यांत्रिकी।

प्रश्न 1

संदर्भ प्रणाली। जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली। गैलीलियो-आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत।

संदर्भ प्रणाली- यह निकायों का एक समूह है जिसके संबंध में किसी दिए गए शरीर की गति और उससे जुड़ी समन्वय प्रणाली का वर्णन किया गया है।

जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईएसओ)- एक प्रणाली जिसमें एक स्वतंत्र रूप से गतिमान पिंड आराम या एकसमान सीधा गति में है।

गैलीलियो-आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत- किसी भी जड़त्वीय संदर्भ में प्रकृति की सभी घटनाएं एक ही तरह से घटित होती हैं और उनका गणितीय रूप समान होता है। दूसरे शब्दों में, सभी आईएसओ समान हैं।

प्रश्न 2

गति का समीकरण। एक कठोर शरीर की गति के प्रकार। किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य।

भौतिक बिंदु की गति के समीकरण:

- गति का गतिज समीकरण

एक कठोर शरीर की गति के प्रकार:

1) स्थानान्तरण गति - शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपने आप समानांतर चलती है।

2) घूर्णी गति - शरीर का कोई भी बिंदु एक वृत्त में घूमता है।

= (टी)

किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य- यह वेग की समय निर्भरता प्राप्त कर रहा है V=V(t) और निर्देशांक (या त्रिज्या वेक्टर) r = r(t) एक भौतिक बिंदु के ज्ञात समय निर्भरता से उसके त्वरण a = a(t) और ज्ञात प्रारंभिक शर्तें V 0 और r 0 ।

प्रश्न #7

धड़कन (आंदोलन की संख्या) एक वेक्टर भौतिक मात्रा है जो शरीर के यांत्रिक आंदोलन के माप की विशेषता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, किसी पिंड का संवेग द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर होता है एमइसकी गति के लिए यह बिंदु वी, संवेग की दिशा वेग वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है:

सैद्धांतिक यांत्रिकी में सामान्यीकृत गतिसामान्यीकृत वेग के संबंध में प्रणाली के लैग्रैन्जियन का आंशिक व्युत्पन्न है

यदि सिस्टम का लग्रांगियन कुछ पर निर्भर नहीं करता है सामान्यीकृत समन्वय, तो के कारण लैग्रेंज समीकरण .

एक मुक्त कण के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप है: , इसलिए:

अंतरिक्ष में अपनी स्थिति से एक बंद प्रणाली के लग्रांगियन की स्वतंत्रता संपत्ति से होती है अंतरिक्ष की एकरूपता: एक अच्छी तरह से पृथक प्रणाली के लिए, इसका व्यवहार इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हम इसे अंतरिक्ष में कहां रखते हैं। द्वारा नोएदर का प्रमेययह समरूपता कुछ भौतिक मात्रा के संरक्षण का तात्पर्य है। इस मात्रा को आवेग (सामान्य, सामान्यीकृत नहीं) कहा जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, पूर्ण गतिभौतिक बिंदुओं की प्रणाली को उनकी गति पर भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर वेक्टर मात्रा कहा जाता है:

तदनुसार, मात्रा को एक भौतिक बिंदु का संवेग कहा जाता है। यह कण के वेग के समान दिशा में निर्देशित एक सदिश राशि है। इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स (SI) में संवेग की इकाई है किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड(किलो मीटर/सेक)

यदि हम एक परिमित आकार के शरीर के साथ काम कर रहे हैं, तो इसकी गति निर्धारित करने के लिए, शरीर को छोटे भागों में तोड़ना आवश्यक है, जिसे भौतिक बिंदु माना जा सकता है और उन पर योग किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

एक प्रणाली की गति जो किसी बाहरी ताकतों से प्रभावित नहीं होती है (या उन्हें मुआवजा दिया जाता है), संरक्षितसमय के भीतर:

इस मामले में संवेग का संरक्षण न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियमों से होता है: सिस्टम बनाने वाले प्रत्येक भौतिक बिंदु के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखना और इसे न्यूटन के तीसरे नियम के आधार पर सिस्टम बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं पर जोड़ना कानून हम समानता (*) प्राप्त करते हैं।

सापेक्षतावादी यांत्रिकी में, गैर-अंतःक्रियात्मक सामग्री बिंदुओं की एक प्रणाली की त्रि-आयामी गति मात्रा है

,

कहाँ पे मैं मैं- वजन मैं-वें सामग्री बिंदु।

गैर-अंतःक्रियात्मक सामग्री बिंदुओं की एक बंद प्रणाली के लिए, यह मान संरक्षित है। हालांकि, त्रि-आयामी गति एक सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय मात्रा नहीं है, क्योंकि यह संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करती है। एक अधिक सार्थक मूल्य एक चार-आयामी गति होगी, जिसे एक भौतिक बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है

व्यवहार में, किसी कण के द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के बीच निम्नलिखित संबंधों का अक्सर उपयोग किया जाता है:

सिद्धांत रूप में, गैर-अंतःक्रियात्मक सामग्री बिंदुओं की एक प्रणाली के लिए, उनके 4-मोमेंट को सारांशित किया जाता है। हालांकि, सापेक्षतावादी यांत्रिकी में कणों के परस्पर क्रिया के लिए, किसी को न केवल उन कणों के क्षण को ध्यान में रखना चाहिए जो सिस्टम को बनाते हैं, बल्कि उनके बीच बातचीत के क्षेत्र की गति को भी ध्यान में रखते हैं। इसलिए, सापेक्षतावादी यांत्रिकी में एक अधिक सार्थक मात्रा ऊर्जा-गति टेंसर है, जो संरक्षण कानूनों को पूरी तरह से संतुष्ट करती है।

प्रश्न #8

निष्क्रियता के पल- एक अदिश भौतिक मात्रा, एक धुरी के चारों ओर घूर्णी गति में एक पिंड की जड़ता का एक माप, जिस तरह किसी पिंड का द्रव्यमान अनुवाद गति में उसकी जड़ता का एक माप है। यह शरीर में द्रव्यमान के वितरण की विशेषता है: जड़ता का क्षण प्राथमिक द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर होता है और आधार सेट के लिए उनकी दूरी का वर्ग होता है

जड़ता का अक्षीय क्षण

कुछ निकायों की जड़ता के अक्षीय क्षण।

एक यांत्रिक प्रणाली की जड़ता का क्षणएक निश्चित अक्ष के सापेक्ष ("जड़त्व का अक्षीय क्षण") को मान कहा जाता है जे एसभी के लोगों के उत्पादों के योग के बराबर एनप्रणाली के भौतिक बिंदुओं को अक्ष से उनकी दूरी के वर्गों में:

,

• मैं मैं- वजन मैं-वां बिंदु,
• मैं- से दूरी मैं- अक्ष के लिए बिंदु।

AXIAL निष्क्रियता के पलतन जे एएक धुरी के चारों ओर घूर्णी गति में एक पिंड की जड़ता का एक उपाय है, जैसे कि एक पिंड का द्रव्यमान अनुवाद गति में इसकी जड़ता का एक उपाय है।

,

• डी एम = ρ डीवी- शरीर के एक छोटे आयतन तत्व का द्रव्यमान डीवी,
• - घनत्व,
• आर- तत्व से दूरी डीवीअक्ष के लिए ए।

यदि शरीर सजातीय है, अर्थात उसका घनत्व हर जगह समान है, तो

सूत्र व्युत्पत्ति

डी एमऔर जड़ता के क्षण डीजे मैं. फिर

पतली दीवार वाला सिलेंडर (अंगूठी, घेरा)

सूत्र व्युत्पत्ति

किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके अवयवों के जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है। एक पतली दीवार वाले सिलेंडर को द्रव्यमान वाले तत्वों में विभाजित करना डी एमऔर जड़ता के क्षण डीजे मैं. फिर

चूँकि पतली दीवार वाले बेलन के सभी अवयव घूर्णन अक्ष से समान दूरी पर होते हैं, इसलिए सूत्र (1) को रूप में परिवर्तित किया जाता है।

स्टेनर का प्रमेय

निष्क्रियता के पलकिसी भी धुरी के सापेक्ष एक कठोर शरीर का आकार न केवल शरीर के द्रव्यमान, आकार और आयामों पर निर्भर करता है, बल्कि इस धुरी के संबंध में शरीर की स्थिति पर भी निर्भर करता है। स्टीनर प्रमेय (ह्यूजेंस-स्टीनर प्रमेय) के अनुसार, निष्क्रियता के पलतन जेएक मनमाना अक्ष के सापेक्ष योग के बराबर है निष्क्रियता के पलयह शरीर जे.सी.माना अक्ष के समानांतर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष, और शरीर द्रव्यमान का उत्पाद एमप्रति वर्ग दूरी डीधुरी के बीच:

यदि पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है, तो इससे दूरी पर स्थित समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण बराबर है

,

शरीर का कुल द्रव्यमान कहाँ है।

उदाहरण के लिए, एक छड़ के अंत से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है:

घूर्णी ऊर्जा

घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा- इसके घूमने से जुड़ी शरीर की ऊर्जा।

किसी पिंड की घूर्णी गति की मुख्य गतिज विशेषताएँ इसका कोणीय वेग (ω) और कोणीय त्वरण हैं। घूर्णी गति की मुख्य गतिशील विशेषताएं रोटेशन अक्ष z के बारे में कोणीय गति हैं:

केज़ू = इज़ूω

और गतिज ऊर्जा

जहां I z घूर्णन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है।

जड़त्व के प्रमुख अक्षों के साथ घूर्णन अणु पर विचार करते समय एक समान उदाहरण पाया जा सकता है मैं 1, मैं 2और मैं 3. ऐसे अणु की घूर्णन ऊर्जा व्यंजक द्वारा दी जाती है

कहाँ पे 1, 2, और 3कोणीय वेग के प्रमुख घटक हैं।

सामान्य स्थिति में, कोणीय वेग के साथ घूर्णन के दौरान ऊर्जा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

, कहाँ पे मैंजड़ता टेंसर है।

प्रश्न #9

आवेग का क्षण (कोणीय गति, कोणीय गति, कक्षीय गति, कोणीय गति) घूर्णी गति की मात्रा को दर्शाता है। एक मात्रा जो इस बात पर निर्भर करती है कि कितना द्रव्यमान घूम रहा है, इसे घूर्णन की धुरी के बारे में कैसे वितरित किया जाता है, और कितनी तेजी से घूर्णन होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां घूर्णन को व्यापक अर्थों में समझा जाता है, न कि केवल अक्ष के चारों ओर नियमित घूर्णन के रूप में। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​​​कि एक शरीर की एक सीधी गति के साथ एक मनमाना काल्पनिक बिंदु जो गति की रेखा पर स्थित नहीं है, इसमें कोणीय गति भी होती है। वास्तविक घूर्णी गति का वर्णन करने में शायद सबसे बड़ी भूमिका कोणीय गति द्वारा निभाई जाती है। हालांकि, समस्याओं के एक व्यापक वर्ग के लिए यह अत्यंत महत्वपूर्ण है (विशेषकर यदि समस्या में केंद्रीय या अक्षीय समरूपता है, लेकिन केवल इन मामलों में ही नहीं)।

संवेग के संरक्षण का नियम(कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम) - एक बंद प्रणाली के लिए किसी भी अक्ष के बारे में सभी कोणीय गति का वेक्टर योग प्रणाली के संतुलन के मामले में स्थिर रहता है। इसके अनुसार, कोणीय गति के किसी भी गैर-समय व्युत्पन्न के संबंध में एक बंद प्रणाली की कोणीय गति बल का क्षण है:

इस प्रकार, सिस्टम क्लोजर की आवश्यकता को इस आवश्यकता के लिए कमजोर किया जा सकता है कि बाहरी बलों का मुख्य (कुल) क्षण शून्य के बराबर हो:

कणों की प्रणाली पर लागू बलों में से एक का क्षण कहां है। (लेकिन निश्चित रूप से, अगर कोई बाहरी ताकतें नहीं हैं, तो यह आवश्यकता भी पूरी होती है)।

गणितीय रूप से, कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम अंतरिक्ष के समस्थानिक से, अर्थात्, अंतरिक्ष के अपरिवर्तनशीलता से एक मनमाना कोण के माध्यम से घूर्णन के संबंध में अनुसरण करता है। जब एक मनमाना अन्तर्निहित कोण के माध्यम से घूमते हैं, तो संख्या के साथ कण का त्रिज्या वेक्टर बदल जाएगा, और वेग -। अंतरिक्ष की आइसोट्रॉपी के कारण, इस तरह के रोटेशन के दौरान सिस्टम का लैग्रेंज फ़ंक्शन नहीं बदलेगा। इसलिए

« भौतिकी - ग्रेड 10 "

रोटेशन के कोणीय वेग को बढ़ाने के लिए स्केटर रोटेशन की धुरी के साथ क्यों फैलता है।
क्या एक हेलीकॉप्टर को घूमना चाहिए जब उसका प्रोपेलर घूमता है?

पूछे गए प्रश्नों से पता चलता है कि यदि बाहरी बल शरीर पर कार्य नहीं करते हैं या उनकी कार्रवाई की भरपाई की जाती है और शरीर का एक हिस्सा एक दिशा में घूमना शुरू कर देता है, तो दूसरे भाग को दूसरी दिशा में घूमना चाहिए, जैसे कि जब ईंधन बाहर निकलता है एक रॉकेट, रॉकेट स्वयं विपरीत दिशा में चलता है।

आवेग का क्षण।

यदि हम एक घूर्णन डिस्क पर विचार करें, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि डिस्क का कुल संवेग शून्य है, क्योंकि शरीर का कोई भी कण निरपेक्ष मान में समान गति से गतिमान कण से मेल खाता है, लेकिन विपरीत दिशा में (चित्र। 6.9)।

लेकिन डिस्क गतिमान है, सभी कणों के घूर्णन का कोणीय वेग समान है। हालांकि, यह स्पष्ट है कि कण रोटेशन की धुरी से जितना दूर होगा, उसका संवेग उतना ही अधिक होगा। इसलिए, घूर्णी गति के लिए एक आवेग के समान एक और विशेषता पेश करना आवश्यक है, - कोणीय गति।

एक वृत्त में गतिमान कण का कोणीय संवेग, कण के संवेग और उससे घूर्णन अक्ष तक की दूरी का गुणनफल होता है (चित्र 6.10):

रैखिक और कोणीय वेग v = r से संबंधित हैं, फिर

एक कठोर पदार्थ के सभी बिंदु समान कोणीय वेग के साथ घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष गति करते हैं। एक कठोर शरीर को भौतिक बिंदुओं के संग्रह के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक कठोर पिंड का कोणीय संवेग जड़ता आघूर्ण और घूर्णन के कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है:

कोणीय संवेग एक सदिश राशि है, सूत्र (6.3) के अनुसार कोणीय संवेग उसी प्रकार निर्देशित होता है जैसे कोणीय वेग।

आवेगी रूप में घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल समीकरण।

एक पिंड का कोणीय त्वरण उस समय अंतराल से विभाजित कोणीय वेग में परिवर्तन के बराबर है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ: इस अभिव्यक्ति को घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें इसलिए I(ω 2 - ω 1) = MΔt, या IΔω = MΔt।

इस प्रकार,

L = M∆t। (6.4)

कोणीय गति में परिवर्तन शरीर या प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों के कुल क्षण और इन बलों की कार्रवाई के समय के उत्पाद के बराबर है।

कोणीय गति के संरक्षण का नियम:

यदि किसी पिंड या घूर्णन के एक निश्चित अक्ष वाले पिंडों पर कार्य करने वाले बलों का कुल क्षण शून्य के बराबर है, तो कोणीय गति में परिवर्तन भी शून्य के बराबर होता है, अर्थात, सिस्टम का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

∆एल = 0, एल = स्थिरांक.

निकाय के संवेग में परिवर्तन निकाय पर कार्यरत बलों के कुल संवेग के बराबर होता है।

कताई स्केटर अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाता है, जिससे घूर्णन के कोणीय वेग को कम करने के लिए जड़ता के क्षण में वृद्धि होती है।

कोणीय गति के संरक्षण के नियम को निम्नलिखित प्रयोग का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे "ज़ुकोवस्की बेंच के साथ प्रयोग" कहा जाता है। एक व्यक्ति एक बेंच पर खड़ा होता है जिसके केंद्र से गुजरने वाली घूर्णन की लंबवत धुरी होती है। आदमी अपने हाथों में डम्बल रखता है। यदि बेंच को घुमाने के लिए बनाया गया है, तो एक व्यक्ति डम्बल को अपनी छाती पर दबाकर या अपनी बाहों को नीचे करके और फिर उन्हें अलग करके रोटेशन की गति को बदल सकता है। अपनी बाहों को फैलाते हुए, वह जड़ता के क्षण को बढ़ाता है, और रोटेशन का कोणीय वेग कम हो जाता है (चित्र 6.11, ए), अपने हाथों को कम करके, वह जड़ता के क्षण को कम कर देता है, और बेंच के रोटेशन का कोणीय वेग बढ़ जाता है (चित्र। 6.11, बी)।

एक व्यक्ति बेंच को उसके किनारे पर चलकर भी घुमा सकता है। इस मामले में, बेंच विपरीत दिशा में घूमेगी, क्योंकि कुल कोणीय गति शून्य के बराबर रहनी चाहिए।

जाइरोस्कोप नामक उपकरणों के संचालन का सिद्धांत कोणीय गति के संरक्षण के नियम पर आधारित है। जाइरोस्कोप की मुख्य संपत्ति रोटेशन की धुरी की दिशा का संरक्षण है, अगर बाहरी बल इस अक्ष पर कार्य नहीं करते हैं। 19 वीं सदी में जाइरोस्कोप का उपयोग नाविकों द्वारा समुद्र में नेविगेट करने के लिए किया जाता था।

एक घूर्णन कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा।

एक घूर्णन ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा उसके अलग-अलग कणों की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। आइए हम शरीर को छोटे-छोटे तत्वों में विभाजित करें, जिनमें से प्रत्येक को भौतिक बिंदु माना जा सकता है। तब शरीर की गतिज ऊर्जा उन भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है जिनमें यह शामिल है:

शरीर के सभी बिंदुओं के घूर्णन का कोणीय वेग समान है, इसलिए,

कोष्ठक में मान, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, कठोर शरीर की जड़ता का क्षण है। अंत में, घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के साथ एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा के सूत्र का रूप है

एक दृढ़ पिंड की गति के सामान्य मामले में, जब रोटेशन की धुरी मुक्त होती है, तो इसकी गतिज ऊर्जा स्थानान्तरण और घूर्णी गतियों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। तो, एक पहिया की गतिज ऊर्जा, जिसका द्रव्यमान रिम में केंद्रित होता है, सड़क के साथ निरंतर गति से लुढ़कता है, के बराबर है

तालिका एक भौतिक बिंदु के अनुवाद गति के यांत्रिकी के सूत्रों की तुलना एक कठोर शरीर के घूर्णन गति के समान सूत्रों के साथ करती है।

घूर्णी गति की मुख्य गतिशील विशेषताएं रोटेशन अक्ष z के बारे में कोणीय गति हैं:

और गतिज ऊर्जा

सामान्य स्थिति में, कोणीय वेग के साथ घूर्णन के दौरान ऊर्जा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

, जड़त्व टेंसर कहाँ है।

ऊष्मप्रवैगिकी में

अनुवाद गति के मामले में ठीक उसी तर्क से, समविभाजन का तात्पर्य है कि थर्मल संतुलन पर एक मोनोएटोमिक गैस के प्रत्येक कण की औसत घूर्णी ऊर्जा है: (3/2)के बी टी. इसी तरह, समविभाजन प्रमेय अणुओं के मूल-माध्य-वर्ग कोणीय वेग की गणना करने की अनुमति देता है।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "घूर्णन गति की ऊर्जा" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, ऊर्जा (अर्थ) देखें। ऊर्जा, आयाम ... विकिपीडिया

आंदोलनों- आंदोलन। सामग्री: ज्यामिति डी..................452 किनेमेटिक्स डी..................456 डायनेमिक्स डी। ................... 461 मोटर तंत्र ................... 465 किसी व्यक्ति के डी के अध्ययन के तरीके। .........471 एक व्यक्ति की पैथोलॉजी डी ............... 474 ... ... बिग मेडिकल इनसाइक्लोपीडिया

गतिज ऊर्जा एक यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा है, जो इसके बिंदुओं की गति की गति पर निर्भर करती है। अक्सर अनुवाद और घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा आवंटित करते हैं। अधिक सख्ती से, गतिज ऊर्जा कुल ... ... विकिपीडिया . के बीच का अंतर है

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- (फ्रांसीसी मारीज़, जर्मन गेज़िटेन, अंग्रेजी ज्वार) चंद्रमा और सूर्य के आकर्षण के कारण जल स्तर में आवधिक उतार-चढ़ाव। सामान्य जानकारी। P. महासागरों के किनारे सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। सबसे बड़े निम्न ज्वार के कम पानी के तुरंत बाद, समुद्र का स्तर शुरू होता है ... ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रोकहॉस और आई.ए. एफ्रोन

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प्रशीतित पोत आइवरी तिरुपति प्रारंभिक स्थिरता नकारात्मक स्थिरता है एक अस्थायी सुविधा की बाहरी ताकतों का सामना करने की क्षमता जो इसे रोल या ट्रिम करने और गड़बड़ी के अंत में संतुलन की स्थिति में लौटने का कारण बनती है ... ... विकिपीडिया

चूँकि एक कठोर पिंड भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का एक विशेष मामला है, एक निश्चित Z अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान शरीर की गतिज ऊर्जा उसके सभी भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होगी, अर्थात

एक कठोर शरीर के सभी भौतिक बिंदु इस मामले में त्रिज्या के साथ और समान कोणीय वेग के साथ घूमते हैं। एक कठोर पिंड के प्रत्येक भौतिक बिंदु की रैखिक गति बराबर होती है। एक कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा रूप लेती है

इस व्यंजक के दाईं ओर का योग, (4.4) के अनुसार, दिए गए घूर्णन अक्ष के बारे में इस पिंड की जड़ता का क्षण है। इसलिए, एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष घूमने वाले कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा की गणना करने का सूत्र अंतिम रूप लेगा:

. (4.21)

यहाँ यह ध्यान में रखा गया है कि

मनमानी गति के मामले में एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा की गणना बहुत अधिक जटिल हो जाती है। एक समतल गति पर विचार करें, जब शरीर के सभी भौतिक बिंदुओं के प्रक्षेप पथ समानांतर विमानों में हों। (1.44) के अनुसार एक कठोर पिंड के प्रत्येक भौतिक बिंदु की गति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

,

जहां रोटेशन की तात्कालिक धुरी के रूप में हम शरीर के किसी बिंदु के प्रक्षेपवक्र के तल के लंबवत शरीर की जड़ता के केंद्र से गुजरने वाली धुरी को चुनते हैं। इस मामले में, अंतिम अभिव्यक्ति में शरीर की जड़ता के केंद्र की गति है, - वृत्तों की त्रिज्या जिसके साथ शरीर के बिंदु अपनी जड़ता के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर कोणीय वेग से घूमते हैं। चूंकि इस तरह के एक आंदोलन के साथ ^, तो वेक्टर के बराबर बिंदु के प्रक्षेपवक्र के विमान में निहित है।

उपरोक्त के आधार पर, पिंड की समतल गति के दौरान गतिज ऊर्जा बराबर होती है

.

कोष्ठक में व्यंजक को वर्ग तक बढ़ाने और योग चिह्न से परे शरीर के सभी बिंदुओं के लिए स्थिर मान निकालने पर, हम प्राप्त करते हैं

यहाँ यह ध्यान में रखा गया है कि ^।

अंतिम व्यंजक के दाईं ओर प्रत्येक पद पर अलग से विचार करें। पहला पद, स्पष्ट समानता के कारण, बराबर है

दूसरा पद शून्य के बराबर है, क्योंकि योग जड़ता के केंद्र (3.5) के त्रिज्या वेक्टर को निर्धारित करता है, जो इस मामले में रोटेशन की धुरी पर स्थित है। अंतिम शब्द, खाते में (4.4) लेते हुए, रूप लेता है। अब, अंत में, एक दृढ़ पिंड की एक मनमानी, लेकिन समतल गति के लिए गतिज ऊर्जा को दो शब्दों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

, (4.23)

जहां पहला पद एक भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा है जिसका द्रव्यमान पिंड के द्रव्यमान के बराबर है और उस गति से गतिमान है जो शरीर के द्रव्यमान के केंद्र में है;

दूसरा पद जड़त्व के केंद्र से गुजरने वाली धुरी (गति से गतिमान) के चारों ओर घूमते हुए शरीर की गतिज ऊर्जा है।

जाँच - परिणाम: तो, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने के दौरान एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा की गणना किसी एक संबंध (4.21) का उपयोग करके की जा सकती है, और एक समतल गति के मामले में (4.23) का उपयोग करके की जा सकती है।

परीक्षण प्रश्न।

4.4. किन मामलों में (4.23) आगे बढ़कर (4.21) हो जाता है?

4.5. किसी पिंड की गतिज ऊर्जा का सूत्र उसकी समतल गति के दौरान कैसा दिखेगा यदि घूर्णन का तात्कालिक अक्ष जड़त्व के केंद्र से नहीं गुजरता है? सूत्र में शामिल मात्राओं का क्या अर्थ है?

4.6. दिखाएँ कि एक कठोर शरीर के घूर्णन के दौरान आंतरिक बलों का कार्य शून्य होता है।

कार्य

1. निर्धारित करें कि 4000 टन के द्रव्यमान वाली ट्रेन के गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान से प्रभावी द्रव्यमान कितनी गुना अधिक है, यदि पहियों का द्रव्यमान ट्रेन के द्रव्यमान का 15% है। पहियों को 1.02 मीटर के व्यास के साथ डिस्क के रूप में मानें। पहियों का व्यास आधा होने पर उत्तर कैसे बदलेगा?

2. उस त्वरण का निर्धारण करें जिसके साथ 1200 किग्रा द्रव्यमान का एक पहिया जोड़ा 0.08 की ढलान के साथ एक पहाड़ी पर लुढ़कता है। डिस्क के रूप में पहियों पर विचार करें। रोलिंग प्रतिरोध गुणांक 0.004। रेल के पहियों के आसंजन बल का निर्धारण करें।

3. उस त्वरण का निर्धारण करें जिसके साथ 1400 किग्रा भार वाला एक पहिया जोड़ी 0.05 की ढलान वाली पहाड़ी पर लुढ़कती है। गुणांक 0.002 खींचें। आसंजन का गुणांक क्या होना चाहिए ताकि पहिए फिसले नहीं। डिस्क के रूप में पहियों पर विचार करें।

4. उस त्वरण का निर्धारण करें जिसके साथ 40 टन वजन का एक वैगन 0.020 की ढलान के साथ एक पहाड़ी पर लुढ़कता है यदि इसमें आठ पहिये हैं जिनका वजन 1200 किलोग्राम और 1.02 मीटर का व्यास है। पहियों के आसंजन के बल का निर्धारण करें। गुणांक 0.003 खींचें।

5. टायरों पर ब्रेक शूज़ के दबाव बल का निर्धारण करें, यदि 4000 टन वजन वाली ट्रेन 0.3 मीटर/सेकेंड 2 के त्वरण के साथ धीमी हो जाती है। एक पहिए की जड़ता का क्षण 600 किग्रा मी 2 है, धुरों की संख्या 400 है, ब्लॉक का फिसलने वाला घर्षण गुणांक 0.18 है, रोलिंग प्रतिरोध गुणांक 0.004 है।

6. एक मार्शलिंग यार्ड के ब्रेक पैड पर 60 टन के द्रव्यमान के साथ चार-एक्सल वैगन पर अभिनय करने वाले ब्रेकिंग बल का निर्धारण करें यदि 30 मीटर ट्रैक पर गति 2 मीटर / सेकंड से घटकर 1.5 मीटर / सेकंड हो जाती है। एक पहिए का जड़त्व आघूर्ण 500 kg m2 है।

7. लोकोमोटिव के स्पीडोमीटर ने एक मिनट के भीतर ट्रेन की गति में 10 मीटर/सेकेंड से 60 मीटर/सेकेंड की वृद्धि दिखाई। संभवत: आगे का पहिया फिसल गया था। विद्युत मोटर के आर्मेचर पर कार्य करने वाले बलों के क्षण का निर्धारण करें। व्हीलसेट की जड़ता का क्षण 600 किग्रा मी 2, एंकर 120 किग्रा मी 2। गियर अनुपात गियर 4.2। रेल पर दबाव बल 200 kN है, रेल के साथ पहियों का फिसलने वाला घर्षण गुणांक 0.10 है।

11. रोटेटर की गतिज ऊर्जा

आंदोलनों

हम घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा का सूत्र प्राप्त करते हैं। शरीर को कोणीय वेग से घूमने दें ω स्थिर अक्ष के बारे में शरीर का कोई भी छोटा कण गति के साथ एक वृत्त में स्थानान्तरण गति करता है, जहाँ मैं -घूर्णन के अक्ष से दूरी, कक्षा की त्रिज्या। कण की गतिज ऊर्जा जनता मैं मैंके बराबर है . कणों के एक निकाय की कुल गतिज ऊर्जा उनकी गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। आइए हम पिंड के कणों की गतिज ऊर्जा के सूत्रों का योग करें और कोणीय वेग के आधे वर्ग के योग का चिन्ह निकालें, जो सभी कणों के लिए समान है, . कणों के द्रव्यमान के गुणनफल और रोटेशन की धुरी के लिए उनकी दूरी के वर्गों का योग रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है . इसलिए, एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा धुरी के परितः पिंड के जड़त्व आघूर्ण के आधे गुणनफल के बराबर होती है और घूर्णन के कोणीय वेग के वर्ग के बराबर होती है।:

घूर्णन निकाय यांत्रिक ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं। ऐसे पिंडों को चक्का कहा जाता है। आमतौर पर ये क्रांति के निकाय होते हैं। कुम्हार के पहिये में चक्का का उपयोग प्राचीन काल से जाना जाता है। आंतरिक दहन इंजन में, कार्यशील स्ट्रोक के दौरान, पिस्टन चक्का को यांत्रिक ऊर्जा प्रदान करता है, जो फिर अगले तीन चक्रों के लिए इंजन शाफ्ट के रोटेशन पर काम करता है। टिकटों और प्रेस में, चक्का अपेक्षाकृत कम-शक्ति वाली इलेक्ट्रिक मोटर द्वारा संचालित होता है, लगभग एक पूर्ण मोड़ के लिए यांत्रिक ऊर्जा जमा करता है, और प्रभाव के एक छोटे से क्षण में इसे मुद्रांकन के काम देता है।

वाहनों को चलाने के लिए घूमने वाले चक्का का उपयोग करने के कई प्रयास हैं: कार, बसें। उन्हें महोमोबाइल्स, जाइरो कैरियर्स कहा जाता है। ऐसी कई प्रायोगिक मशीनें बनाई गईं। बाद में त्वरण के दौरान संचित ऊर्जा का उपयोग करने के लिए इलेक्ट्रिक ट्रेनों के ब्रेकिंग के दौरान ऊर्जा भंडारण के लिए फ्लाईव्हील का उपयोग करने का वादा किया जाएगा। चक्का ऊर्जा भंडारण न्यूयॉर्क शहर की मेट्रो ट्रेनों में इस्तेमाल होने के लिए जाना जाता है।