बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ या बड़े संख्यात्मक मान के साथ, विकल्प का उपयोग किया जाता है

अंकगणित माध्य की गणना करने का एक सरल तरीका क्षणों की विधि है।

एम = ए+ आईएसएपी

जहां एम अंकगणितीय माध्य है; ए - सशर्त औसत; i - समूह विकल्प के बीच अंतराल;

एस - योग चिह्न ।; ए - सशर्त औसत से प्रत्येक विकल्प का सशर्त विचलन;

पी संस्करण की घटना की आवृत्ति है; n प्रेक्षणों की संख्या है।

क्षणों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना का एक उदाहरण (शरीर का औसत वजन .)

18 साल से कम उम्र के लड़के)

वी (एन किलो में)	आर	ए (वी-ए)	एक। आर
		+2	+4
		+1	+3
एम ओ \u003d 62
		-1	-6
		-2	-8
		-3	-3
	एन = 25		सर \u003d - 10 किग्रा

क्षणों की विधि द्वारा औसत की गणना के चरण:

2) हम "ए" निर्धारित करते हैं - सशर्त औसत से विकल्पों का सशर्त विचलन, इसके लिए हम प्रत्येक विकल्प से सशर्त औसत घटाते हैं: ए \u003d वी - ए, (उदाहरण के लिए, ए \u003d 64 - 62 \u003d + 2, आदि)।

3) हम सशर्त विचलन "ए" को प्रत्येक विकल्प की आवृत्ति "पी" से गुणा करते हैं और उत्पाद एपी प्राप्त करते हैं;

4) योग का योग ज्ञात कीजिए। पी = - 10 किग्रा

5) आघूर्णों की विधि से अंकगणित माध्य की गणना करें:

एम = ए + आई पौधों का रस\u003d 62 - 1 × 0.4 \u003d 61.6 किग्रा

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे द्वारा अध्ययन किए गए युवकों के समूह में, शरीर के औसत वजन

अंकगणित माध्य अपने आप में उस परिवर्तनशील श्रृंखला के बारे में कुछ नहीं कहता जिससे

उसकी गणना की गई। इसकी विशिष्टता (विश्वसनीयता) विचार की एकरूपता से प्रभावित होती है

सामग्री और श्रृंखला परिवर्तनशीलता।

उदाहरण: प्रेक्षणों की संख्या में समान दो परिवर्तनशील श्रंखलाएँ दी गई हैं, जिनमें

1 से 2 वर्ष की आयु के बच्चों के सिर की परिधि का माप डेटा प्रस्तुत करता है

प्रेक्षणों की समान संख्या और समान अंकगणितीय माध्य (M = 46 सेमी) होने पर, श्रृंखला

के भीतर वितरण में अंतर है। तो पहली पंक्ति के वेरिएंट सामान्य रूप से विचलन करते हैं

दूसरी पंक्ति के विकल्पों की तुलना में कम मान के साथ अंकगणितीय माध्य, जो देता है

यह मानने की संभावना है कि अंकगणितीय माध्य (46 सेमी) पहले . के लिए अधिक विशिष्ट है

दूसरे की तुलना में पंक्ति।

आँकड़ों में, विविधता श्रृंखला की विविधता को चिह्नित करने के लिए, वे उपयोग करते हैं औसत

मानक विचलन(एस)

मानक विचलन की गणना करने के दो तरीके हैं: अंकगणितीय माध्य

पलों का रास्ता और रास्ता। गणना की अंकगणितीय माध्य विधि के साथ, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

जहाँ d प्रत्येक विकल्प का सही माध्य M से सही विचलन है। सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब

टिप्पणियों की एक छोटी संख्या (एन<30)

क्षणों की विधि द्वारा s निर्धारित करने का सूत्र:

जहां a सशर्त औसत से विकल्पों का सशर्त विचलन है;

दूसरी डिग्री का क्षण, और पहली डिग्री का क्षण, चुकता।

यह सैद्धांतिक रूप से और व्यावहारिक रूप से साबित हो गया है कि अगर, बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, औसत से

अंकगणित इसमें 1s (M ± 1s) जोड़ें और घटाएं, फिर प्राप्त मानों के भीतर

वेरिएशन सीरीज के सभी वेरिएंट्स में से 68.3% मिलेंगे। यदि अंकगणित माध्य से

2s (M ± 2s) जोड़ें और घटाएं, तो 95.5% प्राप्त मानों के भीतर होगा

सभी विकल्प। M ±3s में विविधता श्रृंखला के सभी प्रकार के 99.7% शामिल हैं।

इस प्रावधान के आधार पर, के लिए अंकगणितीय माध्य की विशिष्टता की जांच करना संभव है

परिवर्तनशील श्रृंखला जिससे इसकी गणना की गई थी। इसके लिए यह औसत के लिए आवश्यक है

अंकगणित जोड़ें और उसमें से तीन गुना s (M ± 3s) घटाएं। अगर सीमा के भीतर

दी गई परिवर्तनशील श्रृंखला फिट बैठती है, तो अंकगणितीय माध्य विशिष्ट होता है, अर्थात। वह है

श्रृंखला की मूल नियमितता को व्यक्त करता है और इसका उपयोग किया जा सकता है।

इस प्रावधान का व्यापक रूप से विभिन्न मानकों के विकास में उपयोग किया जाता है (कपड़े,

जूते, स्कूल के फर्नीचर, आदि)।

विविधता की डिग्रीपरिवर्तनशील श्रृंखला में विशेषता का अनुमान लगाया जा सकता है गुणक

विविधताओं(मानक विचलन का अंकगणितीय माध्य से अनुपात,

100% से गुणा)

वी = के साथ एस एक्स 100

सी वी पर 10% से कम, एक कमजोर विविधता नोट की जाती है, सी वी 10-20% - औसत, और 20% से अधिक पर -

मजबूत विशेषता विविधता।

एक सांख्यिकीय अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन

जैसा कि हमने कहा है, आवेदन करके सबसे विश्वसनीय परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं

निरंतर विधि यानी सामान्य जनसंख्या का अध्ययन करते समय।

इस बीच, सामान्य आबादी का अध्ययन महत्वपूर्ण श्रमसाध्यता से जुड़ा है।

इसलिए, जैव चिकित्सा अनुसंधान में, एक नियम के रूप में, चयनात्मक

अवलोकन। ताकि नमूना आबादी के अध्ययन से प्राप्त आंकड़े हो सकते हैं

सामान्य आबादी को हस्तांतरित किया गया था, विश्वसनीयता का आकलन करना आवश्यक है

एक सांख्यिकीय अध्ययन के परिणाम। नमूना फ्रेम पर्याप्त नहीं हो सकता है

पूरी तरह से जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए नमूना अवलोकन हमेशा होते हैं

प्रतिनिधित्व त्रुटि के साथ। माध्य त्रुटि (m) के आकार से, कोई न्याय कर सकता है

पाया गया नमूना माध्य सामान्य माध्य से कैसे भिन्न होता है

समुच्चय। एक छोटी सी त्रुटि इन संकेतकों की निकटता को इंगित करती है, एक बड़ी त्रुटि जैसे

आत्मविश्वास नहीं देता।

समांतर माध्य की औसत त्रुटि का मान निम्नलिखित दो परिस्थितियों से प्रभावित होता है।

सबसे पहले, एकत्रित सामग्री की एकरूपता: आसपास के संस्करण का फैलाव जितना छोटा होगा

इसका माध्य, प्रतिनिधित्व की त्रुटि जितनी छोटी होगी। दूसरा, अवलोकनों की संख्या:

औसत त्रुटि जितनी छोटी होगी, प्रेक्षणों की संख्या उतनी ही अधिक होगी।

अंकगणित माध्य की औसत त्रुटि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

सापेक्ष मूल्यों के लिए औसत त्रुटि (प्रतिनिधित्व की त्रुटि) द्वारा निर्धारित की जाती है

सूत्र:

जहाँ m p संकेतक की औसत त्रुटि है;

पी - संकेतक% या% o . में

क्यू - (100-पी), (1000-पी)

n - प्रेक्षणों की कुल संख्या

289 मरीजों ने चिकित्सा संस्थान छोड़ा, इनमें से 12 की मौत हो गई।

सापेक्ष मूल्य (मृत्यु दर) p = (12:289)x100 = 4.1%; क्यू = 100 -पी =

100-4.1 \u003d 95.9, जहां से

एम पी = ±

इस प्रकार, पुन: परीक्षा पर सापेक्ष मूल्य के अनुरूप होगा

आत्मविश्वास की सीमाअधिकतम और न्यूनतम मान है जिसके भीतर

त्रुटि-मुक्त पूर्वानुमान की संभावना की एक निश्चित डिग्री के लिए, एक रिश्तेदार हो सकता है

सामान्य जनसंख्या में सूचक या औसत

सामान्य जनसंख्या में सापेक्ष मूल्य की विश्वास सीमा किसके द्वारा निर्धारित की जाती है

पी जीन = पी नमूना ± टीएम एम

सामान्य जनसंख्या में अंकगणितीय माध्य की विश्वास सीमा सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

एम जीन = एम चयन ± टीएम एम

जहां पी जीन और एम जीन सामान्य के लिए प्राप्त सापेक्ष और औसत मूल्य हैं

समुच्चय।

P vyb और M vyb - नमूना आबादी के लिए प्राप्त सापेक्ष और औसत मूल्यों के मूल्य।

एम पी और एम एम - औसत और सापेक्ष मूल्यों के लिए प्रतिनिधित्व त्रुटि।

टी - विश्वसनीयता मानदंड।

यह स्थापित किया गया है कि यदि टी = 1, विश्वसनीयता 68% से अधिक नहीं है; अगर टी=2 -95%; अगर टी=3- 99%

चिकित्सा और जैविक अनुसंधान में, यह पर्याप्त माना जाता है यदि मानदंड

कॉन्फिडेंस टी 2 (95% कॉन्फिडेंस)

अवलोकनों की संख्या £ 30 के लिए मानदंड टी खोजने के लिए, एक विशेष का उपयोग करना आवश्यक है

मेज़

जैसे-जैसे प्रतिनिधित्व की त्रुटि का आकार घटता जाता है, आत्मविश्वास की सीमा कम होती जाती है।

औसत और सापेक्ष मूल्य, यानी अध्ययन के परिणाम निर्दिष्ट हैं, निकट आ रहे हैं

सामान्य जनसंख्या के संगत मूल्य। यदि प्रतिनिधित्व त्रुटि

बड़ा, फिर बड़ी आत्मविश्वास सीमाएँ प्राप्त करें, जो विरोधाभासी हो सकती हैं

सामान्य जनसंख्या में वांछित मूल्य का तार्किक मूल्यांकन। आत्मविश्वास की सीमा

शोधकर्ता द्वारा चुने गए त्रुटि-मुक्त पूर्वानुमान की संभावना की डिग्री पर भी निर्भर करता है। पर

विश्वास सीमा की त्रुटि-मुक्त पूर्वानुमान सीमा की उच्च स्तर की संभावना

एम सीएफ - क्षणों की विधि का उपयोग करके गणना की जाती है = 61.6 किलो

समांतर माध्य के तीन गुण होते हैं।

1. मध्य एक भिन्नता श्रृंखला में मध्य स्थान रखता है . कड़ाई से सममित पंक्ति में: एम \u003d एम 0 \u003d एम ई।

2. औसत एक सामान्यीकरण मूल्य और यादृच्छिक उतार-चढ़ाव है, औसत के पीछे व्यक्तिगत डेटा में अंतर दिखाई नहीं दे रहा है, यह उस विशिष्ट को प्रकट करता है जो पूरी आबादी की विशेषता है . औसत का उपयोग तब किया जाता है जब व्यक्तिगत कारकों के यादृच्छिक प्रभाव को बाहर करना आवश्यक होता है, सामान्य विशेषताओं, मौजूदा पैटर्न की पहचान करने के लिए, पूरे समूह की सबसे सामान्य और विशिष्ट विशेषताओं का पूर्ण और गहरा विचार प्राप्त करने के लिए।

3. माध्य से सभी विकल्पों के विचलन का योग शून्य है : एस (वी-एम) = 0 . ऐसा इसलिए है क्योंकि औसत मान कुछ प्रकारों के आयामों से अधिक है और अन्य प्रकारों के आयामों से छोटा है।

दूसरे शब्दों में, वास्तविक माध्य से भिन्न का सही विचलन (डी=वी-एम)सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, इसलिए योग एस सभी "+"d और "-"d शून्य के बराबर हैं।

औसत की इस संपत्ति का उपयोग गणनाओं की शुद्धता की जांच करते समय किया जाता है एम।यदि माध्य से भिन्न के विचलन का योग शून्य है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि माध्य की गणना सही ढंग से की गई है। यह गुण आघूर्णों के निर्धारण की विधि पर आधारित है एम।आखिरकार, यदि सशर्त औसत लेकिनसत्य के बराबर होगा एम,तो सशर्त माध्य से भिन्न के विचलन का योग शून्य के बराबर होगा।

जीव विज्ञान में औसत की भूमिका अत्यंत महान है। एक ओर, उनका उपयोग घटनाओं को समग्र रूप से चित्रित करने के लिए किया जाता है, दूसरी ओर, वे व्यक्तिगत मात्राओं का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक होते हैं। औसत के साथ व्यक्तिगत मूल्यों की तुलना करते समय, उनमें से प्रत्येक के लिए मूल्यवान विशेषताएं प्राप्त की जाती हैं। औसत के उपयोग के लिए जनसंख्या एकरूपता के सिद्धांत के सख्त पालन की आवश्यकता होती है। इस सिद्धांत का उल्लंघन वास्तविक प्रक्रियाओं के विचार को विकृत करता है।

सामाजिक-आर्थिक रूप से विषम जनसंख्या से औसत की गणना उन्हें काल्पनिक, विकृत बनाती है। इसलिए, औसत का सही ढंग से उपयोग करने के लिए, किसी को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि वे सजातीय सांख्यिकीय आबादी की विशेषता रखते हैं।

साइन बी की विविधता के लक्षण

सांख्यिकीय जनसंख्या

इस या उस विशेषता का मूल्य जनसंख्या के सभी सदस्यों के लिए समान नहीं है, इसके सापेक्ष समरूपता के बावजूद। उदाहरण के लिए, उम्र, लिंग और निवास स्थान में सजातीय बच्चों के समूह में, प्रत्येक बच्चे की ऊंचाई उनके साथियों की ऊंचाई से भिन्न होती है। पॉलीक्लिनिक में व्यक्तियों द्वारा की गई यात्राओं की संख्या के बारे में भी यही कहा जा सकता है, गठिया वाले प्रत्येक रोगी में रक्त प्रोटीन के स्तर के बारे में, उच्च रक्तचाप वाले व्यक्तियों में रक्तचाप के स्तर के बारे में आदि। यह विविधता, उतार-चढ़ाव को दर्शाता है। अध्ययन की गई आबादी में साइन इन करें। किशोरों के समूहों में वृद्धि के उदाहरण द्वारा परिवर्तनशीलता का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

सांख्यिकी हमें इसे विशेष मानदंडों के साथ चिह्नित करने की अनुमति देती है जो किसी विशेष समूह में प्रत्येक विशेषता की विविधता के स्तर को निर्धारित करते हैं। इन मानदंडों में शामिल हैं: सीमा (लिम), श्रृंखला आयाम (पूर्वाह्न),मानक विचलन (एस) और भिन्नता का गुणांक (सी वी)।चूंकि इनमें से प्रत्येक मानदंड का अपना स्वतंत्र मूल्य है, इसलिए उन पर अलग से ध्यान देना आवश्यक है।

सीमा- विविधता श्रृंखला में संस्करण के चरम मूल्यों द्वारा निर्धारित

आयाम (पूर्वाह्न) - चरम का अंतर

सीमा और आयाम - प्रत्येक समूह में वृद्धि की विविधता की डिग्री के बारे में कुछ जानकारी दें। हालांकि, श्रृंखला की सीमा और आयाम दोनों में एक महत्वपूर्ण कमी है।वे केवल चरम रूपों की विविधता को ध्यान में रखते हैं और इसकी आंतरिक संरचना को ध्यान में रखते हुए, कुल में एक विशेषता की विविधता के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। तथ्य यह है कि विविधता चरम रूपों में इतनी अधिक प्रकट नहीं होती है जितनी कि समूह की संपूर्ण आंतरिक संरचना के विश्लेषण में होती है। इसलिए, इन मानदंडों का उपयोग विविधता के अनुमानित लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से कम संख्या में टिप्पणियों के साथ (एन .)<30).

समुच्चय में किसी विशेषता की विविधता का सबसे पूर्ण विवरण तथाकथित . द्वारा दिया गया है मानक विचलन, ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा निरूपित -एस।

मानक विचलन की गणना करने के दो तरीके हैं: अंकगणित माध्य और क्षणों की विधि.

गणना की अंकगणितीय माध्य विधि के साथ, एक सूत्र का उपयोग किया जाता है जहाँ डी-सही माध्य से भिन्न का सही विचलन (वी-एम)।

सूत्र का प्रयोग कम संख्या में प्रेक्षणों (n .) के साथ किया जाता है<30), когда в вариационном ряду все частоты पी = 1.

पर आर> 1 इस तरह के एक सूत्र का प्रयोग करें:

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की उपस्थिति में, इस सूत्र का उपयोग बड़ी संख्या में प्रेक्षणों के लिए भी किया जाता है।

यह सूत्र क्षणों की विधि द्वारा "सिग्मा" निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है:

कहाँ पे:एक-सशर्त औसत से सशर्त विचलन ( वी-ए); पी-वेरिएंट के लिए घटना की आवृत्ति; एन-संख्या विकल्प; मैं-समूहों के बीच अंतराल का आकार।

इस पद्धति का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां कोई कंप्यूटर तकनीक नहीं है, और बड़ी संख्या में टिप्पणियों के कारण और बहु-मूल्यवान संख्याओं में व्यक्त संस्करण के कारण भिन्नता श्रृंखला बोझिल है। दूसरी डिग्री के क्षण में 30 या उससे कम के बराबर अवलोकनों की संख्या के साथ पीके लिए बदलें (पी-1).

जैसा कि मानक विचलन (4) के सूत्र से देखा जा सकता है, हर है ( पी-1), यानी। जब अवलोकनों की संख्या 30 (n £ 30) के बराबर या उससे कम हो, तो सूत्र के हर में लेना आवश्यक है ( पी-एक)। यदि, अंकगणित माध्य का निर्धारण करते समय एमश्रृंखला के सभी तत्वों को ध्यान में रखते हुए, गणना एक,सभी मामलों को नहीं, बल्कि एक को कम लेना आवश्यक है (एन -1)।

बड़ी संख्या में प्रेक्षणों (n>30) के साथ, सूत्र का हर है पी,इसलिए एक इकाई के रूप में गणना के परिणामों को नहीं बदलता है और इसलिए स्वचालित रूप से छोड़ दिया जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मानक विचलन एक नामित मान है, इसलिए इसमें वैरिएंट और अंकगणितीय माध्य (आयाम - किग्रा, किमी देखें, आदि) के लिए एक समान पदनाम होना चाहिए।

क्षणों की विधि द्वारा मानक विचलन की गणना औसत मूल्य की गणना के बाद की जाती है।

एक और मानदंड है जो समुच्चय में विशेषता मूल्यों की विविधता के स्तर की विशेषता है, - गुणांक का परिवर्तन.

भिन्नता का गुणांक (सीवी)- विविधता का एक सापेक्ष माप है, क्योंकि इसकी गणना मानक विचलन के प्रतिशत के रूप में की जाती है (ए) टूअंकगणित औसत (एम)।भिन्नता के गुणांक का सूत्र है:

किसी विशेषता की विविधता की डिग्री के अनुमानित आकलन के लिए, भिन्नता के गुणांक के निम्नलिखित ग्रेडेशन का उपयोग किया जाता है। यदि गुणांक 20% से अधिक है, तो एक मजबूत विविधता नोट की जाती है; 20-10% पर - औसत, और यदि गुणांक 10% से कम है, तो यह माना जाता है कि विविधता कमजोर है।

विविधता के गुणांक का उपयोग सुविधाओं की विविधता की डिग्री की तुलना करते समय किया जाता है, जिसमें सुविधाओं के आकार या उनके असमान आयामों में अंतर होता है। मान लीजिए आप नवजात शिशुओं और 5 साल के बच्चों में शरीर के वजन में विविधता की डिग्री की तुलना करना चाहते हैं। यह स्पष्ट है कि नवजात शिशुओं में हमेशा सात साल के बच्चों की तुलना में कम "सिग्मा" होगा, क्योंकि उनका व्यक्तिगत वजन कम होता है। मानक विचलन छोटा होगा जहां सुविधा का मूल्य ही छोटा है। इस मामले में, विविधता की डिग्री में अंतर निर्धारित करने के लिए, मानक विचलन पर नहीं, बल्कि विविधता के सापेक्ष माप पर ध्यान देना आवश्यक है - भिन्नता का गुणांक Сv।

विभिन्न आयामों के साथ कई विशेषताओं की विविधता की डिग्री का आकलन और तुलना करने के लिए भिन्नता के गुणांक का भी बहुत महत्व है। माध्य वर्ग विचलन से संकेतित वर्णों की विविधता की डिग्री में अंतर का न्याय करना अभी भी असंभव है। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नता के गुणांक - Cv का उपयोग करने की आवश्यकता है।

मानक विचलन सुविधा वितरण श्रृंखला की संरचना से संबंधित है। योजनाबद्ध रूप से, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है।

आंकड़ों के सिद्धांत ने साबित कर दिया है कि सामान्य वितरण के साथ, सभी मामलों में से 68% एम ± एस के भीतर हैं, सभी मामलों में से 95.5% एम ± 2 एस के भीतर हैं, और 99.7% आबादी वाले सभी मामलों में एम ± 3 एस के भीतर हैं। . इस प्रकार, M±3s लगभग संपूर्ण परिवर्तनशील श्रृंखला को कवर करता है।

मानक विचलन के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए एक श्रृंखला की संरचना की नियमितता पर आंकड़ों की यह सैद्धांतिक स्थिति बहुत महत्वपूर्ण है। आप इस नियम का उपयोग स्पष्ट करने के लिए कर सकते हैं - औसत की विशिष्टता का प्रश्न। यदि सभी प्रकार के 95% एम ± 2s के भीतर हैं, तो औसत इस श्रृंखला की विशेषता है और कुल में अवलोकनों की संख्या में वृद्धि करने की आवश्यकता नहीं है।माध्य की विशिष्टता निर्धारित करने के लिए, वास्तविक वितरण की तुलना सिग्मा विचलन की गणना करके सैद्धांतिक वितरण से की जाती है।

मानक विचलन का व्यावहारिक महत्व इस तथ्य में भी निहित है कि जानना एमतथा एसव्यावहारिक उपयोग के लिए आवश्यक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाना संभव है। सिग्मा ( एस) का उपयोग सजातीय विशेषताओं की विविधता की डिग्री की तुलना करने के लिए भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, शहरी और ग्रामीण क्षेत्रों में बच्चों की वृद्धि में उतार-चढ़ाव (परिवर्तनशीलता) की तुलना करते समय। सिग्मा को जानना ( एस), माप की विभिन्न इकाइयों (सेंटीमीटर, किलोग्राम, आदि) में व्यक्त सुविधाओं की विविधता की डिग्री की तुलना करने के लिए आवश्यक भिन्नता के गुणांक (सीवी) की गणना करना संभव है। यह आपको कुल में अधिक स्थिर (स्थायी) और कम स्थिर संकेतों की पहचान करने की अनुमति देता है।

भिन्नता के गुणांकों की तुलना करना (सीवी),सुविधाओं की समग्रता में सबसे स्थिर विशेषता क्या है, इसके बारे में निष्कर्ष निकालना संभव है। मानक विचलन (एस)इसका उपयोग एक वस्तु की व्यक्तिगत विशेषताओं का मूल्यांकन करने के लिए भी किया जाता है। मानक विचलन इंगित करता है कि कितने सिग्मा ( एस) औसत से (एम)व्यक्तिगत माप अस्वीकार कर दिए जाते हैं।

मानक विचलन ( एस)मानदंड और विकृति विज्ञान की समस्याओं के विकास में जीव विज्ञान और पारिस्थितिकी में इस्तेमाल किया जा सकता है।

अंत में, मानक विचलन सूत्र का एक महत्वपूर्ण घटक है टी एम- अंकगणितीय माध्य की माध्य त्रुटि (प्रतिनिधित्व की त्रुटि):

कहाँ पे टी एम- अंकगणित माध्य की औसत त्रुटि (प्रतिनिधित्व की त्रुटि), पी- अवलोकनों की संख्या।

प्रतिनिधित्व।नमूनाकरण और सामान्य जनसंख्या पर अनुभाग में प्रतिनिधित्व की सबसे महत्वपूर्ण सैद्धांतिक नींव पर प्रकाश डाला गया था। प्रतिनिधित्व का अर्थ है सामान्य जनसंख्या को बनाने वाली अवलोकन की इकाइयों की सभी मानी गई विशेषताओं (लिंग, आयु, पेशे, सेवा की लंबाई, आदि) के नमूने सेट में प्रतिनिधित्व। सामान्य जनसंख्या के संबंध में नमूना जनसंख्या की यह प्रतिनिधित्व विशेष चयन विधियों की सहायता से प्राप्त की जाती है, जिनका वर्णन नीचे किया गया है।

अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन प्रतिनिधित्व की सैद्धांतिक नींव पर आधारित है।

अनुसंधान परिणामों का विश्वसनीयता आकलन

सांख्यिकीय संकेतकों की विश्वसनीयता को उनके द्वारा प्रतिबिंबित वास्तविकता के अनुपालन की डिग्री के रूप में समझा जाना चाहिए। विश्वसनीय परिणाम वे होते हैं जो वस्तुनिष्ठ वास्तविकता को विकृत और सही ढंग से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं।

अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन करने का मतलब यह निर्धारित करना है कि नमूना आबादी पर प्राप्त परिणामों को पूरी आबादी में स्थानांतरित करना किस संभावना के साथ संभव है।

अधिकांश अध्ययनों में, शोधकर्ता को, एक नियम के रूप में, अध्ययन के तहत घटना के एक हिस्से से निपटना पड़ता है, और इस तरह के अध्ययन के परिणामों के आधार पर निष्कर्षों को पूरी घटना के रूप में पूरी तरह से सामान्य आबादी को स्थानांतरित करना होता है।

इस प्रकार, घटना को समग्र रूप से, उसकी नियमितताओं को, घटना के भाग द्वारा आंकने के लिए विश्वसनीयता का मूल्यांकन आवश्यक है।

अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता के आकलन में निम्नलिखित का निर्धारण शामिल है:

1) प्रतिनिधित्व त्रुटियाँ (अंकगणितीय साधनों और सापेक्ष मूल्यों की औसत त्रुटियाँ) - टी;

2) औसत (या सापेक्ष) मूल्यों की आत्मविश्वास सीमा;

3) औसत (या सापेक्ष) मूल्यों के बीच अंतर की विश्वसनीयता
(मानदंड के अनुसारटी );

4) मानदंड के अनुसार तुलनात्मक समूहों के बीच अंतर की विश्वसनीयतासी 2 .

1. माध्य (या सापेक्ष) मान (प्रतिनिधित्व त्रुटि) की औसत त्रुटि का निर्धारण - अर्थात।

प्रतिनिधि त्रुटि ( एम) अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए आवश्यक सबसे महत्वपूर्ण आँकड़ा है। यह त्रुटि उन मामलों में होती है जब घटना को समग्र रूप से चित्रित करना आवश्यक होता है। ये गलतियाँ अपरिहार्य हैं। वे नमूने की प्रकृति से उपजी हैं; सामान्य जनसंख्या को केवल कुछ त्रुटि के साथ नमूना जनसंख्या द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसे प्रतिनिधित्व त्रुटि द्वारा मापा जाता है।

प्रतिनिधित्व त्रुटियों को त्रुटियों के सामान्य विचार से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए: पद्धतिगत, माप सटीकता, अंकगणित, आदि।

प्रतिनिधित्व की त्रुटि का परिमाण निर्धारित करता है कि चयनात्मक अवलोकन के दौरान प्राप्त परिणाम उन परिणामों से कितने भिन्न होते हैं जो बिना किसी अपवाद के सामान्य आबादी के सभी तत्वों का निरंतर अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

यह एकमात्र प्रकार की त्रुटि है जिसका सांख्यिकीय विधियों द्वारा लेखा-जोखा किया जाता है, जिसे तब तक समाप्त नहीं किया जा सकता जब तक कि निरंतर अध्ययन में परिवर्तन नहीं किया जाता है। प्रतिनिधित्व त्रुटियों को पर्याप्त रूप से छोटे मान तक कम किया जा सकता है, अर्थात अनुमेय त्रुटि के मान तक। यह नमूने में पर्याप्त संख्या में टिप्पणियों को शामिल करके किया जाता है। (पी)।

प्रत्येक औसत है एम(उपचार की औसत अवधि, औसत ऊंचाई, शरीर का औसत वजन, औसत रक्त प्रोटीन स्तर, आदि), साथ ही प्रत्येक सापेक्ष मूल्य - आर(मृत्यु दर, रुग्णता, आदि) उनकी औसत त्रुटि के साथ प्रस्तुत किया जाना चाहिए - टी।इस प्रकार, नमूने का अंकगणितीय माध्य (एम)एक प्रतिनिधित्व त्रुटि है, जिसे अंकगणितीय माध्य (एम एम) की औसत त्रुटि कहा जाता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जैसा कि इस सूत्र से देखा जा सकता है, अंकगणित माध्य की औसत त्रुटि का मान विशेषता की विविधता की डिग्री के सीधे आनुपातिक है और अवलोकनों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए, विविधता की डिग्री निर्धारित करने में इस त्रुटि के परिमाण में कमी ( एस) प्रेक्षणों की संख्या में वृद्धि करके संभव है।

यह सिद्धांत एक नमूना अध्ययन के लिए पर्याप्त संख्या में अवलोकनों को निर्धारित करने की विधि का आधार है।

सापेक्ष मूल्य (आर),एक नमूना अध्ययन में प्राप्त की अपनी प्रतिनिधित्व त्रुटि भी होती है, जिसे सापेक्ष मूल्य की औसत त्रुटि कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है एमपी

सापेक्ष मान की औसत त्रुटि का निर्धारण करने के लिए (आर)निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

कहाँ पे आर- सापेक्ष मूल्य। यदि सूचक को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो क्यू = 100-पी,यदि आर-पीपीएम में, तो क्यू = 1000-पी,यदि आर-दशमलव में, तब क्यू = 10000-आरआदि।; पी- अवलोकनों की संख्या। जब प्रेक्षणों की संख्या 30 से कम हो, तो हर लिया जाना चाहिए ( पी - 1 ).

नमूना जनसंख्या से प्राप्त प्रत्येक अंकगणितीय माध्य या सापेक्ष मान को अपनी माध्य त्रुटि के साथ प्रस्तुत किया जाना चाहिए। इससे औसत और सापेक्ष मूल्यों की विश्वास सीमा की गणना करना संभव हो जाता है, साथ ही तुलनात्मक संकेतकों (शोध परिणामों) के बीच अंतर की विश्वसनीयता निर्धारित करना संभव हो जाता है।

औसत तीन प्रकार के होते हैं: बहुलक (M0), माध्यिका (Me), अंकगणित माध्य (M)।

वे एक दूसरे को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं, और केवल समग्र रूप से, पूरी तरह से और संक्षिप्त रूप में, परिवर्तनशील श्रृंखला की विशेषताएं हैं।

फैशन (मो)- वैरिएंट वितरण श्रृंखला में सबसे अधिक बार होने वाला। यह विविधता श्रृंखला के वितरण केंद्र का एक विचार देता है। उपयोग किया गया:

वितरण केंद्र को खुली भिन्नता श्रृंखला में निर्धारित करने के लिए

तीव्र असममित वितरण के साथ पंक्तियों में औसत स्तर निर्धारित करने के लिए

मंझला- यह मध्य विकल्प है, रैंक की गई श्रृंखला का केंद्रीय सदस्य। माध्यिका नाम ज्यामिति से लिया गया है, जहाँ यह त्रिभुज की भुजा को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाली रेखा का नाम है।

माध्यिका लागू होती है:

समूहों में असमान अंतराल के साथ संख्यात्मक श्रृंखला में एक विशेषता का औसत स्तर निर्धारित करने के लिए

एक विशेषता के औसत स्तर को निर्धारित करने के लिए, जब स्रोत डेटा को गुणात्मक विशेषताओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है और जब जनसंख्या के गुरुत्वाकर्षण के एक निश्चित केंद्र को इंगित करने का एकमात्र तरीका एक केंद्रीय स्थान पर रहने वाले प्रकार (भिन्न समूह) को इंगित करना है।

कुछ जनसांख्यिकीय संकेतकों की गणना करते समय (औसत जीवन प्रत्याशा)

स्वास्थ्य सुविधाओं, सांप्रदायिक सुविधाओं आदि के लिए सबसे तर्कसंगत स्थान का निर्धारण करते समय (अर्थात् सभी सेवा सुविधाओं से संस्थानों की इष्टतम दूरी को ध्यान में रखते हुए)

वर्तमान में, विभिन्न सर्वेक्षण (विपणन, समाजशास्त्रीय, आदि) बहुत आम हैं, जिसमें उत्तरदाताओं को उत्पादों, राजनेताओं आदि को अंक देने के लिए कहा जाता है। फिर, प्राप्त अनुमानों से औसत अंक की गणना की जाती है और इसके द्वारा दिए गए अभिन्न अंक के रूप में माना जाता है। उत्तरदाताओं का समूह। इस मामले में, अंकगणितीय माध्य का उपयोग आमतौर पर औसत निर्धारित करने के लिए किया जाता है। हालाँकि, इस पद्धति का वास्तव में उपयोग नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, माध्य स्कोर के रूप में माध्यिका या बहुलक का उपयोग करना उचित है।

एक विशेषता के औसत स्तर को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य (एम) का प्रयोग अक्सर चिकित्सा में किया जाता है।

अंकगणित औसत - यह अध्ययन की गई घटना की एक निश्चित विशेषता की एक सामान्य मात्रात्मक विशेषता है, जो गुणात्मक रूप से सजातीय सांख्यिकीय सेट बनाती है।

सरल अंकगणितीय माध्य और भारित माध्य में अंतर स्पष्ट कीजिए।

सरल अंकगणितीय माध्य की गणना एक अवर्गीकृत भिन्नता श्रृंखला के लिए सभी विकल्पों को जोड़कर और इस योग को भिन्नता श्रृंखला में शामिल विकल्पों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

सरल अंकगणितीय माध्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एम - अंकगणित भारित औसत,

Vp एक प्रकार के उत्पादों और उनकी आवृत्तियों का योग है,

n प्रेक्षणों की संख्या है।

भारित अंकगणितीय औसत की प्रत्यक्ष गणना की निर्दिष्ट विधि के अलावा, अन्य विधियां भी हैं, विशेष रूप से, क्षणों की विधि जिसमें अंकगणितीय गणना कुछ हद तक सरल हो जाती है।

क्षणों के अंकगणितीय माध्य की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एम = ए +	डीपी
एन

ए - सशर्त औसत (अक्सर, M0 मोड को सशर्त औसत के रूप में लिया जाता है)

डी - सशर्त औसत (वी-ए) से प्रत्येक विकल्प का विचलन

dp विचलनों के गुणनफल और उनकी आवृत्ति का योग है।

गणना का क्रम तालिका में प्रस्तुत किया गया है (हम सशर्त औसत के रूप में M0 = 76 बीट प्रति मिनट लेते हैं)।

नाड़ी दर वी	आर	डी (वी-ए)	डी पी
		-16	-16
		-14	-28
		-12	-36
		-10	-30
		-8	-24
		-6	-54
		-4	-24
		-2	-14
	एन = 54	| डीपी=-200

जहां मैं समूहों के बीच का अंतराल है।

गणना का क्रम तालिका में प्रस्तुत किया गया है। (सशर्त औसत के लिए हम एम 0 = 73 बीट प्रति मिनट लेते हैं, जहां मैं = 3)

क्षणों की विधि द्वारा अंकगणित माध्य का निर्धारण

n=54 डीपी=-13

एम = ए +	डीपी	=	73+	-13*3	\u003d 73 - 0.7 \u003d 72.3 (बीट्स प्रति मिनट
एन

इस प्रकार, क्षणों की विधि द्वारा प्राप्त अंकगणितीय माध्य का मान सामान्य तरीके से प्राप्त मान के समान होता है।

अंकगणित माध्य की गणना के लिए तरीके (सरल और भारित अंकगणितीय माध्य, क्षणों की विधि द्वारा)

हम औसत मान निर्धारित करते हैं:

मोड (मो) \u003d 11, क्योंकि यह प्रकार अक्सर विविधता श्रृंखला (पी = 6) में होता है।

माध्यिका (Me) - मध्य स्थान पर रहने वाले संस्करण की क्रम संख्या = 23, भिन्नता श्रृंखला में यह स्थान 11 के बराबर संस्करण द्वारा कब्जा कर लिया गया है। अंकगणितीय माध्य (M) आपको औसत स्तर को पूरी तरह से चित्रित करने की अनुमति देता है अध्ययन के तहत विशेषता। अंकगणित माध्य की गणना करने के लिए, दो विधियों का उपयोग किया जाता है: अंकगणितीय माध्य विधि और क्षणों की विधि।

यदि भिन्नता श्रृंखला में प्रत्येक प्रकार के घटित होने की आवृत्ति 1 के बराबर है, तो साधारण अंकगणितीय माध्य की गणना अंकगणितीय माध्य विधि का उपयोग करके की जाती है: M =।

यदि भिन्नता श्रृंखला में भिन्नता की आवृत्ति 1 से भिन्न होती है, तो भारित अंकगणितीय माध्य की गणना अंकगणितीय माध्य विधि के अनुसार की जाती है:

क्षणों की विधि के अनुसार: ए - सशर्त औसत,

एम = ए + = 11 + = 10.4 डी = वी-ए, ए = मो = 11

यदि विविधता श्रृंखला में विकल्पों की संख्या 30 से अधिक है, तो एक समूहीकृत श्रृंखला बनाई जाती है। समूहीकृत श्रृंखला का निर्माण:

1) वीमिन और वीमैक्स का निर्धारण वीमिन=3, वीमैक्स=20;

2) समूहों की संख्या का निर्धारण (तालिका के अनुसार);

3) समूहों के बीच अंतराल की गणना मैं = 3;

4) समूहों की शुरुआत और अंत का निर्धारण;

5) प्रत्येक समूह के आवृत्ति प्रकार का निर्धारण (तालिका 2)।

तालिका 2

समूहीकृत श्रृंखला बनाने की तकनीक

अवधि दिनों में इलाज
n=45 p=480 p=30 2 p=766

समूहीकृत विविधता श्रृंखला का लाभ यह है कि शोधकर्ता प्रत्येक प्रकार के साथ काम नहीं करता है, बल्कि केवल उन रूपों के साथ काम करता है जो प्रत्येक समूह के लिए औसत होते हैं। इससे औसत की गणना करना बहुत आसान हो जाता है।

इस या उस विशेषता का मूल्य जनसंख्या के सभी सदस्यों के लिए समान नहीं है, इसके सापेक्ष समरूपता के बावजूद। सांख्यिकीय जनसंख्या की यह विशेषता सामान्य जनसंख्या के समूह गुणों में से एक की विशेषता है - विशेषता विविधता. उदाहरण के लिए, आइए 12 साल के लड़कों का एक समूह लें और उनकी लंबाई मापें। गणना के बाद, इस विशेषता का औसत स्तर 153 सेमी होगा लेकिन औसत अध्ययन किए गए गुण के सामान्य माप को दर्शाता है। इस उम्र के लड़कों में ऐसे लड़के हैं जिनकी ऊंचाई 165 सेमी या 141 सेमी है। जिन लड़कों की ऊंचाई 153 ​​सेमी के अलावा जितनी अधिक होगी, सांख्यिकीय आबादी में इस विशेषता की विविधता उतनी ही अधिक होगी।

सांख्यिकी हमें इस संपत्ति को निम्नलिखित मानदंडों द्वारा चिह्नित करने की अनुमति देती है:

सीमा (लिम),

आयाम (एएमपी),

मानक विचलन (वाई) ,

भिन्नता का गुणांक (सीवी)।

सीमा (लिमिट)विविधता श्रृंखला में विविधता के चरम मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

लिम = वीमिन / वीमैक्स

आयाम (एएमपी) -चरम विकल्पों का अंतर:

एएमपी = वीमैक्स-वीमिन

ये मूल्य केवल चरम विकल्पों की विविधता को ध्यान में रखते हैं और इसकी आंतरिक संरचना को ध्यान में रखते हुए, कुल में विशेषता की विविधता के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। इसलिए, इन मानदंडों का उपयोग विविधता के अनुमानित लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से कम संख्या में टिप्पणियों के साथ (एन .)<30).

विविधता श्रृंखला चिकित्सा सांख्यिकी

अंकगणित माध्य की गणना बोझिल हो सकती है यदि विकल्प (फीचर मान) और भार बहुत बड़े या बहुत छोटे मान हैं और गणना प्रक्रिया स्वयं कठिन हो जाती है। फिर, गणना में आसानी के लिए, अंकगणितीय माध्य के कई गुणों का उपयोग किया जाता है:

1) यदि आप किसी भी मनमानी संख्या से सभी विकल्पों को कम (बढ़ाते) करते हैं लेकिन, तो नया औसत उसी संख्या से घटेगा (वृद्धि) होगा लेकिन, यानी ± में बदल जाएगा लेकिन;

2) यदि हम सभी विकल्पों (फीचर वैल्यू) को समान संख्या से कम करते हैं ( प्रति), तो औसत उसी राशि से घट जाएगा, और में वृद्धि के साथ ( प्रति) समय - में वृद्धि होगी ( प्रति) एक बार;

3) यदि हम सभी प्रकारों के भार (आवृत्तियों) को कुछ स्थिर संख्या से घटाते या बढ़ाते हैं लेकिन, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा;

4) कुल औसत से सभी विकल्पों के विचलन का योग शून्य है।

अंकगणित माध्य के सूचीबद्ध गुण, यदि आवश्यक हो, निरपेक्ष आवृत्तियों को सापेक्ष आवृत्तियों के साथ प्रतिस्थापित करके गणना को सरल बनाने की अनुमति देते हैं, किसी भी संख्या से विकल्प (सुविधा मान) को कम करने के लिए। लेकिन, उन्हें कम करें प्रतिटाइम्स और कम किए गए संस्करण के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, और फिर मूल श्रृंखला के माध्य पर आगे बढ़ें।

इसके गुणों का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य की गणना करने की विधि को आँकड़ों में जाना जाता है: "सशर्त शून्य विधि", या "सशर्त औसत", या कैसे "क्षणों की विधि"।

संक्षेप में, इस विधि को सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है

यदि कम किए गए वेरिएंट (चरित्र मान) को द्वारा निरूपित किया जाता है, तो उपरोक्त सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है।

किसी भी संख्या का मान निर्धारित करते समय अंकगणित माध्य भारित अंतराल श्रृंखला की गणना को सरल बनाने के लिए सूत्र का उपयोग करते समय लेकिनइसकी परिभाषा के ऐसे तरीकों का उपयोग करें।

मूल्य लेकिनमूल्य के बराबर है:

1) अंतराल के औसत मूल्य का पहला मूल्य (हम समस्या के उदाहरण पर जारी रखेंगे, जहां मिलियन डॉलर, और .

घटे हुए विकल्प के औसत की गणना

अंतराल	अंतराल माध्य		कारखानों की संख्या एफ	काम
2 तक	1,5	0 (1,5–1,5)
2–3	2,5	1 (2,5–1,5)
3–4	3,5	2 (3,5–1,5)
4–5	4,5	3 (4,5–1,5)
5–6	5,5	4 (5,5–1,5)
6 . से अधिक	6,5	5 (6,5–1,5)
कुल:	3,7	–

,

2) मूल्य लेकिनहम इस मामले में दोहराव की उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल के औसत मूल्य के मूल्य के बराबर लेते हैं लेकिन= 3.5 बजे ( एफ= 30), या मध्य संस्करण का मूल्य, या सबसे बड़ा संस्करण (इस मामले में, सुविधा का सबसे बड़ा मूल्य एक्स= 6.5) और अंतराल आकार (इस उदाहरण में 1) से विभाजित है।

औसत की गणना लेकिन = 3,5, एफ = 30, प्रति= 1 एक ही उदाहरण में।

क्षणों की औसत विधि की गणना

अंतराल	अंतराल माध्य		कारखानों की संख्या एफ	काम
2 तक	1,5	(1,5 – 3,5) : 1 = –2		–20
2–3	2,5	(2,5 – 3,5) : 1 = –1		–20
3–4	3,5	(3,5 – 3,5) : 1 = 0
4–5	4,5	(4,5 – 3,5) : 1 = 1
5–6	5,5	(5,5 – 3,5) : 1 = 2
6 . से अधिक	6,5	(6,5 – 3,5) : 1 = 3
कुल:	3,7	–

; ; ;

क्षणों की विधि, सशर्त शून्य या सशर्त औसत यह है कि अंकगणित माध्य की गणना की कम विधि के साथ, हम ऐसा क्षण चुनते हैं कि नई श्रृंखला में विशेषता के मूल्यों में से एक, यानी, हम समानता और से यहां हम मूल्य का चयन करते हैं लेकिनतथा प्रति.

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यदि एक्स – लेकिन) : प्रति, कहाँ पे प्रतिअंतराल का एक समान मूल्य है, तो नए वेरिएंट को प्राकृतिक संख्याओं (1, 2, 3, आदि) की एक समान-अंतराल श्रृंखला श्रृंखला में सकारात्मक नीचे की ओर और शून्य से नकारात्मक ऊपर की ओर प्राप्त होता है। इन नए रूपों के अंकगणितीय माध्य को पहले क्रम का क्षण कहा जाता है और इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

.

अंकगणित माध्य का मान निर्धारित करने के लिए, आपको पहले क्रम के क्षण के मान को उस अंतराल के मान से गुणा करना होगा ( प्रति), जिसके द्वारा हम सभी विकल्पों को विभाजित करते हैं, और परिणामी उत्पाद में विकल्पों का मान जोड़ते हैं ( लेकिन) जिसे पढ़ा गया था।

;

इस प्रकार, आघूर्ण या सशर्त शून्य की विधि का उपयोग करते हुए, यदि श्रृंखला समान-अंतराल है, तो परिवर्तनशील श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की गणना करना बहुत आसान है।

फ़ैशन

बहुलक एक विशेषता (संस्करण) का मान है जिसे अध्ययन की गई जनसंख्या में सबसे अधिक बार दोहराया जाता है।

असतत वितरण श्रृंखला के लिए, बहुलक उच्चतम आवृत्ति वाले वेरिएंट का मान होगा।

उदाहरण।पुरुषों के जूते के उत्पादन की योजना का निर्धारण करते समय, कारखाने ने बिक्री के परिणामों के आधार पर उपभोक्ता मांग का अध्ययन किया। बेचे गए जूतों का वितरण निम्नलिखित संकेतकों की विशेषता थी:

41 आकार के जूते सबसे अधिक मांग में थे और बेची गई मात्रा का 30% हिस्सा थे। इस वितरण श्रृंखला में एम 0 = 41.

समान अंतराल वाले अंतराल वितरण श्रृंखला के लिए, बहुलक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

सबसे पहले, उस अंतराल को खोजना आवश्यक है जिसमें बहुलक स्थित है, अर्थात, बहुलक अंतराल।

समान अंतराल वाली एक परिवर्तनशील श्रृंखला में मोडल रिक्तिउच्चतम आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, असमान अंतराल के साथ श्रृंखला में - उच्चतम वितरण घनत्व द्वारा, जहां: - मोड वाले अंतराल की निचली सीमा का मान; मोडल अंतराल की आवृत्ति है; - मोडल से पहले के अंतराल की आवृत्ति, यानी प्रीमॉडल; - मोडल के बाद के अंतराल की आवृत्ति, यानी पोस्ट-मोडल।

अंतराल श्रृंखला में बहुलक की गणना का एक उदाहरण

औद्योगिक और उत्पादन कर्मियों की संख्या के अनुसार उद्यमों का समूहन दिया गया है। फैशन खोजें। हमारी समस्या में, उद्यमों की सबसे बड़ी संख्या (30) में 400 से 500 कर्मचारियों वाला एक समूह है। इसलिए, यह अंतराल समान रूप से दूरी वाले प्रसार श्रृंखला का मोडल अंतराल है। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

इन मानों को मोड गणना सूत्र में रखें और गणना करें:

इस प्रकार, हमने इस अंतराल (400-500) में निहित विशेषता के मोडल मान का मान निर्धारित किया है, अर्थात। एम 0 = 467 लोग

कई मामलों में, जब जनसंख्या को सामान्यीकरण संकेतक के रूप में चिह्नित किया जाता है, तो वरीयता दी जाती है फ़ैशन, अंकगणित माध्य नहीं। इसलिए, जब बाजार में कीमतों का अध्ययन किया जाता है, तो यह एक निश्चित उत्पाद के लिए औसत मूल्य नहीं होता है जो कि गतिकी में तय और अध्ययन किया जाता है, बल्कि मोडल होता है। एक निश्चित आकार के जूते या कपड़े के लिए जनसंख्या की मांग का अध्ययन करते समय, मोडल संख्या निर्धारित करना रुचि का है, न कि औसत आकार, जो बिल्कुल भी मायने नहीं रखता। यदि अंकगणितीय माध्य बहुलक के मान के करीब है, तो यह विशिष्ट है।

समाधान के लिए कार्य

कार्य 1

किस्म बीज केन्द्र पर गेहूँ के बीजों की गुणवत्ता का निर्धारण करते समय अंकुरण के प्रतिशत के आधार पर बीजों का निम्न निर्धारण प्राप्त किया गया:

फैशन को परिभाषित करें।

टास्क 2

व्यस्ततम व्यापारिक घंटों के दौरान कीमतों को दर्ज करते समय, व्यक्तिगत विक्रेताओं ने निम्नलिखित वास्तविक बिक्री मूल्य (यूएसडी प्रति किग्रा) दर्ज किए:

आलू: 0.2; 0.12; 0.12; 0.15; 0.2; 0.2; 0.2; 0.15; 0.15; 0.15; 0.15; 0.12; 0.12; 0.12; 0.15.

बीफ: 2; 2.5; 2; 2; 1.8; 1.8; 2; 2.2; 2.5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2.2; 2; 2; 2; 2.

आलू और बीफ के लिए कौन से मूल्य मोडल हैं?

टास्क 3

16 वर्कशॉप मैकेनिकों के वेतन का डाटा है। मजदूरी का मोडल मूल्य ज्ञात कीजिए।

डॉलर में: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

माध्य गणना

आँकड़ों में, माध्यिका भिन्नता श्रृंखला के मध्य में स्थित वैरिएंट है। यदि असतत वितरण श्रृंखला में विषम संख्या में श्रृंखला के सदस्य हैं, तो माध्यिका श्रेणीबद्ध श्रृंखला के मध्य में स्थित वैरिएंट होगी, यानी आवृत्तियों के योग में 1 जोड़ें और सब कुछ 2 से विभाजित करें - परिणाम क्रमिक संख्या देगा माध्यिका का।

यदि परिवर्तनशील श्रृंखला में विकल्पों की संख्या सम है, तो माध्यिका दो मध्य विकल्पों के योग का आधा होगा।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम पहले संचित आवृत्तियों के लिए माध्यिका अंतराल निर्धारित करते हैं। ऐसा अंतराल वह होगा जिसकी संचयी (संचयी) आवृत्ति आवृत्तियों के योग के आधे के बराबर या उससे अधिक हो। संचित आवृत्तियों का निर्माण आवृत्ति के क्रमिक योग द्वारा किया जाता है, जो अंतराल से शुरू होकर विशेषता के निम्नतम मूल्य के साथ होता है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका की गणना

अंतराल	आवृत्तियां ( एफ)	संचयी (संचित) आवृत्तियाँ
60–70		10 (10)
70–80		40 (10+30)
80–90		90 (40+50)
90–100		15 (90+60)
100–110		295 (150+145)
110–120		405 (295+110)
120–130		485 (405+80)
130–140		500 (485+15)
जोड़:	∑एफ = 500

उदाहरण में संचित आवृत्तियों का आधा योग 250 (500:2) है। इसलिए, माध्यिका अंतराल 100-110 के विशेषता मान के साथ एक अंतराल होगा।

इस अंतराल से पहले, संचित आवृत्तियों का योग 150 था। इसलिए, माध्यिका का मान प्राप्त करने के लिए, अन्य 100 इकाइयों (250 - 150) को जोड़ना आवश्यक है। माध्यिका का मान निर्धारित करते समय, यह माना जाता है कि अंतराल की सीमाओं के भीतर विशेषता का मान समान रूप से वितरित किया जाता है। इसलिए, यदि इस अंतराल में 145 इकाइयाँ समान रूप से 10 के बराबर अंतराल में वितरित की जाती हैं, तो 100 इकाइयाँ मान के अनुरूप होंगी:

10: 145 100 = 6.9।

प्राप्त मान को माध्यिका अंतराल की न्यूनतम सीमा में जोड़ने पर, हम माध्यिका का वांछित मान प्राप्त करते हैं:

या परिवर्तनशील अंतराल श्रृंखला में माध्यिका की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

,

माध्यिका अंतराल की निचली सीमा का मान कहाँ है (); - माध्यिका अंतराल का मान (=10); - श्रृंखला की आवृत्तियों का योग (श्रृंखला की संख्या 500 है); माध्यिका (= 150) से पहले के अंतराल में संचित आवृत्तियों का योग है; माध्यिका अंतराल की बारंबारता है (= 145)।