इस समीकरण को सरल बनाने के लिए सबसे कम उभयनिष्ठ भाजक का उपयोग किया जाता है।इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप दिए गए समीकरण को समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर एक परिमेय व्यंजक के साथ नहीं लिख सकते हैं (और क्रॉस गुणन विधि का उपयोग करें)। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आपको 3 या अधिक भिन्नों के साथ एक परिमेय समीकरण दिया जाता है (दो भिन्नों के मामले में, क्रॉस गुणन बेहतर होता है)।

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक (या कम से कम उभयनिष्ठ गुणज) ज्ञात कीजिए। NOZ सबसे छोटी संख्या है जो हर हर से समान रूप से विभाजित होती है।

• कभी-कभी NOZ एक स्पष्ट संख्या होती है। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण दिया गया है: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, तो यह स्पष्ट है कि संख्याओं 3, 2 और 6 का लघुत्तम समापवर्तक 6 होगा।
• यदि NOD स्पष्ट नहीं है, तो सबसे बड़े हर के गुणज लिखिए और उनमें से एक ऐसा ज्ञात कीजिए जो अन्य हरों का गुणज भी हो। आप अक्सर दो हरों को एक साथ गुणा करके एनओडी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 दिया गया है, तो NOZ = 8*9 = 72.
• यदि एक या अधिक हर में एक चर होता है, तो प्रक्रिया कुछ अधिक जटिल होती है (लेकिन असंभव नहीं)। इस मामले में, NOZ एक व्यंजक (एक चर युक्त) है जो प्रत्येक हर द्वारा विभाज्य है। उदाहरण के लिए, समीकरण 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) में, क्योंकि यह व्यंजक प्रत्येक हर से विभाज्य है: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)।

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर दोनों को प्रत्येक भिन्न के संगत हर द्वारा NOZ को विभाजित करने के परिणाम के बराबर संख्या से गुणा करें। चूँकि आप अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर रहे हैं, आप एक भिन्न को प्रभावी रूप से 1 से गुणा कर रहे हैं (उदाहरण के लिए, 2/2 = 1 या 3/3 = 1)।

• तो हमारे उदाहरण में, 2x/6 प्राप्त करने के लिए x/3 को 2/2 से गुणा करें, और 3/6 प्राप्त करने के लिए 1/2 को 3/3 से गुणा करें (3x + 1/6 को गुणा करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह हर है 6)।
• इसी तरह आगे बढ़ें जब चर हर में हो। हमारे दूसरे उदाहरण में NOZ = 3x(x-1), इसलिए 5/(x-1) गुना (3x)/(3x) 5(3x)/(3x)(x-1) है; 1/x गुणा 3(x-1)/3(x-1) प्राप्त करने के लिए 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) (x-1)/(x-1) से गुणा करें और आपको 2(x-1)/3x(x-1) मिलता है।

एक्स खोजें।अब जब आपने भिन्नों को एक सामान्य हर में घटा दिया है, तो आप हर से छुटकारा पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण के प्रत्येक पक्ष को एक सामान्य हर से गुणा करें। फिर परिणामी समीकरण को हल करें, अर्थात "x" खोजें। ऐसा करने के लिए, चर को समीकरण के एक तरफ अलग करें।

• हमारे उदाहरण में: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6। आप एक ही हर के साथ 2 भिन्न जोड़ सकते हैं, इसलिए समीकरण को इस प्रकार लिखें: (2x+3)/6=(3x+1)/6। समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें और हर से छुटकारा पाएं: 2x+3 = 3x +1। हल करें और x = 2 प्राप्त करें।
• हमारे दूसरे उदाहरण में (हर में एक चर के साथ), समीकरण इस तरह दिखता है (एक सामान्य हर में कमी के बाद): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (एक्स -1) / 3 एक्स (एक्स -1)। समीकरण के दोनों पक्षों को NOZ से गुणा करके, आप हर से छुटकारा पाते हैं और प्राप्त करते हैं: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), या 15x = 3x - 3 + 2x -2, या 15x = x - 5 हल करें और प्राप्त करें: x = -5/14।

हमने उपरोक्त समीकरण को 7 में प्रस्तुत किया है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि एक परिमेय व्यंजक क्या है। यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और चर x से बना एक बीजीय व्यंजक है।

यदि r(x) एक परिमेय व्यंजक है, तो समीकरण r(x) = 0 एक परिमेय समीकरण कहलाता है।

हालाँकि, व्यवहार में "तर्कसंगत समीकरण" शब्द की कुछ हद तक व्यापक व्याख्या का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है: यह h(x) = q(x) के रूप का एक समीकरण है, जहाँ h(x) और q(x) हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

अब तक, हम किसी भी तर्कसंगत समीकरण को हल नहीं कर सके, लेकिन केवल एक ही, जो विभिन्न परिवर्तनों और तर्कों के परिणामस्वरूप कम हो गया था रेखीय समीकरण. अब हमारी संभावनाएं बहुत अधिक हैं: हम एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे, जो न केवल रैखिक को कम करता है
mu, लेकिन द्विघात समीकरण के लिए भी।

याद कीजिए कि कैसे हमने पहले परिमेय समीकरणों को हल किया था और एक समाधान एल्गोरिथम तैयार करने का प्रयास किया था।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

इस मामले में, हमेशा की तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि समानताएं ए \u003d बी और ए - बी \u003d 0 ए और बी के बीच समान संबंध व्यक्त करती हैं। इसने हमें समीकरण के बाईं ओर शब्द को स्थानांतरित करने की अनुमति दी विपरीत संकेत।

आइए समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है

समानता की शर्तों को याद करें अंशोंशून्य: यदि, और केवल तभी, जब दो संबंध एक साथ संतुष्ट हों:

1) भिन्न का अंश शून्य है (a = 0); 2) भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है)।
समीकरण (1) के बाईं ओर भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह ऊपर उल्लिखित दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करने के लिए बनी हुई है। अनुपात का अर्थ समीकरण (1) के लिए है। मान x 1 = 2 और x 2 = 0.6 संकेतित संबंधों को संतुष्ट करते हैं और इसलिए समीकरण (1) की जड़ों के रूप में कार्य करते हैं, और साथ ही दिए गए समीकरण की जड़ें भी।

1) आइए समीकरण को रूप में बदलें

2) आइए इस समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करें:

(साथ ही अंश में चिह्नों को बदल दिया और
अंश)।
इस प्रकार, दिया गया समीकरण रूप लेता है

3) समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 को हल कीजिए

4) पाए गए मानों के लिए, स्थिति की जाँच करें . संख्या 4 इस शर्त को पूरा करती है, लेकिन संख्या 2 नहीं। अतः 4 दिए गए समीकरण का मूल है, और 2 एक बाह्य मूल है।
उत्तर - 4।

2. एक नए चर का परिचय देकर परिमेय समीकरणों का समाधान

एक नया चर पेश करने की विधि आप से परिचित है, हमने इसे एक से अधिक बार उपयोग किया है। आइए उदाहरणों के द्वारा दिखाएं कि इसका उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को हल करने में कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3समीकरण x 4 + x 2 - 20 = 0 को हल करें।

फेसला। हम एक नया चर y \u003d x 2 पेश करते हैं। चूँकि x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, तो दिए गए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

वाई 2 + वाई - 20 = 0।

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसके मूल हम ज्ञात . का उपयोग करके ज्ञात करेंगे सूत्रों; हमें y 1 = 4, y 2 = - 5 प्राप्त होता है।
लेकिन y \u003d x 2, जिसका अर्थ है कि समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई है:
x2=4; एक्स 2 \u003d -5।

पहले समीकरण से हम पाते हैं कि दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
जवाब: ।
कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी \u003d 0 फॉर्म के समीकरण को द्विघात समीकरण ("द्वि" - दो, यानी, जैसा कि "दो बार वर्ग" समीकरण) कहा जाता है। अभी हल किया गया समीकरण बिल्कुल द्विघाती था। किसी भी द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे उदाहरण 3 से समीकरण: एक नया चर y \u003d x 2 पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण को चर y के संबंध में हल किया जाता है, और फिर चर x पर वापस आ जाता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें

फेसला। ध्यान दें कि समान व्यंजक x 2 + 3x यहाँ दो बार आता है। इसलिए, एक नया चर y = x 2 + Zx पेश करना समझ में आता है। यह हमें एक सरल और अधिक सुखद रूप में समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देगा (जो वास्तव में, एक नया परिचय देने का उद्देश्य है चर- और रिकॉर्डिंग आसान है
, और समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है):

और अब हम एक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।

1) आइए समीकरण के सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ:

= 0
2) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें

इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को रूप में बदल दिया है

3) समीकरण से - 7y 2 + 29y -4 = 0 हम पाते हैं (हमने पहले से ही बहुत सारे द्विघात समीकरणों को हल कर लिया है, इसलिए शायद यह हमेशा पाठ्यपुस्तक में विस्तृत गणना देने के लायक नहीं है)।

4) आइए 5 (y - 3) (y + 1) की स्थिति का उपयोग करके पाए गए जड़ों की जाँच करें। दोनों जड़ें इस शर्त को पूरा करती हैं।
तो, नए चर y के लिए द्विघात समीकरण हल हो गया है:
चूंकि y \u003d x 2 + Zx, और y, जैसा कि हमने स्थापित किया है, दो मान लेता है: 4 और, - हमें अभी भी दो समीकरणों को हल करना है: x 2 + Zx \u003d 4; एक्स 2 + जेडएक्स \u003d। पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और - 4 हैं, दूसरे समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं

विचार किए गए उदाहरणों में, एक नए चर को पेश करने की विधि थी, जैसा कि गणितज्ञ कहना चाहते हैं, स्थिति के लिए पर्याप्त है, अर्थात यह इसके अनुरूप है। क्यों? हाँ, क्योंकि एक ही व्यंजक कई बार समीकरण रिकॉर्ड में स्पष्ट रूप से सामने आया था और इस व्यंजक को एक नए अक्षर से निर्दिष्ट करना उचित था। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी एक नया चर केवल परिवर्तनों की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"। ठीक यही अगले उदाहरण में होगा।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
फेसला। हमारे पास है
एक्स (एक्स - 3) \u003d एक्स 2 - 3x;
(एक्स - 1) (एक्स - 2) \u003d एक्स 2 -3x + 2।

अतः दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

अब एक नया चर "प्रकट" हुआ है: y = x 2 - Zx।

इसकी मदद से, समीकरण को y (y + 2) \u003d 24 और फिर y 2 + 2y - 24 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण की जड़ें संख्या 4 और -6 हैं।

मूल चर x पर लौटने पर, हम दो समीकरण x 2 - Zx \u003d 4 और x 2 - Zx \u003d - 6. प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण से हम x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1 पाते हैं; दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर : 4,-1.

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अब तक, हमने केवल अज्ञात के संबंध में पूर्णांक समीकरणों को हल किया है, यानी ऐसे समीकरण जिनमें हर (यदि कोई हो) में अज्ञात नहीं था।

अक्सर आपको उन समीकरणों को हल करना होता है जिनमें हर में अज्ञात होता है: ऐसे समीकरणों को भिन्नात्मक कहा जाता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम इसके दोनों पक्षों को अज्ञात वाले बहुपद से गुणा करते हैं। क्या नया समीकरण दिए गए समीकरण के बराबर होगा? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए इस समीकरण को हल करें।

इसके दोनों पक्षों को से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पहली डिग्री के इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं:

अतः, समीकरण (2) का एक ही मूल है

इसे समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अत: समीकरण (1) का मूल भी है।

समीकरण (1) का कोई अन्य मूल नहीं है। हमारे उदाहरण में, यह देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य से कि समीकरण (1) में

अज्ञात भाजक किस प्रकार भागफल 2 से विभाजित भाज्य 1 के बराबर होना चाहिए, अर्थात।

अत: समीकरण (1) और (2) का एक ही मूल है, अत: वे तुल्य हैं।

2. अब हम निम्नलिखित समीकरण को हल करते हैं:

सबसे सरल आम भाजक: ; समीकरण के सभी पदों को इससे गुणा करें:

कमी के बाद हमें मिलता है:

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

समान पदों को लाना, हमारे पास है:

इस समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर, हमें ऐसे भाव मिले जिनका कोई मतलब नहीं है।

अतः समीकरण (1) का मूल नहीं है। इसका तात्पर्य है कि समीकरण (1) और समतुल्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, हम कहते हैं कि समीकरण (1) ने एक बाह्य मूल प्राप्त कर लिया है।

आइए हम समीकरण (1) के हल की तुलना उन समीकरणों के हल से करें जिन पर हमने पहले विचार किया था (देखें 51)। इस समीकरण को हल करने में, हमें दो ऐसे ऑपरेशन करने पड़े जो पहले नहीं देखे गए थे: पहला, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात (सामान्य भाजक) वाले एक व्यंजक से गुणा किया, और, दूसरा, हमने बीजीय अंशों को उन कारकों से घटाया जिनमें शामिल हैं अज्ञात।

समीकरण (1) की समीकरण (2) से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि समीकरण (2) के लिए मान्य सभी x मान समीकरण (1) के लिए मान्य नहीं हैं।

यह संख्या 1 और 3 है जो समीकरण (1) के लिए अज्ञात के स्वीकार्य मान नहीं हैं, और परिवर्तन के परिणामस्वरूप वे समीकरण (2) के लिए स्वीकार्य हो गए। इनमें से एक संख्या समीकरण (2) का हल निकला, लेकिन निश्चित रूप से यह समीकरण (1) का हल नहीं हो सकता। समीकरण (1) का कोई हल नहीं है।

इस उदाहरण से पता चलता है कि अज्ञात वाले कारक द्वारा समीकरण के दोनों हिस्सों को गुणा करते समय, और बीजीय अंशों को कम करते समय, एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जो दिए गए एक के बराबर नहीं है, अर्थात्: बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं।

इसलिए हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं। हर में एक अज्ञात वाले समीकरण को हल करते समय, परिणामी जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए। बाहरी जड़ों को त्याग दिया जाना चाहिए।

हम पहले ही सीख चुके हैं कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। आइए अब हम अध्ययन की गई विधियों को परिमेय समीकरणों तक विस्तारित करते हैं।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति क्या है? हम पहले ही इस अवधारणा का सामना कर चुके हैं। तर्कसंगत अभिव्यक्तिसंख्याओं, चरों, उनकी डिग्री और गणितीय संक्रियाओं के संकेतों से बने व्यंजक कहलाते हैं।

तदनुसार, परिमेय समीकरण इस रूप के समीकरण हैं: , जहाँ - तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

पहले, हमने केवल उन परिमेय समीकरणों पर विचार किया था जो रैखिक समीकरणों को घटाते हैं। अब आइए उन परिमेय समीकरणों पर विचार करें जिन्हें द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है।

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें: ।

फेसला:

एक भिन्न 0 होती है यदि और केवल यदि इसका अंश 0 है और इसका हर 0 नहीं है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलती है:

प्रणाली का पहला समीकरण द्विघात समीकरण है। इसे हल करने से पहले, हम इसके सभी गुणांकों को 3 से विभाजित करते हैं।

हमें दो जड़ें मिलती हैं: ; .

चूंकि 2 कभी भी 0 के बराबर नहीं होता है, इसलिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: . चूंकि ऊपर प्राप्त समीकरण की जड़ों में से कोई भी चर के अमान्य मानों से मेल नहीं खाता है, जो दूसरी असमानता को हल करते समय प्राप्त हुए थे, वे दोनों इस समीकरण के समाधान हैं।

जवाब:.

तो, आइए तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करें:

1. सभी पदों को बायीं ओर खिसकाएं ताकि दायीं ओर 0 प्राप्त हो।

2. बाईं ओर को रूपांतरित और सरल करें, सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं।

3. निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार परिणामी भिन्न को 0 से बराबर करें: .

4. उन मूलों को लिखिए जो पहले समीकरण में प्राप्त होते हैं और प्रत्युत्तर में दूसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं।

आइए एक और उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

प्रश्न हल करें: .

फेसला

शुरुआत में, हम सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं ताकि 0 दाईं ओर रहे।

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:

यह समीकरण सिस्टम के बराबर है:

प्रणाली का पहला समीकरण द्विघात समीकरण है।

इस समीकरण के गुणांक:। हम विवेचक की गणना करते हैं:

हमें दो जड़ें मिलती हैं: ; .

अब आइए दूसरी असमानता को हल करें: कारकों का गुणनफल 0 के बराबर नहीं है यदि और केवल यदि कोई भी कारक 0 के बराबर नहीं है।

दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: . हम पाते हैं कि पहले समीकरण की दो जड़ों में से केवल एक ही उपयुक्त है - 3.

जवाब:.

इस पाठ में, हमने याद किया कि एक परिमेय व्यंजक क्या है, और यह भी सीखा कि परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है, जो द्विघात समीकरणों में कम हो जाते हैं।

अगले पाठ में हम परिमेय समीकरणों को वास्तविक स्थितियों के मॉडल के रूप में मानेंगे और गति समस्याओं पर भी विचार करेंगे।

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम.आई. बीजगणित, आठवीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।
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3. निकोल्स्की एस.एम., पोतापोव एम.ए., रेशेतनिकोव एन.एन., शेवकिन ए.वी. बीजगणित, आठवीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। - एम .: शिक्षा, 2006।

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2. स्कूल.xvait.com ()।
3. Rudocs.exdat.com ()।

गृहकार्य

टी. कोस्यकोवा,
स्कूल नंबर 80, क्रास्नोडारी

पैरामीटर युक्त द्विघात और भिन्नात्मक-परिमेय समीकरणों का समाधान

पाठ 4

पाठ विषय:

पाठ का उद्देश्य:पैरामीटर युक्त भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरणों को हल करने की क्षमता बनाने के लिए।

पाठ प्रकार:नई सामग्री का परिचय।

1. (मौखिक।) समीकरणों को हल करें:

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

फेसला।

अमान्य मान खोजें ए:

जवाब। यदि एक अगर ए = – 19 , तो कोई जड़ें नहीं हैं।

उदाहरण 2. प्रश्न हल करें

फेसला।

अमान्य पैरामीटर मान खोजें ए :

10 – ए = 5, ए = 5;

10 – ए = ए, ए = 5.

जवाब। यदि एक ए = 5 ए № 5 , तब एक्स = 10- ए .

उदाहरण 3. पैरामीटर के किन मूल्यों पर बी समीकरण यह है:

ए) दो जड़ें बी) एकमात्र जड़?

फेसला।

1) अमान्य पैरामीटर मान खोजें बी :

एक्स = बी, बी 2 (बी 2 – 1) – 2बी 3 + बी 2 = 0, बी 4 – 2बी 3 = 0,
बी= 0 या बी = 2;
एक्स = 2, 4( बी 2 – 1) – 4बी 2 + बी 2 = 0, बी 2 – 4 = 0, (बी – 2)(बी + 2) = 0,
बी= 2 या बी = – 2.

2) समीकरण हल करें एक्स 2 ( बी 2 – 1) – 2बी 2x+ बी 2 = 0:

डी = 4 बी 4 – 4बी 2 (बी 2 - 1), डी = 4 बी 2 .

ए)

अमान्य पैरामीटर मानों को छोड़कर बी , हम पाते हैं कि समीकरण के दो मूल हैं, यदि बी № – 2, बी № – 1, बी № 0, बी № 1, बी № 2 .

बी) 4बी 2 = 0, बी = 0, लेकिन यह एक अमान्य पैरामीटर मान है बी ; अगर बी 2 –1=0 , अर्थात। बी=1 या।

उत्तर: ए) अगर बी № –2 , बी № –1, बी № 0, बी № 1, बी № 2 , फिर दो जड़ें; बी) अगर बी=1 या ख = -1 , फिर एकमात्र जड़।

स्वतंत्र काम

विकल्प 1

समीकरणों को हल करें:

विकल्प 2

समीकरणों को हल करें:

जवाब

पहले में. और अगर ए=3 , तो कोई जड़ें नहीं हैं; अगर बी) यदि ए № 2 , तो कोई जड़ें नहीं हैं।

दो में।यदि एक ए=2 , तो कोई जड़ें नहीं हैं; अगर ए=0 , तो कोई जड़ें नहीं हैं; अगर
बी) अगर ए=– 1 , तो समीकरण अपना अर्थ खो देता है; यदि तब कोई जड़ें नहीं हैं;
अगर

ग्रिह कार्य।

समीकरणों को हल करें:

उत्तर: a) यदि ए № –2 , तब एक्स = ए ; अगर ए=–2 , तो कोई समाधान नहीं है; बी) अगर ए № –2 , तब एक्स = 2; अगर ए=–2 , तो कोई समाधान नहीं है; सी) अगर ए=–2 , तब एक्स- के अलावा कोई भी संख्या 3 ; अगर ए № –2 , तब एक्स = 2; घ) अगर ए=–8 , तो कोई जड़ें नहीं हैं; अगर ए=2 , तो कोई जड़ें नहीं हैं; अगर

पाठ 5

पाठ विषय:"पैरामीटर युक्त भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरणों का समाधान"।

पाठ मकसद:

गैर-मानक स्थिति वाले समीकरणों को हल करना सीखना;
बीजगणितीय अवधारणाओं और उनके बीच संबंधों के छात्रों द्वारा सचेत आत्मसात।

पाठ प्रकार:व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण।

गृहकार्य की जाँच करना।

उदाहरण 1. प्रश्न हल करें

ए) एक्स के सापेक्ष; बी) वाई के सापेक्ष।

फेसला।

ए) अमान्य मान खोजें आप: y=0, x=y, y2=y2 -2y,

वाई = 0- अमान्य पैरामीटर मान आप.

यदि एक आप№ 0 , तब एक्स = वाई-2; अगर वाई = 0, तो समीकरण अपना अर्थ खो देता है।

बी) अमान्य पैरामीटर मान खोजें एक्स: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- अमान्य पैरामीटर मान एक्स; y(2+x-y)=0, y=0या वाई = 2 + एक्स;

वाई = 0शर्त को पूरा नहीं करता वाई (वाई-एक्स)№ 0 .

उत्तर: ए) अगर वाई = 0, तो समीकरण अपना अर्थ खो देता है; अगर आप№ 0 , तब एक्स = वाई-2; बी) अगर एक्स = 0 एक्स№ 0 , तब वाई=2+x .

उदाहरण 2. पैरामीटर के किस पूर्णांक मान के लिए समीकरण की जड़ें हैं अंतराल के हैं

डी = (3 ए + 2) 2 – 4ए(ए+ 1) 2 = 9 ए 2 + 12ए + 4 – 8ए 2 – 8ए,

डी = ( ए + 2) 2 .

यदि एक ए № 0 या ए № – 1 , तब

जवाब: 5 .

उदाहरण 3. अपेक्षाकृत खोजें एक्ससमीकरण के संपूर्ण समाधान

जवाब। यदि एक वाई = 0, तो समीकरण का कोई मतलब नहीं है; अगर वाई = -1, तब एक्स- शून्य के अलावा कोई भी पूर्णांक; अगर वाई# 0, वाई# – 1, तो कोई उपाय नहीं हैं।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें मापदंडों के साथ ए और बी .

यदि एक ए№ - बी , तब

जवाब। यदि एक ए = 0 या ख = 0 , तो समीकरण अपना अर्थ खो देता है; अगर ए№ 0,बी№ 0, ए=-बी , तब एक्स- शून्य के अलावा कोई भी संख्या; अगर ए№ 0,बी№ 0,ए№ -बी तब एक्स=-ए, एक्स=-बी .

उदाहरण 5. साबित करें कि पैरामीटर n के किसी भी गैर-शून्य मान के लिए, समीकरण के बराबर एक जड़ है - एन .

फेसला।

अर्थात। एक्स=-एन, जिसे साबित करना था।

ग्रिह कार्य।

1. समीकरण के संपूर्ण हल खोजें

2. पैरामीटर के किन मूल्यों पर सीसमीकरण यह है:
ए) दो जड़ें बी) एकमात्र जड़?

3. समीकरण के सभी पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए अगर एहे एन .

4. समीकरण हल करें 3xy - 5x + 5y = 7:एक अपेक्षाकृत आप; बी) अपेक्षाकृत एक्स .

1. समीकरण शून्य के अलावा x और y के समान मान वाले किसी भी पूर्णांक से संतुष्ट होता है।
2. क) जब
b) or . पर
3. – 12; – 9; 0 .
4. ए) यदि तब कोई जड़ें नहीं हैं; अगर
बी) यदि तब कोई जड़ें नहीं हैं; अगर

परीक्षण

विकल्प 1

1. समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 पर: ए) सी=-3; बी) सी = 2;में) सी = 4 .

2. समीकरणों को हल करें: a) एक्स 2 -बीएक्स = 0;बी) सीएक्स 2 -6x+1=0; में)

3. समीकरण हल करें 3x-xy-2y=1:

एक अपेक्षाकृत एक्स ;
बी) अपेक्षाकृत आप .

एनएक्स 2 - 26x + एन \u003d 0,यह जानते हुए कि पैरामीटर n केवल पूर्णांक मान लेता है।

5. b के किन मानों के लिए समीकरण करता है यह है:

ए) दो जड़ें
बी) एकमात्र जड़?

विकल्प 2

1. समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0पर: ए) सी = -4;बी) सी = 7;में) सी = 1 .

2. समीकरणों को हल करें: a) y 2 +cy=0 ;बी) ny2 -8y+2=0;में)

3. समीकरण हल करें 6x-xy+2y=5:

एक अपेक्षाकृत एक्स ;
बी) अपेक्षाकृत आप .

4. समीकरण के पूर्णांक मूल ज्ञात कीजिए एनएक्स 2 -22x+2n=0 ,यह जानते हुए कि पैरामीटर n केवल पूर्णांक मान लेता है।

5. पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए एक समीकरण यह है:

ए) दो जड़ें
बी) एकमात्र जड़?

जवाब

पहले में। 1. क) रैखिक समीकरण;
बी) अपूर्ण द्विघात समीकरण; c) द्विघात समीकरण।
2. क) यदि बी = 0, तब एक्स = 0; अगर ख#0, तब एक्स = 0, एक्स = बी;
बी) अगर सीО (9;+Ґ ), तो कोई जड़ें नहीं हैं;
सी) अगर ए=–4 , तो समीकरण अपना अर्थ खो देता है; अगर ए№ –4 , तब एक्स = - ए .
3. क) यदि वाई = 3, तो कोई जड़ें नहीं हैं; अगर);
बी) ए=–3, ए=1.

अतिरिक्त काम

समीकरणों को हल करें:

साहित्य

1. गोलूबेव वी.आई., गोल्डमैन एएम, डोरोफीव जी.वी. शुरू से ही मापदंडों के बारे में। - ट्यूटर, नंबर 2/1991, पी। 3-13.
2. ग्रोनशेटिन पी.आई., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. मापदंडों के साथ कार्यों में आवश्यक शर्तें। - क्वांट, नंबर 11/1991, पी। 44-49.
3. डोरोफीव जी.वी., ज़ताकावई वी.वी. पैरामीटर युक्त समस्याओं को हल करना। भाग 2. - एम., परिप्रेक्ष्य, 1990, पृ. 2-38.
4. टायन्याकिन एस.ए. मापदंडों के साथ पांच सौ चौदह कार्य। - वोल्गोग्राड, 1991।
5. यास्त्रेबिनेत्स्की जी.ए. मापदंडों के साथ कार्य। - एम।, शिक्षा, 1986।