अस्थायी और स्थिर श्रोडिंगर समीकरण

डी ब्रोगली तरंगों की सांख्यिकीय व्याख्या और हाइजेनबर्ग अनिश्चितता संबंध ने निष्कर्ष निकाला कि क्वांटम यांत्रिकी में गति का समीकरण, जो विभिन्न बल क्षेत्रों में माइक्रोपार्टिकल्स की गति का वर्णन करता है, एक ऐसा समीकरण होना चाहिए जिससे कणों के प्रयोगात्मक रूप से देखे गए तरंग गुण होंगे पालन ​​करना। मुख्य समीकरण तरंग फ़ंक्शन (x, y, z, t) के लिए एक समीकरण होना चाहिए, क्योंकि यह यह फ़ंक्शन है, या अधिक सटीक रूप से, मात्रा 2 है, जो समय t पर वॉल्यूम dV में कण की संभावना निर्धारित करता है। , अर्थात। निर्देशांक x और x+dx, y और y+dy, z और z+dz वाले क्षेत्र में। चूंकि वांछित समीकरण को कणों के तरंग गुणों को ध्यान में रखना चाहिए, यह एक तरंग समीकरण होना चाहिए, विद्युत चुम्बकीय तरंगों का वर्णन करने वाले समीकरण के समान।

इस समीकरण को पोस्ट किया गया है, और इसकी मदद से प्राप्त परिणामों के अनुभव के साथ समझौते से इसकी शुद्धता की पुष्टि की जाती है।

गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी का मूल समीकरण (1926)

4.1 श्रोडिंगर समय समीकरण:

समीकरण गैर-सापेक्ष कणों के लिए मान्य है<< ,

जहां (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) कण का द्रव्यमान है; - काल्पनिक इकाई; बल क्षेत्र में कण का संभावित कार्य है जिसमें यह चलता है; वांछित तरंग कार्य है; लाप्लास संचालिका है

तरंग समारोह पर लगाई गई शर्तें:

तरंग फ़ंक्शन परिमित, एकल-मूल्यवान और निरंतर होना चाहिए।

व्युत्पन्न ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t निरंतर होना चाहिए।

फ़ंक्शन 2 अभिन्न होना चाहिए (यह स्थिति संभावनाओं के लिए सामान्यीकरण की स्थिति को कम कर देती है)।

4.2 स्थिर श्रोडिंगर समीकरण

एक स्थिर बल क्षेत्र के मामले में (फ़ंक्शन यू = यू (एक्स, वाई, जेड)स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं है और संभावित ऊर्जा का अर्थ है। इस मामले में, श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को दो कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक केवल निर्देशांक का एक कार्य है, दूसरा केवल समय का एक कार्य है, और समय पर निर्भरता कारक द्वारा व्यक्त की जाती है ).

तब स्थिर अवस्थाओं (स्थिर ऊर्जा मान वाले राज्य) के लिए तरंग फलन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

स्थिर श्रोडिंगर समीकरण:

श्रोडिंगर समय समीकरण और परिवर्तनों में तरंग फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करने के बाद प्राप्त किया गया (∆ लाप्लास ऑपरेटर है, एम-कण द्रव्यमान; - घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक (= एच/2π); इकण की कुल ऊर्जा है, यूकण की स्थितिज ऊर्जा है। शास्त्रीय भौतिकी में, मात्रा (यूरोपीय संघ) कण की गतिज ऊर्जा के बराबर होगा। क्वांटम यांत्रिकी में, अनिश्चितता संबंध के कारण, गतिज ऊर्जा की अवधारणा अर्थहीन है। यहाँ स्थितिज ऊर्जा यूएक विशेषता है बाहरी बल क्षेत्रजिसमें कण गति कर रहा है। यह मान काफी निश्चित है। यह इस मामले में निर्देशांक का एक कार्य भी है यू =यू(एक्स, वाई, जेड))।

श्रोडिंगर का मुख्य विचार ज्यामितीय प्रकाशिकी और शास्त्रीय यांत्रिकी के बीच गणितीय सादृश्य को प्रकाश और कणों के तरंग गुणों में स्थानांतरित करना है।

हम श्रोडिंगर समीकरण को एक मुक्त इलेक्ट्रॉन के तरंग फलन के व्यंजक से प्राप्त करते हैं। आइए इसे जटिल रूप में फिर से लिखें।

ऊर्जा के साथ आवृत्ति के संबंध और संवेग के साथ तरंग संख्या के संबंध का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: .

सामान्य स्थिति में, कण की कुल ऊर्जा है, गतिज ऊर्जा है, और अंतःक्रियात्मक ऊर्जा है।

आइए फ़ंक्शन Y: (1), (2) के निर्देशांक के संबंध में पहला अवकलज और दूसरा अवकलज ज्ञात करें।

हम समीकरण (1) को , और समीकरण (2) से गुणा करते हैं (इस प्रकार, दाईं ओर के कारकों में ऊर्जा का आयाम होगा):

, .

हम परिणामी समीकरण जोड़ते हैं:

.

चूंकि , अंतिम समानता को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है .

यह श्रोडिंगर समीकरण है। यह एक समन्वय के लिए प्राप्त किया गया था। यदि इसे 3 निर्देशांक के लिए फिर से लिखा जाता है, तो लाप्लास ऑपरेटर को पेश करके, हमारे पास अंत में होगा

.

श्रोडिंगर समीकरण सीधे शास्त्रीय भौतिकी के मूलभूत नियमों से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण आपको समय में एक मनमाना क्षण पर तरंग फ़ंक्शन खोजने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, आपको निश्चित समय पर तरंग फ़ंक्शन, कण का द्रव्यमान और बल क्षेत्र के साथ कण की बातचीत की ऊर्जा को जानना होगा। पाया गया तरंग फ़ंक्शन किसी भी समय के लिए अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु पर एक कण खोजने की संभावना की गणना करना संभव बनाता है।

मुख्य गुण जो तरंग कार्यों को संतुष्ट करते हैं, श्रोडिंगर समीकरण के समाधान हैं:

1. तरंग फलन रैखिक है, अर्थात्। यदि … समीकरण के हल हैं, तो उनका रैखिक संयोजन एक हल है।

2. निर्देशांक के संबंध में पहले आंशिक व्युत्पन्न रैखिक हैं

3. तरंग फलन और इसके स्थानिक व्युत्पन्न एकल-मूल्यवान, परिमित और निरंतर होने चाहिए।

4. जैसा कि हम ∞ की ओर प्रवृत्त होते हैं, तरंग फलन का मान शून्य होना चाहिए।

स्थिर राज्यों के लिए श्रोडिंगर समीकरण।

यदि बल क्षेत्र जिसमें वर्णित कण चलता है, स्थिर है, तो इसकी क्षमता स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करती है, और फ़ंक्शन में संभावित ऊर्जा का अर्थ होता है और केवल निर्देशांक पर निर्भर करता है। इस मामले में, तरंग फ़ंक्शन को दो के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक कार्य केवल समय पर निर्भर करता है, दूसरा केवल समय पर निर्भर करता है:

हम अंतिम अभिव्यक्ति को श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं

एक समय कारक और कुछ प्राथमिक परिवर्तनों से कमी के बाद, हम प्राप्त करते हैं: (*).

यह स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण है। इसमें तरंग फलन का केवल निर्देशांक भाग शामिल है - . यदि उत्तरार्द्ध पाया जाता है, तो समय कारक द्वारा समन्वय भाग को गुणा करके कुल तरंग फ़ंक्शन पाया जाता है।

चूँकि प्रायिकता तरंग फलन के वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है, और सम्मिश्र मान का वर्ग सम्मिश्र संयुग्म से गुणा करके पाया जाता है, तो स्थिर तरंग फलनों के लिए निम्नलिखित संबंध कायम रहता है:

इस प्रकार, स्थिर अवस्थाओं के लिए तरंग फलन ज्ञात करने के लिए, समीकरण (*) को हल करना और कुल ऊर्जा जानना आवश्यक है।

कणों का मुक्त संचलन।

क्वांटम कण की मुक्त गति के दौरान, उस पर कोई बल कार्य नहीं करता है, और इसकी संभावित ऊर्जा शून्य के बराबर हो सकती है। कण को ​​दिशा में चलने दें, तब (*) रूप लेता है: .

इस समीकरण का एक विशेष हल फॉर्म का एक फलन है , कहाँ और स्थिरांक हैं। यदि हम वांछित समाधान को समीकरण में ही प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम कण की ऊर्जा और मात्रा के बीच संबंध प्राप्त करेंगे:

एक मुक्त कण के लिए समय निर्भरता को ध्यान में रखते हुए पूर्ण तरंग फ़ंक्शन का रूप है। यह आवृत्ति और तरंग संख्या के साथ एक समतल मोनोक्रोमैटिक तरंग है। तब से, और तब से।

श्रोडिंगर समीकरण
और इसके विशेष मामले (जारी): एक संभावित बाधा, हार्मोनिक ऑसीलेटर के माध्यम से एक कण का मार्ग

एक संभावित बाधा के माध्यम से एक कण का मार्गशास्त्रीय मामले के लिए, हम पहले ही व्याख्यान 7 भाग 1 पर विचार कर चुके हैं (चित्र 7.2 देखें)। आइए अब हम एक ऐसे माइक्रोपार्टिकल पर विचार करें जिसकी कुल ऊर्जा स्तर से कम है यूसंभावित अवरोध (चित्र। 19.1)। शास्त्रीय संस्करण में, इस मामले में, बाधा के माध्यम से एक कण का मार्ग असंभव है। हालांकि, क्वांटम भौतिकी में कण के गुजरने की संभावना है। इसके अलावा, यह इसके ऊपर "कूद" नहीं जाएगा, लेकिन, जैसा कि यह था, इसके तरंग गुणों का उपयोग करके "रिसाव के माध्यम से"। इसलिए, प्रभाव को "सुरंग" भी कहा जाता है। प्रत्येक क्षेत्र के लिए मैं, द्वितीय, तृतीयहम स्थिर श्रोडिंगर समीकरण (18.3) लिखते हैं।

के लिये मैंतथा तृतीय: , (19.1, ए)

के लिये द्वितीय: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, जहां a = स्थिरांकफिर और y" = . y" को (19.1a) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: डोमेन के लिए आवश्यक सामान्य समाधान मैंएक सुपरपोजिशन के रूप में लिखा गया है

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

इस मामले में, तरंग प्रसार के प्रारंभिक बिंदु को स्थानांतरित कर दिया जाता है ली, एक पर 3 = 0 , क्योंकि क्षेत्र में तृतीयकेवल एक गुजरती लहर है।

के क्षेत्र में द्वितीय(बाधा) प्रतिस्थापन y" में (19.1b) देता है

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

गुजरने की संभावना की विशेषता है संचरण गुणांक- संचरित तरंग की तीव्रता और घटना की तीव्रता का अनुपात:

(0) = y2"(0) , y2"( ली) = y3"( ली); (19.5)

जिनमें से पहले दो का अर्थ बाधा के बाएँ और दाएँ सीमाओं पर कार्यों की "सिलाई" है, और तीसरा और चौथा - इस तरह के संक्रमण की चिकनाई। फलन y1, y2 और y3 को (19.5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

आइए उन्हें विभाजित करें लेकिन 1 और निरूपित करें एक 2=ए 2/ए 1; बी 1=बी 1/ए 1; एक 3=ए 3/ए 1; बी 2=बी 2/ए 1.

. (19.6)

हम पहले समीकरण (19.6) को से गुणा करते हैं मैंकऔर इसे दूसरे में जोड़ें। आइए 2 मैंके = ए 2(क्यू +मैंक)-बी 2(क्यू-मैंक) . (19.7)

समीकरणों की दूसरी जोड़ी (19.6) को अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में माना जाएगा एक 2 और बी 2.

इस प्रणाली के निर्धारक हैं:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

जहां ई- क्यूएल(क्यू+मैंक) 2 » 0, क्योंकि क्यूएल >> 1.

इसलिए https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, और कॉम्प्लेक्स वैल्यू के मॉड्यूल को खोजने के लिए एक 3, परिणामी भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा करें ( क्यू +मैंक)2. सरल परिवर्तनों के बाद, हम प्राप्त करते हैं

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">आमतौर पर यूरोपीय संघ~ 90% और "ई" से पहले का पूरा गुणांक एक के क्रम का है। इसलिए, एक कण के अवरोध से गुजरने की प्रायिकता निम्नलिखित संबंध द्वारा निर्धारित की जाती है:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

इसका मतलब है कि इ< U कण बाधा को दूर नहीं करेगा, यानी शास्त्रीय भौतिकी में कोई सुरंग प्रभाव नहीं है।

इस आशय का उपयोग इंजीनियरिंग अभ्यास में रेडियो इंजीनियरिंग उपकरणों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले सुरंग डायोड बनाने के लिए किया जाता है (देखें भाग 3, व्याख्यान 3)।

इसके अलावा, स्थलीय परिस्थितियों में थर्मोन्यूक्लियर फ्यूजन प्रतिक्रिया शुरू करना संभव हो गया, जो सूर्य के लिए सामान्य परिस्थितियों में सूर्य पर होता है - एक तापमान पर टी ~ 109 क. पृथ्वी पर ऐसा कोई तापमान नहीं है, हालांकि, सुरंग के प्रभाव के कारण, तापमान पर प्रतिक्रिया शुरू करना संभव है टी ~ 107 क, जो एक परमाणु बम के विस्फोट के दौरान होता है, जो हाइड्रोजन बम के लिए प्रज्वलन उपकरण था। इस पर और अधिक पाठ्यक्रम के अगले भाग में।

लयबद्ध दोलक।क्लासिकहार्मोनिक ऑसिलेटर पर भी हमारे द्वारा पहले ही विचार किया जा चुका है (व्याख्यान 1,2 भाग 3)। उदाहरण के लिए, यह एक स्प्रिंग लोलक है, जिसकी कुल ऊर्जा इ = एमवी 2/2 + केएक्स 2/2. सैद्धांतिक रूप से, यह ऊर्जा शून्य से शुरू होकर मूल्यों की एक सतत श्रृंखला ले सकती है।

एक क्वांटम हार्मोनिक थरथरानवाला एक माइक्रोपार्टिकल है जो हार्मोनिक कानून के अनुसार दोलन करता है, जो एक परमाणु या नाभिक के अंदर एक बाध्य अवस्था में होता है। इस मामले में, संभावित ऊर्जा शास्त्रीय बनी हुई है, एक समान लोचदार पुनर्स्थापना बल की विशेषता है केएक्स. यह देखते हुए कि चक्रीय आवृत्ति हमें स्थितिज ऊर्जा प्राप्त होती है https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

गणितीय रूप से, यह समस्या पिछले वाले से भी अधिक कठिन है। इसलिए, हम खुद को यह बताने तक सीमित रखते हैं कि परिणाम क्या होगा। जैसा कि एक-आयामी कुएं के मामले में, हम प्राप्त करते हैं अलग eigenfunctions और eigenenergies का स्पेक्ट्रम, और एक ऊर्जा eigenvalue एक तरंग फ़ंक्शन के अनुरूप होगा: एनमैं तुम एन(राज्यों का कोई पतन नहीं है, जैसा कि त्रि-आयामी कुएं के मामले में होता है)। प्रायिकता घनत्व |yn|2 भी एक दोलन फलन है, लेकिन "कूबड़" की ऊंचाई अलग है। यह अब सामान्य नहीं है पाप2 , जबकि अधिक विदेशी हरमाइट बहुपद एचएन(एक्स) वेव फंक्शन का रूप होता है

, कहाँ पे सेएन- इस पर निर्भर करते हुए एनलगातार। ऊर्जा स्वदेशी स्पेक्ट्रम:

, (19.10)

क्वांटम संख्या कहाँ है एन = 0, 1, 2, 3 ... . इस प्रकार, "शून्य ऊर्जा" भी है , जिसके ऊपर ऊर्जा स्पेक्ट्रम एक "स्टैक" बनाता है, जहां अलमारियां एक दूसरे से समान दूरी पर स्थित होती हैं (चित्र 19.2)। एक ही आंकड़ा प्रत्येक ऊर्जा स्तर के साथ-साथ बाहरी क्षेत्र (बिंदीदार परवलय) की संभावित ऊर्जा के लिए संबंधित संभाव्यता घनत्व को दर्शाता है।

एक थरथरानवाला की गैर-शून्य न्यूनतम संभव ऊर्जा के अस्तित्व का गहरा अर्थ है। इसका मतलब है कि सूक्ष्म कणों का दोलन बंद नहीं होता है कभी नहीँ, जिसका अर्थ है कि परम शून्य तापमान अप्राप्य है।

1., बर्सियन भौतिकी: कंप्यूटर समर्थन के साथ व्याख्यान का एक कोर्स: प्रोक। छात्रों के लिए भत्ता। उच्चतर पाठयपुस्तक संस्थान: 2 खंडों में - एम।: व्लाडोस-प्रेस पब्लिशिंग हाउस, 2001।

सिद्धांत रूप में, कुछ खास नहीं, वे तालिकाओं और यहां तक ​​​​कि रेखांकन में भी पाए जा सकते हैं।

क्वांटम दुनिया के कणों के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी की वस्तुओं की तुलना में अन्य कानून लागू होते हैं। डी ब्रोगली की धारणा के अनुसार, सूक्ष्म वस्तुओं में कणों और तरंगों दोनों के गुण होते हैं - और, वास्तव में, जब एक इलेक्ट्रॉन बीम एक छेद पर बिखरता है, तो विवर्तन देखा जाता है, जो तरंगों की विशेषता है।

इसलिए, हम क्वांटम कणों की गति के बारे में नहीं, बल्कि इस संभावना के बारे में बात कर सकते हैं कि कण एक निश्चित बिंदु पर एक निश्चित बिंदु पर होगा।

श्रोडिंगर समीकरण क्या बताता है

श्रोडिंगर समीकरण का उद्देश्य बाहरी बलों के क्षेत्र में क्वांटम वस्तुओं की गति की विशेषताओं का वर्णन करना है। अक्सर एक कण एक बल क्षेत्र के माध्यम से चलता है जो समय पर निर्भर नहीं करता है। इस मामले के लिए, स्थिर श्रोडिंगर समीकरण लिखा गया है:

प्रस्तुत समीकरण में, एम और ई क्रमशः बल क्षेत्र में कण की ऊर्जा हैं, और यू इस क्षेत्र की ऊर्जा है। लाप्लास ऑपरेटर है। - प्लैंक स्थिरांक, 6.626 10 -34 J s के बराबर।

(इसे प्रायिकता आयाम, या साई-फ़ंक्शन भी कहा जाता है) - यह वह फ़ंक्शन है जो आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि अंतरिक्ष में हमारी सूक्ष्म-वस्तु के होने की सबसे अधिक संभावना है। भौतिक अर्थ स्वयं कार्य नहीं है, बल्कि इसका वर्ग है। कण के प्राथमिक आयतन में होने की प्रायिकता है:

इसलिए, संभावना के साथ एक सीमित मात्रा में एक फ़ंक्शन खोजना संभव है:

चूँकि साई-फ़ंक्शन एक प्रायिकता है, यह न तो शून्य से कम हो सकता है और न ही एक से अधिक हो सकता है। एक अनंत आयतन में एक कण खोजने की कुल संभावना सामान्यीकरण की स्थिति है:

साई-फ़ंक्शन के लिए, सुपरपोज़िशन सिद्धांत काम करता है: यदि कोई कण या सिस्टम कई क्वांटम अवस्थाओं में हो सकता है, तो उनके योग द्वारा निर्धारित एक राज्य भी इसके लिए संभव है:

स्थिर श्रोडिंगर समीकरण के कई समाधान हैं, लेकिन हल करते समय, किसी को सीमा की स्थितियों को ध्यान में रखना चाहिए और केवल उचित समाधानों का चयन करना चाहिए - जिनका भौतिक अर्थ है। इस तरह के समाधान केवल कण ई की ऊर्जा के व्यक्तिगत मूल्यों के लिए मौजूद हैं, जो कण के असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रम का निर्माण करते हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम	तरंग फ़ंक्शन इलेक्ट्रॉन और हाइड्रोजन नाभिक के बीच की दूरी का वर्णन करता है: r इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच की दूरी है, a पहला बोहर त्रिज्या है। इलेक्ट्रॉन के नाभिक से कितनी दूर होने की संभावना है?
समाधान	1) आयतन को नाभिक की त्रिज्या के पदों में व्यक्त करते हुए, हम प्रायिकता पाते हैं कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से एक निश्चित दूरी के भीतर है: 2) संभावना है कि इलेक्ट्रॉन प्राथमिक "रिंग" डॉ के भीतर है: 3) सबसे संभावित दूरी खोजने के लिए, हम अंतिम अभिव्यक्ति से पाते हैं: इस समीकरण को हल करने पर, हमें r = a मिलता है - इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच सबसे संभावित दूरी।
उत्तर	आर = ए - उच्चतम संभावना के साथ नाभिक नाभिक से पहले बोहर त्रिज्या की दूरी पर स्थित है।

उदाहरण 2

व्यायाम

एक असीम रूप से गहरी क्षमता वाले कुएं में एक कण के ऊर्जा स्तर का पता लगाएं।

समाधान

कण को ​​x-अक्ष के अनुदिश गति करने दें। गड्ढे की चौड़ाई - एल। हम कुएं के नीचे से ऊर्जा की गणना करते हैं और इसे फ़ंक्शन के साथ वर्णित करते हैं: हम एक-आयामी स्थिर श्रोडिंगर समीकरण लिखते हैं: सीमा की स्थिति पर विचार करें। चूँकि हम मानते हैं कि कण दीवारों में प्रवेश नहीं कर सकता, तो कुएँ के बाहर = 0. कुएं की सीमा पर, पीएसआई-फ़ंक्शन भी शून्य के बराबर है: कुएं में, संभावित ऊर्जा यू = 0 है। तब कुएं के लिए लिखे गए श्रोडिंगर समीकरण को सरल बनाया जाएगा: रूप में, यह एक हार्मोनिक थरथरानवाला का DE है:

विभिन्न बल क्षेत्रों में माइक्रोपार्टिकल्स की गति को श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग करते हुए गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे के भीतर वर्णित किया गया है, जिसमें से कणों के प्रयोगात्मक रूप से देखे गए तरंग गुण अनुसरण करते हैं। यह समीकरण, भौतिकी के सभी बुनियादी समीकरणों की तरह, व्युत्पन्न नहीं है, बल्कि पोस्ट किया गया है। गणना परिणामों और प्रयोग के बीच समझौते से इसकी शुद्धता की पुष्टि होती है। श्रोडिंगर तरंग समीकरण के निम्नलिखित सामान्य रूप हैं:

- (ħ 2 / 2m) + U (x, y, z, t) = i (∂ψ / ∂t)

जहां = एच / 2π, एच = 6.623∙10 -34 जे ∙ एस - प्लैंक स्थिरांक;
m कण का द्रव्यमान है;
- लैपलेस ऑपरेटर (∆ = 2 / ∂x 2 + 2 / ∂y 2 + 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (एक्स, वाई, जेड, टी) - वांछित तरंग समारोह;
यू (एक्स, वाई, जेड, टी) बल क्षेत्र में कण का संभावित कार्य है जहां यह चलता है;
मैं काल्पनिक इकाई है।

इस समीकरण का हल केवल तरंग फलन पर लगाई गई शर्तों के तहत होता है:

1. ψ (x, y, z, t) परिमित, एकल-मान और निरंतर होना चाहिए;
2. इसका पहला व्युत्पन्न निरंतर होना चाहिए;
3. समारोह | | 2 अभिन्न होना चाहिए, जो सरलतम मामलों में संभावनाओं के लिए सामान्यीकरण की स्थिति को कम कर देता है।

सूक्ष्म जगत में होने वाली कई भौतिक घटनाओं के लिए, समय पर की निर्भरता को समाप्त करके समीकरण (8.1) को सरल बनाया जा सकता है, अर्थात। स्थिर ऊर्जाओं वाली स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण ज्ञात कीजिए। यह संभव है यदि बल क्षेत्र जिसमें कण गति करता है स्थिर है, अर्थात। यू = यू (एक्स, वाई, जेड) स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं है और संभावित ऊर्जा का अर्थ है। फिर, परिवर्तनों के बाद, हम स्थिर अवस्थाओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण पर पहुँच सकते हैं:

+ (2 मी / ħ 2) ∙ (ई - यू) = 0

जहाँ = (x, y, z) केवल निर्देशांकों का तरंग फलन है;
ई समीकरण का पैरामीटर है - कण की कुल ऊर्जा।

इस समीकरण के लिए, केवल ऐसे समाधान जो नियमित कार्यों (जिन्हें eigenfunctions कहा जाता है) द्वारा व्यक्त किए जाते हैं जो केवल पैरामीटर E के कुछ मानों के लिए होते हैं, जिन्हें ऊर्जा eigenvalue कहा जाता है, का वास्तविक भौतिक अर्थ होता है। E के ये मान या तो एक सतत या असतत श्रृंखला बना सकते हैं, अर्थात। निरंतर और असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रम दोनों।

श्रोडिंगर समीकरण (8.2) की उपस्थिति में किसी भी माइक्रोपार्टिकल के लिए, क्वांटम यांत्रिकी की समस्या इस समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाती है, अर्थात। eigenenergy स्पेक्ट्रम E के अनुरूप तरंग फलन = (x, y, z) के मान ज्ञात करना। अगला, प्रायिकता घनत्व | | 2, जो क्वांटम यांत्रिकी में निर्देशांक (x, y, z) के साथ एक बिंदु के पड़ोस में एक इकाई मात्रा में एक कण खोजने की संभावना निर्धारित करता है।

श्रोडिंगर समीकरण को हल करने के सबसे सरल मामलों में से एक अनंत उच्च "दीवारों" के साथ एक-आयामी आयताकार "संभावित कुएं" में एक कण के व्यवहार की समस्या है। केवल एक्स अक्ष के साथ चलने वाले कण के लिए ऐसा "गड्ढा" फॉर्म की संभावित ऊर्जा द्वारा वर्णित है

जहां एल "गड्ढे" की चौड़ाई है, और ऊर्जा को इसके नीचे से मापा जाता है (चित्र 8.1)।

एक आयामी समस्या के मामले में स्थिर राज्यों के लिए श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2 / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (ई - यू) = 0

इस तथ्य के कारण कि "गड्ढे की दीवारें" असीम रूप से ऊंची हैं, कण "गड्ढे" से आगे नहीं घुसता है। यह सीमा की स्थिति की ओर जाता है:

(0) = ψ (एल) = 0

"गड्ढे" (0 x ≤ l) के भीतर, समीकरण (8.4) कम हो जाता है:

2 / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ ई ψ = 0

2 / x 2 + (के 2 ) = 0

जहाँ k 2 = (2m E) / 2

समीकरण का समाधान (8.7), सीमा की स्थिति (8.5) को ध्यान में रखते हुए, सरलतम मामले में रूप है:

(एक्स) = ए पाप (केएक्स)

जहां के = (एन )/ एल

n के पूर्णांक मानों के लिए।

व्यंजकों (8.8) और (8.10) से यह इस प्रकार है:

ई एन = (एन 2 π 2 ∙ 2) / (2 मी ∙ एल 2) (एन = 1, 2, 3 ...)

वे। स्थिर अवस्थाओं की ऊर्जा एक पूर्णांक n (क्वांटम संख्या कहलाती है) पर निर्भर करती है और इसके कुछ असतत मान होते हैं, जिन्हें ऊर्जा स्तर कहा जाता है।

नतीजतन, असीम रूप से ऊंची "दीवारों" वाले "संभावित कुएं" में एक माइक्रोपार्टिकल केवल एक निश्चित ऊर्जा स्तर ई एन पर हो सकता है, यानी। असतत क्वांटम राज्यों में n.

व्यंजक (8.10) को (8.9) में प्रतिस्थापित करने पर हम eigenfunctions पाते हैं

एन (एक्स) = ए पाप (एनπ / एल) ∙ एक्स

एकीकरण स्थिरांक ए क्वांटम यांत्रिक (संभाव्य) सामान्यीकरण स्थिति से पाया जा सकता है

जिसे इस मामले के लिए इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहां से, एकीकरण के परिणामस्वरूप, हमें = (2 / l) मिलता है और फिर हमारे पास

एन (एक्स) = (√ (2 / एल)) ∙ पाप (एनπ / एल) ∙ एक्स (एन = 1, 2, 3 ...)

फ़ंक्शन के ग्राफ़ n (x) का कोई भौतिक अर्थ नहीं है, जबकि फ़ंक्शन के ग्राफ़ | एन | 2 "गड्ढे की दीवारों" (चित्र 8.1) से अलग-अलग दूरी पर एक कण का पता लगाने की संभाव्यता घनत्व के वितरण को दर्शाता है। इस कार्य में केवल इन रेखांकन (साथ ही ψ n (x) - तुलना के लिए) का अध्ययन किया जाता है और स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि क्वांटम यांत्रिकी में कण प्रक्षेपवक्र के बारे में विचार अस्थिर हैं।

व्यंजक (8.11) से यह पता चलता है कि दो आसन्न स्तरों के बीच ऊर्जा अंतराल बराबर है

E n = E n-1 - E n = (π 2 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

इससे यह देखा जा सकता है कि बड़े "कुएं" आकार (एल≈ 10 -1 मीटर) वाले सूक्ष्म कणों (जैसे इलेक्ट्रॉन) के लिए, ऊर्जा स्तर इतनी बारीकी से दूरी पर हैं कि वे लगभग निरंतर स्पेक्ट्रम बनाते हैं। ऐसी स्थिति होती है, उदाहरण के लिए, धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए। यदि "गड्ढे" के आयाम परमाणु वाले (एल 10 -10 मीटर) के अनुरूप हैं, तो एक असतत ऊर्जा स्पेक्ट्रम (लाइन स्पेक्ट्रम) प्राप्त होता है। इस कार्य में विभिन्न सूक्ष्म कणों के लिए इस प्रकार के स्पेक्ट्रा का भी अध्ययन किया जा सकता है।

माइक्रोपार्टिकल्स (साथ ही माइक्रोसिस्टम्स - पेंडुलम) के व्यवहार का एक और मामला, जो अक्सर व्यवहार में सामने आता है (और इस काम में माना जाता है), क्वांटम यांत्रिकी में एक रैखिक हार्मोनिक थरथरानवाला की समस्या है।

जैसा कि ज्ञात है, द्रव्यमान m वाले एक-आयामी हार्मोनिक थरथरानवाला की संभावित ऊर्जा बराबर है

यू (एक्स) = (एम 0 2 ∙ एक्स 2)/2

जहां 0 थरथरानवाला की प्राकृतिक दोलन आवृत्ति है ω 0 = √ (के / एम);
k - थरथरानवाला की लोच का गुणांक।

निर्भरता (8.17) में एक परवलय का रूप होता है, अर्थात। इस मामले में "संभावित कुआं" परवलयिक है (चित्र। 8.2)।

क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर को श्रोडिंगर समीकरण (8.2) द्वारा वर्णित किया गया है, जो संभावित ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति (8.17) को ध्यान में रखता है। इस समीकरण का हल इस प्रकार लिखा गया है:

एन (एक्स) = (एन एन ∙ ई -αx2 / 2) ∙ एच एन (एक्स)

जहां एन एन पूर्णांक एन के आधार पर एक निरंतर सामान्यीकरण कारक है;
α = (एम 0) / ;
H n (x) डिग्री n का एक बहुपद है, जिसके गुणांकों की गणना विभिन्न पूर्णांक n के लिए पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, कोई यह साबित कर सकता है कि श्रोडिंगर समीकरण में केवल ऊर्जा eigenvalues ​​​​के लिए एक समाधान (8.18) है:

ई एन = (एन + (1/2)) ħ ω 0

जहाँ n = 0, 1, 2, 3... क्वांटम संख्या है।

इसका मतलब यह है कि क्वांटम थरथरानवाला की ऊर्जा केवल असतत मान ले सकती है, अर्थात। परिमाणित किया जाता है। n = 0 के लिए, E 0 = (ħ 0) / 2 होता है, अर्थात। शून्य कंपन की ऊर्जा, जो क्वांटम सिस्टम के लिए विशिष्ट है और अनिश्चितता संबंध का प्रत्यक्ष परिणाम है।

जैसा कि क्वांटम थरथरानवाला के लिए श्रोडिंगर समीकरण के विस्तृत समाधान से पता चलता है, अलग-अलग n पर प्रत्येक ऊर्जा eigenvalue का अपना तरंग कार्य होता है, क्योंकि निरंतर सामान्यीकरण कारक n . पर निर्भर करता है

और H n (x) डिग्री n का एक चेबीशेव-हर्माइट बहुपद है।
इसके अलावा, पहले दो बहुपद बराबर हैं:

एच 0 (एक्स) = 1;
एच 1 (एक्स) = 2x √ α

कोई भी बाद का बहुपद निम्नलिखित पुनरावर्ती सूत्र द्वारा उनसे संबंधित है:

एच एन+1 (एक्स) = 2x ∙ √ α एच एन (एक्स) - 2एन ∙ एच एन -1 (एक्स)

प्रकार (8.18) के आइजेनफंक्शन एक क्वांटम थरथरानवाला के लिए एक माइक्रोपार्टिकल को खोजने की संभावना घनत्व के रूप में खोजना संभव बनाते हैं | एन (एक्स) | 2 और विभिन्न ऊर्जा स्तरों पर इसके व्यवहार का अन्वेषण करें। पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता के कारण इस समस्या का समाधान कठिन है। इस समस्या को कंप्यूटर के उपयोग से ही सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है, जो वर्तमान कार्य में किया जाता है।