Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

pengantar

Dunia angka sangat misterius dan menarik. Angka sangat penting di dunia kita. Saya ingin belajar sebanyak mungkin tentang asal usul angka, tentang maknanya dalam hidup kita. Bagaimana menerapkannya dan peran apa yang dimainkannya dalam hidup kita?

Tahun lalu dalam pelajaran matematika kami mulai mempelajari topik "Bilangan positif dan negatif". Saya punya pertanyaan, kapan angka negatif muncul, di negara mana, ilmuwan mana yang menangani masalah ini. Di Wikipedia, saya membaca bahwa bilangan negatif adalah elemen dari himpunan bilangan negatif, yang (bersama dengan nol) muncul dalam matematika ketika himpunan bilangan asli diperluas. Tujuan dari ekstensi adalah untuk menyediakan operasi pengurangan untuk bilangan apa pun. Sebagai hasil dari ekspansi, diperoleh satu set (cincin) bilangan bulat, yang terdiri dari bilangan positif (alami), bilangan negatif, dan nol.

Akibatnya, saya memutuskan untuk menyelidiki sejarah angka negatif.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari sejarah munculnya bilangan negatif dan bilangan positif.

Objek studi - bilangan negatif dan bilangan positif

Sejarah angka positif dan negatif

Orang tidak bisa terbiasa dengan angka negatif untuk waktu yang lama. Angka negatif tampaknya tidak dapat dipahami oleh mereka, mereka tidak digunakan, mereka tidak melihat banyak arti di dalamnya. Angka-angka ini muncul jauh lebih lambat daripada bilangan asli dan pecahan biasa.

Informasi pertama tentang bilangan negatif ditemukan di kalangan matematikawan Cina pada abad ke-2 SM. SM e. dan kemudian, hanya aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif yang diketahui; aturan perkalian dan pembagian tidak diterapkan.

Kuantitas positif dalam matematika Cina disebut "chen", negatif - "fu"; mereka digambarkan dalam berbagai warna: "chen" - merah, "fu" - hitam. Hal ini dapat dilihat dalam buku Arithmetic in Nine Chapters (Penulis Zhang Can). Metode representasi ini digunakan di Cina hingga pertengahan abad ke-12, sampai Li Ye mengusulkan notasi yang lebih nyaman untuk angka negatif - angka yang menggambarkan angka negatif dicoret dengan tanda hubung miring dari kanan ke kiri.

Hanya di abad ke-7 Matematikawan India mulai menggunakan bilangan negatif secara ekstensif, tetapi menganggapnya dengan sedikit ketidakpercayaan. Bhashara langsung menulis: "Orang tidak menyetujui angka negatif abstrak ...". Berikut adalah bagaimana ahli matematika India Brahmagupta menetapkan aturan penambahan dan pengurangan: “properti dan properti adalah properti, jumlah dari dua hutang adalah hutang; jumlah properti dan nol adalah properti; jumlah dua nol adalah nol ... Hutang, yang dikurangi dari nol, menjadi properti, dan properti menjadi utang. Jika perlu untuk mengambil properti dari hutang, dan hutang dari properti, maka mereka mengambil jumlahnya. "Jumlah dari dua properti adalah properti."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Orang India menyebut angka positif "dhana" atau "swa" (properti), dan yang negatif - "rina" atau "kshaya" (hutang). Ilmuwan India, yang mencoba menemukan contoh pengurangan semacam itu dalam kehidupan, datang untuk menafsirkannya dari sudut pandang perhitungan perdagangan. Jika pedagang memiliki 5000 r. dan membeli barang seharga 3000 rubel, ia memiliki 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jika dia memiliki 3.000 rubel dan membeli 5.000 rubel, maka dia tetap berhutang sebesar 2.000 rubel. Sesuai dengan ini, diyakini bahwa pengurangan 3000 - 5000 sedang dilakukan di sini, tetapi hasilnya adalah angka 2000 dengan titik di atas, yang berarti "dua ribu hutang." Penafsiran ini semu, pedagang tidak pernah menemukan jumlah hutang dengan mengurangkan 3000 - 5000, tetapi selalu mengurangkan 5000 - 3000.

Beberapa saat kemudian, di India dan Cina kuno, mereka menebak alih-alih kata-kata "utang 10 yuan" untuk sekadar menulis "10 yuan", tetapi menggambar hieroglif ini dengan tinta hitam. Dan tanda "+" dan "-" di zaman kuno bukan untuk angka, atau untuk tindakan.

Orang Yunani juga tidak menggunakan tanda pada awalnya. Ilmuwan Yunani kuno Diophantus sama sekali tidak mengenali bilangan negatif, dan jika akar negatif diperoleh saat menyelesaikan persamaan, maka ia membuangnya sebagai "tidak dapat diakses". Dan Diophantus mencoba merumuskan masalah dan membuat persamaan sedemikian rupa untuk menghindari akar negatif, tetapi segera Diophantus dari Alexandria mulai menunjukkan pengurangan dengan tanda.

Aturan untuk menangani angka positif dan negatif diusulkan pada awal abad ke-3 di Mesir. Pengenalan kuantitas negatif pertama kali terjadi di Diophantus. Dia bahkan menggunakan karakter khusus untuk mereka. Pada saat yang sama, Diophantus menggunakan pergantian bicara seperti "Mari kita tambahkan negatif ke kedua sisi," dan bahkan merumuskan aturan tanda: "Sebuah negatif dikalikan dengan negatif memberikan positif, sedangkan negatif dikalikan dengan positif memberikan negatif.”

Di Eropa, angka negatif mulai digunakan dari abad ke-12-13, tetapi sampai abad ke-16. kebanyakan ilmuwan menganggapnya "salah", "imajiner" atau "tidak masuk akal", berbeda dengan angka positif - "benar". Angka positif juga diartikan sebagai "properti", dan angka negatif - sebagai "utang", "kekurangan". Bahkan matematikawan terkenal Blaise Pascal berpendapat bahwa 0 4 = 0, karena tidak ada yang kurang dari tidak sama sekali. Di Eropa, Leonardo Fibonacci dari Pisa cukup dekat dengan gagasan tentang kuantitas negatif pada awal abad ke-13. Dalam kompetisi dalam memecahkan masalah dengan matematikawan pengadilan Frederick II, Leonardo dari Pisa diminta untuk memecahkan masalah: itu diperlukan untuk menemukan ibukota beberapa orang. Fibonacci negatif. "Kasus ini," kata Fibonacci, "tidak mungkin, kecuali menerima bahwa seseorang tidak memiliki modal, tetapi utang." Namun, angka negatif secara eksplisit digunakan untuk pertama kalinya pada akhir abad ke-15 oleh ahli matematika Prancis Shuquet. Penulis risalah tulisan tangan tentang aritmatika dan aljabar, The Science of Numbers in Three Parts. Simbolisme Schücke mendekati simbol modern.

Karya matematikawan, fisikawan, dan filsuf Prancis René Descartes berkontribusi pada pengenalan bilangan negatif. Dia mengusulkan interpretasi geometris angka positif dan negatif - dia memperkenalkan garis koordinat. (1637).

Angka positif digambarkan pada sumbu angka dengan titik-titik yang terletak di sebelah kanan titik asal 0, angka negatif - ke kiri. Interpretasi geometris angka positif dan negatif berkontribusi pada pengenalan mereka.

Pada tahun 1544, matematikawan Jerman Michael Stiefel menganggap bilangan negatif untuk pertama kalinya sebagai bilangan yang kurang dari nol (yaitu "kurang dari tidak sama sekali"). Sejak saat itu, angka negatif tidak lagi dipandang sebagai hutang, tetapi dengan cara yang sama sekali baru. Stiefel sendiri menulis: "Nol adalah antara angka yang benar dan tidak masuk akal ..."

Hampir bersamaan dengan Stiefel, Bombelli Raffaele (sekitar 1530-1572), seorang matematikawan dan insinyur Italia yang menemukan kembali karya Diophantus, membela gagasan bilangan negatif.

Demikian pula, Girard menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya, untuk menunjukkan kekurangan sesuatu.

Setiap fisikawan terus-menerus berurusan dengan angka: dia selalu mengukur sesuatu, menghitung, menghitung. Di mana-mana di korannya - angka, angka, dan angka. Jika Anda melihat lebih dekat pada catatan seorang fisikawan, Anda akan menemukan bahwa ketika menulis angka, ia sering menggunakan tanda "+" dan "-". (Misalnya: termometer, skala kedalaman dan tinggi)

Hanya pada awal abad XIX. teori bilangan negatif telah menyelesaikan perkembangannya, dan "bilangan absurd" telah menerima pengakuan universal.

Definisi konsep bilangan

Di dunia modern, seseorang terus-menerus menggunakan angka, bahkan tanpa memikirkan asal-usulnya. Tanpa pengetahuan tentang masa lalu, mustahil untuk memahami masa kini. Bilangan merupakan salah satu konsep dasar matematika. Konsep bilangan berkembang erat hubungannya dengan studi besaran; hubungan ini berlanjut hingga hari ini. Di semua cabang matematika modern, kita harus mempertimbangkan jumlah yang berbeda dan menggunakan angka. Nomor adalah abstraksi yang digunakan untuk mengukur objek. Setelah muncul kembali di masyarakat primitif dari kebutuhan berhitung, konsep bilangan berubah dan diperkaya dan berubah menjadi konsep matematika yang paling penting.

Ada banyak definisi untuk istilah "angka".

Definisi ilmiah pertama tentang bilangan diberikan oleh Euclid dalam Elements-nya, yang jelas-jelas diwarisi dari rekan senegaranya Eudoxus dari Cnidus (sekitar 408 - sekitar 355 SM): “Satuan adalah, yang dengannya setiap benda yang ada disebut satu. Bilangan adalah himpunan yang terdiri dari unit-unit. Inilah bagaimana konsep bilangan didefinisikan oleh ahli matematika Rusia Magnitsky dalam Arithmetic (1703). Bahkan sebelum Euclid, Aristoteles memberikan definisi berikut: "Angka adalah himpunan, yang diukur dengan bantuan unit." Dalam bukunya "Aritmatika Umum" (1707), fisikawan, mekanik, astronom, dan matematikawan Inggris Isaac Newton menulis: "Dengan angka yang kami maksud bukanlah sekumpulan unit, tetapi rasio abstrak dari beberapa kuantitas ke kuantitas lain yang sama. jenis, diambil sebagai satu kesatuan. Ada tiga jenis bilangan: bilangan bulat, pecahan, dan irasional. Bilangan bulat adalah yang diukur dengan satuan; pecahan - kelipatan dari unit, irasional - angka yang tidak sepadan dengan unit.

Matematikawan Mariupol S.F. Klyuykov juga berkontribusi pada definisi konsep bilangan: "Bilangan adalah model matematika dari dunia nyata, yang diciptakan oleh manusia untuk pengetahuannya." Dia juga memperkenalkan apa yang disebut "bilangan fungsional" ke dalam klasifikasi angka tradisional, yang berarti apa yang biasanya disebut fungsi di seluruh dunia.

Bilangan asli muncul saat menghitung benda. Saya belajar tentang ini di kelas 5 SD. Kemudian saya belajar bahwa kebutuhan manusia untuk mengukur besaran tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan bulat. Setelah perluasan himpunan bilangan asli ke bilangan pecahan, menjadi mungkin untuk membagi bilangan bulat apa pun dengan bilangan bulat lain (dengan pengecualian pembagian dengan nol). Ada bilangan pecahan. Untuk mengurangi bilangan bulat dari bilangan bulat lain, ketika dikurangi lebih besar dari dikurangi, untuk waktu yang lama tampak mustahil. Yang menarik bagi saya adalah kenyataan bahwa untuk waktu yang lama banyak ahli matematika tidak mengenali angka negatif, percaya bahwa mereka tidak sesuai dengan fenomena nyata apa pun.

Asal usul kata "plus" dan "minus"

Istilah ini berasal dari kata plus - "lebih", minus - "kurang". Pada awalnya, tindakan dilambangkan dengan huruf pertama p; m. Banyak matematikawan disukai atau Munculnya tanda modern "+", "-" tidak sepenuhnya jelas. Tanda “+” kemungkinan berasal dari singkatan et, mis. "dan". Namun, itu mungkin muncul dari praktik perdagangan: takaran anggur yang dijual ditandai pada tong dengan "-", dan ketika stok dipulihkan, mereka dicoret, tanda "+" diperoleh.

Di Italia, rentenir, meminjamkan uang, di depan nama debitur jumlah utang dan tanda hubung, seperti minus kami, dan ketika debitur mengembalikan uang, mereka mencoretnya, seperti plus kami.

Tanda-tanda modern "+" muncul di Jerman pada dekade terakhir abad ke-15. dalam kitab Widmann, yang merupakan panduan untuk akun untuk pedagang (1489). Ceko Jan Widman sudah menulis "+" dan "-" untuk penjumlahan dan pengurangan.

Beberapa saat kemudian, sarjana Jerman Michel Stiefel menulis Aritmatika Lengkap, yang diterbitkan pada tahun 1544. Ini berisi entri seperti untuk angka: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Bilangan jenis pertama ia sebut "kurang dari tidak sama sekali" atau "lebih rendah daripada tidak sama sekali". Bilangan jenis kedua ini disebutnya “lebih dari tidak sama sekali” atau “lebih tinggi dari tidak sama sekali”. Tentu saja, Anda memahami nama-nama ini, karena "tidak ada" adalah 0.

Angka negatif di Mesir

Namun, terlepas dari keraguan seperti itu, aturan untuk menangani angka positif dan negatif sudah diusulkan pada abad ke-3 di Mesir. Pengenalan kuantitas negatif pertama kali terjadi di Diophantus. Dia bahkan menggunakan karakter khusus untuk mereka (sekarang kami menggunakan tanda minus untuk itu). Benar, para ilmuwan berpendapat apakah simbol Diophantus berarti angka negatif atau hanya operasi pengurangan, karena dalam Diophantus angka negatif tidak terjadi secara terpisah, tetapi hanya dalam bentuk perbedaan positif; dan dia menganggap hanya bilangan positif rasional sebagai jawaban dalam masalah. Tetapi pada saat yang sama, Diophantus menggunakan pergantian bicara seperti "Mari kita tambahkan negatif ke kedua sisi," dan bahkan merumuskan aturan tanda: "Negatif dikalikan negatif menghasilkan positif, sementara negatif dikalikan positif memberikan negatif” (yang sekarang biasanya dirumuskan: “A minus dengan minus memberikan plus, minus dengan plus memberikan minus”).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Angka negatif di Asia kuno

Kuantitas positif dalam matematika Cina disebut "chen", negatif - "fu"; mereka digambarkan dalam berbagai warna: "chen" - merah, "fu" - hitam. Metode representasi ini digunakan di Cina hingga pertengahan abad ke-12, sampai Li Ye mengusulkan notasi yang lebih nyaman untuk angka negatif - angka yang menggambarkan angka negatif dicoret dengan tanda hubung miring dari kanan ke kiri. Ilmuwan India, yang mencoba menemukan contoh pengurangan semacam itu dalam kehidupan, datang untuk menafsirkannya dari sudut pandang perhitungan perdagangan.

Jika pedagang memiliki 5000 r. dan membeli barang seharga 3000 rubel, ia memiliki 5000 - 3000 \u003d 2000, r. Jika dia memiliki 3.000 rubel dan membeli 5.000 rubel, maka dia tetap berhutang sebesar 2.000 rubel. Sesuai dengan ini, diyakini bahwa pengurangan 3000 - 5000 sedang dilakukan di sini, tetapi hasilnya adalah angka 2000 dengan titik di atas, yang berarti "dua ribu hutang."

Penafsiran ini bersifat artifisial, pedagang tidak pernah menemukan jumlah hutang dengan mengurangkan 3000 - 5000, tetapi selalu mengurangi 5000 - 3000. Selain itu, atas dasar ini dimungkinkan untuk menjelaskan dengan peregangan hanya aturan penambahan dan pengurangan "angka dengan titik", tetapi sama sekali tidak menjelaskan aturan perkalian atau pembagian.

Pada abad V-VI, angka negatif muncul dan tersebar sangat luas dalam matematika India. Di India, angka negatif digunakan secara sistematis dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan sekarang. Matematikawan India telah menggunakan bilangan negatif sejak abad ke-7. n. e.: Brahmagupta merumuskan aturan untuk operasi aritmatika dengan mereka. Dalam karyanya kita membaca: “harta dan harta adalah harta, jumlah dua utang adalah utang; jumlah properti dan nol adalah properti; jumlah dua nol adalah nol ... Hutang, yang dikurangi dari nol, menjadi properti, dan properti menjadi utang. Jika perlu untuk mengambil properti dari hutang, dan hutang dari properti, maka mereka mengambil jumlahnya.

Orang India menyebut angka positif "dhana" atau "swa" (properti), dan yang negatif - "rina" atau "kshaya" (hutang). Namun, di India ada masalah dengan pemahaman dan penerimaan angka negatif.

Angka negatif di Eropa

Matematikawan Eropa tidak menyetujui mereka untuk waktu yang lama, karena interpretasi "hutang properti" menyebabkan kebingungan dan keraguan. Memang, bagaimana seseorang dapat "menambah" atau "mengurangi" properti dan utang, apa arti sebenarnya dari "memperbanyak" atau "membagi" properti dengan utang? (G.I. Glazer, Sejarah matematika di sekolah kelas IV-VI. Moskow, Pendidikan, 1981)

Itulah sebabnya bilangan negatif memenangkan tempat mereka dalam matematika dengan susah payah. Di Eropa, Leonardo Fibonacci dari Pisa cukup dekat dengan gagasan tentang besaran negatif pada awal abad ke-13, tetapi matematikawan Prancis Shuquet pertama kali menggunakan angka negatif secara eksplisit pada akhir abad ke-15. Penulis risalah tulisan tangan tentang aritmatika dan aljabar, The Science of Numbers in Three Parts. Simbolisme Schuke mendekati modern (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Interpretasi modern dari angka negatif

Pada tahun 1544, matematikawan Jerman Michael Stiefel menganggap bilangan negatif untuk pertama kalinya sebagai bilangan yang kurang dari nol (yaitu "kurang dari tidak sama sekali"). Sejak saat itu, angka negatif tidak lagi dipandang sebagai hutang, tetapi dengan cara yang sama sekali baru. Stiefel sendiri menulis: "Nol adalah antara angka benar dan tidak masuk akal ..." (G.I. Glazer, History of Mathematics in grades IV-VI. Moscow, Education, 1981)

Setelah itu, Stiefel mengabdikan karyanya sepenuhnya untuk matematika, di mana dia adalah seorang otodidak yang brilian. Salah satu yang pertama di Eropa setelah Nikola Shuke mulai beroperasi dengan angka negatif.

Matematikawan Prancis terkenal René Descartes dalam Geometri (1637) menjelaskan interpretasi geometris bilangan positif dan negatif; angka positif digambarkan pada sumbu angka dengan titik-titik yang terletak di sebelah kanan titik asal 0, negatif - ke kiri. Interpretasi geometris bilangan positif dan negatif mengarah pada pemahaman yang lebih jelas tentang sifat bilangan negatif dan berkontribusi pada pengenalannya.

Hampir bersamaan dengan Stiefel, R. Bombelli Raffaele (sekitar 1530-1572), seorang matematikawan dan insinyur Italia yang menemukan kembali karya Diophantus, membela gagasan bilangan negatif.

Bombelli dan Girard, sebaliknya, menganggap angka negatif cukup dapat diterima dan berguna, khususnya, untuk menunjukkan kurangnya sesuatu. Penunjukan modern bilangan positif dan negatif dengan tanda "+" dan "-" digunakan oleh ahli matematika Jerman Widman. Ungkapan "lebih rendah daripada tidak sama sekali" menunjukkan bahwa Stiefel dan beberapa orang lain secara mental membayangkan angka positif dan negatif sebagai titik pada skala vertikal (seperti skala termometer). Gagasan yang dikembangkan kemudian oleh matematikawan A. Girard tentang bilangan negatif sebagai titik pada garis lurus tertentu yang terletak di sisi lain dari nol dari yang positif ternyata menjadi penentu dalam memberikan angka-angka ini dengan hak kewarganegaraan, terutama sebagai akibat dari pengembangan metode koordinat oleh P. Fermat dan R. Descartes .

Kesimpulan

Dalam pekerjaan saya, saya menjelajahi sejarah angka negatif. Selama penelitian saya, saya menyimpulkan:

Ilmu pengetahuan modern menemukan jumlah yang sedemikian kompleks sehingga untuk studi mereka perlu menemukan jenis angka baru.

Saat memperkenalkan nomor baru, dua keadaan sangat penting:

a) aturan tindakan pada mereka harus sepenuhnya ditentukan dan tidak mengarah pada kontradiksi;

b) sistem bilangan baru harus berkontribusi pada solusi masalah baru, atau meningkatkan solusi yang sudah diketahui.

Sampai saat ini, ada tujuh tingkat generalisasi bilangan yang diterima secara umum: bilangan natural, rasional, real, kompleks, vektor, matriks, dan transfinit. Beberapa ilmuwan mengusulkan untuk mempertimbangkan fungsi sebagai bilangan fungsional dan memperluas derajat generalisasi bilangan menjadi dua belas tingkat.

Saya akan mencoba mempelajari semua rangkaian angka ini.

Lampiran

PUISI

"Penjumlahan bilangan negatif dan bilangan dengan tanda berbeda"

Jika Anda ingin melipat

Angka-angkanya negatif, tidak ada yang perlu disesalkan:

Kita perlu cepat mengetahui jumlah modul,

Kemudian ambil tanda minus dan tambahkan ke dalamnya.

Jika diberikan bilangan dengan tanda yang berbeda,

Untuk menemukan jumlah mereka, kita baik-baik saja di sana.

Modul yang lebih besar dengan cepat sangat dapat dipilih.

Dari itu kita kurangi yang lebih kecil.

Yang terpenting jangan lupa tandanya!

Yang mana yang akan Anda taruh? - kami ingin bertanya

Kami akan mengungkapkan rahasia kepada Anda, itu tidak mudah,

Tanda, di mana modulusnya lebih besar, tulis di jawabannya.

Aturan untuk menambahkan angka positif dan negatif

Tambahkan minus dengan minus,

Anda bisa mendapatkan minus.

Jika Anda menambahkan minus, plus,

Itu akan berubah menjadi memalukan?!

Pilih tanda nomornya

Apa yang lebih kuat, jangan menguap!

Singkirkan modul mereka

Ya, berdamailah dengan semua angka!

Aturan perkalian juga dapat diartikan sebagai berikut:

"Teman temanku adalah temanku": + + = + .

"Musuh dari musuhku adalah temanku": = +.

"Teman dari musuhku adalah musuhku": + = .

"Musuh temanku adalah musuhku": + = .

Tanda perkalian adalah titik, ia memiliki tiga tanda:

Cover dua dari mereka, yang ketiga akan memberikan jawabannya.

Sebagai contoh.

Bagaimana cara menentukan tanda hasil kali 2∙(-3)?

Mari kita tutup tanda plus dan minus dengan tangan kita. Ada tanda minus

Bibliografi

"Sejarah Dunia Kuno", Kelas 5. Kolpakov, Selunskaya.

"Sejarah Matematika di Zaman Kuno", E. Kolman.

“Buku Pegangan Siswa”. Rumah Penerbitan VES, St. Petersburg. 2003

Ensiklopedia Matematika Hebat. Yakusheva G.M. dan sebagainya.

Vigasin A.A., Goder G.I., "Sejarah Dunia Kuno", buku teks kelas 5, 2001

Wikipedia. Ensiklopedia gratis.

Kemunculan dan Perkembangan Ilmu Matematika: Buku. Untuk guru. - M.: Pencerahan, 1987.

Gelfman E.G. "Bilangan positif dan negatif", buku teks matematika untuk kelas 6, 2001.

Kepala. ed. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta +, 1998.

Glazer G. I. "Sejarah matematika di sekolah", Moskow, "Prosveshchenie", 1981

Ensiklopedia anak-anak "Saya tahu dunia", Moskow, "Pencerahan", 1995.

Sejarah matematika di sekolah, kelas IV-VI. G.I. Glazer, Moskow, Pendidikan, 1981.

Moskow: Philol. O-vo "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Maligin K.A.

Kamus Ensiklopedis Matematika. M., Sov. ensiklopedia, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematika Kelas 6", Moskow, "Pencerahan", 1989

Buku pelajaran kelas 5. Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd.

Fridman L. M.. "Belajar Matematika", edisi pendidikan, 1994

MISALNYA. Gelfman et al., Angka positif dan negatif di teater Pinocchio. Buku ajar matematika kelas 6 sd. Edisi ke-3, dikoreksi, - Tomsk: Rumah Penerbitan Universitas Tomsk, 1998.

Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11. Matematika

Bilangan positif dan negatif
Garis koordinat
Mari kita lurus. Kami menandai titik 0 (nol) di atasnya dan mengambil titik ini sebagai titik asal.

Mari kita tunjukkan dengan panah arah gerakan sepanjang garis lurus di sebelah kanan titik asal. Ke arah ini dari titik 0 kami akan menunda angka positif.

Artinya, angka yang sudah kita ketahui, kecuali nol, disebut positif.

Terkadang angka positif ditulis dengan tanda "+". Misalnya, "+8".

Untuk singkatnya, tanda “+” di depan bilangan positif biasanya dihilangkan dan alih-alih “+8” mereka hanya menulis 8.

Oleh karena itu, "+3" dan "3" adalah angka yang sama, hanya berbeda penunjukannya.

Mari kita pilih beberapa segmen, yang panjangnya akan kita ambil sebagai satu kesatuan dan sisihkan beberapa kali di sebelah kanan titik 0. Di akhir segmen pertama, angka 1 tertulis, di akhir yang kedua - yang nomor 2, dst.

Menempatkan satu segmen di sebelah kiri titik asal, kita mendapatkan angka negatif: -1; -2; dll.

Angka negatif digunakan untuk menunjukkan berbagai besaran, seperti: suhu (di bawah nol), aliran - yaitu, pendapatan negatif, kedalaman - ketinggian negatif, dan lain-lain.

Seperti dapat dilihat dari gambar, bilangan negatif adalah bilangan yang sudah kita kenal, hanya dengan tanda minus: -8; -5.25 dll.

• Angka 0 tidak positif atau negatif.

Sumbu numerik biasanya ditempatkan secara horizontal atau vertikal.

Jika garis koordinat vertikal, maka arah naik dari titik asal biasanya dianggap positif, dan turun dari titik asal - negatif.

Panah menunjukkan arah positif.

Garis lurus ditandai:
. titik referensi (titik 0);
. segmen tunggal;
. panah menunjukkan arah positif;
ditelepon garis koordinat atau garis bilangan.

Bilangan berlawanan pada garis koordinat
Mari kita tandai pada garis koordinat dua titik A dan B, yang masing-masing terletak pada jarak yang sama dari titik 0 ke kanan dan kiri.

Dalam hal ini, panjang segmen OA dan OB adalah sama.

Artinya koordinat titik A dan B hanya berbeda tanda.


Titik A dan B juga dikatakan simetris terhadap titik asal.
Koordinat titik A positif "+2", koordinat titik B bertanda minus "-2".
A(+2), B(-2).

• Bilangan yang hanya berbeda tandanya disebut bilangan berlawanan. Titik-titik yang sesuai dari sumbu numerik (koordinat) adalah simetris relatif terhadap titik asal.

Setiap nomor memiliki satu bilangan berlawanan. Hanya angka 0 yang tidak memiliki lawan, tetapi kita dapat mengatakan bahwa itu berlawanan dengan dirinya sendiri.

Notasi "-a" berarti kebalikan dari "a". Ingatlah bahwa sebuah huruf dapat menyembunyikan angka positif dan angka negatif.

Contoh:
-3 adalah kebalikan dari 3.

Kami menulisnya sebagai ekspresi:
-3 = -(+3)

Contoh:
-(-6) - angka yang berlawanan dengan angka negatif -6. Jadi -(-6) adalah bilangan positif 6.

Kami menulisnya sebagai ekspresi:
-(-6) = 6

Menambahkan angka negatif
Penambahan bilangan positif dan negatif dapat diurai menggunakan garis bilangan.

Penjumlahan bilangan modulo kecil mudah dilakukan pada garis koordinat, secara mental membayangkan sebagai titik yang menunjukkan bilangan bergerak di sepanjang sumbu bilangan.

Mari kita ambil beberapa angka, misalnya, 3. Mari kita nyatakan pada sumbu angka dengan titik A.

Kita tambahkan bilangan positif 2 pada bilangan tersebut, artinya titik A harus dipindahkan dua satuan segmen ke arah yang positif, yaitu ke kanan. Hasilnya, kita akan mendapatkan titik B dengan koordinat 5.
3 + (+ 2) = 5

Untuk menjumlahkan bilangan negatif (-5) ke bilangan positif, misalnya ke 3, titik A harus dipindahkan 5 satuan panjang ke arah negatif, yaitu ke kiri.

Dalam hal ini, koordinat titik B adalah -2.

Jadi, urutan penjumlahan bilangan rasional menggunakan sumbu bilangan adalah sebagai berikut:
. tandai titik A pada garis koordinat dengan koordinat yang sama dengan suku pertama;
. pindahkan jarak yang sama dengan modulus suku kedua ke arah yang sesuai dengan tanda di depan angka kedua (plus - pindah ke kanan, minus - ke kiri);
. titik B yang diperoleh pada sumbu akan memiliki koordinat yang akan sama dengan jumlah angka-angka ini.

Contoh.
- 2 + (- 6) =

Bergerak dari titik - 2 ke kiri (karena ada tanda minus di depan 6), kita mendapatkan - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Penjumlahan bilangan dengan tanda yang sama
Menambahkan bilangan rasional lebih mudah jika Anda menggunakan konsep modulus.

Misalkan kita perlu menambahkan angka yang memiliki tanda yang sama.
Untuk melakukan ini, kami membuang tanda-tanda angka dan mengambil modul dari angka-angka ini. Kami menambahkan modul dan meletakkan tanda di depan jumlah, yang umum untuk angka-angka ini.

Contoh.

Contoh penjumlahan bilangan negatif.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

• Untuk menjumlahkan angka dari tanda yang sama, Anda perlu menambahkan modulnya dan meletakkan tanda di depan jumlah yang ada di depan suku.

Penambahan angka dengan tanda yang berbeda
Jika angka-angka memiliki tanda yang berbeda, maka kita bertindak agak berbeda dari saat menambahkan angka dengan tanda yang sama.
. Kami membuang tanda di depan angka, yaitu, kami mengambil modulnya.
. Kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar.
. Sebelum selisih, kita beri tanda yang dimiliki bilangan dengan modulus yang lebih besar.

Contoh penjumlahan bilangan negatif dan bilangan positif.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Contoh penjumlahan bilangan campuran.

Untuk menambahkan jumlah tanda yang berbeda:
. kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar;
. sebelum selisih yang dihasilkan, beri tanda bilangan yang memiliki modulus lebih besar.

Pengurangan bilangan negatif
Seperti yang Anda ketahui, pengurangan adalah kebalikan dari penjumlahan.
Jika a dan b bilangan positif, maka mengurangkan bilangan b dari bilangan a berarti menemukan bilangan c yang jika dijumlahkan dengan bilangan b menghasilkan bilangan a.
a - b = c atau c + b = a

Definisi pengurangan berlaku untuk semua bilangan rasional. Yaitu pengurangan bilangan positif dan negatif dapat diganti dengan penambahan.

• Untuk mengurangi yang lain dari satu angka, Anda perlu menambahkan angka yang berlawanan ke minuend.

Atau, dengan cara lain, kita dapat mengatakan bahwa pengurangan bilangan b adalah penjumlahan yang sama, tetapi dengan bilangan yang berlawanan dengan bilangan b.
a - b = a + (- b)

Contoh.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Contoh.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

• Perlu diingat ungkapan di bawah ini.
• 0 - a = - a
• a - 0 = a
• a - a = 0

Aturan untuk mengurangkan bilangan negatif
Seperti yang Anda lihat dari contoh di atas, pengurangan angka b adalah penjumlahan dengan angka yang berlawanan dengan angka b.
Aturan ini dipertahankan tidak hanya saat mengurangkan angka yang lebih kecil dari angka yang lebih besar, tetapi juga memungkinkan Anda untuk mengurangi angka yang lebih besar dari angka yang lebih kecil, yaitu, Anda selalu dapat menemukan perbedaan antara dua angka.

Selisihnya bisa berupa bilangan positif, bilangan negatif, atau nol.

Contoh pengurangan bilangan bulat positif dan negatif.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Lebih mudah untuk mengingat aturan tanda, yang memungkinkan Anda untuk mengurangi jumlah tanda kurung.
Tanda plus tidak mengubah tanda angka, jadi jika ada plus di depan tanda kurung, tanda di dalam tanda kurung tidak berubah.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Tanda minus di depan tanda kurung membalikkan tanda angka di dalam tanda kurung.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Dari persamaan dapat dilihat bahwa jika ada tanda yang sama di depan dan di dalam tanda kurung, maka kita mendapatkan “+”, dan jika tandanya berbeda, maka kita mendapatkan “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Aturan tanda juga dipertahankan jika tidak ada satu angka dalam tanda kurung, tetapi jumlah angka secara aljabar.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Perlu diketahui bahwa jika ada beberapa angka dalam kurung dan ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda di depan semua angka dalam kurung tersebut harus diubah.

Untuk mengingat aturan tanda, Anda dapat membuat tabel untuk menentukan tanda suatu bilangan.
Aturan tanda untuk angka

Atau pelajari aturan sederhana.

• Dua negatif membuat afirmatif,
• Ditambah kali dikurangi sama dengan dikurangi.

Perkalian bilangan negatif
Menggunakan konsep modulus angka, kami merumuskan aturan untuk mengalikan angka positif dan negatif.

Perkalian bilangan dengan tanda yang sama
Kasus pertama yang mungkin Anda temui adalah perkalian bilangan dengan tanda yang sama.
Untuk mengalikan dua bilangan dengan tanda yang sama:
. kalikan modul angka;
. beri tanda “+” sebelum produk yang dihasilkan (saat menulis jawaban, tanda tambah sebelum angka pertama di sebelah kiri dapat dihilangkan).

Contoh perkalian bilangan negatif dan bilangan positif.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Perkalian bilangan dengan tanda yang berbeda
Kemungkinan kasus kedua adalah perkalian bilangan dengan tanda yang berbeda.
Untuk mengalikan dua bilangan dengan tanda yang berbeda:
. kalikan modul angka;
. letakkan tanda "-" di depan karya yang dihasilkan.
Contoh perkalian bilangan negatif dan bilangan positif.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Aturan untuk tanda untuk perkalian
Mengingat aturan tanda untuk perkalian sangat sederhana. Aturan ini sama dengan aturan ekspansi kurung.

• Dua negatif membuat afirmatif,
• Ditambah kali dikurangi sama dengan dikurangi.

Dalam contoh "panjang", di mana hanya ada tindakan perkalian, tanda produk dapat ditentukan oleh jumlah faktor negatif.

Pada bahkan sejumlah faktor negatif, hasilnya akan positif, dan dengan aneh kuantitas negatif.
Contoh.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

Dalam contoh, ada lima pengganda negatif. Jadi tanda hasilnya akan minus.
Sekarang kita menghitung produk modulus, mengabaikan tanda-tandanya.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Hasil akhir mengalikan bilangan asli adalah:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Perkalian dengan nol dan satu
Jika di antara faktor-faktor tersebut terdapat bilangan nol atau bilangan positif, maka perkalian dilakukan menurut aturan yang diketahui.
. 0 . a = 0
. sebuah. 0 = 0
. sebuah. 1 =
Contoh:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Peran khusus dalam perkalian bilangan rasional dimainkan oleh unit negatif (- 1).

• Bila dikalikan dengan (- 1), angkanya terbalik.

Secara harfiah, properti ini dapat ditulis:
sebuah. (- 1) = (- 1) . a = - a

Saat menjumlahkan, mengurangi, dan mengalikan bilangan rasional bersama-sama, urutan operasi yang ditetapkan untuk bilangan positif dan nol dipertahankan.

Contoh perkalian bilangan negatif dan bilangan positif.

Pembagian bilangan negatif
Cara membagi bilangan negatif mudah dipahami, mengingat pembagian merupakan kebalikan dari perkalian.

Jika a dan b bilangan positif, maka membagi bilangan a dengan bilangan b berarti menemukan bilangan c yang jika dikalikan dengan b menghasilkan bilangan a.

Definisi pembagian ini berlaku untuk semua bilangan rasional selama pembaginya bukan nol.

Oleh karena itu, misalnya, membagi angka (- 15) dengan angka 5 berarti menemukan angka yang, jika dikalikan dengan angka 5, menghasilkan angka (- 15). Angka ini akan menjadi (- 3), karena
(- 3) . 5 = - 15

cara

(- 15) : 5 = - 3

Contoh pembagian bilangan rasional.
1. 10: 5 = 2 sejak 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2 karena 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6 karena (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, karena (- 3) . (-4) = 12

Dari contoh-contoh tersebut dapat dilihat bahwa hasil bagi dua bilangan yang bertanda sama adalah bilangan positif (contoh 1, 2), dan hasil bagi dua bilangan yang berbeda tanda adalah bilangan negatif (contoh 3,4).

Aturan pembagian bilangan negatif
Untuk menemukan modulus hasil bagi, Anda perlu membagi modulus hasil bagi dengan modulus pembagi.
Jadi, untuk membagi dua angka dengan tanda yang sama, Anda perlu:

. awali hasilnya dengan tanda "+".
Contoh pembagian bilangan dengan tanda yang sama:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Untuk membagi dua bilangan yang berbeda tanda:
. bagi modulus pembagian dengan modulus pembagi;
. awali hasilnya dengan tanda "-".
Contoh pembagian bilangan dengan tanda yang berbeda:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Anda juga dapat menggunakan tabel berikut untuk menentukan tanda bagi.
Aturan tanda saat membagi

Saat menghitung ekspresi "panjang", di mana hanya perkalian dan pembagian yang muncul, sangat mudah untuk menggunakan aturan tanda. Misalnya, untuk menghitung pecahan

Anda dapat memperhatikan bahwa di pembilang ada 2 tanda "minus", yang jika dikalikan akan memberikan "plus". Ada juga tiga tanda minus di penyebutnya, yang jika dikalikan akan menghasilkan minus. Oleh karena itu, pada akhirnya, hasilnya akan bertanda minus.

Pengurangan pecahan (tindakan lebih lanjut dengan modul angka) dilakukan dengan cara yang sama seperti sebelumnya:

• Hasil bagi membagi nol dengan angka bukan nol adalah nol.
• 0: a = 0, a 0
• JANGAN dibagi dengan nol!

Semua aturan pembagian dengan satu yang diketahui sebelumnya juga berlaku untuk himpunan bilangan rasional.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
dimana a adalah sembarang bilangan rasional.

Ketergantungan antara hasil perkalian dan pembagian, yang dikenal dengan bilangan positif, juga dipertahankan untuk semua bilangan rasional (kecuali bilangan nol):
. jika sebuah . b = c; a = c: b; b = c: a;
. jika a: b = c; a = s. b; b=a:c
Dependensi ini digunakan untuk menemukan faktor, dividen, dan pembagi yang tidak diketahui (saat menyelesaikan persamaan), serta untuk memeriksa hasil perkalian dan pembagian.

Contoh menemukan yang tidak diketahui.
x . (-5) = 10

x=10: (-5)

x=-2

Tanda minus dalam pecahan
Bagilah angka (- 5) dengan 6 dan angka 5 dengan (- 6).

Kami mengingatkan Anda bahwa garis dalam notasi pecahan biasa adalah tanda pembagian yang sama, dan kami menulis hasil bagi setiap tindakan ini sebagai pecahan negatif.

Dengan demikian, tanda minus dalam pecahan dapat menjadi:
. sebelum pecahan
. di pembilang;
. dalam penyebut.

• Saat menulis pecahan negatif, Anda dapat meletakkan tanda minus di depan pecahan, memindahkannya dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang.

Ini sering digunakan ketika melakukan operasi pada pecahan, membuat perhitungan lebih mudah.

Contoh. Harap dicatat bahwa setelah menempatkan tanda minus di depan tanda kurung, kami mengurangi yang lebih kecil dari modul yang lebih besar sesuai dengan aturan untuk menambahkan angka dengan tanda yang berbeda.


Dengan menggunakan sifat transfer tanda yang dijelaskan dalam pecahan, Anda dapat bertindak tanpa mengetahui modulus mana dari bilangan pecahan ini yang lebih besar.

Terdiri dari bilangan positif (alami), bilangan negatif dan nol.

Semua bilangan negatif, dan hanya mereka, yang kurang dari nol. Pada sumbu angka, angka negatif terletak di sebelah kiri nol. Bagi mereka, dan juga untuk bilangan positif, relasi urutan didefinisikan yang memungkinkan Anda untuk membandingkan satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya.

Untuk setiap bilangan asli n ada satu dan hanya satu bilangan negatif, dilambangkan dengan -n, yang melengkapi n ke nol:

Teori bilangan negatif yang lengkap dan cukup ketat hanya dibuat pada abad ke-19 (William Hamilton dan Hermann Grassmann).

Angka negatif terkenal

Lihat juga

literatur

• Vygodsky M.Ya. Buku pegangan matematika dasar. - M .: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
• Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. - M.: Pendidikan, 1964. - 376 hal.

Catatan

Yayasan Wikimedia. 2010 .

• Sebuah batu
• Ozon (disambiguasi)

Lihat apa "Angka negatif" di kamus lain:

NOMOR NEGATIF- bilangan real kurang dari nol, yaitu memenuhi pertidaksamaan a ... Ensiklopedia Politeknik Hebat- 1.50. distribusi binomial negatif Distribusi probabilitas variabel acak diskrit X sedemikian rupa sehingga untuk x = 0, 1, 2, ... dan parameter c > 0 (bilangan bulat positif), 0< p < 1, где Примечания 1. Название… … Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

Nomor serigala- (W) karakteristik kuantitatif dari tingkat aktivitas matahari; mewakili jumlah bintik matahari dan kelompoknya, dinyatakan dalam bentuk indikator bersyarat: W \u003d k (m + 10n), di mana m adalah jumlah total semua bintik matahari yang diatur dalam kelompok atau terletak ... ... ekologi Manusia

Angka negatif adalah bilangan dengan tanda minus (-), misalnya -1, -2, -3. Bacaan seperti: minus satu, minus dua, minus tiga.

Contoh aplikasi angka negatif adalah termometer yang menunjukkan suhu tubuh, udara, tanah atau air. Di musim dingin, ketika di luar sangat dingin, suhunya negatif (atau, seperti kata orang, "minus").

Misalnya, -10 derajat dingin:

Angka-angka biasa yang kami pertimbangkan sebelumnya, seperti 1, 2, 3, disebut positif. Bilangan positif adalah bilangan yang bertanda plus (+).

Saat menulis angka positif, tanda + tidak ditulis, itulah sebabnya kita melihat angka 1, 2, 3 yang kita kenal, tetapi harus diingat bahwa angka positif ini terlihat seperti ini: +1, + 2, +3.

Isi pelajaran

Ini adalah garis lurus di mana semua angka berada: baik negatif maupun positif. Sebagai berikut:

Ditampilkan di sini adalah angka dari -5 hingga 5. Sebenarnya, garis koordinat tidak terbatas. Gambar tersebut hanya menunjukkan sebagian kecil saja.

Angka-angka pada garis koordinat ditandai sebagai titik. Pada gambar, titik hitam tebal adalah titik awal. Hitung mundur dimulai dari nol. Di sebelah kiri titik referensi, angka negatif ditandai, dan di sebelah kanan, angka positif.

Garis koordinat berlanjut tanpa batas di kedua sisi. Tak terhingga dalam matematika dilambangkan dengan simbol . Arah negatif dilambangkan dengan simbol , dan arah positif dilambangkan dengan +∞. Kemudian kita dapat mengatakan bahwa semua angka dari minus tak terhingga hingga plus tak terhingga terletak pada garis koordinat:

Setiap titik pada garis koordinat memiliki nama dan koordinatnya sendiri. Nama adalah setiap huruf Latin. Koordinat adalah angka yang menunjukkan posisi suatu titik pada garis tersebut. Sederhananya, koordinatnya adalah angka yang sama yang ingin kita tandai pada garis koordinat.

Misalnya, titik A(2) berbunyi sebagai titik A dengan koordinat 2 dan akan dilambangkan pada garis koordinat sebagai berikut:

Di Sini A adalah nama titik, 2 adalah koordinat titik A.

Contoh 2 Poin B(4) dibaca sebagai titik B pada koordinat 4

Di Sini B adalah nama titik, 4 adalah koordinat titik b.

Contoh 3 Titik M(−3) dibaca sebagai "titik M dengan koordinat minus tiga" dan akan dilambangkan pada garis koordinat sebagai berikut:

Di Sini M adalah nama titik, 3 adalah koordinat titik M .

Poin dapat dilambangkan dengan huruf apa saja. Tetapi umumnya diterima untuk menunjuk mereka dengan huruf Latin kapital. Terlebih lagi, awal laporan, yang disebut juga asal biasanya dilambangkan dengan huruf kapital O

Sangat mudah untuk melihat bahwa angka negatif terletak di sebelah kiri titik asal, dan angka positif di sebelah kanan.

Ada ungkapan seperti "semakin ke kiri, semakin sedikit" dan "semakin ke kanan, semakin banyak". Anda mungkin sudah menebak apa yang kita bicarakan. Dengan setiap langkah ke kiri, jumlahnya akan berkurang ke bawah. Dan dengan setiap langkah ke kanan, jumlahnya akan bertambah. Panah yang menunjuk ke kanan menunjukkan arah penghitungan yang positif.

Membandingkan bilangan negatif dan bilangan positif

Aturan 1 Setiap angka negatif lebih kecil dari angka positif apa pun.

Misalnya, mari kita bandingkan dua angka: 5 dan 3. Dikurangi lima lebih kecil dari tiga, meskipun fakta bahwa lima menarik perhatian di tempat pertama, sebagai angka yang lebih besar dari tiga.

Ini karena 5 negatif dan 3 positif. Pada garis koordinat, Anda dapat melihat di mana angka 5 dan 3 berada

Dapat dilihat bahwa 5 terletak di sebelah kiri, dan 3 di sebelah kanan. Dan kami mengatakan itu "semakin ke kiri, semakin sedikit" . Dan aturan mengatakan bahwa setiap angka negatif kurang dari angka positif. Oleh karena itu berikut ini

−5 < 3

"Minus lima kurang dari tiga"

Aturan 2 Dari dua bilangan negatif, yang lebih kecil adalah yang terletak di sebelah kiri pada garis koordinat.

Sebagai contoh, mari kita bandingkan angka -4 dan -1. dikurangi empat lebih kecil dari minus satu.

Ini sekali lagi karena fakta bahwa pada garis koordinat 4 terletak lebih ke kiri daripada 1

Dapat dilihat bahwa -4 terletak di sebelah kiri, dan -1 di sebelah kanan. Dan kami mengatakan itu "semakin ke kiri, semakin sedikit" . Dan aturannya mengatakan bahwa dari dua angka negatif, angka yang terletak di sebelah kiri pada garis koordinat lebih sedikit. Oleh karena itu berikut ini

Minus empat kurang dari minus satu

Aturan 3 Nol lebih besar dari angka negatif apa pun.

Sebagai contoh, mari kita bandingkan 0 dan 3. Nol lagi dari minus tiga. Hal ini disebabkan fakta bahwa pada garis koordinat 0 terletak di sebelah kanan dari 3

Dapat dilihat bahwa 0 terletak di sebelah kanan, dan 3 di sebelah kiri. Dan kami mengatakan itu "semakin ke kanan, semakin banyak" . Dan aturannya mengatakan bahwa nol lebih besar dari angka negatif apa pun. Oleh karena itu berikut ini

Nol lebih besar dari minus tiga

Aturan 4 Nol lebih kecil dari bilangan positif mana pun.

Misalnya, bandingkan 0 dan 4. Nol lebih kecil dari 4. Pada prinsipnya, ini jelas dan benar. Namun kita akan coba melihatnya dengan mata kepala sendiri, lagi-lagi pada garis koordinat:

Terlihat bahwa pada garis koordinat 0 terletak di sebelah kiri, dan 4 di sebelah kanan. Dan kami mengatakan itu "semakin ke kiri, semakin sedikit" . Dan aturannya mengatakan bahwa nol kurang dari angka positif apa pun. Oleh karena itu berikut ini

Nol kurang dari empat

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru

Sebagai nomor khusus, ia tidak memiliki tanda.

Contoh penulisan angka: + 36 , 6 ; 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ -273;\ 142.) Angka terakhir tidak memiliki tanda dan karena itu positif.

Perhatikan bahwa plus dan minus menunjukkan tanda untuk angka, tetapi tidak untuk variabel literal atau ekspresi aljabar. Misalnya, dalam rumus t; a + b (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) simbol plus dan minus tidak menentukan tanda ekspresi yang didahului, tetapi tanda operasi aritmatika, sehingga tanda hasil bisa apa saja, itu ditentukan hanya setelah ekspresi dievaluasi.

Selain aritmatika, konsep tanda digunakan dalam cabang matematika lainnya, termasuk untuk objek matematika non-numerik (lihat di bawah). Konsep tanda juga penting dalam cabang-cabang fisika di mana kuantitas fisik dibagi menjadi dua kelas, yang secara kondisional disebut positif dan negatif - misalnya, muatan listrik, umpan balik positif dan negatif, berbagai gaya tarik dan tolak.

Tanda Nomor

Bilangan positif dan negatif

Nol tidak diberi tanda apa pun, yaitu + 0 (\gaya tampilan +0) dan 0 (\displaystyle -0) adalah bilangan yang sama dalam aritmatika. Dalam analisis matematis, makna simbol + 0 (\gaya tampilan +0) dan 0 (\displaystyle -0) dapat bervariasi, lihat itu Negatif dan positif nol ; dalam ilmu komputer, pengkodean komputer dari dua nol (tipe bilangan bulat) mungkin berbeda, lihat kode langsung.

Sehubungan dengan hal di atas, beberapa istilah yang lebih berguna diperkenalkan:

• Nomor non-negatif jika lebih besar dari atau sama dengan nol.
• Nomor tidak positif jika kurang dari atau sama dengan nol.
• Angka positif bukan nol dan angka negatif bukan nol kadang-kadang (untuk menekankan bahwa mereka bukan nol) disebut "sangat positif" dan "sangat negatif".

Terminologi yang sama terkadang digunakan untuk fungsi nyata. Misalnya, fungsi tersebut disebut positif jika semua nilainya positif, non-negatif, jika semua nilainya bukan negatif, dll. Mereka juga mengatakan bahwa fungsi tersebut positif/negatif pada interval definisi yang diberikan..

Untuk contoh penggunaan fungsi, lihat artikel Akar kuadrat#Bilangan kompleks .

Modulus (nilai absolut) dari suatu bilangan

Jika nomor x (\gaya tampilan x) jatuhkan tanda, nilai yang dihasilkan disebut modul atau nilai mutlak angka x (\gaya tampilan x), dilambangkan | x | . (\gaya tampilan |x|.) Contoh: | 3 | = 3; | 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |-3|=3.)

Untuk sembarang bilangan real a , b (\gaya tampilan a,b) properti berikut berlaku.

Tanda objek non-numerik

Tanda sudut

Nilai sudut pada bidang dianggap positif jika diukur berlawanan arah jarum jam, jika tidak negatif. Dua kasus rotasi diklasifikasikan secara serupa:

• rotasi pada bidang - misalnya, rotasi sebesar (–90°) searah jarum jam;
• rotasi dalam ruang di sekitar sumbu berorientasi, sebagai suatu peraturan, dianggap positif jika "aturan gimlet" dipenuhi, jika tidak maka dianggap negatif.

tanda arah

Dalam geometri analitik dan fisika, kemajuan di sepanjang garis lurus atau kurva tertentu sering dibagi secara kondisional menjadi positif dan negatif. Pembagian seperti itu mungkin tergantung pada rumusan masalah atau pada sistem koordinat yang dipilih. Misalnya, ketika menghitung panjang busur dari suatu kurva, seringkali lebih mudah untuk memberikan tanda minus pada panjang ini di salah satu dari dua arah yang mungkin.

Masuk komputasi

bit paling signifikan
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Untuk mewakili tanda bilangan bulat, kebanyakan komputer menggunakan