जटिल आंकड़े

काल्पनिक और जटिल आंकड़े। एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट

जटिल संख्या। सम्मिश्र संख्याओं को संयुग्मित करें.

सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ. ज्यामितिक

जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व. जटिल विमान.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क। त्रिकोणमितीय

सम्मिश्र संख्या प्रपत्र. जटिल के साथ संचालन

त्रिकोणमितीय रूप में संख्याएँ. मोइवरे का सूत्र.

के बारे में बुनियादी जानकारी काल्पनिक और जटिल आंकड़े "काल्पनिक और सम्मिश्र संख्याएँ" खंड में दिए गए हैं। मामले के लिए द्विघात समीकरणों को हल करते समय एक नए प्रकार की इन संख्याओं की आवश्यकता उत्पन्न हुईडी< 0 (здесь डी- द्विघात समीकरण का विभेदक)। लंबे समय तक, इन नंबरों को भौतिक अनुप्रयोग नहीं मिला, यही वजह है कि इन्हें "काल्पनिक" नंबर कहा जाता था। हालाँकि, अब इनका उपयोग भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से किया जाता है।

और प्रौद्योगिकी: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रो- और वायुगतिकी, लोच सिद्धांत, आदि।

जटिल आंकड़े फॉर्म में लिखा गया है:ए+बी. यहाँ एऔर बी – वास्तविक संख्या , ए मैं – काल्पनिक इकाई, यानीइ। मैं 2 = –1. संख्या एबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, ए बी - समन्वयजटिल संख्याए + द्वि.दो सम्मिश्र संख्याएँए+बीऔर ए-द्वि कहा जाता है संयुग्मजटिल आंकड़े।

मुख्य समझौते:

1. वास्तविक संख्याएफॉर्म में भी लिखा जा सकता हैजटिल संख्या:ए+ 0 मैंया ए - 0 मैं. उदाहरण के लिए, रिकॉर्ड 5 + 0मैंऔर 5 - 0 मैंमतलब एक ही नंबर 5 .

2. सम्मिश्र संख्या 0 + द्विबुलाया पूर्णतः काल्पनिक संख्या. अभिलेखद्विमतलब 0 के समान है + द्वि.

3. दो सम्मिश्र संख्याएँए+बी औरसी + डियदि समान माना जाता हैए = सीऔर बी = डी. अन्यथा सम्मिश्र संख्याएँ समान नहीं हैं.

जोड़ना। सम्मिश्र संख्याओं का योगए+बीऔर सी + डिसम्मिश्र संख्या कहलाती है (ए+सी ) + (बी+डी ) मैं।इस प्रकार, जोड़ते समय सम्मिश्र संख्याएँ, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग जोड़े जाते हैं।

यह परिभाषा सामान्य बहुपदों के साथ संचालन के नियमों से मेल खाती है।

घटाव. दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतरए+बी(कम) और सी + डि(subtrahend) को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है (एसी ) + (बी डी ) मैं।

इस प्रकार, दो जटिल संख्याओं को घटाते समय, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग घटाए जाते हैं।

गुणन. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफलए+बीऔर सी + डि सम्मिश्र संख्या कहलाती है:

(एसी-बीडी ) + (विज्ञापन+बीसी ) मैं।यह परिभाषा दो आवश्यकताओं का अनुसरण करती है:

1) संख्याएँ ए+बीऔर सी + डिबीजगणितीय की तरह गुणा किया जाना चाहिएद्विपद,

2) संख्या मैंमुख्य संपत्ति है:मैं 2 = – 1.

उदाहरण ( ए+ द्वि )(ए-द्वि) = ए 2 + बी 2 . इस तरह, काम

दो संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक के बराबर होती हैं

एक सकारात्मक संख्या.

विभाजन। किसी सम्मिश्र संख्या को विभाजित करेंए+बी (विभाज्य) दूसरे द्वारासी + डि(विभाजक) - मतलब तीसरा नंबर ढूंढनाई + एफ मैं(चैट), जिसे जब एक भाजक से गुणा किया जाता हैसी + डि, परिणाम लाभांश में होता हैए + द्वि.

यदि भाजक शून्य नहीं है, तो विभाजन सदैव संभव है।

उदाहरण खोजें (8+मैं ) : (2 – 3 मैं) .

समाधान। आइए इस अनुपात को भिन्न के रूप में फिर से लिखें:

इसके अंश और हर को 2 + 3 से गुणा करनामैं

और सभी परिवर्तन करने के बाद, हमें मिलता है:

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:

बात यहीं है एमतलब संख्या -3, बिंदुबी– नंबर 2, और हे- शून्य। इसके विपरीत, जटिल संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रयोजन के लिए, हम दोनों अक्षों पर समान पैमाने के साथ आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। फिर सम्मिश्र संख्याए+बी एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा के साथ पी ए और कोर्डिनेट बी (तस्वीर देखने)। इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान .

मापांक सम्मिश्र संख्या वेक्टर की लंबाई हैसेशन, निर्देशांक पर एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है ( विस्तृत) विमान। एक सम्मिश्र संख्या का मापांकए+बीनिरूपित | ए+बी| या पत्र आर

सम्मिश्र संख्या z =x + i * y के रूप की एक संख्या होती है, जहाँ x और y वास्तविक होते हैं नंबर, और i = काल्पनिक इकाई (अर्थात एक संख्या जिसका वर्ग -1 है)। अवधारणा को परिभाषित करने के लिए तर्कविस्तृत नंबर, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में जटिल तल पर एक जटिल संख्या पर विचार करना आवश्यक है।

अनुदेश

वह तल जिस पर जटिल संकुलों का प्रतिनिधित्व किया जाता है नंबर, को जटिल कहा जाता है। इस तल पर, क्षैतिज अक्ष वास्तविक द्वारा व्याप्त है नंबर(x), और ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक है नंबर(य). ऐसे तल पर, संख्या दो निर्देशांक z = (x, y) द्वारा दी जाती है। ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, एक बिंदु के निर्देशांक मापांक और तर्क होते हैं। मापांक दूरी |z| है एक बिंदु से मूल तक. तर्क बिंदु और मूल को जोड़ने वाले वेक्टर और समन्वय प्रणाली के क्षैतिज अक्ष के बीच का कोण है (आंकड़ा देखें)।

चित्र से पता चलता है कि जटिल मॉड्यूल नंबर z = x + i * y को पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके पाया जाता है: |z| = ? (x^2 + y^2). अगला तर्क नंबर z को त्रिभुज के न्यून कोण के रूप में पाया जाता है - त्रिकोणमितीय फलनों के मानों के माध्यम से syn, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
कॉस = एक्स / ? (x^2 + y^2),
टीजी = वाई/एक्स.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए संख्या z = 5 * (1 + ?3 * i) दी गई है। सबसे पहले, वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करें: z = 5 +5 * ?3 * i. इससे पता चलता है कि वास्तविक भाग x = 5 है, और काल्पनिक भाग y = 5 * ?3 है। मापांक की गणना करें नंबर: |जेड| = ?(25 + 75) = ?100 =10. इसके बाद, कोण की ज्या ज्ञात कीजिए: पाप = 5/10 = 1/2। यह तर्क देता है नंबर z 30° के बराबर है।

उदाहरण 2. मान लीजिए संख्या z = 5 * i दी गई है। चित्र से पता चलता है कि कोण = 90° है। उपरोक्त सूत्र से इस मान की जाँच करें। इसके निर्देशांक लिखिए नंबरजटिल तल पर: z = (0, 5). मापांक नंबर|जेड| = 5. कोण tg की स्पर्श रेखा = 5 / 5 = 1. इसका तात्पर्य यह है कि = 90°.

उदाहरण 3. मान लीजिए कि दो सम्मिश्र संख्याओं z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i के योग का तर्क ज्ञात करना आवश्यक है। योग के नियम के अनुसार इन दोनों सम्मिश्रों को जोड़ें नंबर: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i। इसके बाद, उपरोक्त आरेख का उपयोग करके, तर्क की गणना करें: tg = 9/3 = 3।

जो किसी दी गई सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ को दर्शाता है, उसे दी गई सम्मिश्र संख्या का मापांक कहा जाता है।

किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या के मापांक की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1

दी गई सम्मिश्र संख्याओं के मापांक की गणना करें $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

हम सूत्र का उपयोग करके एक सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ के मापांक की गणना करते हैं: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $।

मूल सम्मिश्र संख्या $z_(1) =13$ के लिए हमें $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = प्राप्त होता है \sqrt (169) =13$

मूल सम्मिश्र संख्या $\, z_(2) =4i$ के लिए हमें $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) प्राप्त होता है ) = \sqrt(16) =4$

मूल सम्मिश्र संख्या $\, z_(3) =4+3i$ के लिए हमें $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

परिभाषा 2

वास्तविक अक्ष की सकारात्मक दिशा और त्रिज्या वेक्टर $\overrightarrow(OM) $ द्वारा निर्मित कोण $\varphi $, जो किसी दिए गए जटिल संख्या $z=a+bi$ से मेल खाता है, इस संख्या का तर्क कहलाता है और $\arg z$ द्वारा दर्शाया जाता है।

नोट 1

किसी जटिल संख्या को त्रिकोणमितीय या घातीय रूप में प्रस्तुत करते समय किसी दिए गए जटिल संख्या के मापांक और तर्क का स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - त्रिकोणमितीय रूप;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - घातीय रूप।

उदाहरण 2

निम्नलिखित डेटा द्वारा दिए गए त्रिकोणमितीय और घातीय रूपों में एक जटिल संख्या लिखें: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) डेटा $r=3;\varphi =\pi $ को संबंधित सूत्रों में रखें और प्राप्त करें:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - त्रिकोणमितीय रूप

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - घातीय रूप।

2) डेटा $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ को संबंधित सूत्रों में रखें और प्राप्त करें:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - त्रिकोणमितीय रूप

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - घातीय रूप।

उदाहरण 3

दी गई सम्मिश्र संख्याओं का मापांक और तर्क निर्धारित करें:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

हम किसी दिए गए जटिल संख्या को क्रमशः त्रिकोणमितीय और घातीय रूपों में लिखने के लिए सूत्रों का उपयोग करके मापांक और तर्क पाएंगे।

\ \

1) मूल सम्मिश्र संख्या $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ के लिए हमें $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ प्राप्त होता है .

2) प्रारंभिक सम्मिश्र संख्या $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ के लिए हम $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ प्राप्त करें।

3) प्रारंभिक जटिल संख्या $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ के लिए हमें $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( मिलता है 3\ पाई )(4) $.

4) मूल सम्मिश्र संख्या $z=13\cdot e^(i\pi ) $ के लिए हमें $r=13;\varphi =\pi $ प्राप्त होता है।

किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ के तर्क $\varphi $ की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (बी)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

व्यवहार में, किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ के तर्क के मूल्य की गणना करने के लिए, आमतौर पर सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ पाई,ए

या समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

उदाहरण 4

दिए गए सम्मिश्र संख्याओं के तर्क की गणना करें: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

चूँकि $z=3$, तो $a=3,b=0$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

चूँकि $z=4i$, तो $a=0,b=4$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

चूँकि $z=1+i$, तो $a=1,b=1$। आइए सिस्टम (**) को हल करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ पहले निर्देशांक तिमाही के अनुरूप कोण के लिए और $\varphi =\frac के बराबर है (\pi )(4) $.

चूँकि $z=-5$, तो $a=-5,b=0$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

चूँकि $z=-2i$, तो $a=0,b=-2$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

नोट 2

संख्या $z_(3)$ को बिंदु $(0;1)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, संबंधित त्रिज्या वेक्टर की लंबाई 1 के बराबर है, यानी। $r=1$, और तर्क $\varphi =\frac(\pi )(2) $ नोट 3 के अनुसार।

संख्या $z_(4)$ को बिंदु $(0;-1)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, संबंधित त्रिज्या वेक्टर की लंबाई 1 है, यानी। $r=1$, और तर्क $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ नोट 3 के अनुसार।

संख्या $z_(5) $ को बिंदु $(2;2)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, संबंधित त्रिज्या वेक्टर की लंबाई $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = के बराबर है \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, यानी। $r=2\sqrt(2) $, और तर्क $\varphi =\frac(\pi )(4) $ एक समकोण त्रिभुज की संपत्ति द्वारा।

जो किसी दी गई सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ को दर्शाता है, उसे दी गई सम्मिश्र संख्या का मापांक कहा जाता है।

किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या के मापांक की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1

दी गई सम्मिश्र संख्याओं के मापांक की गणना करें $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

हम सूत्र का उपयोग करके एक सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ के मापांक की गणना करते हैं: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $।

मूल सम्मिश्र संख्या $z_(1) =13$ के लिए हमें $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = प्राप्त होता है \sqrt (169) =13$

मूल सम्मिश्र संख्या $\, z_(2) =4i$ के लिए हमें $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) प्राप्त होता है ) = \sqrt(16) =4$

मूल सम्मिश्र संख्या $\, z_(3) =4+3i$ के लिए हमें $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

परिभाषा 2

वास्तविक अक्ष की सकारात्मक दिशा और त्रिज्या वेक्टर $\overrightarrow(OM) $ द्वारा निर्मित कोण $\varphi $, जो किसी दिए गए जटिल संख्या $z=a+bi$ से मेल खाता है, इस संख्या का तर्क कहलाता है और $\arg z$ द्वारा दर्शाया जाता है।

नोट 1

किसी जटिल संख्या को त्रिकोणमितीय या घातीय रूप में प्रस्तुत करते समय किसी दिए गए जटिल संख्या के मापांक और तर्क का स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - त्रिकोणमितीय रूप;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - घातीय रूप।

उदाहरण 2

निम्नलिखित डेटा द्वारा दिए गए त्रिकोणमितीय और घातीय रूपों में एक जटिल संख्या लिखें: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) डेटा $r=3;\varphi =\pi $ को संबंधित सूत्रों में रखें और प्राप्त करें:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - त्रिकोणमितीय रूप

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - घातीय रूप।

2) डेटा $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ को संबंधित सूत्रों में रखें और प्राप्त करें:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - त्रिकोणमितीय रूप

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - घातीय रूप।

उदाहरण 3

दी गई सम्मिश्र संख्याओं का मापांक और तर्क निर्धारित करें:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

हम किसी दिए गए जटिल संख्या को क्रमशः त्रिकोणमितीय और घातीय रूपों में लिखने के लिए सूत्रों का उपयोग करके मापांक और तर्क पाएंगे।

\ \

1) मूल सम्मिश्र संख्या $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ के लिए हमें $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ प्राप्त होता है .

2) प्रारंभिक सम्मिश्र संख्या $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ के लिए हम $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ प्राप्त करें।

3) प्रारंभिक जटिल संख्या $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ के लिए हमें $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( मिलता है 3\ पाई )(4) $.

4) मूल सम्मिश्र संख्या $z=13\cdot e^(i\pi ) $ के लिए हमें $r=13;\varphi =\pi $ प्राप्त होता है।

किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ के तर्क $\varphi $ की गणना निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (बी)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

व्यवहार में, किसी दिए गए सम्मिश्र संख्या $z=a+bi$ के तर्क के मूल्य की गणना करने के लिए, आमतौर पर सूत्र का उपयोग किया जाता है:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ पाई,ए

या समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

उदाहरण 4

दिए गए सम्मिश्र संख्याओं के तर्क की गणना करें: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

चूँकि $z=3$, तो $a=3,b=0$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

चूँकि $z=4i$, तो $a=0,b=4$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

चूँकि $z=1+i$, तो $a=1,b=1$। आइए सिस्टम (**) को हल करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ पहले निर्देशांक तिमाही के अनुरूप कोण के लिए और $\varphi =\frac के बराबर है (\pi )(4) $.

चूँकि $z=-5$, तो $a=-5,b=0$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

चूँकि $z=-2i$, तो $a=0,b=-2$। आइए सूत्र (*) का उपयोग करके मूल सम्मिश्र संख्या के तर्क की गणना करें:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

नोट 2

संख्या $z_(3)$ को बिंदु $(0;1)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, संबंधित त्रिज्या वेक्टर की लंबाई 1 के बराबर है, यानी। $r=1$, और तर्क $\varphi =\frac(\pi )(2) $ नोट 3 के अनुसार।

संख्या $z_(4)$ को बिंदु $(0;-1)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, संबंधित त्रिज्या वेक्टर की लंबाई 1 है, यानी। $r=1$, और तर्क $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ नोट 3 के अनुसार।

संख्या $z_(5) $ को बिंदु $(2;2)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए, संबंधित त्रिज्या वेक्टर की लंबाई $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = के बराबर है \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, यानी। $r=2\sqrt(2) $, और तर्क $\varphi =\frac(\pi )(4) $ एक समकोण त्रिभुज की संपत्ति द्वारा।

सम्मिश्र संख्या z =x + i * y के रूप की एक संख्या होती है, जहाँ x और y वास्तविक होते हैं नंबर, और i = काल्पनिक इकाई (अर्थात एक संख्या जिसका वर्ग -1 है)। प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए तर्कविस्तृत नंबर, आपको ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में जटिल तल पर एक जटिल संख्या को देखने की आवश्यकता है।

अनुदेश

1. वह तल जिस पर जटिल संकुलों का प्रतिनिधित्व किया जाता है नंबर, को जटिल कहा जाता है। इस तल पर, क्षैतिज अक्ष वास्तविक द्वारा व्याप्त है नंबर(x), और ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक है नंबर(य). ऐसे तल पर, संख्या दो निर्देशांक z = (x, y) द्वारा दी जाती है। ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, एक बिंदु के निर्देशांक मापांक और तर्क होते हैं। मापांक दूरी |z| है एक बिंदु से मूल तक. क्या कोण को तर्क कहा जाता है? बिंदु और समन्वय प्रस्तावना को जोड़ने वाले वेक्टर और समन्वय प्रणाली के क्षैतिज अक्ष के बीच (आंकड़ा देखें)।

2. चित्र से पता चलता है कि जटिल मॉड्यूल नंबर z = x + i * y को पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके पाया जाता है: |z| = ? (x^2 + y^2). आगे का तर्क नंबर z को त्रिभुज के न्यून कोण के रूप में पाया जाता है - त्रिकोणमितीय फलनों के मानों के माध्यम से syn, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = एक्स / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. मान लीजिए, संख्या z = 5 * (1 + ?3 * i) दी गई है। सबसे पहले, वास्तविक और काल्पनिक भागों का चयन करें: z = 5 +5 * ?3 * i. इससे पता चलता है कि वास्तविक भाग x = 5 है, और काल्पनिक भाग y = 5 * ?3 है। मापांक की गणना करें नंबर: |जेड| = ?(25 + 75) = ?100 =10. इसके बाद, कोण की ज्या ज्ञात कीजिए?: पाप? \u003d 5 / 10 \u003d 1 / 2। वहां से, एक तर्क प्राप्त होता है नंबर z 30° के बराबर है।

4. उदाहरण 2. मान लीजिए संख्या z = 5 * i दी गई है। तस्वीर से आप देख सकते हैं कि कोण? = 90°. उपरोक्त सूत्र से इस मान की जाँच करें। इसके निर्देशांक लिखिए नंबरजटिल तल पर: z = (0, 5). मापांक नंबर|जेड| = 5. कोण tg की स्पर्शरेखा? = 5 / 5 = 1. यहाँ से क्या निकलता है? = 90°.

5. उदाहरण 3. मान लीजिए कि हमें 2 जटिल संख्याओं z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i के योग के लिए तर्क खोजने की आवश्यकता है। योग के नियम के अनुसार इन दोनों सम्मिश्रों को जोड़ें नंबर: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i। इसके अलावा, उपरोक्त योजना के अनुसार, तर्क की गणना करें: tg ? = 9 / 3 = 3.

टिप्पणी!
यदि संख्या z = 0 है, तो इसके लिए तर्क का मान परिभाषित नहीं है।

मददगार सलाह
किसी सम्मिश्र संख्या के तर्क का मान 2* की सटीकता से निर्धारित किया जाता है? * k, जहाँ k कोई पूर्णांक है। तर्क का अर्थ? ऐसा है कि -?