभिव्यक्तियों में उपज का उपयोग करके मल्टीप्रोसेसिंग का अनुकरण किया जाता है।

  नवीनतम मॉडल यहां पायथन एमपीआई mpi4py मॉड्यूल का उपयोग करके प्रस्तुत किया गया है। यहां हम सांख्यिकीय मॉडलिंग के लिए एक वास्तविक एमपीआई (मल्टीप्रोसेसर) दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं और इसके कारण, मोंटे कार्लो पद्धति में परीक्षणों की संख्या में वृद्धि कर सकते हैं।

  सामान्य तौर पर, छात्र का कार्य प्रदान किए गए मॉडलों के साथ प्रयोगों की एक श्रृंखला बनाना और मल्टीफ़ेज़ क्यूएस में आवेदन के निवास समय के लिए पुनरावृत्त लघुगणक के कानून का प्रायोगिक प्रमाण प्राप्त करना है।

  5.2. मल्टीप्रोसेसर सेवा का उपयोग करके सिमुलेशन मॉडल

  नीचे एक सिमुलेशन मॉडल है। अध्ययन का मुख्य प्रश्न सिमुलेशन मॉडल और सांख्यिकीय मॉडल के बीच का अंतर है। एक अन्य महत्वपूर्ण मुद्दा सिमुलेशन मॉडल की शुद्धता और सटीकता है। प्रस्तुत मॉडल की शुद्धता और सटीकता का प्रश्न भी महत्वपूर्ण है। छात्र विभिन्न मापदंडों जैसे प्रसंस्करण अंतराल और आवृत्ति, अनुरोधों की संख्या और सेवारत नोड्स की संख्या के आधार पर सिमुलेशन परिणामों की जांच और तुलना कर सकता है। मॉडल की सामान्य योजना चित्र 17 में दिखाई गई है।

  

  
  चावल। 17.सिमुलेशन मॉडल

  प्रोग्राम कोड कोड में दो मुख्य भाग होते हैं। पहला सीधे गणना के लिए है, और अगला परिणामों की साजिश रचने के लिए है। गणना मॉड्यूल में तीन मुख्य कार्य होते हैं: निर्माता () - अनुरोध प्राप्त करने और उन्हें पहले स्थान पर रखने के लिए; सर्वर () - अनुरोधों को पूरा करने के लिए; उपभोक्ता () - परिणाम प्राप्त करने के लिए। यह प्रोग्रामिंग मॉडल वास्तविक सिमुलेशन पर आधारित है और गणना के लिए गणितीय अभिव्यक्तियों का उपयोग नहीं करता है। इसकी सटीकता पायथन अस्थायी मॉड्यूल की सटीकता पर निर्भर करती है और आमतौर पर ऑपरेटिंग सिस्टम पर निर्भर होती है। सेवा उपकरणों के काम की गणना मल्टीप्रोसेसर सिस्टम के भीतर विभिन्न प्रक्रियाओं के बीच वितरित की जाती है। उपरोक्त मॉडल के कार्यान्वयन के लिए कंप्यूटर कोड चित्र 18 में दिखाया गया है।

  आयात मल्टीप्रोसेसिंग आयात समय एनपी डीईएफ़ सर्वर (इनपुट_क्यू, नेक्स्ट_क्यू, आई) के रूप में यादृच्छिक आयात numpy आयात करें: जबकि सच: आइटम = input_q.get () अगर i==0:item.st=time.time() ## रिकॉर्डिंग समय शुरू करें ## (पहला चरण) timc.sleep(random.expovariate(glambda|i])) ##रिकॉर्डिंग समय बंद करें (अंतिम चरण) अगर i==M-1:item.st=time.time()-item.st next_q.put(item) input_q.task_done() प्रिंट ("सर्वर%d स्टॉप" % i) ## कभी भी प्रिंट नहीं होगा क्यों? def निर्माता (अनुक्रम, output_q): अनुक्रम में आइटम के लिए: time.sleep(random.expovariate(glambda)) output_q.put(ilem) def Consumer(input_q): "प्रक्रियाओं को अंतिम रूप देना" ## प्रसंस्करण समय ptime = समय रिकॉर्ड करना शुरू करें। time() in_seq= जबकि सही: आइटम = input_q.get() in_scq+= input_q.task_done() अगर item.cid == N-1: ब्रेक print_results(in_seq) प्रिंट ("END") प्रिंट ("प्रोसेसिंग टाइम सेकंड। %d"%(time.time()-ptime)) ## प्रोसेसिंग टाइम को रिकॉर्ड करना बंद करें ("out.txt",,"w") f.write("%d\n" % N) l के लिए रेंज(M): f.write("%d%s" % (glambda[t]," ,")) f.write("%d\n" % glambda[M]) टी रेंज में (N-1): f.write("%f%s" % (in_seq[t].st," ,")) f.write("%f\n" % (in_seq.st)) f.close() क्लास क्लाइंट (ऑब्जेक्ट): "क्लास क्लाइंट" def __init__(self,cid,st): self.cid= सीआईडी ​​## ग्राहक आईडी self.st=st ## ग्राहक के प्रवास का समय ###ग्लोबल्स एन=100 ## पहुंचे ग्राहकों की कुल संख्या एम=5 ## सर्वरों की संख्या ### ग्लैम्ब्डा - आगमन + सर्विसिंग फ़्रीक्वेंसी ### = ग्राहक/प्रति टाइम यूनिट ग्लैम्ब्डा=np.array(+) ###START अगर __name__ == "__main__": all_clients= q= मैं रेंज में (एम) के लिए: सर्व = मल्टीप्रोसेसिंग। प्रक्रिया (लक्ष्य = सर्वर, args = (q [i], q, i)) serv.daemon = ट्रू सर्व। स्टार्ट () विपक्ष = मल्टीप्रोसेसिंग। प्रक्रिया (लक्ष्य = उपभोक्ता, args = (q [M]) ,)) cons.start() ### q में i के लिए ग्राहक निर्माता (all_clients, q) "उत्पादन" शुरू करें: i.join()
  चावल। अठारह।एक मल्टीप्रोसेसर सेवा का उपयोग करके सिमुलेशन मॉडल के लिए पायथन कोड।

  अध्ययन के लिए प्रश्न:

  • वैश्विक चर कैसे प्रदान किए जाते हैं और प्रक्रियाओं के बीच साझा किए जाते हैं?
  • विभिन्न सेवा उपकरणों से जुड़ी प्रक्रियाओं को कैसे समाप्त करें?
  • विभिन्न प्रक्रियाओं के बीच सूचना प्रवाह कैसे प्रसारित होता है?
  • मॉडल शुद्धता के बारे में क्या?
  • मॉडल की दक्षता के बारे में क्या। विभिन्न प्रक्रियाओं को सूचनाओं के आदान-प्रदान में कितना समय लगेगा?
  अब हम matplotlib मॉड्यूल का उपयोग करके परिणामों को प्रिंट कर सकते हैं और चार्ट प्रदान करने के बाद परिणामों का नेत्रहीन विश्लेषण कर सकते हैं। हम देख सकते हैं (चित्र 19) कि मॉडल में और सुधार की आवश्यकता है। इस प्रकार, हम एक अधिक शक्तिशाली मॉडल की ओर बढ़ सकते हैं।

  

  
  चावल। उन्नीस।एक मल्टीप्रोसेसर सेवा के सिमुलेशन मॉडल के सिमुलेशन परिणाम।

  5.3. इकाई प्रक्रिया सांख्यिकीय मॉडल

  सांख्यिकीय मॉडल की मुख्य विशेषता निम्नलिखित है: अब हम सिस्टम में एक आदेश द्वारा खर्च किए गए समय की सही गणना करने के लिए एक पुनरावर्ती समीकरण का उपयोग करते हैं; हम एक विशिष्ट पायथन कोरआउटिन फ़ंक्शन का उपयोग करके सभी डेटा को एक ही प्रक्रिया में संसाधित करते हैं; हम गणना की बेहतर विश्वसनीयता के लिए निश्चित संख्या में मोंटे कार्लो सिमुलेशन करते हैं। यह मॉडल हमें उस समय की "सटीक" गणना देता है जब कोई ऑर्डर सिस्टम में खर्च करता है। मॉडल का मुख्य आरेख चित्र 20 में दिखाया गया है। छात्र सिमुलेशन मॉडल और सांख्यिकीय मॉडल के बीच अंतर का पता लगा सकता है।

  

  
  चावल। 20.इकाई प्रक्रिया सांख्यिकीय मॉडल

  उपरोक्त मॉडल के कार्यान्वयन के लिए प्रोग्राम कोड चित्र 21 में दिखाया गया है। सिमुलेशन परिणाम चित्र 22 में दिखाए गए हैं।

  #!/usr/bin/python इंपोर्ट रैंडम इंपोर्ट टाइम इंपोर्ट numpy as np as numpy import linspace def coroutine(func): del start(*args,**kwargs): g = func(*args,**kwargs) g. अगला () रिटर्न जी रिटर्न स्टार्ट डिफ प्रिंट_हेडर (): "आउटपुट रिज़ल्ट्स - हेडर" एफ = ओपन ("आउट। टीएक्सटी", "डब्ल्यू") एफ। राइट ("% डी \ n"% एन) ## अंकों की संख्या मुद्रण टेम्पलेट में f.लिखें("%d\n"% TMPN) t के लिए रेंज(M): f.write("%d%s" % (glambda[t],",")) f.write( "%d\n"% glambda[M]) f.close() def print_results(in_seq): "आउटपुट रिज़ल्ट्स" f=open("out.txt",,"a") k=() for i in range( N-2): अगर in_seq[i].cid==template[k]: f.write("%f%s" % (in_seq[i].st,",")) k+=1 f.write( "%f\n" % (in_seq.st)) f.close() कोरआउटिन डीईएफ़ सर्वर (i): ST=0 ## पिछले क्लाइंट आइटम के लिए प्रवास का समय = कोई नहीं जबकि सही: आइटम = (उपज आइटम) ## आइटम प्राप्त करें यदि आइटम == कोई नहीं: ## नया मोंटे कार्लो पुनरावृत्ति एसटी = 0 प्रतीक्षा_टाइम जारी रखें = अधिकतम (0.0, एसटी-आइटम.स्ट-आइटम। टौ) आइटम। सेंट डीईएफ़ निर्माता (): परिणाम = i = 0 जबकि सही : if i == N: ब्रेक c=Client(i,0.,0.) if i!=0: c.tau=random.expovariate(glambda) i+= 1 for s in p: c=s.send( सी) परिणाम + = [सी] पी में एस के लिए: सी = एस भेजें (कोई नहीं) ## अंतिम सिग्नल रिटर्न परिणाम वर्ग ग्राहक (वस्तु): def __init__ (स्वयं, सीआईडी, सेंट, ताऊ): स्वयं। सीआईडी ​​= सीआईडी ​​स्वयं .st=st self.tau=tau def params(self): return (self.cid,self.st,self.tau) stt=time.time() N=1000000 ## ग्राहक M=5 ## सर्वर ## इनपुट/सेविस फ़्रीक्वेंसी ग्लैम्ब्डा = + एमकेएस = 20 ## मोंटे कार्लो सिमुलेशन परिणाम ## प्रिंटिंग टेम्प्लेट में अंकों की संख्या टीएमपीएन = एन/10000 ## प्रिंटिंग टेम्प्लेट टेम्प्लेट = मैप (इंट, लिनस्पेस (0, एन -1, टीएमपीएन) ) print_header() p= i के लिए रेंज में(M):p += i के लिए रेंज में! एमकेएस): print_results(producer()) print("Step=%d" % i) sys.stdout.write("Processing time:%d\n" % int(time.time()-stt))
  चावल। 21.इकाई प्रक्रिया सांख्यिकीय मॉडल के लिए पायथन कोड

  

  
  चावल। 22.सांख्यिकीय मॉडल की इकाई प्रक्रिया के लिए सिमुलेशन परिणाम

  5.4. MPI पर सांख्यिकीय मॉडल

  हमारे मॉडल के विकास में अगला कदम पायथन एमपीआई मॉड्यूल - mpi4py का उपयोग है। यह हमें अधिक मोंटे कार्लो सिमुलेशन चलाने और मॉडल को चलाने और परीक्षण करने के लिए क्लस्टर का उपयोग करने की अनुमति देता है। अगला कदम सी प्रोग्रामिंग भाषा, "वास्तविक" एमपीआई या एसडब्ल्यूआईजी (https://ru.wikipedia.org/wiki/SWIG) तकनीक के उपयोग के आधार पर पायथन के लिए मॉडल का और सुधार होना चाहिए। यह मॉडल लगभग पिछले मॉडल के समान है, केवल अंतर यह है कि mpi4py का उपयोग मल्टीप्रोसेसिंग और परिणामों के एकीकरण के लिए किया जाता है (चित्र 23)।

  

  
  चावल। 23. MPI का सांख्यिकीय मॉडल

  पिछले मॉडल के अलावा, कई अतिरिक्त मॉड्यूल आयात किए जाने चाहिए। Print_results () फ़ंक्शन को भी फिर से लिखने की आवश्यकता है क्योंकि इस स्तर पर हमारे पास अधिक परीक्षण हैं। हमें कार्यक्रम के मुख्य भाग को भी फिर से लिखना होगा। चित्र 24 में, हमने कोड का केवल वही भाग प्रदान किया है जो पिछले मॉडल के कोड से भिन्न है। सिमुलेशन परिणाम चित्र 25 में दिखाए गए हैं।

  mpi4py से आयात sys एमपीआई आयात करें ............ def print_results(in_seq): "आउटपुट परिणाम" f=open("out.txt",,"a") रेंज में एम के लिए (इंट (आकार)): रेंज में जे के लिए (एमकेएस): आई रेंज में (टीएमपीएन-एल): एफ.राइट ("% f% s"% (in_seq [m] .st,", ")) f.write("%f\n" % (in_seq[m][(TMPN-l)+j*TMPN].st)) f.close() ........... ......... stt=time.time() #प्रक्रिया रैंक के लिए प्रारंभ समय = MPI.COMM_WORLD.Get_rank() आकार = MPI.COMM_WORLD.Get_size() नाम = MPI.Get_processor_name() N= 10 **3 ## क्लाइंट्स M=5 ## सर्वर ## इनपुट/सेविस फ्रीक्वेंसी ग्लैम्ब्डा=+ ## इस पार्टिकूर प्रक्रिया के लिए मोंटे-कार्लो सिमुलेशन की संख्या MKS=20 TMPN=200 ## प्रिंटिंग टेम्प्लेट टेम्प्लेट में अंकों की संख्या = मैप (int, linspace(0,N-1,TMPN)) ## मुद्रण के लिए अंक p= परिणाम= ## इस प्रक्रिया के परिणाम कुल_परिणाम = ## श्रेणी में i के लिए समग्र परिणाम (M):p += i के लिए श्रेणी में( MKS):results+=producer() total_results=MPI.COMM_WORLD.gather(results,0) random.seed(रैंक) अगर रैंक == 0: print_header() print_results(total_results) sys.stdout.write("Processi एनजी समय:%d\n"% int(time.time()-stt))
  चावल। 24. MPI पर आधारित सांख्यिकीय मॉडल के लिए पायथन कोड

  

  
  चावल। 25.एमपीआई सांख्यिकीय मॉडल के सिमुलेशन परिणाम

  6। निष्कर्ष

  इस लेख में, सिमुलेशन-आधारित सीखने के लिए कई मॉडलों पर विचार किया गया है। ये मॉडल छात्र को प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित करने और वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान के अनुशासन की समझ बढ़ाने में सक्षम बनाते हैं। प्रस्तुत मॉडलों और ऐसे मॉडलों के साथ प्रयोगों की जटिलता के कई स्तर हैं। पहला स्तर बुनियादी है। यह हमें यादृच्छिक चर की समझ में लाता है, और हमें वैज्ञानिक अनुसंधान के क्षेत्र की प्राथमिक समझ भी देता है। अगला स्तर अधिक उन्नत है और समानांतर प्रोग्रामिंग और स्टोकेस्टिक सिमुलेशन की गहरी समझ प्रदान करता है। प्रासंगिक सैद्धांतिक ज्ञान प्रस्तुत किया जाता है, और यदि आवश्यक हो, तो अतिरिक्त सामग्री के रूप में उपयोग किया जा सकता है। यह सब वैज्ञानिक कंप्यूटर विज्ञान के परिचय के लिए एक बुनियादी टूलकिट प्रदान करता है। अंत में, हम आगे के अध्ययन और मॉडलों के सुधार के लिए सिफारिशें करना चाहेंगे।

  6.1. क्यूएस के मॉडल और सांख्यिकीय पैरामीटर की रैखिकता

  इस आलेख में प्रस्तुत मल्टीफ़ेज़ QS मॉडल रैखिक नहीं है। यह पुनरावर्ती समीकरण से स्पष्ट हो जाता है, क्योंकि इसमें गैर-रैखिक गणितीय फ़ंक्शन अधिकतम होता है। यदि हम सही सिमुलेशन परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं, विशेष रूप से क्यूएस सांख्यिकीय मापदंडों की गणना के मामले में, हमें गणना के लिए आंशिक रूप से रैखिक मॉडल का उपयोग करना चाहिए। यह अनलोडेड ट्रांसपोर्ट सिस्टम के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि अन्यथा हम गणनाओं में एक बड़ा गलत अंतर प्राप्त कर सकते हैं।

  6.2. पायथन मॉड्यूल एक्सटेंशन और समानांतर सी प्रोग्रामिंग

  कुशल शिक्षार्थियों के लिए, कोड की दक्षता में सुधार जारी रखना दिलचस्प हो सकता है। यह स्विंग तकनीक का उपयोग करके कार्यान्वित सी कार्यों के साथ पायथन मॉड्यूल का विस्तार करके किया जा सकता है। क्लस्टर सिस्टम में साइथन, सी प्रोग्रामिंग भाषा, "वास्तविक" एमपीआई प्रौद्योगिकियों और एचटीसी (उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग) का उपयोग करके कोड गणना में सुधार करना और गणना में तेजी लाना संभव है।

  6.3. सॉफ्टवेयर समाधान और आगे के विकास की क्षमता

  इस खंड में, छात्र विभिन्न सॉफ्टवेयर समाधानों की प्रभावशीलता का पता लगा सकता है। यह विषय समानांतर कंप्यूटिंग पर आधारित किसी भी प्रोग्रामिंग मॉडल के लिए महत्वपूर्ण है। छात्र विभिन्न प्रोग्रामिंग मॉडल की प्रभावशीलता का अध्ययन कर सकता है और एल्गोरिदम को चरण दर चरण सुधारने का प्रयास कर सकता है। यहां मुख्य बिंदु विभिन्न सॉफ्टवेयर प्रक्रियाओं के लिए सूचना प्रवाह और गणनाओं की संख्या के अनुपात का अध्ययन करना है। तो समानांतर कंप्यूटिंग के साथ सबसे कुशल कार्यक्रम विकास के निर्माण में अनुपात महत्वपूर्ण है। एक और दिलचस्प विषय एक एल्गोरिथम संरचना को एक क्लस्टर एचटीसी संरचना में परिवर्तित करने की संभावना का अध्ययन है।

  अनुसंधान के लिए एक अतिरिक्त कार्य के रूप में, लेखक क्यूएस के मॉडलिंग पर विचार करते हैं, जिसे मॉडलिंग और विश्लेषण किया जाना चाहिए। क्यूएस की अपेक्षाकृत जटिल प्रकृति और संबंधित प्रकार के अनुप्रयोगों के लिए अधिक व्यापक प्रोग्रामिंग तकनीकों के उपयोग की आवश्यकता होती है। यह सामान्य प्रोग्रामिंग अवधारणाओं जैसे कि वंशानुक्रम, एनकैप्सुलेशन और बहुरूपता को लागू करने के लिए एक अच्छा आधार मंच प्रदान करता है। दूसरी ओर, कंप्यूटर विज्ञान की बुनियादी सैद्धांतिक अवधारणाओं को भी शामिल करने की आवश्यकता है। इन सबसे ऊपर, क्यूएस सांख्यिकीय और सिमुलेशन मॉडलिंग के लिए संभाव्यता सिद्धांत के अधिक उन्नत ज्ञान, अधिक कंप्यूटिंग संसाधनों के उपयोग और वास्तविक वैज्ञानिक कंप्यूटिंग वातावरण के प्रावधान के साथ-साथ उन्नत छात्र के लिए अच्छी प्रेरणा की आवश्यकता होती है।

  साहित्य

  संदर्भों की पूरी सूची

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  योजना:

  1. केंद्रीय सीमा प्रमेय की अवधारणा (लाइपुनोव की प्रमेय)

  2. बड़ी संख्या, प्रायिकता और आवृत्ति का नियम (चेबीशेव और बर्नौली के प्रमेय)

  1. केंद्रीय सीमा प्रमेय की अवधारणा।

  प्रायिकता सिद्धांत में प्रायिकता के सामान्य वितरण का बहुत महत्व है। सामान्य कानून किसी लक्ष्य पर, माप आदि में शूटिंग करते समय संभावना का पालन करता है। विशेष रूप से, यह पता चला है कि मनमाने ढंग से वितरण कानूनों के साथ पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के लिए वितरण कानून सामान्य वितरण के करीब है। इस तथ्य को केंद्रीय सीमा प्रमेय या लाइपुनोव का प्रमेय कहा जाता है।

  यह ज्ञात है कि सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं। यह क्या समझाता है? इस प्रश्न का उत्तर दिया गया है

  केंद्रीय सीमा प्रमेय।यदि एक यादृच्छिक चर X बहुत बड़ी संख्या में परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चरों का योग है, जिनमें से प्रत्येक का संपूर्ण योग पर प्रभाव नगण्य है, तो X का वितरण सामान्य वितरण के करीब है।

  उदाहरण।चलो कुछ भौतिक मात्रा को मापा जाता है। कोई भी माप मापी गई मात्रा का केवल एक अनुमानित मूल्य देता है, क्योंकि कई स्वतंत्र यादृच्छिक कारक (तापमान, उपकरण में उतार-चढ़ाव, आर्द्रता, आदि) माप परिणाम को प्रभावित करते हैं। इनमें से प्रत्येक कारक एक नगण्य "आंशिक त्रुटि" उत्पन्न करता है। हालांकि, चूंकि इन कारकों की संख्या बहुत बड़ी है, इसलिए उनका संचयी प्रभाव पहले से ही ध्यान देने योग्य "कुल त्रुटि" उत्पन्न करता है।

  कुल त्रुटि को पारस्परिक रूप से स्वतंत्र आंशिक त्रुटियों की एक बहुत बड़ी संख्या के योग के रूप में देखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कुल त्रुटि का वितरण सामान्य वितरण के करीब है। अनुभव इस निष्कर्ष की वैधता की पुष्टि करता है।

  उन शर्तों पर विचार करें जिनके तहत "केंद्रीय सीमा प्रमेय" संतुष्ट है

  x1,एक्स2, ..., एक्सएनस्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम है,

  एम(X1),एम(एक्स 2), ...,एम(एक्सएन) इन राशियों की अंतिम गणितीय अपेक्षाएँ हैं, क्रमशः . के बराबर एम(Xk)= एके

  डी (X1),डी(एक्स 2), ...,डी(एक्सएन) - उनके अंतिम प्रसरण, क्रमशः . के बराबर डी(एक्स क)= बीके2

  हम संकेतन का परिचय देते हैं: S= X1+X2 + ...+Xn;

  एक के = X1+X2 + ...+Xn=; बी2=डी (X1)+डी(X2)+ ...+डी(एक्सएन) =

  हम सामान्यीकृत योग का वितरण कार्य लिखते हैं:

  वे क्रम से कहते हैं x1,एक्स2, ..., एक्सएनकेंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होता है यदि, किसी के लिए एक्स n® के रूप में सामान्यीकृत योग का वितरण फलन सामान्य वितरण फलन की ओर प्रवृत्त होता है:

  दायां "शैली =" सीमा-पतन: पतन; सीमा: कोई नहीं; मार्जिन-बाएं: 6.75pt; मार्जिन-दाएं: 6.75pt ">

  एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, वितरण तालिका द्वारा दिया गया:

  आइए हम इस प्रायिकता का आकलन करने का कार्य निर्धारित करें कि एक यादृच्छिक चर का गणितीय अपेक्षा से विचलन निरपेक्ष मान में एक सकारात्मक संख्या से अधिक नहीं है ε

  यदि एक ε काफी छोटा है, इस प्रकार हम इस संभावना का अनुमान लगाएंगे कि एक्समूल्यों को अपनी गणितीय अपेक्षा के काफी करीब ले जाएगा। एक असमानता साबित हुई जो हमें हमें ब्याज का अनुमान देने की अनुमति देती है।

  लेम्मा चेबीशेव।एक यादृच्छिक चर X को देखते हुए जो M(X) अपेक्षा के साथ केवल गैर-ऋणात्मक मान लेता है। किसी भी संख्या α>0 के लिए, व्यंजक होता है:

  चेबीशेव की असमानता।प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X का निरपेक्ष मान में गणितीय अपेक्षा से विचलन एक धनात्मक संख्या से कम है ε , 1 से कम नहीं - डी (एक्स) / ε 2:

  पी(|एक्सएम(एक्स)|< ε ) ³ 1 - डी (एक्स) / ε 2.

  टिप्पणी।चेबीशेव की असमानता सीमित व्यावहारिक मूल्य की है, क्योंकि यह अक्सर एक मोटा और कभी-कभी तुच्छ (बिना रुचि के) अनुमान देता है।

  चेबीशेव असमानता का सैद्धांतिक महत्व बहुत बड़ा है। नीचे हम इस असमानता का उपयोग चेबीशेव प्रमेय को प्राप्त करने के लिए करेंगे।

  2.2. चेबीशेव का प्रमेय

  यदि X1, X2, ..., Xn.. जोड़ीदार स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और उनके प्रसरण समान रूप से सीमित हैं (एक स्थिर संख्या C से अधिक नहीं), तो, सकारात्मक संख्या कितनी भी छोटी क्यों न हो ε , असमानता की संभावना

  (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

  यादृच्छिक चर की संख्या काफी बड़ी होने पर मनमाने ढंग से एकता के करीब होगी।

  पी (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

  चेबीशेव का प्रमेय कहता है:

  1. हम सीमित प्रसरणों के साथ पर्याप्त संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चरों पर विचार करते हैं,

  चेबीशेव के प्रमेय को तैयार करते समय, हमने माना कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएँ भिन्न होती हैं। व्यवहार में, अक्सर ऐसा होता है कि यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा समान होती है। जाहिर है, अगर हम फिर से मान लें कि इन मात्राओं का फैलाव सीमित है, तो चेबीशेव की प्रमेय उन पर लागू होगी।

  आइए हम प्रत्येक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को निरूपित करें ए;

  विचाराधीन मामले में, गणितीय अपेक्षाओं का अंकगणितीय माध्य, जैसा कि यह देखना आसान है, भी बराबर है ए।

  विचाराधीन विशेष मामले के लिए कोई चेबीशेव प्रमेय तैयार कर सकता है।

  "यदि Х1, Х2, ..., Хn.. समान गणितीय अपेक्षा वाले जोड़ीवार स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और यदि इन चरों के फैलाव समान रूप से सीमित हैं, तो संख्या कितनी भी छोटी क्यों न हो ε > ओह, असमानता की संभावना

  (X1+X2 + ...+Xn) / n - ए | < ε

  यदि यादृच्छिक चर की संख्या काफी बड़ी है तो मनमाने ढंग से एकता के करीब होगी" .

  दूसरे शब्दों में, प्रमेय की शर्तों के तहत

  पी (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

  2.3. चेबीशेव के प्रमेय का सार

  यद्यपि व्यक्तिगत स्वतंत्र यादृच्छिक चर ऐसे मान ले सकते हैं जो उनकी गणितीय अपेक्षाओं से बहुत दूर हैं, उच्च संभावना वाले पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य एक निश्चित स्थिर संख्या के करीब मान लेता है, अर्थात् संख्या

  (एम(Xj) + एम (X2)+... + एम (एक्सएन))/एनया संख्या के लिए और मेंविशेष मामले।

  दूसरे शब्दों में, अलग-अलग यादृच्छिक चर का एक महत्वपूर्ण प्रसार हो सकता है, और उनका अंकगणितीय माध्य छोटा बिखरा हुआ है।

  इस प्रकार, कोई भी आत्मविश्वास से भविष्यवाणी नहीं कर सकता कि प्रत्येक यादृच्छिक चर क्या संभावित मूल्य लेगा, लेकिन कोई यह अनुमान लगा सकता है कि उनका अंकगणितीय माध्य कितना मूल्य लेगा।

  इसलिए, पर्याप्त संख्या में स्वतंत्र यादृच्छिक चर (जिनके प्रसरण समान रूप से सीमित हैं) का अंकगणितीय माध्य एक यादृच्छिक चर के चरित्र को खो देता है।

  यह इस तथ्य से समझाया गया है कि उनकी गणितीय अपेक्षाओं से प्रत्येक मात्रा का विचलन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है, और अंकगणितीय माध्य में वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

  चेबीशेव का प्रमेय न केवल असतत के लिए मान्य है, बल्कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए भी मान्य है; यह मौका और आवश्यकता के बीच संबंध के सिद्धांत की वैधता की पुष्टि करने वाला एक उदाहरण है।

  2.4. अभ्यास के लिए चेबीशेव के प्रमेय का महत्व

  आइए हम व्यावहारिक समस्याओं के समाधान के लिए चेबीशेव प्रमेय के अनुप्रयोग के उदाहरण दें।

  आमतौर पर, एक निश्चित भौतिक मात्रा को मापने के लिए, कई माप किए जाते हैं और उनका अंकगणितीय माध्य वांछित आकार के रूप में लिया जाता है। माप की इस पद्धति को किन परिस्थितियों में सही माना जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर चेबीशेव की प्रमेय (इसकी विशेष स्थिति) द्वारा दिया गया है।

  वास्तव में, प्रत्येक माप के परिणामों को यादृच्छिक चर के रूप में मानें

  एक्स1, एक्स2, ..., एक्सएन

  इन मात्राओं के लिए, चेबीशेव प्रमेय लागू किया जा सकता है यदि:

  1) वे जोड़ीदार स्वतंत्र हैं।

  2) समान गणितीय अपेक्षा है,

  3) उनके फैलाव समान रूप से सीमित हैं।

  पहली आवश्यकता तब पूरी होती है जब प्रत्येक माप का परिणाम दूसरों के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है।

  दूसरी आवश्यकता पूरी होती है यदि माप व्यवस्थित (एक संकेत) त्रुटियों के बिना किए जाते हैं। इस मामले में, सभी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं समान हैं और वास्तविक आकार के बराबर हैं ए।

  तीसरी आवश्यकता पूरी होती है यदि डिवाइस एक निश्चित माप सटीकता प्रदान करता है। यद्यपि अलग-अलग मापों के परिणाम भिन्न होते हैं, उनका प्रकीर्णन सीमित होता है।

  यदि इन सभी आवश्यकताओं को पूरा किया जाता है, तो हमें माप परिणामों के लिए चेबीशेव प्रमेय लागू करने का अधिकार है: पर्याप्त रूप से बड़े के लिए पीअसमानता की संभावना

  | (X1 + Xa+...+Xn)/n - a |< ε मनमाने ढंग से एकता के करीब।

  दूसरे शब्दों में, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में माप के साथ, यह लगभग निश्चित है कि उनका अंकगणितीय माध्य मापा मात्रा के वास्तविक मूल्य से मनमाने ढंग से थोड़ा भिन्न होता है।

  चेबीशेव का प्रमेय उन स्थितियों को इंगित करता है जिनके तहत माप की वर्णित विधि को लागू किया जा सकता है। हालांकि, यह सोचना एक गलती है कि, माप की संख्या में वृद्धि करके, कोई मनमाने ढंग से उच्च सटीकता प्राप्त कर सकता है। तथ्य यह है कि डिवाइस केवल ± α की सटीकता के साथ रीडिंग देता है, इसलिए, माप परिणामों में से प्रत्येक, और इसलिए उनका अंकगणितीय माध्य, केवल सटीकता के साथ प्राप्त किया जाएगा जो डिवाइस की सटीकता से अधिक नहीं है।

  आँकड़ों में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली नमूनाकरण विधि चेबीशेव प्रमेय पर आधारित है, जिसका सार यह है कि अध्ययन के तहत वस्तुओं की पूरी आबादी (सामान्य जनसंख्या) का न्याय करने के लिए अपेक्षाकृत छोटे यादृच्छिक नमूने का उपयोग किया जाता है।

  उदाहरण के लिए, कपास की एक गठरी की गुणवत्ता का आकलन गठरी के विभिन्न भागों से बेतरतीब ढंग से चुने गए रेशों से युक्त एक छोटे बंडल द्वारा किया जाता है। हालाँकि बंडल में रेशों की संख्या गठरी की तुलना में बहुत कम होती है, लेकिन बंडल में ही फाइबर की काफी बड़ी संख्या होती है, जिनकी संख्या सैकड़ों में होती है।

  एक अन्य उदाहरण के रूप में, कोई एक छोटे से नमूने से अनाज की गुणवत्ता के निर्धारण की ओर इशारा कर सकता है। और इस मामले में, अनाज के पूरे द्रव्यमान की तुलना में यादृच्छिक रूप से चयनित अनाज की संख्या कम है, लेकिन अपने आप में यह काफी बड़ी है।

  पहले से ही उद्धृत उदाहरणों से, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि अभ्यास के लिए चेबीशेव के प्रमेय का अमूल्य महत्व है।

  2.5. प्रमेयBernoulli

  प्रस्तुत पीस्वतंत्र परीक्षण (घटनाएं नहीं, बल्कि परीक्षण)। उनमें से प्रत्येक में, एक घटना के घटित होने की प्रायिकता एके बराबर है आर।

  सवाल उठता है,घटना के घटित होने की आपेक्षिक आवृत्ति क्या होगी? इस प्रश्न का उत्तर बर्नौली द्वारा सिद्ध प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसे "बड़ी संख्या का नियम" कहा जाता था और एक विज्ञान के रूप में संभाव्यता के सिद्धांत की नींव रखी।

  बर्नौली का प्रमेय।यदि प्रत्येक में पीस्वतंत्र परीक्षण संभावना आरकिसी घटना का घटित होना लेकिनस्थिर है, तो प्रायिकता से सापेक्ष आवृत्ति के विचलन की प्रायिकता आरनिरपेक्ष मूल्य में मनमाने ढंग से छोटा होगा यदि परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है।

  दूसरे शब्दों में, यदि >0 एक मनमाने ढंग से छोटी संख्या है, तो प्रमेय की शर्तों के तहत हमारे पास समानता है

  पी(|एम / एन - पी|< ε)= 1

  टिप्पणी।बर्नौली के प्रमेय के आधार पर यह निष्कर्ष निकालना गलत होगा कि परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ, सापेक्ष आवृत्ति लगातार प्रायिकता की ओर बढ़ती है आर;दूसरे शब्दों में, बर्नौली के प्रमेय का अर्थ समानता नहीं है (टी/एन) = पी,

  परप्रमेय केवल इस संभावना से संबंधित है कि, पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, सापेक्ष आवृत्ति प्रत्येक परीक्षण में एक घटना की घटना की निरंतर संभावना से मनमाने ढंग से भिन्न होगी।

  कार्य 7-1।

  1. इस संभावना का अनुमान लगाएं कि पासे के 3600 फेंके जाने के बाद, 6 की घटनाओं की संख्या कम से कम 900 होगी।

  फेसला।मान लीजिए कि 3600 सिक्कों को उछालने पर 6 बिंदुओं के आने की संख्या x है। एक उछाल में 6 अंक प्राप्त करने की प्रायिकता p=1/6 है, तो M(x)=3600 1/6=600 है। हम दिए गए α = 900 . के लिए चेबीशेव की असमानता (लेम्मा) का उपयोग करते हैं

  = पी(एक्स 900) £ 600 / 900 = 2 / 3

  जवाब 2 / 3.

  2. 1000 स्वतंत्र परीक्षण किए गए, पी = 0.8। इन परीक्षणों में घटना ए की घटनाओं की संख्या की संभावना का पता लगाएं, जो इसके गणितीय अपेक्षा मॉड्यूल से 50 से कम है।

  फेसला। x n - 1000 परीक्षणों में घटना A की घटनाओं की संख्या है।

  एम (एक्स) \u003d 1000 0.8 \u003d 800। डी (एक्स) = 100 0.8 0.2 = 160

  हम दिए गए = 50 . के लिए चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हैं

  पी(|एक्स-एम(एक्स)|< ε) ³ 1 - डी (एक्स) / ε 2

  आर(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

  जवाब। 0,936

  3. चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हुए, इस संभावना का अनुमान लगाएं कि |एक्स - एम (एक्स) |< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

  4. दिया गया है: P(|X- एम (एक्स)\< ) 0.9; डी (एक्स)= 0.004. चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हुए, . खोजें . जवाब। 0,2.

  प्रश्नों और कार्यों को नियंत्रित करें

  1. केंद्रीय सीमा प्रमेय का उद्देश्य

  2. लाइपुनोव के प्रमेय की प्रयोज्यता के लिए शर्तें।

  3. लेम्मा और चेबीशेव के प्रमेय के बीच का अंतर।

  4. चेबीशेव प्रमेय की प्रयोज्यता के लिए शर्तें।

  5. बर्नौली के प्रमेय की प्रयोज्यता के लिए शर्तें (बड़ी संख्या का नियम)

  ज्ञान और कौशल के लिए आवश्यकताएँ

  छात्र को केंद्रीय सीमा प्रमेय के सामान्य शब्दार्थ सूत्र को जानना चाहिए। स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए आंशिक प्रमेय तैयार करने में सक्षम हो। Chebyshev असमानता और Chebyshev रूप में बड़ी संख्या के कानून को समझें। एक घटना की आवृत्ति, "संभावना" और "आवृत्ति" की अवधारणाओं के बीच संबंध के बारे में एक विचार रखें। बर्नौली के रूप में बड़ी संख्या के नियम की समझ प्राप्त करें।

  (1857-1918), उत्कृष्ट रूसी गणितज्ञ

  संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेय

  चेबीशेव की असमानता

  आइए हम संभाव्यता सिद्धांत के तथाकथित सीमा प्रमेयों के एक बड़े समूह से कई कथनों और प्रमेयों पर विचार करें, जो उन पर बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ यादृच्छिक चर के सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक विशेषताओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं। वे गणितीय आँकड़ों का आधार बनाते हैं। सीमा प्रमेय पारंपरिक रूप से दो समूहों में विभाजित हैं। प्रमेयों के प्रथम समूह को कहा जाता है बड़ी संख्या का नियम, माध्य मानों की स्थिरता स्थापित करता है, अर्थात। बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ, उनका औसत परिणाम यादृच्छिक होना बंद हो जाता है और पर्याप्त सटीकता के साथ भविष्यवाणी की जा सकती है। प्रमेयों के दूसरे समूह को कहा जाता है केंद्रीय सीमा, उन स्थितियों को स्थापित करता है जिनके तहत बड़ी संख्या में यादृच्छिक चर के योग के वितरण का नियम सामान्य रूप से अनिश्चित काल तक पहुंचता है।

  सबसे पहले, चेबीशेव असमानता पर विचार करें, जिसका उपयोग किया जा सकता है: क) यादृच्छिक चर से जुड़ी घटनाओं की संभावनाओं का मोटे तौर पर अनुमान लगाएं, जिनका वितरण अज्ञात है; बी) बड़ी संख्या के कानून के कई प्रमेयों के प्रमाण।

  प्रमेय 7.1. यदि यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा और विचरण है डीएक्स, फिर चेबीशेव असमानता

  .

  (7.1)

  ध्यान दें कि चेबीशेव असमानता को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है:

  के लिए आवृत्तियोंया घटनाओं में एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में यह एक संभावना के साथ हो सकता है , जिसका विचरण है, चेबीशेव असमानता का रूप है

  असमानता (7.5) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

  .

  (7.6)

  उदाहरण 7.1।चेबीशेव असमानता का उपयोग करते हुए, एक यादृच्छिक चर के विचलन की संभावना का अनुमान लगाएं एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा से तीन मानक विचलन से कम होगा, अर्थात। छोटा।

  फेसला:

  सूत्र (7.2) में मानते हुए, हम प्राप्त करते हैं

  इस आकलन को कहा जाता है तीन सिग्मा नियम.

  चेबीशेव का प्रमेय

  बड़ी संख्या के नियम का मुख्य कथन चेबीशेव के प्रमेय में निहित है। इसमें और बड़ी संख्या के कानून के अन्य प्रमेयों में, "संभाव्यता में यादृच्छिक चर के अभिसरण" की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

  यादृच्छिक चर संभाव्यता में अभिसरणमान ए (यादृच्छिक या गैर-यादृच्छिक) के लिए, यदि किसी के लिए किसी घटना की संभावना एकता की ओर जाती है, यानी।

  

  (या ) संभाव्यता में अभिसरण प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार लिखा गया है:

  इस बात पे ध्यान दिया जाना चाहिए कि संभाव्यता में अभिसरणकी आवश्यकता है कि असमानता पकड़ सदस्यों के विशाल बहुमत के लिएअनुक्रम (गणितीय विश्लेषण में - सभी के लिए एन > नहीं, कहाँ पे एन- एक निश्चित संख्या), और अनुक्रम के लगभग सभी सदस्यों के लिए गिरना चाहिए ε- अड़ोस-पड़ोस लेकिन.

  प्रमेय 7.3 (पीएल चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या का कानून). यदि यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं और एक संख्या है सी> 0, जो , फिर किसी के लिए

  ,

  (7.7)

  वे। इन यादृच्छिक चरों का अंकगणितीय माध्य उनकी गणितीय अपेक्षाओं के अंकगणितीय माध्य की प्रायिकता में परिवर्तित हो जाता है:

  .

  प्रमाण. तब से

  .

  फिर, चेबीशेव असमानता (7.2) को यादृच्छिक चर पर लागू करते हुए, हमारे पास है

  वे। यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा के लिए संभाव्यता में परिवर्तित होता है ए:

  

  प्रमाण. जैसा

  और यादृच्छिक चरों के प्रसरणों को परिबद्ध किया जाता है, फिर चेबीशेव प्रमेय (7.7) को लागू करने पर, हम अभिकथन (7.9) प्राप्त करते हैं।

  चेबीशेव के प्रमेय का परिणाम यादृच्छिक चर के "अंकगणितीय माध्य" के सिद्धांत को सही ठहराता है मैंअभ्यास में लगातार उपयोग किया जाता है। हाँ, हो जाने दो एनकुछ मात्रा का स्वतंत्र माप, जिसका सही मूल्य ए(यह अज्ञात है)। प्रत्येक माप का परिणाम एक यादृच्छिक चर है मैं. कोरोलरी के अनुसार, मात्रा के अनुमानित मूल्य के रूप में एआप माप परिणामों का अंकगणितीय माध्य ले सकते हैं:

  .

  समानता जितनी अधिक सटीक होती है, उतनी ही अधिक एन.

  चेबीशेव का प्रमेय भी आंकड़ों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने पर आधारित है नमूनाकरण विधि, जिसका सार यह है कि बड़ी मात्रा में सजातीय सामग्री की गुणवत्ता का अंदाजा उसके छोटे नमूने से लगाया जा सकता है।

  चेबीशेव का प्रमेय यादृच्छिकता और आवश्यकता के बीच संबंध की पुष्टि करता है: एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य व्यावहारिक रूप से एक गैर-यादृच्छिक चर से भिन्न नहीं होता है।

  बर्नौली की प्रमेय

  बर्नौली की प्रमेय ऐतिहासिक रूप से बड़ी संख्या के नियम का पहला और सरलतम रूप है। यह सैद्धांतिक रूप से सापेक्ष आवृत्ति की स्थिरता संपत्ति की पुष्टि करता है।

  प्रमेय 7.4 (जे. बर्नौली के रूप में बड़ी संख्याओं का नियम). यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता लेकिनएक परीक्षण में है आर, इस घटना के घटित होने की संख्या एनस्वतंत्र परीक्षण बराबर है, तो किसी भी संख्या के लिए हमारे पास समानता है

  ,

  (7.10)

  यानी घटना की सापेक्ष आवृत्ति लेकिनप्रायिकता से प्रायिकता में अभिसरण करता है आरआयोजन लेकिन: .

  प्रमाण. हम यादृच्छिक चर इस प्रकार प्रस्तुत करते हैं: यदि in मैं-वां परीक्षण एक घटना हुई लेकिन, और यदि यह प्रकट नहीं होता है, तो . फिर नंबर लेकिन(सफलताओं की संख्या) के रूप में दर्शाया जा सकता है

  यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण इस प्रकार हैं: , . यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम का रूप है

  मैं
  आर		आर

  किसी के लिए मैं. इस प्रकार, यादृच्छिक चर एक्स मैंस्वतंत्र, उनके प्रसरण एक ही संख्या तक सीमित हैं, क्योंकि

  .

  इसलिए, चेबीशेव के प्रमेय को इन यादृच्छिक चरों पर लागू किया जा सकता है

  .

  ,

  इसलिये, .

  बर्नौली का प्रमेय सैद्धांतिक रूप से इसकी सापेक्ष आवृत्ति का उपयोग करके किसी घटना की संभावना की अनुमानित गणना की संभावना की पुष्टि करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, इस घटना की सापेक्ष आवृत्ति को एक लड़की होने की संभावना के रूप में लिया जा सकता है, जो सांख्यिकीय आंकड़ों के अनुसार लगभग 0.485 के बराबर है।

  यादृच्छिक चर के लिए चेबीशेव की असमानता (7.2)

  रूप लेता है

  कहाँ पे अनुकरणीय- घटना की संभावना लेकिनमें मैं-एम परीक्षण।

  उदाहरण 7.2।पाण्डुलिपि के एक पृष्ठ पर टंकण त्रुटि की प्रायिकता 0.2 है। प्रायिकता का अनुमान लगाएं कि 400 पृष्ठों वाली पांडुलिपि में, गलत प्रिंट की घटना की आवृत्ति 0.05 से कम की संबंधित संभाव्यता मॉड्यूल से भिन्न होती है।

  फेसला:

  हम सूत्र (7.11) का उपयोग करते हैं। इस मामले में , , , । हमारे पास है, अर्थात्। .

  केंद्रीय सीमा प्रमेय

  केंद्रीय सीमा प्रमेय सीमा प्रमेयों का दूसरा समूह है जो एक यादृच्छिक चर के योग के वितरण कानून और उसके सीमित रूप - सामान्य वितरण कानून के बीच संबंध स्थापित करता है।

  आइए हम उस स्थिति के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय तैयार करें जब योग के पदों का वितरण समान हो। यह प्रमेय अक्सर व्यवहार में प्रयोग किया जाता है। गणितीय आँकड़ों में, नमूना यादृच्छिक चर के समान वितरण होते हैं, क्योंकि वे समान सामान्य जनसंख्या से प्राप्त होते हैं।

  प्रमेय 7.5. यादृच्छिक चर को स्वतंत्र होने दें, समान रूप से वितरित करें, परिमित गणितीय अपेक्षा और विचरण करें। फिर इन यादृच्छिक चर के केंद्रित और सामान्यीकृत योग का वितरण कार्य मानक सामान्य यादृच्छिक चर के वितरण कार्य के रूप में होता है।

  संभाव्यता सिद्धांत के केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) का सबसे सरल संस्करण इस प्रकार है।

  (समान रूप से वितरित शर्तों के लिए)। रहने दो एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन, ... गणितीय अपेक्षाओं के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं एम(एक्स मैं) = एमऔर फैलाव डी(एक्स मैं) = , मैं= 1, 2,…, एन,… तब किसी वास्तविक संख्या के लिए एक्सएक सीमा है

  

  कहाँ पे एफ (एक्स)मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन है।

  इस प्रमेय को कभी-कभी लिंडेबर्ग-लेवी प्रमेय कहा जाता है।

  कई लागू समस्याओं में, समान वितरण की शर्त पूरी नहीं होती है। ऐसे मामलों में, केंद्रीय सीमा प्रमेय आमतौर पर मान्य रहता है, लेकिन कुछ शर्तों को यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर लगाया जाना चाहिए। इन शर्तों का सार यह है कि कोई भी पद प्रमुख नहीं होना चाहिए, अंकगणितीय माध्य में प्रत्येक पद का योगदान अंतिम योग की तुलना में नगण्य होना चाहिए। ल्यपुनोव प्रमेय का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

  केंद्रीय सीमा प्रमेय(अलग-अलग वितरित शर्तों के लिए) - ल्यपुनोव का प्रमेय. रहने दो एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन, ... गणितीय अपेक्षाओं के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं एम(एक्स मैं) = मैं मैंऔर फैलाव डी(एक्स मैं) = , मैं= 1, 2,…, एन,… मान लीजिए, कुछ δ>0 के लिए, सभी यादृच्छिक चरों में क्रम 2+δ के केंद्रीय क्षण होते हैं और "ल्यापुनोव अंश" बिना सीमा के घट जाता है:

  

  

  तब किसी वास्तविक संख्या के लिए एक्सएक सीमा है

  कहाँ पे एफ (एक्स)मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन है।

  समान रूप से वितरित यादृच्छिक पदों के मामले में

  और ल्यपुनोव प्रमेय लिंडेबर्ग-लेवी प्रमेय में बदल जाता है।

  यादृच्छिक चर के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय प्राप्त करने का इतिहास दो शताब्दियों में फैला हुआ है - 18 वीं शताब्दी के 30 के दशक में डी मोइवर के पहले कार्यों से लेकर 20 वीं शताब्दी के 30 के दशक में लिंडबर्ग और फेलर द्वारा प्राप्त आवश्यक और पर्याप्त शर्तों तक।

  लिंडेबर्ग-फेलर प्रमेय।रहने दो एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन, ..., गणितीय अपेक्षाओं के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं एम(एक्स मैं) = मैं मैंऔर फैलाव डी(एक्स मैं) = , मैं= 1, 2,…, एन,… सीमा संबंध (1), अर्थात। केंद्रीय सीमा प्रमेय, संतुष्ट है अगर और केवल अगर किसी के लिए τ>0

  

  कहाँ पे Fk(एक्स) यादृच्छिक चर के वितरण कार्य को दर्शाता है एक्स के.

  यादृच्छिक चर के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय के सूचीबद्ध रूपों के प्रमाण संभाव्यता सिद्धांत पर शास्त्रीय पाठ्यक्रम में पाए जा सकते हैं।

  अनुप्रयुक्त आँकड़ों के लिए और, विशेष रूप से, गैर-संख्यात्मक आँकड़ों के लिए, बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय का बहुत महत्व है। यह यादृच्छिक चर के योग के बारे में नहीं है, बल्कि यादृच्छिक वैक्टर के योग के बारे में है।

  बहुआयामी अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त. रहने दो एफ नहींसंयुक्त वितरण समारोह को दर्शाता है क-आयामी यादृच्छिक वेक्टर, एन= 1,2,…, और फ़िनो . अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त एफ नहींको कुछ क-आयामी वितरण समारोह एफक्या वह फ़िनोकिसी भी वेक्टर के लिए एक सीमा है।

  उपरोक्त प्रमेय मूल्यवान है क्योंकि वैक्टर का अभिसरण उनके निर्देशांक के रैखिक संयोजनों के अभिसरण को कम कर देता है, अर्थात। पहले विचार किए गए सामान्य यादृच्छिक चर के अभिसरण के लिए। हालांकि, यह सीधे सीमा वितरण को इंगित करना संभव नहीं बनाता है। यह निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है।

  बहुआयामी अभिसरण पर प्रमेय।रहने दो एफ नहींऔर फ़िनोपिछले प्रमेय के समान हैं। रहने दो एफ- संयुक्त वितरण समारोह क-आयामी यादृच्छिक वेक्टर। यदि वितरण कार्य फ़िनोनमूना आकार को वितरण समारोह में बढ़ाने के साथ अभिसरण करता है एफकिसी भी वेक्टर के लिए, जहां एफरैखिक संयोजन का वितरण कार्य है , तब एफ नहींमें अभिसरण करता है एफ.

  यहाँ अभिसरण एफ नहींको एफइसका मतलब है कि किसी के लिए क-आयामी वेक्टर जैसे कि वितरण कार्य एफनिरंतर, संख्या अनुक्रम एफ नहींवृद्धि के साथ मिलती है एनसंख्या के लिए एफ. दूसरे शब्दों में, वितरण कार्यों के अभिसरण को ठीक उसी तरह समझा जाता है जैसे ऊपर यादृच्छिक चर के लिए सीमा प्रमेयों की चर्चा में। आइए हम इन प्रमेयों का एक बहुआयामी एनालॉग प्रस्तुत करें।

  बहुआयामी केंद्रीय सीमा प्रमेय. स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित पर विचार करें क-आयामी यादृच्छिक वैक्टर

  

  जहां प्राइम वेक्टर ट्रांसपोजिशन ऑपरेशन को दर्शाता है। आइए यादृच्छिक वैक्टर मान लें आप नहींपहले और दूसरे क्रम के क्षण हैं, अर्थात्।

  एम(आप नहीं) = μ, डी(आप नहीं) = Σ,

  कहाँ पे μ यादृच्छिक वेक्टर के निर्देशांक की गणितीय अपेक्षाओं का सदिश है, इसका सहप्रसरण मैट्रिक्स है। हम अंकगणित माध्य यादृच्छिक सदिशों के अनुक्रम का परिचय देते हैं:

  तब यादृच्छिक वेक्टर में एक स्पर्शोन्मुख होता है क-आयामी सामान्य वितरण, यानी। यह स्पर्शोन्मुख रूप से उसी तरह वितरित किया जाता है जैसे कशून्य माध्य, सहप्रसरण , और घनत्व . के साथ -आयामी सामान्य

  यहाँ |Σ| मैट्रिक्स का निर्धारक है। दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक वेक्टर का वितरण अभिसरण करता है कशून्य माध्य और सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ -आयामी सामान्य वितरण।

  याद रखें कि उम्मीद के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण μ और सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ घनत्व के साथ एक वितरण है

  बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय से पता चलता है कि बड़ी संख्या में शब्दों के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक वैक्टर के वितरण का वितरण सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है जिसमें पहले दो क्षण समान होते हैं (यादृच्छिक वेक्टर के निर्देशांक की अपेक्षा वेक्टर और इसके सहसंबंध मैट्रिक्स) मूल वैक्टर के रूप में। समान वितरण को छोड़ दिया जा सकता है, लेकिन इसके लिए प्रतीकात्मकता की कुछ जटिलता की आवश्यकता होगी। कुल मिलाकर, यह बहुआयामी अभिसरण प्रमेय का अनुसरण करता है कि बहुआयामी मामला मौलिक रूप से एक-आयामी एक से भिन्न नहीं होता है।

  उदाहरण।रहने दो एक्स 1 , … एक्स एन,… स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं। विचार करना क-आयामी स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक वैक्टर

  उनकी गणितीय अपेक्षा सैद्धांतिक प्रारंभिक क्षणों का वेक्टर है, और कॉन्वर्सिस मैट्रिक्स संबंधित केंद्रीय क्षणों से बना है। फिर नमूना केंद्रीय क्षणों का वेक्टर है। बहुभिन्नरूपी केंद्रीय सीमा प्रमेय एक स्पर्शोन्मुख रूप से सामान्य वितरण होने का दावा करता है। अभिसरण वंशानुक्रम और रैखिकरण प्रमेय (नीचे देखें) से निम्नानुसार, नमूना प्रारंभिक क्षणों के विभिन्न कार्यों के वितरण को वितरण से घटाया जा सकता है। और चूंकि केंद्रीय क्षण प्रारंभिक क्षणों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, इसलिए उनके लिए भी इसी तरह का एक बयान सही है।

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