सबसे महत्वपूर्ण विज्ञानों में से एक, जिसका अनुप्रयोग रसायन विज्ञान, भौतिकी और यहां तक ​​कि जीव विज्ञान जैसे विषयों में देखा जा सकता है, वह है गणित। इस विज्ञान का अध्ययन आपको कुछ मानसिक गुणों को विकसित करने, ध्यान केंद्रित करने की क्षमता में सुधार करने की अनुमति देता है। "गणित" पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान देने योग्य विषयों में से एक अंशों का जोड़ और घटाव है। कई छात्रों को पढ़ाई में परेशानी होती है। शायद हमारा लेख इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

भिन्नों को कैसे घटाएं जिनके हर समान हैं

भिन्न वही संख्याएँ हैं जिनके साथ आप विभिन्न क्रियाएँ कर सकते हैं। पूर्णांकों से उनका अंतर हर की उपस्थिति में होता है। इसीलिए भिन्नों के साथ क्रिया करते समय, आपको उनकी कुछ विशेषताओं और नियमों का अध्ययन करने की आवश्यकता होती है। सबसे सरल मामला साधारण अंशों का घटाव है, जिनमें से हर को एक ही संख्या के रूप में दर्शाया जाता है। यदि आप एक सरल नियम जानते हैं तो यह क्रिया करना कठिन नहीं होगा:

• एक से दूसरी भिन्न को घटाने के लिए घटी हुई भिन्न के अंश से घटाई जाने वाली भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक है। हम इस संख्या को अंतर के अंश में लिखते हैं, और हर को वही छोड़ते हैं: k / m - b / m = (k-b) / m।

भिन्नों को घटाने के उदाहरण जिनके हर समान हैं

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

घटाए गए अंश "7" के अंश से हम घटाए गए अंश "3" के अंश को घटाते हैं, हमें "4" मिलता है। हम इस संख्या को उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में वही संख्या डालते हैं जो पहले और दूसरे अंश के हर में थी - "19"।

नीचे दिया गया चित्र ऐसे ही कुछ और उदाहरण दिखाता है।

एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जहां समान हर वाले भिन्नों को घटाया जाता है:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

घटाए गए अंश "29" के अंश से, बाद के सभी अंशों के अंशों को घटाकर - "3", "8", "2", "7"। नतीजतन, हमें परिणाम "9" मिलता है, जिसे हम उत्तर के अंश में लिखते हैं, और हर में हम वह संख्या लिखते हैं जो इन सभी अंशों के हर में है - "47"।

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।

• समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको अंशों को जोड़ना होगा। परिणामी संख्या योग का अंश है, और हर वही रहता है: k/m + b/m = (k + b)/m।

आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसा दिखता है:

1/4 + 2/4 = 3/4.

भिन्न के पहले पद के अंश में - "1" - हम भिन्न के दूसरे पद का अंश - "2" जोड़ते हैं। परिणाम - "3" - राशि के अंश में लिखा जाता है, और भाजक को वही छोड़ दिया जाता है जो भिन्नों में मौजूद था - "4"।

भिन्न हर के साथ भिन्न और उनका घटाव

हम पहले ही भिन्नों वाली क्रिया पर विचार कर चुके हैं जिनका हर समान है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सरल नियमों को जानना, ऐसे उदाहरणों को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको भिन्नों के साथ एक क्रिया करने की ज़रूरत है जिसमें अलग-अलग हर हैं? हाई स्कूल के कई छात्र ऐसे उदाहरणों से भ्रमित हैं। लेकिन यहां भी, यदि आप समाधान के सिद्धांत को जानते हैं, तो उदाहरण अब आपके लिए कठिन नहीं होंगे। यहां एक नियम भी है, जिसके बिना ऐसे अंशों का समाधान असंभव है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, उन्हें एक ही सबसे छोटे हर में घटाया जाना चाहिए।



यह कैसे करना है, इसके बारे में हम अधिक विस्तार से बात करेंगे।

भिन्न गुण

एक ही हर में कई भिन्नों को कम करने के लिए, आपको समाधान में भिन्न की मुख्य संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है: अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित या गुणा करने के बाद, आपको दिए गए के बराबर भिन्न मिलता है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भिन्न 2/3 में "6", "9", "12", आदि जैसे हर हो सकते हैं, अर्थात यह किसी भी संख्या की तरह दिख सकता है जो "3" का गुणज है। जब हम अंश और हर को "2" से गुणा करते हैं, तो हमें 4/6 का अंश मिलता है। जब हम मूल भिन्न के अंश और हर को "3" से गुणा करते हैं, तो हमें 6/9 मिलता है, और यदि हम "4" संख्या के साथ समान क्रिया करते हैं, तो हमें 8/12 मिलता है। एक समीकरण में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

एक ही हर में कई भिन्न कैसे लाएँ?

विचार करें कि एक ही हर में कई अंशों को कैसे कम किया जाए। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए भिन्नों को लें। पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन सी संख्या उन सभी के लिए हर बन सकती है। इसे आसान बनाने के लिए, आइए उपलब्ध हरों को कारकों में विघटित करें।

भिन्न 1/2 और भिन्न 2/3 के हर का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। 7/9 के हर के दो गुणनखंड हैं 7/9 = 7/(3 x 3), भिन्न का हर 5/6 = 5/(2 x 3)। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि इन चारों भिन्नों के लिए कौन से गुणनखंड सबसे छोटे होंगे। चूंकि पहले अंश में हर में "2" संख्या होती है, इसका मतलब है कि यह सभी हर में मौजूद होना चाहिए, अंश 7/9 में दो त्रिगुण हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें भी हर में मौजूद होना चाहिए। उपरोक्त को देखते हुए, हम निर्धारित करते हैं कि हर में तीन कारक होते हैं: 3, 2, 3 और 3 x 2 x 3 = 18 के बराबर होता है।



पहले भिन्न पर विचार करें - 1/2। इसके हर में "2" है, लेकिन एक भी "3" नहीं है, लेकिन दो होने चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम हर को दो त्रिगुणों से गुणा करते हैं, लेकिन, अंश की संपत्ति के अनुसार, हमें अंश को दो त्रिगुणों से गुणा करना होगा:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18।

इसी तरह, हम शेष भिन्नों के साथ क्रिया करते हैं।

• 2/3 - हर में एक तीन और एक दो गायब हैं:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18।
• 7/9 या 7 / (3 x 3) - हर में एक ड्यूस नहीं है:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18।
• 5/6 या 5/(2 x 3) - हर में एक ट्रिपल गायब है:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18।

सब एक साथ ऐसा दिखता है:



भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना और जोड़ना है

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अलग-अलग हर के साथ अंशों को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर उसी हर के साथ अंशों को घटाने के नियमों का उपयोग करना चाहिए, जिनका पहले ही वर्णन किया जा चुका है।

एक उदाहरण के साथ इस पर विचार करें: 4/18 - 3/15।

18 और 15 के गुणज ज्ञात करना:

• संख्या 18 में 3 x 2 x 3 होते हैं।
• संख्या 15 में 5 x 3 होते हैं।
• सार्व गुणक में निम्नलिखित गुणनखंड 5 x 3 x 3 x 2 = 90 होंगे।

हर के मिलने के बाद, एक कारक की गणना करना आवश्यक है जो प्रत्येक भिन्न के लिए अलग होगा, अर्थात वह संख्या जिससे न केवल हर को, बल्कि अंश को भी गुणा करना आवश्यक होगा। ऐसा करने के लिए, हम उस संख्या (सामान्य गुणक) को उस भिन्न के हर से विभाजित करते हैं जिसके लिए अतिरिक्त कारकों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।

• 90 को 15 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "6" 3/15 के लिए गुणक होगी।
• 90 को 18 से विभाजित किया जाता है। परिणामी संख्या "5" 4/18 के लिए गुणक होगी।

हमारे समाधान में अगला कदम प्रत्येक भिन्न को हर "90" में लाना है।

हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि यह कैसे किया जाता है। आइए देखें कि यह एक उदाहरण में कैसे लिखा जाता है:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45।

यदि भिन्न छोटी संख्या के साथ हैं, तो आप सामान्य हर का निर्धारण कर सकते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।



इसी तरह उत्पादित और अलग-अलग हर वाले।

घटाव और पूर्णांक भाग होना

भिन्नों का घटाव और उनका योग, हम पहले ही विस्तार से विश्लेषण कर चुके हैं। लेकिन अगर अंश में पूर्णांक भाग है तो घटाना कैसे करें? फिर से, आइए कुछ नियमों का उपयोग करें:

• उन सभी भिन्नों को परिवर्तित करें जिनका पूर्णांक भाग अनुचित है। सरल शब्दों में, पूरे भाग को हटा दें। ऐसा करने के लिए, पूर्णांक भाग की संख्या को भिन्न के हर से गुणा किया जाता है, परिणामी उत्पाद को अंश में जोड़ा जाता है। इन क्रियाओं के बाद प्राप्त होने वाली संख्या एक अनुचित भिन्न का अंश होती है। भाजक अपरिवर्तित रहता है।
• यदि भिन्नों के अलग-अलग हर हैं, तो उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए।
• एक ही हर के साथ जोड़ या घटाव करें।
• अनुचित अंश प्राप्त करते समय, पूरे भाग का चयन करें।



एक और तरीका है जिसके द्वारा आप पूर्णांक भागों के साथ भिन्न जोड़ और घटा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, क्रियाओं को अलग-अलग पूर्णांक भागों के साथ, और अलग-अलग अंशों के साथ किया जाता है, और परिणाम एक साथ दर्ज किए जाते हैं।



उपरोक्त उदाहरण में भिन्न हैं जिनका हर समान है। उस स्थिति में जब हर अलग-अलग होते हैं, उन्हें उसी में घटाया जाना चाहिए, और फिर उदाहरण में दिखाए गए चरणों का पालन करें।

एक पूर्ण संख्या से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के साथ क्रियाओं की एक और किस्म वह स्थिति है जब अंश से घटाया जाना चाहिए पहली नज़र में, ऐसा उदाहरण हल करना मुश्किल लगता है। हालाँकि, यहाँ सब कुछ काफी सरल है। इसे हल करने के लिए, एक पूर्णांक को भिन्न में बदलना आवश्यक है, और ऐसे हर के साथ, जो घटाए जाने वाले भिन्न में है। अगला, हम समान हर के साथ घटाव के समान घटाव करते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिखता है:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9।

इस लेख (ग्रेड 6) में दिए गए भिन्नों का घटाव अधिक जटिल उदाहरणों को हल करने का आधार है, जिन पर बाद की कक्षाओं में विचार किया जाएगा। इस विषय का ज्ञान बाद में कार्यों, डेरिवेटिव आदि को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई भिन्नों के साथ क्रियाओं को समझना और समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

भिन्न साधारण संख्याएँ हैं, इन्हें जोड़ा और घटाया भी जा सकता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि उनके पास एक भाजक है, यहां पूर्णांकों की तुलना में अधिक जटिल नियमों की आवश्यकता होती है।

सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक ही हर के साथ दो भिन्न हों। फिर:

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे के अंश को घटाना आवश्यक है, और फिर से हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रत्येक व्यंजक में भिन्नों के हर बराबर होते हैं। भिन्नों के जोड़ और घटाव की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है: बस अंशों को जोड़ें या घटाएं - और बस।

लेकिन इस तरह के साधारण कार्यों में भी लोग गलती करने में सफल हो जाते हैं। बहुधा वे यह भूल जाते हैं कि भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, उन्हें जोड़ते समय, वे भी जोड़ना शुरू कर देते हैं, और यह मौलिक रूप से गलत है।

हर को जोड़ने की बुरी आदत से छुटकारा पाना काफी सरल है। घटाते समय भी ऐसा ही करने की कोशिश करें। नतीजतन, हर शून्य होगा, और अंश (अचानक!) अपना अर्थ खो देगा।

इसलिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें: जोड़ने और घटाने पर, भाजक नहीं बदलता है!

साथ ही, बहुत से लोग अनेक ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय गलतियाँ करते हैं। संकेतों के साथ भ्रम है: माइनस कहां लगाना है, और कहां - प्लस।

इस समस्या का समाधान भी बहुत आसान है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि अंश चिह्न से पहले का ऋण हमेशा अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है - और इसके विपरीत। और हां, दो सरल नियमों को न भूलें:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ इन सबका विश्लेषण करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, सब कुछ सरल है, और दूसरे में, हम अंशों के अंशों में माइनस जोड़ देंगे:

क्या होगा यदि हर अलग हैं

आप भिन्न हर के साथ भिन्नों को सीधे नहीं जोड़ सकते। कम से कम, यह विधि मेरे लिए अज्ञात है। हालाँकि, मूल भिन्नों को हमेशा फिर से लिखा जा सकता है ताकि हर समान बन जाएँ।

भिन्नों को परिवर्तित करने के कई तरीके हैं। उनमें से तीन की चर्चा "सामान्य भाजक में भिन्नों को लाना" पाठ में की गई है, इसलिए हम यहां उन पर ध्यान नहीं देंगे। आइए कुछ उदाहरण देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, हम "क्रॉस-वाइज" विधि का उपयोग करके भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। दूसरे में, हम एलसीएम की तलाश करेंगे। ध्यान दें कि 6 = 2 3; 9 = 3 · 3। इन विस्तारों में अंतिम कारक समान हैं, और पहले वाले सहअभाज्य हैं। इसलिए, एलसीएम(6; 9) = 2 3 3 = 18।

क्या होगा यदि भिन्न में एक पूर्णांक भाग है

मैं आपको खुश कर सकता हूं: भिन्नों के विभिन्न भाजक सबसे बड़ी बुराई नहीं हैं। बहुत अधिक त्रुटियाँ तब होती हैं जब पूरे भाग को भिन्नात्मक शब्दों में हाइलाइट किया जाता है।

बेशक, ऐसे अंशों के लिए स्वयं के जोड़ और घटाव एल्गोरिदम हैं, लेकिन वे जटिल हैं और एक लंबे अध्ययन की आवश्यकता है। नीचे दिए गए सरल आरेख का बेहतर उपयोग करें:

1. पूर्णांक भाग वाले सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें। हमें सामान्य पद मिलते हैं (भले ही विभिन्न हरों के साथ), जिनकी गणना ऊपर वर्णित नियमों के अनुसार की जाती है;
2. दरअसल, परिणामी भिन्नों के योग या अंतर की गणना करें। नतीजतन, हम व्यावहारिक रूप से उत्तर पाएंगे;
3. यदि यह वह सब है जो कार्य में आवश्यक था, तो हम उलटा परिवर्तन करते हैं, अर्थात। हम इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट करते हुए, अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं।

अनुचित भिन्नों पर स्विच करने और पूर्णांक भाग को हाइलाइट करने के नियमों को "संख्यात्मक अंश क्या है" पाठ में विस्तार से वर्णित किया गया है। यदि आपको याद नहीं है, तो दोहराना सुनिश्चित करें। उदाहरण:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रत्येक व्यंजक के अंदर हर बराबर होते हैं, इसलिए यह सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलने और गिनने के लिए बना रहता है। हमारे पास है:

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने पिछले उदाहरणों में कुछ स्पष्ट चरणों को छोड़ दिया।

पिछले दो उदाहरणों के लिए एक छोटा नोट, जहां हाइलाइट किए गए पूर्णांक वाले अंशों को घटाया जाता है। दूसरे भिन्न से पहले के माइनस का अर्थ है कि यह संपूर्ण भिन्न है जिसे घटाया जाता है, न कि केवल उसका पूरा भाग।

इस वाक्य को दोबारा पढ़ें, उदाहरणों को देखें और इसके बारे में सोचें। यह वह जगह है जहाँ शुरुआती बहुत सारी गलतियाँ करते हैं। वे ऐसे कार्यों को नियंत्रण कार्य पर देना पसंद करते हैं। इस पाठ के लिए परीक्षाओं में आप उनसे बार-बार मिलेंगे, जो शीघ्र ही प्रकाशित किया जाएगा।

सारांश: कंप्यूटिंग की सामान्य योजना

अंत में, मैं एक सामान्य एल्गोरिथम दूंगा जो आपको दो या दो से अधिक अंशों का योग या अंतर खोजने में मदद करेगा:

1. यदि पूर्णांक भाग को एक या अधिक भिन्नों में हाइलाइट किया जाता है, तो इन भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें;
2. आपके लिए सुविधाजनक किसी भी तरह से सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (जब तक, निश्चित रूप से, समस्याओं के संकलक ने ऐसा नहीं किया);
3. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों के अनुसार परिणामी संख्याओं को जोड़ें या घटाएं;
4. हो सके तो परिणाम कम करें। यदि भिन्न गलत निकला, तो पूरे भाग का चयन करें।

याद रखें कि उत्तर लिखने से ठीक पहले, कार्य के अंत में पूरे भाग को हाइलाइट करना बेहतर है।

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। इस दूरी को चलाने में अकिलीज़ को जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्य के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखते हैं। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करना आपको पूरी तरह से अलग परिणाम देगा।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: जो संख्या नहीं है उसे गणित में कैसे दर्शाया जाता है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।

अंशों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्नों के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। आइए मुख्य प्रश्न से निपटें।

आप अंशों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग दें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ संक्रियाएं पूर्णांकों वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं। असल में, यही वे दशमलव के लिए अच्छे हैं। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम को सही ढंग से लगाने की जरूरत है।

मिश्रित संख्या, जैसा कि मैंने कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी साधारण अंशों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

और यहाँ क्रियाओं के साथ हैं साधारण अंशहोशियार होगा। और भी बहुत कुछ महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षरों, ज्याओं, अज्ञात आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं और आगे भी सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएं सभी बीजगणितों का आधार होती हैं। यही कारण है कि हम यहां इस सभी अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों का जोड़ और घटाव।

हर कोई एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ (घटाना) कर सकता है (मुझे वास्तव में उम्मीद है!) खैर, मैं आपको याद दिला दूं कि मैं पूरी तरह से भुलक्कड़ हूं: जोड़ने (घटाने) पर, भाजक नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। प्रकार:

संक्षेप में, सामान्य शब्दों में:

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? फिर, भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए (यहाँ यह फिर से काम आया!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहाँ हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। केवल हरों को समान बनाने के उद्देश्य से। मैं ध्यान देता हूं, केवल 2/5 और 4/10 के मामले में एक ही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असहज है, और 4/10 भी कुछ नहीं है।

वैसे, गणित में किसी भी कार्य को हल करने का यही सार है। जब हम बाहर हों असुविधाजनकभाव करते हैं वही, लेकिन हल करने के लिए और अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति समान है। यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। 3 से साधारण गुणा करके यह सब स्पष्ट है। लेकिन यहाँ हम कुछ इस तरह से आते हैं:

कैसे बनें?! सात में से नौ बनाना मुश्किल है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए रूपांतरित करें हर एकभिन्न ताकि भाजक समान हों। इसे "एक सामान्य भाजक को कम करना" कहा जाता है:

कैसे! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत आसान! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से समान रूप से विभाज्य है। ऐसी संख्या हमेशा हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करते हैं, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाजित होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे जोड़े में, चरण दर चरण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको बस उस हर को खोजने की जरूरत है जो सभी भिन्नों के लिए समान है, और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में लाना है। उदाहरण के लिए:

और आम भाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8 और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलते हैं। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि 16 संख्या 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या सामान्य हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदलें, और इसी तरह।

वैसे, अगर हम 1024 को एक सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ भी काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। गणना के कारण केवल सभी को यह अंत नहीं मिलेगा ...

उदाहरण को स्वयं हल करें। लॉगरिदम नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, अंशों का जोड़ (घटाव) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, छोटे संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन्हें मिलता है जिन्होंने निचले ग्रेड में ईमानदारी से काम किया ... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम वही क्रिया करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि . के साथ भिन्नात्मक भाव. यहां मिलेंगे नए रेक, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाने की आवश्यकता है। और सिर्फ मदद से गुणा! तो भिन्न का मुख्य गुण कहता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में x में एक नहीं जोड़ सकता। (लेकिन यह अच्छा होगा!) लेकिन अगर आप हर को गुणा करते हैं, तो आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा! तो हम नीचे लिखते हैं, अंश की रेखा, ऊपर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर इसे जोड़ते हैं, और नीचे हर के उत्पाद को लिखते हैं, ताकि भूलना न भूलें:

और, ज़ाहिर है, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर के आम भाजक को देखते हुए, हम सोचते हैं: पहली भिन्न में हर x (x + 1) प्राप्त करने के लिए, हमें इस भिन्न के अंश और हर को (x + 1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे भिन्न में - x. आपको यह मिलता है:

टिप्पणी! कोष्ठक यहाँ हैं! यह वह रेक है जिस पर कई कदम चलते हैं। कोष्ठक नहीं, बिल्कुल, लेकिन उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक प्रकट होते हैं क्योंकि हम गुणा करते हैं पूराअंश और पूराहर! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं ...

दायीं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ अंकीय भिन्नों की तरह होता है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात्। सब कुछ गुणा करें और पसंद करें। आपको हर में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं है, आपको कुछ गुणा करने की आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

यहां हमें जवाब मिला। प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। उदाहरणों को हल करें, इसकी आदत डालें, सब कुछ सरल हो जाएगा। जिन लोगों ने आवंटित समय में भिन्नों में महारत हासिल कर ली है, ये सभी ऑपरेशन एक हाथ से मशीन पर करें!

और एक और नोट। कई प्रसिद्ध रूप से भिन्नों से निपटते हैं, लेकिन उदाहरणों पर लटके रहते हैं पूरा का पूरासंख्याएं। प्रकार: 2 + 1/2 + 3/4= ? एक ड्यूस कहाँ बांधें? कहीं भी जकड़ने की जरूरत नहीं है, आपको एक ड्यूस से एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, यह बहुत आसान है! 2=2/1. इस प्रकार सं. किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, भाजक एक है। 7 7/1 है, 3 3/1 है और इसी तरह। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है। (ए + बी) \u003d (ए + बी) / 1, एक्स \u003d एक्स / 1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार कार्य करते हैं।

खैर, इसके अलावा - भिन्नों के घटाव पर, ज्ञान ताज़ा हो गया था। भिन्नों का एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तन - दोहराया। आप भी चेक कर सकते हैं। क्या हम थोड़ा समझौता करेंगे?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा / भाग - अगले पाठ में। भिन्न के साथ सभी कार्यों के लिए कार्य भी हैं।

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

,

,

एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि इकाई से एक भिन्न को घटाना आवश्यक है जो सही है, तो इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न को घटाने का एक उदाहरण:

घटाई जाने वाली भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्ण संख्या से एक उचित अंश घटाना।

भिन्नों को घटाने के नियम -पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त अंशों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं - हम भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

एक पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाना: हम एक प्राकृत संख्या को एक मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक इकाई को एक प्राकृत संख्या में लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

अंश घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित अंश 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक अंश घटाया।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हरों से भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCD) में लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक)प्राकृतिक संख्याएँ जो दी गई भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को घटाए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर मिश्रित भिन्नों का घटाव (संख्या)अलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीअंश के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग का अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग विभिन्नहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, और फिर हम पूर्णांक भाग को पूर्णांक से और भिन्न को भिन्नात्मक से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मिन्यूएंड का फ्रैक्शनल पार्ट सबट्रेंड के फ्रैक्शनल पार्ट से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम पूर्णांक भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में लाते हैं। = 18.

अंश में दाईं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में दाईं ओर से कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते हैं। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं: