एक फ़ंक्शन को सम (विषम) कहा जाता है यदि कोई हो और समानता

.

एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है
.

एक विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित होता है।

उदाहरण 6.2।सम या विषम कार्यों के लिए जाँच करें

1)
; 2)
; 3)
.

फेसला.

1) फ़ंक्शन को के साथ परिभाषित किया गया है
. हमे पता करने दें
.

वे।
. तो यह फ़ंक्शन सम है।

2) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है

वे।
. इस प्रकार, यह फ़ंक्शन विषम है।

3) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात। के लिए

,
. इसलिए, फलन न तो सम है और न ही विषम। आइए इसे एक सामान्य कार्य कहते हैं।

3. एकरसता के लिए एक समारोह की जांच।

समारोह
कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) कहा जाता है यदि इस अंतराल में तर्क का प्रत्येक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।

कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) होने वाले कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है।

यदि समारोह
अंतराल पर अवकलनीय
और एक सकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है
, फिर समारोह
इस अंतराल में बढ़ता (घटता) है।

उदाहरण 6.3. कार्यों की एकरसता के अंतराल खोजें

1)
; 3)
.

फेसला.

1) यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है। आइए व्युत्पन्न खोजें।

व्युत्पन्न शून्य है यदि
और
. परिभाषा का क्षेत्र - अंक द्वारा विभाजित संख्यात्मक अक्ष
,
अंतराल के लिए। आइए हम प्रत्येक अंतराल में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।

अंतराल में
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इस अंतराल पर फलन घटता है।

अंतराल में
व्युत्पन्न धनात्मक है, इसलिए इस अंतराल पर फलन बढ़ रहा है।

2) यह फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है यदि
या

.

हम प्रत्येक अंतराल में वर्ग त्रिपद का चिन्ह निर्धारित करते हैं।

इस प्रकार, समारोह का दायरा

आइए व्युत्पन्न खोजें
,
, अगर
, अर्थात।
, लेकिन
. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें
.

अंतराल में
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इसलिए, अंतराल पर फलन घटता है
. अंतराल में
व्युत्पन्न सकारात्मक है, अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है
.

4. एक चरम के लिए एक समारोह की जांच।

दूरसंचार विभाग
फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहलाता है
, अगर बिंदु का ऐसा पड़ोस है कि सबके लिए
यह पड़ोस असमानता को संतुष्ट करता है

.

किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम बिन्दुओं को चरम बिन्दु कहते हैं।

यदि समारोह
बिंदु पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)।

जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है उन्हें महत्वपूर्ण कहा जाता है।

5. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें।

नियम 1. यदि संक्रमण के दौरान (बाएं से दाएं) महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से यौगिक
चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, फिर बिंदु पर समारोह
अधिकतम है; यदि "-" से "+" तक, तो न्यूनतम; अगर
संकेत नहीं बदलता है, तो कोई चरम नहीं है।

नियम 2. बिंदु पर चलो
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न
शून्य
, और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और गैर-शून्य है। यदि एक
, तब अधिकतम बिंदु है, यदि
, तब फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

उदाहरण 6.4 . अधिकतम और न्यूनतम कार्यों का अन्वेषण करें:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

फेसला।

1) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है
.

आइए व्युत्पन्न खोजें
और समीकरण को हल करें
, अर्थात।
।यहां से
महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें,
.

बिंदुओं से गुजरते समय
और
व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं, इसलिए, नियम 1 के अनुसार
न्यूनतम अंक हैं।

एक बिंदु से गुजरते समय
व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" में संकेत करते हैं, इसलिए
अधिकतम बिंदु है।

,
.

2) फ़ंक्शन परिभाषित है और अंतराल में निरंतर है
. आइए व्युत्पन्न खोजें
.

समीकरण को हल करके
, पाना
और
महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यदि हर
, अर्थात।
, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। इसलिए,
तीसरा महत्वपूर्ण बिंदु है। आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें।

इसलिए, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है
, अधिकतम बिंदुओं पर
और
.

3) एक फलन परिभाषित और सतत होता है यदि
, अर्थात। पर
.

आइए व्युत्पन्न खोजें

.

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

अंक के पड़ोस
परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, इसलिए वे चरम टी नहीं हैं। तो आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदुओं के बारे में
और
.

4) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है
. हम नियम 2 का प्रयोग करते हैं। अवकलज ज्ञात कीजिए
.

आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें
और बिंदुओं पर अपना चिन्ह निर्धारित करें

बिंदुओं पर
फ़ंक्शन न्यूनतम है।

बिंदुओं पर
फ़ंक्शन में अधिकतम है।

चर y की चर x पर निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फलन कहलाता है। संकेतन y=f(x) है। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे कि एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।

समता गुण पर अधिक विस्तार से विचार करें।

एक फलन y=f(x) कहा जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:

2. फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्न समानता f (x) \u003d f (-x) सत्य होना चाहिए।

एक सम फलन का ग्राफ

यदि आप एक सम फलन का ग्राफ बनाते हैं, तो यह y-अक्ष के बारे में सममित होगा।

उदाहरण के लिए, फलन y=x^2 सम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

एक मनमाना x=3 लें। f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. इसलिए, f(x) = f(-x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फलन सम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^2 का एक ग्राफ है।

चित्र से पता चलता है कि ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है।

विषम फलन का ग्राफ

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होना चाहिए।

2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन के डोमेन से, निम्नलिखित समानता f (x) \u003d -f (x) संतुष्ट होनी चाहिए।

एक विषम फलन का ग्राफ बिंदु O - मूल के संबंध में सममित होता है। उदाहरण के लिए, फलन y=x^3 विषम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

एक मनमाना x=2 लें। f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. इसलिए f(x) = -f(x)। इस प्रकार, दोनों शर्तें हमारे लिए संतुष्ट हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन विषम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^3 का एक ग्राफ है।

आकृति स्पष्ट रूप से दिखाती है कि विषम फलन y=x^3 मूल के संबंध में सममित है।

जो एक डिग्री या किसी अन्य से आप परिचित थे। वहां यह भी नोट किया गया था कि फ़ंक्शन गुणों का भंडार धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस खंड में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।

परिभाषा 1.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को तब भी कहा जाता है, भले ही सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d f (x) सत्य हो।

परिभाषा 2.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को विषम कहा जाता है यदि सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d -f (x) सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।

फेसला। हमारे पास है: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. लेकिन (-x) 4 = x 4। इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) = f (x), अर्थात्। समारोह सम है।

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 सम हैं।

सिद्ध कीजिए कि y = x 3 एक विषम फलन है।

फेसला। हमारे पास है: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. परंतु (-x) 3 = -x 3 । इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) \u003d -f (x), अर्थात्। समारोह विषम है।

इसी तरह, यह साबित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम हैं।

आपने और मैंने बार-बार खुद को आश्वस्त किया है कि गणित में नए शब्दों का अक्सर "सांसारिक" मूल होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है। यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों के लिए मामला है। देखें: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम कार्य हैं, जबकि y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 सम कार्य हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म के किसी भी फ़ंक्शन के लिए y \u003d x "(नीचे हम विशेष रूप से इन कार्यों का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन y \u003d x " अजीब है; यदि n एक सम संख्या है, तो फलन y = xn सम है।

ऐसे कार्य भी हैं जो न तो सम और न ही विषम हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 है। दरअसल, f (1) \u003d 5, और f (-1) \u003d 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां इसलिए, न तो पहचान f (-x ) \u003d f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x)।

तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या न तो हो सकता है।

किसी दिए गए फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन आमतौर पर समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।

परिभाषाएँ 1 और 2, x और -x बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों से संबंधित हैं। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x उसी समय फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है जिस समय बिंदु x है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X के प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव -x हो, तो X सममित समुच्चय कहलाता है। मान लें कि (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित समुच्चय हैं, जबकि ; (∞;∞) सममित समुच्चय हैं, और [–5;4] असममित हैं।

- क्या फ़ंक्शन में भी परिभाषा का एक डोमेन होता है - एक सममित सेट? अजीब वाले?
- अगर डी ( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो कार्य क्या है?
- इस प्रकार, यदि फलन पर = एफ(एक्स) सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा का क्षेत्र D है ( एफ) एक सममित सेट है। लेकिन क्या इसका विलोम सत्य है, यदि किसी फलन का प्रांत एक सममित समुच्चय है, तो यह सम या विषम है?
- तो परिभाषा के क्षेत्र के एक सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
- तो हम समानता के लिए फ़ंक्शन की जांच कैसे कर सकते हैं? आइए एक एल्गोरिथ्म लिखने का प्रयास करें।

फिसलना

समानता के लिए एक समारोह की जांच के लिए एल्गोरिदम

1. निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन का डोमेन सममित है। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम। यदि हाँ, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएँ।

2. के लिए व्यंजक लिखिए एफ(–एक्स).

3. तुलना करें एफ(–एक्स)।और एफ(एक्स):

• अगर एफ(–एक्स).= एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन सम है;
• अगर एफ(–एक्स).= – एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन विषम है;
• अगर एफ(–एक्स) ≠ एफ(एक्स) और एफ(–एक्स) ≠ –एफ(एक्स), तो फलन न तो सम है और न ही विषम।

उदाहरण:

समता के लिए फलन की जाँच कीजिए a) पर= एक्स 5 +; बी) पर=; में) पर= .

फेसला।

ए) एच (एक्स) \u003d एक्स 5 +,

1) डी(एच) = (-∞; 0) यू (0; +∞), सममित सेट।

2) एच (- एक्स) \u003d (-एक्स) 5 + - एक्स 5 - \u003d - (एक्स 5 +),

3) एच (- एक्स) \u003d - एच (एक्स) \u003d\u003e फ़ंक्शन एच (एक्स)= x 5 + विषम।

बी) वाई =,

पर = एफ(एक्स), डी (एफ) = (-∞; -9)? (-9; +∞), असममित समुच्चय, इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम।

में) एफ(एक्स) = , y = f(x),

1) डी ( एफ) = (-∞; 3] ; बी) (∞; -2), (-4; 4]?

विकल्प 2

1. क्या दिया गया समुच्चय सममित है: a) [-2;2]; बी) (∞; 0], (0; 7)?

ए); बी) वाई \u003d एक्स (5 - एक्स 2)। 2. समता के लिए फलन का परीक्षण कीजिए:

ए) वाई \u003d एक्स 2 (2x - एक्स 3), बी) वाई \u003d

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सबके लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना एक्स? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक समान कार्य है।

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सभी x संतोषजनक x के लिए? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक विषम कार्य है।

म्युचुअल चेक ऑन फिसल पट्टी।

6. गृहकार्य: №11.11, 11.21,11.22;

समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण।

*** (यूएसई विकल्प का असाइनमेंट)।

1. विषम फलन y \u003d f (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित है। चर x के किसी भी गैर-ऋणात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान के साथ मेल खाता है ( एक्स) = एक्स(एक्स + 1)(एक्स + 3)(एक्स- 7)। फ़ंक्शन h का मान ज्ञात कीजिए ( एक्स) = अत एक्स = 3.

7. संक्षेप करना