Dalam pelajaran ini, kita akan berbicara tentang fungsi eksponensial dan logaritma. Mereka biasanya dipelajari bersama-sama, karena mereka saling terbalik. Kami akan berbicara tentang penggunaan fungsi-fungsi ini, tentang mengapa fungsi-fungsi ini dipilih untuk dipelajari.

Fungsi eksponensial digunakan untuk menggambarkan semua fenomena yang kita sebut proses longsor. Untuk membuatnya lebih jelas, ini adalah proses di mana perubahan besarnya sebanding dengan jumlah besaran yang sudah ada (semakin banyak, semakin banyak berubah; semakin sedikit, semakin sedikit perubahan).

Contoh dari proses tersebut adalah reproduksi bakteri. Mari kita pertimbangkan tugas seperti itu. Ada satu bakteri di dalam gelas. Setiap detik ia membelah menjadi dua bakteri, bakteri baru juga membelah menjadi dua setiap detik, dan seterusnya. Dalam satu menit, seluruh gelas dipenuhi bakteri. Berapa banyak bakteri dalam gelas sedetik sebelumnya?

Saya ingin mengatakan bahwa sedikit kurang dari satu gelas penuh, di suatu tempat, tetapi jawaban yang benar adalah: setengah gelas. Jika setengah gelas diisi, maka dalam sedetik setiap bakteri akan membelah menjadi beberapa bagian, dan mereka akan mengisi seluruh gelas. Seperti yang Anda lihat, bagian pertama gelas terisi dalam hitungan detik, dan bagian kedua terisi hanya dalam satu detik.

Gletser yang mencair

Pasti semua orang pernah mendengar tentang masalah pencairan es di planet ini. Mengapa proses glasiasi dan, sebaliknya, pemanasan terjadi? Mereka sebelumnya, meskipun sekarang mereka mengatakan bahwa aktivitas manusia memiliki pengaruh utama pada kecepatan mereka. Ada berbagai hipotesis, tetapi ini tidak begitu penting.

Lebih penting lagi, mengurangi jumlah es meningkatkan jumlah energi matahari yang diserap. Artinya, semakin sedikit es, semakin cepat mencair. Prosesnya eksponensial, atau, dengan kata lain, meminta diri sendiri, memberi makan sendiri.

Proses seperti itu dijelaskan fungsi eksponensial (atau eksponensial): (Gbr. 1). - basis, , , dan - eksponen, nilai berubah.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Contoh lain dari fungsi eksponensial yang akrab bagi banyak orang adalah bunga majemuk. Jika kami menaruh uang di bank dengan persentase tetap, sementara kami tidak menarik uang, dan bunga dibebankan pada seluruh jumlah yang tersedia, maka jumlah yang akan kami terima melalui periode: , di mana setoran awal, adalah tingkat bunga, adalah jumlah periode (tahun, bulan, dll.) berlalu. Pada awalnya, jumlahnya akan tumbuh perlahan, tetapi kemudian pertumbuhannya akan semakin cepat.

Contoh bagus lainnya. Jika kita menaikkan ke kekuatan, maka kita mendapatkan kira-kira, tetapi dalam kekuatan, itu praktis. Jika kita menyajikan contoh ini dalam bentuk bunga, maka dalam kasus pertama dibebankan per hari, maka jumlahnya akan meningkat dengan faktor satu tahun. Dan dalam kasus kedua, satu persen per hari ditarik, maka dalam setahun hampir tidak ada yang tersisa.

Pada saat yang sama, salah satu fitur karakteristik dari fungsi eksponensial adalah bahwa di bawah skema seperti itu, jumlahnya tidak dapat berkurang. Contoh serupa dari fisika nuklir adalah waktu paruh. Unsur radioaktif memiliki waktu paruh, misalnya, selama bertahun-tahun massa suatu zat akan berkurang setengahnya (Gbr. 2).

Beras. 2. Tabel waktu paruh beberapa unsur

Artinya, jika kita memiliki satu kilogram zat, maka pada tahun-tahun pertama satu gram zat (cukup banyak) akan hilang, dan di tahun-tahun berikutnya - sudah satu gram, dll. Dan kemudian akan ada periode di mana sekitar satu gram zat akan bertahan selama bertahun-tahun. Ini adalah contoh eksponen menurun.

Jika kita mempertimbangkan himpunan semua fungsi dan memilih di antara mereka yang memiliki properti berikut: , maka akan dipenuhi untuk fungsi eksponensial: .