Artikel ini mengungkapkan turunan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang yang terletak pada bidang. Kami menurunkan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang. Kami akan menunjukkan dan memecahkan beberapa contoh secara visual terkait dengan materi yang dibahas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sebelum memperoleh persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, perlu diperhatikan beberapa fakta. Ada aksioma yang mengatakan bahwa melalui dua titik yang tidak bertepatan pada sebuah bidang dimungkinkan untuk menggambar garis lurus dan hanya satu. Dengan kata lain, dua titik tertentu pada bidang ditentukan oleh garis lurus yang melalui titik-titik ini.

Jika bidang diberikan oleh sistem koordinat persegi panjang Oxy, maka setiap garis lurus yang digambarkan di dalamnya akan sesuai dengan persamaan garis lurus pada bidang tersebut. Ada juga hubungan dengan vektor pengarah garis lurus.Data ini cukup untuk membuat persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Pertimbangkan contoh penyelesaian masalah serupa. Persamaan garis lurus a harus dibuat melalui dua titik yang tidak serasi M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) yang terletak di sistem koordinat Cartesian.

Dalam persamaan kanonik garis lurus pada bidang, yang berbentuk x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , sistem koordinat persegi panjang O x y ditentukan dengan garis lurus yang berpotongan dengannya di titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dengan vektor pemandu a → = (a x , a y) .

Persamaan kanonik dari garis lurus a, yang akan melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) perlu dibuat.

Garis lurus a memiliki vektor pengarah M 1 M 2 → dengan koordinat (x 2 - x 1, y 2 - y 1), karena memotong titik M 1 dan M 2. Kami telah memperoleh data yang diperlukan untuk mengubah persamaan kanonik dengan koordinat vektor arah M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dan koordinat titik M 1 yang terletak di atasnya (x 1, y 1) dan M 2 (x 2 , y 2) . Kita mendapatkan persamaan dalam bentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Perhatikan gambar di bawah ini.

Setelah perhitungan, kami menulis persamaan parametrik garis lurus pada bidang yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) . Kami mendapatkan persamaan dalam bentuk x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) atau x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) .

Mari kita lihat lebih dekat beberapa contoh.

Contoh 1

Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui 2 titik tertentu dengan koordinat M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Larutan

Persamaan kanonik untuk garis lurus yang berpotongan di dua titik dengan koordinat x 1 , y 1 dan x 2 , y 2 berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Menurut kondisi masalah, kita memiliki x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Nilai numerik harus disubstitusikan ke dalam persamaan x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Dari sini kita peroleh bahwa persamaan kanonik akan berbentuk x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jawaban: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Jika perlu untuk menyelesaikan masalah dengan jenis persamaan yang berbeda, maka sebagai permulaan Anda dapat pergi ke persamaan kanonik, karena lebih mudah untuk menemukan yang lain darinya.

Contoh 2

Buatlah persamaan umum garis lurus yang melalui titik-titik dengan koordinat M 1 (1, 1) dan M 2 (4, 2) dalam sistem koordinat O y.

Larutan

Pertama, Anda perlu menuliskan persamaan kanonik dari garis tertentu yang melewati dua titik yang diberikan. Kita mendapatkan persamaan dalam bentuk x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 x - 1 3 = y - 1 1 .

Kami membawa persamaan kanonik ke bentuk yang diinginkan, maka kami mendapatkan:

x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 x - 3 y + 2 = 0

Menjawab: x - 3 y + 2 = 0 .

Contoh tugas-tugas tersebut dipertimbangkan dalam buku pelajaran sekolah di pelajaran aljabar. Tugas sekolah berbeda karena persamaan garis lurus dengan koefisien kemiringan diketahui, memiliki bentuk y \u003d k x + b. Jika Anda perlu menemukan nilai kemiringan k dan angka b, di mana persamaan y \u003d k x + b mendefinisikan garis dalam sistem O x y yang melewati titik M 1 (x 1, y 1) dan M 2 (x 2, y 2) , dimana x 1 x 2 . Ketika x 1 = x 2 , maka kemiringan mengambil nilai tak terhingga, dan garis lurus M 1 M 2 didefinisikan oleh persamaan umum yang tidak lengkap dalam bentuk x - x 1 = 0 .

Karena titik-titik M 1 dan M 2 berada pada garis lurus, maka koordinatnya memenuhi persamaan y 1 = k x 1 + b dan y 2 = k x 2 + b. Diperlukan untuk menyelesaikan sistem persamaan y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b terhadap k dan b.

Untuk melakukan ini, kami menemukan k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Dengan nilai k dan b yang demikian, persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberikan berbentuk y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 atau y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Menghafal sejumlah besar formula sekaligus tidak akan berhasil. Untuk melakukan ini, perlu untuk meningkatkan jumlah pengulangan dalam memecahkan masalah.

Contoh 3

Tulis persamaan garis lurus dengan kemiringan yang melalui titik-titik dengan koordinat M 2 (2, 1) dan y = k x + b.

Larutan

Untuk menyelesaikan masalah, kami menggunakan rumus dengan kemiringan yang berbentuk y \u003d k x + b. Koefisien k dan b harus mengambil nilai sedemikian rupa sehingga persamaan ini sesuai dengan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat M 1 (- 7 , - 5) dan M 2 (2 , 1) .

poin M 1 dan M 2 terletak pada garis lurus, maka koordinatnya harus membalikkan persamaan y = k x + b persamaan yang benar. Dari sini kita peroleh bahwa - 5 = k · (- 7) + b dan 1 = k · 2 + b. Mari gabungkan persamaan ke dalam sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dan selesaikan.

Setelah substitusi, kita mendapatkan bahwa

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 b = - 1 3 k = 2 3

Sekarang nilai k = 2 3 dan b = - 1 3 disubstitusikan ke dalam persamaan y = k x + b . Kami mendapatkan bahwa persamaan yang diinginkan melalui titik-titik yang diberikan akan menjadi persamaan yang memiliki bentuk y = 2 3 x - 1 3 .

Cara pemecahan ini telah menentukan sebelumnya pengeluaran sejumlah besar waktu. Ada cara di mana tugas diselesaikan secara harfiah dalam dua langkah.

Kami menulis persamaan kanonik dari garis lurus yang melalui M 2 (2, 1) dan M 1 (- 7, - 5) , memiliki bentuk x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6 .

Sekarang mari kita beralih ke persamaan kemiringan. Kita peroleh: x + 7 9 = y + 5 6 6 (x + 7) = 9 (y + 5) y = 2 3 x - 1 3 .

Jawaban: y = 2 3 x - 1 3 .

Jika dalam ruang tiga dimensi terdapat sistem koordinat persegi panjang O x y z dengan dua titik yang diberikan tidak bertepatan dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), garis lurus M melewati mereka 1 M 2 , perlu untuk mendapatkan persamaan garis ini.

Kami memiliki persamaan kanonik dalam bentuk x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dan persamaan parametrik dalam bentuk x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y z = z 1 + a z dapat menentukan garis pada sistem koordinat O x y z yang melalui titik-titik yang memiliki koordinat (x 1, y 1, z 1) dengan vektor pengarah a → = (a x, a y, a z) .

Lurus M 1 M 2 memiliki vektor arah berbentuk M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , dimana garis melalui titik M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka persamaan kanoniknya dapat berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 atau x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, pada gilirannya, parametrik x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) z = z 1 + (z 2 - z 1) atau x = x 2 + (x 2 - x 1) y = y 2 + (y 2 - y 1) z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) .

Perhatikan gambar yang menunjukkan 2 titik tertentu dalam ruang dan persamaan garis lurus.

Contoh 4

Tulis persamaan garis lurus yang didefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z ruang tiga dimensi, melalui dua titik yang diberikan dengan koordinat M 1 (2, - 3, 0) dan M 2 (1, - 3, - 5 ) .

Larutan

Kita perlu menemukan persamaan kanonik. Karena kita berbicara tentang ruang tiga dimensi, ini berarti bahwa ketika sebuah garis lurus melalui titik-titik tertentu, persamaan kanonik yang diinginkan akan berbentuk x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Maka persamaan yang diperlukan dapat ditulis sebagai berikut:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Jawaban: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis lurus pada bidang: pertimbangkan jenis persamaan seperti persamaan umum garis lurus. Mari kita definisikan sebuah teorema dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus dan bagaimana membuat transisi dari persamaan umum ke jenis persamaan garis lurus lainnya. Kami akan mengkonsolidasikan seluruh teori dengan ilustrasi dan memecahkan masalah praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Misalkan sistem koordinat persegi panjang O x y diberikan pada bidang.

Teorema 1

Setiap persamaan tingkat pertama, yang memiliki bentuk A x + B y + C \u003d 0, di mana A, B, C adalah beberapa bilangan real (A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama) mendefinisikan garis lurus di sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Pada gilirannya, setiap garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin, kami akan membuktikannya masing-masing.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan sebuah garis pada bidang.

Misalkan ada suatu titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0 . Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi dari sisi kiri dan kanan persamaan A x + B y + C \u003d 0 sisi kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, kita mendapatkan persamaan baru yang terlihat seperti A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Setara dengan A x + B y + C = 0 .

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 adalah syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap arah vektor n → = (A, B) . Kita dapat berasumsi bahwa ini tidak benar, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak akan benar.

Oleh karena itu, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 mendefinisikan beberapa garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan oleh karena itu persamaan setara A x + B y + C \u003d 0 mendefinisikan baris yang sama. Jadi kami telah membuktikan bagian pertama dari teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dapat diberikan oleh persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0 .

Mari kita atur garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A , B) .

Biarkan ada juga beberapa titik M (x , y) - titik mengambang dari garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A , B) dan M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) saling tegak lurus, dan produk skalarnya nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tentukan C: C = - A x 0 - B y 0 dan akhirnya dapatkan persamaan A x + B y + C = 0 .

Jadi, kami telah membuktikan bagian kedua dari teorema, dan kami telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan yang terlihat seperti A x + B y + C = 0 - ini persamaan umum garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangO x y .

Berdasarkan teorema terbukti, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap dan persamaan umumnya terkait erat. Dengan kata lain, garis asli sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum garis lurus sesuai dengan garis lurus yang diberikan.

Bukti dari teorema ini juga menunjukkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis lurus, yang diberikan oleh persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0 .

Pertimbangkan contoh spesifik dari persamaan umum garis lurus.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0 diberikan, yang sesuai dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan. Vektor normal dari garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​. Gambarlah garis lurus yang diberikan dalam gambar.

Berikut ini juga dapat diperdebatkan: garis lurus yang kita lihat dalam gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik dari garis lurus yang diberikan sesuai dengan persamaan ini.

Kita dapat memperoleh persamaan · A x + · B y + · C = 0 dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis lurus umum dengan bilangan bukan nol . Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan umum asli, oleh karena itu, akan menggambarkan garis yang sama pada bidang.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum garis lurus- persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, di mana angka A, B, C bukan nol. Jika tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita menganalisis semua variasi persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus.

1. Ketika A \u003d 0, B 0, C 0, persamaan umumnya menjadi B y + C \u003d 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang O x y yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai nyata x, variabel y akan mengambil nilai - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, ketika A \u003d 0, B 0, mendefinisikan tempat kedudukan titik (x, y) yang koordinatnya sama dengan angka yang sama - C B .
2. Jika A \u003d 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umumnya menjadi y \u003d 0. Persamaan yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan sumbu x O x .
3. Ketika A 0, B \u003d 0, C 0, kita mendapatkan persamaan umum yang tidak lengkap A x + C \u003d 0, mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu y.
4. Misalkan A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x \u003d 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Akhirnya, ketika A 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umum yang tidak lengkap mengambil bentuk A x + B y \u003d 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melewati titik asal. Memang, pasangan angka (0 , 0) sesuai dengan persamaan A x + B y = 0 , karena A · 0 + B · 0 = 0 .

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus di atas.

Contoh 1

Diketahui bahwa garis lurus yang diberikan sejajar dengan sumbu y dan melalui titik 2 7 , - 11 . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Larutan

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan bentuk A x + C \u003d 0, di mana A 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis, dan koordinat titik ini sesuai dengan kondisi persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0 , yaitu. persamaan benar:

A 2 7 + C = 0

Dimungkinkan untuk menentukan C darinya dengan memberi A beberapa nilai bukan nol, misalnya, A = 7 . Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 2 7 + C \u003d 0 C \u003d - 2. Kita mengetahui kedua koefisien A dan C, substitusikan ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, perlu untuk menuliskan persamaannya.

Larutan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk memecahkan masalah. Kita lihat pada gambar bahwa garis yang diberikan sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0 , 3) ​​.

Garis lurus yang sejajar dengan absis ditentukan oleh persamaan umum yang tidak lengkap B y + = 0. Tentukan nilai B dan C . Koordinat titik (0, 3), karena garis lurus yang diberikan melaluinya, akan memenuhi persamaan garis lurus B y + = 0, maka persamaan tersebut valid: · 3 + = 0. Mari kita atur B ke beberapa nilai selain nol. Katakanlah B \u003d 1, dalam hal ini, dari persamaan B · 3 + C \u003d 0 kita dapat menemukan C: C \u003d - 3. Dengan menggunakan nilai B dan C yang diketahui, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: y - 3 = 0 .

Persamaan umum garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang

Biarkan garis yang diberikan melalui titik M 0 (x 0, y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum lengkap garis lurus. Kami mendapatkan: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, persamaan ini setara dengan persamaan umum asli, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan memiliki a vektor normal n → \u003d (A, B) .

Hasil yang diperoleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus untuk koordinat vektor normal garis lurus yang diketahui dan koordinat titik tertentu dari garis lurus ini.

Contoh 3

Diberikan titik M 0 (- 3, 4) yang dilalui garis, dan vektor normal garis ini n → = (1 , - 2) . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Larutan

Kondisi awal memungkinkan kami memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa diselesaikan secara berbeda. Persamaan umum garis lurus memiliki bentuk A x + B y + C = 0 . Vektor normal yang diberikan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai koefisien A dan B , lalu:

A x + B y + C = 0 1 x - 2 y + C = 0 x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C, menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang diberikan oleh kondisi masalah, yang dilalui garis. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0 , yaitu. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Jadi C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0 .

Menjawab: x - 2 y + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 terletak pada garis ini. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan - 3. Hal ini diperlukan untuk menentukan ordinat dari titik yang diberikan.

Larutan

Mari kita atur penunjukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Data awal menunjukkan bahwa x 0 \u003d - 3. Karena titik tersebut milik garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis ini. Maka persamaan berikut akan benar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tentukan y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Transisi dari persamaan umum garis lurus ke jenis persamaan garis lurus lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada bidang. Pilihan jenis persamaan tergantung pada kondisi masalah; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk solusinya. Di sinilah keterampilan mengubah suatu persamaan menjadi persamaan jenis lain sangat berguna.

Untuk memulainya, pertimbangkan transisi dari persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jika A 0, maka kita pindahkan suku B y ke ruas kanan persamaan umum. Di sisi kiri, kami mengambil A dari tanda kurung. Hasilnya, kita mendapatkan: A x + C A = - B y .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai proporsi: x + C A - B = y A .

Jika B 0, kami hanya meninggalkan istilah A x di sisi kiri persamaan umum, kami mentransfer yang lain ke sisi kanan, kami mendapatkan: A x \u003d - B y - C. Kami mengeluarkan - B dari tanda kurung, lalu: A x \u003d - B y + C B.

Mari kita tulis ulang persamaan sebagai proporsi: x - B = y + C B A .

Tentu saja, tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan selama transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum dari garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Itu perlu dikonversi ke persamaan kanonik.

Larutan

Kami menulis persamaan aslinya sebagai 3 y - 4 = 0 . Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami mengeluarkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum garis lurus menjadi persamaan parametrik, pertama, transisi ke bentuk kanonik dilakukan, dan kemudian transisi dari persamaan kanonik garis lurus ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0 . Tuliskan persamaan parametrik dari garis ini.

Larutan

Mari kita buat transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 2 x = 5 y + 1 5 x 5 = y + 1 5 2

Sekarang mari kita ambil kedua bagian dari persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan , maka:

x 5 = y + 1 5 2 = ⇔ x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Menjawab:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Persamaan umum dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan y \u003d k x + b, tetapi hanya jika B 0. Untuk transisi di ruas kiri, kita tinggalkan suku B y , sisanya dipindahkan ke kanan. Kami mendapatkan: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan B , yang berbeda dari nol: y = - A B x - C B .

Contoh 7

Persamaan umum garis lurus diberikan: 2 x + 7 y = 0 . Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Larutan

Mari kita lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritme:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

Menjawab: y = - 2 7 x .

Dari persamaan umum garis lurus, cukup diperoleh persamaan ruas-ruas berbentuk x a + y b = 1. Untuk membuat transisi seperti itu, kami mentransfer angka C ke sisi kanan persamaan, membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan - dan, akhirnya, mentransfer koefisien untuk variabel x dan y ke penyebut:

A x + B y + C = 0 A x + B y = - C ⇔ A - C x + B - C y = 1 x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis lurus x - 7 y + 1 2 = 0 diubah menjadi persamaan garis lurus dalam segmen-segmen.

Larutan

Mari pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2 .

Bagi dengan -1/2 kedua ruas persamaan: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi terbalik juga mudah: dari jenis persamaan lain ke persamaan umum.

Persamaan garis lurus dalam segmen dan persamaan dengan kemiringan dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b y - k x - b = 0 A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

Untuk beralih dari parametrik, transisi ke kanonik pertama kali dilakukan, dan kemudian ke yang umum:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik dari garis lurus x = - 1 + 2 · y = 4 diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis ini.

Larutan

Mari kita buat transisi dari persamaan parametrik ke kanonik:

x = - 1 + 2 y = 4 x = - 1 + 2 y = 4 + 0 ⇔ = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

Mari kita beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

Menjawab: y - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada segmen x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Hal ini diperlukan untuk melakukan transisi ke bentuk umum persamaan.

Larutan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Membuat persamaan umum garis lurus

Di atas, kami mengatakan bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat yang diketahui dari vektor normal dan koordinat titik yang dilalui garis. Garis lurus tersebut didefinisikan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Di tempat yang sama kami menganalisis contoh yang sesuai.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks di mana, pertama, perlu untuk menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diketahui sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Juga dikenal adalah titik M 0 (4 , 1) yang melaluinya garis yang diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Larutan

Kondisi awal menyatakan bahwa garis-garis tersebut sejajar, maka, sebagai vektor normal dari garis yang persamaannya perlu ditulis, kita ambil vektor pengarah garis n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk menyusun persamaan umum garis lurus:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis yang diberikan melalui titik asal tegak lurus terhadap garis x - 2 3 = y + 4 5 . Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Larutan

Vektor normal dari garis yang diberikan akan menjadi vektor pengarah dari garis x - 2 3 = y + 4 5 .

Maka n → = (3 , 5) . Garis lurus melewati titik asal, mis. melalui titik O (0,0) . Mari kita buat persamaan umum dari garis lurus yang diberikan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 y = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Ada banyak garis tak terhingga yang dapat ditarik melalui titik mana pun.

Melalui dua titik yang tidak bertepatan, hanya ada satu garis lurus.

Dua garis yang tidak bertepatan pada bidang berpotongan di satu titik, atau

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga opsi untuk posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis lurus sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis- kurva aljabar orde pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan DARI Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, A 0, B 0- garis melewati titik asal

. A = 0, B 0, C 0 ( By + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu OU

. B = C = 0, A 0- garis bertepatan dengan sumbu OU

. A = C = 0, B 0- garis bertepatan dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk tergantung pada yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Larutan. Mari kita buat di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk menemukan koefisien C

kami mengganti koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mendapatkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua poin diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dan M2 (x 2, y 2 , z 2), kemudian persamaan garis lurus,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol. pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 bawa ke formulir:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus pada suatu titik dan vektor pengarah.

Dengan analogi dengan titik yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus melalui suatu titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , 2), yang komponennya memenuhi kondisi

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor arah garis lurus.

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Menurut definisi,

koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk : Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x=1, y=2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diinginkan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, dibagi dengan -C, diperoleh:

atau dimana

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien a adalah koordinat titik potong

lurus dengan poros Oh, sebuah b- koordinat titik potong garis dengan sumbu OU.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus.

Jika kedua ruas persamaan Ah + Wu + C = 0 bagi dengan angka , yang disebut

faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis lurus.

Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga * C< 0.

R- panjang tegak lurus turun dari titik asal ke garis,

sebuah φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis lurus 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis lurus ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi 5)

Persamaan garis lurus:

cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antar garis pada bidang.

Definisi. Jika diberikan dua garis y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k1 = k2. Dua garis tegak lurus

jika k 1 \u003d -1 / k 2 .

Dalil.

Langsung Ah + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 \u003d A, B 1 \u003d B. Jika juga 1 \u003d, maka garis bertepatan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Dalil. Jika poin diberikan M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ah + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biar intinya M 1 (x 1, y 1)- alas tegak lurus turun dari titik M untuk yang diberikan

langsung. Maka jarak antar titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan 1 dapat ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus

garis yang diberikan. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Ada banyak garis tak terhingga yang dapat ditarik melalui titik mana pun.

Melalui dua titik yang tidak bertepatan, hanya ada satu garis lurus.

Dua garis yang tidak bertepatan pada bidang berpotongan di satu titik, atau

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga opsi untuk posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis lurus sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis- kurva aljabar orde pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan DARI Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, A 0, B 0- garis melewati titik asal

. A = 0, B 0, C 0 ( By + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu OU

. B = C = 0, A 0- garis bertepatan dengan sumbu OU

. A = C = 0, B 0- garis bertepatan dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk tergantung pada yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Larutan. Mari kita buat di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk menemukan koefisien C

kami mengganti koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mendapatkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua poin diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dan M2 (x 2, y 2 , z 2), kemudian persamaan garis lurus,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol. pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 bawa ke formulir:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus pada suatu titik dan vektor pengarah.

Dengan analogi dengan titik yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus melalui suatu titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , 2), yang komponennya memenuhi kondisi

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor arah garis lurus.

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Menurut definisi,

koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk : Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x=1, y=2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diinginkan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, dibagi dengan -C, diperoleh:

atau dimana

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien a adalah koordinat titik potong

lurus dengan poros Oh, sebuah b- koordinat titik potong garis dengan sumbu OU.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus.

Jika kedua ruas persamaan Ah + Wu + C = 0 bagi dengan angka , yang disebut

faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis lurus.

Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga * C< 0.

R- panjang tegak lurus turun dari titik asal ke garis,

sebuah φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis lurus 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis lurus ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi 5)

Persamaan garis lurus:

cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antar garis pada bidang.

Definisi. Jika diberikan dua garis y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k1 = k2. Dua garis tegak lurus

jika k 1 \u003d -1 / k 2 .

Dalil.

Langsung Ah + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 \u003d A, B 1 \u003d B. Jika juga 1 \u003d, maka garis bertepatan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Dalil. Jika poin diberikan M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ah + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biar intinya M 1 (x 1, y 1)- alas tegak lurus turun dari titik M untuk yang diberikan

langsung. Maka jarak antar titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan 1 dapat ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus

garis yang diberikan. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Persamaan kanonik garis lurus dalam ruang adalah persamaan yang menentukan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu secara kolinear terhadap vektor arah.

Misalkan sebuah titik dan vektor arah diberikan. Titik sembarang terletak pada sebuah garis aku hanya jika vektor dan kolinear, yaitu, mereka memenuhi kondisi:

.

Persamaan di atas adalah persamaan kanonik garis.

angka m , n dan p adalah proyeksi dari vektor arah ke sumbu koordinat. Karena vektornya bukan nol, maka semua bilangan m , n dan p tidak boleh nol pada saat yang bersamaan. Tapi satu atau dua di antaranya mungkin nol. Dalam geometri analitik, misalnya, notasi berikut diperbolehkan:

,

yang berarti bahwa proyeksi vektor pada sumbu Oy dan Ons sama dengan nol. Oleh karena itu, baik vektor dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan kanonik tegak lurus terhadap sumbu Oy dan Ons, yaitu pesawat yOz .

Contoh 1 Buatlah persamaan garis lurus dalam ruang yang tegak lurus bidang dan melewati titik perpotongan bidang ini dengan sumbu Ons .

Larutan. Temukan titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons. Karena setiap titik pada sumbu Ons, memiliki koordinat , maka, dengan asumsi diberikan persamaan bidang x=y= 0, kita mendapatkan 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh karena itu, titik potong bidang yang diberikan dengan sumbu Ons memiliki koordinat (0; 0; 2) . Karena garis yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang, maka garis tersebut sejajar dengan vektor normalnya. Oleh karena itu, vektor normal dapat berfungsi sebagai vektor pengarah garis lurus diberikan pesawat.

Sekarang kita tulis persamaan yang diinginkan dari garis lurus yang melalui titik SEBUAH= (0; 0; 2) dalam arah vektor :

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus dapat ditentukan oleh dua titik yang terletak di atasnya dan Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dapat berupa vektor . Kemudian persamaan kanonik garis mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2 Tuliskan persamaan garis lurus di ruang angkasa yang melalui titik dan .

Larutan. Kami menulis persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam referensi teoretis:

.

Karena , maka garis yang diinginkan tegak lurus terhadap sumbu Oy .

Lurus sebagai garis perpotongan bidang

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik-titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier

Persamaan sistem juga disebut persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3 Tulis persamaan kanonik dari garis lurus dalam ruang yang diberikan oleh persamaan umum

Larutan. Untuk menulis persamaan kanonik garis lurus atau persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu menemukan koordinat dua titik pada garis lurus. Mereka dapat menjadi titik perpotongan garis lurus dengan dua bidang koordinat apa pun, misalnya yOz dan xOz .

Titik potong garis dengan bidang yOz memiliki absis x= 0 . Oleh karena itu, dengan asumsi dalam sistem persamaan ini x= 0 , kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya kamu = 2 , z= 6 bersama-sama dengan x= 0 mendefinisikan sebuah titik SEBUAH(0; 2; 6) dari baris yang diinginkan. Dengan asumsi kemudian dalam sistem persamaan yang diberikan kamu= 0, kita mendapatkan sistem

Keputusannya x = -2 , z= 0 bersama dengan kamu= 0 mendefinisikan sebuah titik B(-2; 0; 0) perpotongan garis dengan bidang xOz .

Sekarang kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik-titik SEBUAH(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau setelah penyebut dibagi -2:

,