पूर्णांकों में रैखिक समीकरणों को हल करना। विज्ञान से शुरुआत करें

1.3 समीकरणों को हल करने की विधियाँ

पूर्णांकों और प्राकृत संख्याओं में समीकरणों को हल करते समय, निम्नलिखित विधियों को मोटे तौर पर प्रतिष्ठित किया जा सकता है:

1. विकल्प गिनने की विधि.

2. यूक्लिडियन एल्गोरिथम।

3. निरंतर भिन्न।

4. गुणनखंडन विधि.

5. कुछ चर के संबंध में पूर्णांकों में समीकरणों को वर्गों के रूप में हल करना।

6. अवशेष विधि.

7. अनंत वंश विधि.

अध्याय 2. समीकरणों को हल करने के तरीकों का अनुप्रयोग

1. समीकरणों को हल करने के उदाहरण.

2.1 यूक्लिडियन एल्गोरिथम।

समस्या 1 . पूर्णांक 407 में समीकरण हल करें एक्स – 2816य = 33.

आइए संकलित एल्गोरिदम का उपयोग करें।

1. यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम संख्या 407 और 2816 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पाते हैं:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

इसलिए (407.2816) = 11, 33 11 से विभाज्य है

2. मूल समीकरण के दोनों पक्षों को 11 से विभाजित करने पर हमें समीकरण 37 प्राप्त होता है एक्स – 256य= 3, और (37, 256) = 1

3. यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, हम संख्या 37 और 256 के माध्यम से संख्या 1 का एक रैखिक प्रतिनिधित्व पाते हैं।

256 = 37 6 + 34;

आइए हम अंतिम समानता से 1 व्यक्त करें, फिर क्रमिक रूप से समानताओं पर चढ़ते हुए हम 3 व्यक्त करेंगे; 34 और परिणामी व्यंजकों को 1 के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

– 83·37 – 256·(-12)

इस प्रकार, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, इसलिए संख्याओं का एक युग्म एक्स 0=-83 और य 0=-12 समीकरण 37 का हल है एक्स – 256य = 3.

4. आइए मूल समीकरण के समाधान के लिए सामान्य सूत्र लिखें

कहाँ टी- कोई भी पूर्णांक.

2.2 विकल्प गिनने की विधि।

कार्य 2. खरगोश और तीतर एक पिंजरे में बैठते हैं, उनके कुल 18 पैर होते हैं। पता लगाएँ कि कोशिका में दोनों की कितनी संख्या है?

समाधान:दो अज्ञात चरों के साथ एक समीकरण तैयार किया गया है, जिसमें x खरगोशों की संख्या है, y तीतरों की संख्या है:

4x + 2y = 18, या 2x + y = 9.

आइए व्यक्त करें पर के माध्यम से एक्स : y = 9 – 2x.

एक्स	1	2	3	4
पर	7	5	3	1

इस प्रकार, समस्या के चार समाधान हैं।

उत्तर: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 गुणनखंडन विधि.

दो चर वाले समीकरण का प्राकृतिक समाधान ढूँढ़ते समय विकल्पों की गणना करना बहुत श्रमसाध्य हो जाता है। इसके अलावा, यदि समीकरण है साबुतसमाधान, तो उन्हें गिनना असंभव है, क्योंकि ऐसे समाधानों की संख्या अनंत है। इसलिए, हम एक और तकनीक दिखाएंगे - गुणनखंडन विधि.

कार्य 3. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करेंय 3 - एक्स 3 = 91.

समाधान। 1) संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके, हम समीकरण के दाहिने पक्ष का गुणनखंड करते हैं:

(य - एक्स)(य 2 + xy + एक्स 2) = 91……………………….(1)

2) आइए संख्या 91 के सभी भाजक लिखें: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) अनुसंधान का संचालन करें. ध्यान दें कि किसी भी पूर्णांक के लिए एक्सऔर यसंख्या

य 2 + हाँ + एक्स 2 ≥ य 2 - 2|य||एक्स| + एक्स 2 = (|य| - |एक्स|) 2 ≥ 0,

इसलिए, समीकरण के बाईं ओर के दोनों कारक सकारात्मक होने चाहिए। तब समीकरण (1) समीकरणों की प्रणालियों के एक सेट के बराबर है:

; ; ;

4) सिस्टम को हल करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं: पहले सिस्टम में समाधान (5; 6), (-6; -5) हैं; तीसरा (-3; 4),(-4; 3); दूसरे और चौथे का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

उत्तर:समीकरण (1) के चार समाधान हैं (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

कार्य 4. समीकरण को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याओं के सभी जोड़े खोजें

समाधान।आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें और समीकरण को इस रूप में लिखें

क्योंकि संख्या 69 के भाजक संख्या 1, 3, 23 और 69 हैं, तो 69 को दो तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है: 69=1·69 और 69=3·23। ध्यान में रख कर

, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ मिलती हैं, जिन्हें हल करके हम आवश्यक संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं: या।

पहली प्रणाली में एक समाधान है

, और दूसरी प्रणाली में एक समाधान है।

उत्तर:

कार्य 5. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें:

समाधान।आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें। हम पाते हैं

दो पूर्णांकों का गुणनफल केवल दो मामलों में 1 के बराबर हो सकता है: यदि वे दोनों 1 या -1 के बराबर हों। हमें दो प्रणालियाँ मिलती हैं:

या ।

पहले सिस्टम का समाधान x=2, y=2 है, और दूसरे सिस्टम का समाधान x=0, y=0 है।

उत्तर:

कार्य 6. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें

समाधान. आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें

आइए समूहीकरण विधि का उपयोग करके समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, हमें मिलता है

निम्नलिखित मामलों में दो पूर्णांकों का गुणनफल 7 के बराबर हो सकता है:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1)। इस प्रकार, हमें चार प्रणालियाँ मिलती हैं:

या , या , या .

पहली प्रणाली का समाधान संख्याओं x = - 5, y = - 6 की एक जोड़ी है। दूसरी प्रणाली को हल करने पर, हमें x = 13, y = 6 मिलता है। तीसरी प्रणाली के लिए, समाधान संख्याओं x = 5 है। y = 6. चौथे सिस्टम का समाधान x = - 13, y = - 6 है।

कार्य 7. साबित करें कि समीकरण ( एक्स - य) 3 + (य - जेड) 3 + (जेड - एक्स) 3 = 30 नहीं

नगर शिक्षण संस्थान

सावरुश्स्काया माध्यमिक विद्यालय

पोखविस्टनेव्स्की जिला, समारा क्षेत्र

विषय पर गणित में सार:

"दो के साथ समीकरण

अज्ञात

पूर्ण संख्या में"

द्वारा पूरा किया गया: कोलेसोवा तात्याना

स्टारोवेरोवा नीना

पर 10वीं कक्षा के छात्र

नगर शैक्षणिक संस्थान सावरुश्स्काया माध्यमिक विद्यालय

पोखविस्टनेव्स्की जिला

समारा क्षेत्र.

पर्यवेक्षक:यत्मानकिना गैलिना मिखाइलोव्ना

गणित शिक्षक.

सवरुखा 2011

परिचय.______________________________________________3

1. ऐतिहासिक पृष्ठभूमि __________________________________________________5

1.1 रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधानों की संख्या पर प्रमेय___6

1.2 पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम_________________ 6

1.3 समीकरणों को हल करने की विधियाँ________________________________ 7

अध्याय 2. समीकरणों को हल करने के तरीकों का अनुप्रयोग।

1. समस्या समाधान________________________________________________ 8

2.1 यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके समस्याओं का समाधान________________ 8

2.2 विकल्प गिनने की विधि__________________________ 9

2.3 गुणनखंडन विधि_____________________________ 9

2.4 अवशिष्ट विधि____________________________________________________ 12

2. परीक्षा स्तर के कार्य_____________________________ 13

निष्कर्ष______________________________________________________ 16

सन्दर्भों की सूची ____________________________________________ 17

"संख्याओं को कौन नियंत्रित करता है,

वह दुनिया पर राज करता है"

पाइथागोरस.

परिचय।

स्थिति का विश्लेषण:डायोफैंटाइन समीकरण हमारे समय में एक सामयिक विषय हैं, क्योंकि समीकरणों, असमानताओं और समस्याओं का समाधान, जो चर के अनुमानों का उपयोग करके पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने तक कम हो जाते हैं, विभिन्न गणितीय संग्रहों और एकीकृत राज्य परीक्षा के संग्रहों में पाए जाते हैं।

कक्षा में एक चर वाले द्विघात समीकरण को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हमें यह समझने में रुचि थी कि दो चर वाले समीकरण कैसे हल किए जाते हैं। ऐसे कार्य ओलंपियाड और एकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री में पाए जाते हैं।

इस शैक्षणिक वर्ष में, ग्यारहवीं कक्षा के छात्रों को गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा देनी होगी, जहां KIM को एक नई संरचना के अनुसार संकलित किया जाता है। इसमें कोई भाग "ए" नहीं है, लेकिन कार्यों को भाग "बी" और भाग "सी" में जोड़ा गया है। संकलक C6 को जोड़ने की व्याख्या इस तथ्य से करते हैं कि एक तकनीकी विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए आपको इतने उच्च स्तर की जटिलता के कार्यों को हल करने में सक्षम होना चाहिए।

संकट: एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों के नमूना संस्करणों को हल करते समय, हमने देखा कि C6 में अक्सर पूर्णांकों में पहली और दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने के कार्य होते हैं। लेकिन हम नहीं जानते कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए। इस संबंध में, ऐसे समीकरणों के सिद्धांत और उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करना आवश्यक हो गया।

लक्ष्य:पूर्णांकों में पहली और दूसरी डिग्री के दो अज्ञात समीकरणों को हल करने की विधि में महारत हासिल करें।

कार्य: 1) शैक्षिक और संदर्भ साहित्य का अध्ययन करें;

2) समीकरणों को हल करने के तरीकों पर सैद्धांतिक सामग्री एकत्र करें;

3) इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का विश्लेषण करें;

4) समाधान का वर्णन करें.

5) इस तकनीक का उपयोग करने वाले कई उदाहरणों पर विचार करें।

6) पूर्णांकों में दो चर वाले समीकरणों को हल करें

एकीकृत राज्य परीक्षा-2010 सी6 की सामग्री।

अध्ययन का उद्देश्य : समीकरण हल करना

अध्ययन का विषय : पूर्णांकों में दो चर वाले समीकरण.

परिकल्पना:यह विषय अत्यंत व्यावहारिक महत्व का है। स्कूली गणित पाठ्यक्रम में एक चर वाले समीकरणों और उन्हें हल करने की विभिन्न विधियों का विस्तार से अध्ययन किया जाता है। शैक्षिक प्रक्रिया की आवश्यकताओं के लिए आवश्यक है कि छात्र दो चर वाले सरल समीकरणों को जानें और उन्हें हल करने में सक्षम हों। इसलिए, इस विषय पर बढ़ा हुआ ध्यान न केवल उचित है, बल्कि स्कूली गणित पाठ्यक्रम में भी प्रासंगिक है।

इस कार्य का उपयोग छात्रों के लिए वैकल्पिक कक्षाओं में, अंतिम और प्रवेश परीक्षाओं की तैयारी में इस विषय का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। हमें उम्मीद है कि हमारी सामग्री हाई स्कूल के छात्रों को इस प्रकार के समीकरणों को हल करना सीखने में मदद करेगी।

अध्याय 1. पूर्णांकों में दो चर वाले समीकरणों का सिद्धांत।

1. ऐतिहासिक पृष्ठभूमि.

डायोफैंटस और डायोफैंटाइन समीकरणों का इतिहास .

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना सबसे पुरानी गणितीय समस्याओं में से एक है। गणित का यह क्षेत्र प्राचीन ग्रीस में अपने सबसे बड़े उत्कर्ष पर पहुंचा। मुख्य स्रोत जो हमारे समय तक जीवित रहा है वह डायोफैंटस का काम है - "अंकगणित"। डायोफैंटस ने पूर्णांकों में अनिश्चित समीकरणों को हल करने में अपने पहले संचित अनुभव को संक्षेप और विस्तारित किया।

इतिहास ने हमारे लिए उल्लेखनीय अलेक्जेंड्रियन बीजगणितज्ञ डायोफैंटस की जीवनी की कुछ विशेषताओं को संरक्षित किया है। कुछ स्रोतों के अनुसार, डायोफैंटस 364 ई. तक जीवित रहा। केवल डायोफैंटस की अनूठी जीवनी ही निश्चित रूप से ज्ञात है, जो कि किंवदंती के अनुसार, उसकी कब्र पर उकेरी गई थी और एक पहेली कार्य प्रस्तुत किया गया था:

“भगवान ने उसे अपने जीवन के छठे हिस्से के लिए लड़का बनने के लिए भेजा; इसमें बारहवाँ भाग जोड़कर, उसने अपने गालों को नीचे से ढँक लिया; सातवें भाग के बाद, उन्होंने उसके लिए विवाह की ज्योति जलाई और विवाह के पाँच वर्ष बाद उसे एक पुत्र दिया। अफ़सोस! एक दुर्भाग्यशाली दिवंगत बच्चा, अपने पिता के पूर्ण जीवन के आधे हिस्से तक पहुंचने के बाद, उसे एक निर्दयी भाग्य ने बहका दिया। चार साल बाद, संख्याओं के विज्ञान से उस पर आए दुःख को सांत्वना देते हुए, उसने [डायोफैंटस] ने अपना जीवन समाप्त कर लिया” (लगभग 84 वर्ष की आयु)।

यह पहेली उन समस्याओं का एक उदाहरण है जिन्हें डायोफैंटस ने हल किया था। वह पूर्णांकों में समस्याओं को हल करने में माहिर थे। ऐसी समस्याओं को वर्तमान में डायोफैंटाइन समस्याओं के रूप में जाना जाता है।

डायोफैंटस द्वारा हल की गई सबसे प्रसिद्ध समस्या "दो वर्गों में अपघटन" समस्या है। इसका समतुल्य प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय है। यह प्रमेय बेबीलोनिया में ज्ञात था, शायद यह प्राचीन मिस्र में भी ज्ञात था, लेकिन इसे पहली बार पाइथागोरस स्कूल में सिद्ध किया गया था। यह गणित में रुचि रखने वाले दार्शनिकों के एक समूह का नाम था जिसका नाम पाइथागोरस स्कूल के संस्थापक (लगभग 580-500 ईसा पूर्व) के नाम पर रखा गया था।

डायोफैंटस का जीवन और कार्य अलेक्जेंड्रिया में हुआ, उन्होंने ज्ञात समस्याओं को एकत्र किया और हल किया और नई समस्याओं का आविष्कार किया। बाद में उन्होंने उन्हें अंकगणित नामक एक महान कार्य में संयोजित किया। अंकगणित को बनाने वाली तेरह पुस्तकों में से केवल छह मध्य युग में बची रहीं और पुनर्जागरण गणितज्ञों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गईं।

1.1 रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण के समाधानों की संख्या पर प्रमेय।

हम यहां प्रमेयों का सूत्रीकरण प्रस्तुत करते हैं जिसके आधार पर पूर्णांकों में दो चरों के अनिश्चित प्रथम-डिग्री समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम संकलित किया जा सकता है।

प्रमेय 1.यदि किसी समीकरण में, है, तो समीकरण का कम से कम एक समाधान है।

प्रमेय 2.यदि समीकरण में, और साथसे विभाज्य नहीं है, तो समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है।

प्रमेय 3.यदि समीकरण में, और, तो यह उस समीकरण के बराबर है जिसमें।

प्रमेय 4.यदि समीकरण में, है, तो इस समीकरण के सभी पूर्णांक समाधान सूत्रों में निहित हैं:

कहाँ एक्स 0, वाई 0

1.2. पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

तैयार किए गए प्रमेय हमें निम्नलिखित की रचना करने की अनुमति देते हैं कलन विधि फॉर्म के समीकरणों के पूर्णांकों में समाधान।

1. संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए एऔर बी ,

अगर साथसे विभाज्य नहीं है, तो समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है;

यदि और , तो

2. समीकरण को पद दर पद विभाजित करें, जिससे एक समीकरण प्राप्त हो।

3. संपूर्ण समाधान खोजें ( एक्स 0, वाई 0) संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में 1 का प्रतिनिधित्व करके समीकरण और;

4. इस समीकरण के पूर्णांक समाधान के लिए एक सामान्य सूत्र बनाएं

कहाँ एक्स 0, वाई 0– समीकरण का एक पूर्णांक समाधान, - कोई भी पूर्णांक।

1.3 समीकरणों को हल करने की विधियाँ

1. विकल्प गिनने की विधि.

2. यूक्लिडियन एल्गोरिथम।

3. निरंतर भिन्न।

4. गुणनखंडन विधि.

5. कुछ चर के संबंध में पूर्णांकों में समीकरणों को वर्गों के रूप में हल करना।

6. अवशेष विधि.

7. अनंत वंश विधि.

अध्याय 2. समीकरणों को हल करने के तरीकों का अनुप्रयोग

1. समीकरणों को हल करने के उदाहरण.

2.1 यूक्लिडियन एल्गोरिथम।

समस्या 1 . पूर्णांक 407 में समीकरण हल करें एक्स – 2816य = 33.

आइए संकलित एल्गोरिदम का उपयोग करें।

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

इसलिए (407.2816) = 11, 33 11 से विभाज्य है

2. मूल समीकरण के दोनों पक्षों को 11 से विभाजित करने पर हमें समीकरण 37 प्राप्त होता है एक्स – 256य= 3, (37, 256) = 1 के साथ

256 = 37 6 + 34;

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

– 83·37 – 256·(-12)

4. आइए मूल समीकरण के समाधान के लिए सामान्य सूत्र लिखें

कहाँ टी- कोई भी पूर्णांक.

2.2 विकल्प गिनने की विधि।

4x + 2y = 18, या 2x + y = 9.

आइए व्यक्त करें पर के माध्यम से एक्स : y = 9 – 2x.

इस प्रकार, समस्या के चार समाधान हैं।

उत्तर: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 गुणनखंडन विधि.

कार्य 3. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें य 3 - एक्स 3 = 91.

(य - एक्स)(य 2 + xy + एक्स 2) = 91……………………….(1)

2) आइए संख्या 91 के सभी भाजक लिखें: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

य 2 + हाँ + एक्स 2 ≥ य 2 - 2|य ||एक्स | + एक्स 2 = (|य | - |एक्स |) 2 ≥ 0,

; ; ;

उत्तर:समीकरण (1) के चार समाधान हैं (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

क्योंकि संख्या 69 के भाजक संख्या 1, 3, 23 और 69 हैं, तो 69 को दो तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है: 69=1·69 और 69=3·23। इस पर विचार करते हुए, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ मिलती हैं, जिन्हें हल करके हम आवश्यक संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं:

पहली प्रणाली में समाधान है, और दूसरी प्रणाली में समाधान है।

उत्तर: .

कार्य 5.

समाधान।आइए समीकरण को फॉर्म में लिखें

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें। हम पाते हैं

पहले सिस्टम का समाधान x=2, y=2 है, और दूसरे सिस्टम का समाधान x=0, y=0 है।

उत्तर: .

कार्य 6. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें

समाधान. आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें

निम्नलिखित मामलों में दो पूर्णांकों का गुणनफल 7 के बराबर हो सकता है:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1)। इस प्रकार, हमें चार प्रणालियाँ मिलती हैं:

या, या, या.

कार्य 7. साबित करें कि समीकरण ( एक्स - य) 3 + (य - जेड) 3 + (जेड - एक्स) 3 = 30 नहीं

पूर्णांकों में समाधान हैं.

समाधान। 1) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें और समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें, जिसके परिणामस्वरूप निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होगा:

(एक्स - य)(य - जेड)(जेड - एक्स) = 10…………………………(2)

2) 10 के विभाजक संख्याएँ ±1, ±2, ±5, ±10 हैं। यह भी ध्यान दें कि समीकरण (2) के बाईं ओर के कारकों का योग 0 के बराबर है। यह जांचना आसान है कि संख्या 10 के विभाजक के सेट से किन्हीं तीन संख्याओं का योग, उत्पाद 10 देता है। 0 के बराबर नहीं। नतीजतन, मूल समीकरण का पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

कार्य 8. समीकरण को हल करें: x 2 - y 2 = 3 पूर्ण संख्याओं में।

समाधान:

1. संक्षिप्त गुणन सूत्र x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3 लागू करें

2. संख्या 3 = -1;-3;1;3 के विभाजक ज्ञात कीजिए

3. यह समीकरण 4 प्रणालियों के एक सेट के बराबर है:

X-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

उत्तर: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 अवशिष्ट विधि.

समस्या 9 .समीकरण हल करें: x 2 + xy = 10

समाधान:

1. चर y को x से व्यक्त करें: y= 10 के 2

वाई = - एक्स

2. अंश पूर्णांक होगा यदि x Є ±1;±2; ±5;±10

3. 8 मान ज्ञात करें यू

यदि x=-1, तो y=-9 x=-5, फिर y=3

X=1, फिर y=9 x=5, फिर y=-3

X=-2, फिर y=-3 x=-10, फिर y=9

X=2, फिर y=3 x=10, फिर y=-9

समस्या 10. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें:

2x 2 -2xy +9x+y=2

समाधान:

आइए समीकरण से उस अज्ञात को व्यक्त करें जो इसमें केवल पहली डिग्री तक शामिल है - इस मामले में आप:

2x 2 +9x-2=2xy-y

वाई =

आइए एक बहुपद को एक बहुपद से एक "कोण" से विभाजित करने के नियम का उपयोग करके भिन्न के पूरे भाग का चयन करें। हम पाते हैं:

इसलिए, अंतर 2x-1 केवल -3,-1,1,3 मान ले सकता है।

इन चार मामलों से गुजरना अभी बाकी है.

उत्तर : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. परीक्षा स्तर के कार्य

पूर्णांकों में दो चर वाले प्रथम-डिग्री समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर विचार करने के बाद, हमने देखा कि गुणनखंडन की विधि और शेषफल की विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

USE-2011 संस्करणों में दिए गए समीकरण मुख्य रूप से अवशिष्ट विधि द्वारा हल किए जाते हैं।

1. प्राकृतिक संख्याओं में समीकरण को हल करें: , जहां m>n

समाधान:

आइए वेरिएबल को व्यक्त करें पीचर के माध्यम से टी

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

उत्तर: (12;-8)

निष्कर्ष।

विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करना स्कूली गणित पाठ्यक्रम के सामग्री क्षेत्रों में से एक है, लेकिन कई अज्ञात वाले समीकरणों को हल करने के तरीकों पर व्यावहारिक रूप से विचार नहीं किया जाता है। वहीं, पूर्णांकों में कई अज्ञात के समीकरणों को हल करना सबसे पुरानी गणितीय समस्याओं में से एक है। ऐसे समीकरणों को हल करने की अधिकांश विधियाँ पूर्णांकों की विभाज्यता के सिद्धांत पर आधारित हैं, जिनमें रुचि वर्तमान में सूचना प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास से निर्धारित होती है। इस संबंध में, हाई स्कूल के छात्रों के लिए पूर्णांकों में कुछ समीकरणों को हल करने के तरीकों से परिचित होना दिलचस्प होगा, खासकर जब से विभिन्न स्तरों पर ओलंपियाड अक्सर ऐसे कार्यों की पेशकश करते हैं जिनमें पूर्णांकों में एक समीकरण को हल करना शामिल होता है, और इस वर्ष ऐसे समीकरण भी शामिल हैं और एकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री में।

अपने काम में, हमने केवल पहली और दूसरी डिग्री के अनिश्चित समीकरणों पर विचार किया। पहली डिग्री के समीकरण, जैसा कि हमने देखा है, काफी सरलता से हल किए जाते हैं। हमने ऐसे समीकरणों के प्रकार और उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम की पहचान की है। ऐसे समीकरणों का एक सामान्य समाधान भी खोजा गया।

दूसरी डिग्री के समीकरणों के साथ यह अधिक कठिन है, इसलिए हमने केवल विशेष मामलों पर विचार किया: पाइथागोरस प्रमेय और ऐसे मामले जब समीकरण के एक भाग में उत्पाद का रूप होता है, और दूसरा गुणनखंडित होता है।

महान गणितज्ञ तीसरी और उच्चतर डिग्री के समीकरणों का अध्ययन करते हैं क्योंकि उनके समाधान बहुत जटिल और बोझिल होते हैं

भविष्य में, हम समस्याओं को हल करने में उपयोग किए जाने वाले कई चर वाले समीकरणों के अध्ययन में अपने शोध को गहरा करने की योजना बना रहे हैं

साहित्य।

1. बेरेज़िन वी.एन. गणित में वैकल्पिक और पाठ्येतर गतिविधियों के लिए समस्याओं का संग्रह। मॉस्को "ज्ञानोदय" 1985

2. गल्किन ई.जी. गणित में गैर-मानक समस्याएँ। चेल्याबिंस्क "वेज़्ग्लायड" 2004

3. गल्किन ई.जी. पूर्णांकों के साथ समस्याएँ. चेल्याबिंस्क "वेज़्ग्लायड" 2004

4. ग्लेज़र ई.आई. स्कूल में गणित का इतिहास. मॉस्को "ज्ञानोदय" 1983

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित और विश्लेषण ग्रेड 10-11 की शुरुआत। मॉस्को 2003

6. गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2010। संघीय संस्थान

शैक्षणिक माप।

7. शैरगिन आई.एफ. गणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम। समाधान

कार्य. मॉस्को 1986

पूर्णांकों में समीकरण हल करना.

अनिश्चित समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक से अधिक अज्ञात होते हैं। अनिश्चित समीकरण के एक समाधान से हमारा तात्पर्य अज्ञात के मूल्यों के एक सेट से है जो दिए गए समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है।

किसी प्रपत्र के समीकरण को पूर्णांकों में हल करना आह + द्वारा = सी , कहाँ ए, बी , सी - शून्य के अलावा अन्य पूर्णांक, हम कई सैद्धांतिक प्रावधान प्रस्तुत करते हैं जो हमें निर्णय नियम स्थापित करने की अनुमति देंगे। ये प्रावधान भी विभाज्यता के सिद्धांत के पहले से ज्ञात तथ्यों पर आधारित हैं।

प्रमेय 1.यदि जी.सी.डी (ए, बी ) = डी , तो ऐसे पूर्णांक हैं एक्सऔर पर, कि समानता कायम है आह + बी य = डी . (इस समानता को रैखिक संयोजन या दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक का संख्याओं के संदर्भ में रैखिक प्रतिनिधित्व कहा जाता है।)

प्रमेय का प्रमाण दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम की समानता का उपयोग करने पर आधारित है (यूक्लिडियन एल्गोरिदम में अंतिम समानता से शुरू करके, सबसे बड़ा सामान्य भाजक आंशिक भागफल और शेषफल के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है)।

उदाहरण.

संख्या 1232 और 1672 के सबसे बड़े सामान्य भाजक का रैखिक प्रतिनिधित्व ज्ञात कीजिए।

समाधान।

1. आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथम की समानताएँ बनाएँ:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, अर्थात्। (1672.352) = 88.

2) आइए अंत से प्रारंभ करते हुए, ऊपर प्राप्त समानताओं का उपयोग करते हुए, 88 को अपूर्ण भागफलों और शेषफलों के माध्यम से क्रमिक रूप से व्यक्त करें:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, यानी। 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

प्रमेय 2. यदि समीकरण आह + बी आप = 1 , यदि जी.सी.डी (ए, बी ) = 1 , यह संख्या की कल्पना करने के लिए पर्याप्त है 1 संख्याओं a और के रैखिक संयोजन के रूप में बी.

इस प्रमेय की वैधता प्रमेय 1 से अनुसरण करती है। इस प्रकार, समीकरण का एकल पूर्णांक समाधान खोजने के लिए आह + बी आप = 1, यदि gcd (a, b) = 1 है, तो यह संख्या 1 को संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाने के लिए पर्याप्त है ए और वी .

उदाहरण।

समीकरण 15x + 37y = 1 का पूर्णांक समाधान खोजें।

समाधान।

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

प्रमेय 3. यदि Eq में. आह + बी वाई = सी जीसीडी(ए, बी ) = डी >1 और साथसे विभाज्य नहीं है डी , तो समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है।

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, इसके विपरीत मान लेना पर्याप्त है।

उदाहरण.

समीकरण 16x - 34y = 7 का पूर्णांक समाधान खोजें।

समाधान.

(16.34)=2; 7, 2 से विभाज्य नहीं है, समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है

प्रमेय 4. यदि Eq में. आह + बी वाई = सी जीसीडी(ए, बी ) = डी >1 और सी डी , तो यह है

प्रमेय को सिद्ध करते समय, यह दिखाया जाना चाहिए कि पहले समीकरण का एक मनमाना पूर्णांक समाधान दूसरे समीकरण का भी एक समाधान है और इसके विपरीत।

प्रमेय 5. यदि Eq में. आह + बी वाई = सी जीसीडी(ए, बी ) = 1, तो इस समीकरण के सभी पूर्णांक समाधान सूत्रों में समाहित हैं:

टी - कोई भी पूर्णांक.

प्रमेय को सिद्ध करते समय, सबसे पहले, यह दिखाया जाना चाहिए कि उपरोक्त सूत्र वास्तव में इस समीकरण का समाधान प्रदान करते हैं और दूसरे, इस समीकरण का एक मनमाना पूर्णांक समाधान उपरोक्त सूत्रों में निहित है।

उपरोक्त प्रमेय हमें पूर्णांकों में समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम स्थापित करने की अनुमति देते हैं आह+ बी वाई = सी जीसीडी(ए, बी ) = 1:

1) समीकरण का एक पूर्णांक समाधान पाया जाता है आह + बी आप = 1 1 को संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में निरूपित करके ए औरबी (इस समीकरण का संपूर्ण समाधान खोजने के अन्य तरीके हैं, उदाहरण के लिए निरंतर भिन्नों का उपयोग करना);

दिए गए पूर्णांक समाधानों के लिए एक सामान्य सूत्र

दे रही है टी कुछ पूर्णांक मानों से, आप इस समीकरण का आंशिक समाधान प्राप्त कर सकते हैं: निरपेक्ष मान में सबसे छोटा, सबसे छोटा धनात्मक (यदि संभव हो), आदि।

उदाहरण.

समीकरण के पूर्णांक समाधान खोजें 407x - 2816y = 33.

समाधान।

1. हम इस समीकरण को 37x - 256y = 3 के रूप में लाकर सरल बनाते हैं।

2. समीकरण 37x - 256y = 1 को हल करें।

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. इस समीकरण के सभी पूर्णांक समाधानों का सामान्य दृश्य:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

चरों के सभी संभावित मानों की विस्तृत गणना की विधि,

समीकरण में शामिल है.

प्राकृतिक संख्याओं के उन सभी युग्मों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जो समीकरण 49x + 51y = 602 का समाधान हैं।

समाधान:

आइए समीकरण से चर x को y x = के माध्यम से व्यक्त करें, चूँकि x और y प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो x =602 - 51у≥49, 51у≤553, 1≤у≤10.

विकल्पों की संपूर्ण खोज से पता चलता है कि समीकरण के प्राकृतिक समाधान x=5, y=7 हैं।

उत्तर: (5;7).

गुणनखंडन विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

डायोफैंटस ने रैखिक समीकरणों के साथ-साथ द्विघात और घन अनिश्चित समीकरणों पर भी विचार किया। इन्हें सुलझाना आम तौर पर कठिन होता है.

आइए एक ऐसे मामले पर विचार करें जहां वर्गों के अंतर के सूत्र या गुणनखंडन की किसी अन्य विधि को समीकरणों पर लागू किया जा सकता है।

समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें: x 2 + 23 = y 2

समाधान:

आइए समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

चूँकि x और y पूर्णांक हैं और 23 एक अभाज्य संख्या है, निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:

परिणामी प्रणालियों को हल करने पर, हम पाते हैं:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करना और भिन्न के पूरे भाग को अलग करना।

समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें: x 2 + xy – y – 2 = 0.

समाधान:

आइए हम इस समीकरण से y को x के माध्यम से व्यक्त करें:

वाई(एक्स - 1) =2 - एक्स 2,

हेनरिक जी.एन. एफएमएस नंबर 146, पर्म

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(मॉड 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(मॉड 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(मॉड 7)।

k को घात तक बढ़ाने पर, हमें किसी भी प्राकृतिक k के लिए 56k ≡ 1(mod 7) प्राप्त होता है। इसलिए 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7)।

(ज्यामितीय रूप से, इस समानता का मतलब है कि हम 5, 92 चक्र और तीन और संख्याओं से शुरू करके वृत्त के चारों ओर घूमते हैं)। इस प्रकार, संख्या 222555 को 7 से विभाजित करने पर 6 शेष बचता है।

पूर्णांकों में समीकरण हल करना.

निस्संदेह, गणित में दिलचस्प विषयों में से एक डायोफैंटाइन समीकरणों का समाधान है। इस विषय का अध्ययन 8वीं और फिर 10वीं और 11वीं कक्षा में किया जाता है।

कोई भी समीकरण जिसे पूर्ण संख्याओं में हल करने की आवश्यकता होती है उसे डायोफैंटाइन समीकरण कहा जाता है। उनमें से सबसे सरल ax+bу=c रूप का एक समीकरण है, जहां a, b और c हैÎ Z. इस समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय. रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax+bу=c, जहां a, b और сО Z का एक समाधान है यदि और केवल यदि c संख्याओं a और b की gcd से विभाज्य है। यदि d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d और (x0, y0) समीकरण akh+bу=с का एक समाधान है, तो सभी समाधान सूत्रों द्वारा दिए गए हैं x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, जहां t एक मनमाना पूर्णांक है।

1. समीकरणों को पूर्णांकों में हल करें:

3xy–6x2 =y–2x+4;
(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
x2 – xy – x + y = 1;
x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. मैंने इस विषय पर गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में स्नातकों की निम्नलिखित समस्याओं पर विचार किया।

1). समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें: xy+3y+2x+6=13. समाधान:

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें। हम पाते हैं:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

चूँकि x,уО Z, हमें समीकरणों की प्रणालियों का एक सेट प्राप्त होता है:

हेनरिक जी.एन.

	М एक्स +


	М एक्स +


	М एक्स +




ê Ð x +

एफएमएस नंबर 146, पर्म

		М एक्स =


		М एक्स =


		М एक्स =
		М एक्स =



	ê Ð x =

उत्तर: (-2;11), (10; -1), (-4; -15), (-15, -3)

2). समीकरण को प्राकृतिक संख्याओं में हल करें: 3x +4y =5z.

9). प्राकृतिक संख्याओं m और n के सभी जोड़े खोजें जिनके लिए समानता 3m +7=2n है।

10). प्राकृतिक संख्याओं k, m और n के सभी त्रिक खोजें जिनके लिए समानता है: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

ग्यारह)। परिमित अनुक्रम के सभी पद प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इस क्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले वाले से या तो 14 गुना बड़ा है या 14 गुना छोटा है। अनुक्रम के सभी पदों का योग 4321 है।

ग) अनुक्रम में पदों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? समाधान:

a) मान लीजिए a1 =x, फिर a2 = 14x या a1 =14x, फिर a2 =x। फिर, शर्त के अनुसार, a1 + a2 = 4321. हमें मिलता है: x + 14x = 4321, 15x = 4321, लेकिन 4321 15 का गुणज नहीं है, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम में दो पद नहीं हो सकते हैं।

बी) मान लीजिए a1 =x, फिर a2 = 14x, a3 =x, या 14x+x+14x=4321, या x+14x+x=4321। 29x=4321, फिर x=149, 14x=2086. इसका मतलब है कि अनुक्रम में तीन पद हो सकते हैं। दूसरे मामले में, 16x=4321, लेकिन तब x एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

कोई जवाब नहीं; बी) हाँ; ग) 577.

हेनरिक जी.एन.

एफएमएस नंबर 146, पर्म

12). परिमित अनुक्रम के सभी पद प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इस क्रम का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से प्रारंभ करके, या 10 से; पिछले वाले से कई गुना अधिक, या 10 गुना कम। अनुक्रम के सभी पदों का योग 1860 है।

क) क्या किसी अनुक्रम में दो पद हो सकते हैं? ख) क्या किसी अनुक्रम में तीन पद हो सकते हैं?

ग) अनुक्रम में पदों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?

जाहिर है, हम पूर्णांकों की विभाज्यता के बारे में बात कर सकते हैं और इस विषय पर समस्याओं पर अंतहीन विचार कर सकते हैं। मैंने इस विषय पर इस तरह से विचार करने का प्रयास किया कि छात्रों की इसमें अधिक रुचि हो, उन्हें इस दृष्टिकोण से गणित की सुंदरता दिखायी जा सके।

हेनरिक जी.एन.

एफएमएस नंबर 146, पर्म

ग्रंथ सूची:

1. ए. हां. कनेल-बेलोव, ए. के. कोवाल्डज़ी। गैर-मानक समस्याओं को कैसे हल करें मॉस्को आईसीएसएमई 2001

2. ए.वी. स्पिवक। पत्रिका क्वांट संख्या 4/2000 गणितीय अवकाश, मॉस्को 2000 का अनुपूरक

3. ए.वी. स्पिवक। गणितीय वृत्त, "बुवाई" 2003

4. सेंट पीटर्सबर्गयुवा रचनात्मकता का शहर महल। गणितीय वृत्त. अध्ययन के पहले और दूसरे वर्ष के लिए समस्या पुस्तक। सेंट पीटर्सबर्ग। 1993

5. आठवीं कक्षा के लिए बीजगणित. गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों और कक्षाओं में छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। एन.वाई. विलेनकिन द्वारा संपादित। मॉस्को, 1995

6. एम.एल. गैलिट्स्की, ए.एम. गोल्डमैन, एल.आई. ज़वाविच। बीजगणित की समस्याओं का संग्रह 8-9 ग्रेड. गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों और कक्षाओं में छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। मास्को, ज्ञानोदय। 1994

7. यू.एन.मकार्यचेव, एन.जी.मिंड्युक, के.आई.नेशकोव। बीजगणित आठवीं कक्षा. गणित के गहन अध्ययन के साथ स्कूलों और कक्षाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। मॉस्को, 2001

8. एम.आई.शाबुनिन, ए.ए.प्रोकोफिव यूएमके गणित बीजगणित। गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. प्रोफ़ाइल स्तर. 11वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। मॉस्को बिनोम. ज्ञान प्रयोगशाला 2009

9. एम.आई. शबुनिन, ए.ए. प्रोकोफिव, टी.ए. ओलेनिक, टी.वी. सोकोलोवा। यूएमके गणित बीजगणित। गणितीय विश्लेषण की शुरुआत. 11वीं कक्षा के लिए प्रोफ़ाइल स्तर की समस्या पुस्तक। मॉस्को बिनोम. ज्ञान प्रयोगशाला 2009

10. ए.जी. क्लोवो, डी.ए. माल्टसेव, एल.आई. अब्ज़ेलिलोवा गणित। एकीकृत राज्य परीक्षा 2010 योजना के अनुसार परीक्षणों का संग्रह

11. एकीकृत राज्य परीक्षा-2010. "लीजन-एम"। रोस्तोव-ऑन-डॉन 2009

12. एकीकृत राज्य परीक्षा यूएमके “गणित। एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।" एफ.एफ. लिसेंको, एस.यू. कुलबुखोव द्वारा संपादित। के लिए तैयारी करनाएकीकृत राज्य परीक्षा 2011. "लीजन-एम"। रोस्तोव-ऑन-डॉन 2010

13. यूएमके "गणित।एकीकृत राज्य परीक्षा 2010"। एफ.एफ. लिसेंको, एस.यू. कुलबुखोव द्वारा संपादित। एकीकृत राज्य परीक्षा-2010 के लिए गणित की तैयारी। शैक्षिक और प्रशिक्षण परीक्षण. "लीजन-एम"। रोस्तोव-ऑन-डॉन 2009

14. FIPI एकीकृत राज्य परीक्षा। छात्रों को MATH 2010 की तैयारी के लिए सार्वभौमिक सामग्री"बुद्धि-केंद्र" 2010

15. ए.ज़.ज़फ़्यारोव। अंक शास्त्र।एकीकृत राज्य परीक्षा-2010 एक्सप्रेस परामर्श। साइबेरियन यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 2010

पूर्णांकों में समीकरणदो या दो से अधिक अज्ञात चर और पूर्णांक गुणांक वाले बीजगणितीय समीकरण हैं। ऐसे समीकरण के समाधान सभी पूर्णांक (कभी-कभी प्राकृतिक या तर्कसंगत) अज्ञात चर के मानों के सेट होते हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। ऐसे समीकरण भी कहलाते हैं डायोफैंटाइन, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ के सम्मान में जिन्होंने हमारे युग से पहले कुछ प्रकार के समीकरणों का अध्ययन किया था।

हम डायोफैंटाइन समस्याओं के आधुनिक सूत्रीकरण का श्रेय फ्रांसीसी गणितज्ञ को देते हैं। उन्होंने ही यूरोपीय गणितज्ञों के समक्ष अनिश्चित समीकरणों को केवल पूर्णांकों में हल करने का प्रश्न उठाया था। पूर्णांकों में सबसे प्रसिद्ध समीकरण फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय है: समीकरण

सभी प्राकृतिक n > 2 के लिए कोई गैर-शून्य तर्कसंगत समाधान नहीं है।

पूर्णांकों में समीकरणों में सैद्धांतिक रुचि काफी अधिक है, क्योंकि ये समीकरण संख्या सिद्धांत की कई समस्याओं से निकटता से संबंधित हैं।

1970 में, लेनिनग्राद गणितज्ञ यूरी व्लादिमीरोविच मटियासेविच ने साबित किया कि एक सामान्य विधि जो चरणों की एक सीमित संख्या में पूर्णांकों में मनमाने ढंग से डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने की अनुमति देती है, मौजूद नहीं है और न ही मौजूद हो सकती है। इसलिए, आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों के लिए अपनी स्वयं की समाधान विधियाँ चुननी चाहिए।

विकल्पों को क्रमबद्ध करने का तरीका;

यूक्लिडियन एल्गोरिथम का अनुप्रयोग;

निरंतर (निरंतर) भिन्नों के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व;

गुणनखंडन;

किसी भी चर के संबंध में पूर्णांकों में समीकरणों को वर्ग (या अन्य) के रूप में हल करना;

अवशिष्ट विधि;

अनंत वंश विधि.

समाधान के साथ समस्याएँ

1. समीकरण x 2 – xy – 2y 2 = 7 को पूर्णांकों में हल करें।

आइए समीकरण को (x – 2y)(x + y) = 7 के रूप में लिखें।

चूँकि x, y पूर्णांक हैं, हम मूल समीकरण के समाधान को निम्नलिखित चार प्रणालियों के समाधान के रूप में पाते हैं:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x - 2y = -7, x + y = -1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

इन प्रणालियों को हल करने के बाद, हम समीकरण के समाधान प्राप्त करते हैं: (3; -2), (5; 2), (-3; 2) और (-5; -2)।

उत्तर: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2)।

ए) 20x + 12y = 2013;

बी) 5x + 7y = 19;

ग) 201x – 1999y = 12.

ए) चूँकि x और y के किसी भी पूर्णांक मान के लिए समीकरण का बायाँ भाग दो से विभाज्य है, और दायाँ भाग एक विषम संख्या है, समीकरण का पूर्णांक में कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं है.

ख) आइए पहले कुछ विशिष्ट समाधान चुनें। इस मामले में, यह सरल है, उदाहरण के लिए,

एक्स 0 = 1, वाई 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(एक्स – एक्स 0) + 7(वाई – वाई 0) = 0,

5(एक्स – एक्स 0) = –7(वाई – वाई 0).

चूँकि संख्याएँ 5 और 7 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

तो सामान्य समाधान यह है:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

जहाँ k एक मनमाना पूर्णांक है।

उत्तर: (1+7k; 2-5k), जहां k एक पूर्णांक है।

ग) इस मामले में चयन द्वारा एक विशिष्ट समाधान खोजना काफी कठिन है। आइए संख्या 1999 और 201 के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करें:

जीसीडी(1999, 201) = जीसीडी(201, 190) = जीसीडी(190, 11) = जीसीडी(11, 3) = जीसीडी(3, 2) = जीसीडी(2, 1) = 1।

आइए इस प्रक्रिया को उल्टे क्रम में लिखें:

1 = 2 - 1 = 2 - (3 - 2) = 2 2 - 3 = 2 (11 - 3 3) - 3 = 2 11 - 7 3 = 2 11 - 7(190 - 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999।

इसका मतलब यह है कि जोड़ी (1273, 128) समीकरण 201x – 1999y = 1 का एक समाधान है। फिर संख्याओं की जोड़ी

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

समीकरण 201x – 1999y = 12 का एक समाधान है।

इस समीकरण का सामान्य हल इस रूप में लिखा जायेगा

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, जहाँ k एक पूर्णांक है,

या, पुनः पदनाम के बाद (हम 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201 का उपयोग करते हैं),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, जहां n एक पूर्णांक है।

उत्तर: (1283+1999एन, 129+201एन), जहां एन एक पूर्णांक है।

3. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

ए) एक्स 3 + वाई 3 = 3333333;

बी) एक्स 3 + वाई 3 = 4(एक्स 2 वाई + एक्सवाई 2 + 1)।

a) चूँकि x 3 और y 3 को 9 से विभाजित करने पर केवल शेषफल 0, 1 और 8 ही प्राप्त हो सकते हैं (अनुभाग में तालिका देखें), तो x 3 + y 3 केवल शेषफल 0, 1, 2, 7 और 8 ही दे सकते हैं। लेकिन संख्या 3333333 को 9 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है। इसलिए, मूल समीकरण का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

ख) आइए मूल समीकरण को (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4 के रूप में फिर से लिखें। चूँकि पूर्णांकों के घनों को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 0, 1 और 6 प्राप्त होते हैं, लेकिन 4 नहीं, तो फिर समीकरण का समाधान पूर्णांकों में नहीं है।

उत्तर: कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं।

a) अभाज्य संख्याओं में समीकरण x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

बी) पूर्णांकों में समीकरण x + y = x 2 – xy + y 2.

a) आइए इस समीकरण को चर y के संबंध में एक द्विघात समीकरण के रूप में हल करें। हम पाते हैं

y = x + 9 या y = 16 – x.

चूँकि विषम x के लिए संख्या x + 9 सम है, तो अभाज्य संख्याओं का एकमात्र युग्म जो पहली समानता को संतुष्ट करता है वह (2; 11) है।

चूँकि x, y सरल हैं, तो समानता से y = 16 – x हमारे पास है

2 x 16.2 पर 16.

विकल्पों के माध्यम से खोज करने पर, हम शेष समाधान पाते हैं: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)।

उत्तर: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3)।

बी) इस समीकरण को x के लिए द्विघात समीकरण के रूप में मानें:

एक्स 2 – (वाई + 1)एक्स + वाई 2 – वाई = 0.

इस समीकरण का विभेदक -3y 2 + 6y + 1 है। यह केवल y के निम्नलिखित मानों के लिए सकारात्मक है: 0, 1, 2। इनमें से प्रत्येक मान के लिए, मूल समीकरण से हमें x के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है जो आसानी से हल हो जाता है।

उत्तर: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2)।

5. क्या पूर्णांक x, y, z के त्रिक की अनंत संख्या इस प्रकार है कि x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

आइए त्रिगुणों का चयन करने का प्रयास करें जहां y = –z. तब y 3 और z 3 हमेशा एक दूसरे को रद्द कर देंगे, और हमारा समीकरण ऐसा दिखेगा

एक्स 2 + 2वाई 2 = एक्स 3

या अन्यथा,

x 2 (x–1) = 2y 2।

इस शर्त को पूरा करने के लिए पूर्णांकों (x; y) के एक जोड़े के लिए, यह पर्याप्त है कि संख्या x-1 पूर्णांक के वर्ग का दोगुना हो। ऐसी अनंत संख्याएँ हैं, अर्थात्, ये सभी संख्याएँ 2n 2 +1 के रूप की हैं। इस संख्या को x 2 (x–1) = 2y 2 में प्रतिस्थापित करने पर, सरल परिवर्तनों के बाद हमें प्राप्त होता है:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

इस प्रकार प्राप्त सभी त्रिक का रूप (2n 2 +1; 2n 3 +n; -2n 3 – n) होता है।

उत्तर: मौजूद है.

6. ऐसे पूर्णांक x, y, z, u ज्ञात कीजिए कि x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu।

संख्या x 2 + y 2 + z 2 + u 2 सम है, इसलिए संख्याओं x, y, z, u में विषम संख्याओं की एक सम संख्या है।

यदि सभी चार संख्याएँ x, y, z, u विषम हैं, तो x 2 + y 2 + z 2 + u 2 4 से विभाज्य है, लेकिन 2xyzu 4 से विभाज्य नहीं है - एक विसंगति।

यदि x, y, z, u में से बिल्कुल दो संख्याएँ विषम हैं, तो x 2 + y 2 + z 2 + u 2, 4 से विभाज्य नहीं है, लेकिन 2xyzu, 4 से विभाज्य है - फिर से एक विसंगति।

इसलिए, सभी संख्याएँ x, y, z, u सम हैं। तब हम वह लिख सकते हैं

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

और मूल समीकरण रूप ले लेगा

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1।

अब ध्यान दें कि (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 को 8 से विभाजित करने पर 1 शेष बचता है। इसलिए, यदि सभी संख्याएँ x 1 , y 1 , z 1 , u 1 विषम हैं, तो x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2, 8 से विभाज्य नहीं है। और यदि इनमें से दो संख्याएँ विषम हैं, तो x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2, 8 से भी विभाज्य नहीं है 4. इसका मतलब है

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

और हमें समीकरण मिलता है

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2।

उसी तर्क को दोबारा दोहराते हुए, हम पाते हैं कि x, y, z, u सभी प्राकृतिक n के लिए 2 n से विभाज्य हैं, जो केवल x = y = z = u = 0 के लिए संभव है।

उत्तर: (0; 0; 0; 0)।

7. समीकरण सिद्ध कीजिए

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है.

आइए निम्नलिखित पहचान का उपयोग करें:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

तब मूल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

आइए हम a = x - y, b = y - z, c = z - x को निरूपित करें और परिणामी समानता को फॉर्म में लिखें

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि a + b + c = 0. यह सत्यापित करना आसान है कि, क्रमपरिवर्तन तक, समानता abc = 10 का अर्थ है कि संख्याएँ |a|, |b|, |c| या तो 1, 2, 5, या 1, 1, 10 के बराबर हैं। लेकिन इन सभी मामलों में, चिह्न ए, बी, सी के किसी भी विकल्प के लिए, ए + बी + सी का योग गैर-शून्य है। इस प्रकार, मूल समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है।

8. समीकरण 1 को पूर्ण संख्याओं में हल करें! +2! + . . . + एक्स! = य 2 .

यह तो स्पष्ट है

यदि x = 1, तो y 2 = 1,

यदि x = 3, तो y 2 = 9।

ये मामले संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों के अनुरूप हैं:

एक्स 1 = 1, वाई 1 = 1;

एक्स 2 = 1, वाई 2 = -1;

एक्स 3 = 3, वाई 3 = 3;

एक्स 4 = 3, वाई 4 = -3.

ध्यान दें कि x = 2 के लिए हमारे पास 1 है! +2! = 3, x = 4 के लिए हमारे पास 1 है! +2! +3! +4! = 33 और न तो 3 और न ही 33 पूर्णांकों के वर्ग हैं। यदि x > 5, तो, चूँकि

5! +6! + . . . +x! = 10एन,

हम वह लिख सकते हैं

1! +2! +3! +4! +5! + . . . + एक्स! = 33 + 10एन.

चूँकि 33 + 10n 3 पर समाप्त होने वाली संख्या है, यह पूर्णांक का वर्ग नहीं है।

उत्तर: (1; 1), (1; -1), (3; 3), (3; -3)।

9. प्राकृतिक संख्याओं में समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

ए 3 - बी 3 - सी 3 = 3एबीसी, ए 2 = 2(बी + सी)।

3abc > 0, फिर a 3 > b 3 + c 3 ;

इस प्रकार हमारे पास है

इन असमानताओं को जोड़ने पर हमें वह प्राप्त होता है

अंतिम असमानता को ध्यान में रखते हुए, सिस्टम के दूसरे समीकरण से हमें वह प्राप्त होता है

लेकिन सिस्टम का दूसरा समीकरण यह भी दर्शाता है कि a एक सम संख्या है। इस प्रकार, a = 2, b = c = 1.

उत्तर: (2; 1; 1)

10. समीकरण x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक x और y के सभी जोड़े खोजें।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का गुणनखंड करने पर, हमें प्राप्त होता है:

एक्स(एक्स + 1) = वाई(वाई + 1)(वाई 2 + 1),

एक्स(एक्स + 1) = (वाई 2 + वाई)(वाई 2 + 1)

ऐसी समानता संभव है यदि बाएँ और दाएँ पक्ष शून्य के बराबर हों, या दो लगातार पूर्णांकों का गुणनफल हों। इसलिए, कुछ कारकों को शून्य के बराबर करने पर, हमें वांछित चर मानों के 4 जोड़े प्राप्त होते हैं:

एक्स 1 = 0, वाई 1 = 0;

एक्स 2 = 0, वाई 2 = -1;

एक्स 3 = -1, वाई 3 = 0;

एक्स 4 = -1, वाई 4 = -1.

गुणनफल (y 2 + y)(y 2 + 1) को दो लगातार गैर-शून्य पूर्णांकों का गुणनफल तभी माना जा सकता है जब y = 2. इसलिए x(x + 1) = 30, जहां से x 5 = 5, x 6 = -6. इसका मतलब यह है कि पूर्णांकों के दो और जोड़े हैं जो मूल समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

एक्स 5 = 5, वाई 5 = 2;

x 6 = -6, y 6 = 2.

उत्तर: (0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1), (5; 2), (-6; 2.)

समाधान के बिना समस्याएँ

1. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

ए) एक्सवाई = एक्स + वाई + 3;

बी) एक्स 2 + वाई 2 = एक्स + वाई + 2।

2. समीकरण को पूर्णांकों में हल करें:

ए) एक्स 3 + 21वाई 2 + 5 = 0;

बी) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. समीकरण को प्राकृत संख्याओं में हल करें:

ए) 2 एक्स + 1 = वाई 2;

बी) 3 2 एक्स + 1 = वाई 2।

4. सिद्ध करें कि परिमेय संख्याओं में समीकरण x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz का एक अद्वितीय समाधान है

5. सिद्ध करें कि पूर्णांकों में समीकरण x 2 + 5 = y 3 का कोई हल नहीं है।

स्कूली बच्चों के लिए पोर्टल। स्व तैयारी

पूर्णांकों में समीकरण हल करना.

ग्रंथ सूची:

समाधान के साथ समस्याएँ

समाधान के बिना समस्याएँ

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