Tidak mungkin bahwa setidaknya satu tahun dalam kehidupan kantor editorial kami berlalu tanpa menerima selusin bukti teorema Fermat. Sekarang, setelah "kemenangan" atasnya, arusnya mereda, tapi belum mengering.

Tentu saja, agar tidak benar-benar kering, kami menerbitkan artikel ini. Dan bukan dalam pembelaan saya sendiri - itu, kata mereka, itu sebabnya kami diam, kami sendiri belum dewasa untuk membahas masalah yang begitu rumit.

Tetapi jika artikelnya benar-benar terlihat rumit, langsung saja lihat bagian akhirnya. Anda harus merasakan bahwa nafsu telah mereda untuk sementara, sains belum berakhir, dan bukti baru dari teorema baru akan segera dikirim ke editor.

Nampaknya abad ke-20 tidak sia-sia. Pertama, manusia menciptakan Matahari kedua sesaat dengan meledakkan bom hidrogen. Kemudian mereka berjalan di bulan dan akhirnya membuktikan teorema Fermat yang terkenal itu. Dari ketiga keajaiban ini, dua yang pertama ada di bibir setiap orang, karena memiliki konsekuensi sosial yang sangat besar. Sebaliknya, keajaiban ketiga tampak seperti mainan ilmiah lainnya - setara dengan teori relativitas, mekanika kuantum, dan teorema Gödel tentang ketidaklengkapan aritmatika. Namun, relativitas dan kuanta mengarahkan fisikawan ke bom hidrogen, dan penelitian matematikawan memenuhi dunia kita dengan komputer. Akankah rangkaian keajaiban ini berlanjut hingga abad ke-21? Apakah mungkin untuk melacak hubungan antara mainan ilmiah berikutnya dan revolusi dalam kehidupan kita sehari-hari? Apakah koneksi ini memungkinkan kita membuat prediksi yang berhasil? Mari kita coba memahaminya menggunakan contoh teorema Fermat.

Mari kita perhatikan sebagai permulaan bahwa dia dilahirkan jauh lebih lambat dari masa alaminya. Lagi pula, kasus khusus pertama dari teorema Fermat adalah persamaan Pythagoras X 2 + Y 2 = Z 2 , yang menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. Setelah membuktikan rumus ini dua puluh lima abad yang lalu, Pythagoras segera bertanya pada dirinya sendiri: apakah ada banyak segitiga di alam yang kedua kaki dan sisi miringnya memiliki panjang bilangan bulat? Tampaknya orang Mesir hanya mengenal satu segitiga seperti itu - dengan sisi (3, 4, 5). Tetapi tidak sulit untuk menemukan opsi lain: misalnya (5, 12, 13) , (7, 24, 25) atau (8, 15, 17) . Dalam semua kasus ini, panjang sisi miring berbentuk (A 2 + B 2), di mana A dan B adalah bilangan koprime dengan paritas berbeda. Dalam hal ini, panjang kaki sama dengan (A 2 - B 2) dan 2AB.

Memperhatikan hubungan ini, Pythagoras dengan mudah membuktikan bahwa bilangan tiga kali lipat (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) adalah solusi dari persamaan X 2 + Y 2 \u003d Z 2 dan atur persegi panjang dengan panjang sisi yang saling sederhana. Juga terlihat bahwa jumlah tiga kali lipat yang berbeda dari jenis ini tidak terbatas. Tetapi apakah semua solusi persamaan Pythagoras memiliki bentuk ini? Pythagoras tidak dapat membuktikan atau menyangkal hipotesis semacam itu dan menyerahkan masalah ini kepada anak cucu tanpa menarik perhatiannya. Siapa yang ingin menyoroti kegagalan mereka? Tampaknya setelah itu masalah integral segitiga siku-siku terlupakan selama tujuh abad - sampai seorang jenius matematika baru bernama Diophantus muncul di Alexandria.

Kami hanya tahu sedikit tentang dia, tetapi jelas bahwa dia tidak seperti Pythagoras. Dia merasa seperti raja dalam geometri dan bahkan lebih jauh - baik dalam musik, astronomi, atau politik. Koneksi aritmatika pertama antara panjang sisi harpa yang harmonis, model pertama Semesta dari bola konsentris yang membawa planet dan bintang, dengan Bumi di tengahnya, dan terakhir, republik ilmuwan pertama di kota Crotone Italia - ini adalah pencapaian pribadi Pythagoras. Apa yang bisa ditentang Diophantus atas kesuksesan seperti itu - seorang peneliti sederhana dari Museum besar, yang telah lama tidak lagi menjadi kebanggaan masyarakat kota?

Hanya satu hal: pemahaman yang lebih baik tentang dunia angka kuno, hukum yang hampir tidak sempat dirasakan oleh Pythagoras, Euclid, dan Archimedes. Perhatikan bahwa Diophantus belum menguasai sistem posisi penulisan bilangan besar, tetapi dia tahu apa itu bilangan negatif dan mungkin menghabiskan banyak waktu untuk memikirkan mengapa hasil kali dua bilangan negatif itu positif. Dunia bilangan bulat pertama kali diungkapkan kepada Diophantus sebagai alam semesta khusus, berbeda dari dunia bintang, segmen, atau polihedra. Pekerjaan utama para ilmuwan di dunia ini adalah menyelesaikan persamaan, seorang master sejati menemukan semua solusi yang mungkin dan membuktikan bahwa tidak ada solusi lain. Inilah yang dilakukan Diophantus dengan persamaan kuadrat Pythagoras, dan kemudian dia berpikir: apakah setidaknya satu solusi memiliki persamaan kubik yang sama X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diophantus gagal menemukan solusi seperti itu, usahanya untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi juga tidak berhasil. Oleh karena itu, menyusun hasil karyanya dalam buku "Aritmatika" (itu adalah buku teks pertama di dunia tentang teori bilangan), Diophantus menganalisis persamaan Pythagoras secara mendetail, tetapi tidak mengisyaratkan sepatah kata pun tentang kemungkinan generalisasi persamaan ini. Tapi dia bisa: lagipula, Diophantus-lah yang pertama kali mengusulkan notasi pangkat bilangan bulat! Namun sayang: konsep "buku tugas" asing bagi sains dan pedagogi Hellenic, dan menerbitkan daftar masalah yang belum terpecahkan dianggap sebagai pekerjaan yang tidak senonoh (hanya Socrates yang bertindak berbeda). Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah - tutup mulut! Diophantus terdiam, dan keheningan ini berlangsung selama empat belas abad - hingga permulaan Zaman Baru, ketika minat pada proses pemikiran manusia dihidupkan kembali.

Siapa yang tidak berfantasi tentang apa pun pada pergantian abad 16-17! Kalkulator yang tak kenal lelah Kepler mencoba menebak hubungan antara jarak dari Matahari ke planet-planet. Pythagoras gagal. Kesuksesan Kepler datang setelah dia belajar bagaimana mengintegrasikan polinomial dan fungsi sederhana lainnya. Sebaliknya, si pemimpi Descartes tidak menyukai perhitungan yang panjang, tetapi dialah yang pertama kali menampilkan semua titik bidang atau ruang sebagai kumpulan angka. Model yang berani ini mereduksi masalah geometris apa pun tentang angka menjadi beberapa masalah aljabar tentang persamaan - dan sebaliknya. Misalnya, solusi bilangan bulat dari persamaan Pythagoras sesuai dengan titik bilangan bulat pada permukaan kerucut. Permukaan yang sesuai dengan persamaan kubik X 3 + Y 3 = Z 3 terlihat lebih rumit, sifat geometrisnya tidak menyarankan apa pun kepada Pierre Fermat, dan dia harus membuka jalur baru melalui belantara bilangan bulat.

Pada tahun 1636, sebuah buku karya Diophantus, yang baru saja diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dari bahasa asli Yunani, jatuh ke tangan seorang pengacara muda dari Toulouse, yang secara tidak sengaja bertahan di beberapa arsip Bizantium dan dibawa ke Italia oleh salah satu buronan Romawi pada zaman Turki. menghancurkan. Membaca diskusi elegan tentang persamaan Pythagoras, Fermat berpikir: mungkinkah menemukan solusi seperti itu, yang terdiri dari tiga bilangan kuadrat? Tidak ada jumlah kecil seperti ini: mudah untuk memverifikasi ini dengan pencacahan. Bagaimana dengan keputusan besar? Tanpa komputer, Fermat tidak dapat melakukan eksperimen numerik. Tetapi dia memperhatikan bahwa untuk setiap solusi "besar" dari persamaan X 4 + Y 4 = Z 4, seseorang dapat membuat solusi yang lebih kecil. Jadi jumlah pangkat empat dari dua bilangan bulat tidak pernah sama dengan pangkat yang sama dari bilangan ketiga! Bagaimana dengan jumlah dua kubus?

Terinspirasi oleh kesuksesan gelar 4, Fermat mencoba memodifikasi "metode keturunan" untuk gelar 3 - dan berhasil. Ternyata tidak mungkin untuk menyusun dua kubus kecil dari kubus tunggal itu di mana sebuah kubus besar dengan panjang bilangan bulat dari tepinya hancur berantakan. Fermat yang menang membuat catatan singkat di pinggir buku Diophantus dan mengirim surat ke Paris dengan laporan terperinci tentang penemuannya. Tetapi dia tidak menerima jawaban - meskipun biasanya ahli matematika dari ibu kota bereaksi cepat terhadap kesuksesan berikutnya dari satu-satunya rekan saingan mereka di Toulouse. Ada apa di sini?

Sederhananya: pada pertengahan abad ke-17, aritmatika sudah ketinggalan zaman. Keberhasilan besar ahli aljabar Italia abad ke-16 (ketika persamaan polinomial derajat 3 dan 4 diselesaikan) tidak menjadi awal dari revolusi ilmiah umum, karena mereka tidak mengizinkan penyelesaian masalah cemerlang baru di bidang sains yang berdekatan. Sekarang, jika Kepler bisa menebak orbit planet menggunakan aritmatika murni ... Namun sayang, ini membutuhkan analisis matematis. Artinya, itu harus dikembangkan - hingga kemenangan penuh metode matematika dalam ilmu alam! Tetapi analisis tumbuh dari geometri, sementara aritmatika tetap menjadi bidang permainan bagi pengacara yang menganggur dan pecinta ilmu angka dan angka yang abadi.

Jadi, keberhasilan aritmatika Fermat ternyata tidak tepat waktu dan tetap tidak dihargai. Dia tidak kecewa dengan ini: untuk ketenaran seorang ahli matematika, fakta kalkulus diferensial, geometri analitik, dan teori probabilitas diungkapkan kepadanya untuk pertama kalinya. Semua penemuan Fermat ini segera memasuki dana emas ilmu pengetahuan Eropa yang baru, sementara teori bilangan menghilang selama seratus tahun lagi - sampai Euler dihidupkan kembali.

"Raja ahli matematika" abad ke-18 ini adalah juara dalam semua aplikasi analisis, tetapi dia juga tidak mengabaikan aritmatika, karena metode analisis baru menghasilkan fakta tak terduga tentang angka. Siapa yang mengira bahwa jumlah kuadrat terbalik yang tak terbatas (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) sama dengan π 2/6? Siapa di antara orang Hellenes yang dapat meramalkan bahwa deret serupa akan memungkinkan untuk membuktikan irasionalitas bilangan π?

Keberhasilan seperti itu memaksa Euler untuk membaca ulang manuskrip Fermat yang masih ada dengan hati-hati (untungnya, putra dari orang Prancis yang hebat berhasil menerbitkannya). Benar, bukti "teorema besar" untuk derajat 3 belum dipertahankan, tetapi Euler dengan mudah memulihkannya hanya dengan menunjuk ke "metode keturunan", dan segera mencoba mentransfer metode ini ke tingkat prima berikutnya - 5.

Itu tidak ada! Dalam penalaran Euler, bilangan kompleks muncul yang tidak diperhatikan oleh Fermat (seperti banyak penemu yang biasa). Tetapi faktorisasi bilangan bulat kompleks adalah masalah yang rumit. Bahkan Euler tidak sepenuhnya memahaminya dan mengesampingkan "masalah Fermat", terburu-buru menyelesaikan pekerjaan utamanya - buku teks "Fundamentals of Analysis", yang seharusnya membantu setiap pemuda berbakat untuk berdiri sejajar dengan Leibniz dan Euler. Penerbitan buku teks selesai di St. Petersburg pada 1770. Tetapi Euler tidak kembali ke teorema Fermat, yakin bahwa segala sesuatu yang disentuh tangan dan pikirannya tidak akan dilupakan oleh pemuda ilmiah baru.

Dan begitulah yang terjadi: orang Prancis Adrien Legendre menjadi penerus Euler dalam teori bilangan. Pada akhir abad ke-18, dia menyelesaikan pembuktian teorema Fermat untuk gelar 5 - dan meskipun dia gagal untuk bilangan prima yang besar, dia menyusun buku teks lain tentang teori bilangan. Semoga para pembaca mudanya melampaui penulis dengan cara yang sama seperti para pembaca Prinsip Matematika Filsafat Alam melampaui Newton yang agung! Legendre bukanlah tandingan Newton atau Euler, tetapi ada dua orang jenius di antara para pembacanya: Carl Gauss dan Evariste Galois.

Konsentrasi para jenius yang begitu tinggi difasilitasi oleh Revolusi Prancis, yang memproklamasikan kultus akal budi negara. Setelah itu, setiap ilmuwan berbakat merasa seperti Columbus atau Alexander Agung, mampu menemukan atau menaklukkan dunia baru. Banyak yang berhasil, itulah sebabnya pada abad ke-19 kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi menjadi pendorong utama evolusi umat manusia, dan semua penguasa yang berakal sehat (dimulai dengan Napoleon) menyadari hal ini.

Gauss memiliki karakter yang mirip dengan Columbus. Tetapi dia (seperti Newton) tidak tahu bagaimana memikat imajinasi para penguasa atau siswa dengan pidato yang indah, dan karena itu membatasi ambisinya pada bidang konsep ilmiah. Di sini dia bisa melakukan apapun yang dia inginkan. Misalnya, masalah kuno dari tiga bagian sudut karena alasan tertentu tidak dapat diselesaikan dengan kompas dan garis lurus. Dengan bantuan bilangan kompleks yang menggambarkan titik-titik bidang, Gauss menerjemahkan masalah ini ke dalam bahasa aljabar - dan memperoleh teori umum tentang kelayakan konstruksi geometris tertentu. Jadi, pada saat yang sama, bukti yang kuat tentang ketidakmungkinan membangun 7- atau 9-gon biasa dengan kompas dan penggaris muncul, dan cara membangun 17-gon biasa seperti itu, yang dilakukan oleh ahli geometri Hellas yang paling bijaksana. bukan mimpi.

Tentu saja, kesuksesan tersebut tidak diberikan dengan sia-sia: seseorang harus menemukan konsep-konsep baru yang mencerminkan esensi masalah tersebut. Newton memperkenalkan tiga konsep seperti itu: fluks (turunan), fasih (integral) dan deret daya. Mereka cukup untuk membuat analisis matematis dan model ilmiah pertama dari dunia fisik, termasuk mekanika dan astronomi. Gauss juga memperkenalkan tiga konsep baru: ruang vektor, bidang, dan cincin. Aljabar baru tumbuh dari mereka, menundukkan aritmatika Yunani dan teori fungsi numerik yang diciptakan oleh Newton. Itu tetap untuk menundukkan logika yang dibuat oleh Aristoteles ke aljabar: maka dimungkinkan untuk membuktikan deducibility atau non-derivability dari pernyataan ilmiah apa pun dari kumpulan aksioma ini dengan bantuan perhitungan! Misalnya, apakah teorema Fermat berasal dari aksioma aritmatika, atau apakah dalil Euclid tentang garis sejajar diturunkan dari aksioma planimetri lainnya?

Gauss tidak punya waktu untuk mewujudkan mimpi yang berani ini - meskipun dia maju jauh dan menebak kemungkinan adanya aljabar eksotis (non-komutatif). Hanya Nikolai Lobachevsky dari Rusia yang berani yang berhasil membangun geometri non-Euclidean pertama, dan aljabar non-komutatif pertama (Teori Grup) dikelola oleh orang Prancis Evariste Galois. Dan hanya setelah kematian Gauss - pada tahun 1872 - Felix Klein muda dari Jerman menebak bahwa variasi geometri yang mungkin dapat dibawa ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan variasi aljabar yang mungkin. Sederhananya, setiap geometri ditentukan oleh grup simetrinya - sementara aljabar umum mempelajari semua kemungkinan grup dan propertinya.

Tetapi pemahaman geometri dan aljabar seperti itu muncul jauh kemudian, dan serangan terhadap teorema Fermat berlanjut selama masa hidup Gauss. Dia sendiri mengabaikan teorema Fermat karena prinsip: bukan urusan raja untuk menyelesaikan masalah individu yang tidak sesuai dengan teori ilmiah yang cemerlang! Tetapi para siswa Gauss, dipersenjatai dengan aljabar barunya dan analisis klasik Newton dan Euler, beralasan berbeda. Pertama, Peter Dirichlet membuktikan teorema Fermat untuk derajat 7 menggunakan cincin bilangan bulat kompleks yang dihasilkan oleh akar derajat kesatuan ini. Kemudian Ernst Kummer memperluas metode Dirichlet ke SEMUA derajat prima (!) - menurutnya terburu-buru, dan dia menang. Namun segera muncul kesadaran: buktinya lolos dengan sempurna hanya jika setiap elemen cincin secara unik didekomposisi menjadi faktor prima! Untuk bilangan bulat biasa, fakta ini sudah diketahui Euclid, tetapi hanya Gauss yang memberikan bukti kuatnya. Tapi bagaimana dengan seluruh bilangan kompleks?

Menurut "prinsip kerusakan terbesar", dapat dan HARUS terjadi faktorisasi yang ambigu! Segera setelah Kummer belajar menghitung tingkat ambiguitas dengan metode analisis matematis, dia menemukan trik kotor ini di atas ring untuk tingkat 23. Gauss tidak punya waktu untuk mempelajari versi aljabar komutatif eksotis ini, tetapi siswa Gauss bertambah menggantikan trik kotor lainnya, Teori Cita-cita baru yang indah. Benar, ini tidak banyak membantu dalam menyelesaikan masalah Fermat: hanya kompleksitas alaminya yang menjadi lebih jelas.

Sepanjang abad ke-19, idola kuno ini menuntut lebih banyak pengorbanan dari pengagumnya dalam bentuk teori kompleks baru. Tidaklah mengherankan bahwa pada awal abad ke-20, orang percaya menjadi putus asa dan memberontak, menolak idola mereka sebelumnya. Kata "fermatis" telah menjadi istilah yang merendahkan di kalangan matematikawan profesional. Dan meskipun hadiah yang cukup besar diberikan untuk bukti lengkap teorema Fermat, tetapi pelamarnya kebanyakan adalah orang bodoh yang percaya diri. Ahli matematika terkuat saat itu - Poincaré dan Hilbert - dengan tegas menghindari topik ini.

Pada tahun 1900, Hilbert tidak memasukkan Teorema Fermat ke dalam daftar dua puluh tiga masalah utama yang dihadapi matematika abad ke-20. Benar, dia memasukkan dalam seri mereka masalah umum solvabilitas persamaan Diophantine. Petunjuknya jelas: ikuti contoh Gauss dan Galois, buat teori umum objek matematika baru! Kemudian pada suatu hari yang baik (tetapi tidak dapat diprediksi sebelumnya), serpihan lama akan rontok dengan sendirinya.

Beginilah cara Henri Poincaré romantis yang hebat bertindak. Mengabaikan banyak masalah "abadi", sepanjang hidupnya ia mempelajari SIMETRI dari berbagai objek matematika atau fisika: baik fungsi variabel kompleks, atau lintasan gerak benda langit, atau kurva aljabar atau manifold halus (ini adalah generalisasi multidimensi dari kurva baris). Motif tindakannya sederhana: jika dua objek berbeda memiliki simetri yang sama, itu berarti ada hubungan internal di antara keduanya, yang belum dapat kita pahami! Misalnya, masing-masing geometri dua dimensi (Euclid, Lobachevsky atau Riemann) memiliki grup simetri sendiri, yang bekerja pada bidang. Tetapi titik-titik bidang adalah bilangan kompleks: dengan cara ini aksi dari setiap kelompok geometris ditransfer ke dunia fungsi kompleks yang luas. Dimungkinkan dan perlu untuk mempelajari fungsi yang paling simetris: AUTOMORPHOUS (yang tunduk pada grup Euclid) dan MODULAR (yang tunduk pada grup Lobachevsky)!

Ada juga kurva elips di pesawat. Mereka tidak ada hubungannya dengan elips, tetapi diberikan oleh persamaan bentuk Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX dan karenanya berpotongan dengan garis lurus mana pun di tiga titik. Fakta ini memungkinkan kita untuk memperkenalkan perkalian di antara titik-titik kurva eliptik - untuk mengubahnya menjadi sebuah grup. Struktur aljabar dari grup ini mencerminkan sifat geometris kurva; mungkin secara unik ditentukan oleh grupnya? Pertanyaan ini layak dipelajari, karena untuk beberapa kurva, kelompok yang kami minati ternyata modular, yaitu terkait dengan geometri Lobachevsky ...

Beginilah alasan Poincaré, merayu pemuda matematika Eropa, tetapi pada awal abad ke-20 godaan ini tidak mengarah pada teorema atau hipotesis yang cemerlang. Ternyata berbeda dengan panggilan Hilbert: untuk mempelajari solusi umum persamaan Diophantine dengan koefisien bilangan bulat! Pada tahun 1922, pemuda Amerika Lewis Mordell menghubungkan himpunan solusi dari persamaan semacam itu (ini adalah ruang vektor dengan dimensi tertentu) dengan genus geometris dari kurva kompleks yang diberikan oleh persamaan ini. Mordell sampai pada kesimpulan bahwa jika derajat persamaan cukup besar (lebih dari dua), maka dimensi ruang solusi dinyatakan dalam genus kurva, dan oleh karena itu dimensi ini HINGGA. Sebaliknya - pangkat 2, persamaan Pythagoras memiliki keluarga solusi INFINITE-DIMENSIONAL!

Tentu saja, Mordell melihat keterkaitan hipotesisnya dengan teorema Fermat. Jika diketahui bahwa untuk setiap derajat n > 2 ruang dari seluruh solusi persamaan Fermat berdimensi-hingga, ini akan membantu membuktikan bahwa tidak ada solusi seperti itu sama sekali! Tetapi Mordell tidak melihat cara untuk membuktikan hipotesisnya - dan meskipun dia berumur panjang, dia tidak menunggu transformasi hipotesis ini menjadi teorema Faltings. Ini terjadi pada tahun 1983, di era yang sama sekali berbeda, setelah sukses besar topologi manifold aljabar.

Poincaré menciptakan ilmu ini seolah-olah secara tidak sengaja: dia ingin tahu apa itu manifold tiga dimensi. Lagi pula, Riemann menemukan struktur semua permukaan tertutup dan mendapat jawaban yang sangat sederhana! Jika tidak ada jawaban seperti itu dalam kasus tiga dimensi atau multidimensi, maka Anda perlu membuat sistem invarian aljabar dari manifold yang menentukan struktur geometrisnya. Paling baik jika invarian tersebut adalah elemen dari beberapa grup - komutatif atau non-komutatif.

Anehnya, rencana Poincaré yang berani ini berhasil: dilakukan dari tahun 1950 hingga 1970 berkat upaya banyak ahli geometri dan ahli aljabar. Hingga tahun 1950, terdapat akumulasi diam-diam dari berbagai metode untuk mengklasifikasikan manifold, dan setelah tanggal ini, massa kritis orang dan ide tampaknya telah terkumpul dan ledakan terjadi, sebanding dengan penemuan analisis matematika pada abad ke-17. Tetapi revolusi analitik berlangsung selama satu setengah abad, mencakup biografi kreatif empat generasi ahli matematika - dari Newton dan Leibniz hingga Fourier dan Cauchy. Sebaliknya, revolusi topologi abad ke-20 terjadi dalam waktu dua puluh tahun, berkat banyaknya pesertanya. Pada saat yang sama, generasi besar matematikawan muda yang percaya diri telah muncul, tiba-tiba tidak bekerja di tanah air bersejarah mereka.

Pada tahun tujuh puluhan mereka bergegas ke bidang matematika dan fisika teoretis yang berdekatan. Banyak yang telah mendirikan sekolah ilmiahnya sendiri di puluhan universitas di Eropa dan Amerika. Banyak siswa dari berbagai usia dan kebangsaan, dengan kemampuan dan kecenderungan berbeda, masih beredar di antara pusat-pusat ini, dan semua orang ingin menjadi terkenal karena suatu penemuan. Dalam kekacauan inilah dugaan Mordell dan teorema Fermat akhirnya terbukti.

Namun, burung layang-layang pertama, tanpa menyadari nasibnya, tumbuh di Jepang pada tahun-tahun kelaparan dan pengangguran setelah perang. Nama burung layang-layang itu adalah Yutaka Taniyama. Pada tahun 1955, pahlawan ini berusia 28 tahun, dan dia memutuskan (bersama dengan temannya Goro Shimura dan Takauji Tamagawa) untuk menghidupkan kembali penelitian matematika di Jepang. Di mana untuk memulai? Tentunya dengan mengatasi keterasingan dari rekan asing! Jadi pada tahun 1955, tiga pemuda Jepang menjadi tuan rumah konferensi internasional pertama tentang aljabar dan teori bilangan di Tokyo. Tampaknya lebih mudah melakukan ini di Jepang yang dididik ulang oleh Amerika daripada di Rusia yang dibekukan oleh Stalin ...

Di antara para tamu kehormatan adalah dua pahlawan dari Prancis: Andre Weil dan Jean-Pierre Serre. Di sini orang Jepang sangat beruntung: Weil adalah kepala ahli aljabar Prancis yang diakui dan anggota kelompok Bourbaki, dan Serre muda memainkan peran serupa di antara ahli topologi. Dalam diskusi panas dengan mereka, kepala pemuda Jepang retak, otak mereka meleleh, tetapi pada akhirnya ide dan rencana seperti itu mengkristal yang hampir tidak mungkin lahir di lingkungan yang berbeda.

Suatu hari, Taniyama mendekati Weil dengan pertanyaan tentang kurva eliptik dan fungsi modular. Awalnya, orang Prancis itu tidak mengerti apa-apa: Taniyama bukanlah ahli bahasa Inggris. Kemudian inti permasalahan menjadi jelas, tetapi Taniyama tidak berhasil memberikan rumusan yang tepat untuk harapannya. Yang bisa Weil jawab kepada pemuda Jepang itu adalah bahwa jika dia sangat beruntung dalam hal inspirasi, maka sesuatu yang masuk akal akan tumbuh dari hipotesisnya yang tidak jelas. Tapi sementara harapan untuk itu lemah!

Jelas, Weil tidak memperhatikan api surgawi di tatapan Taniyama. Dan terjadilah api: tampaknya untuk sesaat pikiran gigih dari almarhum Poincaré pindah ke Jepang! Taniyama percaya bahwa setiap kurva eliptik dihasilkan oleh fungsi modular - lebih tepatnya, "diseragamkan oleh bentuk modular". Sayangnya, kata-kata yang tepat ini lahir lama kemudian - dalam percakapan Taniyama dengan temannya Shimura. Dan kemudian Taniyama bunuh diri karena depresi... Hipotesisnya dibiarkan tanpa pemilik: tidak jelas bagaimana membuktikannya atau di mana mengujinya, dan oleh karena itu tidak ada yang menganggapnya serius untuk waktu yang lama. Tanggapan pertama datang hanya tiga puluh tahun kemudian - hampir seperti di era Fermat!

Es pecah pada tahun 1983, ketika Gerd Faltings Jerman berusia dua puluh tujuh tahun mengumumkan ke seluruh dunia: dugaan Mordell telah terbukti! Matematikawan waspada, tetapi Faltings adalah orang Jerman sejati: tidak ada celah dalam pembuktiannya yang panjang dan rumit. Hanya saja waktunya telah tiba, fakta dan konsep telah terkumpul - dan sekarang seorang ahli aljabar berbakat, dengan mengandalkan hasil dari sepuluh ahli aljabar lainnya, telah berhasil memecahkan masalah yang telah menunggu sang master selama enam puluh tahun. Ini tidak biasa dalam matematika abad ke-20. Perlu diingat kembali masalah kontinum sekuler dalam teori himpunan, dua dugaan Burnside dalam teori grup, atau dugaan Poincaré dalam topologi. Akhirnya, dalam teori bilangan, waktunya telah tiba untuk memanen tanaman lama ... Puncak mana yang akan menjadi yang berikutnya dalam rangkaian ahli matematika yang ditaklukkan? Akankah masalah Euler, hipotesis Riemann, atau teorema Fermat runtuh? Itu bagus untuk!

Dan sekarang, dua tahun setelah wahyu Faltings, ahli matematika lain yang terinspirasi muncul di Jerman. Namanya Gerhard Frey, dan dia menyatakan sesuatu yang aneh: bahwa teorema Fermat DIPEROLEH dari dugaan Taniyama! Sayangnya, gaya Frey dalam mengungkapkan pikirannya lebih mengingatkan pada Taniyama yang malang daripada Faltings rekan senegaranya yang jelas. Di Jerman, tidak ada yang mengerti Frey, dan dia pergi ke luar negeri - ke kota Princeton yang mulia, di mana, setelah Einstein, mereka terbiasa dengan pengunjung yang tidak seperti itu. Tidak heran Barry Mazur, topolog serba bisa, salah satu pahlawan serangan baru-baru ini pada manifold halus, membuat sarangnya di sana. Dan seorang siswa tumbuh di samping Mazur - Ken Ribet, yang sama-sama berpengalaman dalam seluk-beluk topologi dan aljabar, tetapi tetap tidak memuliakan dirinya sendiri.

Ketika dia pertama kali mendengar pidato Frey, Ribet memutuskan bahwa ini tidak masuk akal dan mendekati fiksi ilmiah (mungkin, Weil bereaksi terhadap wahyu Taniyama dengan cara yang sama). Tapi Ribet tidak bisa melupakan "fantasi" ini dan terkadang kembali ke mentalnya. Enam bulan kemudian, Ribet percaya bahwa ada sesuatu yang masuk akal dalam fantasi Frey, dan setahun kemudian dia memutuskan bahwa dia sendiri hampir dapat membuktikan hipotesis aneh Frey. Tapi beberapa "lubang" tetap ada, dan Ribet memutuskan untuk mengaku kepada bosnya Mazur. Dia mendengarkan siswa dengan penuh perhatian dan dengan tenang menjawab: “Ya, kamu telah melakukan segalanya! Di sini Anda perlu menerapkan transformasi Ф, di sini - gunakan Lemmas B dan K, dan semuanya akan menjadi bentuk yang sempurna! Jadi Ribet membuat lompatan dari ketidakjelasan ke keabadian, menggunakan ketapel dalam diri Frey dan Mazur. Sejujurnya, semuanya - bersama dengan mendiang Taniyama - harus dianggap sebagai bukti Teorema Terakhir Fermat.

Tapi inilah masalahnya: mereka mendapatkan pernyataan mereka dari hipotesis Taniyama, yang dengan sendirinya belum terbukti! Bagaimana jika dia tidak setia? Matematikawan telah lama mengetahui bahwa "segalanya mengikuti kebohongan", jika tebakan Taniyama salah, maka penalaran Ribet yang sempurna tidak ada gunanya! Kami sangat perlu membuktikan (atau menyangkal) dugaan Taniyama - jika tidak, seseorang seperti Faltings akan membuktikan teorema Fermat dengan cara yang berbeda. Dia akan menjadi pahlawan!

Tidak mungkin kita akan pernah tahu berapa banyak ahli aljabar muda atau berpengalaman yang menggunakan teorema Fermat setelah keberhasilan Faltings atau setelah kemenangan Ribet pada tahun 1986. Semuanya mencoba bekerja secara rahasia, sehingga jika gagal mereka tidak akan digolongkan di antara komunitas "boneka" -fermatis. Diketahui bahwa yang paling sukses dari semuanya - Andrew Wiles dari Cambridge - baru merasakan rasa kemenangan di awal tahun 1993. Ini tidak begitu menyenangkan seperti Wiles yang ketakutan: bagaimana jika bukti dugaan Taniyama menunjukkan kesalahan atau celah? Kemudian reputasi ilmiahnya musnah! Penting untuk menuliskan buktinya dengan hati-hati (tetapi akan menjadi lusinan halaman!) Dan menundanya selama enam bulan atau satu tahun, sehingga nanti Anda dapat membacanya kembali dengan berdarah dingin dan cermat ... Tapi apa jika seseorang menerbitkan buktinya selama ini? Wahai masalah...

Namun Wiles menemukan cara ganda untuk menguji buktinya dengan cepat. Pertama, Anda perlu memercayai salah satu teman dan kolega Anda yang dapat diandalkan dan memberi tahu dia seluruh penalaran. Dari luar, semua kesalahan lebih terlihat! Kedua, kursus khusus tentang topik ini perlu dibacakan kepada siswa pintar dan mahasiswa pascasarjana: orang pintar ini tidak akan melewatkan satu pun kesalahan dosen! Hanya saja, jangan beri tahu mereka tujuan akhir kursus sampai saat terakhir - jika tidak, seluruh dunia akan mengetahuinya! Dan tentu saja, Anda perlu mencari audiens seperti itu jauh dari Cambridge - bahkan lebih baik tidak di Inggris, tetapi di Amerika ... Apa yang bisa lebih baik daripada Princeton yang jauh?

Wiles pergi ke sana pada musim semi tahun 1993. Temannya yang sabar Niklas Katz, setelah mendengarkan laporan panjang Wiles, menemukan sejumlah celah di dalamnya, tetapi semuanya dengan mudah diperbaiki. Tetapi mahasiswa pascasarjana Princeton segera melarikan diri dari kursus khusus Wiles, tidak ingin mengikuti pemikiran aneh dosen, yang membawa mereka entah ke mana. Setelah ulasan karyanya (tidak terlalu dalam), Wiles memutuskan bahwa sudah waktunya untuk mengungkapkan keajaiban besar kepada dunia.

Pada bulan Juni 1993, konferensi lain diadakan di Cambridge, didedikasikan untuk "teori Iwasawa" - bagian populer dari teori bilangan. Wiles memutuskan untuk menceritakan bukti dugaan Taniyama di atasnya, tanpa mengumumkan hasil utamanya sampai akhir. Laporan itu berlangsung lama, tetapi berhasil, jurnalis secara bertahap mulai berduyun-duyun, yang merasakan sesuatu. Akhirnya, guntur melanda: Teorema Fermat terbukti! Kegembiraan umum tidak dibayangi oleh keraguan: semuanya tampak jelas ... Tapi dua bulan kemudian, Katz, setelah membaca teks terakhir Wiles, melihat celah lain di dalamnya. Transisi tertentu dalam penalaran bergantung pada "sistem Euler" - tetapi yang dibangun Wiles bukanlah sistem seperti itu!

Wiles memeriksa kemacetan dan menyadari bahwa dia salah di sini. Lebih buruk lagi: tidak jelas bagaimana cara mengganti penalaran yang salah! Ini diikuti oleh bulan-bulan tergelap dalam hidup Wiles. Sebelumnya, dia dengan bebas mensintesis bukti yang belum pernah ada sebelumnya dari materi yang ada. Sekarang dia terikat pada tugas yang sempit dan jelas - tanpa kepastian bahwa dia memiliki solusi dan bahwa dia akan dapat menemukannya di masa mendatang. Belakangan ini, Frey tidak bisa menahan perjuangan yang sama - dan kini namanya dikaburkan dengan nama Ribet yang beruntung, meski tebakan Frey ternyata benar. Dan apa yang akan terjadi dengan tebakanKU dan namaKU?

Kerja paksa ini berlangsung tepat satu tahun. Pada bulan September 1994, Wiles siap untuk mengaku kalah dan menyerahkan hipotesis Taniyama kepada penerus yang lebih beruntung. Setelah membuat keputusan seperti itu, dia mulai membaca ulang buktinya secara perlahan - dari awal hingga akhir, mendengarkan ritme penalaran, mengalami kembali kesenangan dari penemuan yang berhasil. Setelah mencapai tempat "terkutuk", Wiles, bagaimanapun, secara mental tidak mendengar nada palsu. Apakah jalannya penalarannya masih sempurna, dan kesalahan hanya muncul dalam deskripsi VERBAL dari gambaran mental? Jika tidak ada "sistem Euler" di sini, lalu apa yang tersembunyi di sini?

Tiba-tiba, sebuah pemikiran sederhana muncul di benak saya: "sistem Euler" tidak berfungsi jika teori Iwasawa dapat diterapkan. Mengapa tidak menerapkan teori ini secara langsung - untungnya, itu dekat dan akrab dengan Wiles sendiri? Dan mengapa dia tidak mencoba pendekatan ini sejak awal, tetapi terbawa oleh visi masalah orang lain? Wiles tidak dapat lagi mengingat detail ini - dan itu menjadi tidak berguna. Dia melakukan penalaran yang diperlukan dalam kerangka teori Iwasawa, dan semuanya berubah dalam setengah jam! Jadi - dengan penundaan satu tahun - celah terakhir dalam pembuktian dugaan Taniyama ditutup. Teks terakhir diberikan kepada sekelompok peninjau jurnal matematika paling terkenal, setahun kemudian mereka menyatakan bahwa sekarang tidak ada kesalahan. Jadi, pada tahun 1995, dugaan terakhir Fermat meninggal pada usia tiga ratus enam puluh tahun, berubah menjadi teorema yang terbukti pasti akan masuk ke dalam buku teks teori bilangan.

Menyimpulkan keributan tiga abad seputar teorema Fermat, kita harus menarik kesimpulan yang aneh: epik heroik ini tidak mungkin terjadi! Memang, teorema Pythagoras mengungkapkan hubungan sederhana dan penting antara objek alam visual - panjang segmen. Tetapi hal yang sama tidak dapat dikatakan tentang Teorema Fermat. Itu lebih terlihat seperti superstruktur budaya di atas substrat ilmiah - seperti mencapai Kutub Utara Bumi atau terbang ke bulan. Mari kita ingat bahwa kedua prestasi ini dinyanyikan oleh penulis jauh sebelum tercapai - di zaman kuno, setelah kemunculan "Elements" Euclid, tetapi sebelum kemunculan "Aritmatika" Diophantus. Jadi, ada kebutuhan publik akan eksploitasi intelektual semacam ini - setidaknya imajiner! Sebelumnya, orang Yunani sudah muak dengan puisi Homer, sama seperti seratus tahun sebelum Fermat, orang Prancis sudah muak dengan nafsu religius. Tapi kemudian nafsu religius mereda - dan sains berdiri di sampingnya.

Di Rusia, proses seperti itu dimulai seratus lima puluh tahun yang lalu, ketika Turgenev menempatkan Yevgeny Bazarov setara dengan Yevgeny Onegin. Benar, penulis Turgenev kurang memahami motif tindakan ilmuwan Bazarov dan tidak berani menyanyikannya, tetapi ini segera dilakukan oleh ilmuwan Ivan Sechenov dan jurnalis yang tercerahkan Jules Verne. Revolusi ilmiah dan teknologi yang spontan membutuhkan cangkang budaya untuk menembus pikiran kebanyakan orang, dan inilah fiksi ilmiah pertama, dan kemudian literatur sains populer (termasuk majalah "Pengetahuan adalah Kekuatan").

Pada saat yang sama, topik ilmiah tertentu sama sekali tidak penting bagi masyarakat umum dan tidak terlalu penting bahkan bagi para pahlawan-penampil. Jadi, mendengar tentang pencapaian Kutub Utara oleh Peary dan Cook, Amundsen langsung mengubah tujuan ekspedisinya yang sudah disiapkan - dan segera mencapai Kutub Selatan, di depan Scott satu bulan. Belakangan, keberhasilan Yuri Gagarin mengelilingi Bumi memaksa Presiden Kennedy untuk mengubah tujuan sebelumnya dari program luar angkasa Amerika menjadi tujuan yang lebih mahal tetapi jauh lebih mengesankan: mendaratkan manusia di bulan.

Bahkan sebelumnya, Hilbert yang berwawasan luas menjawab pertanyaan siswa yang naif: "Solusi dari masalah ilmiah apa yang paling berguna sekarang"? - menjawab dengan lelucon: "Tangkap lalat di sisi jauh bulan!" Untuk pertanyaan yang membingungkan: "Mengapa ini perlu?" - diikuti dengan jawaban yang jelas: “Tidak ada yang membutuhkan INI! Tetapi pikirkan metode ilmiah dan sarana teknis yang harus kita kembangkan untuk memecahkan masalah seperti itu - dan betapa banyak masalah indah lainnya yang akan kita selesaikan di sepanjang jalan!

Inilah yang terjadi dengan Teorema Fermat. Euler bisa saja mengabaikannya.

Dalam hal ini, beberapa masalah lain akan menjadi idola para matematikawan - mungkin juga dari teori bilangan. Misalnya, masalah Eratosthenes: apakah ada bilangan prima kembar yang terbatas atau tidak terbatas (seperti 11 dan 13, 17 dan 19, dan seterusnya)? Atau masalah Euler: apakah setiap bilangan genap merupakan jumlah dari dua bilangan prima? Atau: apakah ada hubungan aljabar antara bilangan π dan e? Ketiga masalah ini belum terpecahkan, meskipun pada abad ke-20 para matematikawan sudah hampir memahami esensinya. Namun abad ini juga memunculkan banyak masalah baru yang tidak kalah menariknya, terutama di persimpangan matematika dengan fisika dan cabang ilmu alam lainnya.

Kembali pada tahun 1900, Hilbert memilih salah satunya: membuat sistem aksioma fisika matematika yang lengkap! Seratus tahun kemudian, masalah ini masih jauh dari penyelesaian, jika hanya karena gudang alat matematika fisika terus berkembang, dan tidak semuanya memiliki pembenaran yang ketat. Tetapi setelah tahun 1970, fisika teoretis terpecah menjadi dua cabang. Satu (klasik) sejak zaman Newton telah memodelkan dan memprediksi proses STABIL, yang lain (baru lahir) mencoba memformalkan interaksi proses TIDAK STABIL dan cara untuk mengendalikannya. Jelaslah bahwa kedua cabang fisika ini harus diaksiomatisasikan secara terpisah.

Yang pertama mungkin akan ditangani dalam dua puluh atau lima puluh tahun ...

Dan apa yang hilang dari cabang kedua fisika - yang bertanggung jawab atas semua jenis evolusi (termasuk fraktal aneh dan penarik aneh, ekologi biocenosis, dan teori gairah Gumilyov)? Ini tidak mungkin kita pahami segera. Namun pemujaan para ilmuwan terhadap berhala baru tersebut telah menjadi fenomena massal. Mungkin, sebuah epik akan terungkap di sini, sebanding dengan biografi teorema Fermat selama tiga abad. Jadi, di persimpangan ilmu yang berbeda, berhala baru lahir - mirip dengan agama, tetapi lebih kompleks dan dinamis ...

Rupanya, seseorang tidak dapat tetap menjadi manusia tanpa menggulingkan berhala lama dari waktu ke waktu dan tanpa menciptakan yang baru - kesakitan dan kegembiraan! Pierre Fermat beruntung berada di saat yang menentukan di dekat hot spot kelahiran idola baru - dan dia berhasil meninggalkan jejak kepribadiannya pada bayi yang baru lahir. Nasib seperti itu bisa membuat iri, dan menirunya bukanlah dosa.

Sergey Smirnov
"Pengetahuan adalah kekuatan"

Tidak banyak orang di dunia yang belum pernah mendengarnya Teorema Terakhir Fermat- mungkin ini adalah satu-satunya masalah matematika yang telah mendapatkan popularitas yang begitu luas dan telah menjadi legenda nyata. Disebutkan dalam banyak buku dan film, sedangkan konteks utama dari hampir semua penyebutannya adalah ketidakmungkinan untuk membuktikan teorema.

Ya, teorema ini sangat terkenal dan dalam arti tertentu telah menjadi "idola" yang disembah oleh matematikawan amatir dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahwa buktinya telah ditemukan, dan ini terjadi pada tahun 1995 silam. Tapi hal pertama yang pertama.

Jadi, Teorema Terakhir Fermat (sering disebut sebagai Teorema Terakhir Fermat), dirumuskan pada tahun 1637 oleh seorang matematikawan Prancis yang brilian Pierre Fermat, pada intinya sangat sederhana dan dapat dipahami oleh siapa pun dengan pendidikan menengah. Dikatakan bahwa rumus a n + b n \u003d c n tidak memiliki solusi alami (yaitu, non-fraksional) untuk n > 2. Semuanya tampak sederhana dan jelas, tetapi matematikawan terbaik dan amatir sederhana telah berjuang untuk menemukan solusinya selama lebih dari tiga setengah abad.

Fermat sendiri mengaku telah mendapatkan bukti teorinya yang sangat sederhana dan ringkas, namun sejauh ini belum ditemukan bukti dokumenter tentang fakta tersebut. Oleh karena itu, sekarang diyakini demikian Fermat tidak pernah dapat menemukan solusi umum untuk teoremanya., meskipun ia menulis bukti parsial untuk n = 4.

Setelah Fermat, pemikir hebat seperti Leonard Euler(pada tahun 1770 ia mengusulkan solusi untuk n = 3), Adrien Legendre dan Johann Dirichlet(para ilmuwan ini bersama-sama menemukan bukti n = 5 pada tahun 1825), Gabriel lumpuh(yang menemukan bukti n = 7) dan banyak lainnya. Pada pertengahan 80-an abad terakhir, menjadi jelas bahwa dunia ilmiah sedang menuju solusi akhir

Teorema Terakhir Fermat, tetapi baru pada tahun 1993 ahli matematika melihat dan percaya bahwa kisah tiga abad untuk menemukan bukti Teorema Terakhir Fermat hampir berakhir.

Pada tahun 1993, seorang matematikawan Inggris Andrew Wiles disajikan kepada dunia bukti Teorema Terakhir Fermat yang telah bekerja selama lebih dari tujuh tahun. Namun ternyata keputusan tersebut mengandung kesalahan besar, meski secara umum memang benar. Wiles tidak menyerah, meminta bantuan seorang spesialis terkenal dalam teori bilangan Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorema yang dikoreksi dan ditambah. Hal yang paling mencengangkan adalah karya ini memakan waktu sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematika Annals of Mathematics. Tetapi ceritanya juga tidak berakhir di situ - poin terakhir dibuat hanya pada tahun berikutnya, 1995, ketika final dan "ideal", dari sudut pandang matematika, versi pembuktiannya diterbitkan.

Banyak waktu telah berlalu sejak saat itu, namun masih ada pendapat di masyarakat tentang Teorema Terakhir Fermat yang tidak dapat dipecahkan. Tetapi bahkan mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemukan terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit orang yang puas bahwa Teorema Besar membutuhkan solusi setebal 130 halaman! Oleh karena itu, sekarang kekuatan dari begitu banyak ahli matematika (kebanyakan amatir, bukan ilmuwan profesional) dilemparkan untuk mencari bukti yang sederhana dan ringkas, tetapi jalan ini kemungkinan besar tidak akan mengarah ke mana pun ...

Grigory Perelman. Refusenik

Dengan mudah Maksimov

Pada Agustus 2006, nama-nama ahli matematika terbaik dunia diumumkan, yang menerima Fields Medal paling bergengsi - semacam analog dari Hadiah Nobel, yang dicabut oleh ahli matematika, atas keinginan Alfred Nobel. Medali Fields - selain lencana kehormatan, pemenang diberikan cek sebesar lima belas ribu dolar Kanada - diberikan oleh Kongres Matematikawan Internasional setiap empat tahun. Itu didirikan oleh ilmuwan Kanada John Charles Fields dan pertama kali diberikan pada tahun 1936. Sejak tahun 1950, Fields Medal telah diberikan secara rutin secara pribadi oleh Raja Spanyol atas kontribusinya terhadap perkembangan ilmu matematika. Dari satu hingga empat ilmuwan di bawah usia empat puluh tahun dapat menjadi penerima penghargaan. Empat puluh empat ahli matematika telah menerima hadiah tersebut, termasuk delapan orang Rusia.

Grigory Perelman. Henri Poincar.

Pada tahun 2006, orang Prancis Wendelin Werner, Terence Tao dari Australia dan dua orang Rusia, Andrey Okounkov, yang bekerja di AS, dan Grigory Perelman, seorang ilmuwan dari St. Namun, di saat-saat terakhir diketahui bahwa Perelman menolak penghargaan bergengsi ini - seperti yang diumumkan penyelenggara, "karena alasan prinsip".

Tindakan luar biasa dari ahli matematika Rusia itu tidak mengejutkan orang-orang yang mengenalnya. Ini bukan pertama kalinya dia menolak penghargaan matematika, menjelaskan keputusannya dengan fakta bahwa dia tidak menyukai acara khusyuk dan hype berlebihan seputar namanya. Sepuluh tahun yang lalu, pada tahun 1996, Perelman menolak hadiah Kongres Matematika Eropa, dengan alasan bahwa dia belum menyelesaikan pekerjaan pada masalah ilmiah yang dinominasikan untuk penghargaan tersebut, dan ini bukanlah kasus terakhir. Ahli matematika Rusia tampaknya telah menetapkan tujuan hidupnya untuk mengejutkan orang, bertentangan dengan opini publik dan komunitas ilmiah.

Grigory Yakovlevich Perelman lahir pada 13 Juni 1966 di Leningrad. Sejak usia muda, dia menyukai ilmu eksakta, lulus dengan cemerlang dari sekolah menengah ke-239 yang terkenal dengan studi matematika yang mendalam, memenangkan banyak kompetisi matematika: misalnya, pada tahun 1982, sebagai bagian dari tim anak sekolah Soviet, dia berpartisipasi dalam Olimpiade Matematika Internasional, yang diadakan di Budapest. Perelman tanpa ujian terdaftar di departemen mekanik dan matematika Universitas Leningrad, tempat dia belajar "dengan sangat baik", terus menang dalam kompetisi matematika di semua tingkatan. Setelah lulus dari universitas dengan pujian, ia masuk sekolah pascasarjana di Departemen St. Petersburg Institut Matematika Steklov. Pengawasnya adalah matematikawan terkenal Akademisi Alexandrov. Setelah mempertahankan tesis Ph.D., Grigory Perelman tetap di institut, di laboratorium geometri dan topologi. Dikenal karena karyanya tentang teori ruang Alexandrov, ia berhasil menemukan bukti sejumlah hipotesis penting. Meski banyak tawaran dari universitas Barat terkemuka, Perelman lebih memilih bekerja di Rusia.

Kesuksesannya yang paling terkenal adalah solusi pada tahun 2002 dari dugaan Poincare yang terkenal, diterbitkan pada tahun 1904 dan sejak itu tetap tidak terbukti. Perelman mengerjakannya selama delapan tahun. Hipotesis Poincaré dianggap sebagai salah satu misteri matematika terbesar, dan solusinya dianggap sebagai pencapaian terpenting dalam ilmu matematika: hipotesis ini akan segera memajukan studi tentang masalah dasar fisik dan matematika alam semesta. Pikiran paling cemerlang di planet ini meramalkan solusinya hanya dalam beberapa dekade, dan Institut Matematika Clay di Cambridge, Massachusetts, menjadikan masalah Poincare salah satu dari tujuh masalah matematika paling menarik yang belum terpecahkan di milenium, yang masing-masing dijanjikan satu juta hadiah dolar (Millennium Prize Problems) .

Hipotesis (kadang-kadang disebut masalah) dari ahli matematika Prancis Henri Poincaré (1854–1912) dirumuskan sebagai berikut: setiap ruang tiga dimensi yang tertutup dan terhubung sederhana adalah homeomorfik dengan bola tiga dimensi. Untuk klarifikasi, contoh yang baik digunakan: jika Anda membungkus apel dengan karet gelang, maka, pada prinsipnya, dengan menarik selotip, Anda dapat meremas apel menjadi satu titik. Jika Anda membungkus donat dengan selotip yang sama, Anda tidak dapat meremasnya menjadi satu titik tanpa merobek donat atau karetnya. Dalam konteks ini, sebuah apel disebut sosok "singly connected", tetapi donat tidak sekadar terhubung. Hampir seratus tahun yang lalu, Poincaré menetapkan bahwa bola dua dimensi terhubung secara sederhana dan menyatakan bahwa bola tiga dimensi juga terhubung secara sederhana. Ahli matematika terbaik di dunia tidak dapat membuktikan dugaan ini.

Untuk memenuhi syarat untuk hadiah Clay Institute, Perelman hanya perlu menerbitkan solusinya di salah satu jurnal ilmiah, dan jika dalam dua tahun tidak ada yang dapat menemukan kesalahan dalam perhitungannya, maka solusi tersebut akan dianggap benar. Namun, Perelman menyimpang dari aturan sejak awal, menerbitkan solusinya di situs pracetak Laboratorium Sains Los Alamos. Mungkin dia takut ada kesalahan yang merayapi perhitungannya - cerita serupa telah terjadi dalam matematika. Pada tahun 1994, ahli matematika Inggris Andrew Wiles mengusulkan solusi untuk teorema Fermat yang terkenal, dan beberapa bulan kemudian ternyata ada kesalahan dalam perhitungannya (meskipun kemudian diperbaiki, dan sensasi masih terjadi). Masih belum ada publikasi resmi dari bukti dugaan Poincare - tetapi ada pendapat otoritatif dari ahli matematika terbaik di planet ini, yang membenarkan kebenaran perhitungan Perelman.

Fields Medal dianugerahkan kepada Grigory Perelman dengan tepat untuk memecahkan masalah Poincaré. Tetapi ilmuwan Rusia itu menolak hadiah itu, yang tidak diragukan lagi pantas untuknya. "Grigory mengatakan kepada saya bahwa dia merasa terisolasi dari komunitas matematika internasional, di luar komunitas ini, dan karena itu tidak ingin menerima penghargaan," kata John Ball, presiden World Union of Mathematicians (WCM), pada konferensi pers di Madrid.

Ada desas-desus bahwa Grigory Perelman akan meninggalkan sains sama sekali: enam bulan lalu dia keluar dari Institut Matematika Steklov asalnya, dan mereka mengatakan bahwa dia tidak akan lagi mengerjakan matematika. Mungkin ilmuwan Rusia itu percaya bahwa dengan membuktikan hipotesis terkenal itu, dia telah melakukan semua yang dia bisa untuk sains. Tetapi siapa yang akan berbicara tentang alur pemikiran ilmuwan yang begitu cemerlang dan orang yang luar biasa? .. Perelman menolak komentar apa pun, dan dia mengatakan kepada surat kabar The Daily Telegraph: "Tidak ada yang bisa saya katakan untuk kepentingan publik sekecil apa pun." Namun, publikasi ilmiah terkemuka sepakat dalam penilaian mereka ketika mereka melaporkan bahwa "Grigory Perelman, setelah memecahkan teorema Poincare, setara dengan para jenius terhebat di masa lalu dan sekarang."

Majalah dan penerbit sastra dan jurnalistik bulanan.

Bertahun-tahun yang lalu, saya menerima sepucuk surat dari Tashkent dari Valery Muratov, dilihat dari tulisan tangannya, seorang pria muda, yang kemudian tinggal di Jalan Kommunisticheskaya di rumah nomor 31. Pria itu bertekad: “Langsung ke intinya. maukah Anda membayar saya untuk membuktikan teorema Fermat? cocok setidaknya 500 rubel. Di lain waktu, saya akan membuktikannya kepada Anda secara gratis, tetapi sekarang saya butuh uang ... "

Paradoks yang luar biasa: hanya sedikit orang yang tahu siapa Fermat, kapan dia hidup dan apa yang dia lakukan. Bahkan lebih sedikit orang yang dapat menggambarkan teorema besarnya dalam istilah yang paling umum. Tetapi semua orang tahu bahwa ada semacam teorema Fermat, yang pembuktiannya telah diperjuangkan oleh matematikawan seluruh dunia selama lebih dari 300 tahun, tetapi mereka tidak dapat membuktikannya!

Ada banyak orang yang ambisius, dan kesadaran bahwa ada sesuatu yang tidak dapat dilakukan orang lain, semakin memacu ambisi mereka. Oleh karena itu, ribuan (!) bukti Teorema Agung telah datang dan datang ke akademi, lembaga ilmiah, dan bahkan kantor editorial surat kabar di seluruh dunia - rekor kinerja amatir pseudoscientific yang belum pernah terjadi sebelumnya dan tidak pernah pecah. Bahkan ada istilah: "fermatis", yaitu orang yang terobsesi dengan keinginan untuk membuktikan Teorema Agung, yang benar-benar melelahkan ahli matematika profesional dengan tuntutan untuk mengevaluasi pekerjaan mereka. Ahli matematika Jerman terkenal Edmund Landau bahkan menyiapkan standar, yang menurutnya dia menjawab: "Ada kesalahan pada halaman dalam pembuktian teorema Fermat Anda ...", dan mahasiswa pascasarjana mencatat nomor halaman. Dan pada musim panas 1994, surat kabar di seluruh dunia melaporkan sesuatu yang sangat sensasional: Teorema Agung terbukti!

Lantas, siapakah Fermat, apa inti permasalahannya dan apakah sudah benar-benar terselesaikan? Pierre Fermat lahir pada 1601 dalam keluarga seorang penyamak kulit, seorang pria kaya dan dihormati - dia menjabat sebagai konsul kedua di kota asalnya Beaumont - ini seperti asisten walikota. Pierre belajar pertama kali dengan para biarawan Fransiskan, kemudian di Fakultas Hukum di Toulouse, di mana dia kemudian mempraktikkan advokasi. Namun, minat Fermat jauh melampaui yurisprudensi. Dia sangat tertarik pada filologi klasik, komentarnya tentang teks penulis kuno diketahui. Dan gairah kedua adalah matematika.

Pada abad ke-17, seperti, selama bertahun-tahun kemudian, tidak ada profesi seperti itu: ahli matematika. Oleh karena itu, semua ahli matematika hebat pada masa itu adalah ahli matematika "paruh waktu": Rene Descartes bertugas di ketentaraan, Francois Viet adalah seorang pengacara, Francesco Cavalieri adalah seorang biarawan. Tidak ada jurnal ilmiah saat itu, dan ilmu klasik Pierre Fermat tidak menerbitkan satu pun karya ilmiah selama hidupnya. Ada lingkaran "amatir" yang agak sempit yang memecahkan berbagai masalah menarik bagi mereka dan saling menulis surat tentang hal ini, terkadang berdebat (seperti Fermat dengan Descartes), tetapi, pada dasarnya, tetap berpikiran sama. Mereka menjadi pendiri matematika baru, penabur benih cemerlang, yang darinya pohon perkasa pengetahuan matematika modern mulai tumbuh, memperoleh kekuatan dan bercabang.

Jadi, Fermat adalah "amatir" yang sama. Di Toulouse, tempat dia tinggal selama 34 tahun, semua orang mengenalnya, pertama-tama, sebagai penasihat Kamar Investigasi dan pengacara berpengalaman. Pada usia 30 tahun, ia menikah, memiliki tiga putra dan dua putri, kadang-kadang melakukan perjalanan bisnis, dan dalam salah satunya ia meninggal mendadak pada usia 63 tahun. Semua! Kehidupan pria ini, yang sezaman dengan Three Musketeers, secara mengejutkan berjalan lancar dan tanpa petualangan. Petualangan jatuh ke bagian Teorema Hebatnya. Kami tidak akan membicarakan seluruh warisan matematika Fermat, dan sulit untuk membicarakannya dengan cara yang populer. Percayalah: warisan ini luar biasa dan beragam. Penegasan bahwa Teorema Agung adalah puncak dari karyanya sangat bisa diperdebatkan. Hanya saja nasib Teorema Agung sangat menarik, dan dunia luas orang-orang yang belum tahu misteri matematika selalu tertarik bukan pada teorema itu sendiri, tetapi pada segala sesuatu di sekitarnya...

Akar dari keseluruhan cerita ini harus dicari di zaman kuno, begitu dicintai oleh Fermat. Kira-kira pada abad ke-3, ahli matematika Yunani Diophantus tinggal di Alexandria, seorang ilmuwan yang berpikir dengan cara orisinal, berpikir di luar kotak dan mengungkapkan pemikirannya di luar kotak. Dari 13 jilid Arithmetic-nya, hanya 6 yang sampai ke tangan kita, tepat saat Fermat berusia 20 tahun, terjemahan baru karyanya keluar. Fermat sangat menyukai Diophantus, dan tulisan-tulisan ini menjadi buku referensinya. Di bidangnya, Fermat menuliskan Teorema Besarnya, yang dalam bentuk modern paling sederhana terlihat seperti ini: persamaan Xn + Yn = Zn tidak memiliki solusi bilangan bulat untuk n - lebih dari 2. (Untuk n = 2, solusinya jelas : Z2 + 42 = 52 ). Di tempat yang sama, di pinggir volume Diophantine, Fermat menambahkan: "Saya menemukan bukti yang benar-benar luar biasa ini, tetapi pinggir ini terlalu sempit untuknya."

Sepintas, hal kecil itu sederhana, tetapi ketika matematikawan lain mulai membuktikan teorema "sederhana" ini, tidak ada yang berhasil selama seratus tahun. Akhirnya, Leonhard Euler yang hebat membuktikannya untuk n = 4, kemudian setelah 20 (!) tahun - untuk n = 3. Dan lagi pekerjaan terhenti selama bertahun-tahun. Kemenangan berikutnya menjadi milik Peter Dirichlet dari Jerman (1805–1859) dan Andrien Legendre dari Prancis (1752–1833), yang mengakui bahwa Fermat benar untuk n = 5. Kemudian orang Prancis Gabriel Lamet (1795–1870) melakukan hal yang sama untuk n = 7. Akhirnya, pada pertengahan abad lalu, Ernst Kummer Jerman (1810-1893) membuktikan Teorema Agung untuk semua nilai n kurang dari atau sama dengan 100. Selain itu, ia membuktikannya dengan menggunakan metode yang dapat tidak diketahui Fermat, yang semakin memperkuat selubung misteri seputar Teorema Agung.

Jadi, ternyata mereka membuktikan teorema Fermat "sepotong demi sepotong", tetapi tidak ada yang bisa "sepenuhnya". Upaya baru untuk pembuktian hanya menghasilkan peningkatan kuantitatif dalam nilai n. Semua orang mengerti bahwa, setelah menghabiskan banyak tenaga, adalah mungkin untuk membuktikan Teorema Besar untuk jumlah n yang sangat besar, tetapi Fermat berbicara tentang nilai apa pun itu lebih besar dari 2! Dalam perbedaan antara "besar secara sewenang-wenang" dan "apa pun" inilah seluruh makna masalah terkonsentrasi.

Namun, perlu dicatat bahwa upaya untuk membuktikan teorema Fermg bukan hanya semacam permainan matematika, solusi dari teka-teki yang kompleks. Selama pembuktian ini, cakrawala matematika baru dibuka, masalah muncul dan dipecahkan, yang menjadi cabang baru dari pohon matematika. Matematikawan besar Jerman David Hilbert (1862-1943) mengutip Teorema Besar sebagai contoh "betapa efek stimulasi yang dapat dimiliki oleh masalah khusus dan tampaknya tidak penting terhadap sains." Kummer yang sama, yang mengerjakan teorema Fermat, membuktikan sendiri teorema yang membentuk dasar teori bilangan, aljabar, dan teori fungsi. Jadi pembuktian Teorema Agung bukanlah olahraga, tapi sains sejati.

Waktu berlalu, dan elektronik membantu "fsrmants" profesional. Otak elektronik dari metode baru tidak dapat ditemukan, tetapi mereka mengambil kecepatan. Sekitar awal tahun 80-an, teorema Fermat dibuktikan dengan bantuan komputer untuk n kurang dari atau sama dengan 5500. Lambat laun, angka ini bertambah menjadi 100.000, tetapi semua orang mengerti bahwa "akumulasi" seperti itu adalah masalah teknologi murni, memberikan apa-apa untuk pikiran atau hati. Mereka tidak dapat merebut benteng Teorema Agung "langsung" dan mulai mencari manuver memutar.

Pada pertengahan 1980-an, ahli matematika muda G. Filettings membuktikan apa yang disebut "dugaan Mordell", yang juga "tidak terjangkau" oleh ahli matematika mana pun selama 61 tahun. Muncul harapan bahwa sekarang, bisa dikatakan, "menyerang dari sayap", teorema Fermat juga dapat diselesaikan. Namun, tidak ada yang terjadi saat itu. Pada tahun 1986, ahli matematika Jerman Gerhard Frei mengusulkan metode pembuktian baru di Essesche. Saya tidak berusaha untuk menjelaskannya secara ketat, tetapi tidak dalam matematika, tetapi dalam bahasa manusia secara umum, kedengarannya seperti ini: jika kita yakin bahwa bukti dari beberapa teorema lain adalah bukti teorema Fermat yang tidak langsung, dalam beberapa cara diubah, maka, oleh karena itu, kami akan membuktikan Teorema Agung. Setahun kemudian, Kenneth Ribet dari Berkeley dari Amerika menunjukkan bahwa Frey benar dan, memang, satu bukti dapat direduksi menjadi bukti lainnya. Banyak ahli matematika di seluruh dunia telah mengambil jalan ini. Kami telah melakukan banyak hal untuk membuktikan Teorema Agung oleh Viktor Aleksandrovich Kolyvanov. Tembok berusia tiga ratus tahun dari benteng yang tak tertembus itu bergetar. Matematikawan menyadari bahwa itu tidak akan bertahan lama.

Pada musim panas tahun 1993, di Cambridge kuno, di Isaac Newton Institute of Mathematical Sciences, 75 ahli matematika terkemuka di dunia berkumpul untuk membahas masalah mereka. Di antara mereka adalah profesor Amerika Andrew Wiles dari Universitas Princeton, seorang spesialis terkemuka dalam teori bilangan. Semua orang tahu bahwa dia telah mengerjakan Teorema Besar selama bertahun-tahun. Wiles membuat tiga presentasi, dan yang terakhir, pada tanggal 23 Juni 1993, di bagian paling akhir, sambil berpaling dari papan tulis, dia berkata sambil tersenyum:

Saya kira saya tidak akan melanjutkan ...

Ada keheningan yang mati pada awalnya, lalu tepuk tangan meriah. Mereka yang duduk di aula cukup memenuhi syarat untuk memahami: Teorema Terakhir Fermat terbukti! Bagaimanapun, tidak satu pun dari mereka yang hadir menemukan kesalahan dalam bukti di atas. Wakil direktur Institut Newton, Peter Goddard, mengatakan kepada wartawan:

“Kebanyakan pakar tidak mengira mereka akan mengetahuinya selama sisa hidup mereka. Ini adalah salah satu prestasi matematika terbesar abad ini...

Beberapa bulan telah berlalu, tidak ada komentar atau penolakan yang mengikuti. Benar, Wiles tidak menerbitkan buktinya, tetapi hanya mengirimkan apa yang disebut cetakan karyanya ke lingkaran yang sangat sempit dari rekan-rekannya, yang, tentu saja, mencegah ahli matematika mengomentari sensasi ilmiah ini, dan saya memahami Akademisi Ludwig Dmitrievich Faddeev, siapa bilang:

- Saya dapat mengatakan bahwa sensasi itu terjadi ketika saya melihat buktinya dengan mata kepala sendiri.

Faddeev percaya bahwa kemungkinan kemenangan Wiles sangat tinggi.

"Ayah saya, seorang spesialis terkenal dalam teori bilangan, misalnya, yakin bahwa teorema itu akan dibuktikan, tetapi tidak dengan cara dasar," tambahnya.

Akademisi kami yang lain, Viktor Pavlovich Maslov, skeptis tentang berita tersebut, dan dia percaya bahwa pembuktian Teorema Agung bukanlah masalah matematika yang sebenarnya sama sekali. Dalam hal minat ilmiahnya, Maslov, ketua Dewan Matematika Terapan, jauh dari "fermatis", dan ketika dia mengatakan bahwa solusi lengkap Teorema Besar hanya untuk kepentingan olahraga, orang dapat memahaminya. Namun, saya berani mencatat bahwa konsep relevansi dalam ilmu apa pun adalah variabel. 90 tahun yang lalu, Rutherford, mungkin, juga diberitahu: "Wah, wah, teori peluruhan radioaktif ... Jadi apa? Apa gunanya? .."

Pekerjaan pembuktian Teorema Hebat telah memberikan banyak matematika, dan orang dapat berharap itu akan memberi lebih banyak.

“Apa yang telah dilakukan Wiles akan memindahkan ahli matematika ke bidang lain,” kata Peter Goddard. - Sebaliknya, ini tidak menutup salah satu garis pemikiran, tetapi menimbulkan pertanyaan baru yang membutuhkan jawaban ...

Profesor Universitas Negeri Moskow Mikhail Ilyich Zelikin menjelaskan situasi saat ini kepada saya sebagai berikut:

Tidak ada yang melihat kesalahan dalam pekerjaan Wiles. Tetapi agar pekerjaan ini menjadi fakta ilmiah, beberapa ahli matematika terkemuka perlu mengulangi bukti ini secara independen dan memastikan kebenarannya. Ini adalah syarat yang sangat diperlukan untuk pengakuan karya Wiles oleh komunitas matematika...

Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk ini?

Saya menanyakan pertanyaan ini kepada salah satu spesialis terkemuka kami di bidang teori bilangan, Doktor Ilmu Fisika dan Matematika Alexei Nikolaevich Parshin.

Andrew Wiles memiliki banyak waktu di depannya...

Faktanya adalah bahwa pada tanggal 13 September 1907, ahli matematika Jerman P. Wolfskel, yang, tidak seperti kebanyakan ahli matematika, adalah orang kaya, mewariskan 100 ribu nilai kepada orang yang akan membuktikan Teorema Besar dalam 100 tahun ke depan. Pada awal abad ini, bunga dari jumlah yang diwariskan masuk ke perbendaharaan Universitas Getgangent yang terkenal. Uang ini digunakan untuk mengundang ahli matematika terkemuka untuk memberikan kuliah dan melakukan karya ilmiah. Saat itu, David Hilbert, yang telah saya sebutkan, adalah ketua komisi penghargaan. Dia tidak mau membayar premi.

“Untungnya,” kata ahli matematika hebat itu, “tampaknya kita tidak memiliki ahli matematika, kecuali saya, yang dapat melakukan tugas ini, tetapi saya tidak akan pernah berani membunuh angsa yang bertelur emas untuk kita. ”

Sebelum batas waktu - 2007, yang ditunjuk oleh Wolfskel, hanya ada beberapa tahun tersisa, dan, menurut saya, bahaya serius membayangi "ayam Hilbert". Tapi sebenarnya ini bukan tentang hadiahnya. Ini tentang rasa ingin tahu pemikiran dan ketekunan manusia. Mereka bertarung selama lebih dari tiga ratus tahun, tetapi mereka masih membuktikannya!

Dan selanjutnya. Bagi saya, hal yang paling menarik dari keseluruhan cerita ini adalah: bagaimana Fermat sendiri membuktikan Teorema Agungnya? Lagi pula, semua trik matematika hari ini tidak diketahui olehnya. Dan apakah dia membuktikannya sama sekali? Lagipula, ada versi yang sepertinya telah dia buktikan, tetapi dia sendiri menemukan kesalahan, dan oleh karena itu dia tidak mengirimkan buktinya ke ahli matematika lain, tetapi lupa untuk mencoret entri di pinggir volume Diophantine. Oleh karena itu, menurut saya bukti Teorema Agung, jelas, terjadi, tetapi rahasia teorema Fermat tetap ada, dan kecil kemungkinannya kami akan mengungkapkannya ...

Mungkin Fermat salah saat itu, tetapi dia tidak salah ketika dia menulis: “Mungkin anak cucu akan berterima kasih kepada saya karena telah menunjukkan kepadanya bahwa orang dahulu tidak mengetahui segalanya, dan ini dapat menembus kesadaran mereka yang akan datang setelah saya. obor untuk putra-putranya..."