Sangat mudah untuk mengajar seorang anak untuk membagi dengan kolom. Penting untuk menjelaskan algoritme tindakan ini dan mengkonsolidasikan materi yang dibahas.

• Menurut kurikulum sekolah, anak-anak mulai menjelaskan pembagian dengan kolom yang sudah ada di kelas tiga. Siswa yang memahami segala sesuatu "dengan cepat" dengan cepat memahami topik ini
• Tapi, jika anak jatuh sakit dan ketinggalan pelajaran matematika, atau dia tidak mengerti topiknya, maka orang tua harus menjelaskan sendiri materi itu kepada anak. Penting untuk menyampaikan informasi kepadanya sejelas mungkin.
• Ibu dan ayah selama proses pendidikan anak harus sabar, menunjukkan kebijaksanaan dalam kaitannya dengan anak mereka. Dalam kasus apa pun Anda tidak boleh meneriaki seorang anak jika sesuatu tidak berhasil untuknya, karena dengan cara ini Anda dapat mencegahnya dari semua keinginan untuk belajar

Penting: Agar seorang anak dapat memahami pembagian angka, ia harus mengetahui tabel perkalian secara menyeluruh. Jika anak tidak tahu perkalian dengan baik, dia tidak akan mengerti pembagian.

Selama kelas tambahan di rumah, lembar contekan dapat digunakan, tetapi anak harus mempelajari tabel perkalian sebelum melanjutkan ke topik “Pembagian”.

Jadi bagaimana Anda menjelaskan kepada seorang anak? pembagian kolom:

• Coba jelaskan dalam jumlah kecil terlebih dahulu. Ambil tongkat hitung, misalnya, 8 buah
• Tanyakan kepada anak itu, ada berapa pasangan dalam deretan tongkat ini? Benar - 4. Jadi, jika Anda membagi 8 dengan 2, Anda mendapatkan 4, dan jika Anda membagi 8 dengan 4, Anda mendapatkan 2
• Biarkan anak membagi dengan dirinya sendiri nomor lain, misalnya, yang lebih kompleks: 24:4
• Bila bayi sudah menguasai pembagian bilangan prima, maka Anda bisa melanjutkan ke pembagian bilangan tiga angka menjadi satu angka.

Pembagian selalu diberikan kepada anak-anak sedikit lebih sulit daripada perkalian. Tetapi kelas tambahan yang rajin di rumah akan membantu bayi memahami algoritme tindakan ini dan mengikuti teman sebayanya di sekolah.

Mulai sederhana - pembagian dengan satu digit:

Penting: Hitung dalam pikiran Anda agar pembagian menjadi tanpa sisa, jika tidak, anak mungkin akan bingung.

Misalnya, 256 dibagi 4:

• Gambar garis vertikal pada selembar kertas dan bagi menjadi dua di sisi kanan. Tulis angka pertama di sebelah kiri, dan yang kedua di sebelah kanan di atas garis.
• Tanyakan kepada bayi berapa banyak merangkak yang muat menjadi dua - tidak sama sekali
• Kemudian kita ambil 25. Untuk kejelasan, pisahkan angka ini dari atas dengan sudut. Sekali lagi tanyakan kepada anak itu berapa banyak merangkak yang muat dalam dua puluh lima? Itu benar, enam. Kami menulis angka "6" di sudut kanan bawah di bawah garis. Anak harus menggunakan tabel perkalian untuk jawaban yang benar.
• Tuliskan angka 24 di bawah 25, dan garis bawahi untuk menuliskan jawabannya - 1
• Tanyakan lagi: berapa banyak merangkak yang bisa muat dalam satu unit - tidak sama sekali. Kemudian kita hancurkan angka "6" menjadi satu
• Ternyata 16 - berapa banyak merangkak di nomor ini? Benar - 4. Kami menuliskan "4" di sebelah "6" dalam jawaban
• Di bawah 16 kami menulis 16, digarisbawahi dan ternyata "0", yang berarti kami membagi dengan benar dan jawabannya menjadi "64"

Pembagian ditulis dengan dua angka

Ketika anak telah menguasai pembagian dengan satu angka, Anda dapat melanjutkan. Pembagian tertulis dengan angka dua digit sedikit lebih rumit, tetapi jika bayi mengerti bagaimana tindakan ini dilakukan, maka tidak akan sulit baginya untuk menyelesaikan contoh-contoh seperti itu.

Penting: Sekali lagi, mulailah menjelaskan dengan langkah-langkah sederhana. Anak akan belajar memilih angka dengan benar dan akan mudah baginya untuk membagi bilangan kompleks.

Lakukan bersama tindakan sederhana ini: 184:23 - bagaimana menjelaskannya:

• Pertama kita bagi 184 dengan 20, ternyata kira-kira 8. Tapi kita tidak menulis angka 8 dalam jawabannya, karena ini adalah angka percobaan
• Periksa apakah 8 cocok atau tidak. Kami mengalikan 8 dengan 23, ternyata 184 - ini persis angka yang kami miliki di pembagi. Jawabannya adalah 8

Penting: Agar anak mengerti, coba ambil 9 alih-alih delapan, biarkan dia mengalikan 9 dengan 23, ternyata 207 - ini lebih dari yang kita miliki di pembagi. Nomor 9 tidak cocok untuk kita.

Jadi secara bertahap bayi akan memahami pembagian, dan akan mudah baginya untuk membagi bilangan yang lebih kompleks:

• Bagi 768 dengan 24. Tentukan digit pertama dari pribadi - kami membagi 76 bukan dengan 24, tetapi dengan 20, ternyata 3. Kami menulis 3 sebagai tanggapan di bawah garis ke kanan
• Di bawah 76 kami menuliskan 72 dan menggambar garis, tulis perbedaannya - ternyata 4. Apakah angka ini habis dibagi 24? Tidak - kami menghancurkan 8, ternyata 48
• Apakah 48 habis dibagi 24? Itu benar - ya. Ternyata 2, kami menulis angka ini sebagai tanggapan
• Ternyata 32. Sekarang Anda dapat memeriksa apakah kami melakukan tindakan pembagian dengan benar. Kalikan dalam satu kolom: 24x32, ternyata 768, maka semuanya benar

Jika anak telah belajar membagi dengan angka dua digit, maka Anda perlu melanjutkan ke topik berikutnya. Algoritme pembagian dengan bilangan tiga digit sama dengan algoritme pembagian dengan bilangan dua digit.

Sebagai contoh:

• Bagilah 146064 dengan 716. Pertama kita ambil 146 - tanyakan pada anak apakah bilangan ini habis dibagi 716 atau tidak. Itu benar - tidak, maka kita ambil 1460
• Berapa kali angka 716 cocok dengan angka 1460? Benar - 2, jadi kami menulis angka ini di jawaban
• Kita kalikan 2 dengan 716, ternyata 1432. Angka ini kita tulis di bawah 1460. Ternyata selisihnya 28, kita tulis di bawah garis
• Pembongkaran 6. Tanyakan pada anak - 286 habis dibagi 716? Itu benar - tidak, jadi kami menulis 0 di jawaban di sebelah 2. Kami menghancurkan nomor lain 4
• Kami membagi 2864 dengan 716. Kami mengambil 3 masing-masing - sedikit, masing-masing 5 - banyak, yang berarti kami mendapatkan 4. Kami mengalikan 4 dengan 716, kami mendapatkan 2864
• Tulis 2864 di bawah 2864 untuk selisih 0. Jawab 204

Penting: Untuk memeriksa kebenaran pembagian, kalikan bersama dengan anak di kolom - 204x716 = 146064. Pembagiannya benar.

Saatnya anak menjelaskan bahwa pembagian tidak hanya bisa utuh, tetapi juga dengan sisa. Sisanya selalu kurang dari atau sama dengan pembagi.

Pembagian dengan sisa harus dijelaskan dengan contoh sederhana: 35:8=4 (sisa 3):

• Berapa delapan yang cocok dengan 35? Benar - 4. Tetap 3
• Apakah bilangan ini habis dibagi 8? Itu benar - tidak. Jadi sisanya adalah 3.

Setelah itu, anak harus belajar bahwa Anda dapat melanjutkan pembagian dengan menambahkan 0 ke angka 3:

• Jawabannya adalah angka 4. Setelah itu, kami menulis koma, karena menambahkan nol menunjukkan bahwa angka tersebut akan menjadi pecahan
• Ternyata 30. Bagi 30 dengan 8, ternyata 3. Kami menulis sebagai tanggapan, dan di bawah 30 kami menulis 24, menggarisbawahi dan menulis 6
• Kami membawa angka 0 ke angka 6. Bagi 60 dengan 8. Ambil masing-masing 7, ternyata 56. Tulis di bawah 60 dan tuliskan perbedaannya 4
• Kami menambahkan 0 ke angka 4 dan membaginya dengan 8, ternyata 5 - kami menuliskannya sebagai tanggapan
• Kita kurangi 40 dari 40, kita dapatkan 0. Jadi, jawabannya adalah: 35:8=4.375

Tip: Jika anak tidak mengerti sesuatu, jangan marah. Biarkan beberapa hari berlalu dan coba jelaskan materinya lagi.

Pelajaran matematika di sekolah juga akan memperkuat pengetahuan. Waktu akan berlalu dan anak akan dengan cepat dan mudah memecahkan contoh pembagian apa pun.

Algoritma pembagian bilangan adalah sebagai berikut:

• Buat perkiraan jumlah yang akan ada di jawaban
• Temukan dividen tidak lengkap pertama
• Tentukan jumlah digit dalam hasil bagi
• Temukan digit di setiap digit hasil bagi
• Temukan sisanya (jika ada)

Menurut algoritme ini, pembagian dilakukan dengan angka satu digit dan dengan angka multi-digit apa pun (dua digit, tiga digit, empat digit, dan seterusnya).

Saat belajar dengan anak, sering-seringlah menanyakan contoh untuk membuat perkiraan. Dia harus cepat menghitung jawaban dalam pikirannya. Sebagai contoh:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Untuk mengkonsolidasikan hasilnya, Anda dapat menggunakan permainan pembagian berikut:

• "Membingungkan". Tulis lima contoh di selembar kertas. Hanya satu dari mereka yang harus dengan jawaban yang benar.

Kondisi untuk anak: Di antara beberapa contoh, hanya satu yang diselesaikan dengan benar. Temukan dia dalam satu menit.

Video: Game aritmatika untuk perkalian pembagian pengurangan penjumlahan anak-anak

Video: Kartun pendidikan Matematika Belajar menghafal tabel perkalian dan pembagian dengan 2

Pembagian angka dianggap sebagai tindakan pembagian dengan sisa: untuk membagi bilangan bulat non-negatif sebuah ke bilangan asli b- artinya menemukan bilangan bulat non-negatif seperti itu q dan r, Apa a = b q + r, dan 0 ≤ r< b .

Jika suatu bilangan satu angka atau dua angka (tidak lebih dari 89) dibagi dengan suatu angka satu angka, maka digunakan tabel angka satu angka. Misalnya, angka pribadi 56 dan 8 akan menjadi angka 7, karena 8 7 \u003d 56. Jika Anda perlu membagi 52 dengan 8, maka temukan angka terkecil terdekat yang habis dibagi 8 - ini akan menjadi angka 48, dan, oleh karena itu, tidak lengkap hasil bagi saat membagi 52 dengan 8 akan menjadi angka 6. Untuk menemukan sisanya, Anda perlu mengurangi 48 dari 52: 52 - 48 = 4. Jadi, 52 = 8 6 + 4, mis. ketika 52 dibagi 8, hasil bagi sebagian adalah 6 dan sisanya adalah 4.

Tugas 8. Ilustrasikan dasar teoretis untuk membagi angka tiga angka 377 dengan angka satu angka 4.

Keputusan. Membagi 377 dengan 4 berarti menemukan hasil bagi yang tidak lengkap q dan sisanya r bahwa 377 = 4 q+ r, dan sisanya r harus memenuhi syarat 0 ≤ r< b , tetapi hasil bagi yang tidak lengkap q- kondisi 4 q≤ 377 < 4·(q+ 1).

Tentukan berapa banyak angka yang akan diisi oleh bilangan tersebut! q. satu digit q tidak bisa, karena kemudian produk 4 q bisa maksimal sama dengan 36 dan, oleh karena itu, kondisi yang dirumuskan di atas untuk r dan q. Jika nomor q dua digit, yaitu jika 10< q< 100, то тогда 40 < 4q< 400 и, следовательно, 40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 - число двузначное.

Untuk menemukan angka puluhan hasil bagi, kita mengalikan pembagi 4 dengan 20, 30, 40, dst. secara seri. Karena 4 90 = 360 dan 4 100 = 400 dan 360< 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q= 90 + q0. Tapi kemudian ketidaksetaraan berikut harus berlaku:

4 (90 + q0) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + q0+ 1), dari mana

360 + 4q0≤ 377 < 360 + 4·(q0+ 1) dan 4 q 0 ≤ 17 < 4·(q0+ 1).

Nomor q0(jumlah unit hasil bagi) yang memenuhi pertidaksamaan terakhir dapat ditemukan dengan seleksi menggunakan tabel. Kami mengerti q0= 4 dan karenanya hasil bagi tidak lengkap q\u003d 90 + 4 \u003d 94. Sisanya ditemukan dengan mengurangkan: 377 - 4 94 \u003d 1.

Jadi, ketika membagi angka 377 dengan 4, hasil bagi sebagian adalah 94 dan sisanya adalah 1: 377=4 94+1.

Tugas 9. Ilustrasikan dasar teoretis untuk membagi angka banyak angka 4316 dengan angka banyak angka 52.

Keputusan. Membagi 4316 dengan 52 berarti menemukan bilangan bulat non-negatif seperti itu q dan r bahwa 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Tentukan jumlah digit dalam hasil bagi q. Jelas, hasil bagi adalah antara angka 10 dan 100 (mis. q- angka dua digit), sejak 520< 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Tapi kemudian ketidaksetaraan berikut harus berlaku:

52 (80 + q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0+ 1),

4160 + 52 q0≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0≤ 153 < 52·(q0+ 1).

Nomor q0(jumlah unit hasil bagi) yang memenuhi pertidaksamaan terakhir dapat ditemukan dengan pilihan: 156 = 52 3, mis. kami memiliki kasus ketika sisanya adalah 0. Oleh karena itu, ketika membagi 4316 dengan 52, kami mendapatkan hasil bagi 83.

Alasan di atas mendasari pembagian dengan sudut:

Generalisasi berbagai kasus pembagian bilangan bulat non-negatif sebuah ke bilangan asli b adalah algoritma berikut untuk membagi dengan sudut.

1. Jika sebuah= b, lalu pribadi q = 1, sisa r = 0.

2. Jika sebuah >b dan jumlah digit dalam angka sebuah dan b sama, lalu pribadi q kita temukan dengan enumerasi, perkalian berturut-turut b dengan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, karena sebuah< 10b. Pencacahan ini dapat dipercepat dengan melakukan pembagian dengan sisa angka dari angka angka tertinggi sebuah dan b.

3. Jika sebuah >b dan jumlah digit dalam nomor sebuah lebih dari jumlah b, lalu tulis dividennya sebuah dan di sebelah kanannya adalah pembaginya b, yang terpisah dari sebuah sudut dan cari hasil bagi dan sisanya dalam urutan berikut:

a) pilih di antara sebuah digit depan sebanyak jumlah digit dalam nomor tersebut b atau, jika perlu, satu digit lagi, tetapi agar mereka membentuk angka d1 lebih besar dari atau sama b. Mencari hasil bagi q1 angka d1 dan b, berturut-turut mengalikan b pada 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tuliskan q1 sudut (bawah) b);

b) memperbanyak b pada q1 dan tulis produk di bawah nomor sebuah sehingga angka penting terkecil dari bilangan tersebut bq1 ditulis di bawah digit paling signifikan dari nomor yang disorot d1;

c) menggambar garis di bawah bq1 dan temukan perbedaannya r1= d1- bq1;

d) tuliskan perbedaannya! r1 di bawah nomor bq1, tetapkan ke kanan r1 digit paling signifikan dari digit dividen yang tidak digunakan sebuah dan bandingkan angka yang dihasilkan d2 dengan nomor b.

e) jika jumlah yang dihasilkan d2 lebih atau sama b, maka kami bertindak sehubungan dengan itu sesuai dengan paragraf 1 atau paragraf 2. Pribadi q2 tulis setelah q1;

e) jika jumlah yang dihasilkan d2 lebih kecil b, lalu kami menetapkan digit berikutnya sebanyak yang diperlukan untuk mendapatkan angka pertama d3, lebih besar atau sama b. Dalam hal ini, kami menulis setelah q1 jumlah nol yang sama. Kemudian relatif d3 bertindak sesuai dengan poin 1, 2. Pribadi q2 tulis setelah nol. Jika, saat menggunakan angka penting terkecil dari suatu bilangan sebuah ternyata itu d3< b, maka hasil bagi d3 dan b sama dengan nol, dan nol ini ditulis sebagai angka terakhir hasil bagi, dan sisanya r= d3.

Latihan untuk pekerjaan mandiri

1. Tanpa membagi, tentukan jumlah digit bilangan privat:

a) 475 dan 7; b) 6134 dan 226; c) 5683 dan 25; d) 43127 dan 536.

2. Ilustrasikan dasar teori untuk membagi tiga angka angka 868 dengan angka satu angka 3.

3. Temukan nilai ekspresi dengan dua cara:

a) (297 + 405 + 567): 27; c) 56 (378:14);

b) (240 23):48; d) 15120:(14 5 8).

4. Temukan nilai ekspresi:

a) 8919:9 + 114240:21; b) 1190 - 35360: 34 + 271; c) 8631 - (99 + 44352:63);

d) 48600 (5045 - 2040) : 243 - (8604 3:43 + 504) 200.

Pertimbangkan algoritma untuk operasi membagi bilangan biner bilangan bulat positif dengan , Dimana TETAPI– dividen 2n-bit; PADA– pembagi i-bit; . Kami berasumsi bahwa hasil bagi adalah bilangan bulat dari-bit nomor , sementara

Algoritma pembagian dengan pemulihan sisa. Nilai digit hasil bagi ditentukan sebagai hasil dari analisis residu yang diperoleh setelah mengurangkan pembagi PADA pada langkah pertama algoritme, dari digit tertinggi dari Dst yang dapat dibagi, dan pada langkah berikutnya, dari digit tertinggi dari sisa saat ini.

Pada positif dan peluru nilai sisa angka hasil bagi c k = 1. Dalam hal ini, untuk mendapatkan sisa berikutnya, sisa saat ini digeser satu bit ke kiri dan pembagi dikurangi darinya PADA.

Pada negatif nilai sisanya adalah digit saat ini dari hasil bagi c k = 0. Terjadi kebuntuan. Untuk keluar, sisa sebelumnya dipulihkan dengan menambahkan pembagi PADA ke saldo negatif. Sisa yang dipulihkan digeser satu bit ke kiri dan pembagi dikurangi darinya. PADA. Operasi pemulihan dan pergeseran memungkinkan Anda menggandakan sisa sebelumnya dan melanjutkan operasi pembagian.

Contoh 2.30. Mari kita ilustrasikan algoritma dengan mengembalikan sisanya untuk kasus ini P = 3 saat dividen A = 100011 (35|0), pembagi B = 111 (710). Untuk mengurangi pembagi PADA Mari kita gunakan operasi penjumlahan aljabar dalam kode tambahan. Nilai negatif pembagi dalam kode tambahan (~B) = 1001. Untuk melakukan operasi pembagian, kami memperkenalkan digit tanda tambahan, yang kami soroti dalam huruf tebal. Urutan tindakan selama pembagian ditunjukkan di bawah ini, pada gambar. 2.17.

Beras. 2.17.

Contoh 2.31. Pembagian menggunakan operasi penjumlahan dan shift.

Sebagai hasil dari pembagian, hasil bagi diperoleh C = 0101, yang sebenarnya merupakan kumpulan dari carry yang dihasilkan dari operasi penjumlahan.

Algoritma untuk pembagian tanpa mengembalikan sisanya. Dengan implementasi perangkat keras pembagian bilangan biner, operasi penjumlahan diimplementasikan di penambah, dan operasi shift diimplementasikan di register. Register memiliki kemampuan untuk menyimpan saldo sebelumnya selama operasi penjumlahan. Oleh karena itu memulihkan keseimbangan adalah operasi opsional. Pada negatif nilai saldo saat ini, perlu menggunakan saldo sebelumnya yang disimpan dalam register dan menggesernya ke kiri satu digit.

Contoh 2.32. Algoritma tanpa mengembalikan sisa untuk nilai pembagi dan dividen yang sama mirip dengan Contoh 2.29 (Gbr. 2.18).

Beras. 2.18.

Dalam pembagian aljabar bilangan biner, perlu dilakukan langkah-langkah terpisah untuk menentukan tanda dan modulus hasil bagi. Tanda bagi hasil ditentukan menggunakan operasi modulo dua penambahan atas bit tanda dengan cara yang sama seperti ketika mengalikan bilangan biner.

Pembagian bilangan asli, terutama yang bernilai banyak, mudah dilakukan dengan metode khusus, yang disebut pembagian dengan kolom (dalam kolom). Anda juga dapat melihat nama divisi sudut. Segera, kami mencatat bahwa kolom dapat dilakukan baik pembagian bilangan asli tanpa sisa, dan pembagian bilangan asli dengan sisa.

Pada artikel ini, kita akan memahami bagaimana pembagian dengan kolom dilakukan. Di sini kita akan berbicara tentang aturan penulisan, dan tentang semua perhitungan perantara. Pertama, mari kita membahas pembagian bilangan asli multi-nilai dengan nomor satu digit dengan kolom. Setelah itu, kita akan fokus pada kasus di mana baik dividen maupun pembagi adalah bilangan asli multi-nilai. Seluruh teori artikel ini dilengkapi dengan contoh karakteristik pembagian oleh kolom bilangan asli dengan penjelasan rinci tentang solusi dan ilustrasi.

Navigasi halaman.

Aturan untuk merekam saat membagi dengan kolom

Mari kita mulai dengan mempelajari aturan penulisan pembagian, pembagi, semua perhitungan antara dan hasil saat membagi bilangan asli dengan kolom. Katakanlah segera bahwa paling mudah untuk membagi dalam kolom secara tertulis di atas kertas dengan garis kotak-kotak - sehingga ada kemungkinan lebih kecil untuk tersesat dari baris dan kolom yang diinginkan.

Pertama, dividen dan pembagi ditulis dalam satu baris dari kiri ke kanan, setelah itu simbol formulir ditampilkan di antara angka-angka yang tertulis. Misalnya, jika dividennya adalah angka 6 105, dan pembaginya adalah 5 5, maka notasi yang benar ketika dibagi menjadi kolom adalah:

Perhatikan diagram berikut, yang menggambarkan tempat penulisan pembagian, pembagi, hasil bagi, sisa, dan perhitungan antara saat membagi dengan kolom.

Dapat dilihat dari diagram di atas bahwa hasil bagi yang diinginkan (atau hasil bagi yang tidak lengkap ketika membagi dengan sisa) akan ditulis di bawah pembagi di bawah garis horizontal. Dan perhitungan menengah akan dilakukan di bawah dividen, dan Anda harus menjaga ketersediaan ruang di halaman terlebih dahulu. Dalam hal ini, seseorang harus dipandu oleh aturan: semakin besar perbedaan jumlah karakter dalam entri dividen dan pembagi, semakin banyak ruang yang dibutuhkan. Misalnya, saat membagi bilangan asli 614.808 dengan 51.234 dengan kolom (614.808 adalah angka enam digit, 51.234 adalah angka lima digit, perbedaan jumlah karakter dalam catatan adalah 6−5=1), perantara perhitungan akan membutuhkan lebih sedikit ruang daripada saat membagi angka 8 058 dan 4 (di sini perbedaan jumlah karakter adalah 4−1=3 ). Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami menyajikan catatan lengkap pembagian dengan kolom bilangan asli ini:

Sekarang Anda bisa langsung ke proses pembagian bilangan asli dengan kolom.

Pembagian dengan kolom bilangan asli dengan bilangan asli satu digit, algoritma untuk membagi dengan kolom

Jelas bahwa membagi satu bilangan asli satu digit dengan yang lain cukup sederhana, dan tidak ada alasan untuk membagi bilangan-bilangan ini menjadi sebuah kolom. Namun, akan berguna untuk melatih keterampilan awal pembagian dengan kolom pada contoh-contoh sederhana ini.

Contoh.

Mari kita perlu membagi dengan kolom 8 dengan 2.

Keputusan.

Tentu saja, kita dapat melakukan pembagian menggunakan tabel perkalian, dan segera tuliskan jawabannya 8:2=4.

Tetapi kami tertarik pada cara membagi angka-angka ini dengan kolom.

Pertama, kami menulis dividen 8 dan pembagi 2 seperti yang disyaratkan oleh metode:

Sekarang kita mulai mencari tahu berapa kali pembagi dalam dividen. Untuk melakukan ini, kita berturut-turut mengalikan pembagi dengan angka 0, 1, 2, 3, ... hingga hasilnya adalah angka yang sama dengan dividen (atau angka yang lebih besar dari dividen, jika ada pembagian dengan sisa ). Jika kita mendapatkan angka yang sama dengan dividen, maka kita segera menulisnya di bawah dividen, dan sebagai ganti pribadi kita menulis angka yang kita gunakan untuk mengalikan pembagi. Jika kita mendapatkan angka yang lebih besar dari yang dapat dibagi, maka di bawah pembagi kita menulis angka yang dihitung pada langkah kedua dari belakang, dan sebagai ganti hasil bagi yang tidak lengkap, kita menulis angka yang digunakan pembagi dikalikan pada langkah kedua dari belakang.

Ayo pergi: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Kami mendapat nomor yang sama dengan dividen, jadi kami menulisnya di bawah dividen, dan di tempat pribadi kami menulis nomor 4. Kemudian record akan terlihat seperti ini:

Tahap akhir pembagian bilangan asli satu digit dengan kolom tetap ada. Di bawah angka yang tertulis di bawah dividen, Anda perlu menggambar garis horizontal, dan mengurangi angka di atas garis ini dengan cara yang sama seperti yang dilakukan saat mengurangkan bilangan asli dengan kolom. Angka yang diperoleh setelah pengurangan akan menjadi sisa pembagian. Jika sama dengan nol, maka bilangan asli dibagi tanpa sisa.

Dalam contoh kita, kita mendapatkan

Sekarang kita memiliki catatan pembagian dengan kolom nomor 8 dengan 2. Kita melihat bahwa hasil bagi 8:2 adalah 4 (dan sisanya adalah 0 ).

Menjawab:

8:2=4 .

Sekarang perhatikan bagaimana pembagian dengan kolom bilangan asli satu digit dengan sisa dilakukan.

Contoh.

Bagi dengan kolom 7 dengan 3.

Keputusan.

Pada tahap awal, entri terlihat seperti ini:

Kami mulai mencari tahu berapa kali dividen mengandung pembagi. Kita akan mengalikan 3 dengan 0, 1, 2, 3, dst. sampai kita mendapatkan angka yang sama dengan atau lebih besar dari dividen 7. Kami mendapatkan 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (jika perlu, lihat artikel perbandingan bilangan asli). Di bawah dividen kami menulis angka 6 (diperoleh pada langkah kedua dari belakang), dan sebagai pengganti hasil bagi yang tidak lengkap, kami menulis angka 2 (perkalian dilakukan pada angka kedua dari belakang).

Tetap melakukan pengurangan, dan pembagian dengan kolom bilangan asli satu digit 7 dan 3 akan selesai.

Jadi hasil bagi sebagian adalah 2 , dan sisanya adalah 1 .

Menjawab:

7:3=2 (istirahat 1) .

Sekarang kita dapat melanjutkan untuk membagi bilangan asli multi-nilai dengan bilangan asli satu digit dengan kolom.

Sekarang kita akan menganalisis algoritma pembagian kolom. Pada setiap tahap, kami akan menyajikan hasil yang diperoleh dengan membagi bilangan asli bernilai banyak 140 288 dengan bilangan asli bernilai tunggal 4 . Contoh ini tidak dipilih secara kebetulan, karena ketika menyelesaikannya, kita akan menemukan semua nuansa yang mungkin, kita akan dapat menganalisisnya secara rinci.

Pertama, kita melihat digit pertama dari kiri dalam entri dividen. Jika angka yang ditentukan oleh angka ini lebih besar dari pembagi, maka pada paragraf berikutnya kita harus bekerja dengan angka ini. Jika angka ini lebih kecil dari pembagi, maka kita perlu menambahkan digit berikutnya ke kiri dalam catatan dividen, dan bekerja lebih jauh dengan angka yang ditentukan oleh dua digit yang dimaksud. Untuk kenyamanan, kami memilih dalam catatan kami nomor yang akan kami gunakan.

Digit pertama dari kiri pada dividen 140.288 adalah angka 1. Angka 1 lebih kecil dari pembagi 4, jadi kita juga melihat angka berikutnya di sebelah kiri dalam catatan dividen. Pada saat yang sama, kita melihat angka 14, yang dengannya kita harus bekerja lebih jauh. Kami memilih nomor ini dalam notasi dividen.

Poin-poin berikut dari yang kedua ke yang keempat diulang secara siklis sampai pembagian bilangan asli dengan kolom selesai.

Sekarang kita perlu menentukan berapa kali pembagi terdapat dalam bilangan yang sedang kita kerjakan (untuk memudahkan, mari kita nyatakan bilangan ini sebagai x ). Untuk melakukan ini, kita secara berurutan mengalikan pembagi dengan 0, 1, 2, 3, ... sampai kita mendapatkan angka x atau angka yang lebih besar dari x. Ketika suatu bilangan x diperoleh, maka kita menuliskannya di bawah bilangan yang dipilih sesuai dengan aturan notasi yang digunakan saat mengurangkan dengan kolom bilangan asli. Angka yang digunakan untuk mengalikan ditulis di tempat hasil bagi selama lintasan pertama dari algoritma (selama lintasan berikutnya dari 2-4 poin dari algoritma, nomor ini ditulis di sebelah kanan nomor yang sudah ada di sana). Jika diperoleh angka yang lebih besar dari angka x, maka di bawah angka yang dipilih kami menulis angka yang diperoleh pada langkah kedua dari belakang, dan sebagai pengganti hasil bagi (atau di sebelah kanan angka yang sudah ada) kami menulis angka dengan dimana perkalian dilakukan pada langkah kedua dari belakang. (Kami melakukan tindakan serupa dalam dua contoh yang dibahas di atas).

Kami mengalikan pembagi 4 dengan angka 0 , 1 , 2 , ... sampai kita mendapatkan angka yang sama dengan 14 atau lebih besar dari 14 . Kami memiliki 4 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>empat belas . Karena pada langkah terakhir kami mendapatkan angka 16, yang lebih besar dari 14, maka di bawah angka yang dipilih kami menulis angka 12, yang ternyata pada langkah kedua dari belakang, dan sebagai pengganti hasil bagi kami menulis angka 3, karena pada paragraf kedua dari belakang perkalian dilakukan tepat di atasnya.


Pada tahap ini, dari angka yang dipilih, kurangi angka di bawahnya dalam sebuah kolom. Di bawah garis horizontal adalah hasil pengurangan. Namun, jika hasil pengurangannya adalah nol, maka itu tidak perlu dituliskan (kecuali pengurangan pada titik ini adalah tindakan terakhir yang menyelesaikan pembagian dengan kolom sepenuhnya). Di sini, untuk kontrol Anda, tidak akan berlebihan untuk membandingkan hasil pengurangan dengan pembagi dan memastikan bahwa itu lebih kecil dari pembagi. Jika tidak, kesalahan telah dibuat di suatu tempat.

Kita perlu mengurangi angka 12 dari angka 14 di kolom (untuk notasi yang benar, Anda tidak boleh lupa memberi tanda minus di sebelah kiri angka yang dikurangi). Setelah menyelesaikan tindakan ini, angka 2 muncul di bawah garis horizontal. Sekarang kami memeriksa perhitungan kami dengan membandingkan angka yang dihasilkan dengan pembagi. Karena angka 2 lebih kecil dari pembagi 4, Anda dapat dengan aman melanjutkan ke item berikutnya.


Sekarang, di bawah garis horizontal di sebelah kanan nomor yang terletak di sana (atau di sebelah kanan tempat kami tidak menulis nol), kami menuliskan nomor yang terletak di kolom yang sama dalam catatan dividen. Jika tidak ada angka dalam catatan dividen di kolom ini, maka pembagian dengan kolom berakhir di sini. Setelah itu, kami memilih angka yang terbentuk di bawah garis horizontal, menganggapnya sebagai angka yang berfungsi, dan mengulanginya dari 2 hingga 4 poin algoritma.

Di bawah garis horizontal di sebelah kanan angka 2 yang sudah ada, kami menulis angka 0, karena angka 0 itulah yang ada dalam catatan dividen 140 288 di kolom ini. Dengan demikian, angka 20 terbentuk di bawah garis horizontal.


Kami memilih nomor ini 20, menganggapnya sebagai nomor yang berfungsi, dan mengulangi tindakan poin kedua, ketiga dan keempat dari algoritma dengannya.

Kami mengalikan pembagi 4 dengan 0, 1, 2, ... sampai kami mendapatkan angka 20 atau angka yang lebih besar dari 20. Kami memiliki 4 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Kami melakukan pengurangan dengan kolom. Karena kita mengurangkan bilangan asli yang sama, maka, karena sifat pengurangan bilangan asli yang sama, hasilnya adalah nol. Kami tidak menulis nol (karena ini bukan tahap akhir pembagian dengan kolom), tetapi kami mengingat tempat di mana kami dapat menuliskannya (untuk kenyamanan, kami akan menandai tempat ini dengan persegi panjang hitam).


Di bawah garis horizontal di sebelah kanan tempat yang dihafal, kami menuliskan angka 2, karena dialah yang ada dalam catatan dividen 140 288 di kolom ini. Jadi, di bawah garis horizontal kita memiliki angka 2 .


Kami mengambil nomor 2 sebagai nomor yang berfungsi, menandainya, dan sekali lagi kami harus melakukan langkah-langkah dari 2-4 poin dari algoritma.

Kami mengalikan pembagi dengan 0 , 1 , 2 dan seterusnya, dan membandingkan angka yang dihasilkan dengan angka yang ditandai 2 . Kami memiliki 4 0 = 0<2 , 4·1=4>2. Oleh karena itu, di bawah angka yang ditandai, kami menulis angka 0 (diperoleh pada langkah kedua dari belakang), dan sebagai pengganti hasil bagi di sebelah kanan angka yang sudah ada, kami menulis angka 0 (kami dikalikan dengan 0 pada angka kedua dari belakang melangkah).


Kami melakukan pengurangan dengan kolom, kami mendapatkan angka 2 di bawah garis horizontal. Kami memeriksa diri kami sendiri dengan membandingkan angka yang dihasilkan dengan pembagi 4 . Sejak 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Di bawah garis horizontal di sebelah kanan angka 2, kami menambahkan angka 8 (karena ada di kolom ini dalam catatan dividen 140 288). Jadi, di bawah garis horizontal adalah angka 28.


Kami menerima nomor ini sebagai pekerja, menandainya, dan mengulangi langkah 2-4 paragraf.

Seharusnya tidak ada masalah di sini jika Anda berhati-hati sampai sekarang. Setelah melakukan semua tindakan yang diperlukan, hasil berikut diperoleh.

Tetap untuk terakhir kalinya melakukan tindakan dari poin 2, 3, 4 (kami berikan kepada Anda), setelah itu Anda akan mendapatkan gambaran lengkap tentang pembagian bilangan asli 140 288 dan 4 dalam kolom:

Harap dicatat bahwa angka 0 ditulis di bagian paling bawah baris. Jika ini bukan langkah terakhir membagi dengan kolom (yaitu, jika ada angka di kolom di sebelah kanan dalam catatan dividen), maka kita tidak akan menulis nol ini.

Jadi, dengan melihat catatan lengkap pembagian bilangan asli multinilai 140 288 dengan bilangan asli 4 bernilai tunggal, kita melihat bahwa bilangan 35 072 adalah bilangan privat (dan sisa pembagiannya adalah nol, ia berada di paling ujung). garis bawah).

Tentu saja, ketika membagi bilangan asli dengan sebuah kolom, Anda tidak akan menjelaskan semua tindakan Anda secara rinci. Solusi Anda akan terlihat seperti contoh berikut.

Contoh.

Lakukan pembagian panjang jika pembagiannya adalah 7136 dan pembaginya adalah bilangan asli tunggal 9.

Keputusan.

Pada langkah pertama algoritma untuk membagi bilangan asli dengan kolom, kami mendapatkan catatan dalam bentuk

Setelah melakukan tindakan dari poin kedua, ketiga dan keempat dari algoritma, catatan pembagian dengan kolom akan berbentuk

Mengulangi siklus, kita akan memiliki

Satu pass lagi akan memberi kita gambaran lengkap pembagian dengan kolom bilangan asli 7 136 dan 9

Jadi, hasil bagi sebagian adalah 792 , dan sisa pembagiannya adalah 8 .

Menjawab:

7 136:9=792 (istirahat 8).

Dan contoh ini menunjukkan bagaimana pembagian panjang seharusnya.

Contoh.

Bagilah bilangan asli 7 042 035 dengan satu digit bilangan asli 7 .

Keputusan.

Paling mudah untuk melakukan pembagian dengan kolom.

Menjawab:

7 042 035:7=1 006 005 .

Pembagian dengan kolom bilangan asli multinilai

Kami segera menyenangkan Anda: jika Anda telah menguasai dengan baik algoritma untuk membagi kolom dari paragraf sebelumnya dari artikel ini, maka Anda sudah hampir tahu cara melakukannya pembagian dengan kolom bilangan asli multinilai. Ini benar, karena langkah 2 hingga 4 dari algoritma tetap tidak berubah, dan hanya perubahan kecil yang muncul di langkah pertama.

Pada tahap pertama pembagian menjadi kolom bilangan asli multi-nilai, Anda tidak perlu melihat digit pertama di sebelah kiri dalam entri dividen, tetapi sebanyak digit yang ada dalam entri pembagi. Jika angka yang ditentukan oleh angka-angka ini lebih besar dari pembagi, maka pada paragraf berikutnya kita harus bekerja dengan angka ini. Jika angka ini lebih kecil dari pembagi, maka kita perlu menjumlahkan angka berikutnya di sebelah kiri dalam catatan dividen. Setelah itu, tindakan yang ditunjukkan dalam paragraf 2, 3 dan 4 dari algoritma dilakukan hingga hasil akhir diperoleh.

Tetap hanya untuk melihat penerapan algoritma untuk membagi dengan kolom bilangan asli multi-nilai dalam praktik ketika memecahkan contoh.

Contoh.

Mari kita lakukan pembagian dengan kolom bilangan asli multinilai 5562 dan 206.

Keputusan.

Karena 3 karakter terlibat dalam catatan pembagi 206, kita melihat 3 digit pertama di sebelah kiri dalam catatan pembagian 5 562. Angka-angka ini sesuai dengan angka 556. Karena 556 lebih besar dari pembagi 206, kami mengambil angka 556 sebagai angka yang berfungsi, memilihnya, dan melanjutkan ke tahap algoritma berikutnya.

Sekarang kita kalikan pembagi 206 dengan angka 0 , 1 , 2 , 3 , ... sampai kita mendapatkan angka yang sama dengan 556 atau lebih besar dari 556 . Kita punya (jika perkalian sulit, maka lebih baik melakukan perkalian bilangan asli dalam satu kolom): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Karena kami mendapat angka yang lebih besar dari 556, maka di bawah angka yang dipilih kami menulis angka 412 (diperoleh pada langkah kedua dari belakang), dan sebagai pengganti hasil bagi kami menulis angka 2 (karena dikalikan pada kedua dari belakang melangkah). Entri pembagian kolom mengambil bentuk berikut:

Lakukan pengurangan kolom. Kami mendapatkan perbedaan 144, angka ini lebih kecil dari pembagi, sehingga Anda dapat dengan aman terus melakukan tindakan yang diperlukan.

Di bawah garis horizontal di sebelah kanan nomor yang tersedia di sana, kami menulis nomor 2, karena ada dalam catatan dividen 5 562 di kolom ini:

Sekarang kita bekerja dengan nomor 1442, pilih, dan lakukan langkah dua sampai empat lagi.

Kami mengalikan pembagi 206 dengan 0, 1 , 2 , 3 , ... sampai kita mendapatkan angka 1442 atau angka yang lebih besar dari 1442 . Ayo pergi: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Kami mengurangi dengan kolom, kami mendapatkan nol, tetapi kami tidak langsung menuliskannya, tetapi hanya mengingat posisinya, karena kami tidak tahu apakah pembagian berakhir di sini, atau kami harus mengulangi langkah-langkah algoritme lagi:

Sekarang kita melihat bahwa di bawah garis horizontal di sebelah kanan posisi yang diingat, kita tidak dapat menuliskan angka apa pun, karena tidak ada angka dalam catatan dividen di kolom ini. Oleh karena itu, pembagian dengan kolom ini berakhir, dan kami menyelesaikan entri:

• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk kelas 1, 2, 3, 4 lembaga pendidikan.
• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk 5 kelas lembaga pendidikan.

Ketika datang ke teknik membagi angka, proses ini dianggap sebagai tindakan pembagian dengan sisa: membagi bilangan bulat non-negatif a dengan bilangan asli b - ini berarti menemukan bilangan bulat non-negatif q r sedemikian rupa sehingga a = bq + r, dan 0 £ r< b.

Mari kita cari tahu dulu caranya pembagian dengan satu angka. Jika bilangan satu angka atau dua angka (tidak lebih dari 89) dibagi dengan satu angka, maka digunakan tabel perkalian untuk angka satu angka. Misalnya, angka pribadi 54 dan 9 akan menjadi angka 6, karena 9 × 6 \u003d 54. Jika Anda perlu membagi 51 dengan 9, maka temukan angka terdekat yang lebih kecil, yang habis dibagi 9 - ini adalah angka 45 , dan, oleh karena itu, hasil bagi yang tidak lengkap untuk membagi 51 dengan 9 akan menjadi angka 5. Untuk menemukan sisanya, Anda perlu mengurangi 45 dari 51: 51 - 45 \u003d 6. Jadi, 51 \u003d 9 × 5 + 6, yaitu saat membagi 51 dengan 9, Anda mendapatkan hasil bagi 5 yang tidak lengkap dan sisa 6. Anda dapat menulis ini secara berbeda, menggunakan pembagian dengan sudut:

Sekarang kita akan membagi bilangan tiga digit dengan bilangan satu digit, misalnya, 378 dengan 4. Membagi 378 dengan 4 berarti menemukan hasil bagi q yang tidak lengkap dan sisa r sehingga 378=4q+r, dan sisa r harus memenuhi kondisi 0£r

Mari kita tentukan berapa banyak angka yang akan terdapat dalam catatan bilangan q. Bilangan q tidak dapat bernilai tunggal, karena hasil kali 4q dapat maksimal sama dengan 36 dan, oleh karena itu, kondisi yang dirumuskan di atas untuk r dan q tidak akan dipenuhi. Jika angka q adalah dua digit, mis. ada 10

Untuk menemukan angka puluhan hasil bagi, kita mengalikan pembagi 4 dengan 20, 30, 40, dst. secara seri. Karena 4x90=360 dan 4x100=400 dan 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q 0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q 0)£ 378<4×(90q+q 0 +1), откуда 360+4q 0 £78<360+4(q 0 +1) и 4q 0 £18<4(q 0 +1). Число q 0 (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q 0 =4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

Jadi, jika 378 dibagi 4, hasil bagi sebagian adalah 94 dan sisanya adalah 2: 378–4×94+2.

Proses yang dijelaskan adalah dasar dari pembagian dengan sudut:

Demikian pula dilakukan membagi angka multi-digit dengan angka multi-digit . Mari kita bagi, misalnya, 4316 dengan 52. ​​Untuk melakukan pembagian ini berarti menemukan bilangan bulat non-negatif q dan r sehingga 4316=52q+r, 0£r < 52, dan hasil bagi tidak lengkap harus memenuhi pertidaksamaan 52q £ 4316<52(q+1).

Mari kita tentukan jumlah digit dalam hasil bagi q. Jelas, hasil bagi berada di antara angka 10 dan 100 (yaitu q adalah angka dua digit), karena 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52× 80=4160 dan 52 × 90=4680 dan 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q 0 .

Tapi kemudian ketidaksetaraan berikut harus berlaku:

52× (80+q 0) £4316< 52× (80+q 0 +1),

4160+52q 0 £4316<4160+52× (q 0 +1),

52q 0 £156<52× (q 0 +1).

Angka q 0 (jumlah unit hasil bagi) yang memenuhi pertidaksamaan terakhir dapat ditemukan dengan pilihan: 156=52 × 3, yaitu kami memiliki kasus ketika sisanya adalah 0. Oleh karena itu, ketika membagi 4316 dengan 52, kami mendapatkan hasil bagi 83.

Alasan di atas mendasari pembagian dengan sudut.