भग्न लगभग एक सदी से जाने जाते हैं, अच्छी तरह से अध्ययन किए जाते हैं और जीवन में उनके कई अनुप्रयोग हैं। यह घटना एक बहुत ही सरल विचार पर आधारित है: सौंदर्य और विविधता में अनंत संख्या में आंकड़े अपेक्षाकृत सरल संरचनाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं, केवल दो ऑपरेशन - कॉपी और स्केलिंग का उपयोग करके।

इस अवधारणा की कोई सख्त परिभाषा नहीं है। इसलिए, "फ्रैक्टल" शब्द गणितीय शब्द नहीं है। यह आमतौर पर एक ज्यामितीय आकृति का नाम होता है जो निम्नलिखित में से एक या अधिक गुणों को संतुष्ट करता है:

• किसी भी आवर्धन पर एक जटिल संरचना है;
• (लगभग) स्व-समान है;
• एक भिन्नात्मक हॉसडॉर्फ (फ्रैक्टल) आयाम है, जो टोपोलॉजिकल से बड़ा है;
• पुनरावर्ती प्रक्रियाओं द्वारा बनाया जा सकता है।

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, भग्न का अध्ययन व्यवस्थित की तुलना में अधिक प्रासंगिक था, क्योंकि पहले के गणितज्ञों ने मुख्य रूप से "अच्छी" वस्तुओं का अध्ययन किया था जिनका अध्ययन सामान्य तरीकों और सिद्धांतों का उपयोग करके किया जा सकता था। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, इसका निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल था। इसलिए, 1904 में, स्वेड हेल्ज वॉन कोच एक निरंतर वक्र के साथ आया, जिसकी कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है, और इसे खींचना काफी सरल है। यह पता चला कि इसमें फ्रैक्टल के गुण हैं। इस वक्र के एक रूपांतर को कोच स्नोफ्लेक कहा जाता है।

आंकड़ों की आत्म-समानता के विचारों को फ्रांसीसी पॉल पियरे लेवी, बेनोइट मैंडलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक द्वारा उठाया गया था। 1938 में, उनका लेख "प्लेन एंड स्पेशियल कर्व्स एंड सरफेस जिसमें पूरे के समान हिस्से होते हैं" प्रकाशित हुआ, जिसमें एक और फ्रैक्टल का वर्णन किया गया है - लेवी सी-वक्र। उपरोक्त सभी भग्न को सशर्त रूप से रचनात्मक (ज्यामितीय) भग्न के एक वर्ग के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है।

एक अन्य वर्ग गतिशील (बीजीय) भग्न है, जिसमें मैंडेलब्रॉट सेट शामिल है। इस दिशा में पहला अध्ययन 20वीं शताब्दी की शुरुआत का है और फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया और पियरे फतो के नामों से जुड़ा है। 1918 में, जूलिया के काम के लगभग दो सौ पृष्ठ प्रकाशित हुए, जो जटिल तर्कसंगत कार्यों के पुनरावृत्तियों के लिए समर्पित थे, जिसमें जूलिया सेट का वर्णन किया गया है - फ्रैक्टल का एक पूरा परिवार जो मैंडेलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित है। इस काम को फ्रांसीसी अकादमी के पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, लेकिन इसमें एक भी चित्रण नहीं था, इसलिए खोजी गई वस्तुओं की सुंदरता की सराहना करना असंभव था। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने जूलिया को उस समय के गणितज्ञों के बीच प्रसिद्ध कर दिया, इसे जल्दी से भुला दिया गया।

केवल आधी सदी बाद, कंप्यूटर के आगमन के साथ, जूलिया और फतो के काम पर ध्यान दिया गया: यह वे थे जिन्होंने भग्न की दुनिया की समृद्धि और सुंदरता को दृश्यमान बनाया। आखिरकार, फतो उन छवियों को कभी नहीं देख सका जिन्हें अब हम मैंडलब्रॉट सेट की छवियों के रूप में जानते हैं, क्योंकि आवश्यक संख्या में गणना मैन्युअल रूप से नहीं की जा सकती है। इसके लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति बेनोइट मैंडलब्रॉट थे।

1982 में मंडेलब्रॉट की पुस्तक "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" प्रकाशित हुई, जिसमें लेखक ने उस समय उपलब्ध फ्रैक्टल्स के बारे में लगभग सभी जानकारी एकत्र और व्यवस्थित की और इसे आसान और सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया। मंडेलब्रॉट ने अपनी प्रस्तुति में मुख्य रूप से जटिल सूत्रों और गणितीय निर्माणों पर नहीं, बल्कि पाठकों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर जोर दिया। कंप्यूटर जनित दृष्टांतों और ऐतिहासिक कहानियों के लिए धन्यवाद, जिसके साथ लेखक ने मोनोग्राफ के वैज्ञानिक घटक को कुशलता से पतला किया, पुस्तक बेस्टसेलर बन गई, और फ्रैक्टल आम जनता के लिए जाने गए। गैर-गणितज्ञों के बीच उनकी सफलता काफी हद तक इस तथ्य के कारण है कि बहुत ही सरल निर्माण और सूत्रों की मदद से जो एक हाई स्कूल का छात्र भी समझ सकता है, अद्भुत जटिलता और सुंदरता की छवियां प्राप्त की जाती हैं। जब पर्सनल कंप्यूटर काफी शक्तिशाली हो गए, तो कला में भी एक पूरी प्रवृत्ति दिखाई दी - फ्रैक्टल पेंटिंग, और लगभग कोई भी कंप्यूटर मालिक इसे कर सकता था। अब इंटरनेट पर आप इस विषय के लिए समर्पित कई साइटें आसानी से पा सकते हैं।

भग्न सिद्धांत

अजीब आकर्षित करने वालों का हमेशा एक भग्न आयाम होता है। इसलिए, अराजक आकर्षित करने वालों का वर्णन करने के लिए, भग्न ज्यामिति के उपकरण का उपयोग किया जाता है, जो "अराजकता की संरचनाओं" का वर्णन करता है।

"फ्रैक्टल" शब्द बेनोइट मैंडेलब्रॉट से संबंधित है। अपनी तीन पुस्तकों ("फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट्स: फॉर्म, चांस एंड डाइमेंशन", 1975; "फ्रैक्टल्स: फॉर्म, चांस एंड डाइमेंशन", 1977; "फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर", 1977) में, मंडेलब्रॉट ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का प्रस्ताव रखा। -चिकना, खुरदरा, दांतेदार, गड्ढा और छेद, खुरदरा, आदि। वस्तुओं। यह "गलत" वस्तुएं हैं जो प्रकृति में अधिकांश वस्तुओं को बनाती हैं। बी मंडेलब्रॉट ने स्वयं द्वारा बनाए गए सिद्धांत को निराकार के आकारिकी के रूप में वर्णित किया।

बी मंडेलब्रॉट द्वारा "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" निम्नलिखित शब्दों के साथ खुलता है: "ज्यामिति को अक्सर "ठंडा" और "सूखा" क्यों कहा जाता है? एक कारण बादल, पहाड़, समुद्र तट या पेड़ के आकार का वर्णन करने में उसकी असमर्थता है। बादल गोले नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, पेड़ की छाल चिकनी नहीं है, बिजली सीधी रेखा में नहीं चलती है। अधिक आम तौर पर, मैं तर्क दे रहा हूं कि प्रकृति में कई वस्तुएं इतनी अनियमित और खंडित हैं कि यूक्लिड की तुलना में - एक शब्द जो इस काम में सभी मानक ज्यामिति का अर्थ है - प्रकृति में न केवल अधिक जटिलता है, बल्कि जटिलता का एक पूरी तरह से अलग स्तर है। सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए प्राकृतिक वस्तुओं की लंबाई के विभिन्न पैमानों की संख्या अनंत है" डेनिलोव यू.ए. भग्न की सुंदरता। वेब: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm।

यूक्लिड ने प्रकृति को शुद्ध और सममित वस्तुओं में बदल दिया: एक बिंदु, एक-आयामी रेखा, एक द्वि-आयामी विमान, एक त्रि-आयामी शरीर। इनमें से किसी भी वस्तु में छेद और बाहरी अनियमितताएं नहीं हैं। प्रत्येक का सही चिकना आकार होता है। किसी न किसी रूप की प्राकृतिक वस्तुएं शुद्ध यूक्लिडियन संरचनाओं की किस्में नहीं हैं। अधिकांश प्राकृतिक रूपों और समय श्रृंखलाओं को फ्रैक्टल द्वारा सर्वोत्तम रूप से वर्णित किया जाता है।

मैंडेलब्रॉट ने फ्रैक्टल (लैटिन शब्द "फ्रैक्टस" से - भिन्नात्मक, खंडित) शब्द गढ़ा, जो 1919 में प्रस्तावित फ्रैक्टल (आंशिक) आयाम के बेसिकोविच-हॉसडॉर्फ सिद्धांत पर आधारित था।

बेसिकोविच-हॉसडॉर्फ आयाम नियमित ज्यामितीय वस्तुओं के लिए यूक्लिडियन के साथ मेल खाता है (यूक्लिडियन ज्यामिति की आधुनिक पाठ्यपुस्तक में अध्ययन किए गए घटता, सतहों और निकायों के लिए)। अजीब लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर का बेसिकोविच-हॉसडॉर्फ आयाम 2 से अधिक है, लेकिन 3 से कम है: लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर अब एक चिकनी सतह नहीं है, लेकिन अभी तक एक त्रि-आयामी शरीर नहीं है।

हम सोचते हैं कि प्रत्येक समतल वस्तु द्वि-आयामी होती है। हालाँकि, गणितीय रूप से कहा जाए तो ऐसा नहीं है। यूक्लिडियन विमान एक सपाट सतह है जिसमें कोई दरार और टूटता नहीं है। इसी तरह, हम मानते हैं कि जिस वस्तु में गहराई होती है वह त्रि-आयामी होती है। लेकिन यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रि-आयामी वस्तु एक ठोस शरीर है जिसमें कोई छेद या दरार नहीं है। अधिकांश वास्तविक वस्तुएं ठोस नहीं होती हैं - उनमें अंतराल और गुहाएं होती हैं और वे केवल त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थित होती हैं। उदाहरण के लिए, पहाड़ों और बादलों के आयाम दो और तीन के बीच होते हैं। भग्न वस्तुओं की विशेषताओं में से एक यह है कि जब वे अपने भग्न से अधिक आयाम वाले स्थान में रखे जाते हैं तो वे अपना आयाम छोड़ देते हैं। यादृच्छिक वितरण (श्वेत शोर) में यह विशेषता नहीं होती है। सफेद शोर अपने स्थान को वैसे ही भर देता है जैसे कोई गैस किसी आयतन को भरती है। यदि एक निश्चित मात्रा में गैस को एक बड़े आयतन के कंटेनर में रखा जाता है, तो गैस बस एक बड़े स्थान में फैल जाएगी, क्योंकि कुछ भी गैस के अणुओं को एक साथ नहीं बांधता है। दूसरी ओर, एक ठोस में अणु एक दूसरे से जुड़े होते हैं। इसी तरह, एक भग्न समय श्रृंखला में, बिंदुओं की स्थिति उन सहसंबंधों द्वारा निर्धारित की जाती है जो एक यादृच्छिक श्रृंखला में मौजूद नहीं होते हैं। एक समय श्रृंखला केवल यादृच्छिक होगी यदि यह समान रूप से संभावित घटनाओं की एक बड़ी संख्या का परिणाम है। आंकड़ों के संदर्भ में - इसमें बड़ी संख्या में स्वतंत्रता की डिग्री है। एक गैर-यादृच्छिक समय श्रृंखला प्रभावों की गैर-यादृच्छिक प्रकृति को दर्शाएगी। डेटा में उछाल प्रभावित करने वाले कारकों में उछाल से मेल खाएगा, जो उनके अंतर्निहित सहसंबंध को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, समय श्रृंखला एक भग्न होगी। फ्रैक्टल आयाम को परिभाषित किया जाता है कि कोई वस्तु या समय श्रृंखला कैसे स्थान भरती है। एक भग्न वस्तु असमान रूप से अंतरिक्ष को भरती है, क्योंकि इसके भाग आश्रित या सहसंबद्ध होते हैं। एक फ्रैक्टल आयाम को परिभाषित करने के लिए, हमें यह परिभाषित करना होगा कि कैसे एक वस्तु को उसके पीटर्स स्पेस में एक साथ समूहीकृत किया जाता है। ई. पूंजी बाजार में अराजकता और व्यवस्था। चक्रों, कीमतों और बाजार की अस्थिरता पर एक नया विश्लेषणात्मक परिप्रेक्ष्य। एम.: मीर, 2000. पी.80..

यूक्लिडियन ज्यामिति में, हम किसी वस्तु को जितना करीब से देखते हैं, वह उतनी ही सरल होती जाती है। 3D ब्लॉक एक 2D प्लेन बन जाता है, फिर एक 1D लाइन, जब तक कि वह एक पॉइंट न बन जाए। भग्न (प्राकृतिक) वस्तुओं में, जैसे-जैसे आप बढ़ते हैं, अधिक से अधिक विवरण सामने आते हैं। भग्न वस्तुओं की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि प्रत्येक विवरण में एक सामान्य संरचना होती है। फ्रैक्टल की परिभाषाओं में से एक कहता है: फ्रैक्टल एक स्व-समान संरचना है। स्व-समानता (स्केल इनवेरिएंस) एक ऐसी घटना है जिसमें इस तथ्य से युक्त होता है कि किसी वस्तु के छोटे हिस्से गुणात्मक रूप से पूरी वस्तु के समान या उसके समान होते हैं, दूसरे शब्दों में, यह संपत्ति किसी भी, मनमाने ढंग से छोटे पैमाने पर लगभग समान दिखती है। भग्न समय श्रृंखला में, छोटे समय अंतराल सांख्यिकीय रूप से बड़े अंतराल के समान होंगे। भग्न रूप स्थानिक आत्म-समानता प्रदर्शित करते हैं। फ्रैक्टल टाइम सीरीज़ में समय में सांख्यिकीय स्व-समानता होती है।

तो, हम पहले से ही एक फ्रैक्टल की दो परिभाषाओं से मिल चुके हैं (आंशिक आयाम के माध्यम से और स्केल इनवेरिएंस की संपत्ति के माध्यम से)। भग्न की अंतिम परिभाषा अभी तक नहीं मिली है। यह संभव है कि ऐसा कभी न हो, क्योंकि भग्न ज्यामिति प्रकृति की ज्यामिति है।

जैसा कि आप जानते हैं, पुनरावृत्ति विधि एक निश्चित बिंदु पर एक बिंदु की स्थिति को पिछले बिंदु पर अपनी स्थिति के माध्यम से निर्धारित करती है, यानी फीडबैक काम करता है। एक एल्गोरिथ्म के रूप में, इसे निम्नानुसार प्रदर्शित किया जा सकता है: "प्रारंभिक अवस्था" + "चरण-दर-चरण प्रक्रिया उत्पन्न करना" = "अनफोल्डेड फ्रैक्टल संरचना"। गतिशील फीडबैक सिस्टम का वर्णन करने वाले गैर-रेखीय समीकरणों की सहायता से फ्रैक्टल सेट निर्दिष्ट किए जाते हैं। एक फ्रैक्टल एक जनरेटिंग नियम की सीमा है। एक फ्रैक्टल एक स्व-संगठन संरचना है, और जनरेटिव नियम को एक प्रतिकृति के रूप में माना जा सकता है, आत्म-संगठन का "विषय"।

सिद्धांत रूप में, फ्रैक्टल ज्यामिति एक पूरी तरह से स्वतंत्र विज्ञान है, लेकिन इसके विचारों को पहले से ही सहक्रिया विज्ञान द्वारा बड़े पैमाने पर "आत्मसात" कर लिया गया है, और सहक्रिया विज्ञान ने एक बार फ्रैक्टल वस्तुओं के अध्ययन में बेनोइट मंडेलब्रॉट को प्रेरित किया था। इसलिए, हम सहक्रियात्मक दृष्टिकोण और भग्न के सिद्धांत के बीच कठोर सीमाएं नहीं खींचेंगे।

फ्रैक्टल दो प्रकार के होते हैं: नियतात्मक और यादृच्छिक। अधिकांश मामलों में नियतात्मक भग्न सममित होते हैं। लेकिन प्रकृति समरूपता को अस्वीकार करती है, इसलिए प्राकृतिक वस्तुओं को यादृच्छिक भग्न का उपयोग करके वर्णित किया जाता है। रैंडम फ्रैक्टल में हमेशा ऐसे हिस्से शामिल नहीं होते हैं जो पूरे की तरह दिखते हैं। भागों और संपूर्ण को गुणात्मक रूप से जोड़ा जा सकता है। रैंडम फ्रैक्टल विभिन्न पैमानों पर यादृच्छिक रूप से चुने गए जनरेटिव नियमों का एक संयोजन है।

जैसा कि हाल के दशकों में (स्व-संगठन के सिद्धांत के विकास के संबंध में) स्पष्ट हो गया है, वस्तुओं और घटनाओं की एक विस्तृत विविधता में आत्म-समानता होती है। उदाहरण के लिए, आर्थिक प्रणालियों के विकास में, पर्वतीय प्रणालियों, बादलों की संरचना में, एक निषेचित युग्मनज, बर्फ के टुकड़े, बर्फ के क्रिस्टल के विभाजन में पेड़ों और झाड़ियों की शाखाओं में आत्म-समानता देखी जा सकती है।

सभी सूचीबद्ध वस्तुएं और उनकी संरचना में उनके समान अन्य फ्रैक्टल हैं। यही है, उनके पास आत्म-समानता, या स्केल इनवेरिएंस के गुण हैं। और इसका मतलब यह है कि उनकी संरचना के कुछ टुकड़े निश्चित स्थानिक अंतराल पर सख्ती से दोहराए जाते हैं। जाहिर है, ये वस्तुएं किसी भी प्रकृति की हो सकती हैं, और इनका स्वरूप और आकार पैमाने की परवाह किए बिना अपरिवर्तित रहता है। प्रकृति और समाज दोनों में, आत्म-पुनरावृत्ति पर्याप्त रूप से बड़े पैमाने पर होती है। तो, बादल अपनी फटी हुई संरचना को 10 4 मीटर (10 किमी) से 10 -4 मीटर (0.1 मिमी) तक दोहराता है। पेड़ों में 10 -2 से 10 2 मीटर तक शाखाएं दोहराई जाती हैं। दरारें उत्पन्न करने वाली ढहने वाली सामग्री भी कई पैमानों पर अपनी आत्म-समानता दोहराती है। हाथ पर पड़ने वाला बर्फ का टुकड़ा पिघल जाता है। पिघलने की अवधि के दौरान, एक चरण से दूसरे चरण में संक्रमण, स्नोफ्लेक-ड्रॉप भी एक भग्न है।

एक फ्रैक्टल अनंत जटिलता की वस्तु है, जिससे आप दूर से कम विवरण नहीं देख सकते हैं। इसका उत्कृष्ट उदाहरण पृथ्वी है। अंतरिक्ष से देखने पर यह गेंद जैसा दिखता है। इसके करीब पहुंचने पर हमें महासागर, महाद्वीप, तट और पर्वत श्रृंखलाएं मिलेंगी। बाद में, छोटे विवरण दिखाई देंगे: पहाड़ की सतह पर भूमि का एक टुकड़ा, पहाड़ जितना ही जटिल और असमान। फिर मिट्टी के छोटे-छोटे कण दिखाई देंगे, जिनमें से प्रत्येक अपने आप में एक भग्न वस्तु है।

एक फ्रैक्टल एक गैर-रेखीय संरचना है जो असीम रूप से ऊपर या नीचे स्केल किए जाने पर आत्म-समानता बरकरार रखती है। केवल छोटी लंबाई में ही अरैखिकता रैखिकता में बदल जाती है। यह विभेदीकरण की गणितीय प्रक्रिया में विशेष रूप से स्पष्ट है।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि मॉडल के रूप में फ्रैक्टल का उपयोग तब किया जाता है जब वास्तविक वस्तु को शास्त्रीय मॉडल के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और इसका मतलब है कि हम गैर-रैखिक संबंधों और डेटा की गैर-नियतात्मक प्रकृति से निपट रहे हैं। वैचारिक अर्थों में गैर-रैखिकता का अर्थ है विकास पथों की बहुभिन्नता, वैकल्पिक रास्तों में से एक विकल्प की उपलब्धता और विकास की एक निश्चित गति, साथ ही विकासवादी प्रक्रियाओं की अपरिवर्तनीयता। गणितीय अर्थ में, अरैखिकता एक निश्चित प्रकार के गणितीय समीकरण (नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन) है जिसमें एक से अधिक घातों में वांछित मात्राएँ होती हैं या गुणांक जो माध्यम के गुणों पर निर्भर करते हैं। यही है, जब हम शास्त्रीय मॉडल (उदाहरण के लिए, प्रवृत्ति, प्रतिगमन, आदि) लागू करते हैं, तो हम कहते हैं कि किसी वस्तु का भविष्य विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। और हम वस्तु के अतीत (मॉडलिंग के लिए प्रारंभिक डेटा) को जानकर इसका अनुमान लगा सकते हैं। और फ्रैक्टल का उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब वस्तु के पास विकास के लिए कई विकल्प होते हैं और सिस्टम की स्थिति उस स्थिति से निर्धारित होती है जिसमें वह वर्तमान में स्थित है। यानी हम एक अराजक विकास का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं।

जब वे एक निश्चित प्रणाली के नियतत्ववाद के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब है कि इसका व्यवहार एक स्पष्ट कारण संबंध की विशेषता है। अर्थात्, प्रारंभिक स्थितियों और प्रणाली की गति के नियम को जानकर, इसके भविष्य की सटीक भविष्यवाणी करना संभव है। यह ब्रह्मांड में गति का यह विचार है जो शास्त्रीय, न्यूटनियन गतिकी की विशेषता है। अराजकता, इसके विपरीत, एक अराजक, यादृच्छिक प्रक्रिया का अर्थ है, जब घटनाओं के पाठ्यक्रम की न तो भविष्यवाणी की जा सकती है और न ही पुन: पेश की जा सकती है।

अराजकता एक गैर-रेखीय प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता द्वारा उत्पन्न होती है - इसकी संपत्ति तेजी से तेजी से मनमाने ढंग से बंद प्रक्षेपवक्र को अलग करती है। नतीजतन, प्रक्षेपवक्र का आकार प्रारंभिक स्थितियों पर बहुत दृढ़ता से निर्भर करता है। सिस्टम का अध्ययन करते समय, पहली नज़र में, अराजक रूप से विकसित होते हैं, वे अक्सर फ्रैक्टल के सिद्धांत का उपयोग करते हैं, क्योंकि यह दृष्टिकोण है जो सिस्टम के विकास में "यादृच्छिक" विचलन की घटना में एक निश्चित पैटर्न को देखना संभव बनाता है।

प्राकृतिक भग्न संरचनाओं का अध्ययन हमें स्व-संगठन और गैर-रेखीय प्रणालियों के विकास की प्रक्रियाओं को बेहतर ढंग से समझने का अवसर देता है। हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि हमारे चारों ओर सबसे विविध, घुमावदार रेखाओं के प्राकृतिक भग्न पाए जाते हैं। यह समुद्र का किनारा, पेड़, बादल, बिजली का निर्वहन, धातु संरचना, मानव तंत्रिका या संवहनी तंत्र है। ये जटिल रेखाएँ और खुरदरी सतहें वैज्ञानिक अनुसंधान के ध्यान में आईं क्योंकि प्रकृति ने हमें आदर्श ज्यामितीय प्रणालियों की तुलना में जटिलता का एक पूरी तरह से अलग स्तर दिखाया। अध्ययन के तहत संरचनाएं अनुपात-लौकिक संबंध में स्व-समान निकलीं। उन्होंने अंतहीन रूप से आत्म-प्रतिकृति की और लंबाई और समय के विभिन्न पैमानों पर खुद को दोहराया। कोई भी गैर-रेखीय प्रक्रिया अंततः एक कांटा की ओर ले जाती है। इस मामले में प्रणाली, शाखा बिंदु पर, एक या दूसरा रास्ता चुनती है। प्रणाली के विकास का प्रक्षेपवक्र एक भग्न, यानी एक टूटी हुई रेखा की तरह दिखेगा, जिसके आकार को एक शाखाबद्ध, जटिल पथ के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका अपना तर्क और पैटर्न है।

एक प्रणाली की शाखाओं की तुलना एक पेड़ की शाखा से की जा सकती है, जहां प्रत्येक शाखा पूरे सिस्टम के एक तिहाई से मेल खाती है। ब्रांचिंग एक रैखिक संरचना को त्रि-आयामी स्थान भरने की अनुमति देता है, या, अधिक सटीक रूप से: एक फ्रैक्टल संरचना विभिन्न रिक्त स्थान का समन्वय करती है। एक भग्न विकसित हो सकता है, आसपास के स्थान को भर सकता है, जैसे कि एक क्रिस्टल एक सुपरसैचुरेटेड घोल में बढ़ता है। इस मामले में, शाखाओं की प्रकृति संयोग से नहीं, बल्कि एक निश्चित पैटर्न से जुड़ी होगी।

मानव जीवन के संगठन के उच्च स्तर पर, उदाहरण के लिए, सामूहिक या टीम के स्व-संगठन के स्तर पर, भग्न संरचना अन्य स्तरों पर भी इसी तरह दोहराती है। नेटवर्क और रूपों का स्व-संगठन सूक्ष्म स्तर से मैक्रो स्तर तक चलता है। सामूहिक रूप से, वे एक समग्र एकता का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां कोई भी पूरे हिस्से का न्याय कर सकता है। इस पाठ्यक्रम में, उदाहरण के रूप में, सामाजिक प्रक्रियाओं के भग्न गुणों पर विचार किया जाता है, जो भग्न के सिद्धांत की सार्वभौमिकता और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के प्रति इसकी निष्ठा को इंगित करता है।

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि भग्न विभिन्न आयामों और प्रकृति के रिक्त स्थान की संगठित बातचीत का एक तरीका है। यह उपरोक्त में जोड़ा जाना चाहिए कि न केवल स्थानिक, बल्कि अस्थायी भी। तब मानव मस्तिष्क और तंत्रिका नेटवर्क भी एक भग्न संरचना होगी।

प्रकृति भग्न रूपों की बहुत शौकीन है। एक भग्न वस्तु में एक विशाल, दुर्लभ संरचना होती है। बढ़ती आवर्धन के साथ ऐसी वस्तुओं को देखने पर, कोई यह देख सकता है कि वे एक पैटर्न प्रदर्शित करते हैं जो विभिन्न स्तरों पर दोहराता है। हम पहले ही कह चुके हैं कि एक भग्न वस्तु बिल्कुल एक जैसी दिख सकती है, भले ही हम इसे मीटर, मिलीमीटर या माइक्रोन (मीटर स्केल का 1:1,000,000) में देखें। भग्न वस्तुओं की समरूपता की संपत्ति पैमाने के संबंध में अपरिवर्तनीय रूप से प्रकट होती है। फ्रैक्टल्स स्ट्रेचिंग या रिस्केलिंग के केंद्र के बारे में सममित होते हैं, जैसे गोल शरीर रोटेशन की धुरी के बारे में सममित होते हैं।

आज, किसी विशेष विज्ञान - भौतिकी, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान, भाषा विज्ञान, आदि में भग्न सिद्धांत के ढांचे के भीतर विकास किया जाता है। तब समाज, और सामाजिक संस्थाएं, और भाषा, और यहां तक ​​कि विचार भी भग्न हैं।

आधुनिक विज्ञान ने ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के लिए फ्रैक्टल के सिद्धांत को सफलतापूर्वक अनुकूलित किया है। इसलिए, अर्थशास्त्र में, फ्रैक्टल्स के सिद्धांत का उपयोग वित्तीय बाजारों के तकनीकी विश्लेषण में किया जाता है जो दुनिया के विकसित देशों में सौ से अधिक वर्षों से मौजूद हैं। पहली बार शेयरों की कीमत के आगे के व्यवहार की भविष्यवाणी करने का अवसर, यदि कुछ हाल की अवधि के लिए इसकी दिशा ज्ञात है, सी. डॉव द्वारा नोट किया गया था। 1990 के दशक में, कई लेख प्रकाशित करने के बाद, डॉव ने देखा कि स्टॉक की कीमतें चक्रीय उतार-चढ़ाव के अधीन थीं: एक लंबी वृद्धि के बाद, एक लंबी गिरावट आती है, फिर फिर से वृद्धि और गिरावट होती है।

20वीं सदी के मध्य में, जब पूरा वैज्ञानिक जगत भग्न के नए उभरते सिद्धांत पर मोहित हो गया, एक अन्य प्रसिद्ध अमेरिकी फाइनेंसर, आर. इलियट ने स्टॉक मूल्य व्यवहार के अपने सिद्धांत का प्रस्ताव रखा, जो फ्रैक्टल के उपयोग पर आधारित था। लिखित। इलियट इस तथ्य से आगे बढ़े कि फ्रैक्टल की ज्यामिति न केवल जीवित प्रकृति में होती है, बल्कि सामाजिक प्रक्रियाओं में भी होती है। उन्होंने स्टॉक एक्सचेंज पर शेयरों के व्यापार के लिए सामाजिक प्रक्रियाओं को भी जिम्मेदार ठहराया।

सिद्धांत का आधार तथाकथित तरंग आरेख है। यह सिद्धांत मूल्य प्रवृत्ति के आगे के व्यवहार की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, इसके व्यवहार के इतिहास के ज्ञान के आधार पर और बड़े पैमाने पर मनोवैज्ञानिक व्यवहार के विकास के नियमों का पालन करता है।

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत ने जीव विज्ञान में भी आवेदन पाया है। कई, यदि सभी नहीं, तो पौधों, जानवरों और मनुष्यों की जैविक संरचनाओं और प्रणालियों में एक भग्न प्रकृति होती है, इसमें कुछ समानता होती है: तंत्रिका तंत्र, फेफड़े की प्रणाली, संचार और लसीका प्रणाली, आदि। साक्ष्य सामने आया है कि एक घातक ट्यूमर का विकास भी फ्रैक्टल सिद्धांत के अनुसार होता है। भग्न वस्तुओं को भी पूरकता की अभिव्यक्ति के रूप में इस तरह की विशेषता की विशेषता है। जैव रसायन में पूरकता दो मैक्रोमोलेक्यूल्स की रासायनिक संरचना में पारस्परिक पत्राचार है, जो उनकी बातचीत को सुनिश्चित करता है - डीएनए के दो स्ट्रैंड्स की जोड़ी, एक सब्सट्रेट के साथ एक एंजाइम का कनेक्शन, एक एंटीबॉडी के साथ एक एंटीजन। पूरक संरचनाएं ताले की चाबी की तरह एक साथ फिट होती हैं। यह संपत्ति डीएनए पॉलीन्यूक्लियोटाइड श्रृंखलाओं के पास है।

फ्रैक्टल के सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोगों में से एक कंप्यूटर ग्राफिक्स में निहित है। सबसे पहले, यह छवियों का एक फ्रैक्टल संपीड़न है, और दूसरा, परिदृश्य, पेड़, पौधे और फ्रैक्टल बनावट की पीढ़ी का निर्माण। उसी समय, संपीड़न के लिए, सूचना की रिकॉर्डिंग के लिए, भग्न में एक स्व-समान कमी आवश्यक है, और इसके पढ़ने के लिए, क्रमशः एक समान वृद्धि।

भग्न छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और लघु छवि पुनर्प्राप्ति समय है। पिक्सेलेशन की उपस्थिति के बिना आंशिक रूप से पैक किए गए चित्रों को स्केल किया जा सकता है। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक रहता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे भागों के समान छवि के बड़े हिस्से को खोजने पर आधारित है। और आउटपुट फ़ाइल में केवल एक भाग से दूसरे भाग की समानता के बारे में जानकारी लिखी जाती है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है, जो तस्वीर को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता की ओर जाता है, हेक्सागोनल ग्रिड में ऐसा नुकसान नहीं होता है।

अक्सर, विज्ञान में की गई शानदार खोजें हमारे जीवन को मौलिक रूप से बदल सकती हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक टीके का आविष्कार कई लोगों को बचा सकता है, और एक नए हथियार का निर्माण हत्या की ओर ले जाता है। वस्तुतः कल (इतिहास के पैमाने पर) एक व्यक्ति ने बिजली का "नामकरण" किया, और आज वह इसके बिना अपने जीवन की कल्पना नहीं कर सकता। हालाँकि, ऐसी खोजें भी हैं, जैसा कि वे कहते हैं, छाया में रहती हैं, और इस तथ्य के बावजूद कि उनका हमारे जीवन पर भी कुछ प्रभाव पड़ता है। इन खोजों में से एक फ्रैक्टल थी। अधिकांश लोगों ने ऐसी अवधारणा के बारे में सुना भी नहीं है और न ही इसका अर्थ समझा पाएंगे। इस लेख में हम इस प्रश्न से निपटने की कोशिश करेंगे कि भग्न क्या है, विज्ञान और प्रकृति के दृष्टिकोण से इस शब्द के अर्थ पर विचार करें।

अराजकता में आदेश

यह समझने के लिए कि भग्न क्या है, किसी को गणित की स्थिति से डीब्रीफिंग शुरू करनी चाहिए, हालांकि, इसमें जाने से पहले, हम थोड़ा दर्शन करते हैं। प्रत्येक व्यक्ति में स्वाभाविक जिज्ञासा होती है, जिसकी बदौलत वह अपने आसपास की दुनिया को सीखता है। अक्सर, ज्ञान की अपनी इच्छा में, वह अपने निर्णयों में तर्क के साथ काम करने की कोशिश करता है। इसलिए, आसपास होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करते हुए, वह संबंधों की गणना करने और कुछ पैटर्न प्राप्त करने का प्रयास करता है। ग्रह पर सबसे बड़े दिमाग इन समस्याओं को हल करने में लगे हुए हैं। मोटे तौर पर, हमारे वैज्ञानिक ऐसे पैटर्न की तलाश कर रहे हैं जहां वे नहीं हैं, और नहीं होने चाहिए। फिर भी, अराजकता में भी कुछ घटनाओं के बीच एक संबंध होता है। यह कनेक्शन फ्रैक्टल है। एक उदाहरण के रूप में, सड़क पर पड़ी एक टूटी हुई शाखा पर विचार करें। अगर हम इसे गौर से देखें तो पाएंगे कि यह अपनी सभी शाखाओं और गांठों के साथ अपने आप में एक पेड़ जैसा दिखता है। एक पूरे के साथ एक अलग हिस्से की यह समानता पुनरावर्ती आत्म-समानता के तथाकथित सिद्धांत की गवाही देती है। प्रकृति में भग्न हर समय पाए जा सकते हैं, क्योंकि एक ही तरह से कई अकार्बनिक और कार्बनिक रूप बनते हैं। ये बादल, और समुद्र के गोले, और घोंघे के गोले, और पेड़ के मुकुट, और यहां तक ​​​​कि संचार प्रणाली भी हैं। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी यादृच्छिक आकृतियों को फ्रैक्टल एल्गोरिथम द्वारा आसानी से वर्णित किया जाता है। यहां हम विचार करते हैं कि सटीक विज्ञान के दृष्टिकोण से फ्रैक्टल क्या है।

कुछ सूखे तथ्य

शब्द "फ्रैक्टल" का लैटिन से "आंशिक", "विभाजित", "खंडित" के रूप में अनुवाद किया गया है, और इस शब्द की सामग्री के लिए, ऐसा कोई शब्द नहीं है। आमतौर पर इसे एक स्व-समान सेट के रूप में माना जाता है, पूरे का एक हिस्सा, जिसे सूक्ष्म स्तर पर इसकी संरचना द्वारा दोहराया जाता है। यह शब्द बीसवीं सदी के सत्तर के दशक में बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा गढ़ा गया था, जिसे पिता के रूप में पहचाना जाता है। आज, फ्रैक्टल की अवधारणा का अर्थ एक निश्चित संरचना का ग्राफिक प्रतिनिधित्व है, जिसे बड़ा करने पर, स्वयं के समान होगा। हालाँकि, इस सिद्धांत के निर्माण का गणितीय आधार स्वयं मैंडलब्रॉट के जन्म से पहले ही रखा गया था, लेकिन यह तब तक विकसित नहीं हो सका जब तक कि इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर सामने नहीं आए।

ऐतिहासिक संदर्भ, या यह सब कैसे शुरू हुआ

19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, भग्नों की प्रकृति का अध्ययन प्रासंगिक था। यह इस तथ्य के कारण है कि गणितज्ञ उन वस्तुओं का अध्ययन करना पसंद करते हैं जिनकी जांच सामान्य सिद्धांतों और विधियों के आधार पर की जा सकती है। 1872 में, जर्मन गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रास ने एक सतत फलन का एक उदाहरण बनाया जो कहीं भी अवकलनीय नहीं है। हालांकि, यह निर्माण पूरी तरह से अमूर्त और समझने में मुश्किल निकला। इसके बाद स्वेड हेल्ज वॉन कोच आए, जिन्होंने 1904 में एक निरंतर वक्र का निर्माण किया, जिसमें कहीं भी कोई स्पर्शरेखा नहीं है। इसे खींचना काफी आसान है, और, जैसा कि यह निकला, यह भग्न गुणों की विशेषता है। इस वक्र के रूपों में से एक का नाम इसके लेखक के नाम पर रखा गया था - "कोच का हिमपात"। इसके अलावा, आंकड़ों की आत्म-समानता का विचार बी। मैंडेलब्रॉट के भविष्य के संरक्षक, फ्रांसीसी पॉल लेवी द्वारा विकसित किया गया था। 1938 में उन्होंने "प्लेन एंड स्पैटियल कर्व्स एंड सर्फेस कंसिस्टिंग ऑफ पार्ट्स लाइक ए होल" पेपर प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने एक नई प्रजाति का वर्णन किया - लेवी सी-वक्र। उपरोक्त सभी आंकड़े सशर्त रूप से इस तरह के रूप को ज्यामितीय फ्रैक्टल के रूप में संदर्भित करते हैं।

गतिशील या बीजीय भग्न

मैंडलब्रॉट सेट इसी वर्ग का है। फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतोउ और गैस्टन जूलिया इस दिशा में पहले शोधकर्ता बने। 1918 में जूलिया ने तर्कसंगत जटिल कार्यों के पुनरावृत्तियों के अध्ययन के आधार पर एक पेपर प्रकाशित किया। यहां उन्होंने फ्रैक्टल्स के एक परिवार का वर्णन किया है जो मैंडलब्रॉट सेट से निकटता से संबंधित हैं। इस तथ्य के बावजूद कि इस काम ने लेखक को गणितज्ञों के बीच गौरवान्वित किया, इसे जल्दी से भुला दिया गया। और केवल आधी सदी के बाद, कंप्यूटर के लिए धन्यवाद, जूलिया के काम को दूसरा जीवन मिला। कंप्यूटर ने प्रत्येक व्यक्ति को फ्रैक्टल की दुनिया की सुंदरता और समृद्धि को दृश्यमान बनाना संभव बना दिया है जिसे गणितज्ञ कार्यों के माध्यम से प्रदर्शित करके "देख" सकते हैं। मैंडलब्रॉट ने गणना करने के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (ऐसे वॉल्यूम को मैन्युअल रूप से करना असंभव है) जिससे इन आंकड़ों की एक छवि बनाना संभव हो गया।

स्थानिक कल्पना वाला आदमी

मैंडलब्रॉट ने आईबीएम रिसर्च सेंटर में अपने वैज्ञानिक करियर की शुरुआत की। लंबी दूरी पर डेटा ट्रांसमिशन की संभावनाओं का अध्ययन करते हुए, वैज्ञानिकों को बड़े नुकसान के तथ्य का सामना करना पड़ा जो शोर हस्तक्षेप के कारण उत्पन्न हुए थे। बेनोइट इस समस्या को हल करने के तरीकों की तलाश में था। माप के परिणामों को देखते हुए, उन्होंने एक अजीब पैटर्न की ओर ध्यान आकर्षित किया, अर्थात्: शोर के रेखांकन अलग-अलग समय के पैमानों पर समान दिखते थे।

एक समान तस्वीर एक दिन की अवधि के लिए, और सात दिनों के लिए, या एक घंटे के लिए देखी गई थी। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने खुद अक्सर दोहराया कि वह सूत्रों के साथ काम नहीं करता है, लेकिन चित्रों के साथ खेलता है। यह वैज्ञानिक कल्पनाशील सोच से प्रतिष्ठित थे, उन्होंने किसी भी बीजीय समस्या का एक ज्यामितीय क्षेत्र में अनुवाद किया, जहां सही उत्तर स्पष्ट है। तो यह आश्चर्य की बात नहीं है, अमीरों द्वारा प्रतिष्ठित और फ्रैक्टल ज्यामिति के जनक बने। आखिरकार, इस आंकड़े के बारे में जागरूकता तभी आ सकती है जब आप रेखाचित्रों का अध्ययन करें और पैटर्न बनाने वाले इन अजीबोगरीब ज़ुल्फ़ों के अर्थ के बारे में सोचें। फ्रैक्टल ड्रॉइंग में समान तत्व नहीं होते हैं, लेकिन वे किसी भी पैमाने पर समान होते हैं।

जूलिया - मंडेलब्रोट

इस आंकड़े के पहले चित्रों में से एक सेट की ग्राफिक व्याख्या थी, जो गैस्टन जूलिया के काम के लिए पैदा हुआ था और मंडेलब्रॉट द्वारा अंतिम रूप दिया गया था। गैस्टन यह कल्पना करने की कोशिश कर रहा था कि एक सेट कैसा दिखता है जब इसे एक साधारण सूत्र से बनाया जाता है जिसे फीडबैक लूप द्वारा पुनरावृत्त किया जाता है। आइए समझाने की कोशिश करें कि मानव भाषा में क्या कहा गया है, इसलिए बोलने के लिए, उंगलियों पर। एक विशिष्ट संख्यात्मक मान के लिए, सूत्र का उपयोग करके, हम एक नया मान पाते हैं। हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और निम्नलिखित पाते हैं। परिणाम एक बड़ा है। इस तरह के एक सेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन को बड़ी संख्या में करने की आवश्यकता है: सैकड़ों, हजारों, लाखों। बेनोइट ने यही किया। उन्होंने अनुक्रम को संसाधित किया और परिणामों को चित्रमय रूप में स्थानांतरित कर दिया। इसके बाद, उन्होंने परिणामी आकृति को रंग दिया (प्रत्येक रंग एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों से मेल खाता है)। इस ग्राफिक छवि को मैंडलब्रॉट फ्रैक्टल कहा जाता है।

एल बढ़ई: प्रकृति द्वारा बनाई गई कला

फ्रैक्टल्स के सिद्धांत को जल्दी ही व्यावहारिक अनुप्रयोग मिल गया। चूंकि यह स्व-समान छवियों के विज़ुअलाइज़ेशन से बहुत निकटता से संबंधित है, इसलिए इन असामान्य रूपों के निर्माण के लिए सिद्धांतों और एल्गोरिदम को अपनाने वाले पहले कलाकार थे। इनमें से पहला पिक्सर स्टूडियो लॉरेन कारपेंटर के भावी संस्थापक थे। विमान के प्रोटोटाइप की प्रस्तुति पर काम करते हुए, वह एक पृष्ठभूमि के रूप में पहाड़ों की छवि का उपयोग करने के विचार के साथ आया था। आज, लगभग हर कंप्यूटर उपयोगकर्ता इस तरह के कार्य का सामना कर सकता है, और पिछली शताब्दी के सत्तर के दशक में, कंप्यूटर ऐसी प्रक्रियाओं को करने में सक्षम नहीं थे, क्योंकि उस समय तीन-आयामी ग्राफिक्स के लिए कोई ग्राफिक संपादक और एप्लिकेशन नहीं थे। लॉरेन मेंडलब्रॉट के फ्रैक्टल्स: शेप, रैंडमनेस और डायमेंशन में आए। इसमें बेनोइस ने कई उदाहरण दिए, यह दिखाते हुए कि प्रकृति में फ्रैक्टल हैं (फिवा), उन्होंने उनके विभिन्न रूपों का वर्णन किया और साबित किया कि उन्हें गणितीय अभिव्यक्तियों द्वारा आसानी से वर्णित किया जाता है। गणितज्ञ ने इस सादृश्य को उस सिद्धांत की उपयोगिता के लिए एक तर्क के रूप में उद्धृत किया जिसे वह अपने सहयोगियों की आलोचना की झड़ी के जवाब में विकसित कर रहा था। उन्होंने तर्क दिया कि फ्रैक्टल बिना किसी मूल्य की एक सुंदर तस्वीर है, इलेक्ट्रॉनिक मशीनों का उप-उत्पाद है। बढ़ई ने व्यवहार में इस पद्धति को आजमाने का फैसला किया। पुस्तक का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने के बाद, भविष्य के एनिमेटर ने कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल ज्योमेट्री को लागू करने का तरीका खोजना शुरू किया। अपने कंप्यूटर पर पहाड़ के परिदृश्य की पूरी तरह से यथार्थवादी छवि प्रस्तुत करने में उन्हें केवल तीन दिन लगे। और आज इस सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जैसा कि यह निकला, भग्न बनाने में अधिक समय और प्रयास नहीं लगता है।

बढ़ई का निर्णय

लॉरेन द्वारा इस्तेमाल किया गया सिद्धांत सरल निकला। इसमें बड़े तत्वों को छोटे तत्वों में विभाजित करना शामिल है, और समान छोटे तत्वों में, और इसी तरह। बढ़ई ने बड़े त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, उन्हें 4 छोटे त्रिकोणों में कुचल दिया, और इसी तरह, जब तक कि उसे एक यथार्थवादी पहाड़ी परिदृश्य नहीं मिला। इस प्रकार, वह आवश्यक छवि बनाने के लिए कंप्यूटर ग्राफिक्स में फ्रैक्टल एल्गोरिदम लागू करने वाले पहले कलाकार बन गए। आज, इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न यथार्थवादी प्राकृतिक रूपों का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।

फ्रैक्टल एल्गोरिथम पर आधारित पहला 3डी विज़ुअलाइज़ेशन

कुछ साल बाद, लॉरेन ने अपने काम को एक बड़े पैमाने पर प्रोजेक्ट में लागू किया - एक एनिमेटेड वीडियो वॉल लिबरे, जो 1980 में सिग्राफ पर दिखाया गया था। इस वीडियो ने कई लोगों को चौंका दिया, और इसके निर्माता को लुकासफिल्म में काम करने के लिए आमंत्रित किया गया। यहां एनिमेटर खुद को पूरी तरह से महसूस करने में सक्षम था, उसने फीचर फिल्म "स्टार ट्रेक" के लिए त्रि-आयामी परिदृश्य (संपूर्ण ग्रह) बनाया। कोई भी आधुनिक कार्यक्रम ("फ्रैक्टल्स") या त्रि-आयामी ग्राफिक्स (टेरेजेन, वीयू, ब्राइस) बनाने के लिए आवेदन बनावट और सतहों के मॉडलिंग के लिए एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करता है।

टॉम बेडार्ड

एक पूर्व लेजर भौतिक विज्ञानी और अब डिजिटल कलाकार और कलाकार, बेडार्ड ने अत्यधिक पेचीदा ज्यामितीय आकृतियों की एक श्रृंखला बनाई, जिसे उन्होंने फैबरेज के फ्रैक्टल कहा। बाह्य रूप से, वे एक रूसी जौहरी के सजावटी अंडे से मिलते जुलते हैं, उनके पास एक ही शानदार जटिल पैटर्न है। बेडर्ड ने मॉडल के अपने डिजिटल रेंडरिंग बनाने के लिए एक टेम्पलेट विधि का उपयोग किया। परिणामी उत्पाद उनकी सुंदरता में प्रहार कर रहे हैं। हालांकि कई लोग हाथ से बने उत्पाद की तुलना कंप्यूटर प्रोग्राम से करने से इनकार करते हैं, लेकिन यह स्वीकार किया जाना चाहिए कि परिणामी रूप असामान्य रूप से सुंदर हैं। हाइलाइट यह है कि कोई भी वेबजीएल सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी का उपयोग करके इस तरह के फ्रैक्टल का निर्माण कर सकता है। यह आपको वास्तविक समय में विभिन्न भग्न संरचनाओं का पता लगाने की अनुमति देता है।

प्रकृति में भग्न

कम ही लोग ध्यान देते हैं, लेकिन ये आश्चर्यजनक आंकड़े हर जगह हैं। प्रकृति स्व-समान आकृतियों से बनी है, हम इसे नोटिस नहीं करते हैं। हमारी त्वचा या पेड़ के पत्ते पर एक आवर्धक कांच के माध्यम से देखने के लिए पर्याप्त है, और हम फ्रैक्टल देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, एक अनानास या यहां तक ​​\u200b\u200bकि एक मोर की पूंछ लें - उनमें समान आंकड़े होते हैं। और रोमनस्क्यू ब्रोकोली किस्म आम तौर पर अपनी उपस्थिति में हड़ताली है, क्योंकि इसे वास्तव में प्रकृति का चमत्कार कहा जा सकता है।

संगीत विराम

यह पता चला है कि फ्रैक्टल न केवल ज्यामितीय आकार हैं, वे ध्वनि भी हो सकते हैं। तो, संगीतकार जोनाथन कोल्टन फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके संगीत लिखते हैं। वह प्राकृतिक सद्भाव के अनुरूप होने का दावा करता है। संगीतकार अपने सभी कार्यों को क्रिएटिव कॉमन्स एट्रिब्यूशन-गैर-वाणिज्यिक लाइसेंस के तहत प्रकाशित करता है, जो अन्य व्यक्तियों द्वारा मुफ्त वितरण, प्रतिलिपि, कार्यों के हस्तांतरण का प्रावधान करता है।

फ्रैक्टल संकेतक

इस तकनीक को एक बहुत ही अप्रत्याशित अनुप्रयोग मिला है। इसके आधार पर, स्टॉक एक्सचेंज बाजार का विश्लेषण करने के लिए एक उपकरण बनाया गया था, और परिणामस्वरूप, इसका उपयोग विदेशी मुद्रा बाजार में किया जाने लगा। अब फ्रैक्टल इंडिकेटर सभी ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म पर पाया जाता है और इसका उपयोग ट्रेडिंग तकनीक में किया जाता है जिसे प्राइस ब्रेकआउट कहा जाता है। बिल विलियम्स ने इस तकनीक को विकसित किया। जैसा कि लेखक अपने आविष्कार पर टिप्पणी करता है, यह एल्गोरिथ्म कई "मोमबत्तियों" का एक संयोजन है, जिसमें केंद्रीय एक अधिकतम या, इसके विपरीत, न्यूनतम चरम बिंदु को दर्शाता है।

आखिरकार

तो हमने विचार किया है कि एक फ्रैक्टल क्या है। यह पता चला है कि हमारे आस-पास की अराजकता में वास्तव में आदर्श रूप हैं। प्रकृति सर्वश्रेष्ठ वास्तुकार, आदर्श निर्माता और इंजीनियर है। यह बहुत तार्किक रूप से व्यवस्थित है, और यदि हमें कोई पैटर्न नहीं मिल रहा है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह अस्तित्व में नहीं है। शायद आपको एक अलग पैमाने पर देखने की जरूरत है। हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि भग्न अभी भी बहुत सारे रहस्य रखते हैं जिन्हें हम अभी तक नहीं खोज पाए हैं।

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान

"सिवर्सकाया माध्यमिक विद्यालय नंबर 3"

अनुसंधान कार्य

अंक शास्त्र।

काम किया

आठवीं कक्षा का छात्र

एमेलिन पावेल

वैज्ञानिक सलाहकार

गणित शिक्षक

तुपित्स्या नताल्या अलेक्सेवना

पी. सिवेर्स्की

वर्ष 2014

गणित सभी में सुंदरता और सद्भाव के साथ व्याप्त है,

आपको बस इस सुंदरता को देखना है।

बी मंडेलब्रोट

परिचय

अध्याय 1. भग्न के उद्भव का इतिहास _______ 5-6 पीपी।

अध्याय 2. भग्नों का वर्गीकरण _____________6-10पीपी।

ज्यामितीय भग्न

बीजीय भग्न

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल

अध्याय 3. "प्रकृति की भग्न ज्यामिति" ______ 11-13pp।

अध्याय 4. भग्नों का अनुप्रयोग ___________13-15पीपी।

अध्याय 5 व्यावहारिक कार्य ___________ 16-24पीपी।

निष्कर्ष____________________________________________25.पृष्ठ

साहित्य और इंटरनेट संसाधनों की सूची _______ 26 पी।

परिचय

गणित,

अगर आप इसे सही से देखें तो

न केवल सच्चाई को दर्शाता है,

लेकिन अतुलनीय सुंदरता भी।

बर्ट्रेंड रसेल

शब्द "फ्रैक्टल" एक ऐसी चीज है जिसके बारे में आजकल बहुत से लोग बात कर रहे हैं, वैज्ञानिकों से लेकर हाई स्कूल के छात्रों तक। यह कई गणित की पाठ्यपुस्तकों, वैज्ञानिक पत्रिकाओं और कंप्यूटर सॉफ्टवेयर बॉक्स के कवर पर दिखाई देता है। भग्न की रंगीन छवियां आज हर जगह पाई जा सकती हैं: पोस्टकार्ड, टी-शर्ट से लेकर पर्सनल कंप्यूटर के डेस्कटॉप पर चित्रों तक। तो, ये रंगीन आकृतियाँ कौन-सी हैं जिन्हें हम चारों ओर देखते हैं?

गणित सबसे पुराना विज्ञान है। अधिकांश लोगों को यह प्रतीत होता था कि प्रकृति में ज्यामिति एक रेखा, एक वृत्त, एक बहुभुज, एक गोला, आदि जैसी सरल आकृतियों तक सीमित थी। जैसा कि यह निकला, कई प्राकृतिक प्रणालियां इतनी जटिल हैं कि उन्हें मॉडल करने के लिए सामान्य ज्यामिति की केवल परिचित वस्तुओं का उपयोग करना निराशाजनक लगता है। उदाहरण के लिए, ज्यामिति के संदर्भ में पर्वत श्रृंखला या पेड़ के मुकुट का एक मॉडल कैसे बनाया जाए? जैविक विविधता की विविधता का वर्णन कैसे करें जो हम पौधों और जानवरों की दुनिया में देखते हैं? कई केशिकाओं और वाहिकाओं से मिलकर और मानव शरीर की हर कोशिका में रक्त पहुंचाने वाले संचार प्रणाली की संपूर्ण जटिलता की कल्पना कैसे करें? फेफड़ों और गुर्दे की संरचना की कल्पना करें, संरचना में एक शाखादार मुकुट वाले पेड़ जैसा दिखता है?

पूछे गए प्रश्नों की खोज के लिए फ्रैक्टल्स एक उपयुक्त साधन हैं। अक्सर हम प्रकृति में जो देखते हैं वह हमें एक ही पैटर्न की अंतहीन पुनरावृत्ति के साथ कई बार बढ़ा या घटा देता है। उदाहरण के लिए, एक पेड़ की शाखाएँ होती हैं। इन शाखाओं की छोटी शाखाएँ होती हैं, इत्यादि। सैद्धांतिक रूप से, "कांटा" तत्व असीम रूप से कई बार दोहराता है, छोटा और छोटा होता जाता है। पहाड़ी इलाके की तस्वीर को देखने पर भी यही देखा जा सकता है। पर्वत श्रृंखला पर थोड़ा सा ज़ूम करने का प्रयास करें --- आपको पहाड़ फिर से दिखाई देंगे। इस प्रकार भग्नों की स्व-समानता की विशेषता स्वयं प्रकट होती है।

फ्रैक्टल्स का अध्ययन, अनंत अनुप्रयोगों के अध्ययन और गणित के क्षेत्र में, दोनों में अद्भुत संभावनाएं खोलता है। भग्न का उपयोग बहुत व्यापक है! आखिर ये वस्तुएं इतनी सुंदर हैं कि इनका उपयोग डिजाइनर, कलाकार करते हैं, इनकी मदद से पेड़ों, बादलों, पहाड़ों आदि के कई तत्वों को ग्राफिक्स में खींचा जाता है। लेकिन कई सेल फोन में फ्रैक्टल का उपयोग एंटेना के रूप में भी किया जाता है।

कई अराजकताविदों (भग्न और अराजकता का अध्ययन करने वाले वैज्ञानिक) के लिए, यह केवल ज्ञान का एक नया क्षेत्र नहीं है जो गणित, सैद्धांतिक भौतिकी, कला और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी को जोड़ता है - यह एक क्रांति है। यह एक नए प्रकार की ज्यामिति की खोज है, वह ज्यामिति जो हमारे चारों ओर की दुनिया का वर्णन करती है और जिसे न केवल पाठ्यपुस्तकों में देखा जा सकता है, बल्कि प्रकृति में और असीम ब्रह्मांड में हर जगह देखा जा सकता है।.

अपने काम में, मैंने सुंदरता की दुनिया को "स्पर्श" करने का भी फैसला किया और अपने लिए दृढ़ संकल्प किया ...

उद्देश्य: ऐसी वस्तुएँ बनाना जो प्रकृति से बहुत मिलती-जुलती हों।

अनुसंधान की विधियांकीवर्ड: तुलनात्मक विश्लेषण, संश्लेषण, मॉडलिंग।

कार्य:

बी मंडेलब्रॉट की अवधारणा, घटना के इतिहास और अनुसंधान के साथ परिचित,

जी। कोच, वी। सिएरपिंस्की और अन्य;

विभिन्न प्रकार के फ्रैक्टल सेटों से परिचित होना;

इस मुद्दे पर लोकप्रिय विज्ञान साहित्य का अध्ययन, परिचित

वैज्ञानिक परिकल्पना;

आसपास की दुनिया की भग्नता के सिद्धांत की पुष्टि प्राप्त करना;

अन्य विज्ञानों और व्यवहार में भग्नों के उपयोग का अध्ययन;

अपने स्वयं के भग्न चित्र बनाने के लिए एक प्रयोग करना।

नौकरी का मुख्य प्रश्न:

दिखाएँ कि गणित एक सूखा, निष्प्राण विषय नहीं है, यह व्यक्ति की आध्यात्मिक दुनिया को व्यक्तिगत रूप से और समग्र रूप से समाज में व्यक्त कर सकता है।

अध्ययन का विषय: भग्न ज्यामिति।

अध्ययन की वस्तु: गणित और वास्तविक दुनिया में भग्न।

परिकल्पना: वास्तविक दुनिया में मौजूद हर चीज भग्न है।

अनुसंधान की विधियां: विश्लेषणात्मक, खोज।

प्रासंगिकताघोषित विषय का निर्धारण, सबसे पहले, अनुसंधान के विषय द्वारा किया जाता है, जो कि फ्रैक्टल ज्यामिति है।

अपेक्षित परिणाम:काम के दौरान, मैं गणित के क्षेत्र में अपने ज्ञान का विस्तार करने में सक्षम हो जाऊंगा, फ्रैक्टल ज्योमेट्री की सुंदरता को देखूंगा, और अपने खुद के फ्रैक्टल बनाने पर काम करना शुरू कर दूंगा।

कार्य का परिणाम एक कंप्यूटर प्रस्तुति, एक बुलेटिन और एक पुस्तिका का निर्माण होगा।

अध्याय 1

बी एनुआ मंडेलब्रोट

"फ्रैक्टल" शब्द बेनोइट मैंडलब्रॉट द्वारा गढ़ा गया था। यह शब्द लैटिन "फ्रैक्टस" से आया है, जिसका अर्थ है "टूटा हुआ, बिखरा हुआ"।

फ्रैक्टल (अक्षांश। फ्रैक्टस - कुचला हुआ, टूटा हुआ, टूटा हुआ) - एक शब्द का अर्थ है एक जटिल ज्यामितीय आकृति जिसमें आत्म-समानता की संपत्ति होती है, जो कि कई भागों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक संपूर्ण आकृति के समान होता है।

जिन गणितीय वस्तुओं को यह संदर्भित करता है, वे अत्यंत रोचक गुणों की विशेषता रखते हैं। साधारण ज्यामिति में, एक रेखा का एक आयाम होता है, एक सतह के दो आयाम होते हैं, और एक स्थानिक आकृति त्रि-आयामी होती है। दूसरी ओर, भग्न रेखाएं या सतह नहीं हैं, लेकिन, यदि आप इसकी कल्पना कर सकते हैं, तो बीच में कुछ। आकार में वृद्धि के साथ, भग्न का आयतन भी बढ़ता है, लेकिन इसका आयाम (घातांक) एक पूर्णांक नहीं है, बल्कि एक भिन्नात्मक मान है, और इसलिए भग्न आकृति की सीमा एक रेखा नहीं है: उच्च आवर्धन पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि यह धुंधला है और इसमें सर्पिल और कर्ल होते हैं, जो कि आकृति के छोटे पैमाने पर ही दोहराते हैं। इस तरह की ज्यामितीय नियमितता को स्केल इनवेरिएंस या सेल्फ-समानता कहा जाता है। वह वह है जो फ्रैक्टल आंकड़ों के भिन्नात्मक आयाम को निर्धारित करती है।

भग्न ज्यामिति के आगमन से पहले, विज्ञान तीन स्थानिक आयामों में निहित प्रणालियों से निपटता था। आइंस्टीन के लिए धन्यवाद, यह स्पष्ट हो गया कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष केवल वास्तविकता का एक मॉडल है, न कि स्वयं वास्तविकता। वास्तव में, हमारी दुनिया एक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय सातत्य में स्थित है।
मैंडेलब्रॉट के लिए धन्यवाद, यह स्पष्ट हो गया कि चार-आयामी स्थान कैसा दिखता है, लाक्षणिक रूप से, अराजकता का भग्न चेहरा। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने पाया कि चौथे आयाम में न केवल पहले तीन आयाम शामिल हैं, बल्कि (यह बहुत महत्वपूर्ण है!) उनके बीच के अंतराल भी शामिल हैं।

रिकर्सिव (या फ्रैक्टल) ज्यामिति यूक्लिडियन की जगह ले रही है। नया विज्ञान निकायों और घटनाओं की वास्तविक प्रकृति का वर्णन करने में सक्षम है। यूक्लिडियन ज्यामिति केवल तीन आयामों से संबंधित कृत्रिम, काल्पनिक वस्तुओं से संबंधित है। केवल चौथा आयाम ही उन्हें वास्तविकता में बदल सकता है।

तरल, गैस, ठोस पदार्थ की तीन सामान्य भौतिक अवस्थाएँ हैं जो त्रि-आयामी दुनिया में मौजूद हैं। लेकिन अशांत वायु आंदोलन से लगातार धुंधले धुएं, बादलों, या उनकी सीमाओं के झोंके का आयाम क्या है?

मूल रूप से, फ्रैक्टल को तीन समूहों में वर्गीकृत किया जाता है:

बीजीय भग्न

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल

ज्यामितीय भग्न

आइए उनमें से प्रत्येक पर करीब से नज़र डालें।

अध्याय 2. भग्नों का वर्गीकरण

ज्यामितीय भग्न

बेनोइट मंडेलब्रॉट ने एक फ्रैक्टल मॉडल का प्रस्ताव रखा, जो पहले से ही एक क्लासिक बन गया है और अक्सर फ्रैक्टल के एक विशिष्ट उदाहरण को प्रदर्शित करने और फ्रैक्टल की सुंदरता को प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो शोधकर्ताओं, कलाकारों और लोगों को भी आकर्षित करता है जो बस रुचि रखते हैं।

यह उनके साथ था कि भग्न का इतिहास शुरू हुआ। इस प्रकार के भग्न सरल ज्यामितीय निर्माणों द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। आम तौर पर, इन फ्रैक्टल का निर्माण करते समय, एक निम्नानुसार आगे बढ़ता है: एक "बीज" लिया जाता है - एक स्वयंसिद्ध - खंडों का एक सेट, जिसके आधार पर फ्रैक्टल बनाया जाएगा। इसके अलावा, इस "बीज" पर नियमों का एक सेट लागू होता है, जो इसे कुछ ज्यामितीय आकृति में बदल देता है। इसके अलावा, नियमों का एक ही सेट इस आंकड़े के प्रत्येक भाग पर फिर से लागू होता है। प्रत्येक चरण के साथ, आंकड़ा अधिक से अधिक जटिल हो जाएगा, और यदि हम (कम से कम दिमाग में) अनंत संख्या में परिवर्तन करते हैं, तो हमें एक ज्यामितीय फ्रैक्टल मिलेगा।

इस वर्ग के भग्न सबसे अधिक दृश्य हैं, क्योंकि वे अवलोकन के किसी भी पैमाने पर तुरंत स्वयं-समानता दिखाई देते हैं। द्वि-आयामी मामले में, ऐसे भग्न को कुछ टूटी हुई रेखा को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जा सकता है, जिसे जनरेटर कहा जाता है। एल्गोरिथम के एक चरण में, टूटी हुई रेखा को बनाने वाले प्रत्येक खंड को उपयुक्त पैमाने पर टूटे हुए लाइन-जनरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रक्रिया के अंतहीन दोहराव के परिणामस्वरूप (या, अधिक सटीक रूप से, सीमा से गुजरते समय), एक भग्न वक्र प्राप्त होता है। परिणामी वक्र की स्पष्ट जटिलता के साथ, इसका सामान्य रूप केवल जनरेटर के आकार से दिया जाता है। ऐसे वक्रों के उदाहरण हैं: कोच वक्र (चित्र 7), पीनो वक्र (चित्र 8), मिंकोव्स्की वक्र।

20वीं सदी की शुरुआत में, गणितज्ञ ऐसे वक्रों की तलाश में थे, जिनमें किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा न हो। इसका मतलब था कि वक्र ने अचानक अपनी दिशा बदल दी, और, इसके अलावा, अत्यधिक उच्च गति पर (व्युत्पन्न अनंत के बराबर है)। इन वक्रों की खोज केवल गणितज्ञों की निष्क्रिय रुचि के कारण नहीं हुई। तथ्य यह है कि 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, क्वांटम यांत्रिकी बहुत तेजी से विकसित हुई। शोधकर्ता एम। ब्राउन ने पानी में निलंबित कणों के प्रक्षेपवक्र को स्केच किया और इस घटना को इस प्रकार समझाया: बेतरतीब ढंग से चलने वाले तरल परमाणु निलंबित कणों से टकराते हैं और इस तरह उन्हें गति में सेट करते हैं। ब्राउनियन गति की इस तरह की व्याख्या के बाद, वैज्ञानिकों को एक वक्र खोजने के कार्य का सामना करना पड़ा जो ब्राउनियन कणों की गति को सबसे अच्छा दिखाएगा। ऐसा करने के लिए, वक्र को निम्नलिखित गुणों को पूरा करना था: किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा नहीं है। गणितज्ञ कोच ने ऐसा ही एक वक्र प्रस्तावित किया।

प्रति कोच वक्र एक विशिष्ट ज्यामितीय भग्न है। इसके निर्माण की प्रक्रिया इस प्रकार है: हम एक एकल खंड लेते हैं, इसे तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं और मध्य अंतराल को इस खंड के बिना एक समबाहु त्रिभुज से बदलते हैं। नतीजतन, एक टूटी हुई रेखा बनती है, जिसमें 1/3 लंबाई के चार लिंक होते हैं। अगले चरण में, हम चार परिणामी लिंक में से प्रत्येक के लिए ऑपरेशन दोहराते हैं, और इसी तरह ...

सीमा वक्र है कोच वक्र।

स्नोफ्लेक कोच।एक समबाहु त्रिभुज के किनारों पर एक समान परिवर्तन करके, आप कोच स्नोफ्लेक की भग्न छवि प्राप्त कर सकते हैं।

टी
एक ज्यामितीय भग्न का एक अन्य सरल प्रतिनिधि है सीरपिंस्की चौक।यह काफी सरलता से बनाया गया है: वर्ग को इसकी भुजाओं के समानांतर सीधी रेखाओं से 9 बराबर वर्गों में विभाजित किया गया है। केंद्रीय वर्ग को वर्ग से हटा दिया जाता है। यह "पहली रैंक" के 8 शेष वर्गों से मिलकर एक सेट निकलता है। पहली रैंक के प्रत्येक वर्ग के साथ ऐसा करने पर, हमें दूसरी रैंक के 64 वर्गों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हम एक अनंत अनुक्रम या सिएरपिंस्की वर्ग प्राप्त करते हैं।

बीजीय भग्न

यह भग्नों का सबसे बड़ा समूह है। बीजीय भग्न को उनका नाम मिला क्योंकि वे सरल बीजीय सूत्रों का उपयोग करके बनाए गए हैं।

वे गैर-रैखिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं एन-आयामी रिक्त स्थान। यह ज्ञात है कि नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम में कई स्थिर अवस्थाएँ होती हैं। वह अवस्था जिसमें एक निश्चित संख्या में पुनरावृत्तियों के बाद गतिशील प्रणाली स्वयं को पाती है, इसकी प्रारंभिक अवस्था पर निर्भर करती है। इसलिए, प्रत्येक स्थिर अवस्था (या, जैसा कि वे कहते हैं, एक आकर्षित करने वाला) के पास प्रारंभिक अवस्थाओं का एक निश्चित क्षेत्र होता है, जहाँ से सिस्टम आवश्यक रूप से अंतिम अवस्थाओं में आता है। इस प्रकार, सिस्टम के चरण स्थान को विभाजित किया गया है आकर्षण के क्षेत्रआकर्षित करने वाले यदि चरण स्थान द्वि-आयामी है, तो आकर्षण क्षेत्रों को विभिन्न रंगों से रंगकर, कोई प्राप्त कर सकता है रंग चरण चित्रयह प्रणाली (पुनरावृत्ति प्रक्रिया)। रंग चयन एल्गोरिदम को बदलकर, आप फैंसी बहुरंगा पैटर्न के साथ जटिल फ्रैक्टल पैटर्न प्राप्त कर सकते हैं। गणितज्ञों के लिए आश्चर्य की बात यह थी कि आदिम एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुत जटिल संरचनाएँ उत्पन्न करने की क्षमता थी।

एक उदाहरण के रूप में, मैंडलब्रॉट सेट पर विचार करें। यह जटिल संख्याओं का उपयोग करके बनाया गया है।

मंडेलब्रॉट सेट की सीमा का हिस्सा, 200 गुना बढ़ गया।

मंडेलब्रॉट सेट में ऐसे बिंदु होते हैं जो इस दौरानअनंत पुनरावृत्तियों की संख्या अनंत तक नहीं जाती है (अंक जो काले हैं)। सेट की सीमा से संबंधित अंक(यह वह जगह है जहां जटिल संरचनाएं उत्पन्न होती हैं) पुनरावृत्तियों की एक सीमित संख्या में अनंत तक जाती हैं, और सेट के बाहर स्थित बिंदु कई पुनरावृत्तियों (सफेद पृष्ठभूमि) के बाद अनंत तक जाते हैं।

पी



एक अन्य बीजीय भग्न का एक उदाहरण जूलिया सेट है। इस भग्न की 2 किस्में हैं।हैरानी की बात है कि जूलिया सेट उसी फॉर्मूले के अनुसार बनते हैं जैसे मैंडेलब्रॉट सेट। जूलिया सेट का आविष्कार फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन जूलिया ने किया था, जिसके नाम पर सेट का नाम रखा गया था।

और
रोचक तथ्य, कुछ बीजीय भग्न जानवरों, पौधों और अन्य जैविक वस्तुओं की छवियों से मिलते जुलते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उन्हें बायोमॉर्फ कहा जाता है।

स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल

फ्रैक्टल का एक अन्य प्रसिद्ध वर्ग स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल्स हैं, जो तब प्राप्त होते हैं जब इसके किसी भी पैरामीटर को एक पुनरावृत्त प्रक्रिया में बेतरतीब ढंग से बदल दिया जाता है। इसका परिणाम प्राकृतिक वस्तुओं के समान ही होता है - विषम पेड़, इंडेंटेड कोस्टलाइन, आदि।

भग्न के इस समूह का एक विशिष्ट प्रतिनिधि "प्लाज्मा" है।

डी
इसे बनाने के लिए, एक आयत लिया जाता है और इसके प्रत्येक कोने के लिए एक रंग निर्धारित किया जाता है। इसके बाद, आयत का केंद्र बिंदु पाया जाता है और आयत के कोनों पर रंगों के अंकगणितीय माध्य और कुछ यादृच्छिक संख्या के बराबर रंग में रंगा जाता है। यादृच्छिक संख्या जितनी बड़ी होगी, तस्वीर उतनी ही अधिक "फटी" होगी। यदि हम मान लें कि बिंदु का रंग समुद्र तल से ऊंचाई है, तो हमें प्लाज्मा के बजाय एक पर्वत श्रृंखला मिलेगी। यह इस सिद्धांत पर है कि अधिकांश कार्यक्रमों में पहाड़ों का मॉडल तैयार किया जाता है। प्लाज्मा जैसे एल्गोरिथम का उपयोग करके, एक ऊंचाई का नक्शा बनाया जाता है, उस पर विभिन्न फिल्टर लगाए जाते हैं, एक बनावट लागू की जाती है, और फोटोरिअलिस्टिक पहाड़ तैयार होते हैं।

इ
यदि हम इस भग्न को एक खंड में देखते हैं, तो हम देखेंगे कि यह भग्न बड़ा है, और इसमें "खुरदरापन" है, बस इस "खुरदरापन" के कारण इस भग्न का एक बहुत ही महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

मान लीजिए कि आप एक पर्वत के आकार का वर्णन करना चाहते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति के साधारण आंकड़े यहां मदद नहीं करेंगे, क्योंकि वे सतह की स्थलाकृति को ध्यान में नहीं रखते हैं। लेकिन जब पारंपरिक ज्यामिति को फ्रैक्टल ज्यामिति के साथ जोड़ा जाता है, तो आप पहाड़ की "खुरदरापन" प्राप्त कर सकते हैं। प्लाज्मा को एक साधारण शंकु पर लगाना चाहिए और हमें पहाड़ की राहत मिलेगी। इस तरह के ऑपरेशन प्रकृति में कई अन्य वस्तुओं के साथ किए जा सकते हैं, स्टोकेस्टिक फ्रैक्टल के लिए धन्यवाद, प्रकृति का ही वर्णन किया जा सकता है।

अब बात करते हैं ज्यामितीय भग्नों की।

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अध्याय 3 "प्रकृति की भग्न ज्यामिति"

ज्यामिति को अक्सर "ठंडा" और "सूखा" क्यों कहा जाता है? इसका एक कारण बादल, पहाड़, समुद्र तट या पेड़ के आकार का वर्णन करने में असमर्थता है। बादल गोले नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, पेड़ छाल चिकनी नहीं है, लेकिन एक पूरी तरह से अलग स्तर की जटिलता है। सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए प्राकृतिक वस्तुओं के विभिन्न लंबाई के पैमाने की संख्या अनंत है। "

(बेनोइट)मैंडलब्रॉट "द फ्रैक्टल ज्योमेट्री ऑफ नेचर" ).

प्रति फ्रैक्टल्स की सुंदरता दुगनी है: यह आंख को प्रसन्न करता है, जैसा कि पीटजेन और रिक्टर के नेतृत्व में ब्रेमेन गणितज्ञों के एक समूह द्वारा आयोजित भग्न छवियों की कम से कम विश्वव्यापी प्रदर्शनी से स्पष्ट है। बाद में, इस भव्य प्रदर्शनी के प्रदर्शनों को उन्हीं लेखकों द्वारा "द ब्यूटी ऑफ फ्रैक्टल्स" पुस्तक के लिए चित्रों में कैद किया गया था। लेकिन एक और, अधिक सार या उदात्त, भग्न की सुंदरता का पहलू है, खुला, आर। फेनमैन के अनुसार, केवल सिद्धांतवादी की मानसिक दृष्टि के लिए, इस अर्थ में, एक कठिन गणितीय समस्या की सुंदरता के साथ भग्न सुंदर हैं। बेनोइट मंडेलब्रॉट ने अपने समकालीनों (और, संभवतः, उनके वंशजों के लिए) को यूक्लिड के तत्वों में एक दुर्भाग्यपूर्ण अंतर की ओर इशारा किया, जिसके अनुसार, चूक पर ध्यान न देते हुए, लगभग दो सहस्राब्दी मानव जाति ने आसपास की दुनिया की ज्यामिति को समझा और गणितीय कठोरता को सीखा। प्रस्तुतीकरण। बेशक, भग्न की सुंदरता के दोनों पहलू आपस में जुड़े हुए हैं और बाहर नहीं करते हैं, लेकिन परस्पर एक दूसरे के पूरक हैं, हालांकि उनमें से प्रत्येक आत्मनिर्भर है।

मंडेलब्रॉट के अनुसार, प्रकृति की भग्न ज्यामिति एक वास्तविक ज्यामिति है जो एफ. क्लेन के "एरलांगेन कार्यक्रम" में प्रस्तावित ज्यामिति की परिभाषा को संतुष्ट करती है। तथ्य यह है कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के आगमन से पहले, एन.आई. लोबचेवस्की - एल। बोल्याई, केवल एक ज्यामिति थी - वह जो "शुरुआत" में निर्धारित की गई थी, और यह सवाल नहीं था कि ज्यामिति क्या है और कौन सी ज्यामिति वास्तविक दुनिया की ज्यामिति है, और नहीं हो सकती है उठना। लेकिन एक और ज्यामिति के आगमन के साथ, यह सवाल उठा कि सामान्य रूप से ज्यामिति क्या है, और कौन सी ज्यामिति वास्तविक दुनिया से मेल खाती है। एफ। क्लेन के अनुसार, ज्यामिति वस्तुओं के ऐसे गुणों का अध्ययन करती है जो परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय हैं: यूक्लिडियन - गतियों के समूह के अपरिवर्तनीय (परिवर्तन जो किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को नहीं बदलते हैं, अर्थात समानांतर अनुवादों और घुमावों के एक सुपरपोजिशन का प्रतिनिधित्व करते हैं या अभिविन्यास में बदलाव के बिना), लोबचेव्स्की-बोल्याई ज्यामिति - लोरेंत्ज़ समूह के अपरिवर्तनीय। फ्रैक्टल ज्योमेट्री सेल्फ एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन के समूह के इनवेरिएंट्स के अध्ययन से संबंधित है, अर्थात। शक्ति कानूनों द्वारा व्यक्त गुण।

जहां तक ​​वास्तविक दुनिया से पत्राचार का सवाल है, भग्न ज्यामिति प्राकृतिक प्रक्रियाओं और परिघटनाओं के एक बहुत व्यापक वर्ग का वर्णन करती है, और इसलिए, हम बी. मैंडेलब्रॉट का अनुसरण करते हुए, प्रकृति की भग्न ज्यामिति के बारे में सही ढंग से बात कर सकते हैं। नई - भग्न वस्तुओं में असामान्य गुण होते हैं। कुछ भग्नों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन शून्य के बराबर होते हैं, अन्य अनंत में बदल जाते हैं।

प्रकृति अक्सर अद्भुत और सुंदर भग्न बनाती है, परिपूर्ण ज्यामिति और इस तरह के सामंजस्य के साथ कि आप बस प्रशंसा के साथ जम जाते हैं। और यहाँ उनके उदाहरण हैं:

समुद्र के गोले

बिजली चमकनाउनकी सुंदरता की प्रशंसा करते हुए। बिजली द्वारा बनाए गए भग्न यादृच्छिक या नियमित नहीं होते हैं।

भग्न आकार फूलगोभी की उप-प्रजातियां(ब्रासिका फूलगोभी)। यह विशेष प्रकार एक विशेष रूप से सममित भग्न है।

पी फ़र्नवनस्पतियों के बीच भग्न का भी एक अच्छा उदाहरण है।

मोरहर कोई अपने रंगीन पंखों के लिए जाना जाता है, जिसमें ठोस भग्न छिपे होते हैं।

बर्फ, ठंढ पैटर्नखिड़कियों पर, ये भी भग्न हैं

हे
टी बढ़ी हुई छवि पत्रक, इससे पहले पेड़ की शाखाएं- आप हर चीज में फ्रैक्टल पा सकते हैं

हमारे आसपास की प्रकृति में हर जगह और हर जगह भग्न हैं। संपूर्ण ब्रह्मांड गणितीय सटीकता के साथ आश्चर्यजनक रूप से सामंजस्यपूर्ण कानूनों के अनुसार बनाया गया है। क्या उसके बाद यह सोचना संभव है कि हमारा ग्रह कणों का एक यादृच्छिक समूह है? मुश्किल से।

अध्याय 4

भग्न विज्ञान में अधिक से अधिक अनुप्रयोग खोज रहे हैं। इसका मुख्य कारण यह है कि वे वास्तविक दुनिया का वर्णन कभी-कभी पारंपरिक भौतिकी या गणित से भी बेहतर करते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

हे
भग्न के सबसे शक्तिशाली अनुप्रयोगों के दिन निहित हैं कंप्यूटर ग्राफिक्स. यह छवियों का फ्रैक्टल संपीड़न है। आधुनिक भौतिकी और यांत्रिकी अभी भग्न वस्तुओं के व्यवहार का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं।

भग्न छवि संपीड़न एल्गोरिदम के लाभ पैक की गई फ़ाइल का बहुत छोटा आकार और लघु छवि पुनर्प्राप्ति समय है। आंशिक रूप से पैक की गई छवियों को पिक्सेलकरण की उपस्थिति के बिना बढ़ाया जा सकता है (खराब छवि गुणवत्ता - बड़े वर्ग)। लेकिन संपीड़न प्रक्रिया में लंबा समय लगता है और कभी-कभी घंटों तक रहता है। हानिपूर्ण फ्रैक्टल पैकिंग एल्गोरिदम आपको जेपीईजी प्रारूप के समान संपीड़न स्तर सेट करने की अनुमति देता है। एल्गोरिथ्म कुछ छोटे टुकड़ों के समान छवि के बड़े टुकड़ों की खोज पर आधारित है। और केवल कौन सा टुकड़ा समान है जो आउटपुट फ़ाइल में लिखा जाता है। संपीड़ित करते समय, आमतौर पर एक वर्ग ग्रिड का उपयोग किया जाता है (टुकड़े वर्ग होते हैं), जो चित्र को पुनर्स्थापित करते समय थोड़ी कोणीयता की ओर जाता है, एक हेक्सागोनल ग्रिड इस तरह की कमी से मुक्त होता है।

Iterated ने एक नया छवि प्रारूप, "स्टिंग" विकसित किया है, जो फ्रैक्टल और "लहर" (जैसे jpeg) दोषरहित संपीड़न को जोड़ती है। नया प्रारूप आपको बाद के उच्च-गुणवत्ता वाले स्केलिंग की संभावना के साथ छवियां बनाने की अनुमति देता है, और ग्राफिक फ़ाइलों की मात्रा असम्पीडित छवियों की मात्रा का 15-20% है।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंकई प्राकृतिक वस्तुओं की रूपरेखा को दोहराने के लिए अद्वितीय संपत्ति के कारण फ्रैक्टल का उपयोग किया जाता है। फ्रैक्टल्स आपको लाइन सेगमेंट या पॉलीगॉन (समान मात्रा में संग्रहीत डेटा के साथ) के अनुमानों की तुलना में अधिक सटीकता के साथ पेड़ों, पहाड़ की सतहों और दरारों का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। प्राकृतिक वस्तुओं की तरह भग्न मॉडल में "खुरदरापन" होता है, और यह संपत्ति मॉडल में मनमाने ढंग से बड़ी वृद्धि पर संरक्षित होती है। भग्न पर एक समान माप की उपस्थिति से पहले से अध्ययन किए गए समीकरणों में मानक वस्तुओं के बजाय एकीकरण, संभावित सिद्धांत को लागू करना संभव हो जाता है।

टी
फ्रैक्टल ज्यामिति का भी प्रयोग किया जाता है एंटीना उपकरणों का डिजाइन. यह पहली बार अमेरिकी इंजीनियर नाथन कोहेन द्वारा इस्तेमाल किया गया था, जो तब बोस्टन शहर में रहते थे, जहां इमारतों पर बाहरी एंटेना की स्थापना प्रतिबंधित थी। कोहेन ने एल्युमिनियम फॉयल से एक कोच कर्व आकार काटा और फिर इसे रिसीवर से जोड़ने से पहले कागज के एक टुकड़े पर चिपका दिया। यह पता चला कि ऐसा एंटीना पारंपरिक से भी बदतर काम नहीं करता है। और यद्यपि इस तरह के एक एंटीना के भौतिक सिद्धांतों का अभी तक अध्ययन नहीं किया गया है, इसने कोहेन को अपनी कंपनी स्थापित करने और अपने धारावाहिक उत्पादन की स्थापना करने से नहीं रोका। फिलहाल, अमेरिकी कंपनी "फ्रैक्टल एंटीना सिस्टम" ने एक नए प्रकार का एंटीना विकसित किया है। अब आप मोबाइल फोन में उभरे हुए बाहरी एंटेना का उपयोग बंद कर सकते हैं। तथाकथित भग्न एंटीना सीधे डिवाइस के अंदर मुख्य बोर्ड पर स्थित होता है।

भग्न के उपयोग के बारे में भी कई परिकल्पनाएँ हैं - उदाहरण के लिए, लसीका और संचार प्रणाली, फेफड़े, और बहुत कुछ में भी भग्न गुण होते हैं।

अध्याय 5. व्यावहारिक कार्य।

सबसे पहले, आइए फ्रैक्टल "नेकलेस", "विजय" और "स्क्वायर" पर ध्यान दें।

प्रथम - "गले का हार"(चित्र 7)। वृत्त इस भग्न का सर्जक है। इस सर्कल में एक ही सर्कल की एक निश्चित संख्या होती है, लेकिन छोटे आकार के होते हैं, और यह स्वयं कई सर्किलों में से एक होता है जो समान होते हैं, लेकिन बड़े आकार के होते हैं। अतः शिक्षा की प्रक्रिया अंतहीन है और इसे एक दिशा और विपरीत दिशा दोनों में किया जा सकता है। वे। आकृति को केवल एक छोटा चाप लेकर बड़ा किया जा सकता है, या छोटे चाप से इसके निर्माण पर विचार करके इसे कम किया जा सकता है।

चावल। 7.

भग्न "हार"

दूसरा फ्रैक्टल है "जीत"(चित्र 8)। उन्हें यह नाम इसलिए मिला क्योंकि यह बाहरी रूप से लैटिन अक्षर "V" से मिलता-जुलता है, जो कि "विजय" -विजय है। इस भग्न में एक निश्चित संख्या में छोटे "v" होते हैं, जो एक बड़ा "V" बनाते हैं, और बाएं आधे हिस्से में, जिसमें छोटे को रखा जाता है ताकि उनके बाएं हिस्से एक सीधी रेखा बन जाएं, दायां भाग बनाया गया है उसी तरह से। इनमें से प्रत्येक "v" एक ही तरह से बनाया गया है और इसे अनंत तक जारी रखता है।

चित्र 8. भग्न "विजय"

तीसरा फ्रैक्टल है "स्क्वायर" (चित्र 9). इसके प्रत्येक पक्ष में कोशिकाओं की एक पंक्ति होती है, जो वर्गों के आकार की होती है, जिनकी भुजाएँ भी कोशिकाओं की पंक्तियों का प्रतिनिधित्व करती हैं, और इसी तरह।

अंजीर। 9. फ्रैक्टल "स्क्वायर"

इस फूल के बाहरी समानता के कारण फ्रैक्टल को "गुलाब" (चित्र 10) कहा जाता था। एक भग्न का निर्माण संकेंद्रित वृत्तों की एक श्रृंखला के निर्माण से जुड़ा होता है, जिसकी त्रिज्या किसी दिए गए अनुपात के अनुपात में बदलती है (इस मामले में, R m / R b = = 0.75.)। उसके बाद, प्रत्येक वृत्त में एक नियमित षट्भुज अंकित होता है, जिसकी भुजा उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

चावल। 11. भग्न "गुलाब *"

अगला, हम नियमित पेंटागन की ओर मुड़ते हैं, जिसमें हम इसके विकर्ण खींचते हैं। फिर, संबंधित खंडों के चौराहे पर प्राप्त पंचकोण में, हम फिर से विकर्ण खींचते हैं। आइए इस प्रक्रिया को अनंत तक जारी रखें और "पेंटाग्राम" फ्रैक्टल प्राप्त करें (चित्र 12)।

आइए रचनात्मकता के एक तत्व का परिचय दें और हमारा भग्न एक अधिक दृश्य वस्तु का रूप ले लेगा (चित्र 13)।

आर
है। 12. भग्न "पेंटाग्राम"।

चावल। 13. भग्न "पेंटाग्राम *"

चावल। 14 भग्न "ब्लैक होल"

प्रयोग संख्या 1 "पेड़"

अब जब मैं समझ गया हूं कि फ्रैक्टल क्या है और इसे कैसे बनाया जाए, तो मैंने अपनी खुद की फ्रैक्टल इमेज बनाने की कोशिश की। Adobe Photoshop में, मैंने एक छोटा सबरूटीन या क्रिया बनाया, इस क्रिया की ख़ासियत यह है कि यह मेरे द्वारा की जाने वाली क्रियाओं को दोहराती है, और इस तरह मुझे एक फ्रैक्टल मिलता है।

शुरू करने के लिए, मैंने 600 गुणा 600 के संकल्प के साथ हमारे भविष्य के फ्रैक्टल के लिए एक पृष्ठभूमि बनाई। फिर मैंने इस पृष्ठभूमि पर 3 रेखाएं खींची - हमारे भविष्य के फ्रैक्टल का आधार।

सेअगला कदम स्क्रिप्ट लिखना है।

नकली परत ( परत> डुप्लिकेट) और मिश्रण प्रकार को "में बदलें स्क्रीन" .

चलो उसे बुलाते हैं" एफआर1"। इस परत को डुप्लिकेट करें (" एफआर1") 2 बार और।

अब हमें अंतिम परत पर स्विच करने की आवश्यकता है (एफआर3) और इसे पिछले वाले के साथ दो बार मर्ज करें ( Ctrl+ई) परत की चमक कम करें ( छवि > समायोजन > चमक/कंट्रास्ट , चमक सेट 50% ) फिर से, पिछली परत के साथ विलय करें और अदृश्य भागों को हटाने के लिए पूरी ड्राइंग के किनारों को काट दें।

अंतिम चरण के रूप में, मैंने इस छवि की प्रतिलिपि बनाई और इसे छोटा करके चिपकाया और घुमाया। यहाँ अंतिम परिणाम है।

निष्कर्ष

यह कार्य भग्नों की दुनिया का परिचय है। हमने भग्न क्या हैं, इसके केवल सबसे छोटे हिस्से पर विचार किया है, वे किन सिद्धांतों के आधार पर बनाए गए हैं।

फ्रैक्टल ग्राफिक्स केवल स्व-दोहराव वाली छवियों का एक सेट नहीं है, यह किसी भी प्राणी की संरचना और सिद्धांत का एक मॉडल है। हमारे पूरे जीवन को फ्रैक्टल द्वारा दर्शाया जाता है। हमारे आसपास की सारी प्रकृति इन्हीं से बनी है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कंप्यूटर गेम में फ्रैक्टल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहां इलाके अक्सर जटिल सेट के त्रि-आयामी मॉडल पर आधारित फ्रैक्टल छवियां होती हैं। फ्रैक्टल्स कंप्यूटर ग्राफिक्स के ड्राइंग को बहुत सुविधाजनक बनाते हैं, फ्रैक्टल्स की मदद से कई विशेष प्रभाव, विभिन्न शानदार और अविश्वसनीय चित्र आदि बनाए जाते हैं। साथ ही, फ्रैक्टल ज्योमेट्री की मदद से पेड़, बादल, तट और अन्य सभी प्रकृति खींची जाती हैं। फ्रैक्टल ग्राफिक्स की हर जगह जरूरत होती है, और "फ्रैक्टल टेक्नोलॉजीज" का विकास आज के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है।

भविष्य में, मैं सीखने की योजना बना रहा हूं कि जब मैं जटिल संख्याओं का अधिक विस्तार से अध्ययन करता हूं तो बीजीय फ्रैक्टल कैसे बनाया जाता है। मैं साइकिल का उपयोग करके पास्कल प्रोग्रामिंग भाषा में अपनी फ्रैक्टल छवि बनाने का भी प्रयास करना चाहता हूं।

कंप्यूटर स्क्रीन पर केवल सुंदर चित्र बनाने के अलावा, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल के उपयोग पर ध्यान दिया जाना चाहिए। कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में फ्रैक्टल्स का उपयोग निम्नलिखित क्षेत्रों में किया जाता है:

1. छवियों और सूचनाओं को संपीड़ित करें

2. छवि में जानकारी छिपाना, ध्वनि में, ...

3. फ्रैक्टल एल्गोरिदम का उपयोग करके डेटा एन्क्रिप्शन

4. भग्न संगीत बनाना

5. सिस्टम मॉडलिंग

हमारे काम में, मानव ज्ञान के सभी क्षेत्रों को नहीं दिया गया है, जहां फ्रैक्टल के सिद्धांत ने अपना आवेदन पाया है। हम केवल यह कहना चाहते हैं कि सिद्धांत के उद्भव के बाद से एक सदी का एक तिहाई से अधिक नहीं हुआ है, लेकिन इस समय के दौरान कई शोधकर्ताओं के लिए फ्रैक्टल रात में अचानक उज्ज्वल प्रकाश बन गए हैं, जो अब तक अज्ञात तथ्यों और पैटर्न को विशिष्ट रूप से प्रकाशित करते हैं। डेटा क्षेत्र। भग्न के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, उन्होंने आकाशगंगाओं के विकास और कोशिका के विकास, पहाड़ों के उद्भव और बादलों के निर्माण, स्टॉक एक्सचेंज पर कीमतों की गति और समाज और परिवार के विकास की व्याख्या करना शुरू किया। शायद, सबसे पहले, फ्रैक्टल के लिए यह जुनून बहुत तूफानी था और फ्रैक्टल के सिद्धांत का उपयोग करके सब कुछ समझाने का प्रयास अनुचित था। लेकिन, बिना किसी संदेह के, इस सिद्धांत को अस्तित्व का अधिकार है, और हमें खेद है कि हाल ही में इसे किसी तरह भुला दिया गया है और अभिजात वर्ग का बहुत कुछ बना हुआ है। इस काम को तैयार करने में, हमारे लिए थ्योरी के अनुप्रयोगों को व्यवहार में खोजना बहुत दिलचस्प था। क्योंकि बहुत बार ऐसा लगता है कि सैद्धान्तिक ज्ञान जीवन की वास्तविकता से अलग है।

इस प्रकार, भग्न की अवधारणा न केवल "शुद्ध" विज्ञान का हिस्सा बन जाती है, बल्कि मानव संस्कृति का एक तत्व भी बन जाती है। भग्न विज्ञान अभी भी बहुत छोटा है और इसके आगे एक महान भविष्य है। भग्न की सुंदरता समाप्त होने से बहुत दूर है और अभी भी हमें कई उत्कृष्ट कृतियाँ देगी - वे जो आँखों को प्रसन्न करती हैं, और वे जो मन को सच्चा आनंद देती हैं।

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