Apa yang perlu Anda ketahui tentang ikon ketidaksetaraan? Ketidaksetaraan ikon lagi (> ), atau lebih kecil (< ) disebut ketat. Dengan ikon lebih atau sama (≥ ), kurang atau sama (≤ ) disebut tidak ketat. ikon tidak sama (≠ ) berdiri sendiri, tetapi Anda juga harus menyelesaikan contoh dengan ikon seperti itu setiap saat. Dan kita akan.)

Ikon itu sendiri tidak banyak berpengaruh pada proses solusi. Tetapi di akhir solusi, ketika memilih jawaban akhir, arti ikon muncul dengan kekuatan penuh! Seperti yang akan kita lihat di bawah, dalam contoh. Ada beberapa lelucon ...

Pertidaksamaan, seperti persamaan, adalah setia dan tidak setia. Semuanya sederhana di sini, tanpa trik. Katakanlah 5 > 2 adalah pertidaksamaan yang benar. 5 < 2 tidak benar.

Persiapan seperti itu bekerja untuk ketidaksetaraan apapun dan sederhana hingga horor.) Anda hanya perlu melakukan dua (hanya dua!) tindakan dasar dengan benar. Tindakan ini akrab bagi semua orang. Tapi, yang khas, kusen dalam tindakan ini adalah kesalahan utama dalam menyelesaikan ketidaksetaraan, ya ... Oleh karena itu, tindakan ini harus diulang. Tindakan ini disebut seperti ini:

Transformasi identitas ketidaksetaraan.

Transformasi identitas pertidaksamaan sangat mirip dengan transformasi identitas persamaan. Sebenarnya ini adalah masalah utama. Perbedaan menyelinap melewati kepala dan ... tiba.) Oleh karena itu, saya akan menyoroti perbedaan ini secara khusus. Jadi, transformasi pertidaksamaan identik pertama:

1. Angka atau ekspresi yang sama dapat ditambahkan (dikurangi) pada kedua bagian pertidaksamaan. Setiap. Tanda pertidaksamaan tidak akan berubah.

Dalam praktiknya, aturan ini diterapkan sebagai pemindahan suku dari ruas kiri pertidaksamaan ke ruas kanan (dan sebaliknya) dengan perubahan tanda. Dengan perubahan tanda istilah, bukan pertidaksamaan! Aturan satu-satu sama dengan aturan persamaan. Tetapi transformasi identik berikut dalam pertidaksamaan berbeda secara signifikan dari transformasi dalam persamaan. Jadi saya menyorotnya dengan warna merah:

2. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang samapositifnomor. Untuk apa sajapositif Tidak akan berubah.

3. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan yang samanegatif nomor. Untuk apa sajanegatifnomor. Tanda pertidaksamaan dari iniakan berubah sebaliknya.

Anda ingat (berharap...) bahwa suatu persamaan dapat dikalikan/dibagi dengan apa saja. Dan untuk nomor berapa pun, dan untuk ekspresi dengan x. Selama itu tidak nol. Dia, persamaannya, tidak panas atau dingin dari ini.) Itu tidak berubah. Tetapi ketidaksetaraan lebih sensitif terhadap perkalian/pembagian.

Sebuah contoh yang baik untuk memori yang panjang. Kami menulis ketidaksetaraan yang tidak menimbulkan keraguan:

5 > 2

Kalikan kedua ruas dengan +3, kita mendapatkan:

15 > 6

Apakah ada keberatan? Tidak ada keberatan.) Dan jika kita mengalikan kedua bagian dari ketidaksetaraan asli dengan -3, kita mendapatkan:

15 > -6

Dan ini benar-benar bohong.) Benar-benar bohong! Membodohi orang! Tetapi begitu tanda pertidaksamaan dibalik, semuanya menjadi pada tempatnya:

15 < -6

Tentang kebohongan dan penipuan - saya tidak hanya bersumpah.) "Aku lupa mengganti tanda pertidaksamaan..."- Ini rumah kesalahan dalam menyelesaikan pertidaksamaan. Aturan sepele dan tidak rumit ini telah menyakiti begitu banyak orang! Siapa yang lupa ...) Jadi saya bersumpah. Mungkin ingat...)

Mereka yang sangat memperhatikan akan melihat bahwa ketidaksetaraan tidak dapat dikalikan dengan ekspresi dengan x. Hormati perhatian!) Dan mengapa tidak? Jawabannya sederhana. Kita tidak tahu tanda dari ekspresi ini dengan x. Itu bisa positif, negatif ... Oleh karena itu, kita tidak tahu tanda pertidaksamaan apa yang harus diletakkan setelah perkalian. Ubah atau tidak? Tidak dikenal. Tentu saja, batasan ini (larangan mengalikan / membagi pertidaksamaan dengan ekspresi dengan x) dapat dilewati. Jika Anda benar-benar membutuhkannya. Tapi ini adalah topik untuk pelajaran lain.

Itu semua transformasi identik dari ketidaksetaraan. Biarkan saya mengingatkan Anda lagi bahwa mereka bekerja untuk setiap ketidaksetaraan. Dan sekarang Anda dapat beralih ke tipe tertentu.

Pertidaksamaan linier. Solusi, contoh.

Pertidaksamaan linier disebut pertidaksamaan di mana x berada pada derajat pertama dan tidak ada pembagian oleh x. Jenis:

x+3 > 5x-5

Bagaimana ketidaksetaraan ini diselesaikan? Mereka sangat mudah untuk dipecahkan! Yaitu: dengan bantuan kami mengurangi ketidaksetaraan linier yang paling membingungkan langsung ke jawabannya. Itulah seluruh solusi. Saya akan menyoroti poin utama dari solusi. Untuk menghindari kesalahan bodoh.)

Kami memecahkan ketidaksetaraan ini:

x+3 > 5x-5

Kami memecahkan dengan cara yang sama seperti persamaan linier. Dengan satu-satunya perbedaan:

Perhatikan baik-baik tanda pertidaksamaan!

Langkah pertama adalah yang paling umum. Dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan ... Ini adalah transformasi identik pertama, sederhana dan bebas masalah.) Hanya jangan lupa untuk mengubah tanda-tanda anggota yang ditransfer.

Tanda pertidaksamaan dipertahankan:

x-5x > -5-3

Kami menyajikan yang serupa.

Tanda pertidaksamaan dipertahankan:

4x > -8

Tetap menerapkan transformasi identik terakhir: bagi kedua bagian dengan -4.

Dibagi dengan negatif nomor.

Tanda pertidaksamaan akan dibalik:

X < 2

Ini adalah jawabannya.

Ini adalah bagaimana semua ketidaksetaraan linier diselesaikan.

Perhatian! Poin 2 digambar putih, mis. tidak dicat. Kosong di dalam. Ini berarti dia tidak termasuk dalam jawaban! Aku sengaja menggambarnya begitu sehat. Titik seperti itu (kosong, tidak sehat!)) dalam matematika disebut titik tertekuk.

Angka-angka yang tersisa pada sumbu dapat ditandai, tetapi tidak perlu. Angka-angka asing yang tidak terkait dengan pertidaksamaan kita bisa membingungkan, ya ... Anda hanya perlu ingat bahwa kenaikan angka itu searah dengan panah, yaitu. nomor 3, 4, 5, dst. adalah ke kanan dua, dan angka 1, 0, -1, dst. - ke kiri.

Ketimpangan x < 2 - ketat. X benar-benar kurang dari dua. Jika ragu, ceknya sederhana. Kami mengganti angka yang meragukan dalam ketidaksetaraan dan berpikir: "Dua kurang dari dua? Tentu saja tidak!" Tepat. Ketimpangan 2 < 2 salah. Sebuah deuce tidak baik untuk sebuah jawaban.

Apakah satu saja sudah cukup? Tentu. Kurang ... Dan nol bagus, dan -17, dan 0,34 ... Ya, semua angka yang kurang dari dua bagus! Dan bahkan 1,9999 .... Setidaknya sedikit, tapi kurang!

Jadi kami menandai semua angka ini pada sumbu angka. Bagaimana? Ada pilihan di sini. Opsi pertama adalah menetas. Kami mengarahkan mouse ke gambar (atau menyentuh gambar di tablet) dan melihat bahwa area bola x yang cocok dengan kondisi x diarsir < 2 . Itu saja.

Mari kita pertimbangkan opsi kedua dalam contoh kedua:

X ≥ -0,5

Gambarlah sumbu, tandai angka -0,5. Seperti ini:

Apakah Anda memperhatikan perbedaannya?) Ya, sulit untuk tidak menyadarinya... Titik ini berwarna hitam! Dilukis. Ini berarti bahwa -0,5 termasuk dalam jawaban. Di sini, omong-omong, memeriksa dan membingungkan seseorang. Kami mengganti:

-0,5 ≥ -0,5

Bagaimana? -0,5 tidak lebih dari -0,5! Ada lagi ikon...

Tidak apa-apa. Dalam ketidaksetaraan yang tidak ketat, semua yang cocok dengan ikon cocok. Dan sama dengan cocok dan lagi bagus. Oleh karena itu, -0,5 termasuk dalam respons.

Jadi, kami menandai -0,5 pada sumbu, tetap menandai semua angka yang lebih besar dari -0,5. Kali ini saya menandai kisaran nilai x yang sesuai belenggu(dari kata busur) daripada menetas. Arahkan kursor ke gambar dan lihat busur ini.

Tidak ada perbedaan khusus antara penetasan dan lengkungan. Lakukan seperti yang dikatakan guru. Jika tidak ada guru, gambarlah lengannya. Dalam tugas yang lebih kompleks, penetasan kurang jelas. Anda bisa bingung.

Ini adalah bagaimana ketidaksetaraan linier digambar pada sumbu. Kami lolos ke singularitas ketidaksetaraan berikutnya.

Tulis jawaban untuk pertidaksamaan.

Itu bagus dalam persamaan.) Kami menemukan x, dan menuliskan jawabannya, misalnya: x \u003d 3. Dalam pertidaksamaan, ada dua bentuk penulisan jawaban. Satu - dalam bentuk ketidaksetaraan akhir. Baik untuk kasus sederhana. Sebagai contoh:

X< 2.

Ini adalah jawaban yang lengkap.

Kadang-kadang diperlukan untuk menulis hal yang sama, tetapi dalam bentuk yang berbeda, melalui celah numerik. Kemudian entri mulai terlihat sangat ilmiah):

x (-∞; 2)

Di bawah ikon ∈ menyembunyikan kata "milik".

Entrinya berbunyi seperti ini: x termasuk dalam interval dari minus tak terhingga hingga dua tidak termasuk. Cukup logis. X dapat berupa bilangan apa saja dari semua bilangan yang mungkin dari minus tak terhingga hingga dua. Double X tidak mungkin, itulah yang dikatakan kata itu kepada kita "tidak termasuk".

Di mana jawabannya itu "tidak termasuk"? Fakta ini dicatat dalam jawabannya. bulat kurung segera setelah deuce. Jika deuce disertakan, tanda kurungnya adalah kotak. Ini dia: ]. Contoh berikut menggunakan tanda kurung seperti itu.

Ayo tuliskan jawabannya: x ≥ -0,5 melalui interval:

x [-0,5; +∞)

Membaca: x termasuk dalam interval dari minus 0,5, termasuk, hingga plus tak terhingga.

Infinity tidak pernah bisa menyala. Itu bukan angka, itu simbol. Oleh karena itu, dalam entri seperti itu, infinity selalu berdampingan dengan tanda kurung.

Bentuk pencatatan ini cocok untuk jawaban kompleks yang terdiri dari beberapa celah. Tapi - hanya untuk jawaban akhir. Dalam hasil antara, di mana solusi lebih lanjut diharapkan, lebih baik menggunakan bentuk biasa, dalam bentuk pertidaksamaan sederhana. Kami akan menangani ini dalam topik yang relevan.

Tugas populer dengan ketidaksetaraan.

Pertidaksamaan linier itu sendiri sederhana. Oleh karena itu, tugas sering menjadi lebih sulit. Jadi, untuk berpikir itu perlu. Ini, jika karena kebiasaan, sangat tidak menyenangkan.) Tetapi ini berguna. Saya akan menunjukkan contoh tugas seperti itu. Bukan untuk Anda pelajari, itu berlebihan. Dan agar tidak takut jika bertemu dengan contoh serupa. Sedikit pemikiran - dan semuanya sederhana!)

1. Temukan dua solusi dari pertidaksamaan 3x - 3< 0

Jika tidak terlalu jelas apa yang harus dilakukan, ingat aturan utama matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa!

X < 1

Terus? Tidak ada yang spesial. Apa yang kita tanyakan? Kita diminta untuk menemukan dua bilangan spesifik yang merupakan solusi dari pertidaksamaan. Itu. cocok dengan jawabannya. Dua setiap angka. Sebenarnya, ini memalukan.) Beberapa 0 dan 0,5 cocok. Pasangan -3 dan -8. Ya, ada jumlah tak terbatas dari pasangan ini! Apa jawaban yang benar?!

Saya menjawab: semuanya! Setiap pasangan bilangan, yang masing-masing kurang dari satu, akan menjadi jawaban yang benar. Tulis apa yang Anda inginkan. Mari kita pergi lebih jauh.

2. Selesaikan pertidaksamaan:

4x - 3 ≠ 0

Pekerjaan seperti ini jarang terjadi. Tetapi, sebagai pertidaksamaan bantu, ketika menemukan ODZ, misalnya, atau ketika menemukan domain suatu fungsi, mereka ditemui sepanjang waktu. Pertidaksamaan linier seperti itu dapat diselesaikan sebagai persamaan linier biasa. Hanya di mana-mana, kecuali tanda "=" ( sama dengan) beri tanda " ≠ " (tidak sama). Jadi Anda akan sampai pada jawabannya, dengan tanda ketidaksetaraan:

X ≠ 0,75

Dalam contoh yang lebih kompleks, lebih baik melakukan sesuatu secara berbeda. Jadikan ketidaksetaraan sama. Seperti ini:

4x - 3 = 0

Selesaikan dengan tenang seperti yang diajarkan, dan dapatkan jawabannya:

x = 0,75

Hal utama, di bagian paling akhir, saat menuliskan jawaban akhir, jangan lupa bahwa kami telah menemukan x, yang memberikan persamaan. Dan kita perlu - ketidaksamaan. Oleh karena itu, kita tidak memerlukan X ini.) Dan kita perlu menuliskannya dengan ikon yang benar:

X ≠ 0,75

Pendekatan ini menghasilkan lebih sedikit kesalahan. Mereka yang memecahkan persamaan pada mesin. Dan bagi mereka yang tidak menyelesaikan persamaan, ketidaksetaraan, pada kenyataannya, tidak berguna ...) Contoh lain dari tugas populer:

3. Temukan solusi bilangan bulat terkecil dari pertidaksamaan:

3(x - 1) < 5x + 9

Pertama, kita selesaikan pertidaksamaannya. Kami membuka tanda kurung, mentransfer, memberikan yang serupa ... Kami mendapatkan:

X > - 6

Bukankah itu terjadi!? Apakah Anda mengikuti tanda-tandanya? Dan di balik tanda-tanda anggota, dan di balik tanda ketidaksetaraan ...

Mari kita bayangkan lagi. Kita perlu menemukan nomor tertentu yang cocok dengan jawaban dan kondisinya "bilangan bulat terkecil". Jika Anda tidak segera menyadarinya, Anda dapat mengambil nomor apa saja dan mencari tahu. Dua lebih besar dari minus enam? Tentu! Apakah ada nomor yang lebih kecil yang cocok? Tentu saja. Misalnya, nol lebih besar dari -6. Dan bahkan lebih sedikit? Kami membutuhkan sekecil mungkin! Minus tiga lebih dari minus enam! Anda sudah dapat menangkap polanya dan berhenti dengan bodohnya memilah angka, kan?)

Kami mengambil nomor lebih dekat ke -6. Misalnya, -5. Respons dieksekusi, -5 > - 6. Dapatkah kamu menemukan bilangan lain yang kurang dari -5 tetapi lebih besar dari -6? Anda dapat, misalnya, -5.5 ... Berhenti! Kami telah diberitahu utuh keputusan! Tidak menggulung -5.5! Bagaimana dengan minus enam? Eee! Ketimpangannya ketat, minus 6 tidak kurang dari minus 6!

Jadi jawaban yang benar adalah -5.

Saya harap semuanya jelas dengan pilihan nilai dari solusi umum. Contoh lain:

4. Selesaikan pertidaksamaan:

7 < 3x+1 < 13

Bagaimana! Ungkapan seperti itu disebut ketidaksetaraan tiga kali lipat. Sebenarnya, ini adalah notasi singkat dari sistem ketidaksetaraan. Tetapi Anda masih harus menyelesaikan ketidaksetaraan rangkap tiga dalam beberapa tugas ... Ini diselesaikan tanpa sistem apa pun. Dengan transformasi identik yang sama.

Perlu disederhanakan, bawa pertidaksamaan ini ke X murni. Tapi... Apa yang harus dipindahkan kemana!? Inilah saatnya untuk mengingat bahwa menggeser kiri-kanan adalah bentuk singkat transformasi identik pertama.

Dan bentuk lengkapnya seperti ini: Anda dapat menambah / mengurangi angka atau ekspresi apa pun ke kedua bagian persamaan (pertidaksamaan).

Ada tiga bagian di sini. Jadi kita akan menerapkan transformasi identik untuk ketiga bagian!

Jadi, mari kita singkirkan yang ada di bagian tengah ketidaksetaraan. Kurangi satu dari seluruh bagian tengah. Agar pertidaksamaan tidak berubah, kita kurangi satu dari dua bagian yang tersisa. Seperti ini:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Sudah lebih baik, kan?) Tetap membagi ketiga bagian menjadi tiga:

2 < X < 4

Itu saja. Ini adalah jawabannya. X dapat berupa angka dari dua (tidak termasuk) hingga empat (tidak termasuk). Jawaban ini juga ditulis pada interval, entri tersebut akan berada dalam ketidaksetaraan persegi. Di sana mereka adalah hal yang paling umum.

Di akhir pelajaran, saya akan mengulangi hal yang paling penting. Keberhasilan dalam memecahkan pertidaksamaan linier tergantung pada kemampuan untuk mengubah dan menyederhanakan persamaan linier. Jika pada saat yang sama mengikuti tanda pertidaksamaan, tidak akan ada masalah. Apa yang saya berharap Anda. tidak masalah.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Pertidaksamaan apa pun, yang mencakup fungsi di bawah akarnya, disebut irasional. Ada dua jenis ketidaksetaraan seperti itu:

Dalam kasus pertama, root lebih kecil dari fungsi g (x), dalam kasus kedua - lebih. Jika g(x) - konstan, ketidaksetaraan disederhanakan secara dramatis. Harap dicatat bahwa secara lahiriah ketidaksetaraan ini sangat mirip, tetapi skema solusinya pada dasarnya berbeda.

Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan ketidaksetaraan irasional dari tipe pertama - mereka adalah yang paling sederhana dan paling mudah dipahami. Tanda pertidaksamaan bisa ketat atau tidak ketat. Pernyataan berikut ini benar untuk mereka:

Dalil. Setiap ketidaksetaraan irasional dari bentuk

Setara dengan sistem pertidaksamaan:

Tidak lemah? Mari kita lihat dari mana sistem seperti itu berasal:

1. f (x) g 2 (x) - semuanya jelas di sini. Ini adalah kuadrat ketidaksetaraan asli;
2. f(x) 0 adalah ODZ dari root. Biarkan saya mengingatkan Anda: akar kuadrat aritmatika hanya ada dari non-negatif nomor;
3. g(x) 0 adalah rentang akar. Dengan mengkuadratkan ketidaksetaraan, kita membakar kontra. Akibatnya, akar ekstra mungkin muncul. Pertidaksamaan g (x) 0 memotongnya.

Banyak siswa "berputar-putar" pada pertidaksamaan pertama dari sistem: f (x) g 2 (x) - dan sama sekali melupakan dua lainnya. Hasilnya bisa ditebak: keputusan salah, poin hilang.

Karena ketidaksetaraan irasional adalah topik yang agak rumit, mari kita menganalisis 4 contoh sekaligus. Dari dasar hingga yang sangat kompleks. Semua tugas diambil dari ujian masuk Universitas Negeri Moskow. M.V. Lomonosov.

Contoh pemecahan masalah

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Kami memiliki klasik ketidaksetaraan irasional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 adalah konstanta. Kita punya:

Hanya dua dari tiga ketidaksetaraan yang tersisa pada akhir solusi. Karena pertidaksamaan 2 0 selalu berlaku. Mari kita potong pertidaksamaan yang tersisa:

Jadi, x [−1,5; 0,5]. Semua titik diarsir karena ketidaksetaraan tidak ketat.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Kami menerapkan teorema:

Kami memecahkan ketidaksetaraan pertama. Untuk melakukan ini, kami akan membuka kuadrat selisihnya. Kita punya:

2x 2 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 10x< 0;
x (x 10)< 0;
x (0; 10).

Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua. Di sana juga trinomial persegi:

2x 2 18x + 16 0;
x 2 9x + 8 0;
(x 8)(x 1) 0;
x (−∞; 1]∪∪∪∪)