विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। एक प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एक प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

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प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - e. आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि लघुगणक का आधार 0 से बड़ी संख्याओं का समूह हो सकता है। आज हम लघुगणक पर भी विचार करेंगे, जो संख्या e पर आधारित है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। . इसका अपना संकेतन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह संकेतन इसके बराबर है: $\log_e(n)=\ln(n)$।
घातीय और लघुगणकीय कार्य व्युत्क्रम हैं, फिर प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम फलन सीधी रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित होते हैं।
आइए सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में घातीय फ़ंक्शन को प्लॉट करके प्राकृतिक लघुगणक की साजिश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का ढलान 45° है। तब बिंदु (1; 0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ के स्पर्शरेखा का ढलान भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्श रेखाएं $y=x$ रेखा के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं को स्केच करें:

समारोह के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$।
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है।
4. ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित नहीं।
5. कोई अधिकतम मूल्य नहीं है, कोई न्यूनतम मूल्य नहीं है।
6. निरंतर।
7. $ई(एफ)=(-∞; +∞)$।
8. उत्तल ऊपर।
9. हर जगह अलग-अलग।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में यह सिद्ध होता है कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम है.
प्रमाण में जाने का कोई मतलब नहीं है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$।

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
फेसला।
सामान्य तौर पर, हमारे फ़ंक्शन को $y=f(kx+m)$ फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है, हम ऐसे कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$।
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$।
उत्तर : 2.

उदाहरण।
फंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ पर $x=e$ बिंदु पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।
फेसला।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण, बिंदु $x=a$ पर, हम अच्छी तरह से याद करते हैं।
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$।
आइए हम क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करें।
$ ए = ई $।
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$।
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$।
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$।
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण $y=\frac(x)(e)$ फलन है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा को प्लॉट करें।

उदाहरण।
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
फेसला।
फ़ंक्शन का डोमेन $D(y)=(0;+∞)$।
दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$।
डोमेन से सभी x के लिए व्युत्पन्न मौजूद है, फिर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$।
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$।
$6*x^6-6=0$।
$x^6-1=0$।
$x^6=1$।
$ एक्स = ± 1 $।
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है। तब हमारे पास एक स्थिर बिंदु $х=1$ होता है। वृद्धि और कमी के अंतराल खोजें:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, फिर $y_min=1-6*\ln(1)=1$।
उत्तर: खंड पर फलन घट रहा है (0;1], किरण $ पर फलन बढ़ रहा है)