Setiap sistem aksioma matematika, mulai dari tingkat kerumitan tertentu, secara internal tidak konsisten atau tidak lengkap.

Pada tahun 1900, Konferensi Dunia Matematikawan diadakan di Paris, di mana David Hilbert (1862–1943) mempresentasikan dalam bentuk abstrak 23 masalah terpenting, menurutnya, yang dirumuskan olehnya, yang harus diselesaikan oleh para ilmuwan teoretis. dari abad kedua puluh yang akan datang. Nomor dua dalam daftarnya adalah salah satu masalah sederhana yang tampak jelas sampai Anda menggali lebih dalam. Dalam istilah modern, itu adalah pertanyaan: apakah matematika cukup dengan sendirinya? Tugas kedua Hilbert direduksi menjadi kebutuhan untuk membuktikan secara ketat bahwa sistem aksioma - pernyataan dasar yang diambil dalam matematika sebagai dasar tanpa bukti - adalah sempurna dan lengkap, yaitu memungkinkan deskripsi matematis dari segala sesuatu yang ada. Itu perlu untuk membuktikan bahwa adalah mungkin untuk mengatur sistem aksioma sedemikian rupa sehingga, pertama, mereka akan saling konsisten, dan kedua, seseorang dapat menarik kesimpulan dari mereka mengenai kebenaran atau kesalahan pernyataan apa pun.

Mari kita ambil contoh dari geometri sekolah. Dalam planimetri Euclidean standar (geometri pada bidang datar), dapat dibuktikan tanpa syarat bahwa pernyataan "jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°" adalah benar, dan pernyataan "jumlah sudut suatu segitiga adalah 137° " itu palsu. Berbicara pada dasarnya, dalam geometri Euclidean, pernyataan apa pun salah atau benar, dan yang ketiga tidak diberikan. Dan pada awal abad kedua puluh, matematikawan secara naif percaya bahwa situasi yang sama harus diamati dalam sistem yang konsisten secara logis.

Dan kemudian pada tahun 1931, beberapa matematikawan berkacamata Wina Kurt Godel mengambil dan menerbitkan sebuah artikel pendek yang hanya menjungkirbalikkan seluruh dunia yang disebut "logika matematika". Setelah pembukaan matematika dan teoretis yang panjang dan kompleks, ia benar-benar menetapkan yang berikut ini. Mari kita ambil pernyataan seperti: "Asumsi #247 secara logis tidak dapat dibuktikan dalam sistem aksioma ini" dan menyebutnya "pernyataan A". Jadi, Gödel hanya membuktikan properti menakjubkan berikut dari setiap sistem aksioma:

“Jika pernyataan A dapat dibuktikan, maka pernyataan non-A dapat dibuktikan.”

Dengan kata lain, jika mungkin untuk membuktikan keabsahan pernyataan “Asumsi 247 tidak dapat dibuktikan”, maka dimungkinkan juga untuk membuktikan keabsahan pernyataan “Asumsi 247 dapat dibuktikan”. Artinya, kembali ke rumusan masalah Hilbert kedua, jika sistem aksiomanya lengkap (yaitu, pernyataan apa pun di dalamnya dapat dibuktikan), maka itu tidak konsisten.

Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini adalah menerima sistem aksioma yang tidak lengkap. Artinya, kita harus menerima fakta bahwa dalam konteks sistem logis apa pun kita masih akan memiliki pernyataan "tipe A" yang jelas-jelas benar atau salah, dan kita dapat menilai kebenarannya hanya di luar kerangka aksioma yang kita miliki. diadopsi. Jika tidak ada pernyataan seperti itu, maka aksioma kita kontradiktif, dan dalam kerangkanya pasti akan ada formulasi yang dapat dibuktikan dan disangkal.

Jadi, rumusan teorema ketidaklengkapan pertama, atau lemah, Gödel adalah: "Setiap sistem aksioma formal mengandung asumsi yang belum terselesaikan." Tetapi Gödel tidak berhenti di situ, merumuskan dan membuktikan teorema ketidaklengkapan kedua atau kuat Gödel: “Kelengkapan logis (atau ketidaklengkapan) dari sistem aksioma apa pun tidak dapat dibuktikan dalam kerangka sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, diperlukan aksioma tambahan (penguatan sistem).”

Akan lebih aman untuk berpikir bahwa teorema Godel bersifat abstrak dan tidak menjadi perhatian kita, tetapi hanya bidang logika matematika yang luhur, tetapi pada kenyataannya ternyata berhubungan langsung dengan struktur otak manusia. Ahli matematika dan fisikawan Inggris Roger Penrose (lahir 1931) menunjukkan bahwa teorema Gödel dapat digunakan untuk membuktikan perbedaan mendasar antara otak manusia dan komputer. Inti dari penalarannya sederhana. Komputer beroperasi secara logis dan tidak dapat menentukan apakah pernyataan A benar atau salah jika melampaui cakupan aksiomatik, dan pernyataan seperti itu, menurut teorema Gödel, pasti ada. Seseorang, dihadapkan dengan pernyataan A yang tidak dapat dibuktikan secara logis dan tidak dapat disangkal, selalu dapat menentukan kebenaran atau kepalsuannya - berdasarkan pengalaman sehari-hari. Setidaknya dalam hal ini, otak manusia lebih unggul daripada komputer yang dibelenggu oleh rangkaian logika murni. Otak manusia mampu memahami kedalaman penuh kebenaran yang terkandung dalam teorema Gödel, tetapi komputer tidak akan pernah bisa. Oleh karena itu, otak manusia tidak lain adalah komputer. Dia mampu membuat keputusan, dan tes Turing akan berlalu.

Saya ingin tahu apakah Hilbert tahu seberapa jauh pertanyaannya akan membawa kita?

Kurt GOEDEL
Kurt Godel, 1906–78

Austria, kemudian matematikawan Amerika. Lahir di Brünn (Brünn, sekarang Brno, Republik Ceko). Dia lulus dari Universitas Wina, di mana dia tetap menjadi guru di Departemen Matematika (sejak 1930 - seorang profesor). Pada tahun 1931 ia menerbitkan sebuah teorema yang kemudian menerima namanya. Menjadi orang yang murni apolitis, ia sangat sulit bertahan dari pembunuhan teman dan karyawan departemennya oleh seorang mahasiswa Nazi dan jatuh ke dalam depresi berat, yang kambuh menghantuinya sampai akhir hayatnya. Pada 1930-an, ia beremigrasi ke Amerika Serikat, tetapi kembali ke negara asalnya Austria dan menikah. Pada tahun 1940, pada puncak perang, ia terpaksa melarikan diri ke Amerika dalam perjalanan melalui Uni Soviet dan Jepang. Untuk beberapa waktu dia bekerja di Princeton Institute for Advanced Study. Sayangnya, jiwa ilmuwan tidak tahan, dan dia meninggal karena kelaparan di klinik psikiatri, menolak untuk makan, karena dia yakin bahwa mereka bermaksud meracuninya.

Komentar: 0

Bagaimana model ilmiah berkembang dalam ilmu-ilmu alam? Pengalaman sehari-hari atau ilmiah terakumulasi, tonggaknya dirumuskan dengan rapi dalam bentuk postulat dan menjadi dasar model: seperangkat pernyataan yang diterima oleh semua orang yang bekerja dalam model ini.

Anatoly Wasserman

Pada tahun 1930, Kurt Gödel membuktikan dua teorema yang, diterjemahkan dari bahasa matematika ke dalam bahasa manusia, berarti kira-kira seperti ini: Setiap sistem aksioma yang cukup kaya untuk digunakan untuk mendefinisikan aritmatika akan menjadi tidak lengkap atau tidak konsisten. Sistem yang tidak lengkap berarti bahwa suatu pernyataan dapat dirumuskan dalam sistem, yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal melalui sistem ini. Tetapi Tuhan, menurut definisi, adalah penyebab utama dari semua penyebab. Secara matematis, ini berarti pengenalan aksioma tentang Tuhan membuat seluruh aksioma kita lengkap. Jika ada Tuhan, maka pernyataan apa pun dapat dibuktikan atau disangkal, merujuk, dengan satu atau lain cara, kepada Tuhan. Tetapi menurut Gödel, sistem aksioma yang lengkap pastilah kontradiktif. Artinya, jika kita percaya bahwa Tuhan itu ada, maka kita dipaksa untuk sampai pada kesimpulan bahwa kontradiksi mungkin terjadi di alam. Dan karena tidak ada kontradiksi, jika tidak seluruh dunia kita akan hancur karena kontradiksi ini, kita harus sampai pada kesimpulan bahwa keberadaan Tuhan tidak sesuai dengan keberadaan alam.

Sosinsky A.B.

Teorema Gödel, bersama dengan penemuan relativitas, mekanika kuantum, dan DNA, umumnya dianggap sebagai pencapaian ilmiah terbesar abad ke-20. Mengapa? Apa esensinya? Apa artinya? Alexey Bronislavovich Sosinsky, matematikawan, profesor di Universitas Independen Moskow, petugas Ordo Telapak Tangan Akademik Republik Prancis, penerima Penghargaan Pemerintah RF di bidang pendidikan pada 2012, membahas masalah ini dalam kuliahnya dalam kerangka kerja Proyek Kuliah Umum Polit.ru. Secara khusus, beberapa formulasi berbeda diberikan, tiga pendekatan untuk pembuktiannya dijelaskan (oleh Kolmogorov, Chaitin, dan Gödel sendiri), dan signifikansinya untuk matematika, fisika, ilmu komputer, dan filsafat dijelaskan.

Uspensky V.A.

Kuliah ini dikhususkan untuk versi sintaksis Teorema Ketidaklengkapan Gödel. Gödel sendiri membuktikan versi sintaksisnya dengan menggunakan asumsi yang lebih kuat dari konsistensi, yaitu yang disebut omega-consistency.

Uspensky V.A.

Ceramah Sekolah Musim Panas "Matematika Modern", Dubna.

Teorema ketidaklengkapan Godel

Uspensky V.A.

Mungkin teorema ketidaklengkapan Gödel benar-benar unik. Unik karena mereka menyebutnya ketika mereka ingin membuktikan "segala sesuatu di dunia" - dari kehadiran para dewa hingga ketiadaan akal. Saya selalu tertarik pada "pertanyaan utama" - dan siapa di antara mereka yang mengacu pada teorema ketidaklengkapan yang tidak hanya dapat merumuskannya, tetapi juga membuktikannya? Saya menerbitkan artikel ini karena menyajikan rumusan teorema Gödel yang sangat mudah diakses. Saya sarankan Anda membaca artikel Tullio Regge Kurt Gödel terlebih dahulu dan teoremanya yang terkenal

Kesimpulan tentang ketidakmungkinan kriteria kebenaran universal adalah konsekuensi langsung dari hasil yang diperoleh Tarski dengan menggabungkan teorema ketidakpastian Gödel dengan teori kebenarannya sendiri, yang menurutnya tidak mungkin ada kriteria kebenaran universal bahkan untuk area yang relatif sempit. teori bilangan, dan karenanya untuk ilmu apa pun menggunakan aritmatika. Secara alami, hasil ini menerapkan fortiori pada konsep kebenaran dalam bidang pengetahuan non-matematis mana pun di mana aritmatika digunakan secara luas.

Karl Popper

Uspensky Vladimir Andreevich lahir pada 27 November 1930 di Moskow. Lulus dari Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow (1952). Doktor Ilmu Fisika dan Matematika (1964). Guru Besar, Ketua Departemen Logika Matematika dan Teori Algoritma Fakultas Mekanika dan Matematika (1966). Membaca mata kuliah “Pengantar Logika Matematika”, “Fungsi yang Dapat Dihitung”, “Teorema Kelengkapan Gödel”. Menyiapkan 25 calon dan 2 doktor ilmu

1. Pernyataan masalah

Teorema ketidaklengkapan, rumusan yang tepat yang akan kami berikan di akhir bab ini, dan mungkin nanti (jika pembaca tertarik pada ini) dan buktinya, menyatakan kira-kira sebagai berikut: dalam kondisi tertentu dalam bahasa apa pun ada yang benar, tetapi pernyataan yang tidak dapat dibuktikan.

Ketika kita merumuskan teorema dengan cara ini, hampir setiap kata membutuhkan penjelasan. Oleh karena itu, kami akan mulai dengan menjelaskan arti dari kata-kata yang kami gunakan dalam formulasi ini.

1.1. Bahasa

Kami tidak akan memberikan definisi bahasa yang paling umum, lebih memilih untuk membatasi diri pada konsep-konsep bahasa yang akan kami butuhkan nanti. Ada dua konsep seperti itu: "abjad bahasa" dan "kumpulan pernyataan bahasa yang benar".

1.1.1. Alfabet

Yang kami maksud dengan alfabet adalah sekumpulan tanda dasar yang terbatas (yaitu, hal-hal yang tidak dapat dipecah menjadi bagian-bagian komponen). Karakter ini disebut huruf alfabet. Dengan kata alfabet yang kami maksud adalah urutan huruf yang terbatas. Misalnya, kata-kata biasa dalam bahasa Inggris (termasuk nama diri) adalah kata-kata dengan 54 huruf alfabet (26 huruf kecil, 26 huruf besar, tanda hubung, dan tanda kutip). Contoh lain - bilangan asli dalam notasi desimal adalah kata-kata dari alfabet 10 huruf, yang hurufnya adalah tanda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kami akan menggunakan huruf kapital biasa untuk menunjukkan alfabet. Jika L adalah alfabet, maka L? akan menunjukkan himpunan semua kata dari alfabet L, - kata-kata yang dibentuk dari huruf-hurufnya. Kami akan berasumsi bahwa setiap bahasa memiliki alfabetnya sendiri, sehingga semua ekspresi bahasa ini (yaitu - nama berbagai objek, pernyataan tentang objek ini, dll.) adalah kata-kata dari alfabet ini. Misalnya, kalimat apa pun dalam bahasa Inggris, serta teks apa pun yang ditulis dalam bahasa Inggris, dapat dianggap sebagai kata dari alfabet 54 huruf yang diperluas, yang juga mencakup tanda baca, spasi antarkata, karakter garis merah, dan mungkin beberapa karakter berguna lainnya. Dengan asumsi bahwa ekspresi bahasa adalah kata-kata dari beberapa alfabet, dengan demikian kami mengecualikan dari pertimbangan ekspresi "multilayer" seperti ???f(x)dx. Namun, batasan ini tidak terlalu signifikan, karena ekspresi seperti itu, menggunakan konvensi yang sesuai, dapat "diregangkan" ke dalam bentuk linier. Setiap himpunan M terkandung dalam L? disebut himpunan kata dari abjad L. Jika kita hanya mengatakan bahwa M adalah himpunan kata, maka yang kita maksud adalah kata dari beberapa abjad. Sekarang asumsi bahasa di atas dapat direfrase sebagai berikut: dalam bahasa apapun, himpunan ekspresi apapun adalah himpunan kata.

1.1.2. Banyak klaim yang benar

Kita asumsikan bahwa kita diberi subset T dari himpunan L? (di mana L adalah alfabet dari beberapa bahasa yang kita pertimbangkan), yang disebut himpunan "pernyataan benar" (atau hanya "kebenaran"). Melewati langsung ke subset T, kami menghilangkan langkah-langkah penalaran menengah berikut: pertama, kata-kata alfabet L mana yang merupakan ekspresi bahasa yang terbentuk dengan baik, yaitu, mereka memiliki makna tertentu dalam interpretasi kami tentang bahasa ini (misalnya , 2 + 3, x + 3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 adalah ekspresi yang terbentuk dengan baik, sedangkan ekspresi seperti +=x tidak); kedua, ekspresi mana yang merupakan formula, mis. mungkin bergantung pada parameter (misalnya, x=3, x=y, 2=3, 2=2); ketiga, rumus mana yang merupakan rumus tertutup, mis. pernyataan yang tidak bergantung pada parameter (misalnya, 2=3, 2=2); dan terakhir, rumus tertutup mana yang merupakan pernyataan benar (misalnya, 2=2).

1.1.3. Pasangan bahasa dasar

1.2. "Tidak dapat dibuktikan"

"Tidak dapat dibuktikan" berarti tidak memiliki bukti.

1.3. Bukti

Terlepas dari kenyataan bahwa istilah "bukti" mungkin salah satu yang paling penting dalam matematika (Bourbaki memulai buku mereka "Fundamentals of Mathematics" dengan kata-kata: "Dari zaman Yunani kuno, mengatakan "matematika" berarti sama dengan mengatakan "bukti""), dia tidak memiliki definisi yang tepat. Secara umum, konsep pembuktian dengan semua cabang semantiknya lebih merupakan milik bidang psikologi daripada matematika. Tapi bagaimanapun, bukti hanyalah sebuah argumen yang kita sendiri temukan cukup meyakinkan untuk meyakinkan orang lain.

Ketika ditulis, buktinya menjadi sebuah kata dalam beberapa alfabet P, sama seperti teks bahasa Inggris lainnya adalah kata dalam alfabet L, contohnya diberikan di atas. Himpunan semua bukti membentuk himpunan bagian (dan himpunan bagian yang cukup besar) dari himpunan P?. Kami tidak akan mencoba memberikan definisi yang tepat dari konsep pembuktian "naif" dan "mutlak" ini, atau - yang setara - untuk mendefinisikan subset yang sesuai dari P?. Sebagai gantinya, kami akan mempertimbangkan analog formal dari konsep yang tidak jelas ini, yang untuk itu kami masih akan menggunakan istilah "bukti" berikut ini. Analog ini memiliki dua fitur yang sangat penting yang membedakannya dari konsep intuitif (walaupun ide intuitif dari pembuktian masih mencerminkan fitur ini sampai batas tertentu). Pertama-tama, kita berasumsi bahwa ada konsepsi yang berbeda dari pembuktian, yaitu, subset yang berbeda dari pembuktian di P? diperbolehkan, dan bahkan lebih dari itu: kita akan, pada kenyataannya, berasumsi bahwa alfabet pembuktian dari P itu sendiri dapat berubah. . Berikut ini, kita akan mensyaratkan bahwa untuk setiap konsepsi dari suatu bukti, terdapat metode yang efisien, dengan kata lain, suatu algoritma yang akan menentukan apakah kata tertentu dari alfabet P adalah suatu bukti atau tidak. Kami juga berasumsi bahwa ada algoritma yang selalu dapat digunakan untuk menentukan pernyataan mana yang dibuktikan oleh bukti tertentu. (Dalam banyak situasi, pernyataan yang dibuktikan hanyalah pernyataan terakhir dalam urutan langkah-langkah yang membentuk pembuktian.)

Dengan demikian, kata-kata terakhir kami dari definisi adalah sebagai berikut:

(1) Kami memiliki alfabet L (abjad bahasa) dan alfabet P (abjad pembuktian).

(2) Kita diberikan himpunan P yang merupakan himpunan bagian dari P? dan elemen-elemennya disebut "bukti". Berikut ini, kita akan mengasumsikan bahwa kita juga memiliki algoritme yang memungkinkan kita untuk menentukan apakah kata arbitrer dari alfabet P adalah elemen dari himpunan P, yaitu bukti, atau bukan.

(3) Kami juga memiliki fungsi? (untuk menemukan apa yang sebenarnya telah terbukti), domain siapa? memenuhi kondisi P???P?, dan yang jangkauannya ada di P?. Kami berasumsi bahwa kami memiliki algoritme yang menghitung fungsi ini (arti sebenarnya dari kata "algoritma menghitung fungsi" adalah sebagai berikut: nilai fungsi diperoleh dengan menggunakan algoritme ini - seperangkat aturan transformasi khusus). Kami akan mengatakan bahwa elemen p? P adalah bukti kata?(p) dari alfabet L.

Troika<Р, Р, ?>, kondisi yang memenuhi (1)-(3) disebut sistem deduktif atas alfabet L.

Bagi pembaca yang akrab dengan cara biasa mendefinisikan "bukti" dalam istilah "aksioma" dan "aturan inferensi", sekarang kami akan menjelaskan bagaimana metode ini dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi yang diberikan di bagian 1.3.2. Artinya, bukti biasanya didefinisikan sebagai urutan ekspresi bahasa tersebut, yang masing-masing merupakan aksioma atau diperoleh sebelumnya dari pernyataan yang sudah ada dengan menggunakan salah satu aturan inferensi. Jika kita menambahkan kata baru * ke alfabet bahasa kita, maka kita dapat menulis bukti seperti kata yang disusun menggunakan alfabet yang dihasilkan: urutan ekspresi menjadi kata C1*C2*...*Cn. Dalam hal ini, fungsi yang menentukan apa yang sebenarnya telah dibuktikan memiliki nilainya di bagian kata ini segera setelah huruf terakhir * dalam urutan. Algoritme yang keberadaannya diperlukan dalam Bagian 1.3.2. definisi, dapat dengan mudah dibangun setelah kita secara tepat mendefinisikan salah satu arti yang diterima dari kata "aksioma" dan "aturan inferensi".

1.4 Upaya untuk secara akurat merumuskan teorema ketidaklengkapan

1.4.1. Percobaan pertama

"Dalam kondisi tertentu untuk pasangan dasar bahasa alfabet L dan sistem deduktif<Р, Р, ?>di atas L, selalu ada kata di T yang tidak memiliki bukti. Opsi ini masih terlihat kabur. ?) tidak ada kata sama sekali yang memiliki bukti.

1.4.2. Percobaan kedua

Ada pendekatan lain yang lebih alami. Misalkan kita diberi bahasa - dalam arti bahwa kita diberikan pasangan dasar bahasa ini. Sekarang kita akan mencari sistem deduktif atas L (secara intuitif, kita mencari teknik pembuktian) yang dengannya kita dapat membuktikan sebanyak mungkin kata dari T, dalam batas semua kata dari teorema T. Gödel menggambarkan situasi di mana sistem deduktif seperti itu (di mana setiap kata dalam T dapat dibuktikan) tidak ada. Oleh karena itu, kami ingin merumuskan pernyataan berikut:

"Dalam kondisi tertentu mengenai pasangan fundamental, tidak ada sistem deduktif di mana setiap kata dari T akan memiliki bukti."

Namun, pernyataan seperti itu jelas salah, karena hanya perlu mengambil sistem deduktif di mana P = L, P = P? dan?(p) = p untuk semua p di P?; lalu setiap kata dari L? sepele dapat dibuktikan. Oleh karena itu, kita perlu menerima beberapa batasan pada sistem deduktif yang kita gunakan.

1.5. Konsistensi

Akan sangat wajar untuk mensyaratkan bahwa hanya "pernyataan yang benar", yaitu, hanya kata-kata dari T, yang dapat dibuktikan. Kami akan mengatakan bahwa sistem deduktif<Р, Р, ?>konsisten terhadap pasangan fundamental jika?(P)?T. Dalam semua penalaran berikutnya, kita hanya akan tertarik pada sistem deduktif yang konsisten seperti itu. Jika kita diberi bahasa, maka akan sangat menggoda untuk menemukan sistem deduktif yang konsisten di mana setiap pernyataan yang benar akan memiliki bukti. Varian teorema Gödel yang menarik bagi kita dengan tepat menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu sehubungan dengan pasangan fundamental, tidak mungkin menemukan sistem deduktif seperti itu.

1.6. kelengkapan

Dikatakan bahwa sistem deduktif<Р,Р,?>lengkap terhadap pasangan fundamental, asalkan?(P)?T. Kemudian rumusan teorema ketidaklengkapan kita mengambil bentuk berikut:

Dalam kondisi tertentu mengenai pasangan fundamental, tidak ada sistem deduktif seperti itu<Р,Р,?>lebih dari L yang akan menjadi lengkap dan relatif konsisten.

Bibliografi

Untuk persiapan pekerjaan ini, bahan dari situs http://filosof.historic.ru digunakan.

09sen

Setiap sistem aksioma matematika, mulai dari tingkat kerumitan tertentu, secara internal tidak konsisten atau tidak lengkap.

Pada tahun 1900, Konferensi Dunia Matematikawan diadakan di Paris, di mana David Gilbert(David Hilbert, 1862-1943) menguraikan dalam bentuk tesis 23 tugas paling penting, menurut pendapatnya, yang harus diselesaikan oleh para ahli teori abad kedua puluh yang akan datang. Nomor dua dalam daftarnya adalah salah satu masalah sederhana yang tampak jelas sampai Anda menggali lebih dalam. Dalam istilah modern, itu adalah pertanyaan: apakah matematika cukup dengan sendirinya? Tugas kedua Hilbert direduksi menjadi kebutuhan untuk membuktikan secara ketat bahwa sistem aksioma - pernyataan dasar yang diambil dalam matematika sebagai dasar tanpa bukti - adalah sempurna dan lengkap, yaitu memungkinkan deskripsi matematis dari segala sesuatu yang ada. Itu perlu untuk membuktikan bahwa adalah mungkin untuk mengatur sistem aksioma sedemikian rupa sehingga, pertama, mereka akan saling konsisten, dan kedua, seseorang dapat menarik kesimpulan dari mereka mengenai kebenaran atau kesalahan pernyataan apa pun.

Mari kita ambil contoh dari geometri sekolah. Dalam planimetri Euclidean standar (geometri pada bidang datar), dapat dibuktikan tanpa syarat bahwa pernyataan "jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°" adalah benar, dan pernyataan "jumlah sudut suatu segitiga adalah 137° " itu palsu. Berbicara pada dasarnya, dalam geometri Euclidean, pernyataan apa pun salah atau benar, dan yang ketiga tidak diberikan. Dan pada awal abad kedua puluh, matematikawan secara naif percaya bahwa situasi yang sama harus diamati dalam sistem yang konsisten secara logis.

Dan kemudian pada tahun 1931 beberapa matematikawan berkacamata Wina Kurt Godel- mengambil dan menerbitkan artikel pendek yang hanya menjungkirbalikkan seluruh dunia yang disebut "logika matematika". Setelah pembukaan matematika dan teoretis yang panjang dan kompleks, ia benar-benar menetapkan yang berikut ini. Mari kita ambil pernyataan seperti: "Asumsi #247 secara logis tidak dapat dibuktikan dalam sistem aksioma ini" dan menyebutnya "pernyataan A". Jadi, Gödel hanya membuktikan properti menakjubkan berikut dari setiap sistem aksioma:

“Jika pernyataan A dapat dibuktikan, maka pernyataan non-A dapat dibuktikan.”

Dengan kata lain, jika mungkin untuk membuktikan keabsahan pernyataan “Asumsi 247 tidak dapat dibuktikan”, maka dimungkinkan juga untuk membuktikan keabsahan pernyataan “Asumsi 247 dapat dibuktikan”. Artinya, kembali ke rumusan masalah Hilbert kedua, jika sistem aksiomanya lengkap (yaitu, pernyataan apa pun di dalamnya dapat dibuktikan), maka itu tidak konsisten.

Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini adalah menerima sistem aksioma yang tidak lengkap. Artinya, kita harus menerima fakta bahwa dalam konteks sistem logis apa pun kita masih akan memiliki pernyataan "tipe A" yang jelas-jelas benar atau salah - dan kita dapat menilai kebenarannya hanya di luar kerangka aksioma yang kita miliki diadopsi. Jika tidak ada pernyataan seperti itu, maka aksioma kita kontradiktif, dan dalam kerangkanya pasti akan ada formulasi yang dapat dibuktikan dan disangkal.

Jadi rumusan teorema ketidaklengkapan pertama, atau lemah, Gödel adalah: "Setiap sistem aksioma formal mengandung asumsi yang belum terselesaikan". Tetapi Gödel tidak berhenti di situ, merumuskan dan membuktikan teorema ketidaklengkapan kedua atau kuat Gödel: “Kelengkapan logis (atau ketidaklengkapan) dari sistem aksioma apa pun tidak dapat dibuktikan dalam kerangka sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, diperlukan aksioma tambahan (penguatan sistem).

Akan lebih aman untuk berpikir bahwa teorema Godel bersifat abstrak dan tidak menjadi perhatian kita, tetapi hanya bidang logika matematika yang luhur, tetapi pada kenyataannya ternyata berhubungan langsung dengan struktur otak manusia. Matematikawan dan fisikawan Inggris Roger Penrose (lahir 1931) menunjukkan bahwa Teorema Godel dapat digunakan untuk membuktikan adanya perbedaan mendasar antara otak manusia dan komputer. Inti dari penalarannya sederhana. Komputer beroperasi secara logis dan tidak dapat menentukan apakah pernyataan A benar atau salah jika melampaui cakupan aksiomatik, dan pernyataan seperti itu, menurut teorema Gödel, pasti ada. Seseorang, dihadapkan dengan pernyataan A yang tidak dapat dibuktikan secara logis dan tidak dapat disangkal, selalu dapat menentukan kebenaran atau kepalsuannya - berdasarkan pengalaman sehari-hari. Setidaknya dalam hal ini, otak manusia lebih unggul daripada komputer yang dibelenggu oleh rangkaian logika murni. Otak manusia mampu memahami kedalaman penuh kebenaran yang terkandung dalam teorema Gödel, tetapi komputer tidak akan pernah bisa. Oleh karena itu, otak manusia tidak lain adalah komputer. Dia mampu membuat keputusan, dan tes Turing akan berlalu.

Teorema ketidaklengkapan Godel

Teorema ketidaklengkapan Godel

Teorema ketidaklengkapan Godel- dua teorema logika matematika tentang batasan dasar aritmatika formal dan, sebagai konsekuensinya, teori orde pertama yang cukup kuat.

Teorema pertama menyatakan bahwa jika aritmatika formal konsisten, maka ia mengandung formula yang tak terbantahkan dan tak terbantahkan.

Teorema kedua menyatakan bahwa jika aritmatika formal konsisten, maka beberapa formula tidak dapat diturunkan di dalamnya, yang secara bermakna menegaskan konsistensi teori ini.

Teorema ketidaklengkapan pertama Gödel

Klaim teorema ketidaklengkapan pertama Gödel dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika aritmatika formal S konsisten, maka mengandung rumus tertutup G sedemikian rupa sehingga baik G maupun negasinya G tidak dapat diturunkan dalam S .

Dalam membuktikan teorema, Gödel membangun rumus G eksplisit, kadang-kadang disebut rumus Gödel yang tak terpecahkan. Dalam interpretasi standar, kalimat G menegaskan non-derivabilitasnya sendiri di S. Oleh karena itu, menurut teorema Gödel, jika teori S konsisten, maka rumus ini memang non-derivable di S dan oleh karena itu benar dalam interpretasi standar. Jadi, untuk bilangan asli, rumusnya G benar, tetapi tidak dapat dikurangkan dalam S.

Pembuktian Gödel juga dapat dilakukan untuk setiap teori yang diperoleh dari S dengan menambahkan aksioma baru, misalnya rumus G sebagai aksioma. Oleh karena itu, setiap teori yang konsisten yang merupakan perluasan dari aritmatika formal tidak akan lengkap.

Untuk membuktikan teorema ketidaklengkapan pertama, Gödel menetapkan nomor tertentu untuk setiap simbol, ekspresi, dan urutan ekspresi dalam aritmatika formal. Karena rumus dan teorema adalah kalimat aritmatika, dan turunan formal dari teorema adalah barisan rumus, maka menjadi mungkin untuk berbicara tentang teorema dan bukti dalam bentuk bilangan asli. Misalnya, biarkan rumus Gödel yang tidak dapat dipecahkan G memiliki nomor m, maka itu setara dengan pernyataan berikut dalam bahasa aritmatika: "tidak ada bilangan asli seperti itu n, Apa n ada rumus turunan bilangan dengan bilangan m Perbandingan rumus dan bilangan asli seperti itu disebut aritmetisasi matematika dan dilakukan oleh Gödel untuk pertama kalinya. Ide ini kemudian menjadi kunci untuk memecahkan banyak masalah penting logika matematika.

sketsa bukti

Mari kita perbaiki beberapa sistem formal PM di mana konsep matematika dasar dapat direpresentasikan.

Ekspresi sistem formal, dari luar, adalah urutan terbatas dari simbol primitif (variabel, konstanta logis, dan tanda kurung atau titik) dan tidak sulit untuk secara ketat menentukan urutan simbol primitif mana yang merupakan rumus dan mana yang bukan. Demikian pula, dari sudut pandang formal, bukti tidak lain adalah urutan rumus yang terbatas (dengan properti yang didefinisikan secara ketat). Untuk pertimbangan matematis, tidak masalah objek mana yang diambil sebagai simbol primitif, dan kami memutuskan untuk menggunakan bilangan asli untuk tujuan ini. Dengan demikian, rumusnya adalah barisan berhingga dari bilangan asli, turunan dari rumus tersebut adalah barisan berhingga dari barisan bilangan asli. Konsep matematika (pernyataan) dengan demikian menjadi konsep (pernyataan) tentang bilangan asli atau barisannya, dan oleh karena itu dengan sendirinya dapat diekspresikan dalam simbolisme sistem PM (setidaknya sebagian). Dapat ditunjukkan, khususnya, bahwa konsep "rumus", "turunan", "rumus turunan" dapat ditentukan dalam sistem PM, yaitu, seseorang dapat memulihkan, misalnya, rumus F(v) di PM dengan satu variabel bebas v(yang tipenya adalah urutan numerik) sedemikian rupa sehingga F(v), dalam interpretasi intuitif, berarti: v- rumus turunan. Sekarang mari kita buat kalimat yang tidak dapat diputuskan dari sistem PM, yaitu kalimat A, yang keduanya tidak A, juga bukan Nona tidak dapat dikurangi, sebagai berikut:

Rumus di PM dengan tepat satu variabel bebas yang tipenya adalah bilangan asli (kelas dari kelas) akan disebut kelas ekspresi. Mari kita mengatur ekspresi kelas dalam urutan dalam beberapa cara, dilambangkan n-e melalui R(n), dan perhatikan bahwa konsep "ekspresi kelas", serta hubungan pemesanan R dapat didefinisikan dalam sistem PM. Biarkan menjadi ekspresi kelas arbitrer; melalui [α; n] menyatakan rumus yang dibentuk dari ekspresi kelas dengan mengganti variabel bebas dengan lambang bilangan asli n. hubungan terner x = [kamu;z] juga ternyata dapat didefinisikan di PM. Sekarang kita akan mendefinisikan kelas K bilangan asli sebagai berikut:

n ∈ K Bew[ R(n);n] (*)

(di mana Bew x cara: x- rumus turunan). Karena semua konsep yang terjadi dalam definisi ini dapat dinyatakan dalam PM, hal yang sama berlaku untuk konsep K, yang dibangun dari mereka, yaitu, ada ekspresi kelas seperti itu S bahwa rumus [ S;n], yang ditafsirkan secara intuitif, berarti bilangan asli n milik K. Sebagai ekspresi kelas, S identik dengan beberapa tertentu R(q) dalam penomoran kami, yaitu

S = R(q)

berlaku untuk beberapa bilangan asli tertentu q. Mari kita tunjukkan bahwa kalimat [ R(q);q] tidak dapat diputuskan dalam PM. Jadi, jika kalimat [ R(q);q] diasumsikan dapat diturunkan, maka ternyata benar, yaitu sesuai dengan apa yang dikatakan di atas, q akan menjadi milik K, yaitu, menurut (*), Bew[ R(q);q] akan puas, yang bertentangan dengan asumsi kami. Sebaliknya, jika negasi [ R(q);q] dapat diturunkan, maka n ∈ K, yaitu, Bew[ R(q);q] akan benar. Karena itu, [ R(q);q] bersama dengan negasinya akan diturunkan, yang sekali lagi tidak mungkin.

Bentuk polinomial

Untuk setiap teori yang konsisten T seseorang dapat menentukan nilai bilangan bulat dari parameter K sehingga persamaan (θ + 2 z − b 5) 2 + (kamu + tθ − aku) 2 + (kamu + mθ − e) 2 + (n − q 16) 2 + ((g + eq 3 + akuq 5 + (2(e − z)(1 + g) 4 + b 5+λ b 5 q 4)q 4)(n 2 − n) + (q 3 − baku + aku + θλ q 3 + (b 5 − 2)q 5)(n 2 − 1) − r) 2 + (p − 2ws 2 r 2 n 2) 2 + (p 2 k 2 − k 2 + 1 2) 2 + (4(c − ksn 2) 2 + k 2) 2 + (r + 1 + hp − h − k) 2 + (sebuah − (wn 2 + 1)rsn 2) 2 + (2r+ 1 + c) 2 + (bw + csebuah − 2c+ 4αγ 5γ d) 2 + ((sebuah 2 − 1)c 2 + 1 − d 2) 2 + ((sebuah 2 − 1)saya 2 c 4 + 1 − f 2) 2 + (((sebuah + f 2 (d 2 − sebuah)) 2 − 1)(2r + 1 + jc) 2 + 1 − (d + Haif) 2) 2 + (((z + kamu + kamu) 2 + kamu) 2 + kamu − K) 2 = 0 tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat non-negatif, tetapi fakta ini tidak dapat dibuktikan secara teori T . Selain itu, untuk setiap teori yang konsisten, himpunan nilai parameter K yang memiliki properti ini tidak terbatas dan tidak dapat dihitung secara algoritme.

Teorema ketidaklengkapan kedua Gödel

Dalam aritmatika formal S, seseorang dapat menyusun formula yang, dalam interpretasi standar, benar jika dan hanya jika teori S konsisten. Untuk rumus ini, pernyataan teorema kedua Gödel adalah benar:

Jika aritmatika formal S konsisten, maka berisi formula non-turunan yang secara substantif menegaskan konsistensi S .

Dengan kata lain, konsistensi aritmatika formal tidak dapat dibuktikan dengan teori ini. Namun, ada bukti konsistensi aritmatika formal menggunakan sarana yang tidak dapat diungkapkan di dalamnya.

sketsa bukti

Pertama, formula dibangun Menipu, secara bermakna mengungkapkan ketidakmungkinan menurunkan rumus apa pun dalam teori S bersama dengan negasinya. Kemudian pernyataan teorema pertama Gödel dinyatakan dengan rumus Menipu ⊃ G, di mana G- Rumus Gödel yang tak terpecahkan. Semua argumen untuk pembuktian teorema pertama dapat dinyatakan dan dilakukan dengan menggunakan S, yaitu, dalam S rumus dapat diturunkan Menipu ⊃ G. Oleh karena itu, jika S dapat diturunkan Menipu, maka kita turunkan di dalamnya dan G. Namun, menurut teorema pertama Gödel, jika S konsisten, maka G di dalamnya tidak dapat dikurangkan. Oleh karena itu, jika S konsisten, maka rumusnya Menipu.

Catatan

Lihat juga

Tautan

• V.A. Uspensky teorema ketidaklengkapan Godel. - M.: Nauka, 1982. - 110 hal. - (Kuliah populer tentang matematika).
• Akademisi Yu. L. Ershov "Bukti dalam Matematika", Program A. Gordon pada 16 Juni 2003
• A.B. Sosinsky Teorema Godel // sekolah musim panas "Matematika Modern". - Dubna: 2006.
• P.J. Cohen Dasar-dasar teori himpunan // Kemajuan dalam Ilmu Matematika. - 1974. - T. 29. - No. 5 (179). - S. 169–176.
• M. Kordonsky Akhir Kebenaran. - ISBN 5-946448-001-04
• V.A. Uspensky Teorema ketidaklengkapan Gödel dan empat jalan menuju ke sana // sekolah musim panas "Matematika Modern". - Dubna: 2007.
• Zenkin A.A. Prinsip pembagian waktu dan analisis satu kelas penalaran masuk akal kuasi-hingga (pada contoh teorema tak terhitung G. Kantor) // DAN. - 1997. - T. 356. - No. 6. - S. 733-735.
• Chechulin V.L. Pada versi singkat dari bukti teorema Gödel // "Masalah dasar matematika dan ilmu informasi", materi seminar Sekolah Matematika Timur Jauh XXXIV dinamai Akademisi E.V. Zolotova. - Khabarovsk, Rusia: 2009. - S. 60-61.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Teorema Ketidaklengkapan Gödel" di kamus lain:

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Teorema Gödel. Teorema ketidaklengkapan Gödel dan teorema kedua Gödel [1] adalah dua teorema logika matematika tentang batasan dasar aritmatika formal dan, sebagai akibatnya, setiap ... ... Wikipedia

Teorema ketidaklengkapan Gödel adalah dua teorema logika matematika tentang ketidaklengkapan sistem formal jenis tertentu. Daftar Isi 1 Teorema Ketidaklengkapan Pertama Gödel 2 Teorema Ketidaklengkapan Kedua Gödel ... Wikipedia

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Teorema Gödel. Teorema Gödel tentang kelengkapan kalkulus predikat adalah salah satu teorema dasar logika matematika: teorema ini menetapkan hubungan yang jelas antara kebenaran logis ... ... Wikipedia

Nama umum untuk dua teorema yang dibuat oleh K. Gödel. G. t pertama tentang n. mengklaim bahwa dalam setiap sistem formal yang konsisten yang mengandung aritmatika minimum (tanda dan aturan biasa untuk menanganinya), ada yang secara formal tidak dapat diputuskan ... ... Ensiklopedia Matematika

dengan topik : "TEOREMA GODEL"

Kurt Godel

Kurt Gödel - spesialis terbesar dalam logika matematika - lahir pada 28 April 1906 di Brunn (sekarang Brno, Republik Ceko). Ia lulus dari Universitas Wina, di mana ia mempertahankan disertasi doktornya, menjadi asisten profesor pada tahun 1933–1938. Setelah Anschluss, ia beremigrasi ke Amerika Serikat. Dari tahun 1940 hingga 1963 Gödel bekerja di Princeton Institute for Advanced Study. Gödel adalah Doktor Kehormatan dari Universitas Yale dan Harvard, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS dan American Philosophical Society.

Pada tahun 1951, Kurt Gödel dianugerahi penghargaan ilmiah tertinggi di Amerika Serikat, Einstein Prize. Dalam sebuah artikel yang didedikasikan untuk acara ini, matematikawan terbesar lainnya di zaman kita, John von Neumann, menulis: “Kontribusi Kurt Gödel pada logika modern benar-benar monumental. Ini lebih dari sekedar monumen. Ini adalah tonggak sejarah yang memisahkan dua era ... Dapat dikatakan tanpa berlebihan bahwa karya Gödel secara mendasar mengubah subjek logika sebagai sains.

Memang, bahkan daftar kering pencapaian Godel dalam logika matematika menunjukkan bahwa penulisnya pada dasarnya meletakkan dasar untuk seluruh bagian ilmu ini: teori model (1930; yang disebut teorema tentang kelengkapan kalkulus predikat sempit, menunjukkan, berbicara kasar, kecukupan sarana "logika formal ”untuk membuktikan semua kalimat yang benar diungkapkan dalam bahasanya), logika konstruktif (1932–1933; menghasilkan kemungkinan untuk mereduksi beberapa kelas kalimat logika klasik menjadi rekan-rekan intuitif mereka, yang meletakkan dasar untuk penggunaan sistematis "operasi pencelupan" yang memungkinkan pengurangan berbagai sistem logis satu sama lain), aritmatika formal (1932-1933; menghasilkan kemungkinan pengurangan aritmatika klasik menjadi aritmatika intuisionistik, menunjukkan dalam arti konsistensi yang pertama sehubungan dengan yang kedua), teori algoritma dan fungsi rekursif (1934; definisi konsep fungsi rekursif umum, yang memainkan peran yang menentukan peran dalam membangun ketidakterpecahan algoritmik dari sejumlah masalah penting dalam matematika, di satu sisi. Dan dalam penerapan masalah logis dan matematika pada komputer elektronik - di sisi lain), teori himpunan aksiomatik (1938; bukti konsistensi relatif dari aksioma pilihan dan hipotesis kontinum Cantor dari aksioma teori himpunan, yang menandai permulaan serangkaian hasil penting pada konsistensi relatif dan prinsip-prinsip teori himpunan independensi).

Teorema ketidaklengkapan Godel

pengantar

Pada tahun 1931, sebuah artikel yang relatif kecil muncul di salah satu jurnal ilmiah Jerman dengan judul yang agak menakutkan "Tentang proposisi yang tidak dapat diputuskan secara formal dari Principia Mathematica dan sistem terkait." Penulisnya adalah seorang matematikawan berusia dua puluh lima tahun dari Universitas Wina, Kurt Gödel, yang kemudian bekerja di Institut Princeton untuk Studi Lanjutan. Karya ini memainkan peran yang menentukan dalam sejarah logika dan matematika. Dalam keputusan Universitas Harvard untuk memberikan Gödel gelar doktor kehormatan (1952), hal itu ditandai sebagai salah satu pencapaian terbesar logika modern.

Namun, pada saat publikasi, tidak ada judul karya Gödel. Isinya tidak mengatakan apa-apa kepada sebagian besar matematikawan. Disebutkan dalam judulnya, Principia Mathematica adalah risalah tiga jilid monumental Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell tentang logika matematika dan dasar-dasar matematika; keakraban dengan risalah itu tidak berarti kondisi yang diperlukan untuk berhasil bekerja di sebagian besar cabang matematika. Ketertarikan pada isu-isu yang dibahas dalam karya Gödel selalu menjadi perhatian sekelompok kecil ilmuwan. Pada saat yang sama, argumen yang diberikan oleh Gödel dalam pembuktiannya sangat tidak biasa pada zamannya. Bahwa pemahaman yang lengkap tentang mereka membutuhkan pengetahuan eksklusif tentang subjek dan keakraban dengan literatur yang ditujukan untuk masalah yang sangat spesifik ini.

Teorema ketidaklengkapan pertama

Teorema ketidaklengkapan pertama Gödel tampaknya menjadi hasil yang paling signifikan dalam logika matematika. Kedengarannya seperti ini:

Untuk teori formal dan dapat dihitung yang konsisten sewenang-wenang di mana proposisi aritmatika dasar dapat dibuktikan, proposisi aritmatika yang benar dapat dibangun yang kebenarannya tidak dapat dibuktikan dalam kerangka teori. Dengan kata lain, setiap teori yang sangat berguna yang cukup untuk mewakili aritmatika tidak dapat menjadi konsisten dan lengkap.

Di sini kata "teori" berarti "satu set tak terbatas" pernyataan, beberapa di antaranya dianggap benar tanpa bukti (pernyataan seperti itu disebut aksioma), sementara yang lain (teorema) dapat disimpulkan dari aksioma, dan oleh karena itu diasumsikan ( terbukti) benar. Ungkapan "dapat dibuktikan dalam teori" berarti "dideduksi dari aksioma dan teori primitif (simbol alfabet konstan) menggunakan logika standar (orde pertama)." Suatu teori dikatakan konsisten (consistent) jika tidak mungkin dibuktikan suatu pernyataan yang kontradiktif di dalamnya. Ungkapan "dapat dibangun" berarti bahwa ada beberapa prosedur mekanis (algoritma) yang dapat membangun pernyataan berdasarkan aksioma, primitif, dan logika orde pertama. "Aritmatika dasar" adalah adanya operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan asli. Hasil proposisi yang benar tetapi tidak dapat dibuktikan sering disebut untuk teori yang diberikan sebagai "urutan Gödel", tetapi ada jumlah tak terbatas dari proposisi lain dalam teori yang memiliki sifat yang sama untuk tidak dapat dibuktikan dalam teori.

Asumsi bahwa suatu teori dapat dihitung berarti bahwa pada prinsipnya dimungkinkan untuk menerapkan algoritma komputer (program komputer) yang (jika diizinkan untuk menghitung waktu yang lama, hingga tak terhingga) akan menghitung daftar semua teorema teori. Faktanya, cukup menghitung hanya daftar aksioma, dan semua teorema dapat diturunkan secara efisien dari daftar tersebut.

Teorema ketidaklengkapan pertama berjudul "Teorema VI" dalam makalah Gödel tahun 1931. Pada Proposisi Formal Undecidable di Principia Mathematica dan Sistem Terkait I. Dalam rekaman asli Gödel, terdengar seperti ini:

“Kesimpulan umum tentang keberadaan proposisi yang tidak dapat diputuskan adalah ini:

Teorema VI .

Untuk setiap kelas rekursif -konsisten k RUMUS ada rekursif TANDA-TANDA r sedemikian rupa sehingga tidak (v Gen r), juga bukan ¬( v Gen r)bukan milik Flg (k)(di mana v adalah VARIABEL GRATIS r ) ».

Penamaan Flg datang dari dia. Folgerungsmenge- set urutan, Gen datang dari dia. generalisasi- generalisasi.

Secara kasar, pernyataan Gödel G menegaskan: "kebenaran G tidak dapat dibuktikan." Jika G dapat dibuktikan di dalam teori, maka teori tersebut akan mengandung teorema yang bertentangan dengan dirinya sendiri, dan oleh karena itu teori tersebut menjadi tidak konsisten. Tapi jika G terbukti, maka itu benar, dan karena itu teorinya tidak lengkap (pernyataan G tidak dapat dikurangkan di dalamnya).

Penjelasan ini dalam bahasa alami biasa, dan oleh karena itu tidak cukup ketat secara matematis. Untuk memberikan bukti yang kuat, pernyataan bernomor Gödel dengan bilangan asli. Dalam hal ini, teori yang menjelaskan bilangan juga termasuk dalam himpunan proposisi. Pertanyaan tentang pembuktian proposisi dapat direpresentasikan dalam kasus ini dalam bentuk pertanyaan tentang sifat-sifat bilangan asli, yang harus dapat dihitung jika teorinya lengkap. Dalam istilah ini, pernyataan Gödel mengatakan bahwa tidak ada bilangan dengan beberapa sifat tertentu. Angka dengan sifat ini akan menjadi bukti ketidakkonsistenan teori. Jika angka seperti itu ada, teorinya tidak konsisten, bertentangan dengan asumsi awal. Jadi dengan asumsi teori itu konsisten (seperti yang disarankan oleh premis teorema), ternyata tidak ada angka seperti itu, dan pernyataan Gödel benar, tetapi ini tidak dapat dibuktikan dalam kerangka teori (maka teorinya tidak lengkap ). Catatan konseptual yang penting adalah bahwa seseorang harus berasumsi bahwa sebuah teori konsisten untuk menyatakan pernyataan Gödel sebagai benar.

Teorema ketidaklengkapan kedua Gödel

Teorema ketidaklengkapan kedua Gödel berbunyi sebagai berikut:

Untuk setiap teori T yang dapat dihitung secara rekursif (yaitu dihasilkan secara efektif), termasuk pernyataan kebenaran aritmatika dasar dan pernyataan provabilitas formal tertentu, teori T yang diberikan mencakup pernyataan tentang konsistensinya jika dan hanya jika teori T tidak konsisten.

Dengan kata lain, konsistensi teori yang cukup kaya tidak dapat dibuktikan melalui teori ini. Namun, mungkin saja konsistensi dari satu teori tertentu dapat dibangun melalui teori formal lain yang lebih kuat. Tapi kemudian muncul pertanyaan tentang konsistensi teori kedua ini, dan seterusnya.

Banyak yang mencoba menggunakan teorema ini untuk membuktikan bahwa aktivitas cerdas tidak dapat direduksi menjadi perhitungan. Misalnya, pada tahun 1961, ahli logika terkenal John Lucas datang dengan program serupa. Alasannya ternyata cukup rentan - namun, ia menetapkan tugas lebih luas. Roger Penrose mengambil pendekatan yang sedikit berbeda, yang disajikan dalam buku sepenuhnya, "dari awal".

Diskusi

Konsekuensi dari teorema mempengaruhi filsafat matematika, terutama formalisme yang menggunakan logika formal untuk mendefinisikan prinsip-prinsipnya. Teorema ketidaklengkapan pertama dapat ditulis ulang sebagai berikut: tidak mungkin menemukan sistem aksioma komprehensif yang dapat membuktikan semua kebenaran matematika, dan bukan kebohongan tunggal". Di sisi lain, dari sudut pandang formalitas yang ketat, perumusan ulang ini tidak masuk akal, karena mengasumsikan konsep "benar" dan "salah" didefinisikan dalam arti absolut, bukan dalam arti relatif untuk masing-masing. sistem tertentu.