और एक अक्ष या किसी अन्य वेक्टर पर, इसके ज्यामितीय प्रक्षेपण और संख्यात्मक (या बीजीय) प्रक्षेपण की अवधारणाएं हैं। ज्यामितीय प्रक्षेपण का परिणाम एक वेक्टर है, और बीजीय प्रक्षेपण का परिणाम एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है। लेकिन इन अवधारणाओं पर आगे बढ़ने से पहले, आइए आवश्यक जानकारी को याद करें।

प्रारंभिक जानकारी

मुख्य अवधारणा सीधे एक वेक्टर की अवधारणा है। ज्यामितीय सदिश की परिभाषा का परिचय देने के लिए, आइए याद करें कि एक खंड क्या है। हम निम्नलिखित परिभाषा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1

एक खंड एक सीधी रेखा का एक भाग होता है जिसमें बिंदुओं के रूप में दो सीमाएँ होती हैं।

खंड में 2 दिशाएं हो सकती हैं। दिशा को इंगित करने के लिए, हम खंड की सीमाओं में से एक को इसकी शुरुआत कहेंगे, और दूसरी सीमा - इसका अंत। दिशा को इसकी शुरुआत से खंड के अंत तक इंगित किया गया है।

परिभाषा 2

एक वेक्टर या एक निर्देशित खंड एक खंड है जिसके लिए यह जाना जाता है कि खंड की कौन सी सीमा शुरुआत मानी जाती है और कौन सी इसका अंत है।

नोटेशन: दो अक्षर: $\overline(AB)$ - (जहाँ $A$ इसकी शुरुआत है और $B$ इसका अंत है)।

एक छोटे अक्षर में: $\overline(a)$ (चित्र 1)।

आइए हम एक सदिश की अवधारणा से संबंधित कुछ और अवधारणाओं का परिचय दें।

परिभाषा 3

दो शून्येतर सदिश संरेख कहलाते हैं यदि वे एक ही रेखा पर या एक दूसरे के समानांतर रेखाओं पर स्थित हों (चित्र 2)।

परिभाषा 4

दो गैर-शून्य वैक्टर को कोडायरेक्शनल कहा जाएगा यदि वे दो शर्तों को पूरा करते हैं:

1. ये वेक्टर संरेख हैं।
2. यदि वे एक दिशा में निर्देशित हैं (चित्र 3)।

पदनाम: $\overline(a)\overline(b)$

परिभाषा 5

दो गैर-शून्य वैक्टर को विपरीत दिशा में कहा जाएगा यदि वे दो शर्तों को पूरा करते हैं:

1. ये वेक्टर संरेख हैं।
2. यदि उन्हें अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित किया जाता है (चित्र 4)।

पदनाम: $\overline(a)↓\overline(d)$

परिभाषा 6

वेक्टर $\overline(a)$ की लंबाई सेगमेंट $a$ की लंबाई है।

नोटेशन: $|\overline(a)|$

आइए दो सदिशों की समानता की परिभाषा पर चलते हैं

परिभाषा 7

दो सदिशों को समान कहा जाएगा यदि वे दो शर्तों को पूरा करते हैं:

1. वे संरेखित हैं;
2. उनकी लंबाई बराबर है (चित्र 5)।

ज्यामितीय प्रक्षेपण

जैसा कि हमने पहले कहा, ज्यामितीय प्रक्षेपण का परिणाम एक वेक्टर होगा।

परिभाषा 8

अक्ष पर वेक्टर $\overline(AB)$ के ज्यामितीय प्रक्षेपण से हमारा तात्पर्य ऐसे वेक्टर से है, जो इस प्रकार प्राप्त होता है: वेक्टर $A$ की शुरुआत का बिंदु दिए गए अक्ष पर प्रक्षेपित होता है। हमें बिंदु $A"$ मिलता है - वांछित वेक्टर की शुरुआत। वेक्टर $B$ का अंतिम बिंदु इस अक्ष पर प्रक्षेपित होता है। हमें बिंदु $B"$ मिलता है - वांछित वेक्टर का अंत। वेक्टर $\overline(A"B")$ वांछित वेक्टर होगा।

समस्या पर विचार करें:

उदाहरण 1

चित्र 6 में दिखाए गए $l$ अक्ष पर एक ज्यामितीय प्रक्षेपण $\overline(AB)$ बनाएँ।

बिंदु $A$ से $l$ अक्ष पर एक लंबवत खींचें, उस पर बिंदु $A"$ प्राप्त करें। इसके बाद, बिंदु $B$ से $l$ अक्ष पर लंबवत खींचें, बिंदु $B प्राप्त करें" उस पर $ (चित्र। 7)।

जवाब:

प्रोजेक्शन गुण:

वेक्टर प्रक्षेपण गुण

संपत्ति 1.

एक अक्ष पर दो सदिशों के योग का प्रक्षेपण एक ही अक्ष पर सदिशों के अनुमानों के योग के बराबर होता है:

यह संपत्ति आपको वैक्टर के योग के प्रक्षेपण को उनके अनुमानों के योग से बदलने की अनुमति देती है और इसके विपरीत।

संपत्ति 2.यदि किसी सदिश को संख्या से गुणा किया जाता है, तो अक्ष पर उसके प्रक्षेपण को भी इस संख्या से गुणा किया जाता है:

संपत्ति 3.

एल-अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण वेक्टर के मॉड्यूलस और वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है:

ओर्थ अक्ष। निर्देशांक सदिशों के संदर्भ में एक सदिश का अपघटन। वेक्टर निर्देशांक। निर्देशांक गुण

जवाब:

कुल्हाड़ियों की हड्डियाँ।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली (किसी भी आयाम की) को निर्देशांक अक्षों के साथ संरेखित इकाई वैक्टर के एक सेट द्वारा भी वर्णित किया जाता है। ऑर्ट्स की संख्या समन्वय प्रणाली के आयाम के बराबर है, और वे सभी एक दूसरे के लंबवत हैं।

त्रि-आयामी मामले में, orts को आमतौर पर निरूपित किया जाता है

और तीर के साथ प्रतीक और भी इस्तेमाल किया जा सकता है।

इसके अलावा, एक सही समन्वय प्रणाली के मामले में, orts के वेक्टर उत्पादों के साथ निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

निर्देशांक सदिशों के संदर्भ में एक सदिश का अपघटन।

निर्देशांक अक्ष के ओर्थ को , axes - by , axes - by द्वारा प्रदर्शित किया जाता है (चित्र 1)

किसी भी वेक्टर के लिए जो एक विमान में स्थित है, निम्नलिखित अपघटन होता है:

यदि वेक्टर अंतरिक्ष में स्थित है, तो निर्देशांक अक्षों के इकाई वैक्टर के रूप में विस्तार का रूप है:

वेक्टर निर्देशांक:

एक वेक्टर के निर्देशांक की गणना करने के लिए, इसकी शुरुआत ए के निर्देशांक (x1; y1) और इसके अंत बी के निर्देशांक (x2; y2) जानने के लिए, आपको अंत निर्देशांक से शुरुआत के निर्देशांक घटाना होगा: (x2 - x1; y2 - y1)।

समन्वय गुण।

बिंदु 0 पर मूल बिंदु के साथ एक समन्वय रेखा और एक इकाई वेक्टर i पर विचार करें। फिर इस रेखा पर किसी सदिश a के लिए: a = axi.

संख्या कुल्हाड़ी को निर्देशांक अक्ष पर सदिश a का निर्देशांक कहा जाता है।

संपत्ति 1.अक्ष पर वैक्टर जोड़ते समय, उनके निर्देशांक जोड़े जाते हैं।

संपत्ति 2.जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके निर्देशांक को उस संख्या से गुणा किया जाता है।

वैक्टर का अदिश उत्पाद। गुण।

जवाब:

दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या है,

इन सदिशों के गुणनफल के बराबर उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा।

गुण:

1. अदिश गुणनफल का क्रमविनिमेय गुण होता है: ab=ba

निर्देशांक सदिशों का अदिश गुणन। उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल का निर्धारण।

जवाब:

डॉट उत्पाद (×) orts

(एक्स)	मैं	जे	क
मैं
जे
क

उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के अदिश गुणनफल का निर्धारण।

दो सदिशों के अदिश गुणनफल और उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सूत्र द्वारा परिकलित किए जा सकते हैं

दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद। वेक्टर उत्पाद गुण।

जवाब:

तीन गैर-समतलीय वैक्टर एक सही ट्रिपल बनाते हैं, यदि तीसरे वेक्टर के अंत से, पहले वेक्टर से दूसरे तक रोटेशन वामावर्त है। यदि दक्षिणावर्त - फिर बाएँ।, यदि नहीं, तो विपरीत में ( दिखाएं कि उन्होंने "हैंडल" के साथ कैसे दिखाया)

वेक्टर का क्रॉस उत्पाद एप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है जिसके साथ:

1. वैक्टर के लंबवत एऔर बी

2. इसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है एऔर बीवैक्टर

3. वैक्टर, ए, बी, और सीवैक्टर का सही ट्रिपल बनाएं

गुण:

1.

3.

4.

निर्देशांक वैक्टर के वेक्टर उत्पाद। उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के सदिश गुणनफल का निर्धारण।

जवाब:

निर्देशांक वैक्टर के वेक्टर उत्पाद।

उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए सदिशों के सदिश गुणनफल का निर्धारण।

मान लीजिए सदिश a = (x1; y1; z1) और b = (x2; y2; z2) आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली O, i, j, k में उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं और त्रिगुण i, j, k है सही।

हम आधार वैक्टर के संदर्भ में ए और बी का विस्तार करते हैं:

ए = एक्स 1 आई + वाई 1 जे + जेड 1 के, बी = एक्स 2 आई + वाई 2 जे + जेड 2 के।

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

[ए; बी] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (एक)

वेक्टर उत्पाद की परिभाषा से, हम पाते हैं

= 0, = के, = - जे,

= - के, = 0, = मैं,

= जे, = - मैं। = 0.

इन समानताओं को देखते हुए, सूत्र (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

[ए; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[ए; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

सूत्र (2) दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद के लिए उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए व्यंजक देता है।

परिणामी सूत्र बोझिल है। निर्धारकों के संकेतन का उपयोग करके, आप इसे दूसरे रूप में लिख सकते हैं जो याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक है:

आमतौर पर सूत्र (3) और भी छोटा लिखा जाता है:

1°। निर्धारित करने के लिए वेक्टर क्वांटिटी,संख्यात्मक मान के अतिरिक्त इसकी दिशा जानना आवश्यक है। ऐसी मात्राओं के उदाहरण गति और त्वरण हैं, एक बिंदु की गति जब कोई पिंड चलता है। परिभाषा।एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है, यानी एक खंड जिसमें शुरुआत और अंत प्रतिष्ठित हैं।वेक्टर की शुरुआत को इसके अनुप्रयोग का बिंदु कहा जाता है; सीधा मैं, जिस पर वेक्टर स्थित होता है, उसकी क्रिया रेखा कहलाती है। परिभाषा।एक वेक्टर का मापांक इसकी लंबाई है। एक सदिश का मापांक प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है |A¯B| या |a¯|.

परिभाषा।एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण इस अक्ष के साथ वेक्टर घटक के मापांक के बराबर एक अदिश राशि है, यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है, और एक ऋण चिह्न के साथ, यदि ये दिशाएं हैं, तो प्लस चिह्न के साथ लिया जाता है। विपरीत हैं। यदि वेक्टर अक्ष के लंबवत है, तो इसका प्रक्षेपण शून्य है।अक्ष पर वेक्टर प्रक्षेपण के गुण:

1. एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण वैक्टर के समानांतर अनुवाद से नहीं बदलता है। आदि एल एबी = पीआर एल ए 1 बी 1

2. प्रोजेक्शन एडिक्टिविटी। किसी अक्ष पर सदिशों के योग का प्रक्षेपण इस अक्ष पर इन सदिशों के अनुमानों के योग के बराबर होता है। पीआर एल (ए 1 + ए 2 + ए 3) = पीआर एल ए 1 + पीआर एल ए 2 + पीआर एल ए 3 3. प्रक्षेपण एकरूपता। अक्ष पर वेक्टर के प्रक्षेपण के संकेत से अदिश कारक निकाला जा सकता है 4. अक्ष पर दायां वेक्टर बराबर। उत्पाद mod.vector प्रति कोज्या वेक्टर और अक्ष के बीच के कोण के जनसंपर्क а‾ = /а‾/ * cosφ - अगर कोण तेज - सकारात्मक प्रक्षेपण

- अगर कोण कुंठित - नकारात्मक प्रक्षेपण

6. सदिशों के अदिश गुणनफल की अवधारणा. साथ में अदिश मात्रामाप की इकाई के लिए इस मात्रा के अनुपात को व्यक्त करने वाली एकल संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है। ऐसी मात्राओं के उदाहरण तापमान, आयतन, द्रव्यमान हैं। दो वैक्टरों के अदिश उत्पाद को कहा जाता है: इन वैक्टरों के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर एक अदिश और उनके बीच के कोण के cos। उदाहरण:अगर समाधान खोजें:

अदिश उत्पाद का यांत्रिक अर्थ:एक बल की क्रिया के तहत भौतिक बिंदु को बिंदु B से बिंदु C तक एक सीधी रेखा में जाने दें - विस्थापन वेक्टर। जैसा कि आप जानते हैं, कार्य A हो गया है।

अदिश विस्थापन यदि भौतिक बिंदु परिवर्तनशील है। किसी बल की क्रिया के तहत सीधा, फिर बल का अदिश गुणनफल और विस्थापन वेक्टर \u003d इस दौरान किया गया कार्य। डॉट उत्पाद गुण:

1) कम्यूटेटिव (विस्थापन कानून)

2) सहयोगी (सहयोगी) एच।

3) वितरण (वितरित) ज।

कारकों के निर्देशांक की गणना के लिए सूत्र:सदिश a‾ के निर्देशांक निर्देशांक अक्षों पर इसके प्रक्षेपण a x, y, और z हैं।दो सदिशों का सदिश गुणन = तीसरे क्रम का गुणनफल, जिसमें orts पहली पंक्ति में हैं, पहले सदिश के निर्देशांक दूसरी पंक्ति में हैं, और दूसरे वेक्टर के निर्देशांक तीसरी पंक्ति में हैं।

उदाहरण:, फेसला:

जवाब:

थियोरमेक

1. शक्ति, ग्राफोस्टैटिक्स के तत्व।

निकायों के यांत्रिक संपर्क का एक उपाय, अर्थात। बातचीत जो उनके आराम या आंदोलन की स्थिति को प्रभावित करती है, बल द्वारा विशेषता है। शक्ति परिभाषित है:

अतः बल एक सदिश राशि है।

बल प्रणाली हम एक माना शरीर पर कार्य करने वाले बलों के समूह को बुलाएंगे। अभिसरण, समानांतर और मनमाने ढंग से स्थित बलों की प्रणालियाँ हैं।

यदि बलों की दी गई प्रणाली एक बल के बराबर है, तो इस बल को कहा जाता है परिणामीबलों की यह प्रणाली।

किसी भी निकाय के बलों के ज्यामितीय योग के बराबर मात्रा कहलाती है मुख्य वेक्टरबलों की यह प्रणाली। ज्यामितीय योग आर चो, (प्रमुख वेक्टर) बलों की किसी भी प्रणाली का निर्धारण या तो समांतर चतुर्भुज (या त्रिभुज) नियम के अनुसार सिस्टम के बलों के क्रमिक जोड़ द्वारा या एक बल बहुभुज का निर्माण करके किया जाता है।

बलों के समांतर चतुर्भुज के नियम का उपयोग करके सीधे बलों को परिवर्तित करने की परिणामी प्रणाली पाई जाती है। इसी तरह की समस्या को बलों की एक मनमानी प्रणाली के लिए हल किया जा सकता है यदि हम सभी बलों को एक बिंदु पर स्थानांतरित करने की संभावना पाते हैं। ऐसी संभावना मौजूद है। आइए सत्ता का हस्तांतरण करें एफबिंदु A से बिंदु B तक।

तीन बलों की परिणामी प्रणाली बल है एफ 1 = एफ, लेकिन बिंदु B, और एक युग्म पर लागू होता है एफ, एफ 2।(बलों की एक जोड़ी दो बलों की एक प्रणाली है जो पूर्ण मूल्य में समान है, समानांतर और विपरीत दिशाओं में निर्देशित, बिल्कुल कठोर शरीर पर कार्य करती है)। इस प्रकार, मनमाने ढंग से स्थित बलों की एक प्रणाली, जब मनमाने ढंग से चुने गए केंद्र में कम हो जाती है, तो कमी के केंद्र पर लागू एक बल R ch (मुख्य वेक्टर) और एक जोड़ी M ch (प्रमुख क्षण) के बराबर होती है।

ध्यान दें कि बल R चौधरीबलों की परिणामी प्रणाली नहीं है, क्योंकि अकेले नहीं, बल्कि M . की एक जोड़ी के साथ बलों की प्रणाली को बदल देता है चौधरी .

बलों की किसी भी प्रणाली के संतुलन के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि R चौधरी= 0 और एम चौधरी =0.

2. भंगुरता और प्लास्टिसिटीभंगुरता- सामग्री के नगण्य होने की क्षमता। अवशिष्ट विकृतियाँ। प्लास्टिक- एक महत्वपूर्ण संतुलन प्राप्त करने का तरीका। बिना टूटे विरूपण। भवन संरचनाओं को डिजाइन करते समय, सामग्री की ताकत और विरूपण गुणों की विशेषता वाले मात्राओं के मूल्यों को स्थापित करना आवश्यक है। धातुओं के यांत्रिक गुणों के बारे में सबसे बड़ी जानकारी स्थैतिक तन्यता परीक्षणों से प्राप्त की जा सकती है। एक विशेष उपकरण का उपयोग करके रिकॉर्ड किए गए तनाव आरेख (अर्थात तन्य बल के बीच संबंध के रेखांकन एफऔर नमूना बढ़ाव एल)हमशक्ल:

पहला आरेख प्लास्टिक सामग्री (कम कार्बन स्टील) के लिए विशिष्ट है। आरेख में कई विशिष्ट खंड हैं: OA - लोचदार क्षेत्र, भार विरूपण के समानुपाती होता है;

एबी - बिंदु बी तक, सामग्री में प्लास्टिक (अवशिष्ट) विरूपण का कोई संकेत नहीं मिला है;

सीडी - तरलता क्षेत्र, विरूपण भार को बढ़ाए बिना व्यावहारिक रूप से बढ़ता है;

बीडी - सामान्य उपज का क्षेत्र, इस क्षेत्र में प्लास्टिक विकृति महत्वपूर्ण रूप से विकसित होती है।

डीई - सख्त क्षेत्र, नमूने पर अधिकतम (या थोड़ा कम) बल पर, सबसे कमजोर बिंदु में एक संकुचन होता है - "गरदन";

ईके - स्थानीय तरलता क्षेत्र, बिंदु K पर एक विराम तक "गर्दन" क्षेत्र में विकृति होती है।

दूसरा आरेख भंगुर सामग्री (कच्चा लोहा) के लिए विशिष्ट है। आरेख में एक स्पष्ट प्रारंभिक सीधा खंड नहीं है। भंगुर धातुओं से बने नमूनों का टूटना बहुत ही मामूली बढ़ाव पर और बिना गर्दन के बनता है।

आरेख एफ = एफ (∆l)नमूने के आकार पर निर्भर करता है, इसलिए इसे तनाव-तनाव निर्देशांक में पुनर्निर्माण किया जाता है। तनाव माना खंड σ = एफ / ए . के दिए गए बिंदु पर प्रति इकाई क्षेत्र में आंतरिक बल है . छड़ l की प्रारंभिक लंबाई के परिवर्तन को निरपेक्ष बढ़ाव कहा जाता है। मूल लंबाई से पूर्ण बढ़ाव का अनुपात ε = ∆ एल / एल सापेक्ष बढ़ाव या खिंचाव कहा जाता है। लोचदार विकृति के तहत, तनाव और तनाव के बीच संबंध रैखिक है और हुक के नियम द्वारा वर्णित है: σ = इ* ε , जहां E लोच का मापांक है।

3. प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री।

आज़ादी की श्रेणीसिस्टम सबसे छोटी संख्या में ज्यामितीय मापदंडों (अंकों के निर्देशांक, सिस्टम तत्वों के रोटेशन कोण, उनकी लंबाई) का नाम देते हैं, जो सिस्टम के पृथ्वी के सापेक्ष चलने पर स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

डब्ल्यू = 3 डी -2 डब्ल्यू -3 डब्ल्यू-सीसेशन-सी सह 6 सेमी इंच

डब्ल्यू - सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री, डी - डिस्क की संख्या,

डब्ल्यू - टिका की संख्या, डब्ल्यू - हार्ड ड्राइव की संख्या, सी सेशन - समर्थन छड़ की संख्या, सी सोब - सिस्टम की अपनी छड़ की संख्या।

वू<0. प्रणाली ज्यामितीय रूप से परिवर्तनशील है, इसमें अपरिवर्तनीयता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त लिंक नहीं हैं। निर्माण में ऐसी प्रणालियों का उपयोग नहीं किया जाता है। डब्ल्यू > 0. सिस्टम में तथाकथित "अतिरिक्त" कनेक्शन हैं, जो सिस्टम की अपरिवर्तनीयता सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक नहीं हैं, और कहा जाता है स्थिर रूप से अनिश्चित। वू< 0. प्रणाली ज्यामितीय रूप से अपरिवर्तनीय है।

स्थैतिक अनिश्चितता बाहरी या आंतरिक हो सकती है। पहले मामले में, समर्थन प्रतिक्रियाएं, और, परिणामस्वरूप, आंतरिक बल, केवल स्थिर समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित नहीं किए जा सकते हैं। दूसरे मामले में, समर्थन प्रतिक्रियाओं को स्टैटिक्स के समीकरणों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, लेकिन आंतरिक बल नहीं कर सकते। डब्ल्यू = 0 . सिस्टम में कोई अतिरिक्त कनेक्शन नहीं है, यह स्थिर रूप से निर्धारितऔर अपरिवर्तनीय हो सकता है। ऐसी प्रणाली का उपयोग करने की उपयुक्तता तय करने के लिए, इसका संरचनात्मक विश्लेषण करना आवश्यक है। कनेक्शन की गलत व्यवस्था के कारण, तथाकथित "तुरंत" परिवर्तनशील प्रणालियों का निर्माण संभव है, जिनका उपयोग निर्माण में नहीं किया जा सकता है।

4. एसएसएस (तनाव-तनाव राज्य)

केंद्रीय खिंचाव (या केंद्रीय संपीड़न) एक प्रकार का विरूपण है जिसमें बीम के क्रॉस सेक्शन में केवल एक अनुदैर्ध्य बल होता है। एन (तन्यता या संपीड़ित), और अन्य सभी आंतरिक बल शून्य के बराबर हैं।

केंद्रीय तनाव (संपीड़न) के तहत, क्रॉस सेक्शन में केवल सामान्य तनाव उत्पन्न होते हैं =एन/एअनुभाग का चयन सूत्र के अनुसार किया जाता है

ए = एन / σ। नीचे झुकना इस प्रकार के तनाव को समझें, जिसमें बीम के क्रॉस सेक्शन में झुकने वाले क्षण होते हैं। यदि बीम के क्रॉस सेक्शन में केवल झुकने वाले क्षण होते हैं, तो यह शुद्ध झुकने का मामला है, लेकिन यदि झुकने वाले क्षण और अनुप्रस्थ बल होते हैं, तो यह तथाकथित अनुप्रस्थ मोड़ है।

बीम के क्रॉस सेक्शन के सभी बिंदुओं पर, सामान्य σ और स्पर्शरेखा तनाव τ, जिसे सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

बीम सेक्शन में स्ट्रेस डायग्राम का रूप होता है
झुकने वाले क्षण के अधिकतम मूल्य के अनुसार तुला तत्व के खंड का चयन किया जाता है डब्ल्यू एक्स एमपीई6- आवश्यक खंड मापांक। टोशन इस प्रकार के विरूपण को कहा जाता है, जिसमें शाफ्ट के क्रॉस सेक्शन में केवल एक टॉर्क Mcr होता है।

तनाव की स्थिति शुद्ध कतरनी है। केवल स्पर्शरेखा तनाव τ क्रॉस सेक्शन में उत्पन्न होते हैं।

अनुभाग का चयन सूत्र के अनुसार किया जाता है: जटिल प्रतिरोध का अर्थ है साधारण तनाव राज्यों (तनाव, संपीड़न, कतरनी, मरोड़ और झुकना) का संयोजन।

झुकना यदि झुकने वाले क्षण की क्रिया का तल इसके किसी भी मुख्य तल से मेल नहीं खाता है, तो इसे तिरछा कहा जाता है। एक तिरछी मोड़ को परस्पर लंबवत विमानों में दो सीधे मोड़ों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। बीम के क्रॉस सेक्शन में तिरछे झुकने के साथ, सामान्य स्थिति में, 4 आंतरिक बल कारक उत्पन्न होते हैं क्यू एक्स, एम एक्स, क्यू वाई यू एम वाई।

चलो दो वैक्टर और अंतरिक्ष में दिए गए हैं। एक मनमाना बिंदु से अलग सेट करें हेवैक्टर और। कोनासदिशों के बीच और कोणों में सबसे छोटा कोण कहलाता है। लक्षित .

अक्ष पर विचार करें मैंऔर उस पर एक इकाई सदिश आलेखित करें (अर्थात एक सदिश जिसकी लंबाई एक के बराबर है)।

वेक्टर और अक्ष के बीच का कोण मैंवैक्टर और के बीच के कोण को समझें।

तो चलो मैंकुछ अक्ष है और एक सदिश है।

द्वारा निरूपित करें ए 1और बी 1अक्ष पर अनुमान मैंअंक एऔर बी. चलो दिखावा करते हैं कि ए 1एक समन्वय है एक्स 1, ए बी 1- समन्वय x2धुरी पर मैं.

फिर प्रक्षेपणसदिश प्रति अक्ष मैंअंतर कहा जाता है एक्स 1 – x2इस अक्ष पर वेक्टर के अंत और शुरुआत के अनुमानों के निर्देशांक के बीच।

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण मैंहम निरूपित करेंगे।

यह स्पष्ट है कि यदि सदिश और अक्ष के बीच का कोण मैंतेज तो x2> एक्स 1, और प्रक्षेपण x2 – एक्स 1> 0; यदि यह कोण अधिक है, तो x2< एक्स 1और प्रक्षेपण x2 – एक्स 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси मैं, तब x2= एक्स 1और x2– एक्स 1=0.

इस प्रकार, अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण मैंखंड की लंबाई है ए 1 बी 1एक निश्चित संकेत के साथ लिया। इसलिए, एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण एक संख्या या एक अदिश राशि है।

एक वेक्टर का दूसरे पर प्रक्षेपण इसी तरह परिभाषित किया गया है। इस मामले में, इस वेक्टर के सिरों के अनुमान उस रेखा पर पाए जाते हैं जिस पर दूसरा वेक्टर स्थित है।

आइए कुछ मुख्य पर नजर डालते हैं प्रक्षेपण गुण.

रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से वैक्टर की स्वतंत्र प्रणाली

आइए कई वैक्टरों पर विचार करें।

रैखिक संयोजनइन सदिशों में से कोई भी रूप का सदिश है, जहां कुछ संख्याएं हैं। संख्याओं को रैखिक संयोजन के गुणांक कहा जाता है। यह भी कहा जाता है कि इस मामले में दिए गए वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है, अर्थात। रैखिक संचालन द्वारा उनसे प्राप्त किया गया।

उदाहरण के लिए, यदि तीन सदिश दिए गए हैं, तो सदिशों को उनका रैखिक संयोजन माना जा सकता है:

यदि किसी सदिश को कुछ सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में निरूपित किया जाता है, तो इसे कहा जाता है विघटितइन वैक्टर के साथ।

सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से आश्रित, यदि ऐसी संख्याएँ हैं, जो सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, तो . यह स्पष्ट है कि दिए गए वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर होंगे यदि इनमें से कोई भी वेक्टर दूसरों के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है।

अन्यथा, अर्थात्। जब अनुपात तभी प्रदर्शन किया जब , इन वैक्टरों को कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय 1.कोई भी दो सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं यदि और केवल यदि वे संरेख हैं।

प्रमाण:

निम्नलिखित प्रमेय को इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमेय 2।तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं यदि और केवल यदि वे समतलीय हों।

प्रमाण.

आधार

आधारगैर-शून्य रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का संग्रह है। आधार के तत्वों को द्वारा निरूपित किया जाएगा।

पिछले उपभाग में, हमने देखा कि समतल में दो असंरेखीय सदिश रैखिकतः स्वतंत्र होते हैं। इसलिए, पिछले पैराग्राफ से प्रमेय 1 के अनुसार, एक विमान का आधार इस तल पर कोई दो असंरेखीय सदिश होते हैं।

इसी प्रकार, कोई भी तीन असह समतलीय सदिश अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं। इसलिए, तीन गैर समतलीय सदिशों को अंतरिक्ष में आधार कहा जाता है।

निम्नलिखित कथन सत्य है।

प्रमेय।अंतरिक्ष में आधार दिया जाए। तब किसी भी वेक्टर को एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है , कहाँ पे एक्स, आप, जेड- कुछ नंबर। ऐसा अपघटन अद्वितीय है।

प्रमाण.

इस प्रकार, आधार आपको प्रत्येक वेक्टर को संख्याओं के ट्रिपल के साथ विशिष्ट रूप से संबद्ध करने की अनुमति देता है - आधार के वैक्टर के संदर्भ में इस वेक्टर के विस्तार के गुणांक: । विलोम भी सत्य है, संख्याओं का प्रत्येक त्रिक एक्स, वाई, जेडआधार का उपयोग करके, यदि आप एक रैखिक संयोजन बनाते हैं तो आप वेक्टर से मेल खा सकते हैं .

यदि आधार और , फिर संख्या एक्स, वाई, जेडबुलाया COORDINATESदिए गए आधार पर वैक्टर। वेक्टर निर्देशांक निरूपित करते हैं।

कार्तीय समन्वय प्रणाली

मान लीजिए अंतरिक्ष में एक बिंदु दिया गया है हेऔर तीन गैर समतलीय सदिश।

कार्तीय समन्वय प्रणालीअंतरिक्ष में (एक समतल पर) एक बिंदु और एक आधार का समुच्चय कहलाता है, अर्थात। एक बिंदु का समुच्चय और तीन असह समतलीय सदिश (2 असंरेखीय सदिश) इस बिंदु से जा रहे हैं।

दूरसंचार विभाग हेमूल कहा जाता है; आधार वैक्टर की दिशा में मूल से गुजरने वाली सीधी रेखाएं समन्वय अक्ष कहलाती हैं - भुज, कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष। निर्देशांक अक्षों से गुजरने वाले तलों को निर्देशांक तल कहते हैं।

चुने हुए समन्वय प्रणाली में एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम. आइए हम एक बिंदु निर्देशांक की अवधारणा का परिचय दें एम. मूल बिंदु को बिंदु से जोड़ने वाला सदिश एम. बुलाया त्रिज्या वेक्टरअंक एम.

चयनित आधार पर एक वेक्टर को संख्याओं के एक तिहाई से जोड़ा जा सकता है - इसके निर्देशांक: .

बिंदु त्रिज्या वेक्टर निर्देशांक एम. बुलाया बिंदु M . के निर्देशांक. माना समन्वय प्रणाली में। एम (एक्स, वाई, जेड). पहले निर्देशांक को एब्सिस्सा कहा जाता है, दूसरा कोर्डिनेट होता है, और तीसरा एप्लीकेट होता है।

समतल पर कार्टेशियन निर्देशांक समान रूप से परिभाषित किए गए हैं। यहाँ बिंदु के केवल दो निर्देशांक हैं - भुज और कोटि।

यह देखना आसान है कि किसी दिए गए समन्वय प्रणाली के लिए, प्रत्येक बिंदु के कुछ निर्देशांक होते हैं। दूसरी ओर, संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए, एक एकल बिंदु होता है जिसमें ये संख्याएँ निर्देशांक के रूप में होती हैं।

यदि चुने हुए निर्देशांक प्रणाली में आधार के रूप में लिए गए सदिशों की इकाई लंबाई होती है और वे जोड़ीवार लंबवत होते हैं, तो निर्देशांक प्रणाली कहलाती है कार्तीय आयताकार।

इसे दिखाना आसान है।

एक सदिश की दिशा कोज्या पूरी तरह से इसकी दिशा निर्धारित करती है, लेकिन इसकी लंबाई के बारे में कुछ नहीं कहती है।

परिचय ……………………………………………………………………… 3

1. एक सदिश और एक अदिश का मान…………………………………………….4

2. एक बिंदु के प्रक्षेपण, अक्ष और निर्देशांक की परिभाषा………………5

3. अक्ष पर वेक्टर प्रक्षेपण …………………………………………6

4. वेक्टर बीजगणित का मूल सूत्र …………………………..8

5. अपने अनुमानों से वेक्टर के मॉड्यूल की गणना ………………… 9

निष्कर्ष……………………………………………………………………11

साहित्य ……………………………………………………………………12

परिचय:

भौतिकी का गणित से अटूट संबंध है। गणित भौतिकी को प्रयोग या सैद्धांतिक शोध के परिणामस्वरूप खोजी गई भौतिक मात्राओं के बीच संबंध की एक सामान्य और सटीक अभिव्यक्ति के साधन और तकनीक देता है। आखिरकार, भौतिकी में अनुसंधान की मुख्य विधि प्रयोगात्मक है। इसका मतलब है कि वैज्ञानिक माप की मदद से गणनाओं का खुलासा करता है। विभिन्न भौतिक राशियों के बीच संबंध को दर्शाता है। फिर, सब कुछ गणित की भाषा में अनुवाद किया जाता है। एक गणितीय मॉडल बनाया जा रहा है। भौतिकी एक ऐसा विज्ञान है जो सबसे सरल और साथ ही सबसे सामान्य कानूनों का अध्ययन करता है। भौतिकी का कार्य हमारे दिमाग में भौतिक दुनिया की ऐसी तस्वीर बनाना है जो इसके गुणों को पूरी तरह से दर्शाता है और तत्वों के बीच मौजूद मॉडल के तत्वों के बीच ऐसे संबंध प्रदान करता है।

इसलिए, भौतिकी हमारे चारों ओर की दुनिया का एक मॉडल बनाती है और उसके गुणों का अध्ययन करती है। लेकिन कोई भी मॉडल सीमित है। किसी विशेष घटना के मॉडल बनाते समय, केवल उन गुणों और कनेक्शनों को ध्यान में रखा जाता है जो किसी दी गई घटना के लिए आवश्यक होते हैं। यह एक वैज्ञानिक की कला है - सभी विविधता से लेकर मुख्य चीज चुनना।

भौतिक मॉडल गणितीय हैं, लेकिन गणित उनका आधार नहीं है। भौतिक मात्राओं के बीच मात्रात्मक संबंधों को माप, अवलोकन और प्रयोगात्मक अध्ययन के परिणामस्वरूप स्पष्ट किया जाता है और केवल गणित की भाषा में व्यक्त किया जाता है। हालांकि, भौतिक सिद्धांतों के निर्माण के लिए कोई अन्य भाषा नहीं है।

1. एक सदिश और एक अदिश का मान।

भौतिकी और गणित में, एक सदिश एक मात्रा है जो इसके संख्यात्मक मान और दिशा की विशेषता है। भौतिकी में, कई महत्वपूर्ण मात्राएँ हैं जो सदिश हैं, जैसे बल, स्थिति, गति, त्वरण, बलाघूर्ण, संवेग, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र। उन्हें अन्य मात्राओं, जैसे द्रव्यमान, आयतन, दबाव, तापमान और घनत्व के साथ विपरीत किया जा सकता है, जिन्हें एक साधारण संख्या द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और उन्हें " अदिश" .

वे या तो एक नियमित फ़ॉन्ट के अक्षरों में या संख्याओं (ए, बी, टी, जी, 5, -7 ....) में लिखे जाते हैं। स्केलर सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं। साथ ही, अध्ययन की कुछ वस्तुओं में ऐसे गुण हो सकते हैं, जिनके पूर्ण विवरण के लिए केवल एक संख्यात्मक माप का ज्ञान अपर्याप्त है, इन गुणों को अंतरिक्ष में एक दिशा द्वारा चिह्नित करना भी आवश्यक है। इस तरह के गुण वेक्टर मात्रा (वैक्टर) द्वारा विशेषता हैं। सदिश, अदिश के विपरीत, मोटे अक्षरों से निरूपित होते हैं: a, b, g, F, C ....
अक्सर, एक वेक्टर को एक नियमित (गैर-बोल्ड) अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन इसके ऊपर एक तीर के साथ:

इसके अलावा, एक वेक्टर को अक्सर अक्षरों की एक जोड़ी (आमतौर पर बड़े अक्षरों में) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें पहला अक्षर वेक्टर की शुरुआत को इंगित करता है, और दूसरा अक्षर इसके अंत का संकेत देता है।

वेक्टर का मॉड्यूल, यानी निर्देशित सीधी रेखा खंड की लंबाई, वेक्टर के समान अक्षरों द्वारा निरूपित की जाती है, लेकिन सामान्य (गैर-बोल्ड) लेखन में और उनके ऊपर एक तीर के बिना, या बस की तरह वेक्टर (अर्थात, बोल्ड या रेगुलर, लेकिन तीर के साथ), लेकिन फिर वेक्टर पदनाम ऊर्ध्वाधर डैश में संलग्न है।
एक वेक्टर एक जटिल वस्तु है जो एक ही समय में परिमाण और दिशा दोनों की विशेषता है।

कोई सकारात्मक और नकारात्मक वैक्टर भी नहीं हैं। लेकिन वैक्टर एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं। यह तब होता है, उदाहरण के लिए, ए और बी में समान मॉड्यूल होते हैं और एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं। इस मामले में रिकॉर्ड ए= ख. यह भी ध्यान में रखा जाना चाहिए कि वेक्टर प्रतीक एक ऋण चिह्न से पहले हो सकता है, उदाहरण के लिए, -सी, हालांकि, यह संकेत प्रतीकात्मक रूप से इंगित करता है कि वेक्टर -सी में वेक्टर सी के समान मॉड्यूलस है, लेकिन इसमें निर्देशित है उल्टी दिशा।

सदिश -c को सदिश c का विपरीत (या व्युत्क्रम) कहा जाता है।
भौतिकी में, हालांकि, प्रत्येक वेक्टर विशिष्ट सामग्री से भरा होता है, और एक ही प्रकार के वैक्टर (उदाहरण के लिए, बल) की तुलना करते समय, उनके आवेदन के बिंदु भी महत्वपूर्ण महत्व के हो सकते हैं।

2. प्रक्षेपण, अक्ष और बिंदु के समन्वय का निर्धारण।

एक्सिसएक सीधी रेखा है जिसे एक दिशा दी जाती है।
अक्ष को किसी भी अक्षर द्वारा दर्शाया गया है: X, Y, Z, s, t ... आमतौर पर, अक्ष पर एक बिंदु (मनमाने ढंग से) चुना जाता है, जिसे मूल कहा जाता है और, एक नियम के रूप में, O अक्षर द्वारा इंगित किया जाता है। हमारे लिए रुचि के अन्य बिंदुओं से दूरियां इस बिंदु से मापी जाती हैं।

बिंदु प्रक्षेपणअक्ष पर इस बिंदु से दिए गए अक्ष पर गिराए गए लंब का आधार कहलाता है। अर्थात्, किसी बिंदु का अक्ष पर प्रक्षेपण एक बिंदु है।

बिंदु निर्देशांककिसी दिए गए अक्ष पर एक संख्या कहलाती है जिसका निरपेक्ष मान अक्ष की शुरुआत और इस अक्ष पर बिंदु के प्रक्षेपण के बीच संलग्न अक्ष के खंड (चयनित पैमाने में) की लंबाई के बराबर होता है। यह संख्या एक प्लस चिह्न के साथ ली जाती है यदि बिंदु का प्रक्षेपण अपनी शुरुआत से धुरी की दिशा में स्थित है और विपरीत दिशा में एक ऋण चिह्न के साथ है।

3. एक सदिश का एक अक्ष पर प्रक्षेपण।

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण एक वेक्टर है जो इस अक्ष पर एक वेक्टर के स्केलर प्रक्षेपण और इस अक्ष के इकाई वेक्टर को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x, x अक्ष पर सदिश a का अदिश प्रक्षेपण है, तो x i इस अक्ष पर इसका सदिश प्रक्षेपण है।

आइए वेक्टर प्रोजेक्शन को उसी तरह निरूपित करें जैसे कि वेक्टर स्वयं, लेकिन उस अक्ष के सूचकांक के साथ जिस पर वेक्टर प्रक्षेपित होता है। तो, एक्स अक्ष पर वेक्टर ए के वेक्टर प्रक्षेपण को एक्स द्वारा दर्शाया जाता है (वेक्टर को दर्शाते हुए बोल्ड अक्षर और अक्ष नाम की सबस्क्रिप्ट) या

(गैर-बोल्ड अक्षर एक वेक्टर को दर्शाता है, लेकिन शीर्ष पर एक तीर के साथ (!) और अक्ष नाम की एक सबस्क्रिप्ट)।

अदिश प्रक्षेपणप्रति अक्ष सदिश कहा जाता है संख्या, जिसका निरपेक्ष मान प्रारंभ बिंदु के अनुमानों और वेक्टर के अंत बिंदु के बीच संलग्न अक्ष के खंड (चयनित पैमाने में) की लंबाई के बराबर है। आमतौर पर अभिव्यक्ति के बजाय अदिश प्रक्षेपणसीधे शब्दों में कहें - प्रक्षेपण. प्रोजेक्शन को उसी अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है जिस पर प्रक्षेपित वेक्टर (सामान्य, गैर-बोल्ड लेखन में), उस अक्ष के नाम का एक सबस्क्रिप्ट (आमतौर पर) होता है जिस पर यह वेक्टर प्रक्षेपित होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वेक्टर को x-अक्ष पर प्रक्षेपित किया जाता है ए,तो इसका प्रक्षेपण एक x निरूपित किया जाता है। उसी सदिश को किसी अन्य अक्ष पर प्रक्षेपित करते समय, यदि अक्ष Y है, तो इसका प्रक्षेपण y के रूप में दर्शाया जाएगा।

प्रक्षेपण की गणना करने के लिए वेक्टरएक अक्ष पर (उदाहरण के लिए, एक्स अक्ष) इसके अंत बिंदु के निर्देशांक से प्रारंभ बिंदु के समन्वय को घटाना आवश्यक है, अर्थात

और एक्स \u003d एक्स के - एक्स एन।

एक अक्ष पर एक वेक्टर का प्रक्षेपण एक संख्या है।इसके अलावा, प्रक्षेपण सकारात्मक हो सकता है यदि x k का मान x n के मान से अधिक हो,

ऋणात्मक यदि x k का मान x n . के मान से कम है

और शून्य के बराबर यदि x k, x n के बराबर है।

एक सदिश का एक अक्ष पर प्रक्षेपण भी सदिश के मापांक और उस अक्ष के साथ उसके द्वारा बनाए गए कोण को जानकर पाया जा सकता है।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि a x = a Cos α

अर्थात्, अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण वेक्टर के मापांक और अक्ष की दिशा के बीच के कोण के कोसाइन के उत्पाद के बराबर है और वेक्टर दिशा. यदि कोण न्यूनकोण है, तो
Cos α > 0 और a x > 0, और यदि अधिक है, तो अधिक कोण की कोज्या ऋणात्मक होती है, और अक्ष पर सदिश का प्रक्षेपण भी ऋणात्मक होगा।

अक्ष से वामावर्त गिने जाने वाले कोणों को धनात्मक माना जाता है, और दिशा में - ऋणात्मक। हालाँकि, चूँकि कोसाइन एक सम फलन है, अर्थात्, Cos α = Cos (− α), अनुमानों की गणना करते समय, कोणों को दक्षिणावर्त और वामावर्त दोनों में गिना जा सकता है।

एक अक्ष पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण को खोजने के लिए, इस वेक्टर के मॉड्यूल को अक्ष की दिशा और वेक्टर की दिशा के बीच के कोण के कोसाइन से गुणा किया जाना चाहिए।

4. वेक्टर बीजगणित का मूल सूत्र।

हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली के X और Y अक्षों पर एक सदिश a को प्रक्षेपित करते हैं। इन अक्षों पर सदिश a का सदिश प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए:

और x = a x i, और y = a y j।

लेकिन सदिश जोड़ नियम के अनुसार

ए \u003d ए एक्स + ए वाई।

ए = ए एक्स आई + ए वाई जे।

इस प्रकार, हमने एक सदिश को उसके अनुमानों और एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली (या उसके सदिश अनुमानों के संदर्भ में) के रूप में व्यक्त किया है।

सदिश प्रक्षेपण a x और y सदिश a के घटक या घटक कहलाते हैं। हमने जो ऑपरेशन किया है उसे एक आयताकार समन्वय प्रणाली के अक्षों के साथ वेक्टर का अपघटन कहा जाता है।

यदि सदिश अंतरिक्ष में दिया गया है, तो

ए = ए एक्स आई + ए वाई जे + ए जेड के।

इस सूत्र को सदिश बीजगणित का मूल सूत्र कहा जाता है। बेशक, इसे इस तरह भी लिखा जा सकता है।