एक और कई चर के कार्यों का विभेदक कलन। विभेदक और अभिन्न कलन

डिफरेंशियल कैलकुलस, गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है जो कार्यों के अध्ययन के लिए डेरिवेटिव, डिफरेंशियल और उनके आवेदन का अध्ययन करती है। डिफरेंशियल कैलकुलस 17वीं सदी के दूसरे भाग में आई. न्यूटन और जी.डब्ल्यू. लाइबनिज के कार्यों के प्रभाव में एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में विकसित हुआ, जिसमें उन्होंने डिफरेंशियल कैलकुलस के मुख्य प्रावधानों को तैयार किया और भेदभाव और एकीकरण की पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम प्रकृति का उल्लेख किया। उस समय से, डिफरेंशियल कैलकुलस इंटीग्रल कैलकुलस के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित हुआ है, जो इसके साथ गणितीय विश्लेषण (या इनफिनिटिमल एनालिसिस) का मुख्य भाग है। डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के निर्माण ने गणित के विकास में एक नए युग की शुरुआत की, जिससे कई नए गणितीय विषयों (श्रृंखला का सिद्धांत, अंतर समीकरणों का सिद्धांत, अंतर ज्यामिति, विविधताओं की गणना, कार्यात्मक विश्लेषण) का उदय हुआ। प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी के प्रश्नों के लिए गणित को लागू करने की संभावनाओं का काफी विस्तार किया।

डिफरेंशियल कैलकुलस वास्तविक संख्या, कार्य, सीमा, निरंतरता जैसी मूलभूत अवधारणाओं पर आधारित है। इन अवधारणाओं ने अंतर और अभिन्न कलन के विकास के दौरान एक आधुनिक रूप धारण किया। डिफरेंशियल कैलकुलस के मुख्य विचार और अवधारणाएँ छोटे में कार्यों के अध्ययन से संबंधित हैं, अर्थात, अलग-अलग बिंदुओं के छोटे पड़ोस में, जिसके लिए कार्यों के अध्ययन के लिए एक गणितीय उपकरण के निर्माण की आवश्यकता होती है, जिसका व्यवहार प्रत्येक बिंदु के पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस में होता है। उनकी परिभाषा का क्षेत्र एक रैखिक कार्य या बहुपद के व्यवहार के करीब है। यह उपकरण व्युत्पन्न और अंतर की अवधारणाओं पर आधारित है। व्युत्पन्न की अवधारणा प्राकृतिक विज्ञान और गणित में बड़ी संख्या में विभिन्न समस्याओं के संबंध में उत्पन्न हुई, जिससे एक ही प्रकार की सीमाओं की गणना हुई। इन कार्यों में सबसे महत्वपूर्ण है एक सीधी रेखा के साथ एक भौतिक बिंदु की गति की गति का निर्धारण और एक वक्र के स्पर्शरेखा का निर्माण। एक अंतर की अवधारणा एक रैखिक फ़ंक्शन द्वारा विचाराधीन बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में एक फ़ंक्शन को अनुमानित करने की संभावना से संबंधित है। एक वास्तविक चर के एक समारोह के व्युत्पन्न की अवधारणा के विपरीत, एक अंतर की अवधारणा को आसानी से एक अधिक सामान्य प्रकृति के कार्यों में स्थानांतरित किया जा सकता है, जिसमें एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष से दूसरे में मैपिंग, बनच रिक्त स्थान के अन्य बनच रिक्त स्थान के मानचित्रण शामिल हैं, और कार्यात्मक विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक के रूप में कार्य करता है।

यौगिक. सामग्री बिंदु को ओए अक्ष के साथ आगे बढ़ने दें, और x किसी प्रारंभिक क्षण से गिने गए समय को दर्शाता है। इस गति का विवरण फ़ंक्शन y = f(x) द्वारा दिया गया है, जो समय के प्रत्येक क्षण x को गतिमान बिंदु के निर्देशांक y को निर्दिष्ट करता है। यांत्रिकी में इस कार्य को गति का नियम कहा जाता है। गति की एक महत्वपूर्ण विशेषता (विशेषकर यदि यह असमान है) समय x के प्रत्येक क्षण पर गतिमान बिंदु की गति है (इस गति को तात्कालिक गति भी कहा जाता है)। यदि कोई बिंदु ओए अक्ष के साथ कानून y \u003d f (x) के अनुसार चलता है, तो समय x में एक मनमाना बिंदु पर इसका समन्वय f (x) होता है, और समय पर x + x - निर्देशांक f होता है (x + x), जहां Δx समय की वृद्धि है। संख्या Δy \u003d f (x + x) - f (x), जिसे फ़ंक्शन की वृद्धि कहा जाता है, x से x + x तक के समय में गतिमान बिंदु द्वारा यात्रा किया जाने वाला पथ है। रवैया

अंतर अनुपात कहा जाता है, x से x + x के समय अंतराल में बिंदु की औसत गति है। समय x पर किसी गतिमान बिंदु की तात्कालिक गति (या केवल गति) वह सीमा है जिस तक औसत गति (1) तब झुकती है जब समय अंतराल x शून्य हो जाता है, अर्थात सीमा (2)

तात्कालिक वेग की अवधारणा व्युत्पन्न की अवधारणा की ओर ले जाती है। किसी दिए गए निश्चित बिंदु x पर एक मनमाना कार्य y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को सीमा (2) कहा जाता है (बशर्ते यह सीमा मौजूद हो)। किसी दिए गए बिंदु x पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न प्रतीकों f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x) में से एक द्वारा दर्शाया गया है।

एक व्युत्पन्न (या किसी फ़ंक्शन से उसके व्युत्पन्न में संक्रमण) को खोजने की क्रिया को विभेदन कहा जाता है।

एक समतल वक्र के स्पर्शरेखा के निर्माण की समस्या, समीकरण y \u003d f (x) द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में परिभाषित, किसी बिंदु M (x, y) (चित्र) पर भी सीमा (2) की ओर ले जाती है। . तर्क x में वृद्धि x देकर और बिंदु M' को निर्देशांक (x + Δx, f(x) + Δx) के साथ वक्र पर लेते हुए, बिंदु M पर स्पर्शरेखा को secant MM की सीमा स्थिति के रूप में निर्धारित करें। जैसा कि बिंदु M' M की ओर प्रवृत्त होता है (अर्थात, x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है)। चूंकि बिंदु M जिससे स्पर्शरेखा गुजरती है, दिया गया है, स्पर्शरेखा का निर्माण इसके कोणीय गुणांक (यानी, ऑक्स अक्ष के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा) को निर्धारित करने के लिए कम कर दिया गया है। ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा MR खींचकर, यह प्राप्त किया जाता है कि छेदक MM' का ढलान अनुपात के बराबर है

x → 0 की सीमा में, छेदक का ढलान स्पर्शरेखा के ढलान में बदल जाता है, जो सीमा (2), यानी व्युत्पन्न f'(x) के बराबर हो जाता है।

प्राकृतिक विज्ञान की कई अन्य समस्याएं भी व्युत्पन्न की अवधारणा को जन्म देती हैं। उदाहरण के लिए, एक कंडक्टर में वर्तमान ताकत को सीमा t→0 q/Δt के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां q समय t में कंडक्टर के क्रॉस सेक्शन के माध्यम से स्थानांतरित सकारात्मक विद्युत चार्ज है, रासायनिक प्रतिक्रिया की दर के रूप में परिभाषित किया गया है lim t→0 Q/Δt, जहां Q समय t के दौरान राशि के मामले में परिवर्तन है और, सामान्य तौर पर, समय के संबंध में कुछ भौतिक मात्रा का व्युत्पन्न इस मात्रा के परिवर्तन की दर है।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) को बिंदु x और उसके कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, और बिंदु x पर व्युत्पन्न है, तो यह फ़ंक्शन बिंदु x पर निरंतर है। फ़ंक्शन का एक उदाहरण y \u003d |x|, बिंदु x \u003d 0 के किसी भी पड़ोस में परिभाषित, इस बिंदु पर निरंतर, लेकिन x \u003d 0 पर व्युत्पन्न नहीं होने से पता चलता है कि इस बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अस्तित्व है , सामान्य तौर पर, इस बिंदु व्युत्पन्न पर फ़ंक्शन की निरंतरता का पालन नहीं करता है। इसके अलावा, ऐसे कार्य हैं जो परिभाषा के अपने डोमेन के हर बिंदु पर निरंतर हैं, लेकिन इस डोमेन के किसी भी बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं हैं।

मामले में जब फ़ंक्शन y \u003d f (x) को केवल बिंदु x के दाईं ओर या केवल बाईं ओर परिभाषित किया जाता है (उदाहरण के लिए, जब x उस खंड का सीमा बिंदु है जिस पर यह फ़ंक्शन दिया गया है), फ़ंक्शन y \u003d f (x) के दाएं और बाएं डेरिवेटिव की अवधारणाएं बिंदु x पर पेश की जाती हैं। बिंदु x पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) का सही व्युत्पन्न सीमा (2) के रूप में परिभाषित किया गया है, बशर्ते कि Δx शून्य हो, शेष सकारात्मक हो, और बाएं व्युत्पन्न को सीमा (2) के रूप में परिभाषित किया गया हो बशर्ते कि Δx शून्य हो जाता है, शेष ऋणात्मक। फ़ंक्शन y \u003d f (x) का एक बिंदु x पर व्युत्पन्न है यदि और केवल तभी जब इस बिंदु पर दाएं और बाएं डेरिवेटिव एक दूसरे के बराबर हों। उपरोक्त फलन y = |x| बिंदु x = 0 पर 1 के बराबर एक दायां व्युत्पन्न है और -1 के बराबर एक बायां व्युत्पन्न है, और चूंकि दाएं और बाएं डेरिवेटिव एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, इस फ़ंक्शन का बिंदु x = 0 पर कोई व्युत्पन्न नहीं है। व्युत्पन्न कार्यों का वर्ग, संक्रिया विभेद रैखिक है, अर्थात (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), और (αf(x))' = αf '(x) किसी भी संख्या के लिए a. इसके अलावा, निम्नलिखित भेदभाव नियम सही हैं:

कुछ प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न हैं:

α - कोई भी संख्या, x > 0;

एन = 0, ±1, ±2,

किसी भी प्राथमिक फलन का अवकलज भी एक प्राथमिक फलन होता है।

यदि व्युत्पन्न f'(x), बदले में, दिए गए बिंदु x पर एक व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन f'(x) के व्युत्पन्न को बिंदु x पर फ़ंक्शन y = f(x) का दूसरा व्युत्पन्न कहा जाता है। और प्रतीकों में से एक f''(x ), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x) द्वारा निरूपित किया जाता है।

कानून y \u003d f (x) के अनुसार ओए अक्ष के साथ चलने वाले भौतिक बिंदु के लिए, दूसरा व्युत्पन्न समय x पर इस बिंदु का त्वरण है। किसी भी पूर्णांक क्रम n के व्युत्पन्न समान रूप से परिभाषित किए जाते हैं, जिन्हें प्रतीकों f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D द्वारा दर्शाया जाता है। (एन) एफ (एक्स)।

अंतर. एक फ़ंक्शन y \u003d f (x), जिसकी परिभाषा के डोमेन में बिंदु x का कुछ पड़ोस होता है, को बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है यदि इस बिंदु पर इसकी वृद्धि, तर्क x की वृद्धि के अनुरूप है, अर्थात, मान Δy \u003d f (x + x) - f (x) को रूप में दर्शाया जा सकता है और इसे dy या df(x) प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। ज्यामितीय रूप से, x के एक निश्चित मान और एक बदलते वेतन वृद्धि x के लिए, अंतर स्पर्शरेखा की कोटि में एक वृद्धि है, अर्थात, खंड PM "(चित्र।)। अंतर डाई बिंदु x और दोनों का एक कार्य है वेतन वृद्धि Δx। अंतर को फ़ंक्शन की वृद्धि का मुख्य रैखिक भाग कहा जाता है, क्योंकि जब x के निश्चित मान के लिए, मान dy का एक रैखिक कार्य होता है, और अंतर у-dy के संबंध में असीम रूप से छोटा होता है। → 0 के रूप में। फ़ंक्शन f(х) = x के लिए, परिभाषा के अनुसार, dx = , अर्थात, स्वतंत्र चर dx का अंतर इसके वेतन वृद्धि के साथ मेल खाता है x यह आपको रूप में अंतर के लिए अभिव्यक्ति को फिर से लिखने की अनुमति देता है डाई = एडीएक्स।

एक चर के एक फ़ंक्शन के लिए, एक अंतर की अवधारणा एक व्युत्पन्न की अवधारणा से निकटता से संबंधित है: एक फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए एक बिंदु x पर एक अंतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह इस बिंदु पर एक परिमित व्युत्पन्न f '(x) है, जबकि समानता dy = f'(x)dx है। इस कथन का दृश्य अर्थ यह है कि एब्सिसा x के साथ बिंदु पर वक्र y \u003d f (x) की स्पर्शरेखा न केवल छेदक की सीमित स्थिति है, बल्कि सीधी रेखा भी है, जो एक असीम रूप से छोटे पड़ोस में है बिंदु x वक्र y \u003d f (x ) के निकट है जो किसी अन्य सीधी रेखा के करीब है। इस प्रकार, हमेशा A(x) = f'(x) और संकेतन dy/dx को न केवल व्युत्पन्न f'(x) के लिए एक संकेतन के रूप में समझा जा सकता है, बल्कि फ़ंक्शन के अंतर और तर्क के अनुपात के रूप में भी समझा जा सकता है। . समानता dy = f'(x)dx के आधार पर, अवकलन ज्ञात करने के नियम सीधे व्युत्पन्न के लिए संगत नियमों का पालन करते हैं। दूसरे और उच्च क्रम के अंतरों पर भी विचार किया जाता है।

अनुप्रयोग. डिफरेंशियल कैलकुलस फंक्शन f(x) और इसके डेरिवेटिव्स (या इसके डिफरेंशियल) के गुणों के बीच संबंध स्थापित करता है, जो डिफरेंशियल कैलकुलस के मुख्य प्रमेयों की सामग्री हैं। इन प्रमेयों में यह दावा शामिल है कि परिभाषा के अपने क्षेत्र के अंदर स्थित एक अलग-अलग फ़ंक्शन f(x) के सभी चरम बिंदु समीकरण f'(x) = 0, और अक्सर उपयोग किए जाने वाले परिमित वृद्धि सूत्र (लैग्रेंज फॉर्मूला) f की जड़ों में से हैं। (बी) - एफ (ए) = एफ '(ξ) (बी - ए), जहां ए<ξ0 फ़ंक्शन में सख्त वृद्धि करता है, और स्थिति f '' (x)\u003e 0 - इसकी सख्त उत्तलता। इसके अलावा, डिफरेंशियल कैलकुलस किसी को विभिन्न प्रकार के कार्यों की सीमाओं की गणना करने की अनुमति देता है, विशेष रूप से दो कार्यों के अनुपात की सीमाएं, जो कि फॉर्म 0/0 या फॉर्म ∞/∞ की अनिश्चितताएं हैं (अनिश्चितताओं का प्रकटीकरण देखें) . विभेदक कलन प्राथमिक कार्यों का अध्ययन करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है जिनके डेरिवेटिव स्पष्ट रूप से लिखे गए हैं।

कई चर के कार्यों का विभेदक कलन।कई चरों के कार्यों का अध्ययन करने के लिए विभेदक कलन की विधियों का उपयोग किया जाता है। दो चरों u = f(x, y) के एक फलन के लिए, बिंदु M(x, y) पर x के सापेक्ष इसका आंशिक अवकलज स्थिर y के लिए x के संबंध में इस फलन का अवकलज है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

और f'(x)(x,y), u'(x), u/∂x या ∂f(x,y)'/∂x में से किसी एक प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। y के सापेक्ष फलन u = f(x,y) का आंशिक अवकलज इसी प्रकार परिभाषित और निरूपित किया जाता है। मान Δu \u003d f (x + x, y + y) - f (x, y) को फ़ंक्शन की कुल वृद्धि और बिंदु M (x, y) पर कहा जाता है। यदि इस मान को के रूप में दर्शाया जा सकता है

जहां ए और बी Δх और у पर निर्भर नहीं हैं, और α शून्य पर जाता है

तब फलन u = f(x, y) बिंदु M(x, y) पर अवकलनीय कहलाता है। योग AΔx + BΔy को बिंदु M(x, y) पर फलन u = f(x, y) का कुल अंतर कहा जाता है और इसे प्रतीक du द्वारा दर्शाया जाता है। चूँकि A \u003d f'x (x, y), B \u003d f'y (x, y), और वेतन वृद्धि x और y को उनके अंतर dx और dy के बराबर लिया जा सकता है, कुल अंतर du के रूप में लिखा जा सकता है

ज्यामितीय रूप से, किसी दिए गए बिंदु M (x, y) पर दो चर u = f(x, y) के एक फ़ंक्शन की भिन्नता का अर्थ है कि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा विमान के इस बिंदु पर मौजूद है, और इस फ़ंक्शन का अंतर वृद्धि है वेतन वृद्धि dx और dy स्वतंत्र चर के अनुरूप स्पर्शरेखा तल के बिंदु के अनुप्रयोग का। दो चरों के एक फलन के लिए, अवकलन की अवधारणा आंशिक व्युत्पन्न की अवधारणा से कहीं अधिक महत्वपूर्ण और स्वाभाविक है। एक चर के एक फलन के विपरीत, दो चरों के फलन u = f(x, y) के किसी दिए गए बिंदु M(x, y) पर अवकलनीय होने के लिए, यह पर्याप्त नहीं है कि परिमित आंशिक अवकलज f'x( एक्स, वाई) और एफ 'वाई (एक्स, वाई)। फंक्शन u = f(x, y) के बिंदु M(x, y) पर अवकलनीय होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, परिमित आंशिक अवकलज f'x(x, y) और f'y(x, y) और पर शून्य की ओर प्रवृत्त होना

मात्रा

इस मात्रा का अंश पहले फलन f(x, y) की वृद्धि को इसके पहले तर्क के वृद्धि Δx के अनुरूप लेते हुए प्राप्त किया जाता है, और फिर परिणामी अंतर f(x + Δx, y) - f की वृद्धि लेते हुए प्राप्त किया जाता है। (x, y), इसके दूसरे तर्कों की वृद्धि y के अनुरूप। बिंदु M(x, y) पर फलन u = f(x, y) की अवकलनीयता के लिए एक सरल पर्याप्त शर्त निरंतर आंशिक अवकलज f'x(x, y) और f'y(x, y) का अस्तित्व है ) इस समय।

उच्च ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव को इसी तरह परिभाषित किया गया है। आंशिक व्युत्पन्न ∂ 2 f/∂х 2 और ∂ 2 f/∂у 2 , जिसमें दोनों विभेदन एक चर में किए जाते हैं, शुद्ध कहलाते हैं, और आंशिक व्युत्पन्न ∂ 2 f/∂х∂у और ∂ 2 f/∂ आप - मिश्रित। प्रत्येक बिंदु पर जहां दोनों मिश्रित आंशिक अवकलज सतत होते हैं, वे एक दूसरे के बराबर होते हैं। ये परिभाषाएँ और संकेतन बड़ी संख्या में चर के मामले में आगे बढ़ते हैं।

ऐतिहासिक रूपरेखा. प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों द्वारा वक्रों की स्पर्शरेखाओं को निर्धारित करने और चर के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों को खोजने की अलग-अलग समस्याओं को हल किया गया था। उदाहरण के लिए, शंक्वाकार वर्गों और कुछ अन्य वक्रों पर स्पर्शरेखा बनाने के तरीके खोजे गए। हालाँकि, प्राचीन गणितज्ञों द्वारा विकसित की गई विधियाँ विभेदक कलन के विचारों से बहुत दूर थीं और केवल बहुत ही विशेष मामलों में ही लागू की जा सकती थीं। 17वीं शताब्दी के मध्य तक, यह स्पष्ट हो गया कि अन्य समस्याओं (उदाहरण के लिए, तात्कालिक गति को निर्धारित करने की समस्या) के साथ उल्लेख की गई कई समस्याओं को एक ही गणितीय उपकरण का उपयोग करके, डेरिवेटिव और डिफरेंशियल का उपयोग करके हल किया जा सकता है। 1666 के आसपास, I. न्यूटन ने फ्लक्स की विधि विकसित की (फ्लक्स कैलकुलस देखें)। न्यूटन ने, विशेष रूप से, यांत्रिकी की दो समस्याओं पर विचार किया: समय पर पथ की ज्ञात निर्भरता से गति की तात्कालिक गति को निर्धारित करने की समस्या, और ज्ञात तात्कालिक गति से निश्चित समय में तय किए गए पथ को निर्धारित करने की समस्या। न्यूटन ने समय धाराप्रवाह के निरंतर कार्यों और उनके परिवर्तन की दरों को उतार-चढ़ाव कहा है। इस प्रकार, न्यूटन की मुख्य अवधारणाएँ व्युत्पन्न (प्रवाह) और अनिश्चितकालीन अभिन्न (धाराप्रवाह) थीं। उन्होंने सीमा के सिद्धांत की मदद से प्रवाह की विधि को प्रमाणित करने का प्रयास किया, जो उस समय अविकसित था।

1670 के दशक के मध्य में, G. W. Leibniz ने डिफरेंशियल कैलकुलस के लिए सुविधाजनक एल्गोरिदम विकसित किए। लाइबनिज़ की मूल अवधारणाएँ एक फ़ंक्शन के एक असीम वृद्धि के रूप में अंतर और एक असीम रूप से बड़ी संख्या में अंतर के योग के रूप में निश्चित अभिन्न थे। उन्होंने डिफरेंशियल और इंटीग्रल के अंकन की शुरुआत की, शब्द "डिफरेंशियल कैलकुलस" ने भेदभाव के लिए कई नियम प्राप्त किए, और सुविधाजनक प्रतीकवाद का प्रस्ताव रखा। 17वीं शताब्दी में डिफरेंशियल कैलकुलस का और विकास मुख्य रूप से लाइबनिज द्वारा बताए गए पथ पर आगे बढ़ा; जे। और आई। बर्नौली, बी। टेलर और अन्य के कार्यों ने इस स्तर पर एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

डिफरेंशियल कैलकुलस के विकास में अगला चरण एल। यूलर और जे। लैग्रेंज (18 वीं शताब्दी) के कार्यों से जुड़ा है। यूलर ने सबसे पहले डिफरेंशियल कैलकुलस को एक विश्लेषणात्मक अनुशासन के रूप में प्रस्तुत करना शुरू किया, जो ज्यामिति और यांत्रिकी से स्वतंत्र था। उन्होंने फिर से व्युत्पन्न का उपयोग विभेदक कलन की मूल अवधारणा के रूप में किया। लैग्रेंज ने पावर सीरीज़ में फ़ंक्शंस के विस्तार का उपयोग करते हुए, बीजगणितीय रूप से अंतर कैलकुलस बनाने की कोशिश की; उन्होंने "व्युत्पन्न" शब्द और पदनाम y' और f'(x) की शुरुआत की। 19वीं शताब्दी की शुरुआत में, सीमा के सिद्धांत के आधार पर विभेदक कलन की पुष्टि करने की समस्या को मूल रूप से हल किया गया था, मुख्य रूप से ओ। कॉची, बी। बोलजानो और सी। गॉस के काम के लिए धन्यवाद। 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत में डिफरेंशियल कैलकुलस की मूल अवधारणाओं का गहन विश्लेषण सेट थ्योरी के विकास और वास्तविक चर के कार्यों के सिद्धांत से जुड़ा था।

लिट।: गणित का इतिहास: 3 खंडों में। एम।, 1970-1972; Rybnikov K. A. गणित का इतिहास। दूसरा संस्करण। एम।, 1974; गणितीय विश्लेषण का निकोल्स्की एस.एम. पाठ्यक्रम। छठा संस्करण। एम., 2001: ज़ोरिच वी.ए. गणितीय विश्लेषण: चौथे संस्करण के दूसरे भाग में। एम।, 2002; कुद्रियात्सेव एल.डी. गणितीय विश्लेषण का एक कोर्स: 3 खंडों में, 5 वां संस्करण। एम।, 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस का कोर्स: 3 खंडों में। 8 वां संस्करण। एम।, 2003-2006; इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी. गणितीय विश्लेषण के बुनियादी सिद्धांत। 7 वां संस्करण। एम।, 2004। भाग 1. 5 वां संस्करण। एम।, 2004। भाग 2; इलिन वी। ए।, सदोवनिची वी। ए।, सेंडोव बीएल। X. गणितीय विश्लेषण। तीसरा संस्करण। एम।, 2004। भाग 1. दूसरा संस्करण। एम।, 2004। भाग 2; इलिन वी.ए., कुर्किना एल.वी. उच्च गणित। दूसरा संस्करण। एम।, 2005।

छात्र को चाहिए:

जानना:

एक बिंदु पर एक समारोह की सीमा की परिभाषा;

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुण;

उल्लेखनीय सीमा सूत्र;

एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता का निर्धारण,

निरंतर कार्यों के गुण;

व्युत्पन्न की परिभाषा, इसका ज्यामितीय और भौतिक अर्थ; सारणीबद्ध व्युत्पन्न, विभेदन नियम;

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए एक नियम; किसी फ़ंक्शन के अंतर की परिभाषा, उसके गुण; डेरिवेटिव की परिभाषा और उच्च ऑर्डर के अंतर; कार्य चरम का निर्धारण, उत्तल कार्य, विभक्ति बिंदु, स्पर्शोन्मुख;

अनिश्चितकालीन समाकल की परिभाषा, इसके गुण, सारणीबद्ध समाकलन;

· चर के परिवर्तन के माध्यम से और अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र;

एक निश्चित समाकल की परिभाषा, उसके गुण, समाकलन का मूल सूत्र - न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र;

चर के परिवर्तन के माध्यम से और एक निश्चित अभिन्न के लिए भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र;

निश्चित समाकल का ज्यामितीय अर्थ, निश्चित समाकल का अनुप्रयोग।

करने में सक्षम हो:

अनुक्रमों और कार्यों की सीमा की गणना करें; अनिश्चितताओं का खुलासा;

जटिल कार्यों, डेरिवेटिव और उच्च आदेशों के अंतर के डेरिवेटिव की गणना करें;

कार्यों के चरम और विभक्ति बिंदु खोजें;

डेरिवेटिव की मदद से कार्यों का अध्ययन करना और उनके ग्राफ बनाना।

परिवर्तनीय और भागों के परिवर्तन की विधि द्वारा अनिश्चित और निश्चित अभिन्न की गणना करें;

· तर्कसंगत, अपरिमेय और कुछ त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करना, सार्वभौमिक प्रतिस्थापन लागू करना; समतल आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निश्चित समाकल लागू करें।

समारोह की सीमा। फ़ंक्शन सीमा गुण। एकतरफा सीमाएं। दो फलनों के योग, गुणनफल और भागफल की सीमा। निरंतर कार्य, उनके गुण। प्राथमिक और जटिल कार्यों की निरंतरता। उल्लेखनीय सीमाएं।

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा। बुनियादी प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न। समारोह की भिन्नता। फ़ंक्शन अंतर। एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न। विभेदन नियम: योग, उत्पाद और भागफल का व्युत्पन्न। उच्च आदेश के डेरिवेटिव और अंतर। अनिश्चितताओं का खुलासा। बढ़ते और घटते कार्य, बढ़ने और घटने की स्थिति। कार्यों का चरम, एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त। पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके एक्स्ट्रेमा ढूँढना। उत्तल कार्य। विवर्तन अंक। स्पर्शोन्मुख। पूर्ण कार्य अध्ययन।

अनिश्चितकालीन अभिन्न, इसके गुण। बुनियादी इंटीग्रल की तालिका। चर विधि का परिवर्तन। भागों द्वारा एकीकरण। तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण। कुछ अपरिमेय कार्यों का एकीकरण। सार्वभौमिक प्रतिस्थापन।

निश्चित अभिन्न, इसके गुण। अभिन्न कलन का मूल सूत्र। एक निश्चित अभिन्न में चर और भागों के परिवर्तन द्वारा एकीकरण। एक निश्चित अभिन्न के अनुप्रयोग।

नियंत्रण कार्यों के विकल्प

पूर्णकालिक छात्रों के लिए

गणित के संकाय

भाग 5

सेंट पीटर्सबर्ग

रूसी राज्य शैक्षणिक विश्वविद्यालय के गणितीय विश्लेषण विभाग और आरआईएस के निर्णय के अनुसार प्रकाशित। ए.आई. हर्ज़ेन

कार्यप्रणाली मैनुअल रूसी राज्य शैक्षणिक विश्वविद्यालय के गणित संकाय के 1-3 पाठ्यक्रमों के पूर्णकालिक छात्रों के लिए है। ए.आई. हर्ज़ेन।

गणितीय विश्लेषण के लिए कार्यक्रम के अनुसार, मैनुअल में "कई चर के कार्यों के विभेदक कलन", "एकाधिक अभिन्न और उनके अनुप्रयोग" विषयों पर घरेलू व्यक्तिगत परीक्षणों के लिए 28 अलग-अलग विकल्प शामिल हैं। नियंत्रण कार्य के विकल्पों से पहले, कुछ सैद्धांतिक जानकारी दी जाती है और उदाहरणों का विश्लेषण किया जाता है, जिसका समाधान उनके लिए पद्धति संबंधी निर्देशों के साथ होता है।

मैनुअल की सामग्री का उपयोग उच्च शिक्षण संस्थानों के प्राकृतिक विज्ञान संकायों में व्यावहारिक कक्षाएं, नियंत्रण और सत्यापन कार्य के संचालन के लिए किया जा सकता है।

वरिष्ठ व्याख्याता ओ.एस. कोर्साकोव,

पीएच.डी., सहायक के.जी. मेज़ेविच

समीक्षक: विभागाध्यक्ष गणित। विश्लेषण RGPU उन्हें। ए.आई. हर्ज़ेन,

बोखान के.ए., एगोरोवा आई.ए., लाशचेनोव के.वी. गणितीय विश्लेषण का कोर्स। एम.: ज्ञानोदय, 1972, वी.1,2।

विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि। गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम के लिए समस्या पुस्तक। - एम .: ज्ञानोदय, 1971। भाग 1,2।

कुज़नेत्सोव ए.ए. उच्च गणित में असाइनमेंट का संग्रह। मॉस्को: हायर स्कूल, 1983।

कुद्रियात्सेव एल.डी. गणितीय विश्लेषण का कोर्स। एम।: हायर स्कूल, 1988। टी। 1.2।

कुद्रियात्सेव एल.डी., कुतासोव ए.डी., चेखलोव वी.आई., शबुनिन एम.आई. गणितीय विश्लेषण में समस्याओं का संग्रह। कई चर के कार्य। एस.-पीबी, 1994।

पोवोलॉट्स्की ए.आई., लिखतर्निकोव एल.एम. मीट्रिक रिक्त स्थान। कई चर के कार्यों का विभेदक कलन। पाठ्यपुस्तक / एलजीपीआई आईएम। ए.आई. हर्ज़ेन।-एल।, 1985।

पोवोलॉट्स्की ए.आई., लिखतर्निकोव एल.एम. अनेक चरों और अवकल समीकरणों के फलनों का समाकलन कलन। पाठ्यपुस्तक / एलजीपीआई आईएम। ए.आई. हर्ज़ेन.-एल., 1986.

फिखतेंगोल्ट्स जी.एम. गणितीय विश्लेषण की मूल बातें। - एम .: नौका, 1968। खंड 1, 2.

कई चर के कार्य

कई चर के कार्य का डोमेन और ग्राफ

चलो हर बिंदु
संख्या मिलान
. फिर कहते हैं कि सेट पर डीपरिभाषित कई चर के संख्यात्मक कार्य
.

गुच्छा डीबुलाया परिभाषा का क्षेत्रकार्य, डॉट
-बहसकार्य।

हम आगे दो चरों के फलन पर विचार करेंगे
. ध्यान दें कि नीचे कहा गया सब कुछ फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है एनचर, जहां एन>2 .

सभी बिंदुओं का सेट
, जिसके लिए समारोह
, विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया, समझ में आता है, प्राकृतिक कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्रयह समारोह।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन स्कोप
मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 2 का एक खुला वृत्त है, जो असमानता द्वारा दिया गया है
.

अनुसूचीकार्यों
, कहाँ पे
, समुच्चय कहलाता है। यह अंतरिक्ष में कुछ सतह को परिभाषित करता है
.

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्राफ
,
, एक परवलयिक है।

उदाहरण 1फ़ंक्शन का डोमेन खोजें
.

समारोह विमान के उन बिंदुओं पर परिभाषित
, कहाँ पे
.

यह असमानता दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है:

और
.

असमानताओं की पहली प्रणाली परवलय पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होती है
या इसके ऊपर, और आधे तल में लेटे हुए
. यह सेट चित्र 1 में छायांकित है। दूसरी प्रणाली चित्र 1 में छायांकित सेट में स्थित बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट है। 2. इसलिए, इस फलन की परिभाषा का क्षेत्र पाया समुच्चयों का मिलन है, अर्थात्। सेट, जो अंजीर में छायांकित है। 3.

चावल। 1 अंजीर। 2 अंजीर। 3

स्तर रेखाकार्यों
, बिंदुओं का समुच्चय कहलाता है
, समीकरण को संतुष्ट करना
.

स्तर (या समतल सतह) कार्य एनचर, अगर एन>2.

उदाहरण 2फ़ंक्शन स्तर की रेखाएं खोजें
.

ध्यान दें कि फ़ंक्शन पूरे विमान पर परिभाषित किया गया है
.

समतल रेखाओं के निर्माण के लिए किसी के लिए यह आवश्यक है
एक विमान में बिंदुओं का एक सेट खोजें, निर्देशांक एक्स, आप जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं
. इसलिए, यदि
, तब
, और अगर
, तब
.

जाहिर सी बात है साथऋणात्मक नहीं हो सकता (इस मामले में हम कहते हैं कि साथ-कार्य स्तर पर सी<0 खाली सेट है)।

स्तर रेखा का पता लगाएं सी = 0:

इसी प्रकार, विभिन्न स्तरों के लिए समतल रेखाएँ पाई जाती हैं सी> 0.

अंजीर पर। 4 . के लिए स्तर रेखाएँ दिखाता है सी = 0, सी = 1और सी = 2.

समारोह सीमा

सेट (त्रिज्या का खुला वृत्त
एक बिंदु पर केंद्रित
) कहा जाता है -अड़ोस-पड़ोसअंक
. द्वारा
हम एक बिंदु के पंचर पड़ोस को निरूपित करेंगे
.

दूरसंचार विभाग
बुलाया सीमा बिंदुसेट
, यदि किसी का चौराहा -एक बिंदु का पड़ोस
और बहुत डीके अलावा कम से कम एक बिंदु शामिल है
, अर्थात। के लिए

.

ध्यान दें कि सीमा बिंदु सेट से संबंधित नहीं हो सकता है डी.

चलो समारोह
सेट पर परिभाषित डीऔर डॉट
- सीमा बिंदु डी.

संख्या लेकिनबुलाया कार्य सीमा
बिंदु पर
, यदि किसी पड़ोस के लिए
अंक लेकिन (
) मौजूद-पड़ोस
अंक
ऐसा है कि किसी भी बिंदु के लिए

समारोह मूल्य
पड़ोस में पड़ता है
.

इस प्रकार,

:

)

:

).

उदाहरण 3आइए साबित करें कि
.

ध्यान दें कि यह फ़ंक्शन बिंदु को छोड़कर पूरे विमान पर परिभाषित किया गया है (0,0 ) .

जहां तक कि
, फिर किसी के लिए
मौजूद
(अर्थात्
) ऐसा कि सभी बिंदुओं के लिए
, शर्त को संतुष्ट करना
, असमानता
.

समारोह
बुलाया एक बिंदु पर निरंतर
, अगर
.

समारोह कहा जाता है सेट पर लगातारडी, यदि यह समुच्चय के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है डी.

उदाहरण 4 1) समारोह
(0,0) पर निरंतर है क्योंकि
(उदाहरण 3 देखें)।

2) समारोह
बिंदु (0,0) पर एक असंततता है, क्योंकि

निजी डेरिवेटिव। समारोह अंतर:

चलो समारोह
बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित
. अगर सीमाएं हैं
और
, तो उन्हें कहा जाता है निजी डेरिवेटिवकार्यों
बिंदु पर
चर द्वारा एक्स और आपक्रमशः और निरूपित हैं
और
(या:
और
).

आंशिक व्युत्पन्न की गणना करने के लिए (या ) एक चर के एक फ़ंक्शन को दूसरे चर पर विचार करने के लिए प्रसिद्ध सूत्रों और नियमों का उपयोग करें आप (या एक्स) नियत मान।

उदाहरण 5आइए फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें
.

यदि आप गिनते हैं आप= स्थिरांक, तब - शक्ति समारोह एक्स, इसीलिए
.

यदि एक एक्स= स्थिरांक, तब - से घातीय कार्य आप, और इसलिए
.

समारोह
बुलाया एक बिंदु पर अवकलनीय
अगर संख्याएं हैं लेकिनऔर परइस तरह की वृद्धि

कार्यों एफबिंदु पर
रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

कहाँ पे
पर
.

कुल वेतन वृद्धि का मुख्य भाग
, के संबंध में रैखिक
और
, अर्थात।
, कहा जाता है पूर्ण अंतरकार्यों
बिंदु पर
और निरूपित
.

इस प्रकार,

.

परिभाषा के अनुसार, एक स्वतंत्र चर का अंतर इसकी वृद्धि है, अर्थात।
,
.

समारोह कहा जाता है सेट पर अलगडी, यदि यह समुच्चय के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है डी.

प्रमेय 1. यदि समारोह
एक बिंदु पर अवकलनीय
और

इस बिंदु पर इसका अंतर है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न हैं एफ, के अतिरिक्त,

=लेकिन,
=पर.

प्रमेय 1 फ़ंक्शन के अंतर की गणना करना संभव बनाता है एफसूत्र के अनुसार

+
.

प्रमेय 1 के अनुसार, यदि कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उस बिंदु पर फलन के आंशिक अवकलज होते हैं। उलटा सच नहीं है। एक फलन के अवकलनीय होने के लिए, एक बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्नों की उपस्थिति की तुलना में मजबूत परिस्थितियों की आवश्यकता होती है।

प्रमेय 2। यदि आंशिक व्युत्पन्न
और
कार्यों एफबिंदु के कुछ पड़ोस में मौजूद हैं
और निरंतर
, फिर समारोह एफ एक बिंदु पर अवकलनीय
.

उदाहरण 6आंशिक व्युत्पन्न और फ़ंक्शन के अंतर की गणना करें
बिंदु (1, 1/5) पर।

,

,

,
;

एक जटिल समारोह के आंशिक संजात

प्रमेय 3. कार्यों को करने दें
और
बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित कर रहे हैं
, और समारोह
बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित।

यदि समारोह एफ एक बिंदु पर अवकलनीय
, और बिंदु पर
डेरिवेटिव हैं
, फिर बिंदु पर
एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न है
, और

,
.

उदाहरण 7आइए एक जटिल फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें
, कहाँ पे,।

उदाहरण 8आइए एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
, कहाँ पे
,
. इस उदाहरण में, फ़ंक्शन एक्स और आप एक चर पर निर्भर टी, इतना जटिल कार्य
एक चर का एक कार्य है।

उदाहरण 9रहने दो एफ(तुम) एक मनमाना अवकलनीय कार्य है। आइए हम सिद्ध करें कि फलन
समीकरण को संतुष्ट करता है
. चलो रखो
.

इसलिये,

आंशिक संजात और अंतर

उच्च आदेश

चलो समारोह
बिंदु के आसपास
आंशिक व्युत्पन्न है .

किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न चर द्वारा एक्स बुलाया आंशिक व्युत्पन्न द्वितीय आदेशचर द्वारा एक्सऔर निरूपित या
.

आंशिक व्युत्पन्न चर द्वारा आपबुलाया आंशिक व्युत्पन्न द्वितीय आदेशचर द्वारा एक्सऔर आपऔर निरूपित या
.

दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव को इसी तरह परिभाषित किया गया है और (
और
) कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न के रूप में .

संजात और बुलाया मिश्रित आंशिक डेरिवेटिव।

प्रमेय 4. चलो समारोह
इसके आंशिक डेरिवेटिव के साथ परिभाषित किया गया है ,,
,
बिंदु के किसी मोहल्ले में

और
इस बिंदु पर निरंतर। फिर इस बिंदु पर मिश्रित डेरिवेटिव के मूल्य बराबर हैं, अर्थात।

=

.

दूसरे क्रम के डेरिवेटिव के आंशिक डेरिवेटिव को तीसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव कहा जाता है:
आदि।

आदेश के आंशिक व्युत्पन्न के आंशिक व्युत्पन्न (किसी भी स्वतंत्र चर के संबंध में) एम-1 आदेश का आंशिक व्युत्पन्न कहा जाता है एम.

प्रमेय 4 तीसरे, चौथे और उच्चतर ऑर्डर के मिश्रित डेरिवेटिव के लिए भी मान्य है। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन
बिंदु के कुछ पड़ोस में समावेशी क्रम 3 तक इसके आंशिक डेरिवेटिव के साथ परिभाषित किया गया है
, और मिश्रित डेरिवेटिव
,
और
इस बिंदु पर निरंतर हैं, तो इस बिंदु पर मिश्रित डेरिवेटिव के मूल्य हैं:

=

=

.

दूसरा क्रम अंतरदो चरों के फलनों को प्रथम कोटि के अवकलन का अवकल कहते हैं।

यदि समारोह
बिंदु के कुछ पड़ोस में दो बार लगातार भिन्न होता है
(अर्थात फ़ंक्शन के निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं एफ दूसरे क्रम तक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में शामिल हैं
), तब

उदाहरण 10आइए हम दो बार लगातार अवकलनीय जटिल फलन का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करें
, कहाँ पे
,
.

,
.

=
,

इसी तरह हम गणना करते हैं

दिशात्मक व्युत्पन्न। ग्रेडियेंट

रहने दो मैं - इकाई वेक्टर in
निर्देशांक के साथ
.

व्युत्पन्न कार्य
की ओर वेक्टर मैं बिंदु पर
बुलाया ।

दिशात्मक व्युत्पन्न निरूपित है

.

ढालकार्यों एफ बिंदु पर
एक वेक्टर है जिसके निर्देशांक किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न होते हैं:

ग्रैड एफ
= (
,
) =
मैं +
जे.

यह दिखाना आसान है कि दिशात्मक व्युत्पन्न मैंग्रेडिएंट वेक्टर और वेक्टर के अदिश उत्पाद के बराबर है मैं:

=

+

=
,

जहाँ सदिशों के बीच का कोण है ग्रैड एफ
और मैं.

यह अंतिम सूत्र से निम्नानुसार है कि वेक्टर की दिशा के संबंध में व्युत्पन्न ग्रैड एफ
विभिन्न दिशाओं में डेरिवेटिव के बीच सबसे बड़ा मूल्य है और यह ग्रेडिएंट वेक्टर के मापांक के बराबर है।

उदाहरण 11.आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
बिंदु पर एम(1, 0) वेक्टर की दिशा में एम.एन., कहाँ पे एन (5, 3) .

वेक्टर एम.एन. निर्देशांक हैं (4, 3),
. तो इकाई वेक्टर मैंनिर्देशांक हैं (4/5, 3/5)। एक बिंदु पर आंशिक डेरिवेटिव की गणना करें एम:
,
. फिर
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

उदाहरण 12.आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
उस बिंदु पर ढाल वेक्टर की दिशा में बिंदु (2,3) पर।

आइए आंशिक डेरिवेटिव की गणना करें:

,
.

एक बिंदु पर ग्रेडिएंट वेक्टर की दिशा में व्युत्पन्न वेक्टर के मापांक के बराबर होता है ग्रैड एफ. इसलिये,

स्पर्शरेखा तल और सतह पर सामान्य

एक बिंदु पर अवकलनीय के लिए
कार्यों
निम्नलिखित संबंध सही है:

कहाँ पे
,
(यह प्रथम-क्रम अंतर की परिभाषा से निम्नानुसार है)। कठिनाइयाँ लेकिनऔर परस्पष्ट रूप से परिभाषित:
=लेकिन,
=पर.

समीकरण

बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण है
. इस विमान को कहा जाता है स्पर्शरेखा विमानसमारोह के ग्राफ के लिए
बिंदु पर
.

इस प्रकार, फलन के ग्राफ का स्पर्शरेखा तल
एक बिंदु पर ऐसा तल होता है कि इसके अनुप्रयोग और फलन के मान के बीच का अंतर होता है
इस बिंदु पर एक मात्रा है जो की तुलना में अपरिमित है  पर   0 .

फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए सामान्य का समीकरण
बिंदु पर
रूप है

यदि एक चिकनी सतह का समीकरण परोक्ष रूप से दिया जाता है
, तो बिंदु पर स्पर्शरेखा विमान का समीकरण
रूप है

और इस बिंदु पर सामान्य का समीकरण है:

उदाहरण 13आइए स्पर्शरेखा तल और सतह के अभिलंब का समीकरण लिखें
बिंदु पर (-2, 1, 4)।

,
. स्पर्शरेखा समतल समीकरण का रूप है: or
.

सामान्य समीकरण: .

कई चर के चरम कार्य

दूरसंचार विभाग
एक बिंदु कहा जाता है स्थानीय अधिकतम (स्थानीय न्यूनतम) कार्य
,
अगर बिंदु का पड़ोस है
, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनमें असमानता है

(
).

किसी फ़ंक्शन के स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम के बिंदु कहलाते हैं स्थानीय चरम बिंदु.

उदाहरण के लिए, बिंदु (0,0) फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है
.

प्रमेय 5 (चरम के लिए आवश्यक शर्त) यदि समारोह
बिंदु पर है
स्थानीय चरम सीमा और इस बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्न हैं एफ, तब

=0 और
=0.

दूरसंचार विभाग
बुलाया स्थिर बिंदुकार्यों एफ, अगर
=0 और
=0.

प्रमेय 6 (एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति) चलो समारोह
स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में दो बार लगातार भिन्न होता है
.

निरूपित करें =

- (

) 2. फिर

1) अगर > 0, फिर बिंदु पर
समारोह एफ एक स्थानीय चरम है: अधिकतम at

> 0 और न्यूनतम पर

< 0;

2) अगर < 0, फिर बिंदु पर
समारोह एफकोई चरम नहीं है;

3) अगर = 0, फिर बिंदु पर
समारोह एफ स्थानीय चरम सीमा हो भी सकती है और नहीं भी (इस मामले में, अतिरिक्त अध्ययन की आवश्यकता है)।

उदाहरण 14हम एक चरम के लिए समारोह की जांच करते हैं

ध्यान दें कि फ़ंक्शन तुम पूरे तल पर परिभाषित और भिन्न है।
,
. आंशिक व्युत्पन्न को शून्य से जोड़कर और परिणामी प्रणाली को हल करते हुए, हम फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु पाते हैं: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2)।

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
इसलिए, बिंदु (1, 2) पर फलन का न्यूनतम मान है, तुम(1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, इसलिए, बिंदु (-1, -2) पर फलन का अधिकतम मान होता है, तुम(-1, -2) = 31.

सबसे बड़ा और न्यूनतम कार्य मूल्य

चलो समारोह
एक बंधे हुए बंद सेट पर निरंतर है डी.

याद रखें कि सेट
बुलाया सीमितअगर ऐसा पड़ोस मौजूद है यू (0,0) जो
यू (0.0); गुच्छा
बुलाया बंद किया हुआअगर इसमें इसके सभी सीमा बिंदु शामिल हैं।

Weierstrass प्रमेय द्वारा, ऐसे बिंदु हैं
और
, क्या
सेट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है डी, ए
- सेट पर इसका सबसे छोटा मान डी.

एक फलन जो एक परिबद्ध क्षेत्र में अवकलनीय है और उसकी सीमा पर निरंतर है, अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुँचता है या तो स्थिर बिंदुओं पर या सीमा बिंदुओं पर डी.

उदाहरण 15सेट पर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें डी, सीधी रेखाओं से घिरा
,
,
.

आप(2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - स्थिर

कार्य बिंदु तुम (उदाहरण 14 देखें), लेकिन (-2,-1),

(-1,-2) संबंधित नहीं है डी.

तुम (2, 1) = -23, तुम (1, 2) = -25.

डी आइए फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करें तुमपर

एक्ससीमा निर्धारित करें डी.

चावल। 5
. यह एक चर का एक कार्य है,

जो बिंदु पर सबसे छोटा मान लेता है
, और बिंदु पर सबसे बड़ा मूल्य
:तुम (4,0) = -45, तुम (0,0)= 3;

2)
,
. इस खंड पर
. किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों को खोजने के लिए, हम इसके मूल्यों की गणना स्थिर बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर करते हैं:
;
, लेकिन
, इसलिए हम गणना करते हैं तुम (0,0) = 3, तुम (0,
)= =
, तुम (0,4) = 7. सबसे बड़ा मान बिंदु (0.4) पर है, और सबसे छोटा मान बिंदु (0,) पर है।
);

3)
,
. यहां

हम स्थिर बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं: ;; तुम (0,4)= 7, तुम (3/2, 5/2) = -20, तुम (5/2,3/2)= -18, तुम (4.0)= -45. सीमा के इस खंड पर, बिंदु (0.4) पर फ़ंक्शन का मान सबसे बड़ा है, और सबसे छोटा - बिंदु (4.0) पर है।

सीमा के विभिन्न वर्गों पर और स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों से अंक 1)-3) में प्राप्त फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों से, हम सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करते हैं। उच्चतम मूल्य: तुम (0.4) = 7, सबसे छोटा मान: तुम (4,0)= -45.

एक प्रणाली के रूप में नया कलन पूरी तरह से न्यूटन द्वारा बनाया गया था, जिन्होंने हालांकि, अपनी खोजों को लंबे समय तक प्रकाशित नहीं किया था।

डिफरेंशियल कैलकुलस के जन्म की आधिकारिक तारीख मई मानी जा सकती है, जब लाइबनिज ने पहला लेख प्रकाशित किया था "ऊंचाइयों और चढ़ावों का एक नया तरीका...". इस लेख में, संक्षिप्त और दुर्गम रूप में, डिफरेंशियल कैलकुलस नामक एक नई विधि के सिद्धांतों को रेखांकित किया गया है।

लाइबनिज और उनके छात्र

इन परिभाषाओं को अंजीर के साथ ज्यामितीय रूप से समझाया गया है। अनंतिम वृद्धि को परिमित के रूप में दर्शाया गया है। विचार दो आवश्यकताओं (स्वयंसिद्ध) पर आधारित है। प्रथम:

यह आवश्यक है कि दो मात्राएँ, जो एक दूसरे से केवल एक अतिसूक्ष्म राशि से भिन्न हों, [व्यंजकों को सरल करते समय?] उदासीन रूप से एक के बजाय एक ली जा सकती हैं।

इसलिए यह पता चला है एक्स + डीएक्स = एक्स , आगे

डीएक्सआप = (एक्स + डीएक्स)(आप + डीआप) − एक्सआप = एक्सडीआप + आपडीएक्स + डीएक्सडीआप = (एक्स + डीएक्स)डीआप + आपडीएक्स = एक्सडीआप + आपडीएक्स

ऐसी प्रत्येक रेखा की निरंतरता वक्र की स्पर्श रेखा कहलाती है। एक बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा की खोज एम = (एक्स,आप) , L'Hopital मात्रा को बहुत महत्व देता है

वक्र के विभक्ति बिंदुओं पर चरम मूल्यों तक पहुंचना, जबकि अनुपात डीआपको डीएक्सकोई विशेष महत्व नहीं जुड़ा है।

चरम बिंदु ढूँढना उल्लेखनीय है। यदि व्यास में निरंतर वृद्धि के साथ एक्सतालमेल आपपहले बढ़ता है फिर घटता है, फिर अंतर डीआपकी तुलना में शुरू में सकारात्मक डीएक्सऔर फिर नकारात्मक।

लेकिन कोई भी लगातार बढ़ती या घटती मात्रा अनंत या शून्य से गुजरे बिना धनात्मक से ऋणात्मक में नहीं बदल सकती ... यह इस प्रकार है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे परिमाण का अंतर शून्य या अनंत के बराबर होना चाहिए।

यदि हम पहली आवश्यकता को याद करते हैं, तो यह सूत्रीकरण शायद निर्दोष नहीं है: मान लीजिए, आप = एक्स 2 , फिर पहली आवश्यकता के आधार पर

2एक्सडीएक्स + डीएक्स 2 = 2एक्सडीएक्स ;

शून्य पर, दाईं ओर शून्य है, लेकिन बाईं ओर नहीं है। जाहिर तौर पर यह कहा जाना चाहिए था कि डीआपपहली आवश्यकता के अनुसार रूपांतरित किया जा सकता है ताकि अधिकतम बिंदु पर डीआप= 0। . उदाहरणों में, सब कुछ स्वतः स्पष्ट है, और केवल विभक्ति बिंदुओं के सिद्धांत में लोपिटल लिखते हैं कि डीआपसे विभाजित होने पर अधिकतम बिंदु पर शून्य के बराबर होता है डीएक्स .

इसके अलावा, अकेले अंतर की मदद से, एक चरम के लिए स्थितियां तैयार की जाती हैं और बड़ी संख्या में जटिल समस्याओं पर विचार किया जाता है, जो मुख्य रूप से विमान पर अंतर ज्यामिति से संबंधित होती हैं। पुस्तक के अंत में, चौ. 10, जिसे अब ल'होपिटल का नियम कहा जाता है, कहा गया है, हालांकि यह अपने सामान्य रूप में नहीं है। आज्ञा देना का मान आपवक्र को एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अंश और हर गायब हो जाता है एक्स = ए. फिर वक्र का बिंदु एक्स = एएक निर्देशांक है आप, अंश के अंतर और हर के अंतर के अनुपात के बराबर, पर लिया गया एक्स = ए .

L'Hopital के विचार के अनुसार, उन्होंने जो लिखा वह विश्लेषण का पहला भाग था, जबकि दूसरे में इंटीग्रल कैलकुलस होना चाहिए था, जो कि उनके अंतरों के ज्ञात कनेक्शन द्वारा चर के कनेक्शन को खोजने की एक विधि है। इसकी पहली व्याख्या जोहान बर्नौली ने अपने में दिया है अभिन्न विधि पर गणितीय व्याख्यान. यहाँ, अधिकांश प्राथमिक समाकलों को लेने की एक विधि दी गई है और अनेक प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों का संकेत दिया गया है।

यूलर

अगली आधी शताब्दी में हुए परिवर्तन यूलर के व्यापक ग्रंथ में परिलक्षित होते हैं। विश्लेषण की प्रस्तुति दो-खंड "परिचय" खोलती है, जिसमें प्राथमिक कार्यों के विभिन्न अभ्यावेदन पर शोध होता है। शब्द "फ़ंक्शन" पहले केवल लाइबनिज़ में प्रकट होता है, लेकिन यह यूलर था जिसने इसे पहली भूमिकाओं के लिए आगे रखा। एक फ़ंक्शन की अवधारणा की मूल व्याख्या यह थी कि एक फ़ंक्शन एक गिनती के लिए एक अभिव्यक्ति है (जर्मन। रेचनुंगसॉसड्रेक) या विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति.

एक परिवर्तनीय मात्रा का कार्य एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है जो इस परिवर्तनीय मात्रा और संख्याओं या स्थिर मात्राओं के किसी भी तरह से बना है।

इस बात पर जोर देते हुए कि "कार्यों के बीच मुख्य अंतर यह है कि वे चर और स्थिरांक से बने होते हैं," यूलर क्रियाओं की गणना करता है "जिसके द्वारा मात्राओं को एक दूसरे के साथ जोड़ा और मिश्रित किया जा सकता है; ये क्रियाएं हैं: जोड़ और घटाव, गुणा और भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण; [बीजगणित] समीकरणों के हल को भी यहाँ शामिल किया जाना चाहिए। इन संक्रियाओं के अलावा, जिन्हें बीजगणित कहा जाता है, कई अन्य हैं, पारलौकिक, जैसे कि घातीय, लघुगणक और अनगिनत अन्य, जो अभिन्न कलन द्वारा वितरित किए जाते हैं। इस तरह की व्याख्या ने बहु-मूल्यवान कार्यों से आसानी से निपटना संभव बना दिया और इस बात की व्याख्या की आवश्यकता नहीं थी कि फ़ंक्शन को किस क्षेत्र में माना जाता है: गणना के लिए अभिव्यक्ति को चर के जटिल मूल्यों के लिए परिभाषित किया जाता है, भले ही यह न हो विचाराधीन समस्या के लिए आवश्यक है।

एक अभिव्यक्ति में संचालन की अनुमति केवल एक सीमित संख्या में दी गई थी, और ट्रान्सेंडेंट ने एक असीम रूप से बड़ी संख्या की मदद से प्रवेश किया। व्यंजकों में इस संख्या का प्रयोग प्राकृत संख्याओं के साथ किया जाता है। उदाहरण के लिए, घातांक के लिए ऐसा व्यंजक मान्य माना जाता है

जिसमें केवल बाद के लेखकों ने संक्रमण को सीमा तक देखा। विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के साथ विभिन्न परिवर्तन किए गए, जिसने यूलर को श्रृंखला, अनंत उत्पादों आदि के रूप में प्राथमिक कार्यों के लिए प्रतिनिधित्व खोजने की अनुमति दी। यूलर गणना के लिए अभिव्यक्तियों को उसी तरह बदल देता है जैसे वे बीजगणित में करते हैं, की संभावना पर ध्यान नहीं देते हैं लिखित सूत्रों से प्रत्येक के लिए एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करना।

L'Hôpital के विपरीत, Euler ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शंस पर विस्तार से विचार करता है, और विशेष रूप से उनके दो सबसे अधिक अध्ययन किए गए वर्ग - घातीय और त्रिकोणमितीय। उन्होंने पाया कि सभी प्राथमिक कार्यों को अंकगणितीय संक्रियाओं और दो संक्रियाओं का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है - लघुगणक और घातांक लेना।

सबूत का बहुत ही कोर्स असीम रूप से बड़े का उपयोग करने की तकनीक को पूरी तरह से प्रदर्शित करता है। त्रिकोणमितीय सर्कल का उपयोग करके साइन और कोसाइन निर्धारित करने के बाद, यूलर अतिरिक्त सूत्रों से निम्नलिखित घटाता है:

मान लेना और जेड = एनएक्स , उसे मिल जाता है

एक उच्च क्रम के असीम मूल्यों को त्यागना। इसका और इसी प्रकार के व्यंजक का प्रयोग करते हुए, यूलर भी अपना प्रसिद्ध सूत्र प्राप्त करता है

कार्यों के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियों को इंगित करने के बाद, जिन्हें अब प्राथमिक कहा जाता है, यूलर हाथ की मुक्त गति द्वारा खींचे गए विमान में वक्रों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ता है। उनकी राय में, ऐसे प्रत्येक वक्र के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजना संभव नहीं है (स्ट्रिंग विवाद भी देखें)। 19वीं शताब्दी में, कासोराती के सुझाव पर, इस कथन को गलत माना गया: वीयरस्ट्रैस प्रमेय के अनुसार, आधुनिक अर्थों में किसी भी निरंतर वक्र को बहुपदों द्वारा लगभग वर्णित किया जा सकता है। वास्तव में, यूलर शायद ही इससे सहमत थे, क्योंकि सीमा तक जाने वाले मार्ग को भी प्रतीक का उपयोग करके फिर से लिखा जाना चाहिए।

डिफरेंशियल कैलकुलस की यूलर की प्रस्तुति परिमित अंतर के सिद्धांत से शुरू होती है, इसके बाद तीसरे अध्याय में एक दार्शनिक व्याख्या है कि "एक असीम मात्रा बिल्कुल शून्य है", जो कि ज्यादातर यूलर के समकालीनों के अनुरूप नहीं थी। फिर, अंतर एक अनंत वृद्धि के साथ परिमित अंतर से और न्यूटन के प्रक्षेप सूत्र, टेलर के सूत्र से बनते हैं। यह विधि अनिवार्य रूप से टेलर (1715) के काम पर वापस जाती है। इस मामले में, यूलर का एक स्थिर अनुपात होता है, जिसे, हालांकि, दो अनंतिमों के अनुपात के रूप में माना जाता है। अंतिम अध्याय श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना के लिए समर्पित हैं।

तीन-खंड अभिन्न कलन में, यूलर निम्नानुसार एक अभिन्न की अवधारणा की व्याख्या और परिचय देता है:

वह फलन जिसका अवकलन = एक्सडीएक्स, को इसका समाकलन कहा जाता है और इसे चिह्न द्वारा निरूपित किया जाता है एससामने रखा।

कुल मिलाकर, यूलर के ग्रंथ का यह भाग आधुनिक दृष्टिकोण से अवकल समीकरणों को एकीकृत करने की अधिक सामान्य समस्या के लिए समर्पित है। ऐसा करने में, यूलर कई इंटीग्रल और डिफरेंशियल इक्वेशन ढूंढता है जो नए कार्यों को जन्म देता है, जैसे, -फ़ंक्शंस, अण्डाकार फ़ंक्शंस, आदि। उनकी गैर-प्राथमिकता का एक कठोर प्रमाण 1830 के दशक में जैकोबी द्वारा अण्डाकार कार्यों के लिए दिया गया था और इसके द्वारा लिउविल (cf. प्राथमिक कार्य)।

लग्रेंज

विश्लेषण की अवधारणा के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाने वाला अगला प्रमुख कार्य था: विश्लेषणात्मक कार्यों का सिद्धांतलैग्रेंज और लैक्रोइक्स द्वारा कुछ उदार तरीके से किए गए लैग्रेंज के काम की व्यापक रीटेलिंग।

इनफिनिटिमल से पूरी तरह छुटकारा पाने की इच्छा रखते हुए, लैग्रेंज ने डेरिवेटिव और टेलर श्रृंखला के बीच संबंध को उलट दिया। एक विश्लेषणात्मक कार्य द्वारा, लैग्रेंज ने विश्लेषण के तरीकों द्वारा जांचे गए एक मनमाना कार्य को समझा। उन्होंने फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया एफ(एक्स) , निर्भरता को लिखने का एक ग्राफिकल तरीका देते हुए - पहले, यूलर केवल चर के साथ प्रबंधित होता था। विश्लेषण के तरीकों को लागू करने के लिए, लैग्रेंज के अनुसार, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन एक श्रृंखला में फैलता है

जिसके गुणांक नए फलन होंगे एक्स. नाम बाकी है पीव्युत्पन्न (अंतर गुणांक) और इसे के रूप में निरूपित करें एफ"(एक्स) . इस प्रकार, एक व्युत्पन्न की अवधारणा को ग्रंथ के दूसरे पृष्ठ पर और बिना अन्तराल की सहायता के पेश किया गया है। यह ध्यान रखना बाकी है कि

तो गुणांक क्यूव्युत्पन्न का दोहरा व्युत्पन्न है एफ(एक्स) , अर्थात

आदि।

व्युत्पन्न की अवधारणा की व्याख्या के लिए यह दृष्टिकोण आधुनिक बीजगणित में उपयोग किया जाता है और विश्लेषणात्मक कार्यों के वीयरस्ट्रैस सिद्धांत के निर्माण के आधार के रूप में कार्य करता है।

लैग्रेंज ने औपचारिक रूप से इस तरह की श्रृंखला पर काम किया और कई उल्लेखनीय प्रमेय प्राप्त किए। विशेष रूप से, पहली बार और काफी सख्ती से उन्होंने औपचारिक शक्ति श्रृंखला में साधारण अंतर समीकरणों के लिए प्रारंभिक समस्या की हल करने की क्षमता साबित की।

टेलर श्रृंखला के आंशिक योग द्वारा आपूर्ति किए गए अनुमानों की सटीकता का अनुमान लगाने का प्रश्न सबसे पहले लैग्रेंज द्वारा प्रस्तुत किया गया था: अंत में विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांतउन्होंने व्युत्पन्न किया जिसे अब टेलर का लैग्रेंज शेष सूत्र कहा जाता है। हालांकि, आधुनिक लेखकों के विपरीत, लैग्रेंज ने टेलर श्रृंखला के अभिसरण को सही ठहराने के लिए इस परिणाम का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं देखी।

यह सवाल कि क्या विश्लेषण में इस्तेमाल किए जाने वाले कार्यों को वास्तव में एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, बाद में चर्चा का विषय बन गया। बेशक, लैग्रेंज जानता था कि कुछ बिंदुओं पर प्राथमिक कार्यों का विस्तार एक शक्ति श्रृंखला में नहीं हो सकता है, लेकिन इन बिंदुओं पर वे किसी भी तरह से भिन्न नहीं होते हैं। अपने में कोशी बीजीय विश्लेषणएक प्रतिरूप के रूप में दिया गया फ़ंक्शन

शून्य से बढ़ाकर शून्य कर दिया गया है। यह फ़ंक्शन वास्तविक अक्ष पर हर जगह सुचारू है और शून्य पर मैकलॉरिन श्रृंखला शून्य है, इसलिए, मान में अभिसरण नहीं होता है एफ(एक्स) . इस उदाहरण के खिलाफ, पॉइसन ने आपत्ति जताई कि लैग्रेंज ने एक फ़ंक्शन को एकल विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में परिभाषित किया, जबकि कॉची के उदाहरण में फ़ंक्शन को शून्य और पर अलग-अलग तरीके से दिया गया है। 19वीं शताब्दी के अंत में ही प्रिंग्सहैम ने साबित किया कि एक एकल अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया एक असीम रूप से भिन्न कार्य मौजूद है जिसके लिए मैकलॉरिन श्रृंखला अलग हो जाती है। ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण अभिव्यक्ति प्रदान करता है

आगामी विकाश

ग्रन्थसूची

शैक्षिक साहित्य

मानक पाठ्यपुस्तकें

कई वर्षों से, निम्नलिखित पाठ्यपुस्तकें रूस में लोकप्रिय हैं:

कुद्रियात्सेव, एल.डी. , गणितीय विश्लेषण का कोर्स (तीन खंडों में)।

टी। 1. एक चर के कार्यों के विभेदक और अभिन्न कलन। टी। 2. पंक्तियाँ। कई चर के कार्यों का अंतर और अभिन्न कलन। वी। 3. हार्मोनिक विश्लेषण। कार्यात्मक विश्लेषण के तत्व। पाठ्यपुस्तक में गुणात्मक और विश्लेषणात्मक तरीकों की प्रस्तुति पर विशेष ध्यान दिया जाता है; यह विश्लेषण के कुछ ज्यामितीय अनुप्रयोगों को भी दर्शाता है। यह विश्वविद्यालयों और भौतिक और गणितीय, और तकनीकी विश्वविद्यालयों की इंजीनियरिंग और भौतिक विशिष्टताओं के साथ-साथ गहन गणितीय प्रशिक्षण के लिए अन्य विशिष्टताओं के छात्रों के लिए अभिप्रेत है।

कौरंट, आर. (दो खंडों में)। पाठ्यक्रम की मुख्य पद्धतिगत खोज: पहले, मुख्य विचारों को सरलता से कहा जाता है, और फिर उन्हें कठोर प्रमाण दिए जाते हैं। कौरेंट द्वारा लिखित जब वह 1920 के दशक में क्लेन के विचारों के प्रभाव में गौटिंगेन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर थे, फिर 1930 के दशक में अमेरिकी धरती पर स्थानांतरित हो गए। 1934 का रूसी अनुवाद और इसका पुनर्मुद्रण जर्मन संस्करण के अनुसार पाठ देता है, 1960 के दशक का अनुवाद (तथाकथित चौथा संस्करण) पाठ्यपुस्तक के जर्मन और अमेरिकी संस्करणों से एक संकलन है और इसलिए बहुत ही क्रियात्मक है।
फिख्तेंगोल्ट्स, ग्रिगोरी मिखाइलोविच। अंतर और अभिन्न कलन में पाठ्यक्रम(तीन खंडों में) // Mat. EqWorld पर विश्लेषण एक बहुत अच्छा लेकिन थोड़ा पुराने जमाने का ट्यूटोरियल है।

और समस्या पुस्तक

डेमिडोविच, बी.पी., गणितीय विश्लेषण में समस्याओं और अभ्यासों का संग्रह// चटाई। EqWorld . पर विश्लेषण

एंटी-डेमिडोविच की भूमिका का दावा करने वाले कई प्रकाशन हैं:

Lyashko I. I. और अन्य। उच्च गणित के लिए संदर्भ पुस्तिका. वी. 1-5

विश्लेषण के लिए अधिकांश विश्वविद्यालयों के अपने दिशानिर्देश हैं:

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, मेखमत:

आर्किपोव जी.आई., सदोवनिची वी.ए., चुबारिकोव वी.एन.गणित पर व्याख्यान। विश्लेषण।
ज़ोरिच वी.ए.गणितीय विश्लेषण। भाग आई. एम.: नौका, 1981. 544 पी।
ज़ोरिच वी.ए.गणितीय विश्लेषण। भाग द्वितीय। एम.: नौका, 1984। 640 पी।

इलिन वी। ए।, सदोवनिची वी। ए।, सेंडोव बीएल। एक्स।गणितीय विश्लेषण (दो भागों में)

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, भौतिकी के संकाय:

इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी.पथरी के मूल सिद्धांत (दो भागों में) // http://lib.homelinux.org।
बुटुज़ोव वी.एफ. और अन्य।चटाई। प्रश्नों और समस्याओं में विश्लेषण // http://lib.homelinux.org।

एमएसटीयू।

तकनीकी विश्वविद्यालय में गणित 21 खंडों में शिक्षण सहायक सामग्री का संग्रह।

एनएसयू, मेखमत:

रेशेतन्याक यू. जी.गणितीय विश्लेषण का कोर्स। भाग I. पुस्तक 1. गणितीय विश्लेषण का परिचय। एक चर के कार्यों का विभेदक कलन। नोवोसिबिर्स्क: गणित संस्थान का पब्लिशिंग हाउस, 1999. 454 पी. आईएसबीएन 5-86134-066-8।
रेशेतन्याक यू. जी.गणितीय विश्लेषण का कोर्स। भाग I। पुस्तक 2. एक चर के कार्यों का अभिन्न कलन। कई चर के कार्यों का विभेदक कलन। नोवोसिबिर्स्क: गणित संस्थान का पब्लिशिंग हाउस, 1999. 512 पी. आईएसबीएन 5-86134-067-6।
रेशेतन्याक यू. जी.गणितीय विश्लेषण का कोर्स। भाग द्वितीय। पुस्तक 1. बहुआयामी रिक्त स्थान में सहज विश्लेषण के मूल तत्व। पंक्ति सिद्धांत। नोवोसिबिर्स्क: गणित संस्थान का पब्लिशिंग हाउस, 2000. 440 पी. आईएसबीएन 5-86134-086-2।
रेशेतन्याक यू. जी.गणितीय विश्लेषण का कोर्स। भाग द्वितीय। पुस्तक 2. अनेक चरों के फलनों का समाकलन। कई गुना पर इंटीग्रल कैलकुलस। बाहरी विभेदक रूप। नोवोसिबिर्स्क: गणित संस्थान का पब्लिशिंग हाउस, 2001. 444 पी. आईएसबीएन 5-86134-089-7।
श्वेदोव आई.ए.गणितीय विश्लेषण का संक्षिप्त पाठ्यक्रम, भाग 1। एक चर के कार्य, भाग 2। कई चरों के कार्यों का विभेदक कलन।

फ़िज़टेक, मॉस्को

Kudryavtsev L. D. गणितीय विश्लेषण का पाठ्यक्रम (तीन खंडों में)

उन्नत पाठ्यपुस्तकें

ट्यूटोरियल:

रुडिन डब्ल्यू.गणितीय विश्लेषण की मूल बातें। एम।, 1976 - एक छोटी सी किताब, जो बहुत स्पष्ट और संक्षिप्त रूप से लिखी गई है।

बढ़ी हुई जटिलता के कार्य:

जी. पोलिया, जी. सेगे,विश्लेषण से समस्याएं और प्रमेय। भाग 1, भाग 2, 1978
पास्कल, ई.(नपोली)। एसेरसीज़ी, 1895; दूसरा संस्करण, 1909 // इंटरनेट आर्काइव

सन्दर्भ पुसतक

शास्त्रीय कार्य

लोपिटल। इनफिनिटिमल्स का विश्लेषण // Math. EqWorld . पर विश्लेषण
बर्नुली, जोहान। इस्ट इंटीग्रलरेचननुग मरो।लीपज़िग-बर्लिन, 1914।
यूलर। विश्लेषण का परिचय, डिफरेंशियल कैलकुलस, इंटीग्रल कैलकुलस // मैट। EqWorld पर विश्लेषण (त्रुटि के साथ सहेजा गया विश्लेषण का परिचय का खंड 2)
कौची। डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस पर पाठों का सारांश // मैट। EqWorld . पर विश्लेषण
आंधी। विश्लेषण पाठ्यक्रम। T.1,2 - 1830 के पेरिस पॉलिटेक्निक स्कूल का शास्त्रीय पाठ्यक्रम।
गुरसा ई. कोर्स मैट। विश्लेषण। टी। 1.1, 1.2 // गणित। EqWorld . पर विश्लेषण