Artikel ini membahas tentang operasi pada pecahan. Aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian atau eksponensial dari pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dibenarkan, di mana A dan B dapat berupa angka, ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel. Sebagai kesimpulan, contoh solusi dengan deskripsi terperinci akan dipertimbangkan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Aturan untuk melakukan operasi dengan pecahan numerik dari bentuk umum
Pecahan numerik dari bentuk umum memiliki pembilang dan penyebut, di mana ada bilangan asli atau ekspresi numerik. Jika kita menganggap pecahan seperti 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0, 8 , 1 2 2 , 1 - 2 3 + , 2 0 , 5 ln 3 , maka jelas bahwa pembilang dan penyebut tidak hanya dapat memiliki angka, tetapi juga ekspresi dari rencana yang berbeda.
Definisi 1
Ada aturan di mana tindakan dilakukan dengan pecahan biasa. Ini juga cocok untuk pecahan bentuk umum:
- Saat mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pembilang yang ditambahkan, dan penyebutnya tetap sama, yaitu: a d ± c d \u003d a ± c d, nilai a, c dan d 0 adalah beberapa angka atau ekspresi numerik.
- Saat menjumlahkan atau mengurangi pecahan dengan penyebut yang berbeda, perlu untuk mengurangi ke yang sama, dan kemudian menambah atau mengurangi pecahan yang dihasilkan dengan indikator yang sama. Secara harfiah terlihat seperti ini a b ± c d = a p ± c r s , dimana nilai a , b 0 , c , d 0 , p 0 , r 0 , s 0 adalah bilangan real, dan b p = d r = s. Ketika p = d dan r = b, maka a b ± c d = a d ± c d b d.
- Saat mengalikan pecahan, tindakan dilakukan dengan pembilang, setelah itu dengan penyebut, maka kita mendapatkan a b c d \u003d a c b d, di mana a, b 0, c, d 0 bertindak sebagai bilangan real.
- Saat membagi pecahan dengan pecahan, kami mengalikan yang pertama dengan kebalikan kedua, yaitu, kami menukar pembilang dan penyebut: a b: c d \u003d a b d c.
Alasan untuk aturan
Definisi 2Ada poin matematika berikut yang harus Anda andalkan saat menghitung:
- batang pecahan berarti tanda pembagian;
- pembagian dengan angka diperlakukan sebagai perkalian dengan kebalikannya;
- penerapan properti tindakan dengan bilangan real;
- penerapan sifat dasar pecahan dan pertidaksamaan numerik.
Dengan bantuan mereka, Anda dapat membuat transformasi bentuk:
a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d
Contoh
Pada paragraf sebelumnya, dikatakan tentang tindakan dengan pecahan. Setelah itu pecahan perlu disederhanakan. Topik ini telah dibahas secara rinci di bagian konversi pecahan.
Pertama, perhatikan contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan berpenyebut sama.
Contoh 1
Diberikan pecahan 8 2 , 7 dan 1 2 , 7 , maka menurut aturan perlu dijumlahkan pembilangnya dan ditulis ulang penyebutnya.
Keputusan
Kemudian kita mendapatkan pecahan dalam bentuk 8 + 1 2 , 7 . Setelah melakukan penjumlahan, kita mendapatkan pecahan berbentuk 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Jadi 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .
Menjawab: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3
Ada cara lain untuk menyelesaikannya. Pertama-tama, transisi dibuat ke bentuk pecahan biasa, setelah itu kami melakukan penyederhanaan. Ini terlihat seperti ini:
8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3
Contoh 2
Mari kita kurangi pecahan 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 dari bentuk 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .
Karena penyebut yang sama diberikan, itu berarti bahwa kita menghitung pecahan dengan penyebut yang sama. Kami mengerti
1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1
Ada beberapa contoh menghitung pecahan dengan penyebut yang berbeda. Poin penting adalah pengurangan ke penyebut yang sama. Tanpa ini, kita tidak akan dapat melakukan tindakan lebih lanjut dengan pecahan.
Prosesnya dari jarak jauh mengingatkan pada pengurangan menjadi penyebut yang sama. Artinya, pencarian dilakukan untuk pembagi persekutuan terkecil dalam penyebut, setelah itu faktor-faktor yang hilang ditambahkan ke pecahan.
Jika pecahan yang ditambahkan tidak memiliki faktor persekutuan, maka perkaliannya dapat menjadi satu.
Contoh 3
Perhatikan contoh penjumlahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2 .
Keputusan
Dalam hal ini, penyebut yang sama adalah produk dari penyebut. Kemudian kita dapatkan bahwa 2 · 3 5 + 1 . Kemudian, saat menetapkan faktor tambahan, kami memiliki bahwa ke pecahan pertama sama dengan 2, dan ke yang kedua 3 5 + 1. Setelah perkalian, pecahan direduksi menjadi bentuk 4 2 3 5 + 1. Pemeran umum 1 2 akan menjadi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Kami menambahkan ekspresi pecahan yang dihasilkan dan mendapatkan itu
2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Menjawab: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1
Ketika kita berurusan dengan pecahan dari bentuk umum, maka penyebut terkecil biasanya tidak demikian. Tidak menguntungkan untuk mengambil produk dari pembilang sebagai penyebut. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah ada nomor yang nilainya kurang dari produk mereka.
Contoh 4
Perhatikan contoh 1 6 2 1 5 dan 1 4 2 3 5 ketika produk mereka sama dengan 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut yang sama.
Perhatikan contoh perkalian pecahan dari bentuk umum.
Contoh 5
Untuk melakukan ini, perlu mengalikan 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.
Keputusan
Mengikuti aturan, perlu untuk menulis ulang dan menulis produk pembilang sebagai penyebut. Kami mendapatkan bahwa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Ketika pecahan dikalikan, pengurangan dapat dilakukan untuk menyederhanakannya. Kemudian 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .
Menggunakan aturan transisi dari pembagian ke perkalian dengan timbal balik, kita mendapatkan kebalikan dari yang diberikan. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut dibalik. Mari kita lihat sebuah contoh:
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10
Setelah itu, mereka harus melakukan perkalian dan menyederhanakan pecahan yang dihasilkan. Jika perlu, singkirkan irasionalitas dalam penyebut. Kami mengerti
5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2
Menjawab: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2
Paragraf ini berlaku ketika angka atau ekspresi numerik dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan tersebut dianggap sebagai paragraf terpisah. Misalnya, ekspresi 1 6 7 4 - 1 3 menunjukkan bahwa akar dari 3 dapat diganti dengan ekspresi 3 1 lainnya. Maka catatan ini akan terlihat seperti perkalian dua pecahan dengan bentuk 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .
Melakukan tindakan dengan pecahan yang mengandung variabel
Aturan yang dibahas dalam artikel pertama berlaku untuk operasi dengan pecahan yang mengandung variabel. Perhatikan aturan pengurangan jika penyebutnya sama.
Perlu dibuktikan bahwa A , C dan D (D tidak sama dengan nol) dapat berupa ekspresi apa pun, dan persamaan A D ± C D = A ± C D setara dengan rentang nilai validnya.
Hal ini diperlukan untuk mengambil satu set variabel ODZ. Kemudian A, C, D harus mengambil nilai yang sesuai a 0 , c 0 dan d0. Substitusi bentuk A D ± C D menghasilkan perbedaan bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , dimana, menurut aturan penjumlahan, kita memperoleh rumus bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita mengganti ekspresi A ± C D , maka kita mendapatkan pecahan yang sama dalam bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Dari sini kami menyimpulkan bahwa nilai terpilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.
Untuk setiap nilai variabel, ekspresi ini akan sama, yaitu, mereka disebut identik sama. Ini berarti bahwa ekspresi ini dianggap sebagai persamaan yang dapat dibuktikan dari bentuk A D ± C D = A ± C D .
Contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan variabel
Jika penyebutnya sama, maka pembilangnya hanya perlu dijumlahkan atau dikurangi. Pecahan ini dapat disederhanakan. Terkadang Anda harus bekerja dengan pecahan yang identik sama, tetapi pada pandangan pertama ini tidak terlihat, karena beberapa transformasi harus dilakukan. Misalnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 dan sin a cos a. Paling sering, penyederhanaan ekspresi asli diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.
Contoh 6
Hitung: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 +xx+1 .
Keputusan
- Untuk membuat perhitungan, Anda perlu mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian kita dapatkan bahwa x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Setelah itu, Anda dapat membuka tanda kurung dengan pengurangan istilah serupa. Kita peroleh bahwa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
- Karena penyebutnya sama, pembilangnya tinggal dijumlahkan, sehingga penyebutnya: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
Penambahan telah selesai. Dapat dilihat bahwa fraksi dapat dikurangi. Pembilangnya dapat dilipat menggunakan rumus jumlah kuadrat, maka kita peroleh (l g x + 2) 2 dari rumus perkalian yang disingkat. Kemudian kita mendapatkan itu
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x - Diberikan pecahan berbentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut yang berbeda. Setelah transformasi, Anda dapat melanjutkan ke penjumlahan.
Mari kita pertimbangkan solusi dua arah.
Metode pertama adalah bahwa penyebut pecahan pertama dikenai faktorisasi menggunakan kuadrat, dan dengan pengurangan berikutnya. Kami mendapatkan sebagian kecil dari bentuk
x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1
Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .
Dalam hal ini, perlu untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebut.
1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Cara kedua adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan x-1. Jadi, kita singkirkan irasionalitas dan lanjutkan ke penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian
x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1
Menjawab: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.
Dalam contoh terakhir, kami menemukan bahwa pengurangan ke penyebut yang sama tidak dapat dihindari. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyederhanakan pecahan. Untuk menambah atau mengurangi, Anda selalu perlu mencari penyebut yang sama, yang terlihat seperti produk dari penyebut dengan penambahan faktor tambahan ke pembilangnya.
Contoh 7
Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x
Keputusan
- Penyebut tidak memerlukan perhitungan yang rumit, jadi Anda harus memilih produk mereka dalam bentuk 3 x 7 + 2 2, kemudian ke pecahan pertama x 7 + 2 2 dipilih sebagai faktor tambahan, dan 3 ke yang kedua. Saat mengalikan, kita mendapatkan pecahan dalam bentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
- Dapat dilihat bahwa penyebut disajikan sebagai produk, yang berarti bahwa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut yang sama akan menjadi produk dari bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Dari sini x 4
adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan ln (x + 1)
ke yang kedua. Kemudian kita kurangi dan dapatkan:
x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) ) - Contoh ini masuk akal ketika bekerja dengan penyebut pecahan. Penting untuk menerapkan rumus untuk perbedaan kuadrat dan kuadrat jumlah, karena mereka akan memungkinkan untuk beralih ke ekspresi bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Dapat dilihat bahwa pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama. Kami mendapatkan bahwa cos x - x cos x + x 2 .
Kemudian kita mendapatkan itu
1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2
Menjawab:
1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .
Contoh perkalian pecahan dengan variabel
Dalam perkalian pecahan, pembilangnya dikalikan dengan pembilangnya dan penyebutnya dikalikan dengan penyebutnya. Kemudian Anda dapat menerapkan properti reduksi.
Contoh 8
Kalikan pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.
Keputusan
Anda perlu melakukan perkalian. Kami mengerti
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 dosa (2 x - x)
Angka 3 dipindahkan ke tempat pertama untuk kenyamanan perhitungan, dan Anda dapat mengurangi pecahan dengan x 2, maka kami mendapatkan ekspresi formulir
3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)
Menjawab: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .
Divisi
Pembagian pecahan mirip dengan perkalian, karena pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan kedua. Jika kita ambil, misalnya, pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan dibagi dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ini dapat ditulis sebagai
x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , kemudian ganti dengan hasil kali bentuk x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dosa (2 x - x)
Eksponen
Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkan aksi dengan pecahan bentuk umum dengan eksponensial. Jika ada derajat dengan eksponen alami, maka tindakan tersebut dianggap sebagai perkalian pecahan identik. Tetapi disarankan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat derajat. Setiap ekspresi A dan C, di mana C tidak identik sama dengan nol, dan setiap r nyata pada ODZ untuk ekspresi bentuk A C r, persamaan A C r = A r C r adalah benar. Hasilnya adalah pecahan yang dipangkatkan. Misalnya, pertimbangkan:
x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5
Urutan operasi pecahan
Tindakan pada pecahan dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Dalam praktiknya, kita melihat bahwa suatu ekspresi dapat berisi beberapa pecahan atau ekspresi pecahan. Maka perlu untuk melakukan semua tindakan dalam urutan yang ketat: menaikkan pangkat, mengalikan, membagi, lalu menambah dan mengurangi. Jika ada tanda kurung, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.
Contoh 9
Hitung 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .
Keputusan
Karena kita memiliki penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x , tetapi tidak mungkin untuk mengurangi menurut aturan, pertama tindakan dalam tanda kurung dilakukan, setelah itu perkalian, dan kemudian penambahan. Kemudian, saat menghitung, kita mendapatkan itu
1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x
Saat mengganti ekspresi ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan bahwa 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Saat mengalikan pecahan, kita memiliki: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Setelah melakukan semua substitusi, kita mendapatkan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Sekarang Anda perlu bekerja dengan pecahan yang memiliki penyebut berbeda. Kita mendapatkan:
x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x
Menjawab: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
Pecahan- bentuk representasi angka dalam matematika. Garis miring menunjukkan operasi pembagian. pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya, dalam pecahan, pembilangnya adalah 5 dan penyebutnya adalah 7.
benar Suatu pecahan disebut jika modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika pecahan benar, maka modulus nilainya selalu lebih kecil dari 1. Semua pecahan lainnya adalah salah.
Pecahan disebut Campuran, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah bilangan ini dan pecahan:
Sifat dasar pecahan
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tidak akan berubah, yaitu, misalnya,
Membawa pecahan ke penyebut yang sama
Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu:
- Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua
- Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
- Ganti penyebut kedua pecahan dengan perkaliannya
Tindakan dengan pecahan
Tambahan. Untuk menjumlahkan dua pecahan, Anda perlu
- Tambahkan pembilang baru dari kedua pecahan, biarkan penyebutnya tidak berubah.
Contoh:
Pengurangan. Untuk mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya,
- Bawa pecahan ke penyebut yang sama
- Kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah
Contoh:
Perkalian. Untuk mengalikan satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang dan penyebutnya:
Divisi. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua:
Sekarang setelah kita mempelajari cara menjumlahkan dan mengalikan pecahan, kita dapat mempertimbangkan struktur yang lebih kompleks. Misalnya, bagaimana jika penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pecahan terjadi dalam satu soal?
Pertama-tama, Anda perlu mengubah semua pecahan menjadi pecahan biasa. Kemudian kami secara berurutan melakukan tindakan yang diperlukan - dalam urutan yang sama seperti untuk angka biasa. Yaitu:
- Pertama, eksponen dilakukan - singkirkan semua ekspresi yang mengandung eksponen;
- Kemudian - pembagian dan perkalian;
- Langkah terakhir adalah penjumlahan dan pengurangan.
Tentu saja, jika ada tanda kurung dalam ekspresi, urutan tindakan berubah - semua yang ada di dalam tanda kurung harus dipertimbangkan terlebih dahulu. Dan ingat tentang pecahan yang tidak tepat: Anda harus memilih seluruh bagian hanya ketika semua tindakan lain telah selesai.
Mari kita terjemahkan semua pecahan dari ekspresi pertama menjadi yang tidak tepat, dan kemudian lakukan tindakan berikut:
Sekarang mari kita cari nilai dari ekspresi kedua. Tidak ada pecahan dengan bagian bilangan bulat, tetapi ada tanda kurung, jadi pertama-tama kita melakukan penjumlahan, dan baru kemudian pembagian. Perhatikan bahwa 14 = 7 2 . Kemudian:
Terakhir, perhatikan contoh ketiga. Ada tanda kurung dan gelar di sini - lebih baik menghitungnya secara terpisah. Mengingat bahwa 9 = 3 3 , kami memiliki:
Perhatikan contoh terakhir. Untuk menaikkan pecahan ke pangkat, Anda harus menaikkan pembilang ke pangkat ini secara terpisah, dan penyebutnya secara terpisah.
Anda dapat memutuskan secara berbeda. Jika kita mengingat kembali definisi derajat, masalahnya akan direduksi menjadi perkalian pecahan biasa:
Pecahan bertingkat
Sejauh ini, kita hanya membahas pecahan "murni", bila pembilang dan penyebutnya adalah bilangan biasa. Ini konsisten dengan definisi pecahan numerik yang diberikan dalam pelajaran pertama.
Tetapi bagaimana jika objek yang lebih kompleks ditempatkan di pembilang atau penyebut? Misalnya, pecahan numerik lainnya? Konstruksi seperti itu cukup sering terjadi, terutama ketika bekerja dengan ekspresi panjang. Berikut adalah beberapa contoh:
Hanya ada satu aturan untuk bekerja dengan pecahan bertingkat: Anda harus segera menyingkirkannya. Menghapus lantai "ekstra" cukup sederhana, jika Anda ingat bahwa bilah pecahan berarti operasi pembagian standar. Oleh karena itu, setiap pecahan dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Dengan menggunakan fakta ini dan mengikuti prosedur, kita dapat dengan mudah mereduksi pecahan bertingkat menjadi pecahan biasa. Lihatlah contoh-contohnya:
Tugas. Ubah pecahan bertingkat menjadi pecahan biasa:
Dalam setiap kasus, kami menulis ulang pecahan utama, mengganti garis pemisah dengan tanda pembagian. Juga ingat bahwa bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1. Artinya, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Kita mendapatkan:
Dalam contoh terakhir, pecahan dikurangi sebelum perkalian terakhir.
Spesifik bekerja dengan pecahan bertingkat
Ada satu kehalusan dalam pecahan bertingkat yang harus selalu diingat, jika tidak, Anda bisa mendapatkan jawaban yang salah, bahkan jika semua perhitungannya benar. Lihatlah:
- Di pembilang ada angka terpisah 7, dan di penyebut - pecahan 12/5;
- Pembilangnya adalah pecahan 7/12, dan penyebutnya adalah bilangan tunggal 5.
Jadi, untuk satu catatan, kami mendapat dua interpretasi yang sama sekali berbeda. Jika Anda menghitung, jawabannya juga akan berbeda:
Untuk memastikan bahwa catatan selalu dibaca dengan jelas, gunakan aturan sederhana: garis pemisah pecahan utama harus lebih panjang dari garis bersarang. Sebaiknya beberapa kali.
Jika Anda mengikuti aturan ini, maka pecahan di atas harus ditulis sebagai berikut:
Ya, itu mungkin jelek dan memakan terlalu banyak ruang. Tapi Anda akan menghitung dengan benar. Terakhir, beberapa contoh di mana pecahan bertingkat benar-benar terjadi:
Tugas. Temukan nilai ekspresi:
Jadi, mari kita bekerja dengan contoh pertama. Mari kita ubah semua pecahan menjadi pecahan biasa, lalu lakukan operasi penjumlahan dan pembagian:
Mari kita lakukan hal yang sama dengan contoh kedua. Ubah semua pecahan menjadi tidak wajar dan lakukan operasi yang diperlukan. Agar tidak membuat pembaca bosan, saya akan menghilangkan beberapa perhitungan yang jelas. Kita punya:
Karena pembilang dan penyebut pecahan utama mengandung jumlah, aturan untuk menulis pecahan bertingkat diamati secara otomatis. Juga, pada contoh terakhir, kami sengaja meninggalkan angka 46/1 dalam bentuk pecahan untuk melakukan pembagian.
Saya juga mencatat bahwa dalam kedua contoh, bilah pecahan benar-benar menggantikan tanda kurung: pertama-tama, kami menemukan jumlah, dan hanya kemudian - hasil bagi.
Seseorang akan mengatakan bahwa transisi ke pecahan biasa dalam contoh kedua jelas berlebihan. Mungkin memang seperti itu. Tetapi dengan cara ini kita mengasuransikan diri kita dari kesalahan, karena contoh berikutnya mungkin menjadi jauh lebih rumit. Pilih sendiri apa yang lebih penting: kecepatan atau keandalan.
Bagian ini berkaitan dengan operasi dengan pecahan biasa. Jika perlu untuk melakukan operasi matematika dengan bilangan campuran, maka cukup untuk mengubah pecahan campuran menjadi yang luar biasa, melakukan operasi yang diperlukan dan, jika perlu, menyajikan hasil akhir sebagai bilangan campuran lagi. Operasi ini akan dijelaskan di bawah ini.
Pengurangan pecahan
operasi matematika. Pengurangan pecahan
Untuk mengurangi pecahan \frac(m)(n) Anda perlu menemukan pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebutnya: gcd(m,n), kemudian bagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka ini. Jika gcd(m,n)=1, maka pecahan tersebut tidak dapat diperkecil. Contoh: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)
Biasanya, segera menemukan pembagi persekutuan terbesar adalah tugas yang sulit, dan dalam praktiknya pecahan dikurangi dalam beberapa tahap, langkah demi langkah menyoroti faktor persekutuan yang jelas dari pembilang dan penyebut. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)
Membawa pecahan ke penyebut yang sama
operasi matematika. Membawa pecahan ke penyebut yang sama
Untuk mengurangi dua pecahan \frac(a)(b) dan \frac(c)(d) menjadi penyebut yang sama, Anda perlu:
- cari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya: M=LCM(b,d);
- kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan M / b (setelah itu penyebut pecahan menjadi sama dengan angka M);
- kalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan M/d (setelah itu penyebut pecahan menjadi sama dengan angka M).
Jadi, kami mengubah pecahan asli menjadi pecahan dengan penyebut yang sama (yang akan sama dengan angka M).
Misalnya, pecahan \frac(5)(6) dan \frac(4)(9) memiliki KPK(6,9) = 18. Maka: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Jadi, pecahan yang dihasilkan memiliki penyebut yang sama.
Dalam praktiknya, menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut tidak selalu merupakan tugas yang mudah. Oleh karena itu, suatu bilangan yang sama dengan hasil kali penyebut dari pecahan-pecahan asalnya dipilih sebagai penyebut yang sama. Misalnya, pecahan \frac(5)(6) dan \frac(4)(9) direduksi menjadi penyebut yang sama N=6\cdot9:
\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)
Perbandingan pecahan
operasi matematika. Perbandingan pecahan
Untuk membandingkan dua pecahan biasa:
- membandingkan pembilang dari pecahan yang dihasilkan; pecahan dengan pembilang yang lebih besar akan lebih besar.
Saat membandingkan pecahan, ada beberapa kasus khusus:
- Dari dua pecahan dengan penyebut yang sama semakin besar pecahan yang pembilangnya lebih besar. Misalnya \frac(3)(15)
- Dari dua pecahan dengan pembilang yang sama semakin besar adalah pecahan yang penyebutnya lebih kecil. Misalnya, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
- Fraksi itu, yang pada saat yang sama pembilang yang lebih besar dan penyebut yang lebih kecil, lagi. Misalnya, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)
Perhatian! Aturan 1 berlaku untuk pecahan apa pun jika penyebutnya adalah bilangan positif. Aturan 2 dan 3 berlaku untuk pecahan positif (yang pembilang dan penyebutnya lebih besar dari nol).
Penjumlahan dan pengurangan pecahan
operasi matematika. Penjumlahan dan pengurangan pecahan
Untuk menjumlahkan dua pecahan, Anda perlu:
- bawa mereka ke penyebut yang sama;
- tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Contoh: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)
Untuk mengurangi pecahan lain dari satu, Anda perlu:
- membawa pecahan ke penyebut yang sama;
- kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah.
Contoh: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)
Jika pecahan asli awalnya memiliki penyebut yang sama, maka poin 1 (pengurangan menjadi penyebut yang sama) dilewati.
Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa dan sebaliknya
operasi matematika. Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa dan sebaliknya
Untuk mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, cukup menjumlahkan seluruh bagian pecahan campuran dengan bagian pecahan. Hasil dari jumlah tersebut akan menjadi pecahan biasa, yang pembilangnya sama dengan jumlah produk dari bagian bilangan bulat dan penyebut pecahan dengan pembilang dari pecahan campuran, dan penyebutnya tetap sama. Misalnya, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)
Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran:
- membagi pembilang suatu pecahan dengan penyebutnya;
- tulis sisa pembagian ke dalam pembilangnya, dan biarkan penyebutnya tetap sama;
- tulis hasil pembagian sebagai bagian bilangan bulat.
Misalnya, pecahan \frac(23)(4) . Saat membagi 23:4=5,75, yaitu, bagian bilangan bulatnya adalah 5, sisa pembagiannya adalah 23-5*4=3. Kemudian angka campuran akan ditulis: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)
Mengubah Desimal ke Pecahan Biasa
operasi matematika. Mengubah Desimal ke Pecahan Biasa
Untuk mengubah desimal menjadi pecahan biasa:
- ambil pangkat ke-n dari sepuluh sebagai penyebut (di sini n adalah jumlah tempat desimal);
- sebagai pembilang, ambil angka setelah titik desimal (jika bagian bilangan bulat dari angka asli tidak sama dengan nol, maka ambil juga semua angka nol di depan);
- bagian bilangan bulat bukan nol ditulis di pembilang di awal; bagian bilangan bulat nol dihilangkan.
Contoh 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 tempat desimal, jadi penyebutnya 10 4 = 10000, karena bagian bilangan bulatnya adalah 0, pembilangnya adalah angka setelah koma tanpa nol di depan)
Contoh 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (dalam pembilang kami menulis angka setelah titik desimal dengan semua nol: "0109", dan kemudian kami menambahkan bagian bilangan bulat dari angka asli "31" sebelumnya)
Jika bagian bilangan bulat dari pecahan desimal berbeda dari nol, maka pecahan tersebut dapat diubah menjadi pecahan campuran. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan angka menjadi pecahan biasa seolah-olah bagian bilangan bulat sama dengan nol (poin 1 dan 2), dan cukup tulis ulang bagian bilangan bulat sebelum pecahan - ini akan menjadi bagian bilangan bulat dari bilangan campuran. Contoh:
3.014=3\frac(14)(100)
Untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, cukup membagi pembilang dengan penyebutnya saja. Terkadang Anda mendapatkan desimal tak terbatas. Dalam hal ini, perlu untuk membulatkan ke tempat desimal yang diinginkan. Contoh:
\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667
Perkalian dan pembagian pecahan
operasi matematika. Perkalian dan pembagian pecahan
Untuk mengalikan dua pecahan biasa, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan.
\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)
Untuk membagi satu pecahan biasa dengan pecahan biasa, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan kebalikan pecahan kedua ( timbal-balik adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya dibalik.
\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)
Jika salah satu pecahan adalah bilangan asli, maka aturan perkalian dan pembagian di atas tetap berlaku. Ingatlah bahwa bilangan bulat adalah pecahan yang sama, penyebutnya sama dengan satu. Misalnya: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7
Tindakan dengan pecahan. Pada artikel ini, kami akan menganalisis contoh, semuanya terperinci dengan penjelasan. Kami akan mempertimbangkan pecahan biasa. Di masa depan, kami akan menganalisis desimal. Saya sarankan untuk menonton secara keseluruhan dan belajar secara berurutan.
1. Jumlah pecahan, selisih pecahan.
Aturan: ketika menambahkan pecahan dengan penyebut yang sama, hasilnya adalah pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilangnya akan sama dengan jumlah pembilang pecahan.
Aturan: ketika menghitung selisih pecahan dengan penyebut yang sama, kami mendapatkan pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilang kedua dikurangi dari pembilang pecahan pertama.
Notasi formal jumlah dan selisih pecahan yang penyebutnya sama:
Contoh (1):
Jelas bahwa ketika pecahan biasa diberikan, maka semuanya sederhana, tetapi jika dicampur? Tidak ada yang rumit...
Pilihan 1- Anda dapat mengubahnya menjadi yang biasa dan kemudian menghitungnya.
pilihan 2- Anda dapat "bekerja" secara terpisah dengan bagian bilangan bulat dan pecahan.
Contoh (2):
Lagi:
Dan jika selisih dua pecahan campuran diberikan dan pembilang pecahan pertama lebih kecil dari pembilang kedua? Bisa juga dengan dua cara.
Contoh (3):
* Diterjemahkan ke dalam pecahan biasa, hitung selisihnya, ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan campuran.
* Dibagi menjadi bagian bilangan bulat dan pecahan, didapat tiga, kemudian disajikan 3 sebagai jumlah dari 2 dan 1, dengan unit yang disajikan sebagai 11/11, kemudian temukan perbedaan antara 11/11 dan 7/11 dan hitung hasilnya. Arti dari transformasi di atas adalah mengambil (memilih) suatu satuan dan menyajikannya sebagai pecahan dengan penyebut yang kita butuhkan, kemudian dari pecahan ini kita sudah dapat mengurangi yang lain.
Contoh lain:
Kesimpulan: ada pendekatan universal - untuk menghitung jumlah (selisih) pecahan campuran dengan penyebut yang sama, mereka selalu dapat dikonversi menjadi yang tidak tepat, kemudian melakukan tindakan yang diperlukan. Setelah itu, jika hasilnya kita mendapatkan pecahan biasa, kita terjemahkan ke dalam pecahan campuran.
Di atas, kita melihat contoh pecahan yang penyebutnya sama. Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Dalam hal ini, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama dan tindakan yang ditentukan dilakukan. Untuk mengubah (mengubah) pecahan, digunakan sifat utama pecahan.
Pertimbangkan contoh sederhana:
Dalam contoh ini, kita langsung melihat bagaimana salah satu pecahan dapat dikonversi untuk mendapatkan penyebut yang sama.
Jika kita menentukan cara untuk mengurangi pecahan menjadi satu penyebut, maka yang ini akan disebut METODE SATU.
Artinya, segera ketika "mengevaluasi" pecahan, Anda perlu mencari tahu apakah pendekatan seperti itu akan berhasil - kami memeriksa apakah penyebut yang lebih besar dapat dibagi dengan yang lebih kecil. Dan jika dibagi, maka kita melakukan transformasi - kita mengalikan pembilang dan penyebutnya sehingga penyebut kedua pecahan menjadi sama.
Sekarang lihat contoh-contoh ini:
Pendekatan ini tidak berlaku untuk mereka. Ada cara lain untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, pertimbangkan mereka.
Metode KEDUA.
Kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pertama:
*Faktanya, kita akan mengubah bentuk pecahan jika penyebutnya sama. Selanjutnya, kita menggunakan aturan penjumlahan malu-malu dengan penyebut yang sama.
Contoh:
*Metode ini bisa disebut universal, dan selalu berhasil. Satu-satunya negatif adalah bahwa setelah perhitungan, mungkin ada pecahan yang perlu dikurangi lebih lanjut.
Pertimbangkan sebuah contoh:
Terlihat bahwa pembilang dan penyebutnya habis dibagi 5:
Metode KETIGA.
Temukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya. Ini akan menjadi penyebut yang sama. Nomor apa ini? Ini adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi masing-masing bilangan.
Lihat, ini ada dua angka: 3 dan 4, ada banyak angka yang habis dibagi - ini adalah 12, 24, 36, ... Yang terkecil adalah 12. Atau 6 dan 15, 30, 60, 90 adalah dibagi oleh mereka .... Terkecil 30. Pertanyaan - bagaimana menentukan kelipatan persekutuan terkecil ini?
Ada algoritma yang jelas, tetapi seringkali ini dapat dilakukan segera tanpa perhitungan. Misalnya, sesuai dengan contoh di atas (3 dan 4, 6 dan 15), tidak diperlukan algoritma, kami mengambil angka besar (4 dan 15), menggandakannya dan melihat bahwa mereka dapat dibagi dengan angka kedua, tetapi pasangan angka bisa yang lain, seperti 51 dan 119.
Algoritma. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan, Anda harus:
- dekomposisi setiap angka menjadi faktor SEDERHANA
- tuliskan dekomposisi LEBIH BESAR dari mereka
- kalikan dengan faktor HILANG dari angka lain
Pertimbangkan contoh:
50 dan 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
dalam perluasan jumlah yang lebih besar, satu lima hilang
=> KPK(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 dan 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
dalam perluasan jumlah yang lebih besar, dua dan tiga hilang
=> KPK(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima sama dengan perkaliannya
Pertanyaan! Dan mengapa berguna untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, karena Anda dapat menggunakan metode kedua dan cukup mengurangi pecahan yang dihasilkan? Ya, Anda bisa, tetapi itu tidak selalu nyaman. Lihatlah penyebut untuk angka 48 dan 72, jika Anda hanya mengalikannya 48∙72 = 3456. Setuju bahwa lebih menyenangkan bekerja dengan angka yang lebih kecil.
Pertimbangkan contoh:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
dalam perluasan angka yang lebih besar, tiga kali lipat hilang
=> KPK(51,119) = 3∙7∙17
Dan sekarang kita menerapkan metode pertama:
* Lihatlah perbedaan dalam perhitungan, dalam kasus pertama ada minimum, dan yang kedua Anda harus bekerja secara terpisah pada selembar kertas, dan bahkan fraksi yang Anda dapatkan perlu dikurangi. Menemukan KPK sangat menyederhanakan pekerjaan.
Contoh lainnya:
*Pada contoh kedua, sudah jelas bahwa bilangan terkecil yang habis dibagi 40 dan 60 adalah 120.
TOTAL! ALGORITMA PERHITUNGAN UMUM!
- kami membawa pecahan ke pecahan biasa, jika ada bagian bilangan bulat.
- kita membawa pecahan ke penyebut yang sama (pertama kita melihat untuk melihat apakah satu penyebut habis dibagi dengan yang lain, jika itu habis dibagi, maka kita kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan lain ini; jika tidak habis dibagi, kita bertindak menggunakan metode lain yang ditunjukkan di atas).
- setelah menerima pecahan dengan penyebut yang sama, kami melakukan tindakan (penambahan, pengurangan).
- jika perlu, kami mengurangi hasilnya.
- jika perlu, pilih seluruh bagian.
2. Hasil kali pecahan.
Aturannya sederhana. Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan:
Contoh:
