पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। बड़ी संख्या 12345 के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निकालने पर आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने चमकती डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग इस संख्या प्रणाली में लगातार काम करते हैं, वे संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में स्वचालित रूप से देखते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 और 360 डिग्री के कोणों और रेडियन में उनके संबंधित कोणों के लिए संकलित की गई है। त्रिकोणमितीय कार्यों में से, तालिका साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, सेकेंट और कोसेकेंट दिखाती है। स्कूल के उदाहरणों को हल करने की सुविधा के लिए, तालिका में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संख्याओं से वर्गमूल निकालने के संकेतों के संरक्षण के साथ एक अंश के रूप में लिखा जाता है, जो अक्सर जटिल गणितीय अभिव्यक्तियों को कम करने में मदद करता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए, कुछ कोणों के मान निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं। ऐसे कोणों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका में एक डैश होता है। आमतौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि ऐसे कोणों की स्पर्श रेखा और कोटंगेंट अनंत के बराबर होती है। त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के लिए एक अलग पृष्ठ पर सूत्र हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन के लिए मानों की तालिका निम्न कोणों के लिए मान दिखाती है: पाप 0, पाप 30, पाप 45, पाप 60, पाप 90, पाप 180, पाप 270, पाप 360 डिग्री माप में , जो कोणों के रेडियन माप में sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi से मेल खाती है। साइन की स्कूल तालिका।

त्रिकोणमितीय कोसाइन फ़ंक्शन के लिए, तालिका निम्न कोणों के लिए मान दिखाती है: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 डिग्री माप में, जो निम्न से मेल खाती है cos 0 pi, cos pi से 6, cos pi से 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi बटा 2, cos 2 pi कोणों के रेडियन माप में। कोसाइन की स्कूल तालिका।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के लिए त्रिकोणमितीय तालिका निम्नलिखित कोणों के लिए मान देती है: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 डिग्री माप में, जो tg 0 pi, tg pi / से मेल खाती है। 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi कोणों के रेडियन माप में। स्पर्शरेखा के त्रिकोणमितीय कार्यों के निम्नलिखित मान परिभाषित नहीं हैं tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 और अनंत के बराबर माने जाते हैं।

त्रिकोणमितीय तालिका में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोटेंगेंट के लिए, निम्नलिखित कोण दिए गए हैं: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 डिग्री में, जो ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3 से मेल खाती है। , tg pi / 2, tg 3 pi/2 कोणों के रेडियन माप में। त्रिकोणमितीय कोटैंजेंट फ़ंक्शंस के निम्नलिखित मान सीटीजी 0, सीटीजी 180, सीटीजी 360, सीटीजी 0 पीआई, सीटीजी पीआई, सीटीजी 2 पीआई परिभाषित नहीं हैं और अनंत के बराबर माने जाते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन secant और cosecant के मान समान कोणों के लिए डिग्री और रेडियन में sine, cosine, tangent, cotangent के रूप में दिए गए हैं।

गैर-मानक कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 डिग्री और रेडियन pi/12 में कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों को दर्शाती है। , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 रेडियन। त्रिकोणमितीय फलनों के मानों को भिन्नों और वर्गमूलों के रूप में व्यक्त किया जाता है ताकि विद्यालयी उदाहरणों में भिन्नों की कमी को सरल बनाया जा सके।

त्रिकोणमिति के तीन और राक्षस। पहला 1.5 डिग्री और आधा की स्पर्शरेखा है, या pi को 120 से विभाजित किया जाता है। दूसरा pi की कोज्या है जिसे 240, pi/240 से विभाजित किया जाता है। सबसे लंबी पाई की कोज्या है जिसे 17, pi/17 से विभाजित किया जाता है।

साइन और कोसाइन कार्यों के मूल्यों का त्रिकोणमितीय चक्र दृष्टि से कोण के परिमाण के आधार पर साइन और कोसाइन के संकेतों का प्रतिनिधित्व करता है। विशेष रूप से गोरे लोगों के लिए, कम भ्रमित होने के लिए कोसाइन मूल्यों को हरे रंग के डैश के साथ रेखांकित किया जाता है। जब रेडियन को pi के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, तो डिग्री का रेडियन में रूपांतरण भी बहुत स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया जाता है।

यह त्रिकोणमितीय तालिका एक डिग्री अंतराल में 0 शून्य से 90 नब्बे डिग्री के कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मान प्रस्तुत करती है। पहले पैंतालीस डिग्री के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम तालिका के शीर्ष पर देखे जाने चाहिए। पहले कॉलम में डिग्री होती है, अगले चार कॉलम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान लिखे जाते हैं।

पैंतालीस डिग्री से नब्बे डिग्री तक के कोणों के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम तालिका के नीचे लिखे गए हैं। अंतिम कॉलम में डिग्री होती है, पिछले चार कॉलम में कोसाइन, साइन, कॉटेंजेंट और टेंगेंट के मान लिखे जाते हैं। आपको सावधान रहना चाहिए, क्योंकि त्रिकोणमितीय तालिका के निचले भाग में त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम तालिका के ऊपरी भाग के नामों से भिन्न होते हैं। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की तरह ही साइन और कोसाइन आपस में बदल जाते हैं। यह त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की समरूपता के कारण है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत ऊपर की आकृति में दिखाए गए हैं। साइन का सकारात्मक मान 0 से 180 डिग्री या 0 से pi तक होता है। ज्या का ऋणात्मक मान 180 से 360 डिग्री या pi से 2 pi तक होता है। कोसाइन मान 0 से 90 और 270 से 360 डिग्री, या 0 से 1/2 pi और 3/2 से 2 pi तक धनात्मक होते हैं। स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के सकारात्मक मान 0 से 90 डिग्री और 180 से 270 डिग्री तक होते हैं, जो 0 से 1/2 pi और pi से 3/2 pi के मानों के अनुरूप होते हैं। ऋणात्मक स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट 90 से 180 डिग्री और 270 से 360 डिग्री, या 1/2 पाई से पीआई और 3/2 पीआई से 2 पीआई हैं। 360 डिग्री या 2 पीआई से अधिक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेतों का निर्धारण करते समय, इन कार्यों की आवधिकता गुणों का उपयोग किया जाना चाहिए।

त्रिकोणमितीय फलन साइन, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट विषम फलन हैं। ऋणात्मक कोणों के लिए इन फलनों का मान ऋणात्मक होगा। कोज्या एक सम त्रिकोणमितीय फलन है - ऋणात्मक कोण के लिए कोज्या मान धनात्मक होगा। त्रिकोणमितीय कार्यों को गुणा और विभाजित करते समय, आपको संकेतों के नियमों का पालन करना चाहिए।

1. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन साइन के लिए मानों की तालिका निम्नलिखित कोणों के लिए मान दिखाती है

   दस्तावेज़

   एक अलग पृष्ठ में कास्टिंग सूत्र शामिल हैं त्रिकोणमितीयकार्यों. पर टेबलमूल्योंके लिएत्रिकोणमितीयकार्योंसाइनसदिया गयामूल्योंके लिएअगलाकोनेपाप 0, पाप 30, पाप 45 ...

2. प्रस्तावित गणितीय उपकरण एन-आयामी हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के लिए जटिल कैलकुस का एक पूर्ण एनालॉग है, जिसमें स्वतंत्रता की किसी भी संख्या में डिग्री होती है और गैर-रैखिक के गणितीय मॉडलिंग के लिए अभिप्रेत है।

   दस्तावेज़

   ... कार्योंबराबरी कार्योंइमेजिस। इस प्रमेय से चाहिए, क्या के लिएनिर्देशांक यू, वी खोजना, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है समारोह... ज्यामिति; पोलीनार कार्यों(द्वि-आयामी के बहुआयामी अनुरूप त्रिकोणमितीयकार्यों), उनके गुण, टेबलऔर आवेदन; ...

3. 1. त्रिकोणमितीय कार्यप्राथमिक कार्य हैं जिनका तर्क है इंजेक्शन. त्रिकोणमितीय फलन एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं और न्यून कोणों के बीच संबंधों का वर्णन करते हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के अनुप्रयोग के क्षेत्र अत्यंत विविध हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी भी आवधिक प्रक्रिया को त्रिकोणमितीय कार्यों (फूरियर श्रृंखला) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। विभेदक और कार्यात्मक समीकरणों को हल करते समय ये फ़ंक्शन अक्सर दिखाई देते हैं।

   2. त्रिकोणमितीय कार्यों में निम्नलिखित 6 कार्य शामिल हैं: साइनस, कोज्या, स्पर्शरेखा,कोटैंजेंट, काटनेवालाऔर cosecant. इनमें से प्रत्येक फलन के लिए एक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन होता है।

   3. त्रिकोणमितीय कार्यों की ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करना सुविधाजनक है यूनिट सर्कल. नीचे दिया गया चित्र त्रिज्या r=1 के साथ एक वृत्त दिखाता है। बिंदु M(x,y) वृत्त पर अंकित है। त्रिज्या वेक्टर OM और ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण α है।

   4. साइनसकोण α, बिंदु M(x,y) की कोटि y का त्रिज्या r से अनुपात है:
   sinα=y/r.
   चूँकि r=1, तो ज्या बिंदु M(x,y) की कोटि के बराबर होती है।

   5. कोज्याकोण α, बिंदु M(x,y) के भुज x का त्रिज्या r से अनुपात है:
   cosα=x/r

   6. स्पर्शरेखाकोण α, बिंदु M(x,y) के कोटि y का उसके भुज x से अनुपात है:
   tanα=y/x,x≠0

   7. कोटैंजेंटकोण α, बिंदु M(x,y) के भुज x का कोटि y से अनुपात है:
   cotα=x/y,y≠0

   8. काटनेवालाकोण α त्रिज्या r और बिंदु M(x,y) के भुज x का अनुपात है:
   secα=r/x=1/x,x≠0

   9. cosecantकोण α त्रिज्या r और बिंदु M(x,y) की कोटि y का अनुपात है:
   cscα=r/y=1/y,y≠0

   10. प्रक्षेपण x, y के इकाई वृत्त में, बिंदु M(x, y) और त्रिज्या r एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें x, y पैर हैं, और r कर्ण है। इसलिए, एक समकोण त्रिभुज पर लागू त्रिकोणमितीय फलनों की उपरोक्त परिभाषाएँ निम्नानुसार तैयार की गई हैं:
   साइनसकोण α कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है।
   कोज्याकोण α आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है।
   स्पर्शरेखाकोण α को आसन्न एक के विपरीत पैर कहा जाता है।
   कोटैंजेंटकोण α को विपरीत का आसन्न पैर कहा जाता है।
   काटनेवालाकोण α आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है।
   cosecantकोण α विपरीत पैर के कर्ण का अनुपात है।

   11. साइन फंक्शन ग्राफ
   y=sinx, डोमेन: x∈R, डोमेन: −1≤sinx≤1

   12. कोज्या फलन का ग्राफ
   y=cosx, डोमेन: x∈R, श्रेणी: −1≤cosx≤1

   13. स्पर्शरेखा फ़ंक्शन ग्राफ
   y=tanx, डोमेन: x∈R,x≠(2k+1)π/2, डोमेन: −∞

   

   14. कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ
   y=cotx, डोमेन: x∈R,x≠kπ, डोमेन: −∞

   

   15. secant फ़ंक्शन का ग्राफ़
   y=secx, डोमेन: x∈R,x≠(2k+1)π/2, डोमेन: secx∈(−∞,−1]∪∪)