Jarak titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis. Dalam geometri deskriptif, ditentukan secara grafis sesuai dengan algoritma di bawah ini.

algoritma

1. Garis lurus dipindahkan ke posisi di mana garis itu akan sejajar dengan bidang proyeksi apa pun. Untuk melakukan ini, terapkan metode transformasi proyeksi ortogonal.
2. Gambarlah garis tegak lurus dari satu titik ke garis. Konstruksi ini didasarkan pada teorema proyeksi sudut siku-siku.
3. Panjang garis tegak lurus ditentukan dengan mengubah proyeksinya atau menggunakan metode segitiga siku-siku.

Gambar berikut menunjukkan gambar kompleks titik M dan garis b yang ditentukan oleh segmen garis CD. Anda perlu menemukan jarak di antara mereka.

Menurut algoritma kami, hal pertama yang harus dilakukan adalah memindahkan garis ke posisi sejajar dengan bidang proyeksi. Penting untuk dipahami bahwa setelah transformasi, jarak sebenarnya antara titik dan garis tidak boleh berubah. Itulah mengapa lebih mudah menggunakan metode penggantian bidang di sini, yang tidak melibatkan sosok bergerak di ruang angkasa.

Hasil konstruksi tahap pertama ditunjukkan di bawah ini. Gambar tersebut menunjukkan bagaimana bidang frontal tambahan P 4 diperkenalkan sejajar dengan b. Dalam sistem baru (P 1 , P 4) titik C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 berada pada jarak yang sama dari sumbu X 1 dengan C"", D"", M"" dari sumbu x.

Melakukan bagian kedua dari algoritma, dari M"" 1 kita menurunkan tegak lurus M"" 1 N"" 1 ke garis b"" 1, karena sudut kanan MND antara b dan MN diproyeksikan ke bidang P 4 di ukuran penuh. Kami menentukan posisi titik N" di sepanjang jalur komunikasi dan menggambar proyeksi M"N" dari segmen MN.

Pada tahap akhir, perlu untuk menentukan nilai segmen MN dengan proyeksinya M"N" dan M"" 1 N"" 1 . Untuk melakukan ini, kami membangun segitiga siku-siku M "" 1 N "" 1 N 0 , di mana kaki N "" 1 N 0 sama dengan perbedaan (Y M 1 - Y N 1) dari penghapusan titik M "dan N" dari sumbu X 1. Panjang sisi miring M"" 1 N 0 dari segitiga M"" 1 N"" 1 N 0 sesuai dengan jarak yang diinginkan dari M ke b.

Cara kedua untuk menyelesaikan

• Sejalan dengan CD kami memperkenalkan bidang frontal baru 4 . Ini memotong P 1 sepanjang sumbu X 1, dan X 1 C"D". Sesuai dengan metode penggantian pesawat, kami menentukan proyeksi titik C "" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
• Tegak lurus dengan C "" 1 D "" 1 kami membangun bidang horizontal tambahan P 5 di mana garis lurus b diproyeksikan ke titik C" 2 \u003d b" 2.
• Jarak antara titik M dan garis lurus b ditentukan oleh panjang segmen M "2 C" 2 yang ditandai dengan warna merah.

Tugas terkait:

Tingkat pertama

Koordinat dan vektor. Panduan Komprehensif (2019)

Dalam artikel ini, Anda dan saya akan memulai diskusi tentang satu "tongkat ajaib" yang akan memungkinkan Anda untuk mengurangi banyak masalah dalam geometri menjadi aritmatika sederhana. "Tongkat" ini dapat membuat hidup Anda lebih mudah, terutama ketika Anda merasa tidak aman dalam membangun figur spasial, bagian, dll. Semua ini membutuhkan imajinasi dan keterampilan praktis tertentu. Metode, yang akan kita mulai pertimbangkan di sini, akan memungkinkan Anda untuk mengabstraksi hampir sepenuhnya dari semua jenis konstruksi geometris dan penalaran. Metode tersebut disebut "metode koordinat". Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. bidang koordinat
2. Titik dan vektor pada bidang
3. Membangun vektor dari dua titik​
4. Panjang vektor (jarak antara dua titik)​
5. Koordinat titik tengah
6. Hasil kali titik dari vektor
7. Sudut antara dua vektor

Saya pikir Anda sudah menebak mengapa metode koordinat disebut demikian? Memang benar bahwa ia mendapat nama seperti itu, karena ia tidak beroperasi dengan objek geometris, tetapi dengan karakteristik numeriknya (koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang memungkinkan untuk berpindah dari geometri ke aljabar, terdiri dari pengenalan sistem koordinat. Jika gambar aslinya datar, maka koordinatnya adalah dua dimensi, dan jika gambar tersebut tiga dimensi, maka koordinatnya adalah tiga dimensi. Pada artikel ini, kami hanya akan mempertimbangkan kasus dua dimensi. Dan tujuan utama artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menggunakan beberapa teknik dasar metode koordinat (kadang-kadang ternyata berguna ketika memecahkan masalah dalam planimetri di bagian B dari Unified State Examination). Dua bagian berikut pada topik ini dikhususkan untuk diskusi tentang metode untuk memecahkan masalah C2 (masalah stereometri).

Di mana logis untuk mulai membahas metode koordinat? Mungkin dengan konsep sistem koordinat. Ingat saat pertama kali bertemu dengannya. Sepertinya saya di kelas 7, ketika Anda belajar tentang keberadaan fungsi linier, misalnya. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa Anda membangunnya poin demi poin. Apakah kamu ingat? Anda memilih nomor arbitrer, menggantinya ke dalam rumus dan menghitung dengan cara ini. Misalnya, jika, maka, jika, maka, dll. Apa yang Anda dapatkan sebagai hasilnya? Dan Anda menerima poin dengan koordinat: dan. Kemudian Anda menggambar "salib" (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan Anda miliki sebagai satu segmen) dan menandai titik-titik yang Anda terima di atasnya, yang kemudian Anda hubungkan dengan garis lurus, garis yang dihasilkan adalah grafik fungsi.

Ada beberapa hal yang perlu dijelaskan kepada Anda sedikit lebih detail:

1. Anda memilih satu segmen untuk alasan kenyamanan, sehingga semuanya pas dan kompak dalam gambar

2. Diasumsikan bahwa sumbu bergerak dari kiri ke kanan, dan sumbu bergerak dari bawah ke atas

3. Mereka berpotongan di sudut kanan, dan titik persimpangan mereka disebut titik asal. Itu ditandai dengan surat.

4. Dalam catatan koordinat suatu titik, misalnya, di sebelah kiri dalam tanda kurung adalah koordinat titik di sepanjang sumbu, dan di sebelah kanan, di sepanjang sumbu. Secara khusus, hanya berarti bahwa intinya

5. Untuk menetapkan titik mana pun pada sumbu koordinat, Anda perlu menentukan koordinatnya (2 angka)

6. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,

7. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,

8. Sumbu disebut sumbu x

9. Sumbu disebut sumbu y

Sekarang mari kita ambil langkah berikutnya bersama Anda: tandai dua poin. Hubungkan kedua titik ini dengan sebuah garis. Dan mari kita letakkan panah seolah-olah kita sedang menggambar segmen dari titik ke titik: yaitu, kita akan mengarahkan segmen kita!

Ingat apa nama lain untuk segmen terarah? Itu benar, itu disebut vektor!

Jadi, jika kita menghubungkan titik ke titik, dan awalnya akan menjadi titik A, dan akhirnya akan menjadi titik B, maka kita mendapatkan sebuah vektor. Anda juga melakukan konstruksi ini di kelas 8, ingat?

Ternyata vektor, seperti titik, dapat dilambangkan dengan dua angka: angka-angka ini disebut koordinat vektor. Pertanyaan: menurut Anda apakah cukup bagi kita untuk mengetahui koordinat awal dan akhir vektor untuk menemukan koordinatnya? Ternyata iya! Dan itu sangat mudah dilakukan:

Jadi, karena dalam vektor titik adalah awal dan akhir, vektor memiliki koordinat berikut:

Misalnya, jika, maka koordinat vektor

Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya, cari koordinat vektornya. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, Anda perlu menukar awal dan akhir: sekarang awal vektor akan berada di satu titik, dan akhir di satu titik. Kemudian:

Perhatikan baik-baik, apa perbedaan antara vektor dan? Satu-satunya perbedaan mereka adalah tanda-tanda di koordinat. Mereka berlawanan. Fakta ini ditulis seperti ini:

Kadang-kadang, jika tidak disebutkan secara spesifik titik mana yang merupakan awal dari vektor, dan mana yang menjadi akhir, maka vektor-vektor tersebut dilambangkan bukan dengan dua huruf kapital, tetapi dengan satu huruf kecil, misalnya:, dst.

Sekarang sedikit praktek dan tentukan koordinat vektor-vektor berikut:

Penyelidikan:

Sekarang selesaikan masalahnya sedikit lebih sulit:

Sebuah torus vektor dengan on-cha-scrap pada suatu titik memiliki co-or-di-on-you. Temukan-di-te abs-cis-su poin.

Semua sama cukup membosankan: Membiarkan menjadi koordinat titik. Kemudian

Saya menyusun sistem dengan menentukan koordinat vektor. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Kami tertarik pada absis. Kemudian

Menjawab:

Apa lagi yang bisa Anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama dengan bilangan biasa (kecuali bahwa Anda tidak dapat membagi, tetapi Anda dapat mengalikan dengan dua cara, salah satunya akan kita bahas di sini nanti)

1. Vektor dapat ditumpuk satu sama lain
2. Vektor dapat dikurangkan satu sama lain
3. Vektor dapat dikalikan (atau dibagi) dengan angka bukan nol yang berubah-ubah
4. Vektor dapat dikalikan satu sama lain

Semua operasi ini memiliki representasi geometris yang cukup visual. Misalnya, aturan segitiga (atau jajaran genjang) untuk penambahan dan pengurangan:

Sebuah vektor membentang atau menyusut atau berubah arah ketika dikalikan atau dibagi dengan angka:

Namun, di sini kita akan tertarik pada pertanyaan tentang apa yang terjadi pada koordinat.

1. Saat menjumlahkan (mengurangi) dua vektor, kita menambahkan (mengurangi) koordinatnya elemen demi elemen. Itu adalah:

2. Saat mengalikan (membagi) vektor dengan angka, semua koordinatnya dikalikan (dibagi) dengan angka ini:

Sebagai contoh:

· Cari-di-jumlah ko-atau-di-nat abad-ke-ra.

Mari kita cari koordinat masing-masing vektor terlebih dahulu. Keduanya memiliki asal yang sama - titik asal. Ujung mereka berbeda. Kemudian, . Sekarang kita menghitung koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang dihasilkan sama dengan.

Menjawab:

Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:

· Temukan jumlah koordinat vektor

Kami memeriksa:

Sekarang mari kita perhatikan masalah berikut: kita memiliki dua titik pada bidang koordinat. Bagaimana cara mencari jarak antara keduanya? Biarkan poin pertama menjadi, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka sebagai . Mari kita membuat gambar berikut untuk kejelasan:

Apa yang telah kulakukan? Saya, pertama, menghubungkan titik-titik dan, dan juga menggambar garis yang sejajar dengan sumbu dari titik, dan menggambar garis yang sejajar dengan sumbu dari titik tersebut. Apakah mereka berpotongan pada suatu titik, membentuk sosok yang indah? Mengapa dia luar biasa? Ya, Anda dan saya hampir tahu segalanya tentang segitiga siku-siku. Nah, teorema Pythagoras, pasti. Segmen yang diinginkan adalah sisi miring dari segitiga ini, dan segmen tersebut adalah kaki. Berapakah koordinat titik tersebut? Ya, mereka mudah ditemukan dari gambar: Karena segmen sejajar dengan sumbu dan, masing-masing, panjangnya mudah ditemukan: jika kita menunjukkan panjang segmen, masing-masing, melalui, maka

Sekarang mari kita gunakan teorema Pythagoras. Kita tahu panjang kakinya, kita akan menemukan sisi miringnya:

Dengan demikian, jarak antara dua titik adalah jumlah akar dari perbedaan kuadrat dari koordinat. Atau - jarak antara dua titik adalah panjang segmen yang menghubungkannya. Sangat mudah untuk melihat bahwa jarak antara titik-titik tidak bergantung pada arahnya. Kemudian:

Dari sini kami menarik tiga kesimpulan:

Mari kita sedikit berlatih menghitung jarak antara dua titik:

Misalnya, jika, maka jarak antara dan adalah

Atau mari kita pergi secara berbeda: temukan koordinat vektor

Dan cari panjang vektor:

Seperti yang Anda lihat, itu sama!

Sekarang berlatih sedikit sendiri:

Tugas: temukan jarak antara titik-titik yang diberikan:

Kami memeriksa:

Berikut adalah beberapa masalah lagi untuk rumus yang sama, meskipun terdengar sedikit berbeda:

1. Cari-di-te kuadrat panjang kelopak mata-ke-ra.

2. Nai-di-te persegi panjang kelopak mata-ke-ra

Saya kira Anda dapat menanganinya dengan mudah? Kami memeriksa:

1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah menemukan koordinat vektor sebelumnya: . Maka vektor tersebut memiliki koordinat. Kuadrat panjangnya adalah:

2. Temukan koordinat vektor

Maka kuadrat panjangnya adalah

Tidak ada yang rumit, kan? Aritmatika sederhana, tidak lebih.

Teka-teki berikut tidak dapat diklasifikasikan dengan jelas, melainkan untuk pengetahuan umum dan kemampuan menggambar gambar sederhana.

1. Temukan-di-sinus sudut pada-clo-on-from-cut, hubungkan-titik ke-n-ke-, dengan sumbu absis.

dan

Bagaimana kita akan melakukannya di sini? Anda perlu menemukan sinus sudut antara dan sumbu. Dan di mana kita bisa mencari sinus? Itu benar, dalam segitiga siku-siku. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bangun segitiga ini!

Karena koordinat titik dan, maka segmen adalah sama, dan segmen. Kita perlu mencari sinus sudut. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa sinus adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, maka

Apa yang tersisa untuk kita lakukan? Temukan sisi miringnya. Anda dapat melakukannya dengan dua cara: dengan teorema Pythagoras (kaki diketahui!) atau dengan rumus jarak antara dua titik (sebenarnya sama dengan metode pertama!). Saya akan menggunakan cara kedua:

Menjawab:

Tugas berikutnya akan tampak lebih mudah bagi Anda. Dia - pada koordinat titik.

Tugas 2. Dari titik, per-pen-di-ku-lar diturunkan ke sumbu absis. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Mari kita menggambar:

Dasar dari garis tegak lurus adalah titik yang memotong sumbu x (sumbu) bagi saya ini adalah titik. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ia memiliki koordinat: . Kami tertarik pada absis - yaitu, komponen "X". Dia setara.

Menjawab: .

Tugas 3. Di bawah kondisi masalah sebelumnya, temukan jumlah jarak dari titik ke sumbu koordinat.

Tugasnya umumnya dasar jika Anda tahu berapa jarak dari suatu titik ke sumbu. Kamu tahu? Saya harap, tetapi saya tetap mengingatkan Anda:

Jadi, dalam gambar saya, yang terletak sedikit lebih tinggi, saya telah menggambarkan satu tegak lurus seperti itu? sumbu apa itu? ke sumbu. Dan berapa panjangnya? Dia setara. Sekarang gambar sendiri tegak lurus terhadap sumbu dan temukan panjangnya. Ini akan menjadi sama, kan? Maka jumlah mereka sama.

Menjawab: .

Tugas 4. Dalam kondisi masalah 2, temukan ordinat titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu x.

Saya pikir Anda secara intuitif memahami apa itu simetri? Sangat banyak objek yang memilikinya: banyak bangunan, meja, bidang, banyak bentuk geometris: bola, silinder, persegi, belah ketupat, dll. Secara kasar, simetri dapat dipahami sebagai berikut: bangun terdiri dari dua (atau lebih) bagian yang identik. Simetri ini disebut aksial. Lalu apa itu sumbu? Ini persis garis di mana gambar itu dapat, secara relatif, "dipotong" menjadi dua bagian yang identik (dalam gambar ini, sumbu simetri lurus):

Sekarang mari kita kembali ke tugas kita. Kita tahu bahwa kita mencari titik yang simetris terhadap sumbu. Maka sumbu ini adalah sumbu simetri. Jadi, kita perlu menandai sebuah titik sehingga sumbu memotong segmen menjadi dua bagian yang sama. Cobalah untuk menandai titik seperti itu sendiri. Sekarang bandingkan dengan solusi saya:

Apakah Anda melakukan hal yang sama? Bagus! Pada titik yang ditemukan, kami tertarik pada ordinat. Dia setara

Menjawab:

Sekarang beri tahu saya, setelah berpikir sejenak, berapa absis titik simetris ke titik A terhadap sumbu y? Apa jawabanmu? Jawaban yang benar: .

Secara umum, aturan dapat ditulis seperti ini:

Suatu titik yang simetris dengan suatu titik terhadap sumbu-x memiliki koordinat:

Suatu titik yang simetris dengan suatu titik terhadap sumbu y memiliki koordinat:

Nah, sekarang benar-benar menakutkan. sebuah tugas: Temukan koordinat titik yang simetris terhadap suatu titik, relatif terhadap titik asal. Anda pertama-tama berpikir untuk diri sendiri, dan kemudian lihat gambar saya!

Menjawab:

Sekarang masalah jajaran genjang:

Tugas 5: Poinnya adalah ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Temukan-dee-te atau-dee-on-tu poin.

Anda dapat memecahkan masalah ini dengan dua cara: logika dan metode koordinat. Pertama-tama saya akan menerapkan metode koordinat, dan kemudian saya akan memberi tahu Anda bagaimana Anda dapat memutuskan secara berbeda.

Cukup jelas bahwa absis titiknya sama. (terletak pada garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke sumbu x). Kita perlu menemukan ordinatnya. Mari kita manfaatkan fakta bahwa sosok kita adalah jajaran genjang, yang berarti itu. Cari panjang segmen menggunakan rumus jarak antara dua titik:

Kami menurunkan tegak lurus yang menghubungkan titik dengan sumbu. Titik potong dilambangkan dengan huruf.

Panjang segmen adalah sama. (cari sendiri masalahnya, di mana kita membahas momen ini), maka kita akan menemukan panjang segmen menggunakan teorema Pythagoras:

Panjang segmen persis sama dengan ordinatnya.

Menjawab: .

Solusi lain (saya hanya akan memberikan gambar yang menggambarkannya)

Kemajuan solusi:

1. Belanjakan

2. Temukan koordinat titik dan panjangnya

3. Buktikan itu.

Yang lainnya masalah panjang potong:

Poinnya adalah-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Temukan panjang garis tengahnya, par-ral-lel-noy.

Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis tengah segitiga? Maka bagi Anda tugas ini adalah dasar. Jika Anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan Anda: garis tengah segitiga adalah garis yang menghubungkan titik tengah sisi yang berlawanan. Itu sejajar dengan alas dan sama dengan setengahnya.

Basisnya adalah segmen. Kami harus mencari panjangnya sebelumnya, itu sama. Maka panjang garis tengah adalah setengah panjang dan sama.

Menjawab: .

Komentar: Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita bahas nanti.

Sementara itu, berikut adalah beberapa tugas untuk Anda, berlatihlah, itu cukup sederhana, tetapi mereka membantu untuk "masuk" menggunakan metode koordinat!

1. Poin muncul-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Cari panjang garis tengahnya.

2. Poin dan yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Temukan-dee-te atau-dee-on-tu poin.

3. Temukan panjang dari potongan, hubungkan titik kedua dan

4. Cari-di-te area untuk-shen-noy fi-gu-ry merah di pesawat ko-or-di-nat-noy.

5. Sebuah lingkaran yang berpusat di na-cha-le ko-or-di-nat melalui sebuah titik. Temukan-de-te ra-di-kumisnya.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, jelaskan-san-noy di dekat sudut kanan-no-ka, bagian atas-shi-ny dari sesuatu-ro-go memiliki co-or - di-na-kamu bersama-dari-balas-tapi

Solusi:

1. Diketahui bahwa garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya. Basisnya sama, tetapi alasnya. Kemudian

Menjawab:

2. Cara termudah untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan memperhatikan itu (aturan jajaran genjang). Hitung koordinat vektor dan tidak sulit: . Saat menambahkan vektor, koordinat ditambahkan. Kemudian memiliki koordinat. Titik tersebut memiliki koordinat yang sama, karena awal vektor adalah titik dengan koordinat. Kami tertarik pada ordinatnya. Dia setara.

Menjawab:

3. Kami bertindak segera sesuai dengan rumus jarak antara dua titik:

Menjawab:

4. Perhatikan gambar dan katakan, di antara dua gambar manakah daerah yang diarsir “diperas”? Itu diapit di antara dua kotak. Maka luas bangun yang diinginkan sama dengan luas persegi besar dikurangi luas persegi kecil. Sisi persegi kecil adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya adalah

Maka luas persegi kecil adalah

Kami melakukan hal yang sama dengan persegi besar: sisinya adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya sama dengan

Maka luas persegi besar adalah

Area gambar yang diinginkan ditemukan dengan rumus:

Menjawab:

5. Jika lingkaran memiliki titik asal sebagai pusatnya dan melalui sebuah titik, maka jari-jarinya akan sama persis dengan panjang segmen tersebut (buatlah gambar dan Anda akan mengerti mengapa hal ini jelas). Cari panjang segmen ini:

Menjawab:

6. Diketahui bahwa jari-jari lingkaran yang dibatasi pada persegi panjang sama dengan setengah dari diagonalnya. Mari kita cari panjang salah satu dari dua diagonal (setelah semua, dalam persegi panjang mereka sama!)

Menjawab:

Nah, apakah Anda mengatur semuanya? Tidak sulit untuk mengetahuinya, bukan? Hanya ada satu aturan di sini - untuk dapat membuat gambar visual dan cukup "membaca" semua data darinya.

Kami memiliki sangat sedikit yang tersisa. Ada dua poin lagi yang ingin saya diskusikan.

Mari kita coba selesaikan masalah sederhana ini. Biarkan dua poin dan diberikan. Temukan koordinat tengah segmen. Solusi untuk masalah ini adalah sebagai berikut: biarkan titik menjadi tengah yang diinginkan, maka memiliki koordinat:

Itu adalah: koordinat tengah segmen = mean aritmatika dari koordinat yang sesuai dari ujung segmen.

Aturan ini sangat sederhana dan biasanya tidak menimbulkan kesulitan bagi siswa. Mari kita lihat dalam masalah apa dan bagaimana menggunakannya:

1. Temukan-di-te atau-di-na-tu se-re-di-us from-cut, hubungkan-nya-yu-th-th point dan

2. Poinnya adalah yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Temukan-di-te atau-di-na-tu poin dari re-re-se-che-niya dari dia-go-on-lei-nya.

3. Temukan-di-te abs-cis-su dari pusat lingkaran, jelaskan-san-noy di dekat persegi panjang-no-ka, bagian atas-shi-kita memiliki sesuatu-ro-go co-or-di- na-Anda co-dari-dokter hewan-stvenno-tapi.

Solusi:

1. Tugas pertama hanya klasik. Kami bertindak segera dengan menentukan titik tengah segmen. Dia memiliki koordinat. ordinatnya sama.

Menjawab:

2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segi empat yang diberikan adalah jajar genjang (bahkan belah ketupat!). Anda dapat membuktikannya sendiri dengan menghitung panjang sisi-sisinya dan membandingkannya satu sama lain. Apa yang saya ketahui tentang jajaran genjang? Diagonalnya dibagi dua oleh titik potong! Ah! Jadi titik potong diagonalnya adalah? Ini adalah bagian tengah dari salah satu diagonal! Saya akan memilih, khususnya, diagonal. Maka titik tersebut memiliki koordinat, ordinat titik tersebut sama dengan.

Menjawab:

3. Berapakah pusat lingkaran yang dibatasi oleh persegi panjang? Itu bertepatan dengan titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal persegi panjang? Mereka sama dan titik persimpangan dibagi dua. Tugas telah dikurangi ke yang sebelumnya. Ambil, misalnya, diagonal. Kemudian jika adalah pusat lingkaran yang dibatasi, maka adalah bagian tengahnya. Saya mencari koordinat: Absis sama.

Menjawab:

Sekarang berlatih sedikit sendiri, saya hanya akan memberikan jawaban untuk setiap masalah sehingga Anda dapat memeriksanya sendiri.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, jelaskan-san-noy dekat segitiga-no-ka, puncak seseorang-ro-go memiliki ko-or-di -no misters

2. Temukan-di-te atau-di-na-tu pusat lingkaran, gambarkan san-noy di dekat segitiga-no-ka, puncak-shi-kita memiliki koordinat something-ro-go

3. Berapakah jenis ra-di-y-sa yang harus ada pada sebuah lingkaran dengan pusat di suatu titik sehingga menyentuh sumbu absis?

4. Cari-di-te atau-di-pada-titik tersebut dari re-se-che-ing sumbu dan dari-potong, hubungkan-nya-yu-ke-titik dan

Jawaban:

Apakah semuanya berhasil? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - dorongan terakhir. Sekarang berhati-hatilah. Materi yang akan saya jelaskan sekarang tidak hanya relevan dengan masalah metode koordinat sederhana di Bagian B, tetapi juga ada di mana-mana di Soal C2.

Manakah dari janji saya yang belum saya tepati? Ingat operasi apa pada vektor yang saya janjikan untuk diperkenalkan dan mana yang akhirnya saya perkenalkan? Apakah saya yakin saya tidak melupakan apa pun? Lupa! Saya lupa menjelaskan apa arti perkalian vektor.

Ada dua cara untuk mengalikan vektor dengan vektor. Bergantung pada metode yang dipilih, kita akan mendapatkan objek dengan sifat yang berbeda:

Produk vektor cukup rumit. Bagaimana melakukannya dan mengapa itu diperlukan, kami akan membahasnya dengan Anda di artikel berikutnya. Dan dalam hal ini kita akan fokus pada produk skalar.

Sudah ada dua cara yang memungkinkan kita menghitungnya:

Seperti yang Anda tebak, hasilnya harus sama! Jadi mari kita lihat cara pertama dulu:

Produk titik melalui koordinat

Temukan: - notasi umum untuk produk titik

Rumus untuk perhitungannya adalah sebagai berikut:

Artinya, produk titik = jumlah produk dari koordinat vektor!

Contoh:

Temukan-dee-te

Larutan:

Tentukan koordinat masing-masing vektor:

Kami menghitung produk skalar dengan rumus:

Menjawab:

Anda lihat, sama sekali tidak ada yang rumit!

Nah, sekarang coba sendiri:

Temukan-di-te skalar-noe pro-dari-ve-de-nie abad ke parit dan

Apakah Anda berhasil? Mungkin dia memperhatikan sedikit trik? Mari kita periksa:

Koordinat vektor, seperti pada tugas sebelumnya! Menjawab: .

Selain koordinat, ada cara lain untuk menghitung produk skalar, yaitu melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka:

Menunjukkan sudut antara vektor dan.

Artinya, produk skalar sama dengan produk dari panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka.

Mengapa kita membutuhkan rumus kedua ini, jika kita memiliki yang pertama, yang jauh lebih sederhana, setidaknya tidak ada kosinus di dalamnya. Dan kita membutuhkannya agar dari rumus pertama dan kedua kita dapat menyimpulkan bagaimana mencari sudut antar vektor!

Biarkan Kemudian ingat rumus untuk panjang vektor!

Kemudian jika saya memasukkan data ini ke dalam rumus produk titik, saya mendapatkan:

Tapi di sisi lain:

Jadi apa yang kita punya? Kami sekarang memiliki rumus untuk menghitung sudut antara dua vektor! Kadang-kadang, untuk singkatnya, juga ditulis seperti ini:

Artinya, algoritma untuk menghitung sudut antar vektor adalah sebagai berikut:

1. Kami menghitung produk skalar melalui koordinat
2. Temukan panjang vektor dan kalikan mereka
3. Bagi hasil poin 1 dengan hasil poin 2

Mari kita berlatih dengan contoh:

1. Temukan sudut antara kelopak mata-ke-ra-mi dan. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

2. Berdasarkan kondisi masalah sebelumnya, cari kosinus antara vektor

Mari kita lakukan ini: Saya akan membantu Anda memecahkan masalah pertama, dan mencoba melakukan yang kedua sendiri! Saya setuju? Kalau begitu mari kita mulai!

1. Vektor ini adalah teman lama kita. Kami telah mempertimbangkan produk skalar mereka dan itu sama. Koordinatnya adalah: , . Kemudian kami menemukan panjangnya:

Kemudian kita mencari kosinus antara vektor:

Berapakah kosinus sudut tersebut? Ini adalah sudut.

Menjawab:

Nah, sekarang selesaikan sendiri soal kedua, lalu bandingkan! Saya hanya akan memberikan solusi yang sangat singkat:

2. memiliki koordinat, memiliki koordinat.

Membiarkan menjadi sudut antara vektor dan, maka

Menjawab:

Perlu dicatat bahwa tugas langsung pada vektor dan metode koordinat di bagian B kertas ujian cukup jarang. Namun, sebagian besar masalah C2 dapat dengan mudah diselesaikan dengan memperkenalkan sistem koordinat. Jadi Anda dapat mempertimbangkan artikel ini sebagai fondasi, atas dasar itu kami akan membuat konstruksi yang cukup rumit yang kami perlukan untuk menyelesaikan masalah yang rumit.

KOORDINAT DAN VEKTOR. TINGKAT MENENGAH

Anda dan saya terus mempelajari metode koordinat. Di bagian terakhir, kami memperoleh sejumlah rumus penting yang memungkinkan:

1. Temukan koordinat vektor
2. Temukan panjang vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
3. Tambahkan, kurangi vektor. Kalikan dengan bilangan real
4. Tentukan titik tengah segmen
5. Hitung perkalian titik dari vektor
6. Tentukan sudut antara vektor

Tentu saja, seluruh metode koordinat tidak cocok dengan 6 titik ini. Ini mendasari ilmu seperti geometri analitik, yang akan Anda kenal di universitas. Saya hanya ingin membangun fondasi yang memungkinkan Anda menyelesaikan masalah dalam satu keadaan. ujian. Kami menemukan tugas bagian B di Sekarang saatnya untuk pindah ke tingkat yang baru secara kualitatif! Artikel ini akan dikhususkan untuk metode untuk memecahkan masalah C2 di mana akan masuk akal untuk beralih ke metode koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang perlu ditemukan dalam masalah, dan angka apa yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan metode koordinat jika pertanyaannya adalah:

1. Tentukan sudut antara dua bidang
2. Tentukan sudut antara garis dan bidang
3. Tentukan sudut antara dua garis
4. Tentukan jarak dari titik ke bidang
5. Hitung jarak titik ke garis
6. Tentukan jarak dari garis lurus ke bidang
7. Hitunglah jarak antara dua garis

Jika gambar yang diberikan dalam kondisi masalah adalah tubuh revolusi (bola, silinder, kerucut ...)

Angka yang cocok untuk metode koordinat adalah:

1. berbentuk kubus
2. Piramida (segitiga, segi empat, heksagonal)

Juga dalam pengalaman saya tidak pantas menggunakan metode koordinat untuk:

1. Menemukan luas bagian
2. Perhitungan volume benda

Namun, harus segera dicatat bahwa tiga situasi "tidak menguntungkan" untuk metode koordinat cukup jarang dalam praktiknya. Dalam sebagian besar tugas, itu bisa menjadi penyelamat Anda, terutama jika Anda tidak terlalu kuat dalam konstruksi tiga dimensi (yang terkadang cukup rumit).

Apakah semua angka yang saya sebutkan di atas? Mereka tidak lagi datar, seperti persegi, segitiga, lingkaran, tetapi tebal! Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan bukan sistem koordinat dua dimensi, tetapi tiga dimensi. Itu dibangun dengan cukup mudah: hanya di samping absis dan ordinat, kami akan memperkenalkan sumbu lain, sumbu aplikasi. Gambar secara skematis menunjukkan posisi relatif mereka:

Semuanya saling tegak lurus, berpotongan pada satu titik, yang akan kita sebut titik asal. Sumbu absis, seperti sebelumnya, akan dilambangkan, sumbu ordinat - , dan sumbu aplikasi yang diperkenalkan - .

Jika sebelumnya setiap titik pada bidang dicirikan oleh dua angka - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah dijelaskan oleh tiga angka - absis, ordinat, aplikasi. Sebagai contoh:

Dengan demikian, absis titik adalah sama, ordinatnya adalah , dan aplikasinya adalah .

Kadang-kadang absis suatu titik juga disebut proyeksi titik ke sumbu absis, ordinat adalah proyeksi titik ke sumbu y, dan aplikasi adalah proyeksi titik ke sumbu aplikasi. Dengan demikian, jika sebuah titik diberikan maka, sebuah titik dengan koordinat:

disebut proyeksi suatu titik pada bidang

disebut proyeksi suatu titik pada bidang

Sebuah pertanyaan alami muncul: apakah semua rumus yang diturunkan untuk kasus dua dimensi valid di ruang angkasa? Jawabannya adalah ya, mereka adil dan memiliki penampilan yang sama. Untuk detail kecil. Saya pikir Anda sudah menebak yang mana. Di semua rumus, kita harus menambahkan satu istilah lagi yang bertanggung jawab untuk sumbu aplikasi. Yaitu.

1. Jika diberikan dua titik: , maka:

• Koordinat vektor:
• Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
• Bagian tengah segmen memiliki koordinat

2. Jika dua vektor diberikan: dan, maka:

• Produk titik mereka adalah:
• Kosinus sudut antara vektor adalah:

Namun, ruang tidak sesederhana itu. Seperti yang Anda pahami, penambahan satu koordinat lagi memperkenalkan variasi signifikan dalam spektrum angka "hidup" di ruang ini. Dan untuk narasi lebih lanjut, saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasar, "generalisasi" dari garis lurus. Ini "generalisasi" akan menjadi pesawat. Apa yang kamu ketahui tentang pesawat? Coba jawab pertanyaan, apa itu pesawat? Sangat sulit untuk mengatakannya. Namun, kita semua secara intuitif membayangkan seperti apa:

Secara kasar, ini adalah semacam "daun" tak berujung yang didorong ke luar angkasa. "Tak terhingga" harus dipahami bahwa bidang memanjang ke segala arah, yaitu luasnya sama dengan tak terhingga. Namun, penjelasan "di jari" ini tidak memberikan gambaran sedikit pun tentang struktur pesawat. Dan kita akan tertarik padanya.

Mari kita ingat salah satu aksioma dasar geometri:

• Sebuah garis lurus melewati dua titik berbeda pada bidang, apalagi hanya satu:

Atau analognya di luar angkasa:

Tentu saja, Anda ingat bagaimana menurunkan persamaan garis lurus dari dua titik yang diberikan, ini sama sekali tidak sulit: jika titik pertama memiliki koordinat: dan yang kedua, maka persamaan garis lurus adalah sebagai berikut:

Anda mengalami ini di kelas 7. Di ruang angkasa, persamaan garis lurus terlihat seperti ini: mari kita memiliki dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis lurus yang melewatinya memiliki bentuk:

Sebagai contoh, sebuah garis melewati titik-titik:

Bagaimana ini harus dipahami? Ini harus dipahami sebagai berikut: sebuah titik terletak pada garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:

Kita tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi kita perlu memperhatikan konsep yang sangat penting dari vektor pengarah garis lurus. - setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis tertentu atau sejajar dengannya.

Misalnya, kedua vektor adalah vektor arah dari garis lurus. Membiarkan menjadi titik yang terletak pada garis lurus, dan menjadi vektor pengarahnya. Maka persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Sekali lagi, saya tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi saya benar-benar membutuhkan Anda untuk mengingat apa itu vektor arah! Lagi: itu adalah SETIAP vektor bukan nol yang terletak pada garis, atau sejajar dengannya.

Menarik persamaan tiga titik bidang tidak lagi begitu sepele, dan biasanya tidak tercakup dalam kursus sekolah menengah. Tapi sia-sia! Teknik ini sangat penting ketika kita menggunakan metode koordinat untuk memecahkan masalah yang kompleks. Namun, saya berasumsi bahwa Anda penuh dengan keinginan untuk mempelajari sesuatu yang baru? Selain itu, Anda akan dapat mengesankan guru Anda di universitas ketika ternyata Anda sudah tahu cara menggunakan teknik yang biasanya dipelajari dalam kursus geometri analitik. Jadi mari kita mulai.

Persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus pada bidang, yaitu berbentuk:

beberapa angka (tidak semuanya sama dengan nol), tetapi variabel, misalnya: dll. Seperti yang Anda lihat, persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus (fungsi linier). Namun, ingat apa yang kami perdebatkan dengan Anda? Kami mengatakan bahwa jika kami memiliki tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka persamaan bidang secara unik dipulihkan dari mereka. Tapi bagaimana caranya? Saya akan mencoba menjelaskan kepada Anda.

Karena persamaan bidang adalah:

Dan titik-titik tersebut termasuk dalam bidang ini, maka ketika mensubstitusikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan bidang, kita harus mendapatkan identitas yang benar:

Jadi, ada kebutuhan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan yang tidak diketahui! Dilema! Namun, kita selalu dapat berasumsi bahwa (untuk ini kita perlu membaginya dengan). Jadi, kita mendapatkan tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Namun, kami tidak akan menyelesaikan sistem seperti itu, tetapi tuliskan ekspresi samar yang mengikutinya:

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu

\\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \kanan| = 0\]

Berhenti! Apa lagi ini? Beberapa modul yang sangat tidak biasa! Namun, objek yang Anda lihat di depan Anda tidak ada hubungannya dengan modul. Objek ini disebut determinan orde ketiga. Mulai sekarang, ketika Anda berurusan dengan metode koordinat di pesawat, Anda akan sangat sering menemukan determinan yang sama ini. Apa yang dimaksud dengan determinan orde ketiga? Anehnya, itu hanya angka. Tetap memahami angka spesifik apa yang akan kita bandingkan dengan determinan.

Pertama-tama mari kita tulis determinan orde ketiga dalam bentuk yang lebih umum:

Di mana beberapa nomor. Selain itu, dengan indeks pertama yang kami maksud adalah nomor baris, dan dengan indeks - nomor kolom. Misalnya, itu berarti angka yang diberikan berada di persimpangan baris kedua dan kolom ketiga. Mari kita ajukan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya kita akan menghitung determinan seperti itu? Artinya, dengan nomor spesifik apa kita akan membandingkannya? Untuk determinan tepat orde ketiga, ada aturan segitiga heuristik (visual), tampilannya seperti ini:

1. Hasil kali elemen diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) hasil kali elemen yang membentuk segitiga pertama "tegak lurus" dengan diagonal utama produk dari elemen yang membentuk segitiga kedua "tegak lurus" ke utama diagonal
2. Hasil kali elemen diagonal sekunder (dari kanan atas ke kiri bawah) produk dari elemen yang membentuk segitiga pertama "tegak lurus" dengan diagonal sekunder produk dari elemen yang membentuk segitiga kedua "tegak lurus" dengan diagonal sekunder
3. Maka determinannya sama dengan selisih antara nilai yang diperoleh pada langkah dan

Jika kita menulis semua ini dalam angka, maka kita mendapatkan ekspresi berikut:

Namun, Anda tidak perlu menghafal metode perhitungan dalam formulir ini, cukup simpan segitiga di kepala Anda dan gagasan tentang apa yang ditambahkan ke apa dan apa yang kemudian dikurangi dari apa).

Mari kita ilustrasikan metode segitiga dengan sebuah contoh:

1. Hitung determinannya:

Mari kita cari tahu apa yang kita tambahkan dan apa yang kita kurangi:

Istilah yang datang dengan "plus":

Ini adalah diagonal utama: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga pertama, "tegak lurus dengan diagonal utama: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga kedua, "tegak lurus dengan diagonal utama: produk dari elemen-elemennya adalah

Kami menambahkan tiga angka:

Istilah yang datang dengan "minus"

Ini adalah diagonal sisi: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga pertama, "tegak lurus dengan diagonal sekunder: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga kedua, "tegak lurus dengan diagonal sekunder: produk dari elemen-elemennya adalah

Kami menambahkan tiga angka:

Yang masih harus dilakukan adalah mengurangkan dari jumlah suku-suku plus jumlah dari suku-suku minusnya:

Lewat sini,

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dan supernatural dalam perhitungan determinan orde ketiga. Penting untuk diingat tentang segitiga dan tidak membuat kesalahan aritmatika. Sekarang coba hitung sendiri:

Kami memeriksa:

1. Segitiga pertama tegak lurus dengan diagonal utama:
2. Segitiga kedua tegak lurus dengan diagonal utama:
3. Jumlah suku plus:
4. Segitiga pertama tegak lurus dengan sisi diagonal:
5. Segitiga kedua, tegak lurus dengan sisi diagonal:
6. Jumlah suku dengan minus:
7. Jumlah suku plus dikurangi jumlah suku minus:

Berikut adalah beberapa faktor penentu untuk Anda, hitung sendiri nilainya dan bandingkan dengan jawabannya:

Jawaban:

Nah, apakah semuanya cocok? Hebat, maka Anda bisa melanjutkan! Jika ada kesulitan, maka saran saya adalah ini: di Internet ada banyak program untuk menghitung determinan secara online. Yang Anda butuhkan hanyalah membuat determinan Anda sendiri, menghitungnya sendiri, dan kemudian membandingkannya dengan apa yang dihitung oleh program. Begitu seterusnya hingga hasilnya mulai cocok. Saya yakin momen ini tidak akan lama datang!

Sekarang mari kembali ke determinan yang saya tulis ketika saya berbicara tentang persamaan bidang yang melewati tiga titik yang diberikan:

Yang harus Anda lakukan adalah menghitung nilainya secara langsung (menggunakan metode segitiga) dan mengatur hasilnya sama dengan nol. Secara alami, karena mereka adalah variabel, Anda akan mendapatkan beberapa ekspresi yang bergantung padanya. Ekspresi inilah yang akan menjadi persamaan bidang yang melewati tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus!

Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh sederhana:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui titik-titik

Kami membuat determinan untuk tiga poin ini:

Menyederhanakan:

Sekarang kita menghitungnya secara langsung sesuai dengan aturan segitiga:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c)))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan| = \kiri((x + 3) \kanan) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \kiri((z + 1) \kanan) + \kiri((y - 2) \kanan) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Jadi, persamaan bidang yang melalui titik-titik adalah:

Sekarang cobalah untuk memecahkan satu masalah sendiri, dan kemudian kita akan membahasnya:

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik

Baiklah, mari kita bahas solusinya sekarang:

Kami membuat penentu:

Dan hitung nilainya:

Maka persamaan bidang memiliki bentuk:

Atau, dikurangi dengan, kita mendapatkan:

Sekarang dua tugas untuk pengendalian diri:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Jawaban:

Apakah semuanya cocok? Sekali lagi, jika ada kesulitan tertentu, maka saran saya adalah ini: Anda mengambil tiga poin dari kepala Anda (dengan tingkat probabilitas tinggi mereka tidak akan terletak pada satu garis lurus), buatlah sebuah pesawat di atasnya. Dan kemudian periksa diri Anda secara online. Misalnya, di situs:

Namun, dengan bantuan determinan, kita tidak hanya akan membangun persamaan bidang. Ingat, saya katakan bahwa untuk vektor, tidak hanya produk titik yang didefinisikan. Ada juga vektor, serta produk campuran. Dan jika produk skalar dari dua vektor akan menjadi angka, maka produk vektor dari dua vektor akan menjadi vektor, dan vektor ini akan tegak lurus dengan yang diberikan:

Selain itu, modulusnya akan sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan. Kita akan membutuhkan vektor ini untuk menghitung jarak dari titik ke garis. Bagaimana kita dapat menghitung perkalian silang dari vektor dan jika koordinatnya diberikan? Penentu urutan ketiga kembali membantu kita. Namun, sebelum saya beralih ke algoritma untuk menghitung produk silang, saya harus membuat penyimpangan liris kecil.

Penyimpangan ini menyangkut vektor basis.

Secara skematis mereka ditunjukkan pada gambar:

Menurut Anda mengapa mereka disebut dasar? Faktanya adalah bahwa:

Atau di gambar:

Keabsahan rumus ini jelas, karena:

produk vektor

Sekarang saya dapat mulai memperkenalkan produk silang:

Produk vektor dua vektor adalah vektor yang dihitung menurut aturan berikut:

Sekarang mari kita berikan beberapa contoh menghitung perkalian silang:

Contoh 1: Temukan produk silang vektor:

Solusi: Saya membuat determinan:

Dan saya menghitungnya:

Sekarang, dari menulis hingga vektor basis, saya akan kembali ke notasi vektor biasa:

Lewat sini:

Sekarang coba.

Siap? Kami memeriksa:

Dan secara tradisional dua tugas untuk mengontrol:

1. Tentukan perkalian silang dari vektor-vektor berikut:
2. Tentukan perkalian silang dari vektor-vektor berikut:

Jawaban:

Produk campuran dari tiga vektor

Konstruksi terakhir yang saya butuhkan adalah produk campuran dari tiga vektor. Ini, seperti skalar, adalah angka. Ada dua cara untuk menghitungnya. - melalui determinan, - melalui produk campuran.

Yaitu, katakanlah kita memiliki tiga vektor:

Kemudian produk campuran dari tiga vektor, dilambangkan dengan dapat dihitung sebagai:

1. - yaitu, produk campuran adalah produk skalar dari sebuah vektor dan produk vektor dari dua vektor lainnya

Misalnya, produk campuran dari tiga vektor adalah:

Coba hitung sendiri menggunakan perkalian vektor dan pastikan hasilnya cocok!

Dan lagi - dua contoh untuk keputusan independen:

Jawaban:

Pilihan sistem koordinat

Nah, sekarang kita memiliki semua dasar pengetahuan yang diperlukan untuk memecahkan masalah stereometrik yang kompleks dalam geometri. Namun, sebelum melanjutkan langsung ke contoh dan algoritme untuk menyelesaikannya, saya yakin akan berguna untuk memikirkan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya memilih sistem koordinat untuk gambar tertentu. Bagaimanapun, itu adalah pilihan posisi relatif dari sistem koordinat dan sosok di ruang angkasa yang pada akhirnya akan menentukan seberapa rumit perhitungannya.

Saya mengingatkan Anda bahwa di bagian ini kita sedang mempertimbangkan bentuk-bentuk berikut:

1. berbentuk kubus
2. Prisma lurus (segitiga, heksagonal ...)
3. Piramida (segitiga, segi empat)
4. Tetrahedron (sama dengan piramida segitiga)

Untuk balok atau kubus, saya merekomendasikan konstruksi berikut:

Artinya, saya akan menempatkan gambar "di sudut". Kubus dan kotak adalah sosok yang sangat bagus. Bagi mereka, Anda selalu dapat dengan mudah menemukan koordinat simpulnya. Misalnya, jika (seperti yang ditunjukkan pada gambar)

maka koordinat titiknya adalah:

Tentu saja, Anda tidak perlu mengingat ini, tetapi mengingat cara terbaik untuk memposisikan kubus atau kotak persegi panjang sangat diinginkan.

prisma lurus

Prisma adalah sosok yang lebih berbahaya. Anda dapat mengaturnya di ruang angkasa dengan cara yang berbeda. Namun, saya pikir berikut ini adalah pilihan terbaik:

Prisma segitiga:

Artinya, kami menempatkan salah satu sisi segitiga seluruhnya pada sumbu, dan salah satu simpul bertepatan dengan titik asal.

Prisma segi enam:

Artinya, salah satu simpul bertepatan dengan titik asal, dan salah satu sisi terletak pada sumbu.

Piramida segi empat dan heksagonal:

Situasi yang mirip dengan kubus: kami menggabungkan dua sisi alas dengan sumbu koordinat, kami menggabungkan salah satu simpul dengan titik asal. Satu-satunya kesulitan kecil adalah menghitung koordinat titik.

Untuk piramida heksagonal - sama seperti untuk prisma heksagonal. Tugas utama lagi adalah menemukan koordinat titik.

Tetrahedron (piramida segitiga)

Situasinya sangat mirip dengan yang saya berikan untuk prisma segitiga: satu simpul bertepatan dengan titik asal, satu sisi terletak pada sumbu koordinat.

Nah, sekarang Anda dan saya akhirnya hampir mulai menyelesaikan masalah. Dari apa yang saya katakan di awal artikel, Anda dapat menarik kesimpulan berikut: sebagian besar masalah C2 terbagi dalam 2 kategori: masalah sudut dan masalah jarak. Pertama, kita akan mempertimbangkan masalah untuk menemukan sudut. Mereka, pada gilirannya, dibagi ke dalam kategori berikut (dengan meningkatnya kompleksitas):

Masalah untuk menemukan sudut

1. Mencari sudut antara dua garis
2. Mencari sudut antara dua bidang

Mari kita pertimbangkan masalah ini secara berurutan: mari kita mulai dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Ayo, ingat, apakah Anda dan saya pernah memecahkan contoh serupa sebelumnya? Anda ingat, karena kami sudah memiliki sesuatu yang serupa ... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Saya ingatkan Anda, jika dua vektor diberikan: dan, maka sudut di antara mereka ditemukan dari hubungan:

Sekarang kita memiliki tujuan - menemukan sudut antara dua garis lurus. Mari kita beralih ke "gambar datar":

Berapa banyak sudut yang kita dapatkan ketika dua garis berpotongan? Sudah barang. Benar, hanya dua dari mereka yang tidak sama, sementara yang lain vertikal (dan karenanya bertepatan dengan mereka). Jadi sudut apa yang harus kita pertimbangkan sebagai sudut antara dua garis lurus: atau? Di sini aturannya adalah: sudut antara dua garis lurus selalu tidak lebih dari derajat. Artinya, dari dua sudut, kita akan selalu memilih sudut dengan ukuran derajat terkecil. Artinya, pada gambar ini, sudut antara dua garis sama besar. Agar tidak repot mencari yang terkecil dari dua sudut setiap saat, matematikawan licik menyarankan menggunakan modul. Jadi, sudut antara dua garis lurus ditentukan oleh rumus:

Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, seharusnya memiliki pertanyaan: di mana, sebenarnya, kita mendapatkan angka-angka ini yang kita perlukan untuk menghitung kosinus suatu sudut? Jawaban: kita akan mengambilnya dari vektor arah garis! Jadi, algoritma untuk mencari sudut antara dua garis adalah sebagai berikut:

1. Kami menerapkan rumus 1.

Atau lebih jelasnya:

1. Kami mencari koordinat vektor arah dari garis lurus pertama
2. Kami mencari koordinat vektor arah garis kedua
3. Hitung modulus produk skalar mereka
4. Kami mencari panjang vektor pertama
5. Kami mencari panjang vektor kedua
6. Kalikan hasil poin 4 dengan hasil poin 5
7. Kami membagi hasil poin 3 dengan hasil poin 6. Kami mendapatkan kosinus sudut antara garis
8. Jika hasil ini memungkinkan kami menghitung sudut dengan tepat, kami mencarinya
9. Jika tidak, kami menulis melalui arccosine

Nah, sekarang saatnya untuk beralih ke tugas: Saya akan menunjukkan solusi dari dua yang pertama secara rinci, saya akan menyajikan solusi yang lain secara singkat, dan saya hanya akan memberikan jawaban untuk dua tugas terakhir, Anda harus melakukan semua perhitungan untuk mereka sendiri.

Tugas:

1. Di sisi kanan tet-ra-ed-re, temukan-di-te sudut antara Anda-jadi-itu tet-ra-ed-ra dan sisi me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Dalam enam batu bara-pi-ra-mi-de kanan ke depan, seratus-ro-na-os-no-va-niya entah bagaimana sama, dan rusuk sampingnya sama, temukan sudut antara garis lurus garis dan.

3. Panjang semua sisi dari empat tangan kanan empat-anda-batubara-noy pi-ra-mi-dy adalah sama satu sama lain. Temukan sudut antara garis lurus dan jika dari-re-zok - Anda-begitu-yang diberikan pi-ra-mi-dy, intinya adalah se-re-di-pada rusuk bo-ko-nya

4. Di tepi kubus dari-me-che-ke suatu titik sehingga Cari-di-te sudut antara garis lurus dan

5. Titik - atur ulang pada tepi kubus Nai-di-te sudut antara garis lurus dan.

Bukan kebetulan bahwa saya menempatkan tugas dalam urutan ini. Meskipun Anda belum punya waktu untuk mulai menavigasi metode koordinat, saya sendiri akan menganalisis angka yang paling "bermasalah", dan saya akan meninggalkan Anda untuk berurusan dengan kubus paling sederhana! Secara bertahap Anda harus belajar bagaimana bekerja dengan semua angka, saya akan meningkatkan kompleksitas tugas dari topik ke topik.

Mari kita mulai memecahkan masalah:

1. Gambarlah sebuah tetrahedron, letakkan di sistem koordinat seperti yang saya sarankan sebelumnya. Karena tetrahedron beraturan, maka semua mukanya (termasuk alasnya) adalah segitiga beraturan. Karena panjang sisinya tidak diketahui, saya dapat menganggapnya sama. Saya pikir Anda mengerti bahwa sudut tidak akan benar-benar tergantung pada seberapa banyak tetrahedron kita akan "meregangkan" ?. Saya juga akan menggambar tinggi dan median dalam tetrahedron. Sepanjang jalan, saya akan menggambar dasarnya (itu juga akan berguna bagi kita).

Saya perlu menemukan sudut antara dan. Apa yang kita ketahui? Kita hanya tahu koordinat titiknya. Jadi, kita perlu menemukan lebih banyak koordinat titik. Sekarang kita berpikir: titik adalah titik persimpangan ketinggian (atau garis bagi atau median) dari sebuah segitiga. Titik adalah titik yang ditinggikan. Titik adalah titik tengah segmen. Kemudian akhirnya kita perlu mencari: koordinat titik: .

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana: koordinat titik. Perhatikan gambar: Jelas bahwa penerapan suatu titik sama dengan nol (titik terletak pada bidang). Oordinatnya sama (karena median). Lebih sulit untuk menemukan absisnya. Namun, ini mudah dilakukan berdasarkan teorema Pythagoras: Pertimbangkan sebuah segitiga. Sisi miringnya sama, dan salah satu kakinya sama.

Akhirnya kami memiliki:

Sekarang mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa penerapannya sekali lagi sama dengan nol, dan ordinatnya sama dengan titik, yaitu. Mari kita cari absisnya. Ini dilakukan dengan agak sepele jika seseorang mengingatnya tinggi segitiga sama sisi dibagi dengan titik potong dalam proporsi menghitung dari atas. Karena:, maka absis titik yang diinginkan, sama dengan panjang segmen, sama dengan:. Jadi, koordinat titiknya adalah:

Mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik tersebut. Dan applique sama dengan panjang segmen. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Sisi miring segitiga adalah segmen - kaki. Itu dicari karena alasan yang saya soroti dalam huruf tebal:

Titik adalah titik tengah segmen. Maka kita perlu mengingat rumus untuk koordinat tengah segmen:

Itu saja, sekarang kita dapat mencari koordinat vektor arah:

Nah, semuanya sudah siap: kami mengganti semua data ke dalam rumus:

Lewat sini,

Menjawab:

Anda tidak perlu takut dengan jawaban "mengerikan" seperti itu: untuk masalah C2 ini adalah praktik umum. Saya lebih suka terkejut dengan jawaban "indah" di bagian ini. Juga, seperti yang Anda catat, saya praktis tidak menggunakan apa pun selain teorema Pythagoras dan properti ketinggian segitiga sama sisi. Artinya, untuk memecahkan masalah stereometri, saya menggunakan stereometri yang sangat minimum. Keuntungan dalam hal ini sebagian "padam" dengan perhitungan yang agak rumit. Tapi mereka cukup algoritmik!

2. Gambarlah piramida heksagonal beraturan beserta sistem koordinatnya, serta alasnya:

Kita perlu mencari sudut antara garis dan. Dengan demikian, tugas kita dikurangi menjadi menemukan koordinat titik: . Kami akan menemukan koordinat tiga terakhir dari gambar kecil, dan kami akan menemukan koordinat titik melalui koordinat titik. Banyak pekerjaan, tetapi harus dimulai!

a) Koordinat: jelas aplikasi dan ordinatnya nol. Mari kita temukan absisnya. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku. Sayangnya, di dalamnya kita hanya tahu sisi miring, yang sama dengan. Kami akan mencoba menemukan kaki (karena jelas bahwa dua kali panjang kaki akan memberi kami titik absis). Bagaimana kita bisa mencarinya? Mari kita ingat sosok seperti apa yang kita miliki di dasar piramida? Ini adalah segi enam biasa. Apa artinya? Ini berarti bahwa semua sisi dan semua sudut adalah sama. Kita perlu menemukan satu sudut seperti itu. Ada ide? Ada banyak ide, tetapi ada formula:

Jumlah sudut n-gon beraturan adalah .

Jadi, jumlah sudut segi enam beraturan adalah derajat. Maka masing-masing sudut sama dengan:

Mari kita lihat lagi gambarnya. Jelas bahwa segmen adalah garis-bagi dari sudut. Maka sudutnya adalah derajat. Kemudian:

Lalu dimana.

Jadi memiliki koordinat

b) Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan koordinat titik: .

c. Tentukan koordinat titik tersebut. Karena absisnya bertepatan dengan panjang segmen, itu sama. Menemukan ordinat juga tidak terlalu sulit: jika kita menghubungkan titik-titik dan dan menunjukkan titik perpotongan garis, katakanlah untuk. (lakukan sendiri konstruksi sederhana). Jadi, ordinat titik B sama dengan jumlah panjang segmen. Mari kita lihat segitiga lagi. Kemudian

Kemudian sejak Kemudian titik tersebut memiliki koordinat

d) Sekarang cari koordinat titik tersebut. Perhatikan sebuah persegi panjang dan buktikan bahwa Dengan demikian, koordinat titiknya adalah:

e) Tetap mencari koordinat titik. Jelas bahwa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik tersebut. Mari temukan aplikasi. Dari dulu. Pertimbangkan segitiga siku-siku. Dengan kondisi masalah, tepi lateral. Ini adalah hipotenusa segitiga saya. Maka tinggi piramida adalah kaki.

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Itu saja, saya memiliki koordinat semua tempat menarik bagi saya. Saya mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:

Kami mencari sudut antara vektor-vektor ini:

Menjawab:

Sekali lagi, ketika memecahkan masalah ini, saya tidak menggunakan trik canggih apa pun, kecuali rumus jumlah sudut n-gon biasa, serta definisi kosinus dan sinus segitiga siku-siku.

3. Karena kita sekali lagi tidak diberikan panjang tepi dalam piramida, saya akan menganggapnya sama dengan satu. Jadi, karena SEMUA tepi, dan bukan hanya sisi, sama satu sama lain, maka di dasar piramida dan saya terletak sebuah bujur sangkar, dan sisi-sisinya adalah segitiga biasa. Mari kita gambarkan piramida seperti itu, serta pangkalannya di pesawat, menandai semua data yang diberikan dalam teks masalah:

Kami mencari sudut antara dan. Saya akan membuat perhitungan yang sangat singkat ketika saya mencari koordinat titik. Anda perlu "mendekripsi" mereka:

b) - bagian tengah segmen. Koordinat dia:

c) Saya akan menemukan panjang segmen menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga. Saya akan menemukan dengan teorema Pythagoras dalam segitiga.

Koordinat:

d) - bagian tengah segmen. Koordinatnya adalah

e) Koordinat vektor

f) Koordinat vektor

g) Mencari sudut:

Kubus adalah bangun yang paling sederhana. Saya yakin Anda bisa mengetahuinya sendiri. Jawaban untuk masalah 4 dan 5 adalah sebagai berikut:

Mencari sudut antara garis dan bidang

Nah, waktu untuk teka-teki sederhana sudah berakhir! Sekarang contohnya akan lebih sulit. Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita lakukan sebagai berikut:

1. Menggunakan tiga titik, kami membangun persamaan bidang
   ,
   menggunakan determinan orde ketiga.
2. Dengan dua titik kami mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:
3. Kami menerapkan rumus untuk menghitung sudut antara garis lurus dan bidang:

Seperti yang Anda lihat, rumus ini sangat mirip dengan rumus yang kita gunakan untuk mencari sudut di antara dua garis. Struktur sisi kanan sama saja, dan di sebelah kiri kita sekarang mencari sinus, dan bukan kosinus, seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan jahat ditambahkan - pencarian persamaan pesawat.

Jangan disimpan memecahkan contoh:

1. Os-no-va-ni-em lurus-hadiah saya-kita-la-et-xia sama-tapi-miskin-ren-ny segitiga-nick you-dengan-hadiah itu-kita sama. Tentukan sudut antara garis lurus dan bidang

2. Dalam sebuah persegi panjang pa-ral-le-le-pi-pe-de dari Nai-di-te Barat sudut antara garis lurus dan bidang

3. Pada prisma enam batu bara tangan kanan, semua rusuknya sama. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang.

4. Di segitiga kanan pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em dari barat rusuk sudut Nai-di-te, bidang ob-ra-zo-van -ny dari os -no-va-niya dan lurus-saya, melewati se-re-di-na dari tulang rusuk dan

5. Panjang semua sisi segi empat kanan pi-ra-mi-dy dengan bagian atas adalah sama satu sama lain. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang, jika titiknya se-re-di-pada tepi bo-ko-in-th dari pi-ra-mi-dy.

Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara rinci, yang ketiga - secara singkat, dan saya meninggalkan dua yang terakhir untuk Anda selesaikan sendiri. Selain itu, Anda sudah harus berurusan dengan piramida segitiga dan segi empat, tetapi belum dengan prisma.

Solusi:

1. Gambarlah prisma, serta alasnya. Mari kita gabungkan dengan sistem koordinat dan tandai semua data yang diberikan dalam pernyataan masalah:

Saya minta maaf untuk beberapa ketidakpatuhan proporsi, tetapi untuk memecahkan masalah ini, pada kenyataannya, tidak begitu penting. Pesawat hanyalah "dinding belakang" prisma saya. Cukup menebak bahwa persamaan bidang seperti itu memiliki bentuk:

Namun, ini juga dapat ditunjukkan secara langsung:

Kami memilih tiga titik sewenang-wenang pada bidang ini: misalnya, .

Mari kita buat persamaan bidangnya:

Latihan untuk Anda: hitung sendiri determinan ini. Apakah kamu berhasil? Maka persamaan bidang memiliki bentuk:

Atau sederhananya

Lewat sini,

Untuk memecahkan contoh, saya perlu menemukan koordinat vektor pengarah garis lurus. Karena titik tersebut bertepatan dengan titik asal, maka koordinat vektor hanya akan bertepatan dengan koordinat titik.Untuk melakukan ini, pertama-tama kita mencari koordinat titik tersebut.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan sebuah segitiga. Mari kita menggambar ketinggian (ini juga merupakan median dan garis bagi) dari atas. Karena, maka ordinat titik tersebut adalah sama. Untuk menemukan absis titik ini, kita perlu menghitung panjang segmen. Dengan teorema Pythagoras kita memiliki:

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Sebuah titik adalah "mengangkat" pada sebuah titik:

Maka koordinat vektornya:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya tidak ada yang sulit dalam memecahkan masalah seperti itu. Faktanya, "kelurusan" sosok seperti prisma menyederhanakan prosesnya sedikit lebih. Sekarang mari kita beralih ke contoh berikutnya:

2. Kami menggambar paralelepiped, menggambar bidang dan garis lurus di dalamnya, dan juga secara terpisah menggambar alas bawahnya:

Pertama, kita temukan persamaan bidangnya: Koordinat tiga titik yang terletak di dalamnya:

(dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan Anda dapat dengan mudah menemukan koordinat terakhir dari gambar dari titik). Kemudian kita buat persamaan bidangnya:

Kami menghitung:

Kami mencari koordinat vektor arah: Jelas koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik, bukan? Bagaimana cara mencari koordinat? Ini adalah koordinat titik, dibangkitkan di sepanjang sumbu aplikasi satu per satu! . Kemudian kami mencari sudut yang diinginkan:

Menjawab:

3. Gambarlah sebuah piramida heksagonal biasa, lalu gambar sebuah bidang dan garis lurus di dalamnya.

Di sini bahkan bermasalah untuk menggambar pesawat, belum lagi solusi dari masalah ini, tetapi metode koordinat tidak peduli! Dalam keserbagunaannya terletak keunggulan utamanya!

Pesawat melewati tiga titik: . Kami mencari koordinat mereka:

satu) . Tampilkan sendiri koordinat untuk dua titik terakhir. Anda perlu menyelesaikan masalah dengan piramida heksagonal untuk ini!

2) Kami membangun persamaan bidang:

Kami mencari koordinat vektor: . (Lihat masalah piramida segitiga lagi!)

3) Kami mencari sudut:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang sulit secara supernatural dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu sangat berhati-hati dengan akarnya. Untuk dua masalah terakhir, saya hanya akan memberikan jawaban:

Seperti yang Anda lihat, teknik untuk memecahkan masalah sama di mana-mana: tugas utamanya adalah menemukan koordinat simpul dan menggantinya ke dalam beberapa rumus. Tetap bagi kita untuk mempertimbangkan satu kelas masalah lagi untuk menghitung sudut, yaitu:

Menghitung sudut antara dua bidang

Algoritma solusi akan menjadi sebagai berikut:

1. Untuk tiga titik kita mencari persamaan bidang pertama:
2. Untuk tiga titik lainnya, kami mencari persamaan bidang kedua:
3. Kami menerapkan rumus:

Seperti yang Anda lihat, rumusnya sangat mirip dengan dua rumus sebelumnya, yang dengannya kami mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan bidang. Jadi mengingat yang satu ini tidak akan sulit bagi Anda. Langsung saja kita ke masalahnya:

1. Seratus-ro-atas dasar prisma segitiga siku-siku adalah sama, dan diagonal sisi mukanya sama. Temukan sudut antara bidang dan bidang alas hadiah.

2. Di kanan-maju empat-kamu-kembali-batubara-noy pi-ra-mi-de, semua tepi seseorang adalah sama, temukan sinus sudut antara bidang dan bidang Ko-Stu, melewati intinya per-pen-di-ku-lyar-tapi lurus-saya.

3. Dalam prisma empat batu bara beraturan, sisi-sisi os-no-va-nia adalah sama, dan sisi-sisinya sama. Di tepi dari-saya-che-to the point sehingga. Tentukan sudut antara bidang dan

4. Pada prisma segi empat siku-siku, sisi-sisi alasnya sama, dan sisi-sisinya sama. Di tepi dari-saya-che-ke suatu titik sehingga Temukan sudut antara bidang dan.

5. Dalam kubus, temukan co-si-nus sudut antara bidang dan

Solusi masalah:

1. Saya menggambar prisma segitiga biasa (di alasnya - segitiga sama sisi) dan menandai di atasnya bidang yang muncul dalam kondisi masalah:

Kita perlu menemukan persamaan dua bidang: Persamaan dasar diperoleh secara sepele: Anda dapat membuat determinan yang sesuai untuk tiga titik, tetapi saya akan segera membuat persamaannya:

Sekarang mari kita cari persamaan Titik memiliki koordinat Titik - Sejak - median dan tinggi segitiga, mudah untuk menemukan dengan teorema Pythagoras dalam sebuah segitiga. Maka titik tersebut memiliki koordinat: Temukan aplikasi titik Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku

Kemudian kami mendapatkan koordinat berikut: Kami menyusun persamaan bidang.

Kami menghitung sudut antara bidang:

Menjawab:

2. Membuat gambar:

Hal yang paling sulit adalah memahami bidang misterius macam apa itu, melewati suatu titik secara tegak lurus. Nah, yang utama adalah apa itu? Yang utama adalah perhatian! Memang, garisnya tegak lurus. Garisnya juga tegak lurus. Kemudian bidang yang melalui kedua garis ini akan tegak lurus terhadap garis tersebut, dan akan melewati titik tersebut. Pesawat ini juga melewati puncak piramida. Kemudian pesawat yang diinginkan - Dan pesawat itu sudah diberikan kepada kita. Kami mencari koordinat titik.

Kami menemukan koordinat titik melalui titik. Mudah untuk menyimpulkan dari gambar kecil bahwa koordinat titiknya adalah sebagai berikut: Apa yang tersisa untuk ditemukan untuk menemukan koordinat puncak piramida? Masih perlu menghitung tingginya. Hal ini dilakukan dengan menggunakan teorema Pythagoras yang sama: pertama, buktikan bahwa (sepele dari segitiga kecil yang membentuk bujur sangkar di alasnya). Karena dengan syarat, kami memiliki:

Sekarang semuanya sudah siap: koordinat titik:

Kami membuat persamaan bidang:

Anda sudah ahli dalam menghitung determinan. Dengan mudah Anda akan menerima:

Atau sebaliknya (jika kita mengalikan kedua bagian dengan akar dua)

Sekarang mari kita cari persamaan bidangnya:

(Anda tidak lupa bagaimana kita mendapatkan persamaan pesawat, kan? Jika Anda tidak mengerti dari mana asal minus ini, maka kembali ke definisi persamaan pesawat! Itu selalu berubah sebelumnya. bahwa pesawat saya milik asal!)

Kami menghitung determinannya:

(Anda mungkin memperhatikan bahwa persamaan bidang bertepatan dengan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik dan! Pikirkan mengapa!)

Sekarang kita hitung sudutnya:

Kita perlu mencari sinus:

Menjawab:

3. Sebuah pertanyaan rumit: apa itu prisma persegi panjang, bagaimana menurut Anda? Itu hanya paralelepiped terkenal untuk Anda! Menggambar segera! Anda bahkan tidak dapat menggambarkan pangkalan secara terpisah, ada sedikit gunanya di sini:

Pesawat, seperti yang kita catat sebelumnya, ditulis sebagai persamaan:

Sekarang kita membuat pesawat

Kami segera membuat persamaan pesawat:

Mencari sudut

Sekarang jawaban untuk dua masalah terakhir:

Nah, sekarang saatnya untuk istirahat, karena Anda dan saya hebat dan telah melakukan pekerjaan yang hebat!

Koordinat dan vektor. Tingkat Lanjut

Pada artikel ini, kami akan membahas dengan Anda kelas masalah lain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koordinat: masalah jarak. Yaitu, kami akan mempertimbangkan kasus-kasus berikut:

1. Menghitung jarak antara garis miring.

Saya telah memesan tugas yang diberikan karena kompleksitasnya meningkat. Yang paling mudah adalah menemukan titik ke jarak bidang dan bagian tersulit adalah menemukan jarak antara garis berpotongan. Meskipun, tentu saja, tidak ada yang tidak mungkin! Jangan menunda-nunda dan segera lanjutkan ke pertimbangan kelas masalah pertama:

Menghitung jarak dari titik ke bidang

Apa yang kita butuhkan untuk menyelesaikan masalah ini?

1. Koordinat titik

Jadi, segera setelah kami mendapatkan semua data yang diperlukan, kami menerapkan rumus:

Anda seharusnya sudah tahu bagaimana kita membangun persamaan pesawat dari masalah sebelumnya yang saya analisis di bagian terakhir. Mari kita turun ke bisnis segera. Skemanya adalah sebagai berikut: 1, 2 - Saya membantu Anda memutuskan, dan dalam beberapa detail, 3, 4 - hanya jawabannya, Anda membuat keputusan sendiri dan membandingkan. Dimulai!

Tugas:

1. Diberikan sebuah kubus. Panjang rusuk kubus adalah Cari-di-te jarak dari se-re-di-ny dari potong ke datar

2. Mengingat hak-vil-naya empat-Anda-rekh-batubara-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe tepi ratus-ro-pada os-no-va-nia adalah sama. Cari-di-jarak itu dari titik ke bidang di mana - se-re-di-di tepi.

3. Dalam segitiga siku-siku pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em, sisi lainnya sama, dan seratus-ro-on os-no-vaniya sama. Cari-di-jarak itu dari atas ke pesawat.

4. Pada prisma enam batu bara tangan kanan, semua sisinya sama. Cari-di-jarak itu dari suatu titik ke bidang.

Solusi:

1. Gambarlah sebuah kubus dengan satu sisi, buat segmen dan bidang, tunjukkan bagian tengah segmen dengan huruf

.

Pertama, mari kita mulai dengan yang mudah: temukan koordinat sebuah titik. Sejak itu (ingat koordinat tengah segmen!)

Sekarang kita buat persamaan bidang pada tiga titik

\\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \kanan| = 0\]

Sekarang saya bisa mulai mencari jarak:

2. Kami mulai lagi dengan gambar, di mana kami menandai semua data!

Untuk piramida, akan berguna untuk menggambar alasnya secara terpisah.

Bahkan fakta bahwa saya menggambar seperti cakar ayam tidak akan mencegah kita menyelesaikan masalah ini dengan mudah!

Sekarang mudah untuk menemukan koordinat titik

Karena koordinat titik

2. Karena koordinat titik a berada di tengah ruas, maka

Kita dapat dengan mudah menemukan koordinat dua titik lagi pada bidang tersebut.Kami membuat persamaan bidang dan menyederhanakannya:

\\[\kiri| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \kanan|) \kanan| = 0\]

Karena titik tersebut memiliki koordinat: , maka kita hitung jaraknya:

Jawaban (sangat jarang!):

Nah, apakah Anda mengerti? Tampaknya bagi saya bahwa semuanya di sini sama teknisnya dengan contoh yang kami pertimbangkan bersama Anda di bagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika Anda sudah menguasai materi tersebut, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk menyelesaikan dua soal yang tersisa. Saya hanya akan memberi Anda jawaban:

Menghitung Jarak dari Garis ke Pesawat

Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini. Bagaimana sebuah garis dan sebuah bidang dapat terletak relatif satu sama lain? Mereka memiliki semua kemungkinan: untuk berpotongan, atau garis lurus sejajar dengan bidang. Menurut Anda berapa jarak dari garis ke bidang yang memotong garis yang diberikan? Tampak bagi saya bahwa jelas bahwa jarak seperti itu sama dengan nol. Kasus yang tidak menarik.

Kasus kedua lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan nol. Namun, karena garisnya sejajar dengan bidang, maka setiap titik dari garis tersebut berjarak sama dari bidang ini:

Lewat sini:

Dan ini berarti tugas saya telah dikurangi menjadi yang sebelumnya: kami mencari koordinat titik mana pun di garis, kami mencari persamaan bidang, kami menghitung jarak dari titik ke bidang. Faktanya, tugas seperti itu dalam ujian sangat jarang. Saya hanya berhasil menemukan satu masalah, dan data di dalamnya sedemikian rupa sehingga metode koordinat tidak terlalu cocok untuk itu!

Sekarang mari kita beralih ke kelas masalah lain yang jauh lebih penting:

Menghitung Jarak Titik ke Garis

Apa yang akan kita butuhkan?

1. Koordinat titik dari mana kita mencari jarak:

2. Koordinat setiap titik yang terletak pada garis lurus

3. Koordinat vektor arah garis lurus

Apa rumus yang kita gunakan?

Apa arti penyebut pecahan ini bagi Anda dan karenanya harus jelas: ini adalah panjang vektor pengarah garis lurus. Ini adalah pembilang yang sangat rumit! Ekspresi berarti modul (panjang) dari produk vektor vektor dan Cara menghitung produk vektor, kita pelajari di bagian pekerjaan sebelumnya. Segarkan pengetahuan Anda, itu akan sangat berguna bagi kami sekarang!

Dengan demikian, algoritma untuk menyelesaikan masalah akan menjadi sebagai berikut:

1. Kami mencari koordinat titik dari mana kami mencari jarak:

2. Kami mencari koordinat titik mana pun pada garis yang kami cari jaraknya:

3. Membangun vektor

4. Kami membangun vektor arah dari garis lurus

5. Hitung produk silang

6. Kami mencari panjang vektor yang dihasilkan:

7. Hitung jarak:

Kami memiliki banyak pekerjaan, dan contohnya akan sangat kompleks! Jadi sekarang fokuskan semua perhatian Anda!

1. Dana adalah segitiga tangan kanan pi-ra-mi-da dengan simpul. Seratus-ro-di os-no-va-niya pi-ra-mi-dy sama, kamu-jadi-ta sama. Cari-di-jarak itu dari se-re-di-ny tepi bo-ko-th ke garis lurus, di mana titik-titik dan adalah se-re-di-ny dari rusuk dan co-dari-vet -stven-tapi.

2. Panjang rusuk dan sudut siku-siku-no-para-ral-le-le-pi-pe-da masing-masing sama, dan Cari-di-te jarak dari atas-shi-ny ke lurus-saya

3. Pada prisma enam batu bara kanan, semua tepi segerombolan adalah sama temukan-di-jaraknya dari suatu titik ke garis lurus

Solusi:

1. Kami membuat gambar yang rapi, di mana kami menandai semua data:

Kami memiliki banyak pekerjaan untuk Anda! Pertama-tama saya ingin menjelaskan dengan kata-kata apa yang akan kita cari dan dalam urutan apa:

1. Koordinat titik dan

2. Koordinat titik

3. Koordinat titik dan

4. Koordinat vektor dan

5. Produk silang mereka

6. Panjang vektor

7. Panjang produk vektor

8. Jarak dari ke

Yah, kami memiliki banyak pekerjaan yang harus dilakukan! Mari menyingsingkan lengan baju kita!

1. Untuk mencari koordinat ketinggian piramida, kita perlu mengetahui koordinat titik, penerapannya adalah nol, dan ordinatnya sama dengan absisnya. Akhirnya, kami mendapatkan koordinat:

Koordinat titik

2. - tengah segmen

3. - bagian tengah segmen

titik tengah

4. Koordinat

Koordinat vektor

5. Hitung produk vektor:

6. Panjang vektor: cara termudah adalah dengan mengganti bahwa segmen adalah garis tengah segitiga, yang berarti sama dengan setengah alasnya. Sehingga.

7. Kami mempertimbangkan panjang produk vektor:

8. Akhirnya, cari jaraknya:

Fiuh, itu saja! Sejujurnya, saya akan memberi tahu Anda: menyelesaikan masalah ini dengan metode tradisional (melalui konstruksi) akan jauh lebih cepat. Tapi di sini saya mengurangi semuanya menjadi algoritma yang sudah jadi! Saya pikir algoritma solusi jelas bagi Anda? Oleh karena itu, saya akan meminta Anda untuk menyelesaikan dua masalah yang tersisa sendiri. Bandingkan jawaban?

Sekali lagi, saya ulangi: lebih mudah (lebih cepat) untuk menyelesaikan masalah ini melalui konstruksi, daripada menggunakan metode koordinat. Saya mendemonstrasikan cara penyelesaian ini hanya untuk menunjukkan kepada Anda metode universal yang memungkinkan Anda untuk "tidak menyelesaikan apa pun".

Akhirnya, pertimbangkan kelas masalah terakhir:

Menghitung jarak antara garis miring

Di sini algoritma untuk memecahkan masalah akan mirip dengan yang sebelumnya. Apa yang kita miliki:

3. Setiap vektor yang menghubungkan titik-titik garis pertama dan kedua:

Bagaimana cara mencari jarak antar garis?

Rumusnya adalah:

Pembilang adalah modul dari produk campuran (kami memperkenalkannya di bagian sebelumnya), dan penyebut - seperti pada rumus sebelumnya (modul produk vektor dari vektor pengarah garis, jarak antara yang kita cari untuk).

Saya akan mengingatkan Anda bahwa

kemudian rumus jarak dapat ditulis ulang sebagai:

Bagilah determinan ini dengan determinan! Meskipun, sejujurnya, saya tidak ingin bercanda di sini! Rumus ini, pada kenyataannya, sangat rumit dan menyebabkan perhitungan yang agak rumit. Jika saya jadi Anda, saya hanya akan menggunakannya sebagai pilihan terakhir!

Mari kita coba selesaikan beberapa masalah dengan menggunakan metode di atas:

1. Pada prisma segitiga siku-siku, semua sisinya sama, tentukan jarak antara garis lurus dan.

2. Diberikan prisma segitiga siku-siku, semua tepi os-no-va-niya seseorang sama dengan Se-che-tion, melewati rusuk lainnya dan rusuk se-re-di-nu adalah yav-la-et-sya persegi-ra-tom. Temukan-di-te dis-sto-I-nie antara straight-we-mi dan

Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkan itu, Anda memutuskan yang kedua!

1. Saya menggambar prisma dan menandai garis dan

Koordinat titik C: maka

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat vektor

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \kanan| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Kami mempertimbangkan produk silang antara vektor dan

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\mulai(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \kanan| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sekarang kita pertimbangkan panjangnya:

Menjawab:

Sekarang coba selesaikan tugas kedua dengan hati-hati. Jawabannya adalah:.

Koordinat dan vektor. Deskripsi singkat dan rumus dasar

Vektor adalah segmen berarah. - awal vektor, - akhir vektor.
Vektor dilambangkan dengan atau.

Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Ditunjuk sebagai.

Koordinat vektor:

,
di mana ujung vektor \displaystyle a .

Jumlah vektor: .

Produk dari vektor:

Hasil kali titik dari vektor:

Untuk menghitung jarak dari titik tertentu M ke garis L, metode yang berbeda dapat digunakan. Misalnya, jika kita mengambil sembarang titik M 0 pada garis L, maka kita dapat mendefinisikan proyeksi ortogonal vektor M 0 M ke arah vektor normal garis lurus. Proyeksi ini, hingga tanda, adalah jarak yang diperlukan.

Cara lain untuk menghitung jarak dari titik ke garis adalah dengan menggunakan persamaan normal garis lurus. Biarkan garis L diberikan oleh persamaan normal (4.23). Jika titik M(x;y) tidak terletak pada garis L, maka proyeksi ortogonal pr n OM radius-vektor titik M ke arah vektor normal satuan n dari garis lurus L sama dengan produk skalar dari vektor OM dan n, yaitu. x cosφ + y sinφ. Proyeksi yang sama sama dengan jumlah jarak p dari titik asal ke garis lurus dan beberapa nilai (Gbr. 4.10). Nilai dalam nilai absolut sama dengan jarak dari titik M ke garis lurus. Dalam hal ini, > 0, jika titik M dan O berada pada sisi yang berlawanan dari garis lurus, dan adalah simpangan titik M dari garis lurus.

Penyimpangan untuk titik M(x; y) dari garis L dihitung sebagai selisih antara proyeksi pr n OM dan jarak p dari titik asal ke garis (lihat Gambar 4.10), yaitu. \u003d x cosφ + y sinφ - hal.

Dengan menggunakan rumus ini, kita juga dapat memperoleh jarak p(M, L) dari titik M(x; y) ke garis L yang diberikan oleh persamaan normal: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Dua sudut yang bersebelahan dijumlahkan hingga 180°

Mengingat prosedur konversi di atas persamaan umum garis lurus ke dalam persamaan normalnya, kita memperoleh rumus untuk jarak dari titik M(x; y) ke garis L, yang diberikan oleh persamaan umumnya:

Contoh 4.8. Mari kita cari persamaan umum untuk tinggi AH, median AM dan garis bagi AD segitiga ABC yang keluar dari titik A. Koordinat titik sudut segitiga A(-1;-3), B(7; 3 ), C(1;7) diketahui.

Pertama-tama, mari kita perjelas kondisi contoh: persamaan yang ditunjukkan berarti persamaan garis L AH, L AM dan L AD, di mana ketinggian AH, median AM dan garis-bagi AD dari segitiga yang ditentukan berada, masing-masing (Gbr. 4.11).

Untuk menemukan persamaan garis lurus L AM , kita menggunakan fakta bahwa median membagi sisi yang berlawanan dari segitiga menjadi dua. Setelah menemukan koordinat (x 1; y 1) bagian tengah sisi BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, kita tulis persamaan untuk L AM dalam bentuk persamaan garis lurus yang melalui dua titik,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Setelah transformasi, kami memperoleh persamaan umum median 8x - 5y - 7 \u003d 0./p>

Untuk menemukan persamaan tinggi L AH, kita menggunakan fakta bahwa tinggi tegak lurus dengan sisi yang berlawanan dari segitiga. Oleh karena itu, vektor BC tegak lurus terhadap tinggi AH dan dapat dipilih sebagai vektor normal dari garis L AH . Persamaan garis ini diperoleh dari (4.15) dengan mensubstitusi koordinat titik A dan vektor normal garis L AH:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Setelah transformasi, kita memperoleh persamaan umum untuk tinggi 3x - 2y - 3 = 0.

Untuk mencari persamaan garis-bagi L AD , kita menggunakan fakta bahwa garis-bagi AD termasuk dalam himpunan titik-titik N(x; y) yang berjarak sama dari garis L AB dan L AC . Persamaan dari himpunan ini memiliki bentuk

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

dan itu mendefinisikan dua garis yang melalui titik A dan membagi sudut antara garis L AB dan L AC menjadi dua. Menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, kita menemukan persamaan umum garis L AB dan L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Setelah transformasi, kami memperoleh L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Persamaan (4.28) menggunakan rumus (4.27) untuk menghitung jarak dari titik ke garis lurus, kita tulis dalam bentuk

Mari kita ubah dengan memperluas modul:

Sebagai hasilnya, kami memperoleh persamaan umum dua garis

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Untuk memilih persamaan garis bagi dari mereka, kita memperhitungkan bahwa simpul B dan C dari segitiga terletak di sisi berlawanan dari garis yang diinginkan dan oleh karena itu mensubstitusikan koordinat mereka ke sisi kiri persamaan umum garis L AD harus memberikan nilai dengan tanda yang berbeda. Kami memilih persamaan yang sesuai dengan tanda atas, mis.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Mensubstitusikan koordinat titik B ke ruas kiri persamaan ini memberikan nilai negatif karena

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

dan tanda yang sama diperoleh untuk koordinat titik C, karena

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Oleh karena itu, simpul B dan C terletak pada sisi yang sama dari garis lurus dengan persamaan yang dipilih, dan oleh karena itu persamaan garis bagi adalah

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Rumus untuk menghitung jarak dari titik ke garis di pesawat

Jika diberikan persamaan garis Ax + By + C = 0, maka jarak dari titik M(M x , M y) ke garis dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut

Contoh tugas untuk menghitung jarak dari titik ke garis di pesawat

Contoh 1

Tentukan jarak antara garis 3x + 4y - 6 = 0 dan titik M(-1, 3).

Larutan. Substitusikan ke dalam rumus koefisien garis dan koordinat titik

Menjawab: jarak titik ke garis adalah 0,6.

persamaan bidang yang melalui titik-titik yang tegak lurus terhadap vektorPersamaan umum bidang

Vektor tak nol yang tegak lurus bidang tertentu disebut vektor normal (atau, singkatnya, normal ) untuk pesawat ini.

Biarkan dalam ruang koordinat (dalam sistem koordinat persegi panjang) diberikan:

sebuah titik ;

b) vektor bukan nol (Gbr. 4.8, a).

Diperlukan untuk menulis persamaan untuk bidang yang melewati suatu titik tegak lurus terhadap vektor Akhir bukti.

Sekarang mari kita perhatikan berbagai jenis persamaan garis lurus pada bidang.

1) Persamaan umum bidangP .

Dari turunan persamaan berikut bahwa pada saat yang sama SEBUAH, B dan C tidak sama dengan 0 (jelaskan mengapa).

Titik milik pesawat P hanya jika koordinatnya memenuhi persamaan bidang. Tergantung pada koefisien SEBUAH, B, C dan D pesawat terbang P menempati satu posisi atau lainnya.

- bidang melewati titik asal sistem koordinat, - bidang tidak melalui titik asal sistem koordinat,

- bidang sejajar dengan sumbu X,

X,

- bidang sejajar dengan sumbu kamu,

- bidang tidak sejajar sumbu kamu,

- bidang sejajar dengan sumbu Z,

- bidang tidak sejajar sumbu Z.

Buktikan sendiri pernyataan-pernyataan ini.

Persamaan (6) mudah diturunkan dari persamaan (5). Memang, biarkan intinya terletak di pesawat P. Kemudian koordinatnya memenuhi persamaan Mengurangi persamaan (7) dari persamaan (5) dan mengelompokkan suku-sukunya, kita memperoleh persamaan (6). Pertimbangkan sekarang dua vektor dengan koordinat, masing-masing. Ini mengikuti dari rumus (6) bahwa produk skalar mereka sama dengan nol. Oleh karena itu, vektor tegak lurus terhadap vektor. Awal dan akhir vektor terakhir masing-masing berada di titik-titik yang termasuk dalam bidang P. Oleh karena itu, vektor tegak lurus terhadap bidang P. Jarak dari titik ke bidang P, yang persamaan umumnya adalah ditentukan oleh rumus Pembuktian rumus ini sangat mirip dengan pembuktian rumus jarak antara titik dan garis (lihat Gambar 2).
Beras. 2. Untuk menurunkan rumus jarak antara bidang dan garis lurus.

Memang jarak d antara garis dan bidang adalah

di mana adalah titik berbaring di pesawat. Dari sini, seperti pada kuliah No. 11, diperoleh rumus di atas. Dua bidang dikatakan sejajar jika vektor normalnya sejajar. Dari sini kita peroleh kondisi paralelisme dua bidang - koefisien persamaan umum pesawat. Dua bidang tegak lurus jika vektor normalnya tegak lurus, maka kita memperoleh kondisi tegak lurus dua bidang jika persamaan umumnya diketahui

Sudut f antara dua bidang sama dengan sudut antara vektor normalnya (lihat Gambar 3) dan oleh karena itu dapat dihitung dari rumus
Menentukan sudut antar bidang.

(11)

Jarak dari titik ke bidang dan cara menemukannya

Jarak dari titik ke pesawat terbang adalah panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik ke bidang ini. Setidaknya ada dua cara untuk mencari jarak dari suatu titik ke bidang: geometris dan aljabar.

Dengan metode geometrik pertama-tama Anda perlu memahami bagaimana tegak lurus terletak dari satu titik ke bidang: mungkin itu terletak di beberapa bidang yang nyaman, itu adalah ketinggian di beberapa segitiga yang nyaman (atau tidak begitu), atau mungkin tegak lurus ini umumnya ketinggian di beberapa piramida .

Setelah tahap pertama dan tersulit ini, masalah dipecah menjadi beberapa masalah planimetris tertentu (mungkin di bidang yang berbeda).

Dengan cara aljabar untuk menemukan jarak dari suatu titik ke bidang, Anda perlu memasukkan sistem koordinat, menemukan koordinat titik dan persamaan bidang, dan kemudian menerapkan rumus jarak dari titik ke bidang.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yah, nyaring, seolah-olah Anda membaca kalimat itu sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu, terutama karena hari ini saya membeli aksesori yang cocok. Karena itu, mari kita lanjutkan ke bagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan menjaga suasana hati yang ceria.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus

Kasus ketika aula bernyanyi bersama dalam paduan suara. Dua garis bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : harap diingat tanda matematis persimpangan , itu akan sangat sering terjadi. Entri berarti bahwa garis berpotongan dengan garis di titik.

Bagaimana menentukan posisi relatif dari dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika koefisien masing-masing sebanding, yaitu, ada sejumlah "lambda" sehingga persamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa, oleh karena itu, garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan -1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan dikurangi dengan 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua ketika garis sejajar:

Dua garis dikatakan sejajar jika dan hanya jika koefisien-koefisiennya pada variabel-variabelnya sebanding: , tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, jelas bahwa .

Dan kasus ketiga, ketika garis berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, yaitu, TIDAK ada nilai "lambda" yang persamaannya terpenuhi

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa , dan dari persamaan kedua : , maka, sistem tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien pada variabel tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam masalah praktis, skema solusi yang baru saja dipertimbangkan dapat digunakan. Omong-omong, ini sangat mirip dengan algoritma untuk memeriksa vektor untuk kolinearitas, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor. Tetapi ada paket yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif dari garis:

Larutan berdasarkan studi tentang mengarahkan vektor garis lurus:

a) Dari persamaan kita menemukan vektor arah garis: .

, sehingga vektor-vektornya tidak kolinear dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan petunjuk di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti, langsung ke Kashchei the Deathless =)

b) Tentukan vektor arah dari garis-garis tersebut:

Garis memiliki vektor arah yang sama, yang berarti keduanya sejajar atau sama. Di sini determinan tidak diperlukan.

Jelas, koefisien yang tidak diketahui adalah proporsional, sedangkan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar:

Lewat sini,

c. Tentukan vektor arah garis:

Mari kita hitung determinannya, yang terdiri dari koordinat vektor-vektor ini:
, oleh karena itu, vektor arah adalah collinear. Garis-garis itu sejajar atau bertepatan.

Faktor proporsionalitas "lambda" mudah dilihat langsung dari rasio vektor arah collinear. Namun, itu juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua istilah bebas adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (angka berapa pun umumnya memenuhinya).

Dengan demikian, garis bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan telah belajar) untuk memecahkan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara harfiah dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat alasan untuk menawarkan sesuatu untuk solusi independen, lebih baik meletakkan satu batu bata penting lagi di fondasi geometris:

Bagaimana cara menggambar garis sejajar dengan yang diberikan?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui titik tersebut.

Larutan: Menunjukkan baris yang tidak dikenal dengan huruf. Apa yang dikatakan kondisi tentang itu? Garis melewati titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas bahwa vektor pengarah garis "ce" juga cocok untuk membangun garis "de".

Kami mengambil vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Geometri contoh terlihat sederhana:

Verifikasi analitis terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kami memeriksa bahwa garis memiliki vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan benar, maka vektor akan kolinear).

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Verifikasi analitis dalam banyak kasus mudah dilakukan secara verbal. Lihatlah dua persamaan dan banyak dari Anda akan segera mengetahui bagaimana garis sejajar tanpa menggambar apa pun.

Contoh untuk pemecahan diri hari ini akan menjadi kreatif. Karena Anda masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, Anda tahu, adalah pecinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui sebuah titik yang sejajar dengan garis jika

Ada cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit pekerjaan dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bertepatan kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang Anda ketahui dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah solusinya sistem persamaan linear

Bagaimana cara menemukan titik potong garis? Memecahkan sistem.

Ini untukmu arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui adalah dua garis lurus yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Cari titik potong garis

Larutan: Ada dua cara untuk memecahkan - grafis dan analitis.

Cara grafisnya adalah dengan menggambar garis-garis yang diberikan dan mencari tahu titik perpotongannya langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksa, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, mereka harus cocok di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat titik adalah solusi dari sistem . Faktanya, kami mempertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Tidak, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan cara ini, intinya adalah perlu waktu untuk membuat gambar yang benar dan TEPAT. Selain itu, beberapa garis tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik persimpangan itu sendiri mungkin berada di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, lebih bijaksana untuk mencari titik potong dengan metode analitik. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem, metode penambahan persamaan termwise digunakan. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, kunjungi pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Verifikasinya sepele - koordinat titik persimpangan harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis jika mereka berpotongan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Lebih mudah untuk membagi masalah menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan bahwa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif dari garis.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometris, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir tutorial:

Sepasang sepatu belum usang, saat kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran:

Garis tegak lurus. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antar garis

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Pada bagian pertama, kami belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan yang diberikan, dan sekarang gubuk di kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara menggambar garis tegak lurus terhadap garis yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan . Tuliskan persamaan garis tegak lurus yang melalui sebuah titik.

Larutan: Diketahui dengan asumsi bahwa . Akan lebih baik untuk menemukan vektor arah garis lurus. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan kita “menghilangkan” vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor pengarah:

Menjawab:

Mari kita buka sketsa geometrisnya:

Hmmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Ekstrak vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan perkalian titik dari vektor kami menyimpulkan bahwa garis memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda dapat menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Verifikasi, sekali lagi, mudah dilakukan secara verbal.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus, jika persamaan diketahui dan titik.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Ada beberapa tindakan dalam tugas, jadi akan lebih mudah untuk mengatur solusi poin demi poin.

Perjalanan seru kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Di depan kita ada jalur sungai yang lurus dan tugas kita adalah mencapainya dengan cara terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah pergerakan di sepanjang garis tegak lurus. Artinya, jarak dari suatu titik ke garis adalah panjang segmen yang tegak lurus.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", misalnya: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Hitung jarak titik ke garis

Larutan: yang Anda butuhkan hanyalah mengganti angka dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita jalankan gambarnya:

Jarak yang ditemukan dari titik ke garis sama persis dengan panjang segmen merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain sesuai dengan gambar yang sama:

Tugasnya adalah menemukan koordinat titik , yang simetris dengan titik terhadap garis . Saya mengusulkan untuk melakukan tindakan sendiri, namun, saya akan menguraikan algoritme solusi dengan hasil antara:

1) Tentukan garis yang tegak lurus dengan garis.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas. Kita tahu koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus untuk koordinat tengah segmen Temukan .

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahwa jaraknya juga sama dengan 2,2 unit.

Kesulitan di sini mungkin muncul dalam perhitungan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Telah menyarankan berkali-kali dan akan merekomendasikan lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Hitunglah jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk solusi independen. Sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikannya. Tanya jawab di akhir pelajaran, tetapi lebih baik coba tebak sendiri, saya pikir kecerdikan Anda tersebar dengan baik.

Sudut antara dua garis

Apapun sudutnya, maka kusennya:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut LEBIH KECIL, yang darinya secara otomatis mengikuti sehingga tidak dapat tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut merah tua.

Jika garis tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut dapat diambil sebagai sudut di antara mereka.

Bagaimana sudut-sudutnya berbeda? Orientasi. Pertama, arah "menggulir" sudut pada dasarnya penting. Kedua, sudut berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya jika .

Mengapa saya mengatakan ini? Tampaknya Anda bisa bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah bahwa dalam rumus yang dengannya kita akan menemukan sudut, hasil negatif dapat dengan mudah diperoleh, dan ini seharusnya tidak mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus tidak lebih buruk, dan memiliki makna geometris yang sangat spesifik. Dalam gambar untuk sudut negatif, sangat penting untuk menunjukkan orientasinya (searah jarum jam) dengan panah.

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Tentukan sudut antar garis

Larutan dan Metode satu

Pertimbangkan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, kemudian berorientasi sudut di antara mereka dapat dihitung menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan penyebutnya - ini persis produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut rumus hilang, dan vektor-vektornya akan ortogonal dan garis-garisnya akan tegak lurus. Itulah sebabnya reservasi dibuat tentang garis-garis yang tidak tegak lurus dalam formulasi.

Berdasarkan hal di atas, solusinya mudah diformalkan dalam dua langkah:

1) Hitung produk skalar dari vektor-vektor pengarah garis lurus:
jadi garisnya tidak tegak lurus.

2) Kami menemukan sudut antara garis dengan rumus:

Menggunakan fungsi invers, mudah untuk menemukan sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan dari tangen busur (lihat Gambar. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawabannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (lebih disukai dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Nah, minus, jadi minus, tidak apa-apa. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan bahwa sudutnya ternyata memiliki orientasi negatif, karena dalam kondisi soal angka pertama adalah garis lurus dan "pelintiran" sudut dimulai tepat darinya.

Jika Anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garis lurus, yaitu, ambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama . Singkatnya, Anda harus mulai dengan direct .