मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िंग

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशनइसे मैट्रिक्स की पंक्तियों को उनके क्रम को बनाए रखते हुए उसके स्तंभों के साथ बदलना कहा जाता है (या, जो एक ही है, मैट्रिक्स के स्तंभों को उसकी पंक्तियों के साथ बदलना)।

मूल मैट्रिक्स दिया जाए ए:

फिर, परिभाषा के अनुसार, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए"इसका रूप है:

मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ करने के संचालन के लिए संकेतन का संक्षिप्त रूप: एक ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को अक्सर दर्शाया जाता है

उदाहरण 3. मान लीजिए आव्यूह दिए गए हैं ए और बी:

फिर संबंधित ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का रूप होता है:

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन ऑपरेशन के दो पैटर्न को नोटिस करना आसान है।

1. दो बार ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स के बराबर है:

2. वर्गाकार आव्यूहों को स्थानांतरित करते समय, मुख्य विकर्ण पर स्थित तत्व अपनी स्थिति नहीं बदलते हैं, अर्थात। वर्गाकार मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण स्थानांतरित होने पर नहीं बदलता है।

मैट्रिक्स गुणन

मैट्रिक्स गुणन एक विशिष्ट ऑपरेशन है जो मैट्रिक्स बीजगणित का आधार बनता है। मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों को उचित आयामों के पंक्ति और स्तंभ वैक्टर के रूप में माना जा सकता है; दूसरे शब्दों में, किसी भी मैट्रिक्स को पंक्ति वैक्टर या कॉलम वैक्टर के संग्रह के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

मान लीजिए कि दो आव्यूह दिए गए हैं: ए- आकार टीएक्स पीऔर में- आकार पी एक्स के.हम मैट्रिक्स पर विचार करेंगे एसमग्रता के रूप में टीपंक्ति सदिश ए) DIMENSIONS पीप्रत्येक, और मैट्रिक्स में -समग्रता के रूप में कोस्तंभ सदिश बी संयुक्तप्रत्येक युक्त पीप्रत्येक का समन्वय करता है:

मैट्रिक्स पंक्ति वैक्टर एऔर मैट्रिक्स कॉलम वैक्टर मेंइन मैट्रिक्स (2.7) के अंकन में दिखाए गए हैं। मैट्रिक्स पंक्ति की लंबाई एमैट्रिक्स कॉलम की ऊंचाई के बराबर में, और इसलिए इन सदिशों का अदिश गुणनफल समझ में आता है।

परिभाषा 3. आव्यूहों का गुणनफल एऔर मेंमैट्रिक्स C कहलाता है जिसके तत्व रपंक्ति सदिशों के अदिश गुणनफल के बराबर हैं ए (मैट्रिक्स एकॉलम वैक्टर में बी.जे.मैट्रिक्स में:

मैट्रिक्स का उत्पाद एऔर में- मैट्रिक्स सी - का आकार है टीएक्स को, चूँकि पंक्ति सदिशों और स्तंभ सदिशों की लंबाई l इन सदिशों के निर्देशांकों के उत्पादों को उनके अदिश उत्पादों में जोड़ने पर गायब हो जाती है, जैसा कि सूत्र (2.8) में दिखाया गया है। इस प्रकार, मैट्रिक्स सी की पहली पंक्ति के तत्वों की गणना करने के लिए, मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के अदिश उत्पादों को क्रमिक रूप से प्राप्त करना आवश्यक है एसभी मैट्रिक्स कॉलम के लिए मेंमैट्रिक्स C की दूसरी पंक्ति मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति वेक्टर के अदिश उत्पाद के रूप में प्राप्त की जाती है एमैट्रिक्स के सभी कॉलम वैक्टर के लिए में, और इसी तरह। आव्यूहों के गुणनफल के आकार को याद रखने की सुविधा के लिए, आपको गुणनखंड आव्यूहों के आकारों के गुणनफल को विभाजित करना होगा: -, फिर संबंध में शेष संख्याएँ गुणनफल का आकार देती हैं को

डीएसनिया, टी.एस. मैट्रिक्स C का आकार बराबर है टीएक्स को।

आव्यूह गुणन की संक्रिया की एक विशिष्ट विशेषता है: आव्यूहों का गुणनफल एऔर मेंयदि कॉलमों की संख्या समझ में आती है एमें पंक्तियों की संख्या के बराबर में।तो अगर ए और बी -आयताकार मैट्रिक्स, फिर उत्पाद मेंऔर एअब इसका कोई मतलब नहीं रह जाएगा, क्योंकि संबंधित मैट्रिक्स के तत्वों को बनाने वाले अदिश उत्पादों में समान संख्या में निर्देशांक वाले वैक्टर शामिल होने चाहिए।

यदि मैट्रिक्स एऔर मेंवर्ग, आकार l x l, आव्यूहों के गुणनफल के रूप में समझ में आता है एबी,और मैट्रिक्स का उत्पाद वीए,और इन मैट्रिक्स का आकार मूल कारकों के समान है। इस मामले में, मैट्रिक्स गुणन के सामान्य मामले में, क्रमपरिवर्तन (कम्यूटेटिविटी) का नियम नहीं देखा जाता है, अर्थात। एबी * वीए.

आइए मैट्रिक्स गुणन के उदाहरण देखें।

चूंकि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या एमैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर में,मैट्रिक्स का उत्पाद अबका अर्थ है. सूत्र (2.8) का उपयोग करके, हम उत्पाद में 3x2 आकार का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

काम वी.एइसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या मेंमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल नहीं खाता एक।

यहां हमें मैट्रिक्स उत्पाद मिलते हैं अबऔर वीए:

जैसा कि परिणामों से देखा जा सकता है, उत्पाद मैट्रिक्स उत्पाद में मैट्रिक्स के क्रम पर निर्भर करता है। दोनों मामलों में, मैट्रिक्स उत्पादों का आकार मूल कारकों के समान है: 2x2।

इस मामले में मैट्रिक्स मेंएक कॉलम वेक्टर है, यानी तीन पंक्तियों और एक कॉलम वाला एक मैट्रिक्स। सामान्य तौर पर, वेक्टर मैट्रिक्स के विशेष मामले होते हैं: लंबाई की एक पंक्ति वेक्टर पीएक पंक्ति और के साथ एक मैट्रिक्स है पीकॉलम, और ऊंचाई कॉलम वेक्टर पी- मैट्रिक्स के साथ पीपंक्तियाँ और एक स्तंभ. दिए गए आव्यूहों का आकार क्रमशः 2 x 3 और 3 x I है, इसलिए इन आव्यूहों का गुणनफल परिभाषित है। हमारे पास है

उत्पाद 2 x 1 आकार का एक मैट्रिक्स या ऊंचाई 2 का एक कॉलम वेक्टर तैयार करता है।

आव्यूहों को क्रमिक रूप से गुणा करने पर हम पाते हैं:

मैट्रिसेस के उत्पाद के गुण। होने देना ए, बीऔर C उचित आकार के मैट्रिक्स हैं (ताकि मैट्रिक्स उत्पादों को निर्धारित किया जा सके), और a एक वास्तविक संख्या है। तब आव्यूहों के गुणनफल के निम्नलिखित गुण मान्य होते हैं:

• 1) (एबी)सी = ए(बीसी);
• 2) सी ए + बी)सी = एसी + बीसी
• 3) ए (बी+ सी) = एबी + एसी;
• 4) ए (एबी) = (एए)बी = ए(एबी)।

पहचान मैट्रिक्स की अवधारणा इखंड 2.1.1 में पेश किया गया था। यह देखना आसान है कि मैट्रिक्स बीजगणित में यह इकाई की भूमिका निभाता है, अर्थात। हम बाईं और दाईं ओर इस मैट्रिक्स द्वारा गुणन से जुड़े दो और गुणों को नोट कर सकते हैं:

• 5 )एई=ए;
• 6) ईए = एक।

दूसरे शब्दों में, पहचान मैट्रिक्स द्वारा किसी भी मैट्रिक्स का उत्पाद, यदि यह समझ में आता है, तो मूल मैट्रिक्स को नहीं बदलता है।

मैट्रिसेस के साथ काम करते समय, कभी-कभी आपको उन्हें स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है, यानी, सरल शब्दों में, उन्हें पलट दें। बेशक, आप मैन्युअल रूप से डेटा दर्ज कर सकते हैं, लेकिन एक्सेल इसे आसान और तेज़ करने के कई तरीके प्रदान करता है। आइए उन पर विस्तार से नजर डालें।

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िशन कॉलम और पंक्तियों की अदला-बदली की प्रक्रिया है। एक्सेल में ट्रांसपोज़िंग के लिए दो विकल्प हैं: फ़ंक्शन का उपयोग करना ट्रांसस्पऔर इन्सर्ट विशेष उपकरण का उपयोग करना। आइए इनमें से प्रत्येक विकल्प को अधिक विस्तार से देखें।

विधि 1: ट्रांसपोज़ ऑपरेटर

समारोह ट्रांसस्पऑपरेटरों की श्रेणी के अंतर्गत आता है "लिंक और सारणी". ख़ासियत यह है कि, सरणियों के साथ काम करने वाले अन्य कार्यों की तरह, आउटपुट परिणाम सेल की सामग्री नहीं है, बल्कि संपूर्ण डेटा सरणी है। फ़ंक्शन सिंटैक्स काफी सरल है और इस तरह दिखता है:

ट्रांसप(सरणी)

अर्थात्, इस ऑपरेटर का एकमात्र तर्क सरणी का संदर्भ है, हमारे मामले में मैट्रिक्स, जिसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।

आइए देखें कि वास्तविक मैट्रिक्स वाले उदाहरण का उपयोग करके इस फ़ंक्शन को कैसे लागू किया जा सकता है।

1. हम शीट पर एक खाली सेल का चयन करते हैं, जिसे हम रूपांतरित मैट्रिक्स की सबसे ऊपरी बाईं सेल बनाने की योजना बनाते हैं। इसके बाद आइकन पर क्लिक करें "सम्मिलित करें फ़ंक्शन", जो फॉर्मूला बार के पास स्थित है।



2. लॉन्च प्रगति पर है फ़ंक्शन विज़ार्ड्स. इसमें कैटेगरी ओपन करें "लिंक और सारणी"या "संपूर्ण वर्णमाला सूची". नाम ढूंढने के बाद "ट्रांसप", इसे चुनें और बटन पर क्लिक करें "ठीक है".



3. फ़ंक्शन तर्क विंडो खुलती है ट्रांसस्प. इस ऑपरेटर का एकमात्र तर्क फ़ील्ड से मेल खाता है "सरणी". आपको उस मैट्रिक्स के निर्देशांक दर्ज करने होंगे जिन्हें पलटने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, कर्सर को फ़ील्ड में रखें और बाईं माउस बटन को दबाकर, शीट पर मैट्रिक्स की पूरी श्रृंखला का चयन करें। तर्क विंडो में क्षेत्र का पता प्रदर्शित होने के बाद, बटन पर क्लिक करें "ठीक है".



4. लेकिन, जैसा कि हम देखते हैं, उस सेल में जिसका उद्देश्य परिणाम प्रदर्शित करना है, एक गलत मान त्रुटि के रूप में प्रदर्शित होता है "#कीमत!". यह ऐरे ऑपरेटरों के काम करने के तरीके के कारण है। इस त्रुटि को ठीक करने के लिए, कक्षों की एक श्रेणी का चयन करें जिसमें पंक्तियों की संख्या मूल मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या के बराबर होनी चाहिए, और स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। परिणाम को सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए ऐसा पत्राचार बहुत महत्वपूर्ण है। इस मामले में, वह सेल जिसमें अभिव्यक्ति है "#कीमत!"चयनित सरणी का शीर्ष बाएँ कक्ष होना चाहिए और इसी कक्ष से बाईं माउस बटन को दबाकर चयन प्रक्रिया शुरू होनी चाहिए। चयन करने के बाद, कर्सर को ऑपरेटर अभिव्यक्ति के तुरंत बाद फॉर्मूला बार में रखें ट्रांसस्प, जो इसमें दिखना चाहिए। इसके बाद कैलकुलेशन करने के लिए आपको बटन दबाना होगा प्रवेश करना, जैसा कि पारंपरिक सूत्रों में प्रथागत है, और संयोजन डायल करें Ctrl+Shift+Enter.



5. इन क्रियाओं के बाद, मैट्रिक्स को हमारी आवश्यकता के अनुसार प्रदर्शित किया गया, अर्थात ट्रांसपोज़्ड रूप में। लेकिन एक और समस्या है. तथ्य यह है कि अब नया मैट्रिक्स एक सूत्र द्वारा जुड़ा हुआ एक सरणी है जिसे बदला नहीं जा सकता है। जब आप मैट्रिक्स की सामग्री में कोई बदलाव करने का प्रयास करेंगे, तो एक त्रुटि सामने आएगी। कुछ उपयोगकर्ता इस स्थिति से काफी संतुष्ट हैं, क्योंकि वे सरणी में बदलाव करने का इरादा नहीं रखते हैं, लेकिन दूसरों को एक मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है जिसके साथ वे पूरी तरह से काम कर सकें।

   इस समस्या को हल करने के लिए, हम संपूर्ण ट्रांसपोज़्ड रेंज का चयन करते हैं। टैब पर जा रहा है "घर"आइकन पर क्लिक करें "कॉपी करें", जो समूह में रिबन पर स्थित है "क्लिपबोर्ड". निर्दिष्ट क्रिया के बजाय, चयन करने के बाद, आप प्रतिलिपि बनाने के लिए एक मानक कीबोर्ड शॉर्टकट सेट कर सकते हैं Ctrl+C.



6. फिर, ट्रांसपोज़्ड रेंज से चयन को हटाए बिना, उस पर राइट-क्लिक करें। समूह में संदर्भ मेनू में "विकल्प डालें"आइकन पर क्लिक करें "मूल्य", जो संख्याओं को दर्शाने वाले चित्रलेख जैसा दिखता है।

   

   इसके बाद, सरणी सूत्र ट्रांसस्पहटा दिया जाएगा, और कोशिकाओं में केवल एक मान रहेगा, जिसके साथ मूल मैट्रिक्स की तरह ही काम किया जा सकता है।

विधि 2: पेस्ट स्पेशल का उपयोग करके मैट्रिक्स ट्रांसपोज़

इसके अलावा, मैट्रिक्स को एक संदर्भ मेनू आइटम का उपयोग करके स्थानांतरित किया जा सकता है जिसे कहा जाता है "विशेष सम्मिलित करें".

इन चरणों के बाद, शीट पर केवल परिवर्तित मैट्रिक्स ही रहेगा।

ऊपर चर्चा की गई उन्हीं दो विधियों से, आप न केवल मैट्रिक्स, बल्कि संपूर्ण तालिकाओं को भी एक्सेल में स्थानांतरित कर सकते हैं। प्रक्रिया लगभग समान होगी.

तो, हमें पता चला कि एक्सेल में मैट्रिक्स को दो तरीकों से कॉलम और पंक्तियों को स्वैप करके ट्रांसपोज़ किया जा सकता है, यानी बदल दिया जा सकता है। पहले विकल्प में फ़ंक्शन का उपयोग करना शामिल है ट्रांसस्प, और दूसरा है पेस्ट स्पेशल टूल्स। कुल मिलाकर, इन दोनों विधियों का उपयोग करने पर प्राप्त अंतिम परिणाम अलग नहीं है। दोनों विधियाँ लगभग किसी भी स्थिति में काम करती हैं। इसलिए रूपांतरण विकल्प चुनते समय, किसी विशेष उपयोगकर्ता की व्यक्तिगत प्राथमिकताएँ सामने आती हैं। यानी इनमें से जो भी तरीका आपके लिए निजी तौर पर ज्यादा सुविधाजनक हो, उसी का इस्तेमाल करें.

मैट्रिक्स को स्थानांतरित करने के लिए, आपको मैट्रिक्स की पंक्तियों को कॉलम में लिखना होगा।

यदि , तो ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स

तो अगर

अभ्यास 1।खोजो

1. वर्ग आव्यूहों के निर्धारक.

वर्ग आव्यूहों के लिए, एक संख्या प्रस्तुत की जाती है जिसे सारणिक कहा जाता है।

दूसरे क्रम के मैट्रिक्स (आयाम) के लिए निर्धारक सूत्र द्वारा दिया गया है:

उदाहरण के लिए, एक मैट्रिक्स के लिए इसका निर्धारक है

उदाहरण . आव्यूहों के निर्धारकों की गणना करें।

तीसरे क्रम (आयाम) के वर्ग आव्यूहों के लिए एक "त्रिकोण" नियम है: चित्र में, बिंदीदार रेखा का अर्थ उन संख्याओं को गुणा करना है जिनसे होकर बिंदीदार रेखा गुजरती है। पहले तीन नंबरों को जोड़ना होगा, अगले तीन नंबरों को घटाना होगा।

उदाहरण. निर्धारक की गणना करें.

एक सारणिक की सामान्य परिभाषा देने के लिए, एक लघु और एक बीजगणितीय पूरक की अवधारणा का परिचय देना आवश्यक है।

नाबालिगमैट्रिक्स के तत्व को - उस पंक्ति और - उस कॉलम को पार करके प्राप्त निर्धारक कहा जाता है।

उदाहरण।आइए मैट्रिक्स ए के कुछ अवयस्क खोजें।

बीजगणितीय पूरकतत्व को संख्या कहा जाता है।

इसका मतलब यह है कि यदि सूचकांकों का योग सम है, तो वे अलग नहीं हैं। यदि सूचकांकों का योग विषम है, तो वे केवल चिह्न में भिन्न होते हैं।

पिछले उदाहरण के लिए.

मैट्रिक्स निर्धारकएक निश्चित स्ट्रिंग के तत्वों के उत्पादों का योग है

(स्तंभ) उनके बीजगणितीय पूरकों के लिए। आइए इस परिभाषा पर तीसरे क्रम के मैट्रिक्स पर विचार करें।

पहली प्रविष्टि को पहली पंक्ति में निर्धारक का विस्तार कहा जाता है, दूसरे को दूसरे स्तंभ में विस्तार कहा जाता है, और अंतिम को तीसरी पंक्ति में विस्तार कहा जाता है। कुल मिलाकर ऐसे विस्तार छह बार लिखे जा सकते हैं।

उदाहरण. "त्रिकोण" नियम का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें और इसे पहली पंक्ति के साथ, फिर तीसरे स्तंभ के साथ, फिर दूसरी पंक्ति के साथ विस्तारित करें।

आइए पहली पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करें:

आइए तीसरे कॉलम में निर्धारक का विस्तार करें:

आइए दूसरी पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करें:

ध्यान दें कि जितने अधिक शून्य होंगे, गणना उतनी ही सरल होगी। उदाहरण के लिए, पहले कॉलम से विस्तार करने पर, हमें मिलता है

निर्धारकों के गुणों में एक ऐसी संपत्ति है जो आपको शून्य प्राप्त करने की अनुमति देती है, अर्थात्:

यदि आप किसी अन्य पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को एक निश्चित पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में जोड़ते हैं, एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करते हैं, तो निर्धारक नहीं बदलेगा।

आइए वही सारणिक लें और शून्य प्राप्त करें, उदाहरण के लिए, पहली पंक्ति में।

उच्च क्रम के निर्धारकों की गणना उसी तरह की जाती है।

कार्य 2.चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करें:

1) किसी पंक्ति या किसी स्तंभ पर फैलना

2) पहले शून्य प्राप्त करना

उदाहरण के लिए, दूसरे कॉलम में हमें एक अतिरिक्त शून्य मिलता है। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति के तत्वों को -1 से गुणा करें और उन्हें चौथी पंक्ति में जोड़ें:

1. क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान दिखाएंगे।

कार्य 2.समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

हमें चार निर्धारकों की गणना करने की आवश्यकता है। पहले को मुख्य कहा जाता है और इसमें अज्ञात के गुणांक होते हैं:

ध्यान दें कि यदि, सिस्टम को क्रैमर विधि द्वारा हल नहीं किया जा सकता है।

शेष तीन निर्धारकों को , द्वारा दर्शाया जाता है, और संबंधित कॉलम को दाहिनी ओर के कॉलम के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

हम देखतें है। ऐसा करने के लिए, मुख्य निर्धारक में पहले कॉलम को दाईं ओर के कॉलम में बदलें:

हम देखतें है। ऐसा करने के लिए, मुख्य निर्धारक में दूसरे कॉलम को दाईं ओर के कॉलम में बदलें:

हम देखतें है। ऐसा करने के लिए, मुख्य निर्धारक में तीसरे कॉलम को दाईं ओर के कॉलम में बदलें:

हम क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं: , ,

इस प्रकार, सिस्टम का समाधान है, ,

आइए जाँच करें; ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम के सभी समीकरणों में पाए गए समाधान को प्रतिस्थापित करेंगे।

1. मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

यदि एक वर्ग मैट्रिक्स में एक गैर-शून्य निर्धारक होता है, तो एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होता है। मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है और इसका रूप होता है

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र द्वारा पाया जाता है:

उदाहरण. मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए

पहले हम निर्धारक की गणना करते हैं।

बीजगणितीय पूरक ढूँढना:

हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स लिखते हैं:

गणनाओं की जांच करने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा।

आइए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए:

चलो निरूपित करें

तब समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है, और इसलिए। परिणामी सूत्र को सिस्टम को हल करने की मैट्रिक्स विधि कहा जाता है।

कार्य 3.मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

सिस्टम का मैट्रिक्स लिखना, उसका व्युत्क्रम ज्ञात करना और फिर उसे दाईं ओर के कॉलम से गुणा करना आवश्यक है।

हमने पिछले उदाहरण में व्युत्क्रम मैट्रिक्स पहले ही पा लिया है, जिसका अर्थ है कि हम एक समाधान पा सकते हैं:

1. गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

क्रैमर विधि और मैट्रिक्स विधि का उपयोग केवल द्विघात प्रणालियों के लिए किया जाता है (समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है), और निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। यदि समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या के बराबर नहीं है, या सिस्टम का निर्धारक शून्य है, तो गाऊसी विधि का उपयोग किया जाता है। किसी भी सिस्टम को हल करने के लिए गॉसियन विधि का उपयोग किया जा सकता है।

और आइए इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

कार्य 5.गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

परिणामी मैट्रिक्स के आधार पर, हम सिस्टम को पुनर्स्थापित करते हैं:

हमें एक समाधान मिलता है:

उच्च गणित में, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स जैसी अवधारणा का अध्ययन किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए: बहुत से लोग सोचते हैं कि यह एक जटिल विषय है जिसमें महारत हासिल करना असंभव है। हालाँकि, ऐसा नहीं है. यह समझने के लिए कि इतना आसान ऑपरेशन कैसे किया जाता है, आपको केवल मूल अवधारणा - मैट्रिक्स से थोड़ा परिचित होने की आवश्यकता है। कोई भी छात्र विषय को समझ सकता है यदि वह इसका अध्ययन करने के लिए समय निकाले।

मैट्रिक्स क्या है?

गणित में आव्यूह काफी सामान्य हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे कंप्यूटर विज्ञान में भी पाए जाते हैं। उन्हें धन्यवाद और उनकी मदद से प्रोग्राम करना और सॉफ्टवेयर बनाना आसान है।

मैट्रिक्स क्या है? यह एक तालिका है जिसमें तत्वों को रखा गया है। इसका स्वरूप आयताकार होना चाहिए। सरल शब्दों में, मैट्रिक्स संख्याओं की एक तालिका है। इसे कुछ बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग करके नामित किया गया है। यह आयताकार या वर्गाकार हो सकता है। इसमें अलग-अलग पंक्तियाँ और स्तंभ भी होते हैं, जिन्हें वेक्टर कहा जाता है। ऐसे मैट्रिक्स को संख्याओं की केवल एक पंक्ति प्राप्त होती है। यह समझने के लिए कि तालिका कितनी बड़ी है, आपको पंक्तियों और स्तंभों की संख्या पर ध्यान देना होगा। पहले को m अक्षर से और दूसरे को n से दर्शाया जाता है।

आपको निश्चित रूप से समझना चाहिए कि मैट्रिक्स विकर्ण क्या है। एक पक्ष और एक मुख्य है. दूसरी संख्याओं की वह पट्टी है जो पहले से अंतिम तत्व तक बाएँ से दाएँ जाती है। इस स्थिति में, साइड लाइन दाएँ से बाएँ होगी।

आव्यूहों के साथ आप लगभग सभी सरलतम अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं, अर्थात् जोड़ना, घटाना, एक दूसरे से गुणा करना और संख्या के आधार पर अलग-अलग। इन्हें ट्रांसपोज़ भी किया जा सकता है.

ट्रांसपोज़िशन प्रक्रिया

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है। यह यथासंभव आसानी से किया जाता है। सुपरस्क्रिप्ट टी (ए टी) के साथ ए के रूप में दर्शाया गया है। सिद्धांत रूप में, यह कहा जाना चाहिए कि उच्च गणित में यह आव्यूहों पर सबसे सरल संक्रियाओं में से एक है। तालिका का आकार बनाए रखा गया है. ऐसे मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़्ड कहा जाता है।

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिसेस के गुण

ट्रांसपोज़िशन प्रक्रिया को सही ढंग से निष्पादित करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि इस ऑपरेशन के कौन से गुण मौजूद हैं।

• किसी भी ट्रांसपोज़्ड टेबल के लिए एक मूल मैट्रिक्स होना चाहिए। उनके निर्धारक एक दूसरे के बराबर होने चाहिए।
• यदि कोई अदिश इकाई है तो इस ऑपरेशन को करते समय उसे बाहर निकाला जा सकता है।
• जब एक मैट्रिक्स को डबल ट्रांसपोज़ किया जाता है, तो यह मूल के बराबर होगा।
• यदि आप दो मुड़ी हुई तालिकाओं की तुलना स्वैप किए गए कॉलम और पंक्तियों के साथ उन तत्वों के योग से करते हैं जिन पर यह ऑपरेशन किया गया था, तो वे समान होंगे।
• अंतिम गुण यह है कि यदि आप तालिकाओं को एक-दूसरे से गुणा करके स्थानांतरित करते हैं, तो मान विपरीत क्रम में स्थानांतरित मैट्रिक्स को एक साथ गुणा करके प्राप्त परिणामों के बराबर होना चाहिए।

स्थानांतरण क्यों?

गणित में कुछ समस्याओं को हल करने के लिए मैट्रिक्स आवश्यक है। उनमें से कुछ के लिए आपको व्युत्क्रम तालिका की गणना करने की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, आपको एक निर्धारक ढूंढना होगा। इसके बाद, भविष्य के मैट्रिक्स के तत्वों की गणना की जाती है, फिर उन्हें ट्रांसपोज़ किया जाता है। जो कुछ बचा है वह सीधे उलटी तालिका ढूंढना है। हम कह सकते हैं कि ऐसी समस्याओं में आपको एक्स खोजने की जरूरत है, और समीकरणों के सिद्धांत के बुनियादी ज्ञान की मदद से ऐसा करना काफी आसान है।

परिणाम

इस लेख में जांच की गई कि ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स क्या है। यह विषय भविष्य के इंजीनियरों के लिए उपयोगी होगा जिन्हें जटिल संरचनाओं की सही गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। कभी-कभी मैट्रिक्स को हल करना इतना आसान नहीं होता है, आपको अपना दिमाग लगाना पड़ता है। हालाँकि, छात्र गणित के पाठ्यक्रम में, यह ऑपरेशन यथासंभव आसानी से और बिना किसी प्रयास के किया जाता है।

मैट्रिक्स पर ये ऑपरेशन रैखिक नहीं हैं।

परिभाषा. पक्षांतरितआव्यूह मैट्रिक्स के लिए आकार
आकार मैट्रिक्स कहा जाता है
, से प्राप्त इसकी सभी पंक्तियों को समान क्रमांक वाले स्तंभों से प्रतिस्थापित करना।

अर्थात यदि =
, वह
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

उदाहरण.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

परिभाषा. अगर =, फिर मैट्रिक्स एबुलाया सममित.

सभी विकर्ण मैट्रिक्स सममित हैं, क्योंकि उनके तत्व मुख्य विकर्ण के बारे में समान, सममित हैं।

जाहिर है, ट्रांसपोज़िशन ऑपरेशन के निम्नलिखित गुण मान्य हैं:

परिभाषा. होने देना =
– आकार मैट्रिक्स
,=
– आकार मैट्रिक्स
. इन मैट्रिक्स का उत्पाद
- आव्यूह =
आकार
, जिनके तत्वों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

अर्थात् तत्व वें पंक्ति और वें मैट्रिक्स कॉलम संगत तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर मैट्रिक्स की वीं पंक्ति और वें मैट्रिक्स कॉलम .

उदाहरण.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

काम
- मौजूद नहीं होना।

मैट्रिक्स गुणन के संचालन के गुण

1.
, भले ही दोनों उत्पाद परिभाषित हों।

उदाहरण.
,

, हालांकि

परिभाषा. मैट्रिसेस और कहा जाता है क्रमपरिवर्तनीय, अगर
, अन्यथा और कहा जाता है गैर क्रमपरिवर्तनीय.

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि केवल समान आकार के वर्ग आव्यूह ही क्रमपरिवर्तनीय हो सकते हैं।

उदाहरण.

मैट्रिक्स और क्रमपरिवर्तनीय

वह है
,

मतलब, और - क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स।

सामान्य तौर पर, पहचान मैट्रिक्स समान क्रम के किसी भी वर्ग मैट्रिक्स के साथ और किसी भी मैट्रिक्स के लिए परिवर्तित होता है
. यह एक मैट्रिक्स गुण है बताते हैं कि इसे इकाई क्यों कहा जाता है: संख्याओं को गुणा करते समय, संख्या 1 में यह गुण होता है।

यदि संबंधित उत्पादों को परिभाषित किया गया है, तो:

5.

उदाहरण.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

टिप्पणी. मैट्रिक्स के तत्व न केवल संख्याएँ हो सकते हैं, बल्कि कार्य भी हो सकते हैं। ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है कार्यात्मक।

उदाहरण.

निर्धारक और उनके गुण

प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स, कुछ नियमों के अनुसार, एक निश्चित संख्या से जुड़ा हो सकता है, जिसे इसका निर्धारक कहा जाता है।

दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें:

इसका निर्धारक एक संख्या है जिसे निम्नानुसार लिखा और गणना किया जाता है:

(1.1)

ऐसे निर्धारक को कहा जाता है द्वितीय क्रम निर्धारकऔर शायद

अलग ढंग से नामित किया जाए:
या
.

तृतीय क्रम निर्धारकएक वर्ग मैट्रिक्स के अनुरूप संख्या है
, जिसकी गणना नियम के अनुसार की जाती है:

तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना के लिए इस नियम को त्रिकोण नियम कहा जाता है और इसे निम्नानुसार योजनाबद्ध रूप से दर्शाया जा सकता है:

उदाहरण.
;

यदि हम पहले और फिर दूसरे कॉलम को सारणिक के दाईं ओर निर्दिष्ट करते हैं, तो त्रिकोण नियम को संशोधित किया जा सकता है:

सबसे पहले, मुख्य विकर्ण और उसके समानांतर दो विकर्णों की संख्याओं को गुणा किया जाता है, फिर दूसरे (पक्ष) विकर्ण और उसके समानांतर की संख्याओं को गुणा किया जाता है। शेष उत्पादों का योग पहले तीन उत्पादों के योग से घटा दिया जाता है।

(1.2) में शब्दों को समूहीकृत करते हुए और (1.1) का उपयोग करते हुए, हम इसे नोट करते हैं

(1.3)

अर्थात्, तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करते समय, दूसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग किया जाता है, और
से प्राप्त मैट्रिक्स निर्धारक है किसी तत्व को पार करके (अधिक सटीक रूप से, पहली पंक्ति और पहला स्तंभ, जिसके चौराहे पर है ),
- किसी तत्व को काट कर ,
- तत्व .

परिभाषा. अतिरिक्त लघु
तत्व वर्ग मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है पार करके -वीं पंक्ति और वां स्तंभ.

उदाहरण.

परिभाषा. बीजगणितीय पूरकतत्व वर्ग मैट्रिक्स कॉल किया गया नंबर
.

उदाहरण.

मैट्रिक्स के लिए :

मैट्रिक्स के लिए :
और इसी तरह।

इसलिए, तैयार की गई परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए, (1.3) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:।

आइए अब सामान्य मामले पर चलते हैं।

परिभाषा. सिद्धवर्ग मैट्रिक्स आदेश एक संख्या है जिसे इस प्रकार लिखा और गणना किया जाता है:

(1.4)

समानता (1.4) कहलाती है पहले के तत्वों में निर्धारक का विस्तार पंक्तियां. इस सूत्र में, बीजगणितीय पूरकों की गणना निर्धारक के रूप में की जाती है
-वाँ क्रम. इस प्रकार, सूत्र (1.4) का उपयोग करके चौथे क्रम के निर्धारक की गणना करते समय, सामान्यतया, 4 तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है; 5वें क्रम के निर्धारक की गणना करते समय - 5 4वें क्रम के निर्धारक, आदि। हालाँकि, यदि, उदाहरण के लिए, चौथे क्रम के निर्धारक में पहली पंक्ति में 3 शून्य तत्व हैं, तो सूत्र (1.4) में केवल एक गैर-शून्य पद रहेगा।

उदाहरण.

आइए विचार करें (बिना प्रमाण के) निर्धारकों के गुण:

निर्धारक को पहले कॉलम के तत्वों में विस्तारित किया जा सकता है:

उदाहरण.

टिप्पणी. सुविचारित उदाहरण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं: त्रिकोणीय मैट्रिक्स का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर है.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सारणिक की पंक्तियाँ और स्तंभ बराबर हैं।

यहाँ से, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है किसी भी स्ट्रिंग का सामान्य कारक (स्तंभ) को सारणिक के चिह्न से परे निकाला जा सकता है. इसके अलावा, एक निर्धारक जिसमें शून्य पंक्ति या शून्य स्तंभ होता है वह शून्य के बराबर होता है।

समानता (1.6) कहलाती है वें पंक्ति.

समानता (1.7) कहलाती है तत्वों में निर्धारक का विस्तार वां स्तंभ.

एक निश्चित पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों के उत्पादों का योग

किसी अन्य पंक्ति के संगत तत्वों का बीजगणितीय पूरक

(कॉलम) शून्य के बराबर है, अर्थात जब
और
पर
.

उदाहरण.
, क्योंकि इस सारणिक की पहली और दूसरी पंक्तियों के तत्व क्रमशः आनुपातिक हैं (संपत्ति 6)।

संपत्ति 9 का उपयोग विशेष रूप से अक्सर निर्धारकों की गणना करते समय किया जाता है, क्योंकि यह किसी भी निर्धारक को एक पंक्ति या स्तंभ प्राप्त करने की अनुमति देता है जहां एक को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

उदाहरण.