त्रिभुज माध्यिकाएक रेखा खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को इस त्रिभुज की विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

त्रिभुज माध्यिका गुण

1. माध्यिका त्रिभुज को एक ही क्षेत्रफल के दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को त्रिभुज (सेंट्रोइड) का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।

3. संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

भुजा की ओर खींची गई माध्यिका की लंबाई: (एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करके और भुजाओं के वर्गों के योग और विकर्णों के वर्गों के योग के दोगुने समांतर चतुर्भुज में समानता का उपयोग करके दस्तावेज़ )

टी1.त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ एक बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है, जो त्रिभुज के शीर्षों से गिना जाता है। दिया गया: एबीसी,एसएस 1, एए 1, बी बी 1 - माध्यिका
∆एबीसी. साबित करें: और

D-in: मान लीजिए M त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं CC 1, AA 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु है। नोट ए 2 - खंड एएम और सी 2 के मध्य - खंड सीएम के मध्य। तब A 2 C 2 त्रिभुज की मध्य रेखा है एम्स.माध्यम, ए 2 सी 2|| एसी

और ए 2 सी 2 \u003d 0.5 * एसी। साथ में 1 लेकिन 1 त्रिभुज ABC की मध्य रेखा है। तो ए 1 साथ में 1 || एसी और ए 1 साथ में 1 \u003d 0.5 * एसी।

चतुष्कोष ए 2 सी 1 ए 1 सी 2- एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसकी विपरीत भुजाएँ A 1 साथ में 1 और ए 2 सी 2समान और समानांतर। इसलिये, ए 2 एम =एमए 1 और सी 2 एम =एमएस 1 . इसका मतलब है कि अंक ए 2और एममाध्यिका को विभाजित करें एए 2तीन बराबर भागों में, यानी AM = 2MA 2. इसी तरह सीएम = 2एमसी 1 . तो, दो माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन का बिंदु M एए 2और सीसी2त्रिभुज ABC उनमें से प्रत्येक को त्रिभुज के शीर्षों से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसी तरह, यह सिद्ध होता है कि माध्यिका AA 1 और BB 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु उनमें से प्रत्येक को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जो त्रिभुज के शीर्षों से गिना जाता है।

माध्यिका AA 1 पर ऐसा बिंदु बिंदु M है, इसलिए, बिंदु एमऔर माध्यिका AA 1 और BB 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

इस प्रकार, एन

टी2.सिद्ध कीजिए कि केन्द्रक को त्रिभुज के शीर्षों से जोड़ने वाले खंड इसे तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। दिया है : ABC , इसके माध्यिका हैं।

सिद्ध करना: एस एएमबी =एस बीएमसी =एस-एएमसी।प्रमाण। पर,उनके पास आम है। क्योंकि उनके आधार बराबर हैं और ऊपर से खींची गई ऊंचाई एम,उनके पास आम है। फिर

इसी प्रकार यह सिद्ध होता है कि एस एएमबी = एस एएमसी।इस प्रकार, एस एएमबी = एस एएमसी = एस सीएमबी।एन

एक त्रिभुज का समद्विभाजक। एक त्रिभुज के समद्विभाजक से संबंधित प्रमेय। द्विभाजक खोजने के सूत्र

कोण द्विभाजक- कोण के शीर्ष से शुरू होने वाली किरण, कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करती है।

किसी कोण का समद्विभाजक उस कोण के भीतर बिंदुओं का बिंदुपथ होता है जो कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है।

गुण

1. समद्विभाजक प्रमेय: त्रिभुज के एक आंतरिक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है

2. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं - अंतःकेंद्र - इस त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।

3. यदि किसी त्रिभुज में दो समद्विभाजक बराबर हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु (स्टेनर-लेमस प्रमेय) होता है।

एक द्विभाजक की लंबाई की गणना करना

l c - भुजा c की ओर खींचे गए समद्विभाजक की लंबाई,

ए, बी, सी - त्रिभुज पक्ष क्रमशः ए, बी, सी के खिलाफ,

पी - त्रिभुज का आधा परिमाप,

ए एल, बी एल - सेगमेंट की लंबाई जिसमें द्विभाजक एल सी पक्ष सी को विभाजित करता है,

α,β,γ - शीर्षों पर त्रिभुज के आंतरिक कोण क्रमशः A,B,C,

एच सी - त्रिभुज की ऊंचाई, सी तरफ कम।

क्षेत्र विधि।

विधि विशेषता।नाम से यह पता चलता है कि इस पद्धति का मुख्य उद्देश्य क्षेत्र है। कई आकृतियों के लिए, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल को आकृति (त्रिकोण) के तत्वों के विभिन्न संयोजनों के माध्यम से काफी सरलता से व्यक्त किया जाता है। इसलिए, एक तकनीक बहुत प्रभावी होती है जब किसी दिए गए आकृति के क्षेत्र के लिए विभिन्न अभिव्यक्तियों की तुलना की जाती है। इस मामले में, आकृति के ज्ञात और वांछित तत्वों से युक्त एक समीकरण उत्पन्न होता है, जिसे हल करके हम अज्ञात का निर्धारण करते हैं। यह वह जगह है जहां क्षेत्र पद्धति की मुख्य विशेषता स्वयं प्रकट होती है - एक ज्यामितीय समस्या से यह एक बीजगणितीय "बनाता है", समीकरण को हल करने के लिए सब कुछ कम करता है (और कभी-कभी समीकरणों की एक प्रणाली)।

1) तुलना विधि: एक ही आंकड़े के बड़ी संख्या में सूत्र एस के साथ जुड़ा हुआ है

2) एस अनुपात विधि: निम्नलिखित संदर्भ कार्यों के आधार पर:

Ceva का प्रमेय

मान लीजिए बिंदु A",B",C" त्रिभुज की रेखाओं BC,CA,AB पर स्थित है। रेखाएँ AA",BB",CC" एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

प्रमाण।

खंडों के प्रतिच्छेदन बिंदु से निरूपित करें और . आइए हम बिंदु C और A से रेखा BB 1 पर लंबों को तब तक गिराते हैं जब तक कि वे इसके साथ क्रमशः K और L बिंदुओं पर प्रतिच्छेद न करें (आकृति देखें)।

चूँकि त्रिभुज और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, इसलिए उनके क्षेत्रफल इस भुजा की ओर खींची गई ऊँचाइयों से संबंधित होते हैं, अर्थात्। एएल और सीके:

अंतिम समानता सत्य है, क्योंकि समकोण त्रिभुज और न्यून कोण में समान हैं।

इसी प्रकार, हमें मिलता है और

आइए इन तीन समानताओं को गुणा करें:

क्यू.ई.डी.

टिप्पणी। एक त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में स्थित एक बिंदु से जोड़ने वाला खंड (या खंड की निरंतरता) या इसके निरंतरता को सेवियाना कहा जाता है।

प्रमेय (उलटा सेवा प्रमेय). मान लीजिए कि बिंदु A",B",C" त्रिभुज ABC की भुजाओं BC,CA और AB पर स्थित है। संबंध को स्थिर रहने दें।

फिर खंड AA", BB", CC" और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

मेनेलॉस का प्रमेय

मेनेलॉस का प्रमेय। मान लीजिए कि एक रेखा त्रिभुज ABC को प्रतिच्छेद करती है, जहाँ C 1 भुजा AB के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु है, A 1 भुजा BC के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु है, और B 1 भुजा AC के विस्तार के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु है। फिर

प्रमाण . बिंदु C से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए। रेखा B 1 C 1 के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु K से निरूपित करें।

त्रिभुज AC 1 B 1 और CKB 1 समरूप हैं (∟C 1 AB 1 = KCB 1, AC 1 B 1 = ∟CKB 1)। इसलिये,

त्रिभुज BC 1 A 1 और CKA 1 भी समान हैं (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, BC 1 A 1 =∟CKA 1)। माध्यम,

प्रत्येक समानता से हम CK व्यक्त करते हैं:

कहाँ क्यू.ई.डी.

प्रमेय (मेनेलॉस का व्युत्क्रम प्रमेय)।माना त्रिभुज ABC दिया है। मान लीजिए बिंदु C 1 भुजा AB पर है, बिंदु A 1 भुजा BC पर है, और बिंदु B 1 भुजा AC के विस्तार पर स्थित है, और संबंध

फिर बिंदु A 1, B 1 और C 1 एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।

माध्यिका त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य तक खींचा गया खंड है, अर्थात यह इसे प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित करती है। वह बिंदु जिस पर माध्यिका शीर्ष के विपरीत भुजा को काटती है, जहां से वह निकलती है, आधार कहलाती है। एक बिंदु से होकर, जिसे प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है, त्रिभुज की प्रत्येक माध्यिका से होकर गुजरता है। इसकी लंबाई का सूत्र कई तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है।

माध्यिका की लंबाई को व्यक्त करने के सूत्र

• अक्सर ज्यामिति की समस्याओं में, छात्रों को एक त्रिभुज के माध्यिका जैसे खंड से निपटना पड़ता है। इसकी लंबाई का सूत्र भुजाओं के रूप में व्यक्त किया जाता है:

जहां ए, बी और सी पक्ष हैं। इसके अलावा, c वह भुजा है जिस पर माध्यिका पड़ती है। यह सबसे सरल सूत्र कैसा दिखता है। सहायक गणनाओं के लिए कभी-कभी त्रिभुज माध्यिका की आवश्यकता होती है। अन्य सूत्र भी हैं।

• यदि गणना के दौरान त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच स्थित एक निश्चित कोण α ज्ञात हो, तो त्रिभुज की माध्यिका की लंबाई, तीसरी भुजा तक कम, निम्नानुसार व्यक्त की जाएगी।

मूल गुण

• सभी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन 0 का एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है और यदि हम ऊपर से गिनें तो उन्हें भी दो से एक के अनुपात में विभाजित किया जाता है। इस बिंदु को त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र कहा जाता है।
• माध्यिका त्रिभुज को दो अन्य भागों में विभाजित करती है, जिनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं। ऐसे त्रिभुजों को समान त्रिभुज कहते हैं।
• यदि आप सभी माध्यिकाएँ खींचते हैं, तो त्रिभुज 6 समान आकृतियों में विभाजित हो जाएगा, जो त्रिभुज भी होंगे।
• यदि एक त्रिभुज में तीनों भुजाएँ समान हों, तो उसमें प्रत्येक माध्यिका भी एक ऊँचाई और एक समद्विभाजक होगी, अर्थात्, उस भुजा के लंबवत, जिससे वह निकलती है, और जिस कोण से वह निकलती है, उसे समद्विभाजित करती है।
• एक समद्विबाहु त्रिभुज में, एक ऐसी भुजा के विपरीत जो किसी अन्य के बराबर नहीं है, एक शीर्ष से गिरा माध्यिका भी ऊँचाई और समद्विभाजक होगी। अन्य शीर्षों से हटाई गई माध्यिकाएं बराबर होती हैं। यह भी समद्विबाहुओं के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।
• यदि त्रिभुज एक नियमित पिरामिड का आधार है, तो इस आधार पर कम की गई ऊँचाई को सभी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

• एक समकोण त्रिभुज में, सबसे लंबी भुजा तक खींची गई माध्यिका उसकी लंबाई की आधी होती है।
• मान लीजिए O त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। नीचे दिया गया सूत्र किसी भी बिंदु M के लिए सत्य होगा।

• एक अन्य गुण त्रिभुज की माध्यिका है। भुजाओं के वर्गों के पदों में इसकी लंबाई के वर्ग का सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है।

भुजाओं के गुण जिनसे माध्यिका खींची जाती है

• यदि हम माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन के किन्हीं दो बिंदुओं को उन भुजाओं से जोड़ते हैं जिन पर वे नीचे हैं, तो परिणामी खंड त्रिभुज की मध्य रेखा होगा और त्रिभुज की उस भुजा का आधा भाग होगा जिसके साथ इसका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
• त्रिभुज में ऊँचाई और माध्यिका के आधार, साथ ही त्रिभुज के शीर्षों को ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले खंडों के मध्य बिंदु, एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं।

अंत में, यह कहना तर्कसंगत है कि सबसे महत्वपूर्ण खंडों में से एक त्रिभुज का माध्यिका है। इसके सूत्र का उपयोग इसकी अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

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पाठ 1

एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ। मध्यस्थों के चौराहे का बिंदु।

मंझला त्रिभुज एक रेखाखंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

प्रमाण:

एक त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है ग्रैविटी केंद्र यह त्रिकोण।

कार्य 1एक त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु इसके शीर्षों से 4, 6 और 8 के बराबर दूरी से अलग किया जाता है। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

फेसला।माना AM, BE और CD त्रिभुज ABC में माध्यिकाएँ हैं, K उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु है, KC=4, KA=6 और KB=8।

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif" width="76" height="50">, यानी KA खंड के लिए 2 भाग हैं, और KM के लिए एक भाग है खंड, तो संपूर्ण AM माध्यिका में तीन समान भाग होते हैं और https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif" width="104" height="41">।

वैसे ही,

,

जवाब: 6, 9 और 12

टास्क 2त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ AM और CK परस्पर लंबवत हैं और क्रमशः 6 और 9 के बराबर हैं। AB और BC की भुजाओं की लंबाई की गणना करें।

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif" width="104" height="41">,

इसीलिए और

, .

के अलावा

, .

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम AK और SM खंडों की लंबाई की गणना करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

अब हम AB और BC की भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं:

AB=2AK=10, BC=2CM=.

जवाब: 10;.

आत्म-नियंत्रण के लिए परीक्षण।

1. त्रिभुज की माध्यिका आधे में विभाजित होती है (उत्तरों में से एक चुनें)

1) त्रिभुज कोण

2) त्रिभुज की भुजा

3) त्रिभुज की दो भुजाएँ

2. त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु त्रिभुज की प्रत्येक माध्यिका को किस अनुपात में विभाजित करता है (सही उत्तर चुनें)।

1) 2:1 त्रिभुज के आधार से गिनती

2) 1:2 त्रिभुज के ऊपर से गिनना

3) 2:1 त्रिभुज के ऊपर से गिनती

4) 1:2 त्रिभुज के आधार से गिनती

5) दो बराबर भागों में

3. यदि माध्यिका AM और P त्रिभुज ABC में त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो माध्यिका AM का कौन सा भाग खंड AP है? (उत्तरों में से एक चुनें)

4. त्रिभुज ABC में, माध्यिका AM और P खींचे गए हैं - त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। माध्यिका AM का कौन सा भाग खंड PM है? (उत्तरों में से एक चुनें)

5. त्रिभुज ABC में, माध्यिका AM और P खींचे गए हैं - त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु। खंड AP का कौन सा भाग खंड PM है? (उत्तरों में से एक चुनें)

सही उत्तर देखें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

1. एक त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु उसके शीर्षों से 6 सेमी, 8 सेमी और 12 सेमी के बराबर दूरी से अलग किया जाता है। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान देखें।

2. त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ VM और SC परस्पर लंबवत हैं और क्रमशः 15 और 36 के बराबर हैं। AB और AC की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान देखें।

3. त्रिभुज की माध्यिकाएँ 6, 9 और 12 हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्षों से कितनी दूर है?

समाधान देखें।

4. त्रिभुज की माध्यिकाएं 9, 12 और 18 हैं। त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से इस त्रिभुज के गुरुत्व केंद्र तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान देखें।

5. किसी त्रिभुज का गुरुत्व केन्द्र उसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से दूरियों द्वारा अलग किया जाता है। 5, 6 और 7 के बराबर। इस त्रिभुज की माध्यिकाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान देखें।

6. किसी त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं से 2, 3 और 4 के बराबर दूरियों से हटा दिया जाता है। यह बिंदु त्रिभुज के शीर्षों से कितनी दूरी पर है?

समाधान देखें।

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