Artikel ini berisi informasi dasar tentang bilangan asli. Pertama, definisi bilangan real diberikan dan contoh diberikan. Posisi bilangan real pada garis koordinat ditunjukkan berikutnya. Dan sebagai kesimpulan, dianalisis bagaimana bilangan real diberikan dalam bentuk ekspresi numerik.

Navigasi halaman.

Pengertian dan contoh bilangan real

Bilangan nyata sebagai ekspresi

Dari definisi bilangan real, jelaslah bahwa bilangan real adalah:

• bilangan asli apa pun;
• bilangan bulat apa saja;
• pecahan biasa apa pun (baik positif maupun negatif);
• nomor campuran apa pun;
• pecahan desimal apa pun (positif, negatif, hingga, periodik tak hingga, non-periodik tak hingga).

Tetapi sangat sering bilangan real dapat dilihat dalam bentuk , dll. Selain itu, jumlah, selisih, produk, dan hasil bagi bilangan real juga bilangan real (lihat operasi dengan bilangan real). Misalnya, ini adalah bilangan real.

Dan jika Anda melangkah lebih jauh, maka dari bilangan real menggunakan tanda aritmatika, tanda akar, derajat, logaritma, fungsi trigonometri, dll. anda dapat membuat semua jenis ekspresi numerik, yang nilainya juga akan menjadi bilangan real. Misalnya, nilai ekspresi dan adalah bilangan real.

Sebagai penutup artikel ini, kami mencatat bahwa langkah selanjutnya dalam memperluas konsep bilangan adalah transisi dari bilangan real ke bilangan kompleks.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari situs ini, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

Bilangan asli didefinisikan sebagai bilangan bulat positif. Bilangan asli digunakan untuk menghitung objek dan untuk banyak tujuan lainnya. Berikut angka-angkanya:

Ini adalah deret bilangan alami.
Nol adalah bilangan asli? Tidak, nol bukanlah bilangan asli.
Ada berapa bilangan asli? Ada himpunan tak terbatas bilangan asli.
Berapakah bilangan asli terkecil? Salah satunya adalah bilangan asli terkecil.
Berapakah bilangan asli terbesar? Itu tidak dapat ditentukan, karena ada himpunan tak terbatas dari bilangan asli.

Jumlah bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, penjumlahan bilangan asli a dan b:

Hasil kali bilangan asli adalah bilangan asli. Jadi, hasil kali bilangan asli a dan b:

c selalu bilangan asli.

Perbedaan bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika minuend lebih besar dari subtrahend, maka selisih bilangan asli adalah bilangan asli, sebaliknya tidak.

Hasil bagi bilangan asli Tidak selalu ada bilangan asli. Jika untuk bilangan asli a dan b

dimana c adalah bilangan asli, artinya a habis dibagi b. Dalam contoh ini, a adalah dividen, b adalah pembagi, c adalah hasil bagi.

Pembagi suatu bilangan asli adalah bilangan asli yang dengannya bilangan pertama habis dibagi rata.

Setiap bilangan asli habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Bilangan asli sederhana hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Di sini yang kami maksud adalah terbagi sepenuhnya. Contoh, nomor 2; 3; 5; 7 hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Ini adalah bilangan asli sederhana.

Satu tidak dianggap sebagai bilangan prima.

Bilangan yang lebih besar dari satu dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Contoh bilangan komposit:

Satu tidak dianggap sebagai bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli terdiri dari satu, bilangan prima dan bilangan komposit.

Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin N.

Sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bilangan asli:

sifat komutatif penjumlahan

sifat asosiatif penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c);

sifat komutatif perkalian

sifat asosiatif perkalian

(ab)c = a(bc);

sifat distributif perkalian

a (b + c) = ab + ac;

Bilangan bulat

Integer adalah bilangan asli, nol dan kebalikan dari bilangan asli.

Bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli adalah bilangan bulat negatif, contoh:

1; -2; -3; -4;…

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf latin Z.

Angka rasional

Bilangan rasional adalah bilangan bulat dan pecahan.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik. Contoh:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Dapat dilihat dari contoh bahwa bilangan bulat apa pun adalah pecahan periodik dengan periode nol.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Mari kita nyatakan angka 3,(6) dari contoh sebelumnya sebagai pecahan:

Contoh lain: bilangan rasional 9 dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana seperti 18/2 atau 36/4.

Contoh lain: bilangan rasional -9 dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana seperti -18/2 atau sebagai -72/8.

Artikel ini dikhususkan untuk mempelajari topik "Bilangan rasional". Berikut ini adalah pengertian bilangan rasional, diberikan contoh, dan cara menentukan bilangan rasional atau tidak.

Angka rasional. definisi

Sebelum memberikan definisi bilangan rasional, mari kita ingat apa himpunan bilangan lain dan bagaimana mereka terkait satu sama lain.

Bilangan asli, bersama dengan lawannya dan angka nol, membentuk himpunan bilangan bulat. Pada gilirannya, himpunan bilangan pecahan bilangan bulat membentuk himpunan bilangan rasional.

Definisi 1. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa positif a b , pecahan biasa negatif a b atau bilangan nol.

Dengan demikian, kita dapat meninggalkan sejumlah sifat bilangan rasional:

1. Setiap bilangan asli adalah bilangan rasional. Jelas, setiap bilangan asli n dapat direpresentasikan sebagai pecahan 1 n .
2. Setiap bilangan bulat, termasuk angka 0 , adalah bilangan rasional. Memang, setiap bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat dengan mudah direpresentasikan sebagai pecahan umum positif atau negatif, masing-masing. Misalnya, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Setiap pecahan persekutuan positif atau negatif a b adalah bilangan rasional. Ini mengikuti langsung dari definisi di atas.
4. Setiap nomor campuran adalah rasional. Memang, bagaimanapun, bilangan campuran dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa yang tidak biasa.
5. Setiap pecahan desimal terbatas atau periodik dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Oleh karena itu, setiap desimal periodik atau akhir adalah bilangan rasional.
6. Desimal tak berhingga dan tak berulang bukanlah bilangan rasional. Mereka tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk pecahan biasa.

Mari kita berikan contoh bilangan rasional. Bilangan 5 , 105 , 358 , 1100055 adalah bilangan asli, positif dan bilangan bulat. Bagaimanapun, ini adalah bilangan rasional. Angka - 2 , - 358 , - 936 adalah bilangan bulat negatif, dan juga rasional menurut definisi. Pecahan biasa 3 5 , 8 7 , - 35 8 juga merupakan contoh bilangan rasional.

Definisi bilangan rasional di atas dapat dirumuskan lebih ringkas. Mari kita jawab pertanyaan lagi, apa itu bilangan rasional.

Definisi 2. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan ± z n, di mana z adalah bilangan bulat, n adalah bilangan asli.

Dapat ditunjukkan bahwa definisi ini setara dengan definisi bilangan rasional sebelumnya. Untuk melakukan ini, ingatlah bahwa batang pecahan sama dengan tanda pembagian. Dengan mempertimbangkan aturan dan sifat pembagian bilangan bulat, kita dapat menulis pertidaksamaan wajar berikut:

0 n = 0 n = 0 ; - m n = (- m) n = - m n .

Dengan demikian, seseorang dapat menulis:

z n = z n , p p dan z > 0 0 , p p dan z = 0 - z n , p p dan z< 0

Sebenarnya, catatan ini adalah buktinya. Kami memberikan contoh bilangan rasional berdasarkan definisi kedua. Perhatikan angka - 3 , 0, 5 , - 7 55 , 0, 0125 dan - 1 3 5 . Semua bilangan ini rasional, karena dapat ditulis sebagai pecahan dengan pembilang bilangan bulat dan penyebut alami: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Kami menyajikan satu lagi bentuk ekivalen dari definisi bilangan rasional.

Definisi 3. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan desimal periodik berhingga atau tak hingga.

Definisi ini mengikuti langsung dari definisi pertama paragraf ini.

Untuk meringkas dan merumuskan ringkasan pada item ini:

1. Bilangan pecahan dan bilangan bulat positif dan negatif membentuk himpunan bilangan rasional.
2. Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan, yang pembilangnya adalah bilangan bulat dan penyebutnya adalah bilangan asli.
3. Setiap bilangan rasional juga dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal: periodik terbatas atau tak terbatas.

Manakah bilangan yang rasional?

Seperti yang telah kita ketahui, setiap bilangan asli, bilangan bulat, pecahan biasa biasa dan tidak wajar, pecahan desimal periodik dan akhir adalah bilangan rasional. Berbekal pengetahuan ini, Anda dapat dengan mudah menentukan apakah suatu bilangan rasional.

Namun, dalam praktiknya, seseorang sering kali tidak berurusan dengan angka, tetapi dengan ekspresi numerik yang mengandung akar, pangkat, dan logaritma. Dalam beberapa kasus, jawaban atas pertanyaan "Apakah suatu bilangan rasional?" jauh dari jelas. Mari kita lihat bagaimana menjawab pertanyaan ini.

Jika suatu bilangan diberikan sebagai ekspresi yang hanya berisi bilangan rasional dan operasi aritmatika di antara mereka, maka hasil ekspresinya adalah bilangan rasional.

Misalnya, nilai dari ekspresi 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) adalah bilangan rasional dan sama dengan 18 .

Jadi, menyederhanakan ekspresi numerik kompleks memungkinkan Anda untuk menentukan apakah bilangan yang diberikan olehnya rasional.

Sekarang mari kita berurusan dengan tanda akar.

Ternyata bilangan m n yang diberikan sebagai akar derajat n dari bilangan m adalah rasional hanya jika m adalah pangkat ke-n dari suatu bilangan asli.

Mari kita lihat sebuah contoh. Angka 2 tidak rasional. Sedangkan 9, 81 adalah bilangan rasional. 9 dan 81 masing-masing adalah kuadrat sempurna dari angka 3 dan 9. Bilangan 199 , 28 , 15 1 bukan bilangan rasional, karena bilangan di bawah tanda akar bukanlah kuadrat sempurna dari bilangan asli mana pun.

Sekarang mari kita ambil kasus yang lebih rumit. Apakah bilangan 243 5 rasional? Jika Anda menaikkan 3 pangkat kelima, Anda mendapatkan 243 , sehingga ekspresi aslinya dapat ditulis ulang seperti ini: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Oleh karena itu, bilangan ini rasional. Sekarang mari kita ambil nomor 121 5 . Bilangan ini tidak rasional, karena tidak ada bilangan asli yang dipangkatkan ke lima akan menghasilkan 121.

Untuk mengetahui apakah logaritma suatu bilangan a ke basis b adalah bilangan rasional, maka perlu diterapkan metode kontradiksi. Sebagai contoh, mari kita cari tahu apakah bilangan log 2 5 rasional. Mari kita asumsikan bahwa angka ini rasional. Jika demikian, maka dapat ditulis sebagai pecahan biasa log 2 5 \u003d m n. Dengan sifat-sifat logaritma dan sifat-sifat derajat, persamaan berikut ini benar:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Jelas, persamaan terakhir tidak mungkin, karena sisi kiri dan kanan masing-masing berisi angka ganjil dan genap. Oleh karena itu, asumsi yang dibuat salah, dan bilangan log 2 5 bukanlah bilangan rasional.

Perlu dicatat bahwa ketika menentukan rasionalitas dan irasionalitas angka, seseorang tidak boleh membuat keputusan mendadak. Misalnya, hasil perkalian bilangan irasional tidak selalu merupakan bilangan irasional. Contoh ilustrasi: 2 · 2 = 2 .

Ada juga bilangan irasional yang dinaikkan ke pangkat irasional menghasilkan bilangan rasional. Dalam pangkat 2 log 2 3, basis dan eksponen adalah bilangan irasional. Namun, bilangan itu sendiri adalah rasional: 2 log 2 3 = 3 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Konsep bilangan real: bilangan asli- (bilangan real), sembarang bilangan non-negatif atau negatif atau nol. Dengan bantuan bilangan real, nyatakan pengukuran setiap besaran fisis.

nyata, atau bilangan asli muncul dari kebutuhan untuk mengukur kuantitas geometris dan fisik dunia. Selain itu, untuk melakukan operasi ekstraksi akar, menghitung logaritma, menyelesaikan persamaan aljabar, dll.

Bilangan asli dibentuk dengan perkembangan penghitungan, dan bilangan rasional dengan kebutuhan untuk mengelola bagian dari keseluruhan, maka bilangan real (riil) digunakan untuk mengukur besaran kontinu. Dengan demikian, perluasan stok bilangan yang dianggap telah menyebabkan himpunan bilangan real, yang selain bilangan rasional, terdiri dari unsur-unsur lain yang disebut bilangan irasional.

Himpunan bilangan real(dilambangkan R) adalah himpunan bilangan rasional dan irasional yang disatukan.

Bilangan asli dibagi denganrasional dan irasional.

Himpunan bilangan real dilambangkan dan sering disebut nyata atau nomor baris. Bilangan real terdiri dari benda-benda sederhana: utuh dan angka rasional.

Bilangan yang dapat ditulis sebagai perbandingan, dimanam adalah bilangan bulat, dan nadalah bilangan aslibilangan rasional.

Setiap bilangan rasional dapat dengan mudah direpresentasikan sebagai pecahan berhingga atau pecahan desimal periodik tak hingga.

Contoh,

Desimal tak terbatas, adalah pecahan desimal yang memiliki jumlah digit tak terbatas setelah titik desimal.

Bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai bilangan irasional.

Contoh:

Setiap bilangan irasional mudah direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak terbatas.

Contoh,

Bilangan rasional dan irasional membuat himpunan bilangan real. Semua bilangan real bersesuaian dengan satu titik pada garis koordinat, yang disebut nomor baris.

Untuk himpunan numerik, notasi berikut digunakan:

• N- set bilangan asli;
• Z- himpunan bilangan bulat;
• Q- himpunan bilangan rasional;
• R adalah himpunan bilangan real.

Teori pecahan desimal tak terbatas.

Bilangan real didefinisikan sebagai desimal tak terbatas, yaitu:

±a 0,a 1 a 2 …a n …

di mana ± adalah salah satu simbol + atau , tanda bilangan,

a 0 adalah bilangan bulat positif,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… adalah barisan tempat desimal, mis. elemen dari himpunan numerik {0,1,…9}.

Pecahan desimal tak hingga dapat dijelaskan sebagai bilangan yang berada pada garis bilangan antara titik-titik rasional seperti:

±a 0,a 1 a 2 …a n dan ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 n) untuk semua n=0,1,2,…

Perbandingan bilangan real sebagai pecahan desimal tak terbatas terjadi sedikit demi sedikit. Misalnya, misalkan 2 bilangan positif diberikan:

α =+a 0,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Jika sebuah sebuah 0 0, kemudian α<β ; jika a0 >b0 kemudian α>β . Kapan a 0 = b 0 Mari kita beralih ke perbandingan tingkat berikutnya. Dll. Kapan α≠β , jadi setelah sejumlah langkah yang terbatas, digit pertama akan ditemukan n, seperti yang a n b n. Jika sebuah sebuah n n, kemudian α<β ; jika a n > b n kemudian α>β .

Tetapi pada saat yang sama, membosankan untuk memperhatikan fakta bahwa nomornya a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 n . Oleh karena itu, jika catatan salah satu bilangan yang dibandingkan, mulai dari angka tertentu, adalah pecahan desimal periodik, yang memiliki 9 pada periode, maka itu harus diganti dengan catatan yang setara, dengan nol pada periode.

Operasi aritmatika dengan pecahan desimal tak terbatas adalah kelanjutan berkelanjutan dari operasi yang sesuai dengan bilangan rasional. Misalnya, jumlah bilangan real α dan β adalah bilangan real α+β , yang memenuhi kondisi berikut:

∀ a,a′′,b,b∈ Q(a′⩽ α ⩽ sebuah'')∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Demikian pula mendefinisikan operasi mengalikan pecahan desimal tak terbatas.