Fungsi daya, sifat dan grafiknya. Grafik dan sifat dasar fungsi elementer Selesaikan grafik fungsi y x

Kami memilih sistem koordinat persegi panjang pada bidang dan memplot nilai argumen pada sumbu absis X, dan pada sumbu y - nilai fungsi y = f(x).

Grafik Fungsi y = f(x) himpunan semua titik disebut, yang absisnya termasuk dalam domain fungsi, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang sesuai.

Dengan kata lain, grafik fungsi y \u003d f (x) adalah himpunan semua titik pada bidang, koordinatnya X, pada yang memenuhi relasi y = f(x).

Pada ara. 45 dan 46 adalah grafik fungsi y = 2x + 1 Dan y \u003d x 2 - 2x.

Sebenarnya, seseorang harus membedakan antara grafik fungsi (definisi matematis yang tepat yang diberikan di atas) dan kurva yang digambar, yang selalu hanya memberikan sketsa grafik yang kurang lebih akurat (dan bahkan kemudian, sebagai aturan, bukan keseluruhan grafik, tetapi hanya bagiannya yang terletak di bagian akhir bidang). Berikut ini, bagaimanapun, kita biasanya akan mengacu pada "bagan" daripada "sketsa bagan".

Dengan menggunakan grafik, Anda dapat menemukan nilai suatu fungsi di suatu titik. Yakni, jika intinya x = a termasuk dalam ruang lingkup fungsi y = f(x), lalu untuk menemukan nomornya f(a)(yaitu nilai fungsi pada titik x = a) harus melakukannya. Perlu melalui titik dengan absis x = a gambar garis lurus sejajar dengan sumbu y; garis ini akan memotong grafik fungsi y = f(x) di satu titik; ordinat titik ini, berdasarkan definisi grafik, sama dengan f(a)(Gbr. 47).

Misalnya untuk fungsi f(x) = x 2 - 2x menggunakan grafik (Gbr. 46) kita menemukan f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, dst.

Grafik fungsi secara visual mengilustrasikan perilaku dan properti fungsi. Misalnya, dari pertimbangan Gambar. 46 jelas bahwa fungsi y \u003d x 2 - 2x mengambil nilai positif ketika X< 0 dan di x > 2, negatif - pada 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x menerima di x = 1.

Untuk memplot fungsi f(x) Anda perlu menemukan semua titik bidang, koordinat X,pada yang memenuhi persamaan y = f(x). Dalam kebanyakan kasus, ini tidak mungkin, karena ada banyak sekali poin seperti itu. Oleh karena itu, grafik fungsi digambarkan kira-kira - dengan akurasi yang lebih besar atau lebih kecil. Yang paling sederhana adalah metode plot multi-titik. Itu terdiri dari fakta bahwa argumennya X berikan jumlah nilai yang terbatas - katakanlah, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k dan buat tabel yang menyertakan nilai fungsi yang dipilih.

Tabelnya terlihat seperti ini:

Setelah menyusun tabel seperti itu, kita dapat menguraikan beberapa poin pada grafik fungsi tersebut y = f(x). Kemudian, menghubungkan titik-titik ini dengan garis halus, kita mendapatkan gambaran perkiraan grafik fungsi tersebut y = f(x).

Namun, perlu dicatat bahwa metode plot multi-titik sangat tidak dapat diandalkan. Nyatanya, perilaku grafik antara titik-titik yang ditandai dan perilakunya di luar segmen antara titik-titik ekstrim yang diambil masih belum diketahui.

Contoh 1. Untuk memplot fungsi y = f(x) seseorang menyusun tabel argumen dan nilai fungsi:

Lima poin yang sesuai ditunjukkan pada Gambar. 48.

Berdasarkan letak titik-titik tersebut, ia menyimpulkan bahwa grafik fungsinya adalah garis lurus (ditunjukkan pada Gambar 48 dengan garis putus-putus). Bisakah kesimpulan ini dianggap andal? Kecuali ada pertimbangan tambahan untuk mendukung kesimpulan ini, hampir tidak dapat dianggap dapat diandalkan. dapat diandalkan.

Untuk memperkuat pernyataan kami, pertimbangkan fungsinya

Perhitungan menunjukkan bahwa nilai fungsi ini pada titik -2, -1, 0, 1, 2 hanya dijelaskan oleh tabel di atas. Namun, grafik fungsi ini sama sekali bukan garis lurus (ditunjukkan pada Gambar 49). Contoh lain adalah fungsi y = x + l + sinx; maknanya juga dijelaskan dalam tabel di atas.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa dalam bentuknya yang "murni", metode plot multi-titik tidak dapat diandalkan. Oleh karena itu, untuk memplot fungsi tertentu, sebagai aturan, lakukan sebagai berikut. Pertama, sifat-sifat dari fungsi ini dipelajari, dengan bantuan yang memungkinkan untuk membuat sketsa grafik. Kemudian, dengan menghitung nilai fungsi di beberapa titik (pilihannya bergantung pada sifat himpunan fungsi), titik yang sesuai dari grafik ditemukan. Dan akhirnya, sebuah kurva ditarik melalui titik-titik yang dibangun menggunakan sifat-sifat fungsi ini.

Kami akan mempertimbangkan beberapa properti fungsi (yang paling sederhana dan sering digunakan) yang digunakan untuk menemukan sketsa grafik nanti, dan sekarang kami akan menganalisis beberapa metode yang umum digunakan untuk memplot grafik.

Grafik fungsi y = |f(x)|.

Seringkali perlu untuk memplot suatu fungsi y = |f(x)|, dimana f(x) - fungsi yang diberikan. Ingat bagaimana ini dilakukan. Dengan definisi nilai absolut suatu angka, seseorang dapat menulis

Ini berarti bahwa grafik fungsi y=|f(x)| dapat diperoleh dari grafik, fungsi y = f(x) sebagai berikut: semua titik grafik fungsi y = f(x), yang koordinatnya bukan negatif, harus dibiarkan tidak berubah; selanjutnya, alih-alih titik-titik grafik fungsi y = f(x), memiliki koordinat negatif, seseorang harus membuat titik-titik yang sesuai dari grafik fungsi tersebut y = -f(x)(yaitu bagian dari grafik fungsi
y = f(x), yang terletak di bawah sumbu X, harus direfleksikan secara simetris terhadap sumbu X).

Contoh 2 Plot sebuah fungsi y = |x|.

Kami mengambil grafik fungsi y = x(Gbr. 50, a) dan bagian dari grafik ini dengan X< 0 (berbaring di bawah sumbu X) direfleksikan secara simetris terhadap sumbu X. Hasilnya, kami mendapatkan grafik fungsi y = |x|(Gbr. 50, b).

Contoh 3. Plot sebuah fungsi y = |x 2 - 2x|.

Pertama kita memplot fungsi y = x 2 - 2x. Grafik fungsi ini adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, bagian atas parabola memiliki koordinat (1; -1), grafiknya memotong sumbu absis di titik 0 dan 2. Pada interval (0; 2 ) fungsinya mengambil nilai negatif, oleh karena itu bagian grafik ini mencerminkan secara simetris terhadap sumbu x. Gambar 51 menunjukkan grafik fungsi tersebut y \u003d |x 2 -2x |, berdasarkan grafik fungsi y = x 2 - 2x

Grafik fungsi y = f(x) + g(x)

Pertimbangkan masalah memplot fungsi y = f(x) + g(x). jika grafik fungsi diberikan y = f(x) Dan y = g(x).

Perhatikan bahwa domain dari fungsi y = |f(x) + g(х)| adalah himpunan dari semua nilai x yang keduanya fungsi y = f(x) dan y = g(x) didefinisikan, yaitu domain definisi ini adalah persimpangan dari domain definisi, fungsi f(x ) dan g(x).

Biarkan poin (x 0, y 1) Dan (x 0, y 2) masing-masing milik grafik fungsi y = f(x) Dan y = g(x), yaitu y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Maka titik (x0;.y1 + y2) termasuk dalam grafik fungsi y = f(x) + g(x)(untuk f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. dan setiap titik grafik fungsi y = f(x) + g(x) dapat diperoleh dengan cara ini. Oleh karena itu, grafik fungsi y = f(x) + g(x) dapat diperoleh dari grafik fungsi y = f(x). Dan y = g(x) dengan mengganti setiap titik ( xn, y 1) grafik fungsi y = f(x) dot (x n, y 1 + y 2), Di mana y 2 = g (x n), yaitu dengan menggeser setiap titik ( x n, y 1) grafik fungsi y = f(x) sepanjang sumbu pada dengan jumlah y 1 \u003d g (xn). Dalam hal ini, hanya poin-poin tersebut yang dipertimbangkan. X n untuk mana kedua fungsi didefinisikan y = f(x) Dan y = g(x).

Metode ini memplot grafik fungsi y = f(x) + g(x) disebut penjumlahan grafik fungsi y = f(x) Dan y = g(x)

Contoh 4. Pada gambar, dengan metode penambahan grafik, grafik fungsi dibuat
y = x + sinx.

Saat memplot suatu fungsi y = x + sinx kami berasumsi bahwa f(x) = x, A g(x) = sinx. Untuk membangun grafik fungsi, kami memilih titik dengan absis -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Nilai f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx kami akan menghitung pada titik yang dipilih dan menempatkan hasilnya di tabel.

Bangun fungsi

Kami menyampaikan kepada Anda layanan untuk memplot grafik fungsi secara online, semua hak milik perusahaan Desmos. Gunakan kolom kiri untuk memasukkan fungsi. Anda dapat memasukkan secara manual atau menggunakan keyboard virtual di bagian bawah jendela. Untuk memperbesar jendela grafik, Anda dapat menyembunyikan kolom kiri dan keyboard virtual.

Manfaat charting online

Tampilan visual dari fungsi yang diperkenalkan
Membangun grafik yang sangat kompleks
Merencanakan grafik yang didefinisikan secara implisit (misalnya elips x^2/9+y^2/16=1)
Kemampuan untuk menyimpan grafik dan mendapatkan tautan ke grafik tersebut, yang tersedia untuk semua orang di Internet
Kontrol skala, warna garis
Kemampuan untuk memplot grafik dengan poin, penggunaan konstanta
Konstruksi beberapa grafik fungsi secara bersamaan
Merencanakan dalam koordinat kutub (gunakan r dan θ(\theta))

Bersama kami, mudah untuk membuat grafik dengan kompleksitas yang berbeda-beda secara online. Konstruksi dilakukan secara instan. Layanan ini diminta untuk menemukan titik persimpangan fungsi, untuk menampilkan grafik untuk transfer lebih lanjut ke dokumen Word sebagai ilustrasi untuk memecahkan masalah, untuk menganalisis fitur perilaku grafik fungsi. Browser terbaik untuk bekerja dengan bagan di halaman situs ini adalah Google Chrome. Saat menggunakan browser lain, pengoperasian yang benar tidak dijamin.

Salah satu fungsi eksponensial paling terkenal dalam matematika adalah eksponen. Ini adalah nomor Euler yang dinaikkan ke kekuatan yang ditentukan. Di Excel, ada operator terpisah yang memungkinkan Anda menghitungnya. Mari kita lihat bagaimana ini dapat digunakan dalam praktik.

Eksponen adalah bilangan Euler yang dipangkatkan. Bilangan Euler sendiri kurang lebih 2,718281828. Terkadang disebut juga dengan bilangan Napier. Fungsi eksponen terlihat seperti ini:

di mana e adalah bilangan Euler dan n adalah eksponen.

Untuk menghitung indikator ini di Excel, digunakan operator terpisah - EXP. Selain itu, fungsi ini dapat ditampilkan sebagai grafik. Kami akan berbicara tentang bekerja dengan alat ini lebih lanjut.

Metode 1: menghitung eksponen dengan memasukkan fungsi secara manual

EXP(nomor)

Artinya, formula ini hanya berisi satu argumen. Itu hanya mewakili sejauh mana Anda perlu menaikkan nomor Euler. Argumen ini dapat berupa nilai numerik atau berupa referensi ke sel yang berisi indikator derajat.

Metode 2: Menggunakan Wizard Fungsi

Meskipun sintaks untuk menghitung eksponen sangat sederhana, beberapa pengguna lebih suka menggunakannya Panduan Fungsi. Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Jika referensi ke sel yang berisi eksponen digunakan sebagai argumen, Anda harus meletakkan kursor di bidang "Nomor" dan cukup pilih sel itu di lembar. Koordinatnya akan segera ditampilkan di lapangan. Setelah itu, untuk menghitung hasilnya, klik tombol OKE.

Metode 3: memplot grafik

Selain itu, di Excel dimungkinkan untuk membuat grafik berdasarkan hasil yang diperoleh dari penghitungan eksponen. Untuk membuat grafik di atas lembaran, harus sudah ada nilai yang dihitung dari eksponen berbagai derajat. Anda dapat menghitungnya menggunakan salah satu metode yang dijelaskan di atas.

Panjang segmen pada sumbu koordinat ditemukan dengan rumus:

Panjang segmen pada bidang koordinat dicari dengan rumus:

Untuk menemukan panjang segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, rumus berikut digunakan:

Koordinat bagian tengah segmen (untuk sumbu koordinat hanya rumus pertama yang digunakan, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem koordinat tiga dimensi - ketiga rumus) dihitung dengan rumus:

Fungsi adalah korespondensi bentuk y= F(X) antara variabel, karena masing-masing menganggap nilai dari beberapa variabel X(argumen atau variabel independen) sesuai dengan nilai tertentu dari variabel lain, y(variabel dependen, terkadang nilai ini hanya disebut nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi mengasumsikan bahwa satu nilai argumen X hanya ada satu nilai dari variabel dependen pada. Namun, nilainya sama pada dapat diperoleh dengan berbagai X.

Lingkup fungsi adalah semua nilai variabel independen (argumen fungsi, biasanya X) yang fungsinya didefinisikan, yaitu maknanya ada. Domain definisi ditunjukkan D(y). Secara umum, Anda sudah familiar dengan konsep ini. Cakupan suatu fungsi disebut domain nilai yang valid, atau ODZ, yang telah lama dapat Anda temukan.

Rentang fungsi semua nilai yang mungkin dari variabel dependen dari fungsi ini. Dilambangkan e(pada).

Fungsi naik pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi Menurun pada interval di mana nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Interval fungsi adalah interval variabel independen di mana variabel dependen mempertahankan tanda positif atau negatifnya.

Fungsi nol adalah nilai-nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik ini, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Sangat sering, kebutuhan untuk menemukan nol suatu fungsi berarti hanya menyelesaikan persamaan. Juga, sering kali kebutuhan untuk menemukan interval tanda konstan berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan.

Fungsi y = F(X) disebut bahkan X

Ini berarti bahwa untuk nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi genap adalah sama. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y op-amp.

Fungsi y = F(X) disebut aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan terpenuhi:

Ini berarti bahwa untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.

Jumlah akar fungsi genap dan ganjil (titik potong sumbu absis OX) selalu sama dengan nol, karena untuk setiap akar positif X memiliki akar negatif X.

Penting untuk dicatat bahwa beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang bukan genap dan bukan ganjil. Fungsi seperti itu disebut fungsi umum, dan tidak satu pun dari persamaan atau properti di atas berlaku untuknya.

Fungsi linear disebut fungsi yang dapat diberikan oleh rumus:

Grafik fungsi linier adalah garis lurus dan dalam kasus umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus ketika k> 0, dalam hal ini fungsinya meningkat; untuk acara ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)

Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:

Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX pada titik-titik yang merupakan akarnya: ( X 1 ; 0) dan ( X 2; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX, jika ada satu akar, maka pada titik ini ( X 0; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX, tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu memotong sumbu OY pada titik dengan koordinat: (0; C). Grafik fungsi kuadrat (parabola) mungkin terlihat seperti ini (gambar menunjukkan contoh yang jauh dari menghabiskan semua jenis parabola yang mungkin):

Di mana:

jika koefisien A> 0, dalam fungsi y = kapak 2 + bx + C, maka cabang parabola diarahkan ke atas;
jika A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinat puncak parabola dapat dihitung menggunakan rumus berikut. X atasan (P- pada gambar di atas) parabola (atau titik di mana trinomial kuadrat mencapai nilai maksimum atau minimumnya):

Y atasan (Q- pada gambar di atas) parabola atau maksimum jika cabang parabola diarahkan ke bawah ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), nilai trinomial kuadrat:

Grafik fungsi lainnya

fungsi daya

Berikut adalah beberapa contoh grafik fungsi daya:

Ketergantungan berbanding terbalik panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:

Tergantung pada tanda nomornya k Grafik proporsional terbalik dapat memiliki dua opsi mendasar:

Asimtot adalah garis yang mendekati garis grafik fungsi yang sangat dekat, tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk grafik proporsionalitas terbalik yang ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat, yang mendekati grafik fungsi yang sangat dekat, tetapi tidak memotongnya.

Fungsi eksponensial dengan basis A panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:

A grafik fungsi eksponensial dapat memiliki dua opsi mendasar (kami juga akan memberikan contoh, lihat di bawah):

fungsi logaritma panggil fungsi yang diberikan oleh rumus:

Bergantung pada apakah jumlahnya lebih besar atau lebih kecil dari satu A Grafik fungsi logaritmik dapat memiliki dua opsi mendasar:

Grafik Fungsi y = |X| sebagai berikut:

Grafik fungsi periodik (trigonometri).

Fungsi pada = F(X) disebut berkala, jika ada bilangan bukan nol seperti itu T, Apa F(X + T) = F(X), untuk siapa saja X diluar ruang lingkup fungsi F(X). Jika fungsi F(X) periodik dengan periode T, maka fungsinya:

Di mana: A, k, B adalah bilangan konstan, dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1 , yang ditentukan dengan rumus:

Sebagian besar contoh fungsi periodik adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik fungsi trigonometri utama. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi y= dosa X(seluruh grafik berlanjut tanpa batas ke kiri dan kanan), grafik fungsi y= dosa X ditelepon sinusoidal:

Grafik Fungsi y= cos X ditelepon gelombang kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus, itu berlanjut tanpa batas di sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:

Grafik Fungsi y=tg X ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.

Dan terakhir, grafik fungsi y=ctg X ditelepon cotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan.

Kembali
Maju

Bagaimana cara mempersiapkan CT dalam Fisika dan Matematika dengan sukses?

Agar berhasil mempersiapkan CT dalam Fisika dan Matematika, antara lain, tiga kondisi kritis harus dipenuhi:

Pelajari semua topik dan selesaikan semua tes dan tugas yang diberikan dalam bahan pelajaran di situs ini. Untuk melakukan ini, Anda tidak memerlukan apa pun, yaitu: mencurahkan tiga hingga empat jam setiap hari untuk mempersiapkan CT dalam fisika dan matematika, mempelajari teori, dan memecahkan masalah. Faktanya adalah bahwa DT adalah ujian yang tidak cukup hanya dengan mengetahui fisika atau matematika, Anda juga harus dapat dengan cepat dan tanpa kegagalan menyelesaikan banyak masalah tentang berbagai topik dan kompleksitas yang berbeda-beda. Yang terakhir hanya bisa dipelajari dengan memecahkan ribuan masalah.
Pelajari semua rumus dan hukum dalam fisika, serta rumus dan metode dalam matematika. Nyatanya, ini juga sangat sederhana untuk dilakukan, hanya ada sekitar 200 rumus yang diperlukan dalam fisika, dan bahkan lebih sedikit dalam matematika. Dalam setiap mata pelajaran ini terdapat sekitar selusin metode standar untuk memecahkan masalah dengan tingkat kerumitan dasar, yang juga dapat dipelajari, dan dengan demikian, sepenuhnya otomatis dan tanpa kesulitan, menyelesaikan sebagian besar transformasi digital pada waktu yang tepat. Setelah itu, Anda hanya perlu memikirkan tugas yang paling sulit.
Menghadiri ketiga tahap pengujian latihan dalam fisika dan matematika. Setiap RT dapat dikunjungi dua kali untuk menyelesaikan kedua opsi tersebut. Sekali lagi, di CT, selain kemampuan menyelesaikan masalah dengan cepat dan efisien, serta pengetahuan tentang rumus dan metode, juga diperlukan kemampuan untuk merencanakan waktu dengan baik, mendistribusikan kekuatan, dan yang terpenting mengisi formulir jawaban dengan benar. , tanpa membingungkan jumlah jawaban dan tugas, atau nama Anda sendiri. Selain itu, selama RT, penting untuk membiasakan diri dengan gaya mengajukan pertanyaan dalam tugas, yang mungkin tampak sangat tidak biasa bagi orang yang tidak siap di DT.

Pemenuhan ketiga poin ini dengan sukses, rajin, dan bertanggung jawab, serta studi yang bertanggung jawab atas tes pelatihan akhir, akan memungkinkan Anda untuk menunjukkan hasil yang sangat baik pada CT, maksimal dari kemampuan Anda.

Menemukan kesalahan?

Jika menurut Anda, Anda telah menemukan kesalahan dalam materi pelatihan, silakan tulis tentang itu melalui email (). Dalam surat tersebut, tunjukkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau tes, nomor tugas, atau tempat di teks (halaman) yang menurut Anda ada kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.

Pertama, coba temukan ruang lingkup fungsi:

Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan jawabannya:

Baiklah? Bagus sekali!

Sekarang mari kita coba mencari jangkauan fungsi:

Ditemukan? Membandingkan:

Apakah itu setuju? Bagus sekali!

Mari bekerja dengan grafik lagi, hanya saja sekarang sedikit lebih sulit - untuk menemukan domain fungsi dan jangkauan fungsi.

Cara Menemukan Domain dan Rentang Fungsi (Lanjutan)

Inilah yang terjadi:

Dengan grafik, saya pikir Anda sudah menemukannya. Sekarang mari kita coba mencari domain fungsi sesuai dengan rumus (jika Anda tidak tahu bagaimana melakukannya, baca bagian tentang):

Apakah Anda berhasil? Memeriksa jawaban:

, karena ekspresi root harus lebih besar dari atau sama dengan nol.
, karena tidak mungkin membagi dengan nol dan ekspresi radikal tidak boleh negatif.
, karena, masing-masing, untuk semua.
karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.

Namun, kami masih memiliki satu momen lagi yang belum diselesaikan ...

Biarkan saya mengulangi definisi dan fokus padanya:

Diperhatikan? Kata "hanya" adalah elemen yang sangat, sangat penting dari definisi kita. Saya akan mencoba menjelaskan kepada Anda dengan jari.

Katakanlah kita memiliki fungsi yang diberikan oleh garis lurus. . Kapan, kami mengganti nilai ini ke dalam "aturan" kami dan mendapatkannya. Satu nilai sesuai dengan satu nilai. Kami bahkan dapat membuat tabel dari berbagai nilai dan memplot fungsi yang diberikan untuk memverifikasi ini.

"Lihat! - Anda berkata, - "" bertemu dua kali!" Jadi mungkinkah parabola itu bukan fungsi? Tidak, itu benar!

Fakta bahwa "" muncul dua kali bukanlah alasan untuk menuduh parabola itu ambigu!

Faktanya adalah, saat menghitung, kami mendapat satu game. Dan saat menghitung dengan, kami mendapat satu game. Jadi benar, parabola adalah fungsi. Lihat grafiknya:

Mengerti? Jika tidak, inilah contoh kehidupan nyata untuk Anda, jauh dari matematika!

Katakanlah kita memiliki sekelompok pelamar yang bertemu saat menyerahkan dokumen, yang masing-masing menceritakan dalam percakapan di mana dia tinggal:

Setuju, cukup realistis bahwa beberapa pria tinggal di kota yang sama, tetapi tidak mungkin satu orang tinggal di beberapa kota pada waktu yang bersamaan. Ini, seolah-olah, representasi logis dari "parabola" kami - Beberapa x berbeda sesuai dengan y yang sama.

Sekarang mari kita berikan contoh di mana dependensi bukanlah sebuah fungsi. Katakanlah orang-orang yang sama ini memberi tahu spesialisasi apa yang mereka lamar:

Di sini kami memiliki situasi yang sama sekali berbeda: satu orang dapat dengan mudah melamar satu atau beberapa arah. Itu adalah satu elemen set dimasukkan ke dalam korespondensi beberapa elemen set. Masing-masing, itu bukan fungsi.

Mari kita uji pengetahuan Anda dalam praktik.

Tentukan dari gambar mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan:

Mengerti? Dan ini dia jawaban:

Fungsinya adalah - B,E.
Bukan fungsi - A, B, D, D.

Anda bertanya mengapa? Ya, inilah alasannya:

Dalam semua gambar kecuali DI DALAM) Dan E) ada beberapa untuk satu!

Saya yakin sekarang Anda dapat dengan mudah membedakan fungsi dari non-fungsi, mengatakan apa itu argumen dan apa itu variabel dependen, dan juga menentukan ruang lingkup argumen dan ruang lingkup fungsi. Mari beralih ke bagian selanjutnya - bagaimana cara mendefinisikan suatu fungsi?

Cara mengatur fungsi

Menurut Anda apa arti kata-kata itu "mengatur fungsi"? Benar, artinya menjelaskan kepada semua orang fungsi apa yang kita bicarakan dalam kasus ini. Selain itu, jelaskan sedemikian rupa sehingga semua orang memahami Anda dengan benar dan grafik fungsi yang digambar orang menurut penjelasan Anda sama.

Bagaimana saya bisa melakukan itu? Bagaimana cara mengatur fungsi? Cara termudah, yang telah digunakan lebih dari sekali dalam artikel ini - menggunakan rumus. Kami menulis rumus, dan dengan mengganti nilai ke dalamnya, kami menghitung nilainya. Dan seperti yang Anda ingat, rumus adalah hukum, aturan yang menjadi jelas bagi kita dan orang lain bagaimana X berubah menjadi Y.

Biasanya, inilah yang mereka lakukan - dalam tugas kita melihat fungsi siap pakai yang ditentukan oleh rumus, namun, ada cara lain untuk menyetel fungsi yang dilupakan semua orang, dan oleh karena itu pertanyaan "bagaimana lagi Anda bisa menyetel fungsi?" membingungkan. Mari kita lihat semuanya secara berurutan, dan mulai dengan metode analitik.

Cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi

Metode analitik adalah tugas suatu fungsi dengan menggunakan rumus. Ini adalah cara yang paling universal dan komprehensif dan tidak ambigu. Jika Anda memiliki rumus, maka Anda benar-benar tahu segalanya tentang fungsi tersebut - Anda dapat membuat tabel nilai di atasnya, Anda dapat membuat grafik, menentukan di mana fungsi bertambah dan berkurang, secara umum, jelajahi sepenuhnya.

Mari kita pertimbangkan suatu fungsi. Apa bedanya?

"Apa artinya?" - Anda bertanya. Saya akan menjelaskan sekarang.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa dalam notasi, ekspresi dalam tanda kurung disebut argumen. Dan argumen ini bisa berupa ungkapan apa saja, tidak harus sederhana. Oleh karena itu, apa pun argumennya (ekspresi dalam tanda kurung), kami akan menuliskannya di dalam ekspresi.

Dalam contoh kita, akan terlihat seperti ini:

Pertimbangkan tugas lain yang terkait dengan metode analitik untuk menentukan fungsi yang akan Anda miliki dalam ujian.

Temukan nilai ekspresi, di.

Saya yakin pada awalnya, Anda takut ketika melihat ekspresi seperti itu, tetapi sama sekali tidak ada yang menakutkan di dalamnya!

Semuanya sama seperti pada contoh sebelumnya: apa pun argumennya (ekspresi dalam tanda kurung), kami akan menuliskannya di ekspresi. Misalnya untuk fungsi.

Apa yang harus dilakukan dalam contoh kita? Sebagai gantinya, Anda perlu menulis, dan bukannya -:

mempersingkat ekspresi yang dihasilkan:

Itu saja!

Pekerjaan mandiri

Sekarang coba cari sendiri arti dari ungkapan berikut:

, Jika
, Jika

Apakah Anda berhasil? Mari bandingkan jawaban kita: Kita terbiasa dengan fakta bahwa fungsi memiliki bentuk

Bahkan dalam contoh kami, kami mendefinisikan fungsi dengan cara ini, tetapi secara analitis dimungkinkan untuk mendefinisikan fungsi secara implisit, misalnya.

Coba buat sendiri fungsi ini.

Apakah Anda berhasil?

Begini cara saya membangunnya.

Persamaan apa yang kita dapatkan?

Benar! Linear, artinya grafik akan berupa garis lurus. Mari buat tabel untuk menentukan titik mana yang termasuk dalam garis kita:

Itulah yang kami bicarakan ... Satu sesuai dengan beberapa.

Mari kita coba menggambar apa yang terjadi:

Apakah yang kita dapatkan merupakan fungsi?

Itu benar, tidak! Mengapa? Coba jawab pertanyaan ini dengan gambar. Apa yang kamu dapatkan?

"Karena satu nilai sesuai dengan beberapa nilai!"

Kesimpulan apa yang bisa kita tarik dari ini?

Benar, sebuah fungsi tidak selalu dapat diekspresikan secara eksplisit, dan apa yang "menyamar" sebagai sebuah fungsi tidak selalu merupakan sebuah fungsi!

Cara tabular untuk mendefinisikan suatu fungsi

Seperti namanya, metode ini adalah piring sederhana. Ya ya. Seperti yang sudah kami buat. Misalnya:

Di sini Anda segera melihat sebuah pola - Y tiga kali lebih besar dari X. Dan sekarang tugas "berpikir dengan sangat baik": apakah menurut Anda fungsi yang diberikan dalam bentuk tabel setara dengan fungsi?

Jangan bicara lama-lama, tapi ayo menggambar!

Jadi. Kami menggambar fungsi yang diberikan dalam dua cara:

Apakah Anda melihat perbedaannya? Ini bukan tentang poin yang ditandai! Lihat lebih dekat:

Sudahkah Anda melihatnya sekarang? Saat kita mengatur fungsi dengan cara tabel, kita merefleksikan pada grafik hanya titik-titik yang kita miliki di tabel dan garis (seperti dalam kasus kita) hanya melewatinya. Saat kita mendefinisikan suatu fungsi dengan cara analitik, kita dapat mengambil poin apa pun, dan fungsi kita tidak terbatas pada poin tersebut. Inilah fitur seperti itu. Ingat!

Cara grafis untuk membangun fungsi

Cara grafis untuk membangun suatu fungsi tidak kalah nyamannya. Kami menggambar fungsi kami, dan orang lain yang tertarik dapat menemukan apa yang sama dengan y pada x tertentu, dan seterusnya. Metode grafis dan analitik adalah yang paling umum.

Namun, di sini Anda perlu mengingat apa yang kita bicarakan di awal - tidak semua "coretan" yang digambar dalam sistem koordinat adalah fungsi! Ingat? Untuk berjaga-jaga, saya akan menyalin di sini definisi dari apa fungsi itu:

Biasanya, orang biasanya menyebutkan dengan tepat tiga cara untuk menentukan fungsi yang telah kami analisis - analitik (menggunakan rumus), tabel dan grafik, sama sekali lupa bahwa suatu fungsi dapat dijelaskan secara verbal. Seperti ini? Ya, sangat mudah!

Deskripsi verbal dari fungsi

Bagaimana cara mendeskripsikan fungsi secara verbal? Mari kita ambil contoh terbaru kita - . Fungsi ini dapat dijelaskan sebagai "setiap nilai riil x sesuai dengan nilai tripelnya." Itu saja. Tidak ada yang rumit. Tentu saja, Anda akan keberatan - "ada fungsi yang begitu rumit sehingga tidak mungkin diatur secara verbal!" Ya, ada beberapa, tetapi ada fungsi yang lebih mudah dijelaskan secara verbal daripada diatur dengan rumus. Misalnya: "setiap nilai alami dari x sesuai dengan selisih antara digit-digit penyusunnya, sedangkan digit terbesar yang terdapat dalam entri angka diambil sebagai minuend." Sekarang pertimbangkan bagaimana deskripsi verbal kita tentang fungsi diimplementasikan dalam praktik:

Digit terbesar dalam angka tertentu -, masing-masing, - dikurangi, lalu:

Jenis fungsi utama

Sekarang mari beralih ke yang paling menarik - kami akan mempertimbangkan jenis fungsi utama yang Anda gunakan / bekerja dan akan bekerja selama sekolah dan institut matematika, yaitu, kami akan mengenalnya, boleh dikatakan, dan beri mereka deskripsi singkat. Baca lebih lanjut tentang setiap fungsi di bagian terkait.

Fungsi linear

Fungsi bentuk, di mana, adalah bilangan real.

Grafik fungsi ini berupa garis lurus, sehingga konstruksi fungsi linier direduksi menjadi mencari koordinat dua titik.

Posisi garis lurus pada bidang koordinat bergantung pada kemiringan.

Cakupan fungsi (alias rentang argumen) - .

Rentang nilainya adalah .

fungsi kuadrat

Fungsi bentuk, dimana

Grafik fungsinya adalah parabola, bila cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, bila - ke atas.

Banyak sifat fungsi kuadrat bergantung pada nilai diskriminan. Diskriminan dihitung dengan rumus

Posisi parabola pada bidang koordinat relatif terhadap nilai dan koefisien ditunjukkan pada gambar:

Domain

Kisaran nilai tergantung pada ekstrem dari fungsi yang diberikan (puncak parabola) dan koefisien (arah cabang parabola)

Proporsionalitas terbalik

Fungsi yang diberikan oleh rumus, di mana

Angka tersebut disebut faktor proporsionalitas terbalik. Bergantung pada nilainya, cabang-cabang hiperbola berada di kotak yang berbeda:

Domain - .