प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्ति रूपांतरण

अक्सर हम यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक (सिर्फ!) सामान्य संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक में) के लिए सरल बना देंगे।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

बुनियादी सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे। समान अक्षर वाले भाग वाले शब्द (मोनोमियल) समान हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

याद आया?

समान पदों को लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक दूसरे से जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - तुम पूछो।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, अलग-अलग अक्षर अलग-अलग वस्तुओं को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है। फिर:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

भावों को सरल बनाने में यह आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यह अंशों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: आखिरकार, एक अंश को कम करने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है। ऐसा करने के लिए, कुछ हल करें उदाहरण(गुणन करने के लिए):

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर अपने जीवन से बाहर निकालने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं संक्षेप में एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- मतलब है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह व्यंजक कारकों में विघटित हो जाता है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को इससे विभाजित कर सकते हैं, और उसके बाद:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए, यह निर्धारित करने का एक आसान तरीका याद रखें कि कोई व्यंजक गुणनखंडित है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम बार किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे ठीक करने के लिए, इसे स्वयं कुछ हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

साधारण अंशों का जोड़ और घटाव एक प्रसिद्ध ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात् उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित अंशों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

क) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान अंश ला सकते हैं, यदि कोई हो, और उनका गुणनखंड करें:

इसे स्वयं आज़माएं:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक ठीक उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश से गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - द्वारा:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। आम भाजक होगा:

सीमा तक

सीमा तक

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि एक भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन पाने के लिए आपको गुणा करने की क्या ज़रूरत है?

यहां पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - भी। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

इसलिए, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे साधारण कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

फेसला:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

बढ़िया! फिर:

एक और उदाहरण:

फेसला:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं होता है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

ए योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि हर में अधिकतम गुणनखंड समान हों:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल जाते हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

आख़िर ज़रूरत क्या है!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

अंकीय व्यंजक की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय बीजगणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक है, अर्थात् पिछले भाग में वर्णित संक्रियाएँ: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (अक्सर हम इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको i का उपयोग करना होगा या सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

यही बात है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं। मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास अब समान भाजक हैं, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
• अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणक कम किए जा सकते हैं!

• भिन्नों का जोड़ और घटाव:
  ;
• भिन्नों का गुणन और विभाजन:
  ;

मैं। वे व्यंजक जिनमें अक्षरों के साथ संख्याओं, अंकगणितीय संक्रियाओं और कोष्ठकों का प्रयोग किया जा सकता है, बीजीय व्यंजक कहलाते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण:

2एम-एन; 3 · (2ए+बी); 0.24x; 0.3a-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2ab;

चूँकि बीजगणितीय व्यंजक में एक अक्षर को कुछ भिन्न संख्याओं से बदला जा सकता है, अक्षर को एक चर कहा जाता है, और बीजीय व्यंजक को एक चर के साथ व्यंजक कहा जाता है।

द्वितीय. यदि किसी बीजीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से बदल दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रियाएं की जाती हैं, तो परिणामी संख्या को बीजीय व्यंजक का मान कहा जाता है।

उदाहरण। एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5।

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; जेड = 6.

फेसला.

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5। चर के बजाय, हम उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; z = 6. हम संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। याद रखें कि एक ऋणात्मक संख्या का मापांक उसकी विपरीत संख्या के बराबर होता है, और एक धनात्मक संख्या का मापांक स्वयं इस संख्या के बराबर होता है। हम पाते हैं:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.एक अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजीय व्यंजक समझ में आता है, अक्षर के मान्य मान (चर) कहलाते हैं।

उदाहरण। चर के किन मूल्यों पर अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है?

फेसला।हम जानते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव है, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति का उस अक्षर (चर) के मान से कोई मतलब नहीं होगा जो भिन्न के हर को शून्य में बदल देता है!

उदाहरण 1 में, यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि हम 0 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 1) का कोई मतलब नहीं है जब a = 0.

उदाहरण 2) में x = 4 पर हर x - 4 = 0 है, इसलिए यह मान x = 4 है और इसे नहीं लिया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 2) x = 4 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।

उदाहरण 3) में x = -2 के लिए हर x + 2 = 0 है। उत्तर: व्यंजक 3) x = -2 पर कोई अर्थ नहीं रखता।

उदाहरण 4 में हर 5 -|x| . है = 0 |x| . के लिए = 5. और चूंकि |5| = 5 और |-5| \u003d 5, तो आप x \u003d 5 और x \u003d -5 नहीं ले सकते। उत्तर: व्यंजक 4) x = -5 और x = 5 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।
चतुर्थ। दो अभिव्यक्तियों को समान रूप से समान कहा जाता है, यदि चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, इन अभिव्यक्तियों के संबंधित मान समान हैं।

उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5 ए - 5 बी समान हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी ए और बी के किसी भी मूल्य के लिए सही होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है।

पहचान एक समानता है जो इसमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए मान्य है। आप पहले से ही ज्ञात सर्वसमिकाओं के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, वितरण गुण।

एक व्यंजक का दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपान्तरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है। संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

उदाहरण।

ए)गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में परिवर्तित करें:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी); 3) ए · (6 मी -2 एन + के)।

फेसला. गुणन की वितरण संपत्ति (कानून) को याद करें:

(ए+बी) सी=ए सी+बी सी(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)।
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को अलग-अलग घटा और घटाकर गुणा कर सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y।

2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी) = 1.5 ए -3 बी + 6 सी।

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak।

बी)जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से समान में बदलना:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s।

फेसला।हम जोड़ के कानून (गुण) लागू करते हैं:

ए+बी=बी+ए(विस्थापन: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(सहयोगी: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरे और तीसरे का योग जोड़ सकते हैं)।

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9।

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5।

में)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में बदलना:

7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2 वर्ष · (-एक); 9) 3ए · (-3) · 2एस.

फेसला।आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:

ए बी = बी ए(विस्थापन: कारकों का क्रमपरिवर्तन उत्पाद को नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी = ए (बी सी)(संयुक्त: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।

7) 4 · एक्स · (-2,5) = -4 · 2,5 · एक्स = -10x।

8) -3,5 · 2 वर्ष · (-1) = 7y।

9) 3ए · (-3) · 2s = -18as।

यदि एक बीजीय व्यंजक को अपचयनीय भिन्न के रूप में दिया जाता है, तो भिन्न अपचयन नियम का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है, अर्थात्। समान रूप से इसके बराबर एक सरल व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण। भिन्न अपचयन का उपयोग करके सरल कीजिए।

फेसला।किसी भिन्न को कम करने का अर्थ है उसके अंश और हर को शून्य के अलावा उसी संख्या (व्यंजक) से विभाजित करना। भिन्न 10) से कम हो जाएगा 3 बी; भिन्न 11) से कम करें एऔर भिन्न 12) से कम करें 7एन. हम पाते हैं:

बीजीय व्यंजकों का प्रयोग सूत्र बनाने के लिए किया जाता है।

सूत्र एक बीजीय व्यंजक है जिसे समानता के रूप में लिखा जाता है जो दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।उदाहरण: पथ सूत्र जिसे आप जानते हैं एस = वी टी(s तय की गई दूरी है, v गति है, t समय है)। याद रखें कि आप कौन से अन्य सूत्र जानते हैं।

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अक्सर कार्यों में सरलीकृत उत्तर देना आवश्यक होता है। जबकि सरल और गैर-सरल दोनों उत्तर सही हैं, यदि आप अपने उत्तर को सरल नहीं बनाते हैं तो आपका प्रशिक्षक आपके ग्रेड को कम कर सकता है। इसके अलावा, एक सरल गणितीय अभिव्यक्ति के साथ काम करना बहुत आसान है। इसलिए, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है।

कदम

गणितीय संक्रियाओं का सही क्रम

1. गणित की संक्रियाओं को करने का सही क्रम याद रखें।गणितीय व्यंजक को सरल बनाते समय, पालन करने के लिए एक निश्चित क्रम होता है, क्योंकि कुछ गणितीय संक्रियाएँ दूसरों पर वरीयता लेती हैं और उन्हें पहले किया जाना चाहिए (वास्तव में, संक्रियाओं के सही क्रम का पालन न करने से आप गलत परिणाम प्राप्त कर सकते हैं)। गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित क्रम को याद रखें: कोष्ठक में व्यंजक, घातांक, गुणा, भाग, जोड़, घटाव।

   • ध्यान दें कि संचालन के सही क्रम को जानने से आप सबसे सरल अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं, लेकिन एक बहुपद (एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति) को सरल बनाने के लिए आपको विशेष तरकीबें जानने की जरूरत है (अगला भाग देखें)।

2. कोष्ठक में व्यंजक को हल करके प्रारंभ करें।गणित में, कोष्ठक इंगित करते हैं कि संलग्न अभिव्यक्ति का मूल्यांकन पहले किया जाना चाहिए। इसलिए, किसी भी गणितीय व्यंजक को सरल करते समय, कोष्ठकों में संलग्न व्यंजक को हल करके प्रारंभ करें (इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि आपको कोष्ठक के अंदर कौन-से संक्रिया करने की आवश्यकता है)। लेकिन याद रखें कि कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति के साथ काम करते समय, आपको संचालन के क्रम का पालन करना चाहिए, अर्थात कोष्ठक में शब्दों को पहले गुणा, विभाजित, जोड़ा, घटाया जाता है, और इसी तरह।

   • उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक को सरल बनाते हैं 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). यहां हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजकों से शुरू करते हैं: 5 + 2 = 7 और 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5।
     • कोष्ठक के दूसरे जोड़े में व्यंजक 5 तक सरल हो जाता है क्योंकि 4/2 को पहले विभाजित किया जाना चाहिए (संचालन के सही क्रम के अनुसार)। यदि आप इस आदेश का पालन नहीं करते हैं, तो आपको गलत उत्तर मिलेगा: 3 + 4 = 7 और 7 2 = 7/2।
   • यदि कोष्ठक के भीतर कोष्ठकों की एक और जोड़ी है, तो आंतरिक कोष्ठक में व्यंजक को हल करके सरलीकरण शुरू करें, और फिर बाहरी कोष्ठकों में व्यंजक को हल करने के लिए आगे बढ़ें।

3. एक शक्ति के लिए उठाएँ।कोष्ठकों में व्यंजकों को हल करने के बाद, घात को बढ़ाने के लिए आगे बढ़ें (याद रखें कि एक घात का एक घातांक और एक आधार होता है)। संगत व्यंजक (या संख्या) को एक घात तक बढ़ाएँ और परिणाम को आपको दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।

   • हमारे उदाहरण में, घात में एकमात्र व्यंजक (संख्या) 3 2: 3 2 = 9 है। आपको दिए गए व्यंजक में, 3 2 के स्थान पर 9 प्रतिस्थापित करें और आपको प्राप्त होगा: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. गुणा करें।याद रखें कि गुणन संक्रिया को निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है: "x", "∙" या "*"। लेकिन अगर किसी संख्या और एक चर के बीच कोई प्रतीक नहीं है (उदाहरण के लिए, 2x) या किसी संख्या और संख्या के बीच कोष्ठक में (उदाहरण के लिए, 4(7)) तो यह भी एक गुणन संक्रिया है।

   • हमारे उदाहरण में, दो गुणन संक्रियाएँ हैं: 2x (दो गुणा x) और 4(7) (चार गुणा सात)। हम x का मान नहीं जानते हैं, इसलिए हम व्यंजक 2x को वैसे ही छोड़ देंगे। 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. अब आप दिए गए व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: 2x + 28 + 9 - 5.

5. विभाजित करना।याद रखें कि विभाजन संचालन को निम्नलिखित प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है: "/", "÷" या "-" (आप अंशों में अंतिम प्रतीक देख सकते हैं)। उदाहरण के लिए, 3/4 तीन को चार से विभाजित करता है।

   • हमारे उदाहरण में, कोई और विभाजन नहीं है क्योंकि आप पहले से ही 4 को 2 (4/2) से विभाजित कर चुके हैं जब कोष्ठक अभिव्यक्ति को हल करते हैं। इसलिए, आप अगले चरण पर जा सकते हैं। याद रखें कि अधिकांश अभिव्यक्तियों में एक ही बार में सभी गणित संचालन नहीं होते हैं (केवल उनमें से कुछ)।

6. तह करो।व्यंजक के पदों को जोड़ते समय, आप सबसे बाहरी (बाएं) पद से शुरू कर सकते हैं, या आप पहले उन शब्दों को जोड़ सकते हैं जो आसानी से जुड़ जाते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक 49 + 29 + 51 +71 में, पहले 49 + 51 = 100, फिर 29 + 71 = 100, और अंत में 100 + 100 = 200 जोड़ना आसान है। इस तरह जोड़ना कहीं अधिक कठिन है : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200।

   • हमारे 2x + 28 + 9 + 5 उदाहरण में, दो अतिरिक्त संक्रियाएँ हैं। आइए सबसे चरम (बाएं) पद से शुरू करें: 2x + 28; आप 2x और 28 नहीं जोड़ सकते क्योंकि आप x का मान नहीं जानते हैं। इसलिए, 28 + 9 = 37 जोड़ें। अब व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 2x + 37 - 5।

7. घटाना।यह गणित संक्रियाओं के सही क्रम में अंतिम संक्रिया है। इस स्तर पर, आप ऋणात्मक संख्याएँ भी जोड़ सकते हैं, या आप इसे सदस्यों को जोड़ने के चरण में कर सकते हैं - यह किसी भी तरह से अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा।

   • हमारे उदाहरण 2x + 37 - 5 में, केवल एक घटाव संक्रिया है: 37 - 5 = 32।

8. इस स्तर पर, सभी गणितीय संक्रियाओं को करने के बाद, आपको एक सरलीकृत व्यंजक प्राप्त करना चाहिए।लेकिन यदि आपको दिए गए व्यंजक में एक या अधिक चर हैं, तो याद रखें कि चर वाला सदस्य वैसा ही रहेगा जैसा वह है। एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति को हल करना (सरलीकृत करने के बजाय) उस चर के मूल्य को खोजना शामिल है। कभी-कभी एक चर वाले व्यंजकों को विशेष विधियों का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है (अगला भाग देखें)।

   • हमारे उदाहरण में, अंतिम उत्तर 2x + 32 है। जब तक आप x का मान नहीं जान लेते, तब तक आप दो पद नहीं जोड़ सकते। एक बार जब आप चर का मान जान लेते हैं, तो आप इस द्विपद को आसानी से सरल बना सकते हैं।

   जटिल भावों को सरल बनाना

   1. समान सदस्यों का जोड़।याद रखें कि आप केवल समान पदों को घटा सकते हैं और जोड़ सकते हैं, अर्थात समान चर और समान घातांक वाले पद। उदाहरण के लिए, आप 7x और 5x जोड़ सकते हैं, लेकिन आप 7x और 5x 2 नहीं जोड़ सकते (क्योंकि यहां घातांक भिन्न हैं)।

      • यह नियम कई चर वाले सदस्यों पर भी लागू होता है। उदाहरण के लिए, आप 2xy 2 और -3xy 2 जोड़ सकते हैं, लेकिन आप 2xy 2 और -3x 2 y या 2xy 2 और -3y 2 नहीं जोड़ सकते।
      • एक उदाहरण पर विचार करें: x 2 + 3x + 6 - 8x। यहाँ समान पद 3x और 8x हैं, इसलिए उन्हें एक साथ जोड़ा जा सकता है। सरलीकृत व्यंजक इस तरह दिखता है: x 2 - 5x + 6।

   2. संख्या को सरल कीजिए।ऐसे भिन्न में अंश और हर दोनों में संख्याएँ होती हैं (बिना चर के)। एक संख्यात्मक अंश को कई तरीकों से सरल बनाया जाता है। सबसे पहले, बस भाजक को अंश से विभाजित करें। दूसरा, अंश और हर का गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों को रद्द करें (क्योंकि जब आप किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करते हैं, तो आपको 1 मिलता है)। दूसरे शब्दों में, यदि अंश और हर दोनों का गुणनखंड समान है, तो आप इसे त्याग सकते हैं और सरलीकृत भिन्न प्राप्त कर सकते हैं।

      • उदाहरण के लिए, भिन्न 36/60 पर विचार करें। कैलकुलेटर का उपयोग करते हुए, 36 को 60 से विभाजित करें और 0.6 प्राप्त करें। लेकिन आप अंश और हर का गुणन करके इस भिन्न को दूसरे तरीके से सरल बना सकते हैं: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10)। 6/6 \u003d 1 के बाद से, सरलीकृत अंश: 1 x 6/10 \u003d 6/10। लेकिन इस अंश को भी सरल बनाया जा सकता है: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5।

   3. यदि भिन्न में एक चर है, तो आप चर के साथ समान कारकों को कम कर सकते हैं।अंश और हर दोनों का गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों को रद्द करें, भले ही उनमें एक चर हो (याद रखें कि यहां समान कारकों में एक चर हो सकता है या नहीं भी हो सकता है)।

      • एक उदाहरण पर विचार करें: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x)। इस व्यंजक को फिर से लिखा जा सकता है (गुणांक) इस प्रकार है: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x)। चूंकि 3x पद अंश और हर दोनों में है, इसलिए इसे सरलीकृत व्यंजक देने के लिए घटाया जा सकता है: (x + 1)/(5 - x)। एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • कृपया ध्यान दें कि आप किसी भी नियम को रद्द नहीं कर सकते - केवल वही कारक जो अंश और हर दोनों में मौजूद हैं, रद्द कर दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक (x(x + 2))/x में, चर (गुणक) "x" अंश और हर दोनों में है, इसलिए "x" को घटाया जा सकता है और एक सरलीकृत व्यंजक प्राप्त किया जा सकता है: (x) + 2) / 1 = x + 2. हालांकि, व्यंजक (x + 2)/x में, चर "x" को कम नहीं किया जा सकता है (क्योंकि अंश में "x" एक कारक नहीं है)।

   4. कोष्ठक खोलें।ऐसा करने के लिए, कोष्ठक के बाहर के पद को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। कभी-कभी यह एक जटिल अभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करता है। यह उन दोनों सदस्यों पर लागू होता है जो अभाज्य संख्याएँ हैं और वे सदस्य जिनमें एक चर होता है।

      • उदाहरण के लिए, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 और 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x।
      • कृपया ध्यान दें कि भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों में, कोष्ठकों को खोलने की आवश्यकता नहीं है यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (3(x 2 + 8)) / 3x में, आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यहां आप कारक 3 को कम कर सकते हैं और एक सरलीकृत अभिव्यक्ति (x 2 + 8) / x प्राप्त कर सकते हैं। इस अभिव्यक्ति के साथ काम करना आसान है; यदि आप कोष्ठकों का विस्तार करते हैं, तो आपको निम्नलिखित जटिल व्यंजक प्राप्त होंगे: (3x 3 + 24x)/3x।

   5. बहुपदों का गुणनखंड कीजिए।इस विधि का उपयोग करके, आप कुछ व्यंजकों और बहुपदों को सरल बना सकते हैं। फैक्टरिंग कोष्ठक विस्तार के विपरीत है, अर्थात, एक अभिव्यक्ति को दो अभिव्यक्तियों के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है, जिनमें से प्रत्येक कोष्ठक में संलग्न है। कुछ मामलों में, फैक्टरिंग आपको उसी अभिव्यक्ति को छोटा करने की अनुमति देता है। विशेष मामलों में (आमतौर पर द्विघात समीकरणों के साथ), फैक्टरिंग आपको समीकरण को हल करने की अनुमति देगा।

      • व्यंजक x 2 - 5x + 6 पर विचार करें। यह कारकों में विघटित होता है: (x - 3) (x - 2)। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि एक व्यंजक (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)) दिया गया है, तो आप इसे (x - 3)(x - 2)/(2(x) के रूप में फिर से लिख सकते हैं। - 2)), व्यंजक (x - 2) को कम करें और सरलीकृत व्यंजक (x - 3) / 2 प्राप्त करें।
      • फैक्टरिंग बहुपद का उपयोग समीकरणों को हल करने (मूल खोजने) के लिए किया जाता है (एक समीकरण 0 के बराबर बहुपद है)। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 - 5x + 6 \u003d 0 पर विचार करें। इसका गुणनखंड करने पर, आपको (x - 3) (x - 2) \u003d 0 मिलता है। चूंकि 0 से गुणा किया गया कोई भी व्यंजक 0 है, हम इसे इस तरह लिख सकते हैं यह: x - 3 = 0 और x - 2 = 0। इस प्रकार, x = 3 और x = 2, अर्थात्, आपको दिए गए समीकरण के दो मूल मिल गए हैं।

बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना बीजगणित सीखने की चाबियों में से एक है और सभी गणितज्ञों के लिए एक अत्यंत उपयोगी कौशल है। सरलीकरण आपको एक जटिल या लंबी अभिव्यक्ति को सरल अभिव्यक्ति में कम करने की अनुमति देता है जिसके साथ काम करना आसान है। बुनियादी सरलीकरण कौशल उन लोगों के लिए भी अच्छा है जो गणित के प्रति उत्साही नहीं हैं। कुछ सरल नियमों का पालन करके, कई सबसे सामान्य प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बिना किसी विशेष गणितीय ज्ञान के सरल बनाया जा सकता है।

कदम

महत्वपूर्ण परिभाषाएं

1. समान सदस्य।ये एक ही क्रम के चर वाले सदस्य हैं, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य (वे सदस्य जिनमें कोई चर नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समान शब्दों में एक चर को समान सीमा तक शामिल किया जाता है, कई समान चरों को शामिल किया जाता है, या एक चर को बिल्कुल भी शामिल नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में शर्तों का क्रम मायने नहीं रखता।

   • उदाहरण के लिए, 3x 2 और 4x 2 समान पद हैं क्योंकि उनमें दूसरे क्रम का चर "x" है (द्वितीय घात में)। हालाँकि, x और x 2 समान सदस्य नहीं हैं, क्योंकि उनमें विभिन्न क्रमों (प्रथम और द्वितीय) के चर "x" होते हैं। इसी तरह, -3yx और 5xz समान सदस्य नहीं हैं क्योंकि उनमें विभिन्न चर होते हैं।

2. गुणनखंडन।यह ऐसी संख्याएँ ज्ञात कर रहा है, जिनका गुणनफल मूल संख्या की ओर जाता है। किसी भी मूल संख्या के कई गुणनखंड हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 12 को कारकों की निम्नलिखित श्रृंखला में विघटित किया जा सकता है: 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4, इसलिए हम कह सकते हैं कि संख्या 1, 2, 3, 4, 6 और 12 कारक हैं संख्या 12. गुणनखंड भाजक के समान हैं, अर्थात वे संख्याएँ जिनसे मूल संख्या विभाज्य है।

   • उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 20 का गुणनखंड करना चाहते हैं, तो इसे इस प्रकार लिखें: 4×5.
   • ध्यान दें कि फैक्टरिंग करते समय, चर को ध्यान में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, 20x = 4(5x).
   • अभाज्य संख्याओं का गुणनखंड नहीं किया जा सकता क्योंकि वे केवल स्वयं से विभाज्य हैं और 1.

3. गलतियों से बचने के लिए संचालन के क्रम को याद रखें और उसका पालन करें।

   • कोष्टक
   • डिग्री
   • गुणा
   • विभाजन
   • योग
   • घटाव

   सदस्यों की तरह कास्टिंग

   1. अभिव्यक्ति लिखिए।सरलतम बीजीय व्यंजक (जिसमें भिन्न, मूल आदि नहीं होते हैं) को कुछ ही चरणों में हल (सरलीकृत) किया जा सकता है।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक को सरल कीजिए 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. समान सदस्यों को परिभाषित करें (समान क्रम के चर वाले सदस्य, समान चर वाले सदस्य, या मुक्त सदस्य)।

      • इस व्यंजक में समान पद ज्ञात कीजिए। पद 2x और 4x में एक ही क्रम (प्रथम) का एक चर है। साथ ही, 1 और -3 मुक्त सदस्य हैं (एक चर शामिल नहीं है)। इस प्रकार, इस अभिव्यक्ति में, पद 2x और 4xसमान हैं, और सदस्य 1 और -3भी समान हैं।

   3. समान सदस्य दें।इसका अर्थ है उन्हें जोड़ना या घटाना और व्यंजक को सरल बनाना।

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. दिए गए सदस्यों को ध्यान में रखते हुए व्यंजक को फिर से लिखिए।आपको कम शब्दों के साथ एक सरल अभिव्यक्ति मिलेगी। नई अभिव्यक्ति मूल के बराबर है।

      • हमारे उदाहरण में: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, अर्थात्, मूल व्यंजक सरलीकृत है और इसके साथ काम करना आसान है।

   5. उस क्रम का निरीक्षण करें जिसमें समान पदों की ढलाई करते समय संचालन किया जाता है।हमारे उदाहरण में, समान शब्दों को लाना आसान था। हालांकि, जटिल अभिव्यक्तियों के मामले में जिसमें सदस्य कोष्ठक में संलग्न हैं और अंश और मूल मौजूद हैं, ऐसे शब्दों को लाना इतना आसान नहीं है। इन मामलों में, संचालन के क्रम का पालन करें।

      • उदाहरण के लिए, व्यंजक 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x पर विचार करें। यहां 3x और 2x को समान पदों के रूप में तुरंत परिभाषित करना और उन्हें उद्धृत करना एक गलती होगी, क्योंकि पहले आपको कोष्ठक का विस्तार करने की आवश्यकता है। इसलिए, उनके क्रम में संचालन करें।
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x। अभी, जब व्यंजक में केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएं होती हैं, तो आप समान पदों को कास्ट कर सकते हैं।
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • एक्स 2 + 12x + 3

   गुणक को छोटा करना

   1. व्यंजक के सभी गुणांकों का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक (gcd) ज्ञात कीजिए। GCD वह सबसे बड़ी संख्या है जिससे व्यंजक के सभी गुणांक विभाज्य होते हैं।

      • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x 2 + 27x - 3 पर विचार करें। इस मामले में, gcd=3, क्योंकि इस व्यंजक का कोई भी गुणांक 3 से विभाज्य है।

   2. व्यंजक के प्रत्येक पद को gcd से भाग दें।परिणामी शब्दों में मूल व्यंजक की तुलना में छोटे गुणांक होंगे।

      • हमारे उदाहरण में, प्रत्येक व्यंजक पद को 3 से भाग दें।
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • यह अभिव्यक्ति निकला 3x2 + 9x-1. यह मूल अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

   3. मूल व्यंजक को परिणामी व्यंजक के gcd गुणा के गुणनफल के बराबर लिखिए।यही है, परिणामी अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करें, और GCD को कोष्ठक से बाहर रखें।

      • हमारे उदाहरण में: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. गुणक को कोष्ठक से निकालकर भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल बनाना।गुणक को कोष्ठक से बाहर क्यों निकालें, जैसा कि पहले किया गया था? फिर, भिन्नात्मक व्यंजकों जैसे जटिल व्यंजकों को सरल बनाने का तरीका जानने के लिए। इस मामले में, गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने से भिन्न (हर से) से छुटकारा पाने में मदद मिल सकती है।

      • उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक व्यंजक (9x 2 + 27x - 3)/3 पर विचार करें। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए कोष्ठकों का प्रयोग करें।
        • गुणनखंड 3 का गुणनखंड करें (जैसा आपने पहले किया था): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • ध्यान दें कि अंश और हर दोनों में अब संख्या 3 है। इसे कम किया जा सकता है, और आपको व्यंजक मिलता है: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • चूँकि कोई भी भिन्न जिसका हर में नंबर 1 होता है, वह अंश के बराबर होता है, मूल भिन्नात्मक व्यंजक को सरल बनाया जाता है: 3x2 + 9x-1.

   अतिरिक्त सरलीकरण तकनीक

4. एक साधारण उदाहरण पर विचार करें: (90)। संख्या 90 को निम्नलिखित कारकों में विघटित किया जा सकता है: 9 और 10, और 9 से, वर्गमूल (3) लें और जड़ के नीचे से 3 निकालें।
   • √(90)
   • (9×10)
   • (9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों को सरल बनाना।कुछ भावों में, डिग्री के साथ गुणा या पदों के विभाजन के संचालन होते हैं। एक आधार से पदों के गुणन के मामले में, उनकी डिग्री जोड़ दी जाती हैं; समान आधार वाले पदों को विभाजित करने की स्थिति में, उनकी डिग्री घटा दी जाती है।

   • उदाहरण के लिए, व्यंजक 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) पर विचार करें। गुणा के मामले में, घातांक जोड़ें, और भाग के मामले में, उन्हें घटाएं।
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • पदों को एक डिग्री से गुणा और विभाजित करने के नियम की व्याख्या निम्नलिखित है।
     • पदों को घातों से गुणा करना, पदों को अपने आप से गुणा करने के बराबर है। उदाहरण के लिए, चूँकि x 3 = x × x × x और x 5 = x × x × x × x × x, तो x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × एक्स), या एक्स 8।
     • इसी प्रकार, पदों को शक्तियों से विभाजित करना, पदों को स्वयं से विभाजित करने के बराबर है। x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x)। चूँकि अंश और हर दोनों में समान पदों को कम किया जा सकता है, दो "x" या x 2 का गुणनफल अंश में रहता है।

• किसी व्यंजक की शर्तों के सामने हमेशा चिह्नों (धन या ऋण) से अवगत रहें, क्योंकि बहुत से लोगों को सही चिह्न चुनने में कठिनाई होती है।
• जरूरत पड़ने पर मदद मांगें!
• बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बनाना आसान नहीं है, लेकिन यदि आप इस पर अपना हाथ रखते हैं, तो आप इस कौशल का उपयोग जीवन भर कर सकते हैं।

एक बीजीय व्यंजक जिसके अभिलेख में जोड़, घटाव और गुणा की संक्रियाओं के साथ-साथ भाग को शाब्दिक व्यंजकों में भी प्रयोग किया जाता है, भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक कहलाता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव

हम एक बीजीय भिन्न को एक बीजीय व्यंजक कहते हैं जिसमें दो पूर्णांक बीजीय व्यंजकों (उदाहरण के लिए, एकपदी या बहुपद) के विभाजन के भागफल का रूप होता है। ऐसे हैं, उदाहरण के लिए, भाव

भावों का तीसरा)।

भिन्नात्मक बीजगणितीय व्यंजकों के पहचान रूपांतरण अधिकांश भाग के लिए उन्हें बीजगणितीय अंश के रूप में दर्शाने के लिए होते हैं। एक सामान्य हर को खोजने के लिए, भिन्नों के हरों के गुणनखंडन - शब्दों का उपयोग उनके कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जाता है। बीजीय अंशों को कम करते समय, अभिव्यक्तियों की सख्त पहचान का उल्लंघन किया जा सकता है: उन मात्राओं के मूल्यों को बाहर करना आवश्यक है जिन पर वह कारक गायब हो जाता है जिसके द्वारा कमी की जाती है।

आइए हम भिन्नात्मक बीजीय व्यंजकों के समरूप रूपांतरणों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1: एक व्यंजक को सरल कीजिए

सभी पदों को एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है (अंतिम पद के हर में चिन्ह और उसके सामने के चिन्ह को बदलना सुविधाजनक है):

हमारी अभिव्यक्ति इन मूल्यों को छोड़कर सभी मूल्यों के लिए एक के बराबर है, यह परिभाषित नहीं है और अंश में कमी अवैध है)।

उदाहरण 2. व्यंजक को बीजीय भिन्न के रूप में निरूपित करें

फेसला। अभिव्यक्ति को एक सामान्य भाजक के रूप में लिया जा सकता है। हम क्रमिक रूप से पाते हैं:

अभ्यास

1. मापदंडों के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए बीजीय व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए:

2. कारक बनाना।