यह एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार समान्तर होती हैं।

संपत्ति 1। समांतर चतुर्भुज का कोई भी विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

प्रमाण । II चिन्ह के अनुसार (क्रॉस-लेट कॉर्नर और एक कॉमन साइड)।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 2। एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

प्रमाण ।
वैसे ही,

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 3. एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज में, प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है।

प्रमाण ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 4. समांतर चतुर्भुज का कोण समद्विभाजक, विपरीत भुजा को प्रतिच्छेद करता है, इसे एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक समलम्ब चतुर्भुज में विभाजित करता है। (अध्याय शब्द - शीर्ष - दो समद्विबाहु? -का)।

प्रमाण ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 5. एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्णों के चौराहे के बिंदु से गुजरने वाले विपरीत पक्षों पर समाप्त होने वाला एक खंड इस बिंदु से विभाजित होता है।

प्रमाण ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 6. समांतर चतुर्भुज के अधिक कोण के शीर्ष से गिराई गई ऊँचाइयों के बीच का कोण समांतर चतुर्भुज के न्यून कोण के बराबर होता है।

प्रमाण ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 7. एक भुजा से लगे समांतर चतुर्भुज के कोणों का योग 180° होता है।

प्रमाण ।

प्रमेय सिद्ध.

एक कोण के द्विभाजक की रचना। त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के गुण।

1) एक स्वेच्छ किरण DE की रचना कीजिए।

2) किसी दी गई किरण पर, शीर्ष पर एक केंद्र के साथ एक मनमाना वृत्त बनाएं और वही
निर्मित किरण की शुरुआत में केंद्रित।

3) एफ और जी - दिए गए कोण के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु, एच - निर्मित किरण के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु

एक वृत्त की रचना कीजिए जिसका केंद्र बिंदु H पर हो और त्रिज्या FG के बराबर हो।

5) I - निर्मित बीम के हलकों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

6) शीर्ष और I से होकर एक रेखा खींचिए।

आईडीएच - आवश्यक कोण।
)

संपत्ति 1। त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रमाण । माना x, y भुजा c के खंड हैं। हम किरण बीसी जारी रखते हैं। किरण BC पर, हम C से AC के बराबर एक खंड CK बनाते हैं।

प्रमाण

आइए पहले विकर्ण AC खींचते हैं। दो त्रिभुज प्राप्त होते हैं: ABC और ADC।

चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, निम्नलिखित सत्य है:

एडी || बीसी \दायां तीर \कोण 1 = \कोण 2जैसे झूठ बोलना।

एबी || सीडी \दायां तीर \angle3 = \angle 4जैसे झूठ बोलना।

इसलिए, \triangle ABC = \triangle ADC (दूसरी विशेषता द्वारा: और AC उभयनिष्ठ है)।

और, इसलिए, \triangle ABC = \triangle ADC , फिर AB = CD और AD = BC।

सिद्ध किया हुआ!

2. सम्मुख कोण समरूप होते हैं।

प्रमाण

प्रमाण के अनुसार गुण 1हम जानते हैं कि \कोण 1 = \कोण 2, \कोण 3 = \कोण 4. अतः सम्मुख कोणों का योग है: \कोण 1 + \कोण 3 = \कोण 2 + \कोण 4. यह मानते हुए कि \triangle ABC = \triangle ADC हमें \angle A = \angle C , \angle B = \angle D मिलता है।

सिद्ध किया हुआ!

3. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है।

प्रमाण

आइए एक और विकर्ण खींचते हैं।

द्वारा संपत्ति 1हम जानते हैं कि सम्मुख भुजाएँ समान हैं: AB = CD। एक बार फिर हम ध्यान दें कि समान कोण क्रॉसवाइज पड़े हैं।

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि \triangle AOB = \triangle COD त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिह्न (दो कोणों और उनके बीच की एक भुजा) से है। अर्थात् BO = OD (\कोण 2 और \कोण 1 के विपरीत) और AO = OC (क्रमशः \कोण 3 और \कोण 4 के विपरीत)।

सिद्ध किया हुआ!

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

यदि आपकी समस्या में केवल एक चिन्ह मौजूद है, तो आकृति एक समांतर चतुर्भुज है और आप इस आकृति के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

बेहतर याद के लिए, ध्यान दें कि समांतर चतुर्भुज चिन्ह निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देगा - "कैसे पता करें?". अर्थात्, यह कैसे ज्ञात किया जाए कि दी गई आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

1. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी दो भुजाएँ समान और समानांतर होती हैं।

एबी = सीडी; एबी || CD \Rightarrow ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रमाण

आइए अधिक विस्तार से विचार करें। एडी क्यों || ईसा पूर्व?

\triangle ABC = \triangle ADC by संपत्ति 1: AB = CD , AC उभयनिष्ठ है और \angle 1 = \angle 2 AB और CD समानांतर और secant AC के साथ क्रॉसवाइज है।

लेकिन यदि \triangle ABC = \triangle ADC , तो \angle 3 = \angle 4 (वे क्रमशः AB और CD के विपरीत स्थित हैं)। और इसलिए AD || BC (\angle 3 और \angle 4 - पार लेटे हुए भी बराबर हैं)।

पहला संकेत सही है।

2. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रमाण

आइए इस विशेषता पर विचार करें। आइए फिर से विकर्ण AC खींचते हैं।

द्वारा संपत्ति 1\त्रिकोण एबीसी = \त्रिकोण एसीडी।

यह इस प्रकार है कि: \कोण 1 = \कोण 2 \दायां तीर एडी || ईसा पूर्वऔर \कोण 3 = \कोण 4 \दायां तीर एबी || सीडीअर्थात् ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

दूसरा संकेत सही है।

3. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

\कोण ए = \कोण सी , \कोण B = \कोण D \दायां तीर ABCD- समांतर चतुर्भुज।

प्रमाण

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(क्योंकि ABCD एक चतुर्भुज है, और परंपरा के अनुसार \angle A = \angle C , \angle B = \angle D)।

तो \alpha + \beta = 180^(\circ) । लेकिन \alpha और \beta secant AB पर आंतरिक एकतरफा हैं।

और तथ्य यह है कि \alpha + \beta = 180^(\circ) का अर्थ यह भी है कि AD || ई.पू.

साथ ही, \alpha और \beta एक secant AD के साथ आंतरिक एकतरफा हैं। और इसका मतलब है एबी || सीडी.

तीसरा संकेत सही है।

4. एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसके विकर्ण प्रतिच्छेद बिंदु से समद्विभाजित होते हैं।

एओ = ओसी; BO = OD \ समांतर चतुर्भुज।

प्रमाण

बीओ = ओडी; AO = OC , \कोण 1 = \कोण 2 लंबवत के रूप में \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \दायां तीर \कोण 3 = \कोण 4, और \Rightarrow AB || सीडी.

इसी तरह बीओ = ओडी; एओ = ओसी, \कोण 5 = \कोण 6 \दायां तीर \त्रिकोण AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, और \Rightarrow AD || ई.पू.

चौथा संकेत सही है।

पाठ विषय

• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुण।

पाठ मकसद

• नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद करें।
• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणधर्म बनाइए और सिद्ध कीजिए।
• समस्याओं को हल करने में आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
• विकास करना - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
• शैक्षिक - एक पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया विकसित करना, साथियों को सुनने की क्षमता, आपसी सहायता, स्वतंत्रता पैदा करना।

पाठ मकसद

• छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।

शिक्षण योजना

1. परिचय।
2. पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति।
3. समांतर चतुर्भुज, इसके गुण और संकेत।
4. कार्य उदाहरण।
5. स्वयं की जांच।

परिचय

"एक प्रमुख वैज्ञानिक खोज एक बड़ी समस्या का समाधान प्रदान करती है, लेकिन किसी भी समस्या के समाधान में खोज का एक दाना होता है।"

समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के गुण

एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

प्रमाण।

मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। और मान लीजिए कि इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि AOB = COD, त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न से (∠ AOB = COD, ऊर्ध्वाधर के रूप में, AO=OC, DO=OB, समांतर चतुर्भुज विकर्णों के गुण से), तो AB=CD। इसी तरह, त्रिभुज BOC और DOA की समानता से, यह इस प्रकार है कि BC=DA। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का गुण

एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण होते हैं।

प्रमाण।

मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। और मान लीजिए कि इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रमेय में सिद्ध किए गए समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के गुणों से ABC = CDA तीन भुजाओं पर (AB=CD, BC=DA सिद्ध से, AC सामान्य है)। त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि ABC = CDA है।
यह भी सिद्ध होता है कि DAB = BCD, जो ABD = CDB से निकलता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का गुण

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होते हैं।

प्रमाण।

मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। आइए विकर्ण AC खींचते हैं। हम उस पर मध्य O को चिह्नित करते हैं। खंड DO की निरंतरता पर, हम खंड OB 1 को DO के बराबर सेट करते हैं।
पिछले प्रमेय के अनुसार, AB 1 CD एक समांतर चतुर्भुज है। अत: रेखा AB 1 DC के समांतर है। लेकिन बिंदु A से होकर DC के समांतर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है। अत: रेखा AB 1 रेखा AB से संपाती है।
यह भी सिद्ध होता है कि BC 1 BC के साथ संपाती है। तो बिंदु C, C 1 के साथ संपाती है। समांतर चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज AB 1 CD के साथ संपाती है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

साधारण स्कूलों के लिए पाठ्यपुस्तकों में (उदाहरण के लिए, पोगोरेलोव में), यह इस प्रकार साबित होता है: विकर्ण समांतर चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। एक जोड़ी पर विचार करें और पता करें - वे बराबर हैं: उनके आधार विपरीत पक्ष हैं, इसके आसन्न कोण समानांतर रेखाओं के साथ लंबवत हैं। अर्थात्, विकर्णों के खंड जोड़ीवार बराबर होते हैं। हर चीज़।

यही बात है न?
यह ऊपर साबित हुआ कि प्रतिच्छेदन बिंदु विकर्णों को समद्विभाजित करता है - यदि यह मौजूद है। उपरोक्त तर्क किसी भी तरह से इसके अस्तित्व को साबित नहीं करता है। अर्थात्, प्रमेय का भाग "समांतर चतुर्भुज विकर्ण प्रतिच्छेद" अप्रमाणित रहता है।

यह मज़ेदार है कि कैसे इस भाग को साबित करना बहुत कठिन है। वैसे, यह एक अधिक सामान्य परिणाम का अनुसरण करता है: किसी भी उत्तल चतुर्भुज के लिए, विकर्ण प्रतिच्छेद करेंगे, किसी भी गैर-उत्तल के लिए, वे नहीं करेंगे।

पक्ष के साथ त्रिभुजों की समानता पर और उससे सटे दो कोण (त्रिकोण की समानता का दूसरा चिन्ह) और अन्य।

थेल्स ने एक भुजा के साथ दो त्रिभुजों की समानता और उससे सटे दो कोणों की प्रमेय को एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया। मिलेटस के बंदरगाह में एक रेंजफाइंडर बनाया गया था, जो समुद्र में जहाज की दूरी निर्धारित करता है। इसमें तीन संचालित खूंटे ए, बी और सी (एबी = बीसी) और एक सीधी रेखा एसके, सीए के लंबवत शामिल थे। जब जहाज सीधी रेखा SC पर दिखाई दिया, तो एक बिंदु D ऐसा पाया गया कि बिंदु D, .B और E एक ही सीधी रेखा पर थे। जैसा कि चित्र से स्पष्ट है, जमीन पर दूरी सीडी जहाज से वांछित दूरी है।

प्रशन

1. क्या एक वर्ग के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं?
   
2. क्या समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं?
3. क्या समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं?
4. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा क्या है?
5. समांतर चतुर्भुज की कितनी विशेषताएं हैं?
   
6. क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है?
   

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. कुज़नेत्सोव ए.वी., गणित के शिक्षक (ग्रेड 5-9), कीव
2. "एकीकृत राज्य परीक्षा 2006। गणित। छात्रों की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. मजूर के.आई. "एम.आई. स्कैनवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतिस्पर्धी समस्याओं का समाधान"
4. एल। एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव, ई। जी। पॉज़्न्याक, आई। आई। युदीना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"

पाठ पर काम करना

कुज़नेत्सोव ए.वी.

पोटर्नक एस.ए.

एवगेनी पेट्रोव

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विषय > गणित > गणित ग्रेड 8

एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, अर्थात। समानांतर रेखाओं पर लेटें

समांतर चतुर्भुज गुण:
प्रमेय 22. एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
प्रमाण। एक समांतर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण AC खींचिए। त्रिभुज ACD और ACB एक समान भुजा AC और समान कोणों के दो युग्म होने के सर्वांगसम हैं। इसके समीप: CAB=∠ ACD, ASV=∠ DAC (समानांतर रेखाओं AD और BC के साथ अनुप्रस्थ कोणों के रूप में)। इसलिए, AB=CD और BC=AD समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं के रूप में, आदि। इन त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य त्रिभुजों के संगत कोणों की समानता भी है:
प्रमेय 23. समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण हैं: A=∠ C और B=∠ D.
पहली जोड़ी की समानता त्रिभुज एबीडी और सीबीडी की समानता से आती है, और दूसरी - एबीसी और एसीडी।
प्रमेय 24. समांतर चतुर्भुज के पड़ोसी कोने, अर्थात्। एक तरफ से सटे कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं।
ऐसा इसलिए है क्योंकि वे आंतरिक एकतरफा कोने हैं।
प्रमेय 25. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं।
प्रमाण। त्रिभुज बीओसी और एओडी पर विचार करें। पहली संपत्ति के अनुसार, AD=BC D=∠ OSV और DA=∠ समानांतर रेखाओं AD और BC के साथ स्थित है। इसलिए, त्रिभुज BOC और AOD, भुजाओं और उसके आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसलिए, BO=OD और AO=OC, समान त्रिभुजों की संगत भुजाओं के रूप में, आदि।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं
प्रमेय 26. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में समान हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
प्रमाण। माना चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ क्रमशः AD और BC, AB और CD बराबर हैं (चित्र 2)। आइए विकर्ण AC खींचते हैं। त्रिभुज ABC और ACD की तीन बराबर भुजाएँ हैं। तब कोण बीएसी और डीसीए बराबर हैं और इसलिए एबी सीडी के समानांतर है। BC और AD भुजाओं की समांतरता CAD और DIA कोणों की समानता से होती है।
प्रमेय 27. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोण युग्मों में बराबर हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
मान लीजिए A=∠ C और ∠ B=∠ D. ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, फिर ∠ A+∠ B=180 o और भुजाएँ AD और BC समानांतर हैं (समानांतर रेखाओं के आधार पर)। हम भुजाओं AB और CD की समांतरता को भी सिद्ध करते हैं और यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ABCD परिभाषा के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमेय 28. यदि चतुर्भुज के आसन्न कोने, अर्थात्। एक तरफ से सटे कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं, तो यह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
यदि आंतरिक एक तरफा कोण 180 डिग्री तक जोड़ते हैं, तो रेखाएं समानांतर होती हैं। इसका अर्थ है कि AB, CD का युग्म है और BC, AD का युग्म है। एक चतुर्भुज परिभाषा के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 29. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेद बिंदु पर परस्पर आधा विभाजित किया जाता है, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
प्रमाण। यदि AO=OC, BO=OD, तो त्रिभुज AOD और BOC बराबर हैं, क्योंकि शीर्ष O पर समान कोण (ऊर्ध्वाधर) हैं, जो समान भुजाओं के जोड़े के बीच संलग्न हैं। त्रिभुजों की समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि AD और BC बराबर हैं। भुजाएँ AB और CD भी समान हैं, और विशेषता 1 के अनुसार चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
प्रमेय 30. यदि किसी चतुर्भुज में समान, समान्तर भुजाओं का युग्म हो, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
माना चतुर्भुज ABCD में भुजाएँ AB और CD समानांतर और बराबर हैं। विकर्ण AC और BD खींचिए। इन रेखाओं के समांतरता से क्रॉस-झूठ वाले कोणों की समानता एबीओ = सीडीओ और बीएओ = ओसीडी का अनुसरण करती है। त्रिभुज ABO और CDO भुजा और आसन्न कोणों में बराबर हैं। इसलिए, AO=OC, BO=OD, यानी। प्रतिच्छेदन बिंदु के विकर्णों को आधे में विभाजित किया जाता है और चतुर्भुज विशेषता 4 के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।

ज्यामिति में, समांतर चतुर्भुज के विशेष मामलों पर विचार किया जाता है।

एक समांतर चतुर्भुज की अवधारणा

परिभाषा 1

चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं (चित्र 1)।

चित्र 1।

एक समांतर चतुर्भुज में दो मुख्य गुण होते हैं। आइए बिना सबूत के उन पर विचार करें।

संपत्ति 1: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ और कोण क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।

संपत्ति 2: समांतर चतुर्भुज में खींचे गए विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित किया जाता है।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

समांतर चतुर्भुज की तीन विशेषताओं पर विचार करें और उन्हें प्रमेयों के रूप में प्रस्तुत करें।

प्रमेय 1

यदि किसी चतुर्भुज की दो भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर हों और समानांतर भी हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होगा।

प्रमाण।

आइए हमें एक चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। जिसमें $AB||CD$ और $AB=CD$ आइए हम इसमें एक विकर्ण $AC$ बनाते हैं (चित्र 2)।

चित्र 2।

समानांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ और उनके secant $AC$ पर विचार करें। फिर

\[\कोण सीएबी=\कोण डीसीए\]

क्रॉसवर्ड कोनों की तरह।

त्रिभुजों की समानता के लिए $I$ मानदंड के अनुसार,

चूँकि $AC$ उनका सामान्य पक्ष है, और अनुमान के अनुसार $AB=CD$ है। माध्यम

\[\कोण डीएसी=\कोण एसीबी\]

$AD$ और $CB$ और उनके सेकेंट $AC$ पर विचार करें, क्रॉस-लाइनिंग कोणों की अंतिम समानता से हमें वह $AD||CB$ मिलता है।) इसलिए, $1$ की परिभाषा के अनुसार, यह चतुर्भुज है एक समांतर चतुर्भुज।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2

यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमाण।

आइए हमें एक चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। जिसमें $AD=BC$ और $AB=CD$। आइए हम इसमें एक विकर्ण $AC$ खींचते हैं (चित्र 3)।

चित्र तीन

चूँकि $AD=BC$, $AB=CD$, और $AC$ एक उभयनिष्ठ पक्ष है, तो $III$ त्रिभुज समानता परीक्षण द्वारा,

\[\त्रिकोण डीएसी=\त्रिकोण एसीबी\]

\[\कोण डीएसी=\कोण एसीबी\]

$AD$ और $CB$ और उनके सेकेंट $AC$ पर विचार करें, क्रॉस-झूठ वाले कोणों की अंतिम समानता से हमें वह $AD||CB$ मिलता है। इसलिए, $1$ की परिभाषा के अनुसार, यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

\[\कोण डीसीए=\कोण सीएबी\]

लाइनों $AB$ और $CD$ और उनके सेकेंट $AC$ पर विचार करें, क्रॉस-झूठ वाले कोणों की अंतिम समानता से हमें वह $AB||CD$ मिलता है। इसलिए, परिभाषा 1 के अनुसार, यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 3

यदि किसी चतुर्भुज में खींचे गए विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

प्रमाण।

आइए हमें एक चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। आइए हम इसमें विकर्ण $AC$ और $BD$ खींचते हैं। उन्हें बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करने दें (चित्र 4)।

चित्र 4

चूंकि, शर्त $BO=OD,\ AO=OC$, और कोण $\angle COB=\angle DOA$ लंबवत हैं, तो, $I$ त्रिकोण समानता परीक्षण द्वारा,

\[\त्रिकोण बीओसी=\त्रिकोण एओडी\]

\[\कोण डीबीसी=\कोण बीडीए\]

$BC$ और $AD$ और उनके सेकेंट $BD$ पर विचार करें, क्रॉस-लाइनिंग कोणों की अंतिम समानता से हमें वह $BC||AD$ मिलता है। साथ ही $BC=AD$. इसलिए, प्रमेय $1$ के अनुसार, यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।