Kuadrat suatu bilangan adalah hasil dari operasi matematika yang menaikkan bilangan tersebut ke pangkat dua, yaitu mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri satu kali. Merupakan kebiasaan untuk menunjuk operasi seperti itu sebagai berikut: Z2, di mana Z adalah nomor kami, 2 adalah tingkat "persegi". Artikel kami akan memberi tahu Anda cara menghitung kuadrat suatu angka.
Hitung persegi
Jika jumlahnya sederhana dan kecil, maka mudah untuk melakukannya baik dalam pikiran, atau menggunakan tabel perkalian, yang sudah dikenal oleh kita semua. Sebagai contoh:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Jika jumlahnya besar atau "besar", maka Anda dapat menggunakan tabel kuadrat yang dipelajari semua orang di sekolah, atau kalkulator. Sebagai contoh:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Juga, untuk mendapatkan hasil yang diinginkan dari dua contoh di atas, Anda dapat mengalikan angka-angka ini dalam sebuah kolom.
Untuk mendapatkan kuadrat dari pecahan apa pun, Anda harus:
- Ubah pecahan (jika pecahan memiliki bagian bilangan bulat atau jika itu desimal) menjadi pecahan biasa. Jika pecahannya benar, maka tidak ada yang perlu diterjemahkan.
- Kalikan penyebut dengan penyebut dan pembilang dengan pembilang pecahan.
Sebagai contoh:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Dalam salah satu opsi ini, cara termudah adalah menggunakan kalkulator. Untuk ini, Anda perlu:
- Ketik nomor di keyboard
- Klik tombol dengan tanda perkalian
- Tekan tombol dengan tanda "sama"
Anda juga selalu dapat menggunakan mesin pencari di Internet, seperti, misalnya, Google. Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu memasukkan kueri yang sesuai di bidang mesin pencari dan mendapatkan hasil yang sudah jadi.
Misalnya: untuk menghitung kuadrat dari angka 9,17, Anda perlu mengetikkan mesin pencari 9,17 * 9,17, atau 9,17 ^ 2, atau "9,17 kuadrat." Dalam salah satu opsi ini, mesin pencari akan memberi Anda hasil yang benar - 84.0889.
Sekarang Anda tahu cara menghitung kuadrat dari bilangan apa pun yang Anda minati, baik itu bilangan bulat atau pecahan, besar atau kecil!
Hari ini kita akan belajar cara cepat mengkuadratkan ekspresi besar tanpa kalkulator. Secara umum maksud saya angka antara sepuluh dan seratus. Ekspresi besar sangat jarang dalam masalah nyata, dan Anda sudah tahu cara menghitung nilai kurang dari sepuluh, karena ini adalah tabel perkalian biasa. Materi pelajaran hari ini akan berguna bagi siswa yang cukup berpengalaman, karena siswa pemula tidak akan menghargai kecepatan dan keefektifan teknik ini.
Untuk memulainya, mari kita pahami secara umum apa yang sedang kita bicarakan. Misalnya, saya mengusulkan untuk melakukan konstruksi ekspresi numerik arbitrer, seperti yang biasa kita lakukan. Katakanlah 34. Kami menaikkannya dengan mengalikan dirinya sendiri dengan kolom:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 adalah persegi 34.
Masalah metode ini dapat digambarkan dalam dua poin:
1) memerlukan pendaftaran tertulis;
2) sangat mudah melakukan kesalahan dalam proses perhitungan.
Hari ini kita akan belajar cara cepat mengalikan tanpa kalkulator, secara lisan dan praktis tanpa kesalahan.
Jadi mari kita mulai. Untuk bekerja, kita memerlukan rumus kuadrat dari jumlah dan selisih. Mari kita tuliskan:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Apa yang ini berikan kepada kita? Intinya adalah bahwa setiap nilai antara 10 dan 100 dapat direpresentasikan sebagai $a$, yang habis dibagi 10, dan $b$, yang merupakan sisa pembagian dengan 10.
Misalnya, 28 dapat direpresentasikan sebagai berikut:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
Demikian pula, kami menyajikan contoh yang tersisa:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Apa yang memberi kita ide seperti itu? Faktanya adalah bahwa dengan jumlah atau selisih, kita dapat menerapkan perhitungan di atas. Tentu saja, untuk mempersingkat perhitungan, untuk setiap elemen harus memilih ekspresi dengan suku kedua terkecil. Misalnya, dari opsi $20+8$ dan $30-2$, Anda harus memilih opsi $30-2$.
Demikian pula, kami memilih opsi untuk contoh lain:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Mengapa seseorang harus berusaha untuk mengurangi suku kedua dalam perkalian cepat? Ini semua tentang perhitungan awal kuadrat dari jumlah dan perbedaan. Faktanya adalah bahwa istilah plus atau minus $2ab$ adalah yang paling sulit untuk dihitung ketika memecahkan masalah nyata. Dan jika faktor $a$, kelipatan 10, selalu mudah dikalikan, maka dengan faktor $b$ yang merupakan bilangan yang berkisar dari satu sampai sepuluh, banyak siswa yang sering mengalami kesulitan.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Jadi dalam tiga menit kami melakukan perkalian delapan contoh. Ini kurang dari 25 detik per ekspresi. Pada kenyataannya, setelah sedikit latihan, Anda akan menghitung lebih cepat. Anda tidak perlu lebih dari lima atau enam detik untuk menghitung ekspresi dua digit.
Tapi itu tidak semua. Bagi mereka yang tidak berpikir teknik yang ditampilkan cukup cepat dan tidak cukup keren, saya menawarkan metode perkalian yang lebih cepat, yang, bagaimanapun, tidak bekerja untuk semua tugas, tetapi hanya untuk yang berbeda satu dari kelipatan 10. Ada empat nilai seperti itu dalam pelajaran kita: 51, 21, 81 dan 39.
Tampaknya jauh lebih cepat, kami sudah menghitungnya secara harfiah dalam beberapa baris. Tetapi, pada kenyataannya, adalah mungkin untuk mempercepat, dan ini dilakukan sebagai berikut. Kami menuliskan nilainya, kelipatan sepuluh, yang paling dekat dengan yang diinginkan. Sebagai contoh, mari kita ambil 51. Oleh karena itu, untuk memulai, kita akan menaikkan lima puluh:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Nilai yang merupakan kelipatan sepuluh jauh lebih mudah dikuadratkan. Dan sekarang kita cukup menambahkan lima puluh dan 51 ke ekspresi aslinya.Jawabannya akan sama:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
Begitu juga dengan semua angka yang berbeda satu.
Jika nilai yang kita cari lebih besar dari yang kita pikirkan, maka kita menambahkan angka ke kuadrat yang dihasilkan. Jika angka yang diinginkan lebih kecil, seperti dalam kasus 39, maka saat melakukan tindakan, nilainya harus dikurangi dari kuadrat. Mari kita berlatih tanpa menggunakan kalkulator:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Seperti yang Anda lihat, dalam semua kasus jawabannya sama. Selain itu, teknik ini berlaku untuk setiap nilai yang berdekatan. Sebagai contoh:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
Pada saat yang sama, kita tidak perlu mengingat perhitungan kuadrat dari jumlah dan selisih sama sekali dan menggunakan kalkulator. Kecepatan kerja tak terpuji. Oleh karena itu, ingatlah, amalkan dan gunakan dalam amalan.
Poin-poin penting
Dengan menggunakan teknik ini, Anda dapat dengan mudah mengalikan bilangan asli apa pun mulai dari 10 hingga 100. Selain itu, semua perhitungan dilakukan secara lisan, tanpa kalkulator dan bahkan tanpa kertas!
Pertama, ingat kuadrat nilai yang merupakan kelipatan 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\akhir(sejajarkan)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4)))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\akhir(sejajarkan)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\akhir(sejajarkan)\]
Bagaimana cara menghitung lebih cepat
Tapi itu tidak semua! Dengan menggunakan ungkapan-ungkapan ini, Anda dapat langsung mengkuadratkan angka-angka yang "berdekatan" dengan angka referensi. Misalnya, kita tahu 152 (nilai referensi), tetapi kita perlu menemukan 142 (angka yang berdekatan yang kurang satu dari referensi). Mari menulis:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\akhir(sejajarkan)\]
Harap dicatat: tidak ada mistisisme! Kuadrat angka-angka yang berbeda dengan 1 memang diperoleh dengan mengalikan angka referensi sendiri dengan mengurangi atau menambahkan dua nilai:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\akhir(sejajarkan)\]
Mengapa ini terjadi? Mari kita tuliskan rumus kuadrat dari jumlah (dan selisih). Biarkan $n$ menjadi nilai referensi kami. Kemudian mereka menghitung seperti ini:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- ini adalah rumusnya.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(selaras)\]
- rumus serupa untuk angka yang lebih besar dari 1.
Saya harap teknik ini akan menghemat waktu Anda pada semua tes dan ujian penting dalam matematika. Dan itu semua untukku. Sampai jumpa!
Rumus perkalian yang disingkat.
Mempelajari rumus untuk perkalian yang disingkat: kuadrat dari jumlah dan kuadrat dari selisih dua ekspresi; perbedaan kuadrat dari dua ekspresi; pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisih dua ekspresi; jumlah dan perbedaan pangkat tiga dari dua ekspresi.
Penerapan rumus perkalian disingkat saat memecahkan contoh.
Untuk menyederhanakan ekspresi, memfaktorkan polinomial, dan mereduksi polinomial ke bentuk standar, digunakan rumus perkalian yang disingkat. Rumus perkalian singkat yang perlu Anda hafal.
Misalkan a, b R. Maka:
1. Kuadrat jumlah dua ekspresi adalah kuadrat dari ekspresi pertama ditambah dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kuadrat selisih dua ekspresi adalah kuadrat dari ekspresi pertama dikurangi dua kali produk dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah kuadrat dari ekspresi kedua.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Selisih kuadrat dua ekspresi sama dengan produk dari perbedaan ekspresi ini dan jumlah mereka.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. jumlah kubus dari dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama ditambah tiga kali kuadrat dari ekspresi pertama kali yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama kali kuadrat dari yang kedua ditambah pangkat tiga dari ekspresi kedua.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. perbedaan kubus dari dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama dikurangi tiga kali produk kuadrat dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah tiga kali produk dari ekspresi pertama dan kuadrat dari kedua dikurangi pangkat tiga dari ekspresi kedua.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. jumlah kubus dua ekspresi sama dengan produk dari jumlah ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari perbedaan ekspresi ini.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. perbedaan kubus dari dua ekspresi sama dengan produk dari perbedaan ekspresi pertama dan kedua dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah ekspresi ini.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Penerapan rumus perkalian disingkat saat memecahkan contoh.
Contoh 1
Menghitung
a) Dengan menggunakan rumus kuadrat dari jumlah dua ekspresi, kita memperoleh
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Menggunakan rumus untuk perbedaan kuadrat dari dua ekspresi, kita memperoleh
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Contoh 2
Menghitung
Menggunakan rumus untuk perbedaan kuadrat dari dua ekspresi, kita memperoleh
Contoh 3
Sederhanakan Ekspresi
(x - y) 2 + (x + y) 2
Kami menggunakan rumus untuk kuadrat jumlah dan kuadrat selisih dua ekspresi
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Rumus perkalian yang disingkat dalam satu tabel:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
