देखें कि "CONDITIONAL EXTREME" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सापेक्ष चरम, n + m चर के फलन f (x1,..., xn + m) का चरम, यह मानते हुए कि ये चर m अधिक युग्मन समीकरणों (शर्तों) के अधीन हैं: k (x1,..., xn + एम) = 0, 1≤ के एम (*) (चरम देखें)।… …

एक खुले समुच्चय और चालू को फंक्शन दें। रहने दो। इन समीकरणों को बाधा समीकरण कहा जाता है (शब्दावली यांत्रिकी से उधार ली गई है)। एक फ़ंक्शन को G पर परिभाषित होने दें ... विकिपीडिया

- (लैटिन एक्सट्रीम एक्सट्रीम से) एक निरंतर फ़ंक्शन f (x) का मान, जो या तो अधिकतम या न्यूनतम है। अधिक सटीक: बिंदु x0 पर निरंतर एक फ़ंक्शन f (x) का अधिकतम (न्यूनतम) x0 पर होता है यदि इस बिंदु का पड़ोस (x0 + δ, x0 ) है, ... ... महान सोवियत विश्वकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, चरम (अर्थ) देखें। गणित में चरम (लैटिन चरम चरम) किसी दिए गए सेट पर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान है। जिस बिंदु पर चरम सीमा पर पहुँच जाता है वह है ... ... विकिपीडिया

कई चर और कार्यात्मक कार्यों के सशर्त चरम के लिए समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाने वाला एक फ़ंक्शन। एल एफ की मदद से। एक सशर्त चरम सीमा के लिए समस्याओं में आवश्यक इष्टतमता की शर्तें लिखी जाती हैं। केवल चर व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है ... गणितीय विश्वकोश

एक या अधिक कार्यों की पसंद के आधार पर चर के कार्यों के चरम (अधिकतम और न्यूनतम) मूल्यों को खोजने के लिए समर्पित एक गणितीय अनुशासन। में और। उस अध्याय का स्वाभाविक विकास है…… महान सोवियत विश्वकोश

वेरिएबल्स, जिनकी मदद से लैग्रेंज फंक्शन का निर्माण एक सशर्त चरम के लिए समस्याओं के अध्ययन में किया जाता है। एलएम और लैग्रेंज फ़ंक्शन का उपयोग एक सशर्त चरम सीमा के लिए समस्याओं में एक समान तरीके से आवश्यक इष्टतमता की स्थिति प्राप्त करना संभव बनाता है ... गणितीय विश्वकोश

विविधताओं की गणना कार्यात्मक विश्लेषण की एक शाखा है जो कार्यात्मकताओं की विविधताओं का अध्ययन करती है। विविधताओं के कलन का सबसे विशिष्ट कार्य एक ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना है जिस पर एक दिया गया कार्यात्मक पहुँचता है ... ... विकिपीडिया

इन पर लगाए गए विभिन्न प्रकार के प्रतिबंधों (चरण, अंतर, अभिन्न, आदि) के तहत एक या अधिक कार्यों की पसंद पर निर्भर कार्यों के चरम को खोजने के तरीकों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित का एक खंड ... ... गणितीय विश्वकोश

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पुस्तकें

• नियंत्रण सिद्धांत पर व्याख्यान। खंड 2. इष्टतम नियंत्रण, वी. बॉस। इष्टतम नियंत्रण के सिद्धांत की शास्त्रीय समस्याओं पर विचार किया जाता है। प्रस्तुति परिमित-आयामी रिक्त स्थान में अनुकूलन की बुनियादी अवधारणाओं के साथ शुरू होती है: सशर्त और बिना शर्त चरम, ...

परिभाषा1: एक फ़ंक्शन को एक बिंदु पर स्थानीय अधिकतम कहा जाता है यदि उस बिंदु के पड़ोस मौजूद हैं जैसे कि किसी भी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता पूरी होती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि< 0.

परिभाषा 2: एक फ़ंक्शन को एक बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम कहा जाता है यदि बिंदु के पड़ोस मौजूद हैं जैसे कि किसी भी बिंदु के लिए एमनिर्देशांक के साथ (एक्स, वाई)असमानता पूरी होती है: . इस मामले में, यानी, फ़ंक्शन की वृद्धि> 0।

परिभाषा 3: स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु.

सशर्त चरम

कई चर के एक समारोह के चरम की खोज करते समय, तथाकथित से संबंधित समस्याएं अक्सर उत्पन्न होती हैं सशर्त चरम।इस अवधारणा को दो चरों के एक फलन के उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।

मान लीजिए एक फलन और एक रेखा दी गई है लीसतह पर 0xy. कार्य लाइन करना है लीऐसा बिंदु खोजें पी (एक्स, वाई),जिसमें फंक्शन की वैल्यू लाइन के पॉइंट्स पर इस फंक्शन के वैल्यूज की तुलना में सबसे बड़ी या सबसे छोटी होती है लीबिंदु के पास स्थित पी. ऐसे बिंदु पीबुलाया सशर्त चरम बिंदुलाइन फ़ंक्शन ली. सामान्य चरम बिंदु के विपरीत, सशर्त चरम बिंदु पर फ़ंक्शन मान की तुलना उसके कुछ पड़ोस के सभी बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों से नहीं की जाती है, बल्कि केवल उन पर होती है जो लाइन पर स्थित होते हैं ली.

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य चरम बिंदु (वे भी कहते हैं बिना शर्त चरम) इस बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा के लिए एक सशर्त चरम बिंदु भी है। बातचीत, ज़ाहिर है, सच नहीं है: एक सशर्त चरम बिंदु पारंपरिक चरम बिंदु नहीं हो सकता है। इसे मैं एक सरल उदाहरण से समझाता हूँ। फलन का ग्राफ ऊपरी गोलार्द्ध है (परिशिष्ट 3 (चित्र 3))।

इस फ़ंक्शन के मूल में अधिकतम है; यह शीर्ष से मेल खाता है एमगोलार्द्ध। यदि रेखा लीबिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा है लेकिनऔर पर(उसका समीकरण एक्स+वाई-1=0), तो यह ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है कि इस रेखा के बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन का अधिकतम मान बिंदुओं के बीच में स्थित बिंदु पर पहुंच जाता है लेकिनऔर पर।यह दी गई रेखा पर फ़ंक्शन के सशर्त चरम (अधिकतम) का बिंदु है; यह गोलार्द्ध पर बिंदु एम 1 से मेल खाता है, और यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि यहां किसी भी सामान्य चरम का कोई सवाल नहीं हो सकता है।

ध्यान दें कि एक बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या के अंतिम भाग में, हमें इस क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के चरम मूल्यों को खोजना होगा, अर्थात। कुछ लाइन पर, और इस तरह एक सशर्त चरम के लिए समस्या का समाधान।

आइए अब हम फलन Z= f(x, y) के सशर्त चरम के बिंदुओं के लिए व्यावहारिक खोज के लिए आगे बढ़ें, बशर्ते कि चर x और y समीकरण (x, y) = 0 से संबंधित हों। यह संबंध होगा बाधा समीकरण कहा जाता है। यदि कनेक्शन समीकरण से y को x: y \u003d (x) के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है, तो हमें एक चर Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) का एक फ़ंक्शन मिलता है।

x का मान प्राप्त करने के बाद, जिस पर यह फ़ंक्शन एक चरम सीमा तक पहुंचता है, और फिर कनेक्शन समीकरण से y के संबंधित मानों का निर्धारण करते हुए, हम सशर्त चरम के वांछित बिंदु प्राप्त करेंगे।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, संचार के समीकरण से x+y-1=0 हमारे पास y=1-x है। यहां से

यह जाँचना आसान है कि z अपने अधिकतम x = 0.5 पर पहुँचता है; लेकिन फिर कनेक्शन समीकरण y = 0.5 से, और हमें बिल्कुल बिंदु P मिलता है, जो ज्यामितीय विचारों से पाया जाता है।

सशर्त चरम समस्या को बहुत सरलता से हल किया जाता है, भले ही बाधा समीकरण को पैरामीट्रिक समीकरण x=x(t), y=y(t) द्वारा दर्शाया जा सके। इस फलन में x और y के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम फिर से एक चर वाले फलन का चरम ज्ञात करने की समस्या पर आते हैं।

यदि बाधा समीकरण का अधिक जटिल रूप है और हम न तो स्पष्ट रूप से एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं, और न ही इसे पैरामीट्रिक समीकरणों से बदल सकते हैं, तो सशर्त चरम को खोजने की समस्या अधिक कठिन हो जाती है। हम यह मानते रहेंगे कि फलन z= f(x, y) के व्यंजक में चर (x, y) = 0. फलन का कुल अवकलज z= f(x, y) इसके बराबर है:

व्युत्पन्न y कहाँ है, निहित कार्य के भेदभाव के नियम द्वारा पाया जाता है। सशर्त चरम के बिंदुओं पर, पाया गया कुल व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए; यह x और y से संबंधित एक समीकरण देता है। चूंकि उन्हें बाधा समीकरण को भी संतुष्ट करना चाहिए, हमें दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

आइए पहले समीकरण को अनुपात के रूप में लिखकर और एक नया सहायक अज्ञात पेश करके इस प्रणाली को और अधिक सुविधाजनक में बदल दें:

(सुविधा के लिए एक ऋण चिह्न सामने रखा गया है)। इन समानताओं से निम्नलिखित प्रणाली में जाना आसान है:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

जो, बाधा समीकरण (x, y) = 0 के साथ, अज्ञात x, y, और के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली बनाता है।

इन समीकरणों (*) को निम्नलिखित नियम का उपयोग करके याद रखना सबसे आसान है: उन बिंदुओं को खोजने के लिए जो फ़ंक्शन के सशर्त चरम के बिंदु हो सकते हैं

Z= f(x, y) बाधा समीकरण (x, y) = 0 के साथ, आपको एक सहायक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है

एफ (एक्स, वाई) = एफ (एक्स, वाई) + (एक्स, वाई)

जहां कुछ स्थिरांक है, और इस फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने के लिए समीकरण लिखें।

समीकरणों की निर्दिष्ट प्रणाली, एक नियम के रूप में, केवल आवश्यक शर्तें प्रदान करती है, अर्थात। इस प्रणाली को संतुष्ट करने वाले x और y मानों की प्रत्येक जोड़ी अनिवार्य रूप से एक सशर्त चरम बिंदु नहीं है। मैं सशर्त चरम बिंदुओं के लिए पर्याप्त शर्तें नहीं दूंगा; अक्सर समस्या की विशिष्ट सामग्री ही बताती है कि पाया गया बिंदु क्या है। सशर्त चरम के लिए समस्याओं को हल करने के लिए वर्णित तकनीक को लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि कहा जाता है।

सशर्त चरम।

अनेक चरों के फलन का एक्स्ट्रीमा

कम से कम वर्ग विधि।

FNP . का स्थानीय चरम

चलो समारोह और= एफ(पी), रोडीर एनऔर बिंदु Р 0 ( ए 1 , ए 2 , ..., एक पी) –आंतरिकसेट डी का बिंदु

परिभाषा 9.4.

1) बिंदु P 0 को कहा जाता है अधिकतम बिंदु कार्यों और= एफ(पी) यदि इस बिंदु यू (पी 0) डी के पड़ोस मौजूद हैं तो किसी भी बिंदु पी के लिए ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन)н यू(पी 0) , 0 , कंडीशन एफ(पी) £ एफ(पी0) । अर्थ एफ(P 0) अधिकतम बिंदु पर फलन कहलाते हैं फ़ंक्शन अधिकतम और निरूपित एफ(पी 0) = अधिकतम एफ(पी) ।

2) बिंदु P 0 को कहा जाता है न्यूनतम बिंदु कार्यों और= एफ(पी) यदि इस बिंदु यू (पी 0)Ì डी के पड़ोस मौजूद हैं तो किसी भी बिंदु पी के लिए ( एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) एनयू (पी 0), 0, स्थिति एफ(पी)³ एफ(पी0) । अर्थ एफ(P 0) न्यूनतम बिंदु पर फलन कहलाते हैं कार्य न्यूनतम और निरूपित एफ(पी 0) = मिनट एफ(पी)।

किसी फलन के न्यूनतम और अधिकतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान कहलाते हैं कार्य चरम।

परिभाषा के अनुसार, असमानताएँ एफ(पी) £ एफ(पी0) , एफ(पी)³ एफ(पी 0) केवल बिंदु पी 0 के एक निश्चित पड़ोस में किया जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन के पूरे डोमेन में, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन में एक ही प्रकार के कई एक्स्ट्रेमा (कई मिनीमा, कई मैक्सिमा) हो सकते हैं। इसलिए, ऊपर परिभाषित एक्स्ट्रेमा को कहा जाता है स्थानीय(स्थानीय) चरम।

प्रमेय 9.1. (FNP के चरम के लिए आवश्यक शर्त)

यदि समारोह और= एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन) का बिंदु P 0 पर एक चरम है, तो इस बिंदु पर इसके पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न या तो शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

प्रमाण।मान लीजिए बिंदु 0 ( ए 1 , ए 2 , ..., एक पी) समारोह और= एफ(पी) में एक चरम है, जैसे कि अधिकतम। आइए तर्कों को ठीक करें एक्स 2 , ..., एक्स एन, डालना एक्स 2 =ए 2 ,..., एक्स एन = एक पी. फिर और= एफ(पी) = एफ 1 ((एक्स 1 , ए 2 , ..., एक पी) एक चर का एक कार्य है एक्सएक । चूंकि इस समारोह में है एक्स 1 = ए 1 चरम (अधिकतम), तब एफ 1 ¢=0 या मौजूद नहीं है जब एक्स 1 =ए 1 (एक चर के एक समारोह के चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)। लेकिन, तब या बिंदु P 0 - चरम बिंदु पर मौजूद नहीं है। इसी प्रकार, हम अन्य चरों के संबंध में आंशिक अवकलजों पर विचार कर सकते हैं। सी.एच.टी.डी.

किसी फलन के प्रांत के वे बिंदु जिन पर प्रथम कोटि के आंशिक अवकलज शून्य के बराबर होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु यह समारोह।

प्रमेय 9.1 के अनुसार, एफएनपी के चरम बिंदुओं को फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच मांगा जाना चाहिए। लेकिन, जहां तक ​​एक चर के फलन का सवाल है, हर महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है।

प्रमेय 9.2

मान लीजिए 0 फलन का एक महत्वपूर्ण बिंदु है और= एफ(पी) और इस फ़ंक्शन का दूसरा क्रम अंतर है। फिर

और अगर डी 2 तुम(P 0) > 0 के लिए , तो 0 एक बिंदु है न्यूनतमकार्यों और= एफ(पी);

बी) अगर डी 2 तुम(पी0)< 0 при , то Р 0 – точка ज्यादा से ज्यादाकार्यों और= एफ(पी);

ग) अगर डी 2 तुम(P 0) चिह्न द्वारा परिभाषित नहीं है, तो P 0 एक चरम बिंदु नहीं है;

हम इस प्रमेय को बिना प्रमाण के मानते हैं।

ध्यान दें कि प्रमेय उस स्थिति पर विचार नहीं करता है जब डी 2 तुम(पी 0) = 0 या मौजूद नहीं है। इसका मतलब यह है कि ऐसी परिस्थितियों में बिंदु P 0 पर एक चरम की उपस्थिति का प्रश्न खुला रहता है - अतिरिक्त अध्ययन की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का अध्ययन।

अधिक विस्तृत गणित पाठ्यक्रमों में, यह साबित होता है कि, विशेष रूप से, फ़ंक्शन के लिए जेड = एफ(एक्स,आप) दो चरों का, जिनके दूसरे क्रम का अंतर रूप का योग है

महत्वपूर्ण बिंदु 0 पर एक चरम की उपस्थिति के अध्ययन को सरल बनाया जा सकता है।

निरूपित , , . निर्धारक लिखें

.

पता चला है:

डी 2 जेड> 0 बिंदु P 0 पर, अर्थात। पी 0 - न्यूनतम बिंदु, अगर ए(पी 0)> 0 और डी (पी 0)> 0;

डी 2 जेड < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ए(पी0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

अगर डी (पी 0)< 0, то डी 2 जेडबिंदु 0 के आसपास के क्षेत्र में संकेत बदलता है और बिंदु 0 पर कोई चरम नहीं है;

यदि डी (Р 0) = 0, तो महत्वपूर्ण बिंदु 0 के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन के अतिरिक्त अध्ययन की भी आवश्यकता होती है।

इस प्रकार, समारोह के लिए जेड = एफ(एक्स,आप) दो चरों में से, हमारे पास चरम सीमा को खोजने के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम है (चलिए इसे "एल्गोरिदम डी" कहते हैं):

1) परिभाषा डी का डोमेन खोजें ( एफ) कार्य करता है।

2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, यानी। डी से अंक ( एफ) जिसके लिए और शून्य के बराबर हैं या मौजूद नहीं हैं।

3) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु पर 0 चरम के लिए पर्याप्त स्थितियों की जांच करें। ऐसा करने के लिए, खोजें , कहा पे , , और D(Р 0) और . की गणना करें लेकिन(प0) तब :

यदि D(Р 0) >0, तो बिंदु 0 पर एक चरम है, इसके अलावा, यदि लेकिन(प 0) > 0 - तो यह न्यूनतम है, और यदि लेकिन(पी 0)< 0 – максимум;

अगर डी (पी 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

यदि D(Р 0) = 0 है, तो अतिरिक्त अध्ययन की आवश्यकता है।

4) पाए गए चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 1।

किसी फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं जेड = एक्स 3 + 8आप 3 – 3xy .

फेसला।इस फ़ंक्शन का डोमेन संपूर्ण समन्वय विमान है। आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु।

, , 0 (0,0) , .

आइए हम पर्याप्त चरम शर्तों की पूर्ति की जाँच करें। हमे पता करने दें

6एक्स, = -3, = 48परऔर = 288हू – 9.

फिर डी (पी 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

डी(Р 1) = 36-9>0 - बिंदु 1 पर एक चरम सीमा है, और चूँकि लेकिन(पी 1) = 3>0, तो यह चरम न्यूनतम है। तो मिन जेड=जेड(पी1) = .

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के चरम का पता लगाएं .

हल: डी ( एफ) = आर 2। महत्वपूर्ण बिंदु: ; पर मौजूद नहीं है पर= 0, इसलिए P 0 (0,0) इस फलन का क्रांतिक बिंदु है।

2, = 0, = , = , लेकिन D(Р 0) परिभाषित नहीं है, इसलिए इसके चिन्ह का अध्ययन करना असंभव है।

इसी कारण से, प्रमेय 9.2 को सीधे लागू करना असंभव है - डी 2 जेडइस बिंदु पर मौजूद नहीं है।

समारोह की वृद्धि पर विचार करें एफ(एक्स, आप) बिंदु 0 पर। अगर डी एफ =एफ(पी)- एफ(P 0)>0 "P, तो P 0 न्यूनतम बिंदु है, यदि D एफ < 0, то Р 0 – точка максимума.

हमारे पास हमारे मामले में है

डी एफ = एफ(एक्स, आप) – एफ(0, 0) = एफ(0+डी एक्स,0+डी आप) – एफ(0, 0) = .

डी में एक्स= 0.1 और डी आप= -0.008 हम प्राप्त करते हैं D एफ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dएक्स= 0.1 और डी आप= 0.001डी एफ= 0.01 + 0.1 > 0, अर्थात्। बिंदु Р 0 के आस-पास न तो स्थिति D एफ <0 (т.е. एफ(एक्स, आप) < एफ(0, 0) और, इसलिए, P 0 अधिकतम बिंदु नहीं है), न ही स्थिति D एफ>0 (अर्थात एफ(एक्स, आप) > एफ(0, 0) और फिर 0 न्यूनतम बिंदु नहीं है)। इसलिए, एक चरम की परिभाषा के अनुसार, इस फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है।

सशर्त चरम।

फ़ंक्शन का माना चरम कहा जाता है बिना शर्त, चूंकि फ़ंक्शन तर्कों पर कोई प्रतिबंध (शर्तें) नहीं लगाए गए हैं।

परिभाषा 9.2.फंक्शन एक्सट्रीमम और = एफ(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन), इस शर्त के तहत पाया गया कि इसके तर्क एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एनसमीकरणों को संतुष्ट करें j 1 ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, …, जे टी(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0, जहां पी ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) डी ( एफ), कहा जाता है सशर्त चरम .

समीकरण जे क(एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन) = 0 , क = 1, 2,..., एम, कहा जाता है कनेक्शन समीकरण.

कार्यों पर विचार करें जेड = एफ(एक्स,आप) दो चर के। यदि केवल एक बाधा समीकरण है, अर्थात। , तो एक सशर्त चरम खोजने का मतलब है कि चरम समारोह के पूरे डोमेन में नहीं, बल्कि डी में पड़े कुछ वक्र पर मांगा जाता है ( एफ) (अर्थात, सतह के उच्चतम या निम्नतम बिंदुओं की खोज नहीं की जाती है जेड = एफ(एक्स,आप), और सिलेंडर के साथ इस सतह के चौराहे के बिंदुओं के बीच उच्चतम या निम्नतम बिंदु, चित्र 5)।

समारोह की सशर्त चरम सीमा जेड = एफ(एक्स,आप) दो चरों को निम्न प्रकार से पाया जा सकता है ( उन्मूलन विधि) समीकरण से, एक चर को दूसरे के कार्य के रूप में व्यक्त करें (उदाहरण के लिए, लिखें) और, चर के इस मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हुए, बाद वाले को एक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में लिखें (माने गए मामले में) ) एक चर के परिणामी फलन का चरम ज्ञात कीजिए।