वीडियो पाठ्यक्रम "गेट एन ए" में 60-65 अंकों के साथ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। गणित में प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षा के सभी कार्य 1-13 पूर्णतः। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत. एकीकृत राज्य परीक्षा के त्वरित समाधान, नुकसान और रहस्य। FIPI टास्क बैंक से भाग 1 के सभी मौजूदा कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की स्पष्ट व्याख्या. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

इस बार मैं गणित में राज्य शैक्षणिक परीक्षा में नौवीं कक्षा के छात्रों को पेश की जाने वाली समस्याओं को हल करने के लिए "साक्ष्य-आधारित मैराथन" जैसा कुछ आयोजित करने का प्रस्ताव करता हूं। वे सरल, लेकिन साथ ही बहुत उपयोगी ज्यामितीय तथ्यों के प्रमाण से जुड़े हुए हैं। लेख जानबूझकर समस्याओं का विस्तृत समाधान प्रदान नहीं करता है, केवल कुछ रेखाचित्र और युक्तियाँ प्रदान करता है। इस मैराथन दूरी को अपने दम पर, बिना गलतियों के और एक दृष्टिकोण से पार करने का प्रयास करें।

कार्य 1।सिद्ध कीजिए कि आसन्न कोणों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

कोण α को एक चाप द्वारा, β को दो द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है

सबूत:चित्र से यह स्पष्ट है कि α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (सीधा कोण), इसलिए, α + β = 90 0 . क्यू.ई.डी.

कार्य 2.दो खंड एसी।और बी.डीएक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना हे, जो उनमें से प्रत्येक का मध्य है। त्रिभुजों की समानता सिद्ध करें एसीडीऔर कैब.

निस्संदेह, ABCD एक समांतर चतुर्भुज होगा, लेकिन शर्त में यह नहीं दिया गया है

सबूत:पार्श्व त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर होता है ( बी.ओ. = ओ.डी.- शर्त के अनुसार, ए.ओ. = ओ.सी.- शर्त के अनुसार, ∠ डॉक्टर = ∠एओबी- लंबवत), यानी ∠ एसीडी = ∠कैब, और चूंकि वे सीधी रेखाओं पर आड़े पड़े हैं अब, सीडीऔर सेकेंट एसी।, वह अबसमानांतर डीसी. हम इसी प्रकार रेखाओं की समानता सिद्ध करते हैं ईसा पूर्वऔर ईसा पश्चातइसलिए, ए बी सी डीपरिभाषा के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज है। ईसा पूर्व = विज्ञापन, अब = सीडी(एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं), एसी।- त्रिभुजों के लिए सामान्य एसीडीऔर कैब, इसलिए वे तीन तरफ से बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

कार्य 3.सिद्ध करें कि समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींची गई माध्यिका आधार के विपरीत कोण का समद्विभाजक है और आधार पर लंबवत भी है।

माध्यिका और आधार द्वारा बने कोणों को "निचला" कहा जाएगा, माध्यिका और भुजाओं को - "ऊपरी"

सबूत:आकृति में भुजाओं वाले त्रिभुज तीन भुजाओं पर बराबर हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि, सबसे पहले, "ऊपरी" कोण बराबर हैं (उन्होंने साबित किया कि द्विभाजक), दूसरे, "निचले" कोण, कुल मिलाकर आसन्न कोण 180 देते हैं 0, और इसलिए 90 0 में प्रत्येक के बराबर (लंबवतता सिद्ध)। क्यू.ई.डी.

कार्य 4.सिद्ध कीजिए कि समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं पर खींची गई माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।

मूल त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं की माध्यिकाओं, आधार और निचले हिस्सों से बने त्रिभुजों को "निचला" कहा जाता है।

सबूत:एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं, इसलिए "निचले" त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण बराबर होते हैं, जो खींची गई माध्यिकाओं की समानता को दर्शाता है। क्यू.ई.डी.

कार्य 5.सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के शीर्षों से खींचे गए समद्विभाजक बराबर होते हैं।

बेशक, चित्र में अंकित सभी कोण समान हैं, हालाँकि वे अलग-अलग चापों द्वारा दर्शाए गए हैं

सबूत:"निचला" त्रिभुज समद्विबाहु है, जो इसके आधार पर कोणों की समानता का अनुसरण करता है, "भुजा" त्रिभुज भुजा में बराबर होते हैं (ऊपर साबित किए गए समद्विभाजक के बराबर) और दो कोण होते हैं (पहला शर्त के बराबर होता है, दूसरा ऊर्ध्वाधर हैं), इसलिए समद्विभाजक के शेष भाग भी एक दूसरे के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि संपूर्ण समद्विभाजक स्वयं बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

कार्य 6.सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई तीसरी भुजा के आधे के बराबर होती है।

हम साफ पक्षों को "आधार" कहेंगे, कटे हुए पक्षों को - "पक्ष"

सबूत:चित्र में छोटे और बड़े त्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ 1:2 के रूप में संबंधित हैं, इसके अलावा, उनके पास एक सामान्य कोण है, जिसका अर्थ है कि वे 1:2 के समानता गुणांक के साथ दूसरे गुण में समान हैं, इसलिए आधार हैं 1:2 के रूप में संबंधित है। जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

कार्य 7.सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो बराबर त्रिभुजों में विभाजित करता है।

विकर्ण वाला एक समांतर चतुर्भुज, संभवतः इसमें जोड़ने के लिए और कुछ नहीं है

सबूत:समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, विकर्ण इन त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है, इसलिए वे तीन भुजाओं पर बराबर होते हैं। क्यू.ई.डी.

कार्य 8.सिद्ध कीजिए कि कर्ण से खींचे गए समकोण त्रिभुज की माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।

दूसरे शब्दों में, माध्यिका समकोण के शीर्ष से खींची जाती है

सबूत:यदि हम किसी दिए गए समकोण त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करते हैं, तो इस वृत्त में अंकित त्रिभुज का समकोण एक अर्धवृत्त द्वारा वर्णित किया जाएगा, इसलिए कर्ण इस वृत्त का व्यास होगा, और कर्ण के आधे भाग और माध्यिका दिए गए होंगे हमारे लिए समस्या में त्रिज्या होगी, इसलिए वे सभी बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

कार्य 9.सिद्ध कीजिए कि एक बिंदु से वृत्त पर खींचे गए स्पर्शरेखा खंड बराबर होते हैं।

अतिरिक्त निर्माण: बिंदु C को बिंदु O से जोड़ें (मानसिक रूप से)

सबूत:एंगल्स बीऔर एसीधी रेखाएँ (स्विंग बिंदु पर खींचे गए वृत्त की त्रिज्याएँ स्पर्शरेखाओं के लंबवत होती हैं), जिसका अर्थ है समकोण त्रिभुज एओसीऔर बीओसीकर्ण में बराबर (जिस पक्ष की हम कल्पना करते हैं वह उनके लिए उभयनिष्ठ है ओ.सी.) और पैर (वृत्त की त्रिज्या ओ.बी. = ओ.ए.), मतलब एसी। = सी.बी.. क्यू.ई.डी.

समस्या 10.सिद्ध कीजिए कि वृत्त की जीवा के मध्यबिंदु से गुजरने वाला व्यास उस पर लंबवत होता है।

चित्र में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा उस त्रिभुज की माध्यिका है जिस पर हम विचार करेंगे

सबूत:एक वृत्त के साथ एक जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं और इस वृत्त के केंद्र द्वारा निर्मित एक समद्विबाहु त्रिभुज में, चित्रित माध्यिका ऊंचाई होगी, जिसका अर्थ है कि इस ऊंचाई वाला व्यास जीवा के लंबवत है। क्यू.ई.डी.

समस्या 11.सिद्ध कीजिए कि यदि दो वृत्तों में एक उभयनिष्ठ जीवा हो तो इन वृत्तों के केंद्र से गुजरने वाली रेखा इस जीवा पर लंबवत होती है।

चित्र में अंकित सभी बिंदुओं को मानसिक रूप से एक साथ जोड़ें, आइए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर के प्रतिच्छेदन बिंदु को H कहते हैं

सबूत:त्रिभुज हे 1 ए.ओ. 2 और हे 1 बी.ओ. 2 तीन तरफ बराबर हैं, इसलिए, ∠ हो 2 ए = ∠हो 2 बी, फिर त्रिकोण हाओ 2 और एचबीओदोनों तरफ 2 बराबर हैं और उनके बीच का कोण है, जिसका अर्थ है ∠ आह ओ 2 = ∠बीएचओ 2, और कुल मिलाकर दो समान कोण केवल 180 0 दे सकते हैं यदि उनमें से प्रत्येक 90 0 के बराबर हो। क्यू.ई.डी.

समस्या 12.सिद्ध कीजिए कि यदि एक वृत्त को चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो उसकी सम्मुख भुजाओं की लंबाई का योग बराबर होता है।

वृत्ताकार चतुर्भुज. चलिए इसे एबीसीडी कहते हैं। माना कि M, E, X और L स्पर्शरेखा बिंदु हैं

सबूत:हम स्पर्शरेखा खंडों (समस्या 9) पर प्रमेय का उपयोग करते हैं। कुलपति = वी.आर, एसआर = चौधरी, डीएक्स = डी.एल.और पर = एके. आइए पक्षों का योग करें अबऔर सीडी: अब + सीडी= (पूर्वाह्न।+ एम.बी.) + (डीएक्स+ एक्ससी) = अल+ होना+ डी.एल.+ सी.ई.= (अल+ एलडी) + (होना+ ई.सी.) = विज्ञापन+ ईसा पूर्वक्यू.ई.डी.

समस्या 13.सिद्ध करें कि यदि किसी चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया जा सकता है, तो उसके सम्मुख कोणों का योग बराबर होता है।

परिवृत्त

सबूत:उत्कीर्ण कोण प्रमेय के अनुसार, इस चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 0 के बराबर होता है, क्योंकि वे मिलकर एक पूर्ण वृत्त पर टिके होते हैं, जिसकी डिग्री माप 360 0 है। क्यू.ई.डी.

समस्या 14.सिद्ध करें कि यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया जा सकता है, तो समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है।

सबूत:एक वृत्त में बने चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग बराबर होता है α + β = 180 0 (समस्या 13 देखें), समलंब के पार्श्व पक्ष पर कोणों का योग भी बराबर है α + γ = 180 0 (ये कोण समांतर आधारों और एक छेदक भुजा के साथ एक तरफा हैं), इन सूत्रों की तुलना करने से हम पाते हैं कि β = γ , अर्थात्, ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं, और यह वास्तव में समद्विबाहु है। क्यू.ई.डी.

समस्या 15. Squared ए बी सी डीअंक कोऔर इ- भुजाओं के मध्यबिंदु अबऔर विज्ञापनक्रमश। साबित करें कि केडीसीधा सी.ई..

प्रमेय 1 . अंकित कोण का परिमाण उसी चाप द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण के आधे परिमाण के बराबर होता है।

सबूत . आइए सबसे पहले अंकित कोण पर विचार करें एबीसी, ओर ईसा पूर्वजो वृत्त का व्यास और केंद्रीय कोण है एओसी(चित्र 5)।

खंडों के बाद से ए.ओ.और बी.ओ.वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, फिर त्रिभुज हैं एओबी– समद्विबाहु, और कोण एबीओकोण के बराबर ओएबी. क्योंकि कोण एओसीत्रिभुज का बाह्य कोण है एओबी, तो समानताएं सत्य हैं

इस प्रकार, उस स्थिति में जब अंकित कोण की एक भुजा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, प्रमेय 1 सिद्ध होता है।

अब उस स्थिति पर विचार करें जब वृत्त का केंद्र अंकित कोण के अंदर स्थित हो (चित्र 6)।

और इस मामले में प्रमेय 1 सिद्ध है।

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब वृत्त का केंद्र अंकित कोण के बाहर होता है (चित्र 7)।

इस मामले में समानताएं सत्य हैं

जो प्रमेय 1 का प्रमाण पूरा करता है।

प्रमेय 2 . जीवाओं को प्रतिच्छेद करने से बने कोण का परिमाण उसकी भुजाओं के बीच घिरे चापों के परिमाण के योग के आधे के बराबर होता है।

सबूत . चित्र 8 पर विचार करें.

हम कोण में रुचि रखते हैं एईडी इकॉर्ड्स अबऔर सीडी. क्योंकि कोण एईडी– त्रिभुज का बाहरी कोण बिस्तर, और कोण सीडीबीऔर अब्द

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 3 . वृत्त के बाहर प्रतिच्छेद करने वाले छेदक रेखाओं से बने कोण का आकार इस कोण की भुजाओं के बीच घिरे चापों के आकार के आधे अंतर के बराबर होता है।

सबूत . चित्र 9 पर विचार करें।

हम कोण में रुचि रखते हैं बिस्तर, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने से बनता है इसेकेंट्स अबऔर सीडी. क्योंकि कोण एडीसी– त्रिभुज का बाहरी कोण एडीई, और कोण एडीसी , डीसीबीऔर डी ए बीअंकित कोण हैं, तो समानताएँ सत्य हैं

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 4 . स्पर्शरेखा और संपर्क बिंदु से गुजरने वाली जीवा द्वारा बनाए गए कोण का परिमाण उसकी भुजाओं के बीच घिरे चाप के आधे परिमाण के बराबर होता है।

सबूत . चित्र 10 पर विचार करें।

हम कोण में रुचि रखते हैं बीएसीस्पर्शरेखा द्वारा निर्मित अबऔर राग एसी।. क्योंकि विज्ञापनसंपर्क बिंदु से गुजरने वाला व्यास और कोण है एसीडीव्यास के आधार पर एक अंकित कोण है, फिर कोण डी ए बीऔर डीसीए- सीधा। इसलिए समानताएं सत्य हैं

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 5 . स्पर्श रेखा और छेदक रेखा से बने कोण का आकार इस कोण की भुजाओं के बीच घिरे चाप के आकार के आधे अंतर के बराबर होता है।

सबूत . चित्र 11 पर विचार करें।

हम कोण में रुचि रखते हैं बिस्तरस्पर्शरेखा द्वारा निर्मित अबऔर सेकेंट सीडी. ध्यान दें कि कोण बीडीसी– त्रिभुज का बाहरी कोण डीबीई, और कोण बीडीसीऔर बीसीडीअंकित कोण हैं. इसके अलावा, कोण डीबीईऔर डीसीबी, प्रमेय 4 के आधार पर, बराबर हैं। इसलिए समानताएं सत्य हैं

निर्देश

यदि त्रिभुज ABC और DEF की भुजा AB, भुजा DE के बराबर है, और भुजा AB से सटे कोण भुजा DE से सटे कोणों के बराबर हैं, तो इन त्रिभुजों को सर्वांगसम माना जाता है।

यदि त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB, BC और CD त्रिभुज DEF की संगत भुजाओं के बराबर हैं, तो ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

टिप्पणी

यदि आपको दो समकोण त्रिभुजों की समानता सिद्ध करने की आवश्यकता है, तो यह समकोण त्रिभुजों की समानता के निम्नलिखित संकेतों का उपयोग करके किया जा सकता है:

पैरों और कर्ण में से एक;
- दो ज्ञात पक्षों पर;
- एक पैर और उससे सटे तीव्र कोण के साथ;
- कर्ण और न्यून कोणों में से एक के अनुदिश।

त्रिभुज न्यूनकोण (यदि इसके सभी कोण 90 डिग्री से कम हों), कुंठित (यदि इसका एक कोण 90 डिग्री से अधिक हो), समबाहु और समद्विबाहु (यदि इसकी दो भुजाएँ बराबर हों) होते हैं।

मददगार सलाह

त्रिभुज एक दूसरे के बराबर होने के अलावा, समान त्रिभुज समरूप भी होते हैं। समरूप त्रिभुज वे होते हैं जिनके कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती होती हैं। यह ध्यान देने योग्य है कि यदि दो त्रिभुज एक दूसरे के समान हैं, तो यह उनकी समानता की गारंटी नहीं देता है। त्रिभुजों की समान भुजाओं को एक दूसरे से विभाजित करते समय, तथाकथित समानता गुणांक की गणना की जाती है। यह गुणांक समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों को विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

स्रोत:

• त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की समानता सिद्ध करें

दो त्रिभुज बराबर होते हैं यदि एक के सभी तत्व दूसरे के सभी तत्वों के बराबर हों। लेकिन उनकी समानता के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए त्रिभुजों के सभी आकारों को जानना आवश्यक नहीं है। दिए गए आंकड़ों के लिए मापदंडों के कुछ निश्चित सेट होना पर्याप्त है।

निर्देश

यदि यह ज्ञात हो कि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं और इन भुजाओं के बीच के कोण बराबर हैं, तो प्रश्न में त्रिभुज सर्वांगसम हैं। इसे सिद्ध करने के लिए, दो आकृतियों के समान कोणों के शीर्षों को संरेखित करें। लेयरिंग जारी रखें. दोनों त्रिभुजों के परिणामी उभयनिष्ठ बिंदु से, अतिव्यापी त्रिभुज के कोने की एक भुजा को निचली आकृति के संगत भुजा के अनुदिश निर्देशित करें। शर्त के अनुसार ये दोनों पक्ष बराबर हैं। इसका मतलब है कि खंडों के सिरे संपाती होंगे। परिणामस्वरूप, दिए गए त्रिभुजों में शीर्षों का एक और युग्म संपाती हो गया है। जिस कोण से यह प्रारंभ हुआ उसकी दूसरी भुजाओं की दिशाएँ इन कोणों की समानता के कारण मेल खाएँगी। और चूँकि ये भुजाएँ बराबर हैं, अंतिम शीर्ष ओवरलैप होगा। दो बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। इसलिए, दोनों त्रिभुजों की तीसरी भुजाएँ संपाती होंगी। आपको दो पूर्णतः मेल खाने वाली आकृतियाँ और त्रिभुजों की समानता का सिद्ध पहला चिह्न प्राप्त हुआ है।

यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों के बराबर हों, तो ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। इस कथन की सत्यता को सिद्ध करने के लिए, समान कोणों के शीर्षों को समान भुजाओं के साथ संरेखित करते हुए, दो आकृतियाँ आरोपित करें। कोणों की समानता के कारण, दूसरी और तीसरी भुजाओं की दिशाएँ संपाती होंगी और उनके प्रतिच्छेदन का स्थान स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा, अर्थात, त्रिभुजों में से पहले का तीसरा शीर्ष आवश्यक रूप से समान बिंदु के साथ संपाती होगा। दूसरा। त्रिभुजों की समानता का दूसरा मानदंड सिद्ध हो चुका है।