किसी फ़ंक्शन का चरम बिंदु फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन का मान न्यूनतम या अधिकतम मान लेता है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान को फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा (न्यूनतम और अधिकतम) कहा जाता है.

परिभाषा. डॉट एक्स1 फ़ंक्शन डोमेन एफ(एक्स) कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु , यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान उसके दाएं और बाएं स्थित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान से अधिक है (अर्थात, असमानता कायम है) एफ(एक्स0 ) > एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) एक्स1 अधिकतम।

परिभाषा. डॉट एक्स2 फ़ंक्शन डोमेन एफ(एक्स) कहा जाता है फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु, यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान उसके दाएं और बाएं स्थित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान से कम है (अर्थात, असमानता कायम है) एफ(एक्स0 ) < एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) ). इस मामले में हम कहते हैं कि फ़ंक्शन बिंदु पर है एक्स2 न्यूनतम।

आइए बताते हैं बिंदु एक्स1 - फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर तक के अंतराल में एक्स1 कार्य बढ़ जाता है, इसलिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ), और इसके बाद के अंतराल में एक्स1 फलन कम हो जाता है, इसलिए, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्नशून्य से कम ( एफ "(एक्स) < 0 ). Тогда в точке एक्स1

चलिए बात ये भी मान लेते हैं एक्स2 - फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर तक के अंतराल में एक्स2 फ़ंक्शन घट रहा है, और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ "(एक्स) < 0 ), а в интервале после एक्स2 फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ). इस मामले में भी यही मुद्दा है एक्स2 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।

फ़र्मेट का प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का एक आवश्यक संकेत). अगर बात एक्स0 - फ़ंक्शन का चरम बिंदु एफ(एक्स) तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है ( एफ "(एक्स) = 0 ) या अस्तित्व में नहीं है।

परिभाषा. वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु .

उदाहरण 1।आइए फ़ंक्शन पर विचार करें.

बिंदु पर एक्स= 0 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, इसलिए बिंदु एक्स= 0 क्रांतिक बिंदु है. हालाँकि, जैसा कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर देखा जा सकता है, यह परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है, इसलिए बिंदु एक्स= 0 इस फ़ंक्शन का चरम बिंदु नहीं है।

इस प्रकार, यह स्थितियाँ कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है, एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें हैं, लेकिन पर्याप्त नहीं हैं, क्योंकि फ़ंक्शन के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं जिनके लिए ये शर्तें पूरी होती हैं, लेकिन फ़ंक्शन संगत बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है। इसीलिए पर्याप्त सबूत होने चाहिए, किसी को यह निर्णय लेने की अनुमति देता है कि क्या किसी विशेष महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा है और यह किस प्रकार की चरम सीमा है - अधिकतम या न्यूनतम।

प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का पहला पर्याप्त संकेत)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 एफ(एक्स) यदि, इस बिंदु से गुजरते समय, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न चिह्न बदल जाता है, और यदि चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो यह एक अधिकतम बिंदु है, और यदि "माइनस" से "प्लस" हो जाता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है.

यदि बिंदु के निकट एक्स0 , इसके बायीं और दायीं ओर, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन या तो केवल घटता है या केवल बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में बढ़ता है एक्स0 . इस मामले में, बिंदु पर एक्स0 कोई अति नहीं है.

इसलिए, फ़ंक्शन के चरम बिंदु निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने की आवश्यकता है :

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें।
3. मानसिक रूप से या कागज पर, संख्या रेखा पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें और परिणामी अंतराल में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करें। यदि व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम बिंदु होता है, और यदि "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है, तो न्यूनतम बिंदु होता है।
4. चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 2.फलन का चरम ज्ञात कीजिए .

समाधान। आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

.

चूँकि "x" के किसी भी मान के लिए हर शून्य के बराबर नहीं है, हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

एक महत्वपूर्ण बिंदु मिला एक्स= 3 . आइए हम इस बिंदु द्वारा सीमांकित अंतरालों में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें:

माइनस इनफिनिटी से 3 तक की सीमा में - एक माइनस साइन, यानी, फ़ंक्शन घट जाता है,

3 से प्लस अनंत तक के अंतराल में एक प्लस चिह्न होता है, यानी फ़ंक्शन बढ़ता है।

अर्थात काल एक्स= 3 न्यूनतम बिंदु है.

आइए न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का चरम बिंदु पाया जाता है: (3; 0), और यह न्यूनतम बिंदु है।

प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व का दूसरा पर्याप्त संकेत)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 फ़ंक्शन का चरम बिंदु है एफ(एक्स) यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर नहीं है ( एफ ""(एक्स) ≠ 0 ), और यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ ""(एक्स) > 0 ), तो अधिकतम बिंदु, और यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ ""(एक्स) < 0 ), то точкой минимума.

नोट 1. यदि बिंदु पर एक्स0 यदि पहला और दूसरा दोनों व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं, तो इस बिंदु पर दूसरे पर्याप्त मानदंड के आधार पर एक चरम की उपस्थिति का आकलन करना असंभव है। इस मामले में, आपको किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड का उपयोग करने की आवश्यकता है।

टिप्पणी 2. किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरा पर्याप्त मानदंड तब भी लागू नहीं होता है जब पहला व्युत्पन्न एक स्थिर बिंदु पर मौजूद नहीं होता है (तब दूसरा व्युत्पन्न भी मौजूद नहीं होता है)। इस मामले में, आपको किसी फ़ंक्शन के चरम के पहले पर्याप्त संकेत का उपयोग करने की भी आवश्यकता है।

कार्य की चरम सीमा की स्थानीय प्रकृति

उपरोक्त परिभाषाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी फ़ंक्शन का चरम प्रकृति में स्थानीय है - यह आस-पास के मानों की तुलना में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है।

मान लीजिए कि आप एक वर्ष की अवधि में अपनी कमाई देख रहे हैं। यदि मई में आपने 45,000 रूबल कमाए, और अप्रैल में 42,000 रूबल और जून में 39,000 रूबल कमाए, तो मई की कमाई आस-पास के मूल्यों की तुलना में कमाई फ़ंक्शन की अधिकतम है। लेकिन अक्टूबर में आपने 71,000 रूबल, सितंबर में 75,000 रूबल और नवंबर में 74,000 रूबल कमाए, इसलिए अक्टूबर की कमाई आस-पास के मूल्यों की तुलना में कमाई फ़ंक्शन का न्यूनतम है। और आप आसानी से देख सकते हैं कि अप्रैल-मई-जून के मूल्यों में अधिकतम सितंबर-अक्टूबर-नवंबर के न्यूनतम से कम है।

सामान्यतया, एक अंतराल पर एक फ़ंक्शन के कई चरम हो सकते हैं, और ऐसा हो सकता है कि फ़ंक्शन का कुछ न्यूनतम भाग किसी भी अधिकतम से अधिक हो। तो, उपरोक्त चित्र में दिखाए गए फ़ंक्शन के लिए,।

अर्थात्, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम, क्रमशः, विचाराधीन संपूर्ण खंड पर उसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है। अधिकतम बिंदु पर, फ़ंक्शन का मान केवल उन मानों की तुलना में सबसे बड़ा होता है जो अधिकतम बिंदु के पर्याप्त करीब सभी बिंदुओं पर होता है, और न्यूनतम बिंदु पर इसका मान केवल उन मानों की तुलना में सबसे छोटा होता है कि यह सभी बिंदुओं पर न्यूनतम बिंदु के पर्याप्त करीब है।

इसलिए, हम किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की उपरोक्त अवधारणा को स्पष्ट कर सकते हैं और न्यूनतम बिंदुओं को स्थानीय न्यूनतम बिंदु और अधिकतम बिंदुओं को स्थानीय अधिकतम बिंदु कह सकते हैं।

हम एक साथ समारोह के चरम की तलाश करते हैं

उदाहरण 3.

समाधान: फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है। इसका व्युत्पन्न संपूर्ण संख्या रेखा पर भी मौजूद है। इसलिए, इस मामले में, महत्वपूर्ण बिंदु केवल वही हैं जिन पर, अर्थात्। , कहाँ से और . महत्वपूर्ण बिंदु और फ़ंक्शन की परिभाषा के पूरे डोमेन को एकरसता के तीन अंतरालों में विभाजित करें:। आइए उनमें से प्रत्येक में एक नियंत्रण बिंदु चुनें और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का चिह्न ढूंढें।

अंतराल के लिए, नियंत्रण बिंदु हो सकता है: खोजें। अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है, और अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है। तो, अंतराल में और, और अंतराल में। चरम सीमा के लिए पहले पर्याप्त मानदंड के अनुसार, बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं होती है (चूंकि व्युत्पन्न अंतराल में अपना संकेत बरकरार रखता है), और बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है (चूंकि व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न को शून्य से प्लस में बदलता है जब गुजरता है) इस बिंदु के माध्यम से)। आइए फ़ंक्शन के संबंधित मान खोजें: , ए . अंतराल में फ़ंक्शन घटता है, क्योंकि इस अंतराल में, और अंतराल में यह बढ़ता है, क्योंकि इस अंतराल में।

ग्राफ़ की संरचना को स्पष्ट करने के लिए, हम निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। जब हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसकी जड़ें और हैं, यानी, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के दो बिंदु (0; 0) और (4; 0) पाए जाते हैं। प्राप्त सभी सूचनाओं का उपयोग करके, हम एक ग्राफ़ बनाते हैं (उदाहरण की शुरुआत देखें)।

गणना के दौरान स्व-जाँच के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

उदाहरण 4.फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बिंदु को छोड़कर, संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात। .

अध्ययन को छोटा करने के लिए, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि यह फ़ंक्शन सम है, चूँकि . इसलिए, इसका ग्राफ़ अक्ष के प्रति सममित है ओएऔर अध्ययन केवल अंतराल के लिए ही किया जा सकता है।

व्युत्पन्न ढूँढना और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु:

1) ;

2) ,

लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन में असंततता आ जाती है, इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है।

इस प्रकार, दिए गए फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं: और। फ़ंक्शन की समता को ध्यान में रखते हुए, हम एक चरम के लिए दूसरे पर्याप्त मानदंड का उपयोग करके केवल बिंदु की जांच करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसका चिह्न निर्धारित करें: हमें मिलता है। चूंकि और, यह फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, और .

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अधिक संपूर्ण तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आइए परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर इसके व्यवहार का पता लगाएं:

(यहाँ प्रतीक इच्छा को इंगित करता है एक्सदाईं ओर से शून्य, और एक्ससकारात्मक रहता है; इसी प्रकार आकांक्षा का भी अर्थ है एक्सबायीं ओर से शून्य तक, और एक्सनकारात्मक रहता है)। इस प्रकार, यदि, तो। अगला, हम पाते हैं

,

वे। तो अगर ।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में अक्षों के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। चित्र उदाहरण की शुरुआत में है.

गणना के दौरान स्व-जाँच के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं ऑनलाइन व्युत्पन्न कैलकुलेटर .

हम साथ मिलकर फ़ंक्शन के चरम की खोज जारी रखते हैं

उदाहरण 8.फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। चूँकि असमानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए, हम इससे प्राप्त करते हैं।

आइए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें।

प्रमेय. (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त) यदि फ़ंक्शन f(x) बिंदु x = x 1 पर अवकलनीय है और बिंदु x 1 एक चरम बिंदु है, तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न इस बिंदु पर गायब हो जाता है।

सबूत। आइए मान लें कि फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x = x 1 पर अधिकतम है।

फिर पर्याप्त रूप से छोटे सकारात्मक Dх>0 के लिए निम्नलिखित असमानता सत्य है:

ए-प्राथमिकता:

वे। यदि Dх®0, लेकिन Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, फिर f¢(x 1) £ 0.

और यह तभी संभव है जब Dх®0 f¢(x 1) = 0 पर हो।

उस स्थिति के लिए यदि फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x 2 पर न्यूनतम है, तो प्रमेय को इसी तरह से सिद्ध किया जाता है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिणाम। उलटा कथन सत्य नहीं है. यदि किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का चरम है। इसका एक स्पष्ट उदाहरण फ़ंक्शन y = x 3 है, जिसका व्युत्पन्न बिंदु x = 0 पर शून्य के बराबर है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन में केवल एक विभक्ति है, न कि अधिकतम या न्यूनतम।

परिभाषा।महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शन वे बिंदु हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है या शून्य के बराबर है।

ऊपर चर्चा की गई प्रमेय हमें एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तें प्रदान करती है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है।

उदाहरण:एफ(एक्स) = ôxô उदाहरण:एफ(एक्स) =

Y y

बिंदु x = 0 पर फ़ंक्शन में न्यूनतम है, लेकिन बिंदु x = 0 पर फ़ंक्शन में कोई भी न्यूनतम नहीं है

कोई व्युत्पन्न नहीं है. अधिकतम, कोई न्यूनतम नहीं, कोई उत्पादन नहीं

सामान्यतया, फ़ंक्शन f(x) का उन बिंदुओं पर चरम हो सकता है जहां व्युत्पन्न मौजूद नहीं है या शून्य के बराबर है।

प्रमेय. (चरम सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थितियाँ)

मान लीजिए कि फ़ंक्शन f(x) अंतराल (ए, बी) में निरंतर है, जिसमें महत्वपूर्ण बिंदु x 1 शामिल है, और इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर भिन्न होता है (शायद, बिंदु x 1 को छोड़कर)।

यदि, बिंदु x 1 से बाएं से दाएं गुजरते समय, फ़ंक्शन f¢(x) का व्युत्पन्न चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, तो बिंदु x = x 1 पर फ़ंक्शन f(x) होता है अधिकतम, और यदि व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है - तो फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है।

सबूत।

होने देना

लैग्रेंज प्रमेय के अनुसार: एफ(एक्स) – एफ(एक्स 1) = एफ¢(ई)(एक्स – एक्स 1),कहां एक्स< e < x 1 .

तब: 1) यदि x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

एफ(एक्स) – एफ(एक्स 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) यदि x > x 1, तो e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

एफ(एक्स) – एफ(एक्स 1)<0 или f(x) < f(x 1).

चूँकि उत्तर मेल खाते हैं, हम कह सकते हैं कि f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

न्यूनतम बिंदु के लिए प्रमेय का प्रमाण समान है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उपरोक्त के आधार पर, आप किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के लिए एक एकीकृत प्रक्रिया विकसित कर सकते हैं:

1) फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।

2) महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

3) खंड के अंत में फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4) प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

एक चरम के उपयोग के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन करना

उच्च आदेशों का व्युत्पन्न।

माना बिंदु x = x 1 पर f¢(x 1) = 0 और f¢¢(x 1) मौजूद है और बिंदु x 1 के कुछ पड़ोस में निरंतर है।

प्रमेय. यदि f¢(x 1) = 0, तो बिंदु x = x 1 पर फलन f(x) का अधिकतम मान है यदि f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

सबूत।

माना f¢(x 1) = 0 और f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

क्योंकि f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >x पर 0 एक्स 1 . इसका मतलब यह है कि बिंदु x = x 1 से गुजरने पर, व्युत्पन्न f¢(x) का चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, यानी।

इस बिंदु पर फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम मान है।

न्यूनतम फलन के मामले में, प्रमेय को इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।

यदि f¢¢(x) = 0, तो क्रांतिक बिंदु की प्रकृति अज्ञात है। इसे निर्धारित करने के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है।

वक्र की उत्तलता और अवतलता.

विभक्ति बिंदु.

परिभाषा। वक्र उत्तल है ऊपरअंतराल (ए, बी) पर यदि इसके सभी बिंदु इस अंतराल पर इसके किसी भी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित हैं। ऊपर की ओर उत्तल वक्र कहलाता है उत्तल, और उत्तल रूप से नीचे की ओर मुख वाला वक्र कहलाता है नतोदर.

पर

यह चित्र उपरोक्त परिभाषा का एक उदाहरण दिखाता है।

प्रमेय 1. यदि अंतराल (ए, बी) के सभी बिंदुओं पर फ़ंक्शन एफ (एक्स) का दूसरा व्युत्पन्न नकारात्मक है, तो वक्र वाई = एफ (एक्स) ऊपर की ओर उत्तल (उत्तल) है।

सबूत। मान लीजिए x 0 О (ए, बी)। आइए इस बिंदु पर वक्र पर एक स्पर्शरेखा बनाएं।

वक्र समीकरण: y = f(x);

स्पर्शरेखा समीकरण:

यह तो सिद्ध होना ही चाहिए.

f(x) – f(x 0): , x 0 के लिए लैग्रेंज प्रमेय द्वारा< c < x.

लैग्रेंज के प्रमेय के अनुसार

माना x > x 0 तो x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 और सी - एक्स 0 > 0, और इसके अलावा, शर्त के अनुसार

इस तरह, ।

चलो एक्स< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

इसी प्रकार यह सिद्ध है कि यदि अंतराल (a, b) पर f¢¢(x) > 0 है, तो अंतराल (a, b) पर वक्र y=f(x) अवतल है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

परिभाषा। वक्र के उत्तल भाग को अवतल भाग से अलग करने वाले बिंदु को कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु.

जाहिर है, विभक्ति बिंदु पर स्पर्शरेखा वक्र को काटती है।

प्रमेय 2. मान लीजिए कि वक्र को समीकरण y = f(x) द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि दूसरा व्युत्पन्न f¢¢(a) = 0 या f¢¢(a) मौजूद नहीं है और बिंदु x = a f¢¢(x) से गुजरने पर चिह्न बदलता है, तो भुज के साथ वक्र का बिंदु x = ए एक विभक्ति बिंदु है.

सबूत। 1) मान लीजिए f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >x > a के लिए 0. तो फिर

एक्स< a кривая выпукла, а при x >a वक्र अवतल है, अर्थात बिंदु x = a – विभक्ति बिंदु.

2) मान लीजिए x के लिए f¢¢(x) > 0 है< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >बी - ऊपर की ओर उत्तल. तब x = b विभक्ति बिंदु है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

स्पर्शोन्मुख।

फ़ंक्शंस का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसा होता है कि जब वक्र पर किसी बिंदु का x-निर्देशांक अनंत तक चला जाता है, तो वक्र अनिश्चित काल तक एक निश्चित सीधी रेखा तक पहुंचता है।

परिभाषा। सीधी रेखा कहलाती है अनंतस्पर्शीवक्र यदि बिंदु अनंत की ओर बढ़ता है तो वक्र के परिवर्तनशील बिंदु से इस सीधी रेखा की दूरी शून्य हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक वक्र में एक अनंतस्पर्शी नहीं होता है। स्पर्शोन्मुख सीधे या तिरछे हो सकते हैं। स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए कार्यों का अध्ययन करना बहुत महत्वपूर्ण है और आपको फ़ंक्शन की प्रकृति और वक्र ग्राफ़ के व्यवहार को अधिक सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

आम तौर पर बोलते हुए, एक वक्र, अनिश्चित काल तक अपने अनंतस्पर्शी के करीब पहुंचता है, इसे प्रतिच्छेद कर सकता है, न कि एक बिंदु पर, जैसा कि नीचे दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दिखाया गया है . इसका तिरछा अनंतस्पर्शी y = x है।

आइए हम वक्रों की अनंतस्पर्शी ज्ञात करने की विधियों पर अधिक विस्तार से विचार करें।

लंबवत अनंतस्पर्शी.

अनंतस्पर्शी की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि या या, तो सीधी रेखा x = a वक्र y = f(x) की अनंतस्पर्शी है।

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन के लिए, रेखा x = 5 एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।

तिरछा स्पर्शोन्मुख.

मान लीजिए कि वक्र y = f(x) में एक तिरछा अनंतस्पर्शी y = kx + b है।

आइए हम अनंतस्पर्शी के साथ वक्र और लंबवत के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें - एम, पी - अनंतस्पर्शी के साथ इस लंबवत के प्रतिच्छेदन बिंदु को। आइए हम अनंतस्पर्शी और ऑक्स अक्ष के बीच के कोण को j के रूप में निरूपित करें। ऑक्स अक्ष पर लंबवत MQ अनंतस्पर्शी बिंदु N पर प्रतिच्छेद करता है।

तब MQ = y वक्र पर बिंदु की कोटि है, NQ = अनंतस्पर्शी पर बिंदु N की कोटि है।

शर्त के अनुसार: , ÐNMP = j, .

कोण j स्थिर है और 90 0 के बराबर नहीं है

तब .

तो, सीधी रेखा y = kx + b वक्र की अनंतस्पर्शी रेखा है। इस रेखा को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, गुणांक k और b की गणना करने का एक तरीका खोजना आवश्यक है।

परिणामी अभिव्यक्ति में हम कोष्ठक से x निकालते हैं:

क्योंकि x®¥, फिर , क्योंकि बी = स्थिरांक, फिर .

तब , इस तरह,

.

क्योंकि , वह , इस तरह,

ध्यान दें कि क्षैतिज अनंतस्पर्शी k = 0 के लिए तिरछी अनंतस्पर्शी का एक विशेष मामला है।

उदाहरण। .

1) लंबवत अनंतस्पर्शी: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, इसलिए, x = 0 एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।

2) तिर्यक स्पर्शोन्मुख:

इस प्रकार, सीधी रेखा y = x + 2 एक तिरछी अनंतस्पर्शी है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें:

उदाहरण।अनंतस्पर्शी खोजें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं।

रेखाएँ x = 3 और x = -3 वक्र की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं।

आइए तिरछी अनंतस्पर्शी खोजें:

y = 0 - क्षैतिज अनंतस्पर्शी.

उदाहरण।अनंतस्पर्शी खोजें और फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं .

सीधी रेखा x = -2 वक्र की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखा है।

आइए तिरछी अनंतस्पर्शी खोजें।

कुल मिलाकर, सीधी रेखा y = x – 4 एक तिरछी अनंतस्पर्शी रेखा है।

कार्य अध्ययन योजना

फ़ंक्शन अनुसंधान प्रक्रिया में कई चरण होते हैं। फ़ंक्शन के व्यवहार और उसके ग्राफ़ की प्रकृति की सबसे संपूर्ण समझ के लिए, यह खोजना आवश्यक है:

1) फ़ंक्शन के अस्तित्व का क्षेत्र।

इस अवधारणा में मूल्यों का क्षेत्र और किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र दोनों शामिल हैं।

2) ब्रेकिंग पॉइंट. (अगर हो तो)।

3) वृद्धि और कमी का अंतराल।

4) अधिकतम और न्यूनतम अंक.

5) परिभाषा के क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम मान।

6) उत्तलता और अवतलता के क्षेत्र।

7) विभक्ति बिंदु (यदि कोई हो)।

8) स्पर्शोन्मुख (यदि कोई हो)।

9) ग्राफ बनाना।

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके इस योजना के अनुप्रयोग को देखें।

उदाहरण।फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

हम फ़ंक्शन के अस्तित्व का क्षेत्र ढूंढते हैं। यह तो स्पष्ट है परिभाषा का क्षेत्रफलन क्षेत्र (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥) है।

बदले में, यह स्पष्ट है कि सीधी रेखाएँ x = 1, x = -1 हैं ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शीटेढ़ा.

मूल्यों की श्रृंखलाइस फ़ंक्शन का अंतराल (-¥; ¥) है।

ब्रेक प्वाइंटफलन बिंदु x = 1, x = -1 हैं।

हम देखतें है महत्वपूर्ण बिंदु.

आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

महत्वपूर्ण बिंदु: x = 0; एक्स = - ; एक्स = ; एक्स = -1; एक्स = 1.

आइए फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें

आइए हम अंतरालों पर वक्र की उत्तलता और अवतलता का निर्धारण करें।

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, अवतल वक्र

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, अवतल वक्र

< x < ¥, y¢¢ >0, अवतल वक्र

अंतराल ढूँढना की बढ़तीऔर अवरोहीकार्य. ऐसा करने के लिए, हम अंतराल पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं।

-¥ < x < - , y¢ >0, कार्य बढ़ रहा है

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, कार्य बढ़ रहा है

यह देखा जा सकता है कि बिंदु x = - एक बिंदु है अधिकतम, और बिंदु x = एक बिंदु है न्यूनतम. इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान क्रमशः -3 /2 और 3 /2 के बराबर हैं।

ऊर्ध्वाधर के बारे में स्पर्शोन्मुखऊपर पहले ही कहा जा चुका है। अब आइए खोजें परोक्ष स्पर्शोन्मुख.

कुल मिलाकर, तिरछी अनंतस्पर्शी का समीकरण y = x है।

चलो बनाते हैं अनुसूचीविशेषताएँ:

अनेक चरों के कार्य

कई चरों के कार्यों पर विचार करते समय, हम स्वयं को दो चरों के कार्यों के विस्तृत विवरण तक ही सीमित रखेंगे प्राप्त सभी परिणाम मनमाने ढंग से संख्या में चर के कार्यों के लिए मान्य होंगे।

परिभाषा: यदि किसी निश्चित सेट से परस्पर स्वतंत्र संख्याओं (x, y) का प्रत्येक जोड़ा, किसी नियम के अनुसार, वेरिएबल z के एक या अधिक मानों से जुड़ा है, तो वेरिएबल z को दो वेरिएबल्स का एक फ़ंक्शन कहा जाता है।

परिभाषा: यदि संख्याओं की एक जोड़ी (x, y) एक मान z से मेल खाती है, तो फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है स्पष्ट, और यदि एक से अधिक हो तो – बहुअर्थी.

परिभाषा:परिभाषा का क्षेत्रफ़ंक्शन z जोड़े (x, y) का सेट है जिसके लिए फ़ंक्शन z मौजूद है।

परिभाषा:एक बिंदु का पड़ोसत्रिज्या r का M 0 (x 0, y 0) उन सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय है जो शर्त को पूरा करते हैं .

परिभाषा: संख्या A को कहा जाता है आप LIMITफ़ंक्शन f(x, y) क्योंकि बिंदु M(x, y) बिंदु M 0 (x 0, y 0) की ओर जाता है, यदि प्रत्येक संख्या e > 0 के लिए एक संख्या r > 0 है जैसे कि किसी भी बिंदु M के लिए (x, y), जिसके लिए शर्त सत्य है

शर्त भी सत्य है .

लिखो:

परिभाषा: मान लीजिए कि बिंदु M 0 (x 0, y 0) फ़ंक्शन f(x, y) की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है। फिर फ़ंक्शन z = f(x, y) कहा जाता है निरंतरबिंदु M 0 (x 0, y 0) पर, यदि

(1)

और बिंदु M(x, y) मनमाने तरीके से बिंदु M 0 (x 0, y 0) की ओर झुकता है।

यदि किसी बिंदु पर शर्त (1) संतुष्ट नहीं होती है, तो इस बिंदु को कहा जाता है विराम बिंदुफलन f(x, y). यह निम्नलिखित मामलों में हो सकता है:

1) फलन z = f(x, y) बिंदु M 0 (x 0, y 0) पर परिभाषित नहीं है।

2) कोई सीमा नहीं है.

3) यह सीमा मौजूद है, लेकिन यह f(x 0 , y 0) के बराबर नहीं है।

संपत्ति। यदि फ़ंक्शन f(x, y,…) एक बंद और में परिभाषित और निरंतर है

परिबद्ध डोमेन D, तो इस डोमेन में कम से कम एक बिंदु है

N(x 0 , y 0 ,…), इस प्रकार कि शेष बिंदुओं के लिए असमानता सत्य है

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

साथ ही बिंदु N 1 (x 01, y 01, ...), जैसे कि अन्य सभी बिंदुओं के लिए असमानता सत्य है

f(x 01 , y 01 ,…) £ f(x, y,…)

तब f(x 0 , y 0 , …) = M – उच्चतम मूल्यफलन, और f(x 01 , y 01 , ...) = m – सबसे छोटा मूल्यडोमेन D में फ़ंक्शन f(x, y,…)

एक बंद और परिबद्ध डोमेन डी में एक सतत फ़ंक्शन कम से कम एक बार अपने सबसे बड़े मूल्य और एक बार अपने सबसे छोटे मूल्य तक पहुंचता है।

संपत्ति। यदि फ़ंक्शन f(x, y,…) एक बंद परिबद्ध डोमेन D में परिभाषित और निरंतर है, और M और m क्रमशः इस डोमेन में फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान हैं, तो किसी भी बिंदु के लिए m О एक बात है

N 0 (x 0 , y 0 , …) ऐसा कि f(x 0 , y 0 , …) = m.

सीधे शब्दों में कहें तो, एक सतत फ़ंक्शन डोमेन डी में एम और एम के बीच के सभी मध्यवर्ती मान लेता है। इस संपत्ति का परिणाम यह निष्कर्ष हो सकता है कि यदि संख्या एम और एम अलग-अलग संकेतों के हैं, तो डोमेन डी में फ़ंक्शन कम से कम एक बार गायब हो जाता है।

संपत्ति। फ़ंक्शन f(x, y,…), एक बंद परिबद्ध डोमेन D में निरंतर, सीमितइस क्षेत्र में, यदि कोई संख्या K ऐसी है कि क्षेत्र के सभी बिंदुओं के लिए असमानता सत्य है .

संपत्ति। यदि कोई फ़ंक्शन f(x, y,…) एक बंद परिबद्ध डोमेन D में परिभाषित और निरंतर है, तो यह समान रूप से निरंतरइस क्षेत्र में, अर्थात् किसी भी धनात्मक संख्या e के लिए एक संख्या D > 0 होती है, जिससे D से कम दूरी पर स्थित क्षेत्र के किन्हीं दो बिंदुओं (x 1, y 1) और (x 2, y 2) के लिए असमानता कायम रहती है

उपरोक्त गुण एक चर के कार्यों के गुणों के समान हैं जो एक अंतराल पर निरंतर होते हैं। एक अंतराल पर निरंतर चलने वाले कार्यों के गुण देखें।

कार्यों के व्युत्पन्न और अंतर

अनेक चर.

परिभाषा। मान लीजिए किसी डोमेन में एक फ़ंक्शन z = f(x, y) दिया गया है। आइए एक मनमाना बिंदु M(x, y) लें और वृद्धि Dx को वेरिएबल x पर सेट करें। तब मात्रा D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) कहलाती है x में फ़ंक्शन की आंशिक वृद्धि।

आप लिख सकते हैं

.

फिर इसे कहा जाता है आंशिक व्युत्पन्न x में फ़ंक्शन z = f(x, y)।

पद का नाम:

Y के संबंध में किसी फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न इसी तरह निर्धारित किया जाता है।

ज्यामितीय बोधआंशिक व्युत्पन्न (मान लीजिए) विमान y = y 0 द्वारा सतह के खंड पर बिंदु N 0 (x 0, y 0, z 0) पर खींची गई स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा है।

पूर्ण वेतन वृद्धि और पूर्ण अंतर.

स्पर्शरेखा तल

मान लीजिए N और N 0 इस सतह के बिंदु हैं। आइए एक सीधी रेखा एनएन 0 खींचें। वह तल जो बिंदु N 0 से होकर गुजरता है, कहलाता है स्पर्शरेखा तलसतह पर यदि छेदक एनएन 0 और इस तल के बीच का कोण शून्य हो जाता है, जब दूरी एनएन 0 शून्य हो जाती है।

परिभाषा।सामान्यबिंदु N 0 पर सतह पर इस सतह के स्पर्शरेखा तल के लंबवत बिंदु N 0 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

किसी भी बिंदु पर सतह पर या तो केवल एक स्पर्शरेखा तल होता है या बिल्कुल नहीं होता है।

यदि सतह समीकरण z = f(x, y) द्वारा दी गई है, जहां f(x, y) बिंदु M 0 (x 0, y 0) पर अवकलनीय एक फलन है, तो बिंदु N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) मौजूद है और इसका समीकरण है:

इस बिंदु पर सतह के सामान्य का समीकरण है:

ज्यामितीय बोधबिंदु (x 0, y 0) पर दो चर f(x, y) के एक फ़ंक्शन का कुल अंतर बिंदु (x 0) से आगे बढ़ने पर सतह पर स्पर्शरेखा विमान के अनुप्रयुक्त (z निर्देशांक) की वृद्धि है , y 0) बिंदु तक (x 0 + Dx, y 0 +Dу).

जैसा कि आप देख सकते हैं, दो चर वाले फ़ंक्शन के कुल अंतर का ज्यामितीय अर्थ एक चर वाले फ़ंक्शन के अंतर के ज्यामितीय अर्थ का एक स्थानिक एनालॉग है।

उदाहरण।सतह के स्पर्शरेखा तल और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए

बिंदु M(1, 1, 1) पर।

स्पर्शरेखा समतल समीकरण:

सामान्य समीकरण:

कुल अंतर का उपयोग करके अनुमानित गणना।

फ़ंक्शन यू का कुल अंतर इसके बराबर है:

इस अभिव्यक्ति का सटीक मान 1.049275225687319176 है।

उच्चतर आदेशों का आंशिक व्युत्पन्न।

यदि किसी फ़ंक्शन f(x, y) को किसी डोमेन D में परिभाषित किया गया है, तो इसका आंशिक व्युत्पन्न भी उसी डोमेन या उसके भाग में परिभाषित किया जाएगा।

हम इन्हें डेरिवेटिव कहेंगे प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न।

इन कार्यों के व्युत्पन्न होंगे दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न।

परिणामी समानताओं में अंतर करना जारी रखते हुए, हम उच्च क्रम के आंशिक व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं।

कार्य और इसकी विशेषताओं का अध्ययन आधुनिक गणित के प्रमुख अध्यायों में से एक है। किसी भी फ़ंक्शन का मुख्य घटक ग्राफ़ होता है जो न केवल उसके गुणों को दर्शाता है, बल्कि इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मापदंडों को भी दर्शाता है। आइए इस कठिन विषय को समझें। तो किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु खोजने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

कार्य: परिभाषा

कोई भी वेरिएबल जो किसी तरह से किसी अन्य मात्रा के मान पर निर्भर करता है उसे फ़ंक्शन कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x 2) द्विघात है और संपूर्ण सेट x के लिए मान निर्धारित करता है। मान लीजिए कि x = 9, तो हमारे फलन का मान 9 2 = 81 के बराबर होगा।

फ़ंक्शन कई अलग-अलग प्रकारों में आते हैं: तार्किक, वेक्टर, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, संख्यात्मक और अन्य। उनका अध्ययन लैक्रोइक्स, लैग्रेंज, लीबनिज़ और बर्नौली जैसे उत्कृष्ट दिमागों द्वारा किया गया था। उनके कार्य कार्यों के अध्ययन के आधुनिक तरीकों में मुख्य आधार के रूप में कार्य करते हैं। न्यूनतम अंक खोजने से पहले, फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के अर्थ को समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

व्युत्पन्न और इसकी भूमिका

सभी फ़ंक्शन अपने वेरिएबल्स पर निर्भर करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे किसी भी समय अपना मान बदल सकते हैं। ग्राफ़ पर, इसे एक वक्र के रूप में दर्शाया जाएगा जो या तो ऑर्डिनेट अक्ष के साथ गिरता है या ऊपर उठता है (यह ऊर्ध्वाधर ग्राफ़ के साथ "y" संख्याओं का पूरा सेट है)। इसलिए, किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का निर्धारण सटीक रूप से इन "दोलनों" से संबंधित है। आइए बताते हैं क्या है ये रिश्ता.

किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को उसकी मूल विशेषताओं का अध्ययन करने और गणना करने के लिए ग्राफ़ किया जाता है कि फ़ंक्शन कितनी तेज़ी से बदलता है (यानी चर "x" के आधार पर इसका मान बदलता है)। जिस समय फ़ंक्शन बढ़ता है, उस समय इसके व्युत्पन्न का ग्राफ़ भी बढ़ जाएगा, लेकिन किसी भी सेकंड में फ़ंक्शन कम होना शुरू हो सकता है, और फिर व्युत्पन्न का ग्राफ़ घट जाएगा। वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न ऋण चिह्न से धन चिह्न में परिवर्तित हो जाता है, न्यूनतम बिंदु कहलाते हैं। यह जानने के लिए कि न्यूनतम अंक कैसे प्राप्त करें, आपको बेहतर ढंग से समझना चाहिए

व्युत्पन्न की गणना कैसे करें?

परिभाषा और फ़ंक्शन सामान्य तौर पर कई अवधारणाओं को दर्शाते हैं, व्युत्पन्न की परिभाषा को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: यह वह मात्रा है जो फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाती है।

इसे निर्धारित करने का गणितीय तरीका कई छात्रों को जटिल लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। आपको किसी भी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने के लिए बस मानक योजना का पालन करने की आवश्यकता है। नीचे हम वर्णन करते हैं कि आप विभेदन के नियमों को लागू किए बिना और डेरिवेटिव की तालिका को याद किए बिना किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु कैसे पा सकते हैं।

1. आप ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन को स्वयं चित्रित करने की आवश्यकता है, फिर उस पर एक बिंदु लें (आकृति में बिंदु ए)। भुज अक्ष (बिंदु x 0) के नीचे लंबवत रूप से एक रेखा खींचें, और बिंदु ए पर एक स्पर्शरेखा खींचें फ़ंक्शन का ग्राफ़. x-अक्ष और स्पर्शरेखा एक निश्चित कोण बनाते हैं। कोई फ़ंक्शन कितनी तेज़ी से बढ़ता है, इसके मान की गणना करने के लिए, आपको इस कोण के स्पर्शरेखा की गणना करने की आवश्यकता है।
2. यह पता चलता है कि स्पर्शरेखा और एक्स-अक्ष की दिशा के बीच के कोण का स्पर्शरेखा बिंदु ए के साथ एक छोटे से क्षेत्र में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। इस विधि को व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए एक ज्यामितीय विधि माना जाता है।

फ़ंक्शन का अध्ययन करने की विधियाँ

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु दो तरीकों से ज्ञात करना संभव है। हम ग्राफ़ का उपयोग करके पहली विधि पर पहले ही चर्चा कर चुके हैं, लेकिन हम व्युत्पन्न का संख्यात्मक मान कैसे निर्धारित कर सकते हैं? ऐसा करने के लिए, आपको कई सूत्र सीखने होंगे जो व्युत्पन्न के गुणों का वर्णन करते हैं और "x" जैसे चर को संख्याओं में बदलने में मदद करते हैं। निम्नलिखित विधि सार्वभौमिक है, इसलिए इसे लगभग सभी प्रकार के कार्यों (ज्यामितीय और लघुगणक दोनों) पर लागू किया जा सकता है।

1. फ़ंक्शन को व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर करना आवश्यक है, और फिर विभेदन के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है।
2. कुछ मामलों में, जब एक फ़ंक्शन दिया जाता है जिसमें चर "x" विभाजक में होता है, तो स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करना आवश्यक होता है, इसमें से बिंदु "0" को छोड़कर (सरल कारण से कि गणित में किसी को कभी भी ऐसा नहीं करना चाहिए) शून्य से भाग दें)।
3. इसके बाद, आपको फ़ंक्शन के मूल रूप को एक सरल समीकरण में बदलना चाहिए, जिसमें संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य के बराबर हो। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन इस तरह दिखता है: f(x) = 2x 3 +38x, तो विभेदन के नियमों के अनुसार इसका व्युत्पन्न f"(x) = 3x 2 +1 के बराबर है। फिर हम इस अभिव्यक्ति को एक में बदल देते हैं निम्नलिखित रूप का समीकरण: 3x 2 +1 = 0 .
4. समीकरण को हल करने और "x" बिंदु खोजने के बाद, आपको उन्हें x-अक्ष पर प्लॉट करना चाहिए और यह निर्धारित करना चाहिए कि चिह्नित बिंदुओं के बीच इन अनुभागों में व्युत्पन्न सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं। पदनाम के बाद, यह स्पष्ट हो जाएगा कि किस बिंदु पर फ़ंक्शन कम होना शुरू हो जाता है, यानी, साइन को माइनस से विपरीत में बदल देता है। इस तरह से आप न्यूनतम और अधिकतम दोनों अंक पा सकते हैं।

विभेदीकरण के नियम

किसी फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न का अध्ययन करने में सबसे बुनियादी घटक भेदभाव के नियमों का ज्ञान है। केवल उनकी मदद से आप बोझिल अभिव्यक्तियों और बड़े जटिल कार्यों को बदल सकते हैं। आइए उनसे परिचित हों, उनमें से बहुत सारे हैं, लेकिन शक्ति और लघुगणकीय कार्यों दोनों के प्राकृतिक गुणों के कारण वे सभी बहुत सरल हैं।

1. किसी भी स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य (f(x) = 0) के बराबर होता है। अर्थात्, व्युत्पन्न f(x) = x 5 + x - 160 निम्नलिखित रूप लेगा: f" (x) = 5x 4 +1।
2. दो पदों के योग का व्युत्पन्न: (f+w)" = f"w + fw"।
3. लघुगणक फलन का व्युत्पन्न: (log a d)" = d/ln a*d। यह सूत्र सभी प्रकार के लघुगणक पर लागू होता है।
4. घात का व्युत्पन्न: (x n)"= n*x n-1। उदाहरण के लिए, (9x 2)" = 9*2x = 18x।
5. साइनसॉइडल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न: (sin a)" = cos a। यदि कोण a का पाप 0.5 है, तो इसका व्युत्पन्न √3/2 है।

चरम बिंदु

हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि न्यूनतम अंक कैसे ज्ञात करें, लेकिन किसी फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की अवधारणा भी है। यदि न्यूनतम उन बिंदुओं को दर्शाता है जिन पर फ़ंक्शन ऋण चिह्न से प्लस में बदल जाता है, तो अधिकतम बिंदु एक्स-अक्ष पर वे बिंदु होते हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्लस से विपरीत - माइनस में बदल जाता है।

आप इसे ऊपर वर्णित विधि का उपयोग करके पा सकते हैं, लेकिन आपको यह ध्यान में रखना चाहिए कि वे उन क्षेत्रों को इंगित करते हैं जिनमें फ़ंक्शन कम होना शुरू होता है, यानी, व्युत्पन्न शून्य से कम होगा।

गणित में, दोनों अवधारणाओं को सामान्यीकृत करने की प्रथा है, उन्हें "चरम सीमा के बिंदु" वाक्यांश के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है। जब कोई कार्य आपसे इन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए कहता है, तो इसका मतलब है कि आपको किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने और न्यूनतम और अधिकतम अंक खोजने की आवश्यकता है।

इस लेख से पाठक सीखेंगे कि कार्यात्मक मूल्य की चरम सीमा क्या है, साथ ही व्यावहारिक गतिविधियों में इसके उपयोग की विशेषताओं के बारे में भी। उच्च गणित की नींव को समझने के लिए ऐसी अवधारणा का अध्ययन करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह विषय पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए मौलिक है।

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चरम सीमा क्या है?

स्कूली पाठ्यक्रम में, "चरम" की अवधारणा की कई परिभाषाएँ दी गई हैं। इस लेख का उद्देश्य इस मुद्दे से अनभिज्ञ लोगों को इस शब्द की सबसे गहरी और स्पष्ट समझ प्रदान करना है। तो, इस शब्द से यह समझा जाता है कि कार्यात्मक अंतराल किस हद तक किसी विशेष सेट पर न्यूनतम या अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है।

एक चरम एक फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और एक ही समय में अधिकतम दोनों है। एक न्यूनतम बिंदु और एक अधिकतम बिंदु होता है, यानी ग्राफ़ पर तर्क का चरम मान। इस अवधारणा का उपयोग करने वाले मुख्य विज्ञान हैं:

• आँकड़े;
• मशीन नियंत्रण;
• अर्थमिति.

चरम बिंदु किसी दिए गए फ़ंक्शन के अनुक्रम को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्राफ़ में समन्वय प्रणाली कार्यक्षमता में परिवर्तन के आधार पर चरम स्थिति में परिवर्तन को सर्वोत्तम रूप से दर्शाती है।

व्युत्पन्न फलन की चरम सीमा

"व्युत्पन्न" जैसी एक घटना भी है। चरम बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम या अधिकतम अंक को उच्चतम और निम्नतम मान के साथ भ्रमित न करें। ये अलग-अलग अवधारणाएँ हैं, हालाँकि ये समान लग सकती हैं।

फ़ंक्शन का मान अधिकतम बिंदु कैसे प्राप्त करें यह निर्धारित करने में मुख्य कारक है। व्युत्पन्न मूल्यों से नहीं बनता है, बल्कि विशेष रूप से एक या दूसरे क्रम में इसकी चरम स्थिति से बनता है।

व्युत्पन्न स्वयं इन चरम बिंदुओं के आधार पर निर्धारित किया जाता है, न कि सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्य पर। रूसी स्कूलों में, इन दो अवधारणाओं के बीच की रेखा स्पष्ट रूप से नहीं खींची जाती है, जो सामान्य रूप से इस विषय की समझ को प्रभावित करती है।

आइए अब हम "तीव्र चरम" जैसी अवधारणा पर विचार करें। आज, एक तीव्र न्यूनतम मूल्य और एक तीव्र अधिकतम मूल्य है। परिभाषा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के रूसी वर्गीकरण के अनुसार दी गई है। चरम बिंदु की अवधारणा ग्राफ़ पर महत्वपूर्ण बिंदु खोजने का आधार है।

ऐसी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, वे फ़र्मेट के प्रमेय का उपयोग करते हैं। यह चरम बिंदुओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण है और किसी न किसी रूप में उनके अस्तित्व का स्पष्ट विचार देता है। चरमता सुनिश्चित करने के लिए, ग्राफ़ पर कमी या वृद्धि के लिए कुछ स्थितियाँ बनाना महत्वपूर्ण है।

"अधिकतम बिंदु कैसे ज्ञात करें" प्रश्न का सटीक उत्तर देने के लिए, आपको इन दिशानिर्देशों का पालन करना होगा:

1. ग्राफ़ पर परिभाषा का सटीक डोमेन ढूँढना।
2. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और चरम बिंदु की खोज करें।
3. उस डोमेन के लिए मानक असमानताओं को हल करें जहां तर्क पाया जाता है।
4. यह साबित करने में सक्षम हो कि ग्राफ़ पर एक बिंदु किन कार्यों में परिभाषित और निरंतर है।

ध्यान!किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की खोज केवल तभी संभव है जब कम से कम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न हो, जो एक चरम बिंदु की उपस्थिति के उच्च अनुपात द्वारा सुनिश्चित किया जाता है।

किसी कार्य के चरम के लिए आवश्यक शर्त

एक चरम के अस्तित्व के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम और अधिकतम दोनों बिंदु हों। यदि इस नियम का केवल आंशिक रूप से पालन किया जाता है, तो एक चरम के अस्तित्व की स्थिति का उल्लंघन होता है।

किसी भी स्थिति में प्रत्येक फ़ंक्शन को उसके नए अर्थों की पहचान करने के लिए विभेदित किया जाना चाहिए। यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी बिंदु के शून्य पर जाने का मामला किसी भिन्न बिंदु को खोजने का मुख्य सिद्धांत नहीं है।

एक तीव्र चरम, साथ ही एक फ़ंक्शन का न्यूनतम, चरम मूल्यों का उपयोग करके गणितीय समस्या को हल करने का एक अत्यंत महत्वपूर्ण पहलू है। इस घटक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कार्यक्षमता निर्दिष्ट करने के लिए सारणीबद्ध मानों को संदर्भित करना महत्वपूर्ण है।

पूर्ण अर्थ अनुसंधान

एक वैल्यू ग्राफ़ प्लॉट करना

1. बढ़ते और घटते मूल्यों के बिंदुओं का निर्धारण। 2. समन्वय अक्षों के साथ असंततता बिंदु, चरम और प्रतिच्छेदन ढूँढना। 3. ग्राफ़ पर स्थिति में परिवर्तन निर्धारित करने की प्रक्रिया। 4. स्पर्शोन्मुखता की उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए उत्तलता और उत्तलता के सूचक और दिशा का निर्धारण। 5. इसके निर्देशांक निर्धारित करने की दृष्टि से एक शोध सारांश तालिका का निर्माण। 6. चरम और तीक्ष्ण बिंदुओं के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना। 7. वक्र की उत्तलता एवं अवतलता का निर्धारण। 8. शोध को ध्यान में रखते हुए ग्राफ बनाने से आप न्यूनतम या अधिकतम ज्ञात कर सकते हैं।

जब चरम बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है तो मुख्य तत्व उसके ग्राफ का सटीक निर्माण होता है। स्कूल के शिक्षक अक्सर ऐसे महत्वपूर्ण पहलू पर अधिकतम ध्यान नहीं देते हैं, जो शैक्षिक प्रक्रिया का घोर उल्लंघन है। ग्राफ़ का निर्माण केवल कार्यात्मक डेटा के अध्ययन के परिणामों, तीव्र एक्स्ट्रेमा की पहचान, साथ ही ग्राफ़ पर बिंदुओं के आधार पर होता है। अनंतस्पर्शी निर्धारण के लिए एक मानक प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, व्युत्पन्न फ़ंक्शन के तीव्र चरम को सटीक मानों के प्लॉट पर प्रदर्शित किया जाता है। फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु अधिक जटिल ग्राफ़ निर्माण के साथ होते हैं। यह तीव्र चरम की समस्या पर काम करने की गहरी आवश्यकता के कारण है। एक जटिल और सरल फलन का व्युत्पन्न खोजना भी आवश्यक है, क्योंकि यह चरम की समस्या में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है।

क्रियाशीलता की चरम सीमा

उपरोक्त मान ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित नियमों का पालन करना होगा:

• किसी चरम संबंध के लिए आवश्यक शर्त निर्धारित कर सकेंगे;
• ग्राफ़ पर चरम बिंदुओं की पर्याप्त स्थिति को ध्यान में रखें;
• तीव्र चरम की गणना करें.

कमजोर न्यूनतम और मजबूत न्यूनतम जैसी अवधारणाओं का भी उपयोग किया जाता है। चरम सीमा का निर्धारण और इसकी सटीक गणना करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। साथ ही, तीव्र कार्यक्षमता किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए सभी आवश्यक शर्तों की खोज और निर्माण है।

अधिकतम वह उच्चतम संख्या या उच्चतम सीमा है जिस तक पहुंचा जा सकता है। न्यूनतम, जैसा कि हम सभी अच्छी तरह से जानते हैं, अधिकतम के बिल्कुल विपरीत है, यानी। यह सबसे छोटी संख्या और सबसे छोटी सीमा है. न्यूनतम और अधिकतम शब्द, साथ ही उनके व्युत्पन्न, ऐसे भावों और वाक्यांशों में पाए जाते हैं:

संचार का अधिकतम लाभ उठाएं.

एक कविता सीखने के लिए आपको उसे कम से कम 3-4 बार पढ़ना होगा।

वह अधिकतम इतना कर सकता है...

उनके कम से कम दो पारस्परिक मित्र हैं।

उन्हें सर्वाधिक अंक प्राप्त हुए।

अपने अवसरों का अधिकतम लाभ उठायें!

यह वह न्यूनतम बात है जो आपको जानना आवश्यक है।

तनख्वाह।

न्यूनतम वायुमंडलीय दबाव.

... वर्षों के लिए न्यूनतम/अधिकतम ठंडा मौसम।

इस कार्य को पूरा करने के लिए आपको कम से कम कुछ घंटों की आवश्यकता होगी।

अधिकतम और न्यूनतम जैसी अवधारणाएँ विशेष वैज्ञानिक शब्दों में भी पाई जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, गणित में किसी फ़ंक्शन की अधिकतम और न्यूनतम जैसी अवधारणा होती है।

इस प्रकार, गणित में किसी फ़ंक्शन के अधिकतम मान को अधिकतम कहा जाता है। इस मामले में, फ़ंक्शन का अधिकतम मान उसके सभी पड़ोसी मानों से अधिक है। किसी फ़ंक्शन का अधिकतम मान उसका मान होता है जब मान पहले बढ़ता है और फिर तुरंत घटने लगता है, जबकि इसका अधिकतम मान उस स्थान पर होता है जहां फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी एक से दूसरे तक जाती है। किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम, तदनुसार, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान है।

किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न को सकारात्मक माना जा सकता है यदि वेरिएबल को बढ़ाने पर यह ऊपर जाता है, तो फ़ंक्शन को सकारात्मक माना जा सकता है। यदि व्युत्पन्न बढ़ने पर पहला चर घटता है, तो फ़ंक्शन को नकारात्मक माना जाना चाहिए।

व्युत्पन्न अंतर गणना में उपयोग किया जाने वाला मूल मूल्य है (व्युत्पन्न और अंतर का अध्ययन, जो गणितीय कार्यों का अध्ययन करने में मदद करता है), इसे एक विशिष्ट बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के रूप में समझा जा सकता है। जितनी अधिक गति, उतना अधिक फ़ंक्शन बदलता है; जितना कम, उतना धीमा (हालांकि, यह केवल तभी सत्य है जब फ़ंक्शन सकारात्मक है)। इस प्रकार, यह किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है जो इसकी ढलान और उत्तलता निर्धारित करती है। चर वह मात्रा है जो अपना मान बदल सकती है। इसे x या समय के रूप में दर्शाया जाता है।

एक चर को एक प्रणाली (भौतिक और अमूर्त दोनों) का एक गुण माना जा सकता है जो इसके मूल्य को बदल सकता है। अधिक वैश्विक अर्थ में, एक चर को समय, तापमान और, सामान्य तौर पर, संपूर्ण जीवन कहा जा सकता है (वे बदल सकते हैं)। एक वेरिएबल में कई मान होते हैं जिन्हें वह ग्रहण कर सकता है। हम मान सकते हैं कि यह समुच्चय एक चर है।

जहां तक ​​फ़ंक्शन का प्रश्न है, इसे शून्य से होते हुए धनात्मक से ऋणात्मक मान की ओर जाना चाहिए। इस प्रकार, उस चर के मान पर जिससे फ़ंक्शन का अधिकतम मेल खाता है, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा। यह फ़ंक्शन का यह गुण है जो हमें x के मान निर्धारित करने की अनुमति देता है जिस पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुंचता है। हालाँकि, यदि हम वेरिएबल बढ़ाते हैं और, उसी समय, फ़ंक्शन पहले बढ़ता है और फिर घटता है, तो फ़ंक्शन, नकारात्मक मान से सकारात्मक मान (शून्य से गुजरते हुए) में बदलते समय, अधिकतम तक नहीं पहुंचेगा, लेकिन, इसके विपरीत, न्यूनतम मूल्य. हालाँकि, तार्किक रूप से, इसे अधिकतम मान के रूप में लिया जा सकता है (यह फ़ंक्शन के शीर्ष बिंदु पर स्थित है)।

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु भी कहा जाता है।

इस प्रकार, सामान्य जीवन और गणित दोनों में, अधिकतम और न्यूनतम दो चरम विपरीत हैं जिनका अर्थ कुछ सबसे बड़ा और कुछ सबसे छोटा है।