ग्रहमिति के दौरान अपनेपन के संकेतों को अच्छी तरह से जाना जाता है। हमारा कार्य ज्यामितीय वस्तुओं के अनुमानों के संबंध में उन पर विचार करना है।

एक बिंदु एक समतल का होता है यदि वह उस तल में पड़ी रेखा से संबंधित हो।

एक सीधे विमान से संबंधित दो संकेतों में से एक द्वारा निर्धारित किया जाता है:

क) एक रेखा इस तल में पड़े दो बिंदुओं से होकर गुजरती है;

b) एक रेखा एक बिंदु से होकर गुजरती है और इस तल में पड़ी रेखाओं के समानांतर होती है।

इन गुणों का उपयोग करके, हम समस्या को एक उदाहरण के रूप में हल करेंगे। माना तल एक त्रिभुज द्वारा दिया गया है एबीसी. लापता प्रक्षेपण का निर्माण करना आवश्यक है डी 1 अंक डीइस विमान से संबंधित। निर्माणों का क्रम इस प्रकार है (चित्र 2.5)।

चावल। 2.5. एक विमान से संबंधित एक बिंदु के अनुमानों के निर्माण के लिए

डॉट के माध्यम से डी 2 हम एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण करते हैं डीविमान में झूठ बोलना  एबीसीत्रिभुज की किसी एक भुजा और बिंदु को प्रतिच्छेद करना लेकिन 2. तब बिंदु 1 2 रेखाओं के अंतर्गत आता है लेकिन 2 डी 2 और सी 2 पर 2. इसलिए, कोई इसका क्षैतिज प्रक्षेपण 1 1 पर . प्राप्त कर सकता है सी 1 परसंचार लाइन पर 1. अंक 1 1 और . को जोड़कर लेकिन 1, हमें एक क्षैतिज प्रक्षेपण मिलता है डीएक । यह स्पष्ट है कि बिंदु डी 1 इसका है और बिंदु के साथ प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा पर स्थित है डी 2 .

यह निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करना काफी सरल है कि कोई बिंदु या सीधी रेखा एक विमान से संबंधित है या नहीं। अंजीर पर। 2.6 ऐसी समस्याओं को हल करने के तरीके को दर्शाता है। समस्या की प्रस्तुति की स्पष्टता के लिए, विमान को एक त्रिभुज द्वारा सेट किया गया है।

चावल। 2.6. एक बिंदु और एक सीधे विमान के संबंध का निर्धारण करने के लिए कार्य।

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई बिंदु संबंधित है इविमान  एबीसी, इसके ललाट प्रक्षेपण E 2 . के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें ए 2. यह मानते हुए कि रेखा a समतल की है  एबीसी, इसके क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण करें ए 1 प्रतिच्छेदन बिंदु 1 और 2 पर। जैसा कि आप देख सकते हैं (चित्र 2.6, ए), सीधी रेखा ए 1 बिंदु से नहीं गुजरता इएक । इसलिए बिंदु इ एबीसी.

एक रेखा से संबंधित होने की समस्या में मेंत्रिभुज विमान एबीसी(चित्र। 2.6, बी), यह सीधी रेखा के अनुमानों में से एक के लिए पर्याप्त है में 2 एक और बनाएँ में 1 *उस पर विचार करते हुए में एबीसी. जैसा कि हम देखते हैं, में 1 * और में 1 मेल नहीं खाता। इसलिए, एक सीधी रेखा में   एबीसी.

2.4. समतल स्तर की रेखाएँ

समतल रेखाओं की परिभाषा पहले दी गई थी। किसी दिए गए तल से संबंधित स्तर रेखाएँ कहलाती हैं मुख्य . ये रेखाएं (सीधी रेखाएं) वर्णनात्मक ज्यामिति में कई समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।

त्रिभुज द्वारा निर्दिष्ट समतल में समतल रेखाओं के निर्माण पर विचार करें (चित्र 2.7)।

चावल। 2.7. त्रिभुज द्वारा परिभाषित समतल की मुख्य रेखाओं का निर्माण

समतल समोच्च  एबीसीहम इसके ललाट प्रक्षेपण को चित्रित करके शुरू करते हैं एच 2 , जिसे अक्ष के समानांतर जाना जाता है ओह. चूँकि यह क्षैतिज रेखा दिए गए तल से संबंधित है, यह समतल के दो बिंदुओं से होकर गुजरती है  एबीसी, अर्थात्, अंक लेकिनऔर 1. उनके ललाट अनुमानों का होना लेकिन 2 और 1 2 , संचार लाइन के साथ हमें क्षैतिज अनुमान मिलते हैं ( लेकिन 1 पहले से मौजूद है) 1 1 । बिंदुओं को जोड़कर लेकिन 1 और 1 1 , हमारे पास एक क्षैतिज प्रक्षेपण है एच 1 क्षैतिज विमान  एबीसी. प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण एच 3 समतल आकृति  एबीसीअक्ष के समानांतर होगा ओहए-प्राथमिकता।

प्लेन फ्रंट  एबीसीइसी तरह बनाया गया है (चित्र। 2.7) केवल इस अंतर के साथ कि इसकी ड्राइंग एक क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ शुरू होती है एफ 1, क्योंकि यह ज्ञात है कि यह OX अक्ष के समानांतर है। प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण एफ 3 मोर्चों को OZ अक्ष के समानांतर होना चाहिए और अनुमानों से गुजरना चाहिए साथ में 3 , 2 3 समान अंक साथ मेंऔर 2.

प्लेन प्रोफाइल लाइन  एबीसीएक क्षैतिज है आर 1 और सामने आरकुल्हाड़ियों के समानांतर 2 अनुमान ओएऔर आउंस, और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण आर 3 चौराहे बिंदुओं का उपयोग करके ललाट द्वारा पहुँचा जा सकता है परऔर 3 एस  एबीसी.

विमान की मुख्य लाइनों का निर्माण करते समय, आपको केवल एक नियम याद रखना होगा: समस्या को हल करने के लिए, आपको हमेशा दिए गए विमान के साथ चौराहे के दो बिंदु प्राप्त करने होंगे। एक अलग तरीके से दिए गए विमान में पड़ी मुख्य लाइनों का निर्माण ऊपर चर्चा की गई तुलना में अधिक कठिन नहीं है। अंजीर पर। 2.8 दो प्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा दिए गए समतल के क्षैतिज और ललाट के निर्माण को दर्शाता है एऔर में.

चावल। 2.8. सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए दिए गए समतल की मुख्य रेखाओं की रचना।

बिंदु और रेखा तल पर मुख्य ज्यामितीय आकृतियाँ हैं।

एक बिंदु और एक सीधी रेखा की परिभाषा ज्यामिति में पेश नहीं की जाती है, इन अवधारणाओं को एक सहज वैचारिक स्तर पर माना जाता है।

अंक राजधानी (पूंजी, बड़े) लैटिन अक्षरों द्वारा इंगित किए जाते हैं: ए, बी, सी, डी, ...

सीधी रेखाओं को एक लोअरकेस (छोटे) लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए,

- सीधी रेखा ए।

एक सीधी रेखा में अनंत संख्या में बिंदु होते हैं और इसका न तो आदि होता है और न ही अंत। यह आकृति एक सीधी रेखा के केवल एक भाग को दर्शाती है, लेकिन यह समझा जाता है कि यह अंतरिक्ष में असीम रूप से दूर तक फैली हुई है, दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी है।

एक रेखा पर स्थित बिंदु उस रेखा पर कहलाते हैं। सदस्यता को चिह्न से चिह्नित किया जाता है। कहा जाता है कि एक रेखा के बाहर के बिंदु उस रेखा से संबंधित नहीं होते हैं। संकेत "संबंधित नहीं है" है।

उदाहरण के लिए, बिंदु B रेखा a से संबंधित है (लिखित: B∈a),

बिंदु F, रेखा a से संबंधित नहीं है, (वे लिखते हैं: F∉a)।

विमान पर बिंदुओं और रेखाओं की सदस्यता के मुख्य गुण:

रेखा जो भी हो, ऐसे बिंदु हैं जो इस रेखा से संबंधित हैं, और ऐसे बिंदु हैं जो इससे संबंधित नहीं हैं।

किन्हीं दो बिंदुओं और केवल एक के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है।

रेखा पर स्थित बिंदुओं के नाम के अनुसार, दो बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा भी रेखाओं को निरूपित किया जाता है।

- सीधी रेखा एबी।

- इस लाइन को एमके या एमएन या एनके कहा जा सकता है।

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद कर सकती हैं या नहीं भी। यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो उनके पास उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं। यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। क्रॉसिंग का चिह्न - ∩ .

उदाहरण के लिए, रेखाएँ a और b बिंदु O . पर प्रतिच्छेद करती हैं

(लिखना एक ∩ बी = ओ)।

रेखाएँ c और d भी प्रतिच्छेद करती हैं, हालाँकि उनका प्रतिच्छेदन बिंदु चित्र में नहीं दिखाया गया है।

चावल। 3.2रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

अंतरिक्ष में रेखाएं एक दूसरे के सापेक्ष तीन पदों में से एक पर कब्जा कर सकती हैं:

1) समानांतर हो;

2) प्रतिच्छेदन;

3) इंटरब्रीड।

समानांतरसीधी रेखाएँ कहलाती हैं जो एक ही तल में होती हैं और जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

यदि रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं, तो सीसी पर उसी नाम के उनके अनुमान भी समानांतर हैं (देखें खंड 1.2)।

अन्तर्विभाजकएक ही तल में पड़ी और एक उभयनिष्ठ बिंदु वाली सीधी रेखाएं कहलाती हैं।

सीसी पर प्रतिच्छेदन रेखाओं के लिए, एक ही नाम के अनुमान बिंदु के अनुमानों में प्रतिच्छेद करते हैं लेकिन. इसके अलावा, इस बिंदु के ललाट () और क्षैतिज () अनुमान एक ही संचार लाइन पर होने चाहिए।

अंतर प्रजननसीधी रेखाएँ कहलाती हैं जो समांतर तलों में स्थित होती हैं और जिनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है।

यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद कर रही हैं, तो CC पर उसी नाम के उनके अनुमान प्रतिच्छेद कर सकते हैं, लेकिन समान नाम के अनुमानों के प्रतिच्छेदन बिंदु समान संचार रेखा पर नहीं होंगे।

अंजीर पर। 3.4 अंक साथ मेंलाइन के अंतर्गत आता है बी, और बिंदु डी- सीधा ए. ये बिंदु ललाट प्रक्षेपण तल से समान दूरी पर हैं। इसी तरह डॉट्स इऔर एफविभिन्न रेखाओं से संबंधित हैं, लेकिन क्षैतिज प्रक्षेपण तल से समान दूरी पर हैं। इसलिए, उनके ललाट अनुमान सीसी पर मेल खाते हैं।

ऐसी दो स्थितियाँ हैं जहाँ एक बिंदु समतल के सापेक्ष स्थित होता है: एक बिंदु समतल से संबंधित हो भी सकता है और नहीं भी (चित्र 3.5)।

एक बिंदु और एक सीधे विमान से संबंधित होने का संकेत:

बिंदु विमान का हैयदि यह इस तल में पड़ी रेखा से संबंधित है।

रेखा विमान की है, यदि इसके साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं या इसके साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु है और इस तल में पड़ी दूसरी रेखा के समानांतर है।

अंजीर पर। 3.5 एक समतल और बिंदु दिखाता है डीऔर इ. दूरसंचार विभाग डीविमान के अंतर्गत आता है, क्योंकि यह रेखा के अंतर्गत आता है मैं, जिसके इस तल के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं - 1 और लेकिन. दूरसंचार विभाग इविमान से संबंधित नहीं है, क्योंकि इसके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना असंभव है जो दिए गए विमान में स्थित है।

अंजीर पर। 3.6 एक समतल और एक सीधी रेखा को दर्शाता है टीइस विमान में झूठ बोलना, क्योंकि इसके साथ एक सामान्य बिंदु है 1 और रेखा के समानांतर ए.

कार्तीय गुणन पर, जहाँ M बिंदुओं का एक समुच्चय है, हम 3-स्थान संबंध d प्रस्तुत करते हैं। यदि अंकों का एक क्रमबद्ध ट्रिपल (ए, बी, सी) इस संबंध से संबंधित है, तो हम कहेंगे कि बिंदु बी बिंदु ए और सी के बीच स्थित है और अंकन का उपयोग करें: ए-बी-सी। पेश किए गए संबंध को निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को पूरा करना चाहिए:

यदि बिंदु B, बिंदु A और C के बीच स्थित है, तो A, B, C एक ही रेखा पर तीन अलग-अलग बिंदु हैं, और B, C और A के बीच स्थित है।

A और B जो भी बिंदु हैं, कम से कम एक बिंदु C ऐसा है कि B, A और C के बीच स्थित है।

एक रेखा पर किन्हीं तीन बिंदुओं में से अधिक से अधिक एक बिंदु अन्य दो के बीच स्थित होता है।

दूसरे समूह के अंतिम, चौथे अभिगृहीत को तैयार करने के लिए, निम्नलिखित धारणा का परिचय देना सुविधाजनक है।

परिभाषा 3.1. एक खंड से (हिल्बर्ट के अनुसार) हमारा मतलब बिंदुओं की एक जोड़ी AB से है। बिंदु A और B को खंड का सिरा कहा जाएगा, इसके सिरों के बीच स्थित बिंदु - खंड के आंतरिक बिंदु, या केवल खंड के बिंदु, और रेखा AB के बिंदु जो छोर A के बीच स्थित नहीं हैं और बी - खंड के बाहरी बिंदु।

. (पाशा का अभिगृहीत) मान लीजिए कि A, B और C तीन बिंदु हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, और मान लीजिए कि समतल ABC की वह रेखा है जो इन बिंदुओं से नहीं गुजरती है। फिर, यदि रेखा l खंड AB के एक बिंदु से होकर गुजरती है, तो इसमें या तो खंड AC का एक बिंदु होता है या खंड BC का एक बिंदु होता है।

बिंदुओं, रेखाओं और खंडों के बहुत सारे ज्यामितीय गुण पहले और दूसरे समूहों के स्वयंसिद्धों से अनुसरण करते हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी खंड में कम से कम एक आंतरिक बिंदु होता है, रेखा के तीन बिंदुओं में से हमेशा एक और अन्य दो के बीच में केवल एक ही होता है, रेखा के दो बिंदुओं के बीच हमेशा अनंत रूप से कई बिंदु होते हैं, जिसका अर्थ है वहाँ रेखा पर अपरिमित रूप से कई बिंदु हैं। यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि पास्क अभिगृहीत का कथन एक ही रेखा पर स्थित बिंदुओं के लिए भी मान्य है: यदि बिंदु A, B और C एक ही रेखा से संबंधित हैं, तो रेखा l इन बिंदुओं से नहीं गुजरती है और इनमें से किसी एक को काटती है खंड, उदाहरण के लिए, AB एक आंतरिक बिंदु पर, फिर यह एक आंतरिक बिंदु पर या तो खंड AC या खंड BC को काटता है। यह भी ध्यान दें कि यह पहले और दूसरे समूहों के स्वयंसिद्धों से नहीं चलता है कि एक रेखा के बिंदुओं का समूह बेशुमार है। हम इन दावों के सबूत पेश नहीं करेंगे। पाठक उनसे मैनुअल में परिचित हो सकते हैं, और। आइए हम बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं पर अधिक विस्तार से ध्यान दें, अर्थात् किरण, अर्ध-तल और अर्ध-अंतरिक्ष, जो सदस्यता और व्यवस्था के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके पेश किए जाते हैं।

निम्नलिखित कथन सत्य है:

रेखा l का बिंदु O इस रेखा के अन्य बिंदुओं के सेट को दो गैर-रिक्त उपसमुच्चय में विभाजित करता है ताकि एक ही उपसमुच्चय से संबंधित किन्हीं दो बिंदुओं A और B के लिए, बिंदु O खंड AB का एक बाहरी बिंदु हो, और विभिन्न उपसमुच्चय से संबंधित किन्हीं दो बिंदुओं C और D के लिए, बिंदु O खंड CD का एक आंतरिक बिंदु है।

इनमें से प्रत्येक उपसमुच्चय को कहा जाता है खुशी से उछलनाबिंदु 0 पर मूल के साथ रेखा l। किरणों को h, l, k, …OA, OB, OC,… द्वारा दर्शाया जाएगा, जहां O किरण की शुरुआत है, और A, B, और C बिंदु हैं किरण इस दावे का प्रमाण बाद में धारा 7 में दिया जाएगा, लेकिन त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक अलग स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हुए। एक किरण की अवधारणा हमें सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय वस्तु - कोण को परिभाषित करने की अनुमति देती है।

परिभाषा 3.2.एक कोण से (हिल्बर्ट के अनुसार) हमारा मतलब h और k किरणों की एक जोड़ी है जिसका मूल मूल O है और एक सीधी रेखा पर नहीं है।

बिंदु O को कोण का शीर्ष कहा जाता है, और किरणें h और k इसकी भुजाएँ हैं। कोणों के लिए, हम संकेतन का उपयोग करेंगे . प्राथमिक ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा पर विचार करें - अर्ध-तल की अवधारणा।

प्रमेय 3.1।समतल में पड़ी रेखा a अपने उन बिंदुओं के समूह को विभाजित करती है जो रेखा से संबंधित नहीं हैं दो गैर-रिक्त उपसमुच्चय में, ताकि यदि बिंदु A और B एक ही उपसमुच्चय से संबंधित हों, तो खंड AB में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं रेखा l, और यदि बिंदु A और B B अलग-अलग उपसमुच्चय से संबंधित हैं, तो खंड AB रेखा l को उसके आंतरिक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है.

प्रमाण।उपपत्ति में, हम तुल्यता संबंध के निम्नलिखित गुणधर्म का प्रयोग करेंगे। यदि किसी समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध पेश किया जाता है, जो एक तुल्यता संबंध है, अर्थात। रिफ्लेक्सिविटी, समरूपता और ट्रांजिटिविटी की शर्तों को संतुष्ट करता है, फिर पूरे सेट को गैर-अंतर्विभाजक उपसमुच्चय - तुल्यता वर्गों में विभाजित किया जाता है, और कोई भी दो तत्व एक ही वर्ग के होते हैं यदि और केवल यदि वे समकक्ष हों।

समतल में उन बिंदुओं के समुच्चय पर विचार करें जो रेखा a से संबंधित नहीं हैं। हम मानेंगे कि दो बिंदु A और B द्विआधारी संबंध d: AdB में हैं यदि और केवल यदि खंड AB पर कोई आंतरिक बिंदु नहीं हैं जो रेखा a से संबंधित हैं। हम भी गिनेंगे मान लीजिए कि कोई भी बिंदु अपने आप में एक द्विआधारी संबंध d में है। आइए हम दिखाते हैं कि किसी भी बिंदु A के लिए जो रेखा a से संबंधित नहीं है, एक द्विआधारी संबंध में इसके साथ होने और न होने दोनों, A से भिन्न बिंदु हैं। हम सीधी रेखा a का एक मनमाना बिंदु P चुनते हैं (चित्र 6 देखें)। तब, अभिगृहीत के अनुसार, रेखा AP का एक बिंदु B इस प्रकार मौजूद होता है कि P-A-B। रेखा AB, a को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, जो बिंदु A और B के बीच नहीं है, इसलिए बिंदु A और B, d के संबंध में हैं। उसी अभिगृहीत के अनुसार, एक बिंदु C का अस्तित्व इस प्रकार है कि A-P-C। इसलिए बिंदु P, A और C के बीच स्थित है, बिंदु A और C, d के संबंध में नहीं हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि संबंध d एक तुल्यता संबंध है। द्विआधारी संबंध डी: एडीए की परिभाषा के आधार पर रिफ्लेक्सिविटी की स्थिति स्पष्ट रूप से संतुष्ट है। मान लीजिए बिंदु A और B, d के संबंध में हैं। तब खंड AB पर रेखा a का कोई बिंदु नहीं है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि खंड BA पर सीधी रेखा a के कोई बिंदु नहीं हैं, इसलिए BdA, समरूपता संबंध संतुष्ट है। चलो, अंत में, तीन अंक ए, बी और सी इस तरह दिए जाते हैं कि एडीबी और बीडीसी। आइए हम दिखाते हैं कि बिंदु A और C द्विआधारी संबंध d में हैं। मान लीजिए विपरीत, खंड AC पर सीधी रेखा a (चित्र 7) का एक बिंदु P है। फिर, अभिगृहीत, पास्च अभिगृहीत के आधार पर, रेखा a या तो खंड BC या खंड AB को प्रतिच्छेद करती है (चित्र 7 में, रेखा a, खंड BC को प्रतिच्छेद करती है)। हम एक अंतर्विरोध पर पहुंचे हैं, क्योंकि यह एडीबी और बीडीसी की शर्तों का पालन करता है कि रेखा ए इन खंडों को नहीं काटती है। इस प्रकार, संबंध d एक तुल्यता संबंध है और यह समतल के उन बिंदुओं के समुच्चय को तुल्यता वर्गों में विभाजित करता है जो रेखा a से संबंधित नहीं हैं।

आइए हम जाँच करें कि वास्तव में ऐसे दो तुल्यता वर्ग हैं। ऐसा करने के लिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि यदि अंक ए और सी और बी और सी समकक्ष नहीं हैं, तो बिंदु ए और बी बदले में एक दूसरे के बराबर हैं। चूँकि बिंदु A और C और B और C तुल्यता संबंध d में नहीं हैं, इसलिए रेखा a, AC और BC को बिंदुओं P और Q पर काटती है (देखिए आकृति 7)। लेकिन तब, पाशा के अभिगृहीत के आधार पर, यह रेखा खंड AB को प्रतिच्छेद नहीं कर सकती। अतः बिंदु A और B एक दूसरे के तुल्य हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 3.2 में परिभाषित प्रत्येक तुल्यता वर्ग कहलाता है आधा विमान।इस प्रकार, समतल की कोई भी सीधी रेखा इसे दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है, जिसके लिए यह कार्य करता है सीमा.

इसी तरह अर्ध-तल की अवधारणा के लिए, अर्ध-अंतरिक्ष की अवधारणा पेश की जाती है। एक प्रमेय सिद्ध होता है, जिसमें कहा गया है कि अंतरिक्ष का कोई भी विमान अंतरिक्ष के बिंदुओं को दो सेटों में विभाजित करता है। एक खंड, जिसके सिरे एक समुच्चय के बिंदु हैं, का समतल a से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। यदि किसी खंड के अंतिम बिंदु अलग-अलग सेट से संबंधित हैं, तो ऐसे खंड में विमान के आंतरिक बिंदु के रूप में होता है। इस अभिकथन का प्रमाण प्रमेय 3.2 के प्रमाण के समान है, हम इसे यहाँ प्रस्तुत नहीं करेंगे।

आइए हम एक कोण के आंतरिक बिंदु की अवधारणा को परिभाषित करें। एक कोण दिया जाए। रेखा OA पर विचार करें जिसमें किरण OA, इस कोण की भुजा है। यह स्पष्ट है कि रेखा OA के संबंध में किरण OB के बिंदु उसी अर्ध-तल a के हैं। इसी तरह, किरण OA के बिंदु, दिए गए कोण की भुजाएँ, एक ही अर्ध-तल b से संबंधित हैं, जिसकी सीमा है प्रत्यक्ष ओबी (चित्र। 8)। अर्ध-तलों a और b के प्रतिच्छेदन से संबंधित बिंदु कहलाते हैं आंतरिक बिंदुकोण। चित्र 8 में, बिंदु M एक आंतरिक बिंदु है। किसी कोण के सभी आंतरिक बिंदुओं के समुच्चय को कहते हैं आंतरिक क्षेत्र. वह किरण जिसका शीर्ष किसी कोण के शीर्ष से संपाती हो और जिसके सभी बिंदु आंतरिक हों, कहलाती है आंतरिक बीमकोण। चित्र 8 AOB कोण की आंतरिक किरण h को दर्शाता है।

निम्नलिखित कथन सत्य हैं।

दस । यदि किसी कोण के शीर्ष पर उद्गम वाली किरण में उसका कम से कम एक आंतरिक बिंदु होता है, तो वह उस कोण की एक आंतरिक किरण होती है।

20. यदि खंड के सिरे कोण के दो अलग-अलग पक्षों पर स्थित हैं, तो खंड का कोई भी आंतरिक बिंदु कोण का एक आंतरिक बिंदु है।

तीस । कोण की कोई भी आंतरिक किरण उस खंड को काटती है जिसके सिरे कोण के किनारों पर होते हैं।

हम इन कथनों के प्रमाणों पर बाद में, खंड 5 में विचार करेंगे। दूसरे समूह के अभिगृहीतों का उपयोग करते हुए, हम एक टूटी हुई रेखा, त्रिभुज, बहुभुज, एक साधारण बहुभुज के अभ्यंतर की अवधारणा की अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं, और सिद्ध करते हैं कि एक सरल बहुभुज एक समतल को उसके संबंध में आंतरिक और बाह्य दो क्षेत्रों में विभाजित करता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों का तीसरा समूह सर्वांगसमता के तथाकथित स्वयंसिद्ध हैं। मान लीजिए S खंडों का समुच्चय है, A कोणों का समुच्चय है। कार्टेशियन उत्पादों पर और हम द्विआधारी संबंध पेश करते हैं, जिसे हम सर्वांगसम संबंध कहेंगे।

ध्यान दें कि इस तरह से पेश किया गया संबंध माना स्वयंसिद्धों की मुख्य वस्तुओं का संबंध नहीं है, अर्थात। रेखाओं और विमानों के बिंदु। अभिगृहीतों के तीसरे समूह का परिचय तभी संभव है जब खंड और कोण की अवधारणाओं को परिभाषित किया गया हो, अर्थात्। हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों के पहले और दूसरे समूह पेश किए गए हैं।

हम सर्वांगसम खंडों या कोणों को भी ज्यामितीय रूप से समान या केवल समान खंडों या कोणों को कॉल करने के लिए सहमत हैं, शब्द "सर्वांगसम", उस स्थिति में जब यह गलतफहमी का कारण नहीं बनता है, शब्द "बराबर" द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा और प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा "="।