हमारी सभ्यता के पहले इतिहासकार - प्राचीन यूनानी - मिस्र का उल्लेख ज्यामिति के जन्मस्थान के रूप में करते हैं। उनके साथ असहमत होना मुश्किल है, यह जानकर कि फिरौन की विशाल कब्रों को किस अद्भुत सटीकता के साथ बनाया गया था। पिरामिडों के विमानों की पारस्परिक व्यवस्था, उनके अनुपात, कार्डिनल बिंदुओं के लिए अभिविन्यास - ज्यामिति की मूल बातें जाने बिना ऐसी पूर्णता प्राप्त करना अकल्पनीय होगा।

"ज्यामिति" शब्द का अनुवाद "पृथ्वी की माप" के रूप में किया जा सकता है। इसके अलावा, शब्द "पृथ्वी" एक ग्रह के रूप में नहीं - सौर मंडल का हिस्सा है, बल्कि एक विमान के रूप में प्रकट होता है। कृषि के लिए क्षेत्रों का अंकन, सबसे अधिक संभावना है, ज्यामितीय आकृतियों, उनके प्रकार और गुणों के विज्ञान का मूल आधार है।

एक त्रिभुज प्लानिमेट्री की सबसे सरल स्थानिक आकृति है, जिसमें केवल तीन बिंदु होते हैं - कोने (कोई कम नहीं)। नींव की बुनियाद शायद यही वजह है कि उसमें कुछ रहस्यमय और प्राचीन लगता है। एक त्रिभुज के अंदर सभी को देखने वाली आंख सबसे पहले ज्ञात गुप्त संकेतों में से एक है, और इसके वितरण और समय सीमा का भूगोल बस अद्भुत है। प्राचीन मिस्र, सुमेरियन, एज़्टेक और अन्य सभ्यताओं से लेकर दुनिया भर में फैले हुए मनोगत प्रेमियों के अधिक आधुनिक समुदायों तक।

त्रिभुज क्या होते हैं

एक साधारण स्केलीन त्रिभुज एक बंद ज्यामितीय आकृति है, जिसमें अलग-अलग लंबाई और तीन कोणों के तीन खंड होते हैं, जिनमें से कोई भी सीधा नहीं होता है। इसके अतिरिक्त भी कई प्रकार के विशेष हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में सभी कोण 90 डिग्री से कम होते हैं। दूसरे शब्दों में, ऐसे त्रिभुज के सभी कोण न्यून होते हैं।

एक समकोण त्रिभुज, जिसके ऊपर प्रमेयों की प्रचुरता के कारण स्कूली बच्चे हर समय रोते हैं, में एक कोण होता है जिसका मान 90 डिग्री होता है, या, जैसा कि इसे समकोण भी कहा जाता है।

एक अधिक त्रिभुज इस तथ्य से प्रतिष्ठित होता है कि इसका एक कोण अधिक है, अर्थात इसका मान 90 डिग्री से अधिक है।

एक समबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। ऐसी आकृति में सभी कोण भी बराबर होते हैं।

और अंत में, तीन भुजाओं वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज में, दो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

विशिष्ट सुविधाएं

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण भी इसके मुख्य, मुख्य अंतर - दोनों पक्षों की समानता को निर्धारित करते हैं। इन समान भुजाओं को आमतौर पर कूल्हे (या, अधिक बार, भुजाएँ) कहा जाता है, लेकिन तीसरे पक्ष को "आधार" कहा जाता है।

विचाराधीन चित्र में, a = b.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का दूसरा चिन्ह साइन प्रमेय का अनुसरण करता है। चूँकि भुजाएँ a और b बराबर हैं, उनके सम्मुख कोणों की ज्याएँ भी समान हैं:

a/sin = b/sin α, जहां से हमारे पास है: sin = sin α।

साइन की समानता से कोणों की समानता इस प्रकार है: = α।

तो, एक समद्विबाहु त्रिभुज का दूसरा चिन्ह आधार से सटे दो कोणों की समानता है।

तीसरा संकेत। एक त्रिभुज में, ऊँचाई, द्विभाजक और माध्यिका जैसे तत्वों को प्रतिष्ठित किया जाता है।

यदि समस्या को हल करने की प्रक्रिया में यह पता चलता है कि विचाराधीन त्रिभुज में, इनमें से कोई भी दो तत्व मेल खाते हैं: द्विभाजक के साथ ऊंचाई; माध्यिका के साथ द्विभाजक; ऊंचाई के साथ माध्यिका - हम निश्चित रूप से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज समद्विबाहु है।

एक आकृति के ज्यामितीय गुण

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण। आकृति के विशिष्ट गुणों में से एक आधार से सटे कोणों की समानता है:

<ВАС = <ВСА.

2. ऊपर चर्चा की गई एक और संपत्ति: एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका, द्विभाजक और ऊँचाई समान होती है यदि वे इसके शीर्ष से आधार तक बनी हों।

3. आधार पर शीर्षों से खींचे गए समद्विभाजक की समानता:

यदि AE कोण BAC का समद्विभाजक है और CD कोण BCA का समद्विभाजक है, तो: AE = DC।

4. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण आधार पर शीर्षों से खींची गई ऊँचाइयों की समानता भी प्रदान करते हैं।

यदि हम शीर्ष A और C से त्रिभुज ABC (जहाँ AB = BC) की ऊँचाइयाँ बनाते हैं, तो परिणामी खंड CD और AE बराबर होंगे।

5. आधार के कोनों से खींची गई माध्यिकाएं भी बराबर होंगी।

अतः, यदि AE और DC माध्यिकाएँ हैं, अर्थात् AD = DB, और BE = EC, तो AE = DC।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई

पक्षों और कोणों की समानता प्रश्न में आकृति के तत्वों की लंबाई की गणना में कुछ विशेषताओं का परिचय देती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊँचाई आकृति को 2 सममित समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिसके कर्ण भुजाएँ हैं। इस मामले में ऊंचाई पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक पैर के रूप में निर्धारित की जाती है।

एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हो सकती हैं, तो वह समबाहु कहलाती है। एक समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई एक समान तरीके से निर्धारित की जाती है, केवल गणना के लिए यह केवल एक मान जानने के लिए पर्याप्त है - इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई।

आप ऊंचाई को दूसरे तरीके से निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, आधार और उसके आस-पास के कोण को जानना।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका

ज्यामितीय विशेषताओं के कारण विचाराधीन त्रिभुज का प्रकार, प्रारंभिक डेटा के न्यूनतम सेट द्वारा काफी सरलता से हल किया जाता है। चूंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका इसकी ऊंचाई और इसके द्विभाजक दोनों के बराबर होती है, इसलिए इसे निर्धारित करने के लिए एल्गोरिथ्म उस क्रम से अलग नहीं है जिसमें इन तत्वों की गणना की जाती है।

उदाहरण के लिए, आप ज्ञात पार्श्व पक्ष द्वारा माध्यिका की लंबाई और शीर्ष पर कोण का मान निर्धारित कर सकते हैं।

परिधि का निर्धारण कैसे करें

चूँकि विचाराधीन समतलीय आकृति की दो भुजाएँ हमेशा समान होती हैं, इसलिए परिमाप निर्धारित करने के लिए आधार की लंबाई और किसी एक भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त है।

एक उदाहरण पर विचार करें जब आपको ज्ञात आधार और ऊंचाई को देखते हुए त्रिभुज की परिधि निर्धारित करने की आवश्यकता हो।

परिमाप आधार के योग के बराबर है और भुजा की लंबाई का दोगुना है। पार्श्व पक्ष, बदले में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी लंबाई ऊंचाई के वर्ग के योग के वर्गमूल और आधे आधार के वर्ग के बराबर होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक नियम के रूप में, कठिनाइयों और समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का कारण नहीं बनता है। त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधार और उसकी ऊंचाई के आधे उत्पाद के रूप में निर्धारित करने का सार्वभौमिक नियम, निश्चित रूप से, हमारे मामले में लागू होता है। हालाँकि, एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण फिर से कार्य को आसान बनाते हैं।

आइए मान लें कि हम आधार से सटे हुए कोण की ऊंचाई और कोण जानते हैं। आपको आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने की आवश्यकता है। आप इसे इस तरह से कर सकते हैं।

चूँकि किसी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, अतः कोण का परिमाण ज्ञात करना कठिन नहीं है। इसके अलावा, साइन प्रमेय के अनुसार तैयार किए गए अनुपात का उपयोग करके, त्रिभुज के आधार की लंबाई निर्धारित की जाती है। सब कुछ, आधार और ऊंचाई - क्षेत्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त डेटा - उपलब्ध हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के अन्य गुण

एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के केंद्र की स्थिति शीर्ष के कोण पर निर्भर करती है। इसलिए, यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज न्यूनकोण है, तो वृत्त का केंद्र आकृति के अंदर स्थित होता है।

एक अधिक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र इसके बाहर स्थित होता है। और, अंत में, यदि शीर्ष पर कोण का मान 90 ° है, तो केंद्र बिल्कुल आधार के बीच में स्थित है, और वृत्त का व्यास आधार से ही होकर गुजरता है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने के लिए, पार्श्व पक्ष की लंबाई को शीर्ष पर आधे कोण के कोज्या से दोगुना विभाजित करना पर्याप्त है।

दो बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। इन भुजाओं को भुजाएँ कहते हैं, और तीसरी भुजा को आधार कहते हैं। इस लेख में हम आपको समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों के बारे में बताएंगे।

प्रमेय 1

एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के निकट के कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए हमारे पास एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसका आधार AB है। आइए त्रिभुज बीएसी को देखें। ये त्रिभुज, पहले चिन्ह से, एक दूसरे के बराबर हैं। तो यह है, क्योंकि BC = AC, AC = BC, कोण ACB = कोण ACB। इससे यह पता चलता है कि कोण बीएसी = कोण एबीसी, क्योंकि ये एक दूसरे के बराबर हमारे त्रिभुजों के संगत कोण हैं। यहाँ एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों का गुण है।

प्रमेय 2

एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका जो उसके आधार की ओर खींची जाती है, ऊँचाई और समद्विभाजक भी होती है

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसका आधार AB है और CD वह माध्यिका है जिसे हमने इसके आधार पर खींचा है। त्रिभुजों ACD और BCD में, कोण CAD = कोण CBD, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर संगत कोणों के रूप में (प्रमेय 1)। और भुजा AC = भुजा BC (एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार)। भुजा AD \u003d भुजा BD, आखिर बिंदु D खंड AB को बराबर भागों में विभाजित करता है। अतः यह इस प्रकार है कि त्रिभुज ACD = त्रिभुज BCD।

इन त्रिभुजों की समानता से हमें संगत कोणों की समानता प्राप्त होती है। यानी कोण ACD = कोण BCD और कोण ADC = कोण BDC। समीकरण 1 का तात्पर्य है कि CD एक समद्विभाजक है। और कोण ADC और कोण BDC आसन्न कोण हैं, और समानता 2 से यह इस प्रकार है कि वे दोनों समकोण हैं। यह पता चला है कि सीडी त्रिभुज की ऊंचाई है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका का गुण है।

और अब थोड़ा समद्विबाहु त्रिभुज के चिन्हों के बारे में।

प्रमेय 3

यदि किसी त्रिभुज में दो कोण सर्वांगसम हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक त्रिभुज ABC है जिसमें कोण CAB = कोण CBA है। त्रिभुज ABC = त्रिभुज BAC त्रिभुजों के बीच समानता के दूसरे मानदंड से। तो यह है, क्योंकि AB = BA; कोण CBA = कोण CAB, कोण CAB = कोण CBA। त्रिभुजों की ऐसी समानता से हमें त्रिभुज की संगत भुजाओं की समानता प्राप्त होती है - AC = BC। तब यह पता चलता है कि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

प्रमेय 4

यदि किसी त्रिभुज में उसकी माध्यिका भी उसकी ऊँचाई है, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है

प्रमेय का प्रमाण।

त्रिभुज ABC में हम माध्यिका CD खींचते हैं। ऊंचाई भी होगी। समकोण त्रिभुज ACD = समकोण त्रिभुज BCD, क्योंकि पैर CD उनके लिए उभयनिष्ठ है, और पैर AD = पैर BD। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि उनके कर्ण समान त्रिभुजों के संगत भागों के रूप में एक दूसरे के बराबर होते हैं। इसका मतलब है कि एबी = बीसी।

प्रमेय 5

यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ये त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं

प्रमेय का प्रमाण।

मान लीजिए कि हमारे पास एक त्रिभुज ABC और एक त्रिभुज A1B1C1 है, जिसकी भुजाएँ AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1 हैं। विरोधाभास द्वारा इस प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें।

मान लीजिए कि ये त्रिभुज एक दूसरे के बराबर नहीं हैं। इसलिए हमारे पास यह है कि कोण बीएसी कोण बी 1 ए 1 सी 1 के बराबर नहीं है, कोण एबीसी कोण ए 1 बी 1 सी 1 के बराबर नहीं है, कोण एसीबी एक ही समय में कोण ए 1 सी 1 बी 1 के बराबर नहीं है। अन्यथा, उपरोक्त मानदंड के अनुसार ये त्रिभुज बराबर होंगे।

मान लें कि त्रिभुज A1B1C2 = त्रिभुज ABC। त्रिभुज का शीर्ष C2 उसी अर्ध-तल में रेखा A1B1 के सापेक्ष शीर्ष C1 के साथ स्थित है। हमने माना कि शीर्ष C2 और C1 संपाती नहीं हैं। मान लें कि बिंदु D खंड C1C2 का मध्यबिंदु है। तो हमारे पास समद्विबाहु त्रिभुज B1C1C2 और A1C1C2 हैं, जिनका एक सामान्य आधार C1C2 है। यह पता चला है कि उनकी माध्यिकाएँ B1D और A1D भी उनकी ऊँचाई हैं। इसका मतलब है कि लाइन B1D और लाइन A1D लाइन C1C2 के लंबवत हैं।

B1D और A1D के अलग-अलग बिंदु B1 और A1 हैं और इसलिए ये मेल नहीं खा सकते हैं। लेकिन आखिरकार, सीधी रेखा C1C2 के बिंदु D से होकर हम उस पर केवल एक सीधी रेखा लम्बवत खींच सकते हैं। हमारे पास एक विरोधाभास है।

अब आप जानते हैं कि समद्विबाहु त्रिभुज के गुण क्या होते हैं!

जिसमें दोनों पक्षों की लंबाई बराबर होती है। समान भुजाओं को पार्श्व कहा जाता है, और उनके असमान अंतिम पक्ष आधार होता है। परिभाषा के अनुसार, एक समद्विबाहु त्रिभुज भी समद्विबाहु होता है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

शब्दावली

यदि किसी त्रिभुज की दो समान भुजाएँ हों, तो ये भुजाएँ भुजाएँ कहलाती हैं, और तीसरी भुजा आधार कहलाती है। भुजाओं से बनने वाले कोण को कहते हैं शीर्ष कोण, और कोण, जिनकी एक भुजा आधार है, कहलाते हैं आधार पर कोने.

गुण

• एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। इन कोणों से खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई भी बराबर होते हैं।
• आधार पर खींचे गए द्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई और लंबवत द्विभाजक एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। इस रेखा पर उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र स्थित हैं।

रहने दो एएक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई है, बी- तीसरे पक्ष की लंबाई, एच- समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(कोज्या प्रमेय का परिणाम);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\backslash beta))$(कोज्या प्रमेय का परिणाम);
• $b\; =\; 2a\backslash sin\backslash frac\backslash beta\; 2$;
• $बी\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(प्रक्षेपण प्रमेय)

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या को छह तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, जिसके आधार पर समद्विबाहु त्रिभुज के दो पैरामीटर ज्ञात हैं:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

कोनेनिम्नलिखित तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash \; बीटा\; =\; \backslash \; पीआई\; -\; 2\; \backslash \; अल्फा;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(साइन प्रमेय)।
• कोण बिना के भी पाया जा सकता है $(\backslash \; पीआई)$और $आर$. त्रिभुज को माध्यिका द्वारा समद्विभाजित किया जाता है, और प्राप्त कियादो समान समकोण त्रिभुज, कोणों की गणना की जाती है:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

परिमापएक समद्विबाहु त्रिभुज निम्नलिखित तरीकों से पाया जाता है:

• $पी\; =\; 2ए\; +\; बी$(ए-प्राथमिक);
• $पी\; =\; 2आर\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(साइन प्रमेय का परिणाम)।

वर्गत्रिभुज निम्न प्रकार से पाया जाता है:

$एस\; =\; \backslash \; फ्रैक\; 1\; 2\; बीएच;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $एस\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; बी\; \backslash sqrt\; (\backslash बाएं(ए\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; बी\; \backslash दाएं)\; \backslash बाएं(ए\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; बी\; \backslash दाएं));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

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समद्विबाहु त्रिभुज की विशेषता वाला एक अंश

यद्यपि वे उससे डरते थे, उन्होंने पीटर्सबर्ग में मरिया दिमित्रिग्ना को एक पटाखा के रूप में देखा, और इसलिए, उनके द्वारा बोले गए शब्दों से, उन्होंने केवल एक अशिष्ट शब्द देखा और एक दूसरे को कानाफूसी में दोहराया, यह मानते हुए कि इस शब्द में सब कुछ है जो कहा गया उसका नमक।
प्रिंस वसीली, जो हाल ही में विशेष रूप से अक्सर भूल गए थे कि उन्होंने क्या कहा, और एक ही बात को सौ बार दोहराया, हर बार अपनी बेटी को देखने के लिए कहा।
- हेलेन, जे "ऐ उन मोट अ वोस डियर," उसने उससे कहा, उसे एक तरफ ले जाकर और अपना हाथ नीचे खींच लिया। - जे "एआई यू वेंट डे निश्चित प्रोजेट्स रिलेटिफ्स ए ... वौस सेवज़। एह बिएन, मा चेरे एनफैंट, वोस सेवेज़ क्यू मोन सी?उर डे पेरे से रिजौइट डू वाउस सेवॉयर… वोस एवेज़ टैंट सॉफ़र्ट… मैस, चेरे एनफैंट… ने कंसल्टेज़ क्यू वोटर सी? उर। सी "एस्ट टाउट सी क्यू जे वोस डिस। [हेलेन, मुझे आपको कुछ बताने की जरूरत है। मैंने कुछ प्रकार के बारे में सुना ... आप जानते हैं। ठीक है, मेरे प्यारे बच्चे, आप जानते हैं कि आपके पिता का दिल खुश है कि आप ... तुमने बहुत कुछ सहा... लेकिन, प्यारे बच्चे... जैसा तुम्हारा दिल कहे वैसा करो। यही मेरी पूरी सलाह है।] और हमेशा उसी उत्साह को छुपाते हुए, उसने अपनी बेटी के गाल पर अपना गाल दबाया और चला गया।
बिलिबिन, जिसने सबसे चतुर व्यक्ति के रूप में अपनी प्रतिष्ठा नहीं खोई है और हेलेन के उदासीन दोस्त थे, उन दोस्तों में से एक जो प्रतिभाशाली महिलाओं के पास हमेशा होते हैं, पुरुषों के दोस्त जो कभी भी प्रेमियों की भूमिका में नहीं बदल सकते, बिलिबिन एक बार पेटिट कॉमेट में [छोटे अंतरंग सर्कल] ने अपने दोस्त हेलेन से पूरी बात के बारे में कहा।
- इकोटेज़, बिलिबिन (हेलेन हमेशा अपने अंतिम नामों से बिलिबिन जैसे दोस्तों को बुलाती थी), - और उसने अपने सफेद रिंग वाले हाथ को उसके टेलकोट की आस्तीन से छुआ। - डाइट्स मोई कॉमे वौस डिरिएज़ ए उने एस?उर, क्यू डोइस जे फेयर? लेक्वेल डेस ड्यूक्स? [सुनो, बिलिबिन: मुझे बताओ, तुम अपनी बहन से कैसे कहोगे, मुझे क्या करना चाहिए? दोनों में से कौन सा?]
बिलिबिन ने अपनी भौहों के ऊपर की त्वचा को इकट्ठा किया और अपने होठों पर मुस्कान के साथ इसके बारे में सोचा।
"वूस ने में प्रीनेज़ पास एन बाय सरप्राइज़, वोस सेव्ज़," उन्होंने कहा। - कमे वेरिटेबल एमी जे "एआई पेन्स एट रिपेंस ए वोटर अफेयर। वोएज़ वौस। सी वौस एपोसेज़ ले प्रिंस (यह एक जवान आदमी था)," उसने अपनी उंगली झुकाई, "वौस पेर्डेज़ डालना टूजर्स ला चांस डी" एपौसर एल "ऑट्रे, एट पुइस वौस मेकॉन्टेंटेज़ ला कोर्ट। (कॉमे वौस सेव्ज़, इल वाई ए उने एस्पेस डे पैरेंट।) मैस सी वौस एपोसेज़ ले विएक्स कॉम्टे, वौस फेइट्स ले बोनहेउर डी सेस डर्नियर्स जर्नल्स, एट पुइस कमे वीव डू ग्रैंड… प्लस डे प्रिंस ने फेट mesalliance en vous epousant, [आप मुझे आश्चर्य से नहीं लेते, आप जानते हैं। एक सच्चे दोस्त के रूप में, मैं लंबे समय से आपके मामले के बारे में सोच रहा हूं। आप देखें, यदि आप एक राजकुमार से शादी करते हैं, तो आप हमेशा के लिए खो देते हैं दूसरे की पत्नी बनने का अवसर, और इसके अलावा, अदालत असंतुष्ट होगी। (आप जानते हैं, आखिरकार, रिश्तेदारी यहां शामिल है।) और यदि आप पुरानी गिनती से शादी करते हैं, तो आप उसके अंतिम दिनों की खुशी को बना लेंगे, और फिर ... राजकुमार के लिए एक रईस की विधवा से शादी करना अपमानजनक नहीं होगा।] - और बिलिबिन ने अपनी त्वचा को ढीला कर दिया।
- वोइला अन वेरिटेबल एमी! हेलेन ने मुस्कराते हुए कहा, एक बार फिर बिलिबिप की आस्तीन को अपने हाथ से छू रही है। - माईस सी "एस्ट क्यू जे" एइमे एल "उन एट एल" ऑट्रे, जे ने वौड्राइस पास लेउर फेयर डे चाग्रिन। जे डोनेरैस मा वी पोर लेउर बोनहेर ए टूस ड्यूक्स, [यहाँ एक सच्चा दोस्त है! लेकिन मैं दोनों से प्यार करता हूं और किसी को परेशान नहीं करना चाहूंगा। दोनों की खुशी के लिए मैं अपनी जान कुर्बान करने को तैयार हो जाऊंगी।] - उसने कहा।
बिलिबिन ने अपने कंधों को सिकोड़ लिया, यह व्यक्त करते हुए कि वह भी अब इस तरह के दुःख की मदद नहीं कर सकता।
"उने मैट्रेस फीमेल! वोइला सी क्यूई एस "एपेल पॉसर कैरमेंट ला क्वेश्चन। एले वौड्रेट इपॉसर टूस लेस ट्रोइस ए ला फॉइस", ["अच्छा किया महिला! सवाल को मजबूती से रखने के लिए यही कहा जाता है। वह तीनों की पत्नी बनना चाहेगी उसी समय। "] बिलिबिन ने सोचा।

समद्विबाहु त्रिकोणएक त्रिभुज है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है। समान पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और अंतिम - आधार। परिभाषा के अनुसार, एक समद्विबाहु त्रिभुज भी समद्विबाहु होता है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

गुण

• एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। इन कोणों से खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई भी बराबर होते हैं।
• आधार पर खींचे गए द्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई और लंबवत द्विभाजक एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। इस रेखा पर उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र स्थित हैं।
• समान भुजाओं के सम्मुख कोण हमेशा न्यून होते हैं (उनकी समानता से अनुसरण करता है)।

रहने दो एएक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई है, बी- तीसरे पक्ष की लंबाई, α और β - सभी तरीके से, आर- परिचालित वृत्त की त्रिज्या, आर- खुदा की त्रिज्या।

पक्षों को इस तरह पाया जा सकता है:

कोणों को निम्नलिखित तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि की गणना निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से की जा सकती है:

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से की जा सकती है:

(हेरोन का सूत्र)।

लक्षण

• त्रिभुज के दो कोण बराबर होते हैं।
• ऊँचाई माध्यिका के समान होती है।
• ऊंचाई द्विभाजक के साथ मेल खाती है।
• द्विभाजक माध्यिका के समान है।
• दोनों की ऊंचाई बराबर है।
• दो माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
• दो समद्विभाजक बराबर होते हैं (स्टेनर-लेमस प्रमेय)।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "समद्विबाहु त्रिभुज" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

ISOSHELES TRIANGLE, एक TRIANGLE जिसकी दो भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं; इन भुजाओं पर कोण भी बराबर होते हैं... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

और (सरल) त्रिभुज, त्रिभुज, पति। 1. तीन आंतरिक कोणों (चटाई) का निर्माण करने वाली तीन परस्पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। तिरछा त्रिभुज। न्यून त्रिकोण। सही त्रिकोण।… … Ushakov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

ISOSHELES, oy, oy: दो बराबर भुजाओं वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज। | संज्ञा समद्विबाहु, और, पत्नियां। ओज़ेगोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। एस.आई. ओज़ेगोव, एन.यू. श्वेदोवा। 1949 1992... Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

त्रिकोण- ▲ एक बहुभुज जिसमें तीन, कोण त्रिभुज सबसे सरल बहुभुज होता है; 3 बिंदुओं द्वारा दिया जाता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिकोणीय। तीव्र कोण। तीव्र कोण वाला। दायां त्रिकोण: पैर। कर्ण समद्विबाहु त्रिकोण। …… रूसी भाषा का आइडियोग्राफिक डिक्शनरी

त्रिकोण- TRIANGLE1, a, m जिसमें से या def के साथ। एक वस्तु जिसमें एक ज्यामितीय आकृति का आकार होता है जो तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरा होता है। उसने अपने पति के पत्रों, पीले रंग के अग्र-पंक्ति त्रिकोणों के माध्यम से हल किया। त्रिभुज2, ए, एम ... ... रूसी संज्ञाओं का व्याख्यात्मक शब्दकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, त्रिभुज (अर्थ) देखें। एक त्रिभुज (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) तीन रेखा खंडों द्वारा बनाई गई एक ज्यामितीय आकृति है जो तीन गैर-रैखिक बिंदुओं को जोड़ती है। तीन बिंदु, ... ... विकिपीडिया

त्रिभुज (बहुभुज)- त्रिकोण: 1 तीव्र, आयताकार और अधिक; 2 नियमित (समबाहु) और समद्विबाहु; 3 द्विभाजक; 4 माध्यिकाएं और गुरुत्वाकर्षण का केंद्र; 5 ऊंचाई; 6 ऑर्थोसेंटर; 7 मध्य रेखा। त्रिभुज, 3 भुजाओं वाला बहुभुज। कभी-कभी इसके तहत... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

विश्वकोश शब्दकोश

त्रिकोण- ए; मी. 1) क) तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु त्रिभुज/सन। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। बी) सम्मान। क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु।…… कई भावों का शब्दकोश

लेकिन; मी. 1. तीन आंतरिक कोणों को बनाने वाली तीन प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से घिरी एक ज्यामितीय आकृति। आयताकार, समद्विबाहु मी। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें। // क्या या डीईएफ़ के साथ। ऐसे रूप की कोई आकृति या वस्तु। टी. छत. टी।… … विश्वकोश शब्दकोश

होमवर्क की जाँच करना

№ 111.

दिया गया: सीडी = बीडी , 1 = 2

साबित करें: ए बी सी - समद्विबाहु

№ 107.

पक्ष ए C, AB से 2 गुना कम है

पी = 50 सेमी,

पी = 50 सेमी

एक्स + 2x + 2x = 50

एक्स = 10

2 एक्स

2 एक्स

एसी = 10 सेमी,

एबी = बीसी = 20 सेमी

कौन से त्रिभुज समद्विबाहु हैं? समद्विबाहु त्रिभुजों के लिए, आधार और भुजाओं को नाम दें।

दिया गया है: AD, BAC का समद्विभाजक है, BAC = 74 0। खोजें: बीए डी। (चित्र। 1)

दिया गया है: KL - ऊँचाई KMN। खोजें: केएलएन। (रेखा चित्र नम्बर 2)

दिया गया है: QS - माध्यिका ∆ PQR, PS = 5.3 सेमी. खोजें: पीआर। (चित्र 3)

• दिया गया है: ABC समद्विबाहु आधार AC, VC समद्विभाजक, AC = 46 सेमी। खोजें: एके। (चित्र.4)
• दिया गया है: ABC समद्विबाहु आधार AC, VC ऊँचाई, ABC=46 0 । खोजें: एवीसी। (चित्र.5)
• दिया गया है: ∆ C BD समद्विबाहु आधार B C, DA माध्यिका, BDC=120 0 । खोजें: एडीबी। (चित्र 6)

7 वीं कक्षा

समद्विबाहु त्रिभुज के गुण

तीन मार्ग ज्ञान की ओर ले जाते हैं:

चिंतन का मार्ग श्रेष्ठ मार्ग है,

अनुकरण का मार्ग सबसे आसान मार्ग है,

और अनुभव का मार्ग सबसे कड़वा होता है।

कन्फ्यूशियस।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

दिया गया है: ABC समद्विबाहु

सिद्ध करना:

प्रमाण:

1. कोण B का समद्विभाजक BD खींचिए।

2. AB D और ∆CBD पर विचार करें:

एबी = बीसी (शर्त के अनुसार),

डी में - आम पक्ष,

ए बीडी = ∠ सी बीडी

D = CBD (त्रिभुजों की समानता के 1 चिन्ह के अनुसार)

3. समान त्रिभुजों में संगत कोण A= C होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया द्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई होता है।

दिया गया: एबीसी समद्विबाहु,

लेकिन डी- द्विभाजक .

सिद्ध करना: लेकिन डी - ऊंचाई,

लेकिन डी - माध्यिका।

प्रमाण:

1) विचार करें और:

बीएडी = CAD (त्रिभुजों की समानता के 1 मानदंड के अनुसार)।

2) समान त्रिभुजों में, संगत भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं

1 = 2 = 90° (आसन्न कोने)।

अत: AD माध्यिका है और ऊँचाई ABC है।

समस्या को सुलझाना।

सावरसोवा एस.एम., यास्त्रेबिनेत्स्की जी.ए. "समाप्त रेखाचित्रों पर प्लानिमेट्री अभ्यास"

110

70

70

समस्या को सुलझाना।

दिया गया: एबी \u003d बी सी, 1 \u003d 130 0।

एल एस अतानास्यान। "ज्यामिति 7-9" नंबर 112।

समस्या को सुलझाना।

खोजें: एबी डी।

त्रिकोण

एबीसी - समद्विबाहु

D माध्यिका है

तो B D समद्विभाजक है

40 0

40 0

से। मी। सावरसोवा, जी.ए. यस्त्रेबिनेत्स्की "तैयार चित्र पर अभ्यास"

गृहकार्य:

• 19 (पीपी। 35 - 36), नंबर 109, 112, 118।