Dengan program matematika ini Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.
Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi dalam dua cara:
- menggunakan diskriminan
- menggunakan teorema Vieta (jika mungkin).
Selain itu, jawabannya ditampilkan tepat, bukan perkiraan.
Misalnya, untuk persamaan \(81x^2-16x-1=0\), jawabannya ditampilkan dalam bentuk ini:
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.
Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan polinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.
Aturan untuk memasukkan polinomial persegi
Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.
Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dari bilangan bulat dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, ketika memecahkan persamaan kuadrat, ekspresi yang diperkenalkan pertama kali disederhanakan.
Misalnya: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Memutuskan
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Persamaan kuadrat tidak lengkap
Masing-masing persamaan
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
memiliki bentuk
\(ax^2+bx+c=0, \)
dimana x adalah variabel, a, b dan c adalah bilangan.
Pada persamaan pertama a = -1, b = 6 dan c = 1,4, pada persamaan kedua a = 8, b = -7 dan c = 0, pada persamaan ketiga a = 1, b = 0 dan c = 4/9. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat.
Definisi.
persamaan kuadrat disebut persamaan bentuk ax 2 +bx+c=0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah beberapa bilangan, dan \(a \neq 0 \).
Angka a, b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat. Angka a disebut koefisien pertama, angka b adalah koefisien kedua dan angka c adalah intersep.
Dalam setiap persamaan berbentuk ax 2 +bx+c=0, di mana \(a \neq 0 \), pangkat terbesar dari variabel x adalah persegi. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.
Perhatikan bahwa persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sisi kirinya adalah polinomial derajat kedua.
Persamaan kuadrat di mana koefisien pada x 2 adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Misalnya, persamaan kuadrat yang diberikan adalah persamaan
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Jika dalam persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 paling sedikit salah satu koefisien b atau c sama dengan nol, maka persamaan tersebut disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi, persamaan -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap. Yang pertama b=0, yang kedua c=0, yang ketiga b=0 dan c=0.
Persamaan kuadrat tidak lengkap terdiri dari tiga jenis:
1) ax 2 +c=0, di mana \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, di mana \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Pertimbangkan solusi persamaan dari masing-masing jenis ini.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +c=0 untuk \(c \neq 0 \), suku bebasnya dipindahkan ke ruas kanan dan kedua bagian persamaan dibagi dengan a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Panah kanan x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Karena \(c \neq 0 \), maka \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Jika \(-\frac(c)(a)>0 \), maka persamaan tersebut memiliki dua akar.
Jika \(-\frac(c)(a) Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) faktorkan ruas kirinya dan dapatkan persamaan
\(x(ax+b)=0 \Panah kanan \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \kanan. \)
Oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 +bx=0 untuk \(b \neq 0 \) selalu memiliki dua akar.
Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk ax 2 \u003d 0 setara dengan persamaan x 2 \u003d 0 dan karenanya memiliki satu akar 0.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat
Sekarang mari kita perhatikan bagaimana persamaan kuadrat diselesaikan di mana kedua koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol.
Kami memecahkan persamaan kuadrat dalam bentuk umum dan sebagai hasilnya kami memperoleh rumus akar. Kemudian rumus ini dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.
Selesaikan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0
Membagi kedua bagiannya dengan a, kita memperoleh persamaan kuadrat tereduksi yang setara
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Kami mengubah persamaan ini dengan menyorot kuadrat binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Panah kanan \)
Ekspresi akar disebut diskriminan persamaan kuadrat ax 2 +bx+c=0 (“diskriminan” dalam bahasa Latin - pembeda). Dilambangkan dengan huruf D, yaitu
\(D = b^2-4ac\)
Sekarang, dengan menggunakan notasi diskriminan, kami menulis ulang rumus untuk akar persamaan kuadrat:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), di mana \(D= b^2-4ac \)
Jelas bahwa:
1) Jika D>0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar.
2) Jika D=0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jika D Jadi, tergantung pada nilai diskriminan, persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar (untuk D > 0), satu akar (untuk D = 0) atau tidak ada akar (untuk D Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ini , disarankan untuk melakukan cara berikut:
1) menghitung diskriminan dan membandingkannya dengan nol;
2) jika diskriminan positif atau sama dengan nol, maka gunakan rumus akar, jika diskriminan negatif, maka tuliskan bahwa tidak ada akar.
teorema Vieta
Persamaan kuadrat yang diberikan ax 2 -7x+10=0 memiliki akar 2 dan 5. Jumlah akar adalah 7, dan produk adalah 10. Kita melihat bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua, diambil dengan berlawanan tanda, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya. Setiap persamaan kuadrat tereduksi yang memiliki akar memiliki sifat ini.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas.
Itu. Teorema Vieta menyatakan bahwa akar x 1 dan x 2 dari persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 memiliki sifat:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Saya harap setelah mempelajari artikel ini, Anda akan belajar cara menemukan akar persamaan kuadrat lengkap.
Dengan bantuan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, metode lain digunakan, yang akan Anda temukan di artikel "Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap".
Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Anda perlu menghitung diskriminan D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Bergantung pada nilai apa yang dimiliki pembeda, kami akan menuliskan jawabannya.
Jika diskriminan adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.
Jika diskriminan adalah nol, maka x \u003d (-b) / 2a. Jika diskriminan adalah bilangan positif (D > 0),
maka x 1 = (-b - D)/2a, dan x 2 = (-b + D)/2a.
Sebagai contoh. selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Jawaban: 2.
Selesaikan Persamaan 2 x 2 +x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Jawaban: tidak ada akar.
Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - 81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + 81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Jawaban: - 3.5; satu.
Jadi mari kita bayangkan solusi persamaan kuadrat lengkap dengan skema pada Gambar 1.
Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan ditulis sebagai polinomial bentuk standar
sebuah x 2 + bx + c, jika tidak, Anda dapat membuat kesalahan. Misalnya, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda dapat salah menentukan bahwa
a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dan kemudian persamaan memiliki dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat contoh 2 solusi di atas).
Oleh karena itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bentuk standar, pertama-tama persamaan kuadrat lengkap harus ditulis sebagai polinomial bentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus di tempat pertama, yaitu sebuah x 2 , maka dengan lebih sedikit – bx, dan kemudian istilah bebasnya dengan.
Saat menyelesaikan persamaan kuadrat di atas dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk suku kedua, rumus lain juga dapat digunakan. Mari berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadrat penuh dengan suku kedua koefisiennya genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 2.
Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisien di x 2 sama dengan satu dan persamaan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk diselesaikan, atau diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisien sebuah berdiri di x 2 .
Gambar 3 menunjukkan diagram solusi kuadrat tereduksi 
persamaan. Perhatikan contoh penerapan rumus yang dibahas dalam artikel ini.
Contoh. selesaikan persamaannya
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada Gambar 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
D = 108 = (36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- (3))) / 6 \u003d -1 - 3
x 2 \u003d (-6 + 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + (3))) / 6 \u003d -1 + 3
Jawaban: -1 - 3; -1 + 3
Anda dapat melihat bahwa koefisien di x dalam persamaan ini adalah bilangan genap, yaitu b \u003d 6 atau b \u003d 2k, dari mana k \u003d 3. Kemudian mari kita coba menyelesaikan persamaan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram gambar D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
(D 1) = 27 = (9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - (3))) / 3 \u003d - 1 - 3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + (3))) / 3 \u003d - 1 + 3
Jawaban: -1 - 3; -1 + 3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dibagi, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x - 2 = 0 Kita selesaikan persamaan ini menggunakan rumus untuk persamaan kuadrat tereduksi 
persamaan gambar 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
(D 2) = 12 = (4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - (3))) / 2 \u003d - 1 - 3
x 2 \u003d (-2 + 2 3) / 2 \u003d (2 (-1 + (3))) / 2 \u003d - 1 + 3
Jawaban: -1 - 3; -1 + 3.
Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai dengan baik rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 1, Anda selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.
blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Rumus untuk akar persamaan kuadrat. Kasus-kasus akar nyata, ganda dan kompleks dipertimbangkan. Faktorisasi trinomial persegi. Interpretasi geometris. Contoh menentukan akar dan faktorisasi.
Rumus dasar
Perhatikan persamaan kuadrat:
(1)
.
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
;
.
Rumus-rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Ketika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai produk dari faktor-faktor (difaktorkan):
.
Selanjutnya, kita asumsikan bahwa adalah bilangan real.
Mempertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminan positif, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar real yang berbeda:
;
.
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminan negatif, maka persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah unit imajiner, ;
dan merupakan bagian real dan imajiner dari akar:
;
.
Kemudian
.
Interpretasi grafis
Jika kita membuat grafik fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik dengan sumbu akan menjadi akar-akar persamaan
.
Ketika , grafik memotong sumbu absis (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Ketika , grafik tidak memotong sumbu x.
Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.
Rumus Berguna Terkait dengan Persamaan Kuadrat
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat
Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):
,
di mana
;
.
Jadi, kami mendapat rumus untuk polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Dari sini dapat diketahui bahwa persamaan
dilakukan pada
dan .
Yaitu, dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat
.
Contoh menentukan akar persamaan kuadrat
Contoh 1
(1.1)
.
Keputusan
.
Dibandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Karena diskriminan positif, persamaan memiliki dua akar real:
;
;
.
Dari sini kita peroleh dekomposisi trinomial kuadrat menjadi faktor-faktor:
.
Grafik fungsi y = 2x2 + 7x + 3 memotong sumbu x di dua titik.
Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Ini melintasi sumbu x (sumbu) di dua titik:
dan .
Titik-titik ini adalah akar dari persamaan asli (1.1).
Menjawab
;
;
.
Contoh 2
Cari akar-akar persamaan kuadrat:
(2.1)
.
Keputusan
Kami menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan asli (2.1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Karena diskriminan adalah nol, persamaan memiliki dua akar kelipatan (sama):
;
.
Maka faktorisasi trinomial tersebut berbentuk:
.
Grafik fungsi y = x 2 - 4x + 4 menyentuh sumbu x di satu titik.
Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) pada satu titik:
.
Titik ini adalah akar dari persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu disebut kelipatan. Artinya, mereka menganggap bahwa ada dua akar yang sama:
.
Menjawab
;
.
Contoh 3
Cari akar-akar persamaan kuadrat:
(3.1)
.
Keputusan
Kami menulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1)
.
Mari kita tulis ulang persamaan aslinya (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kami menemukan nilai koefisien:
.
Menemukan diskriminan:
.
Diskriminannya negatif, . Oleh karena itu, tidak ada akar nyata.
Anda dapat menemukan akar kompleks:
;
;
.
Kemudian
.
Grafik fungsi tidak memotong sumbu x. Tidak ada akar nyata.
Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini berbentuk parabola. Itu tidak melewati absis (sumbu). Oleh karena itu, tidak ada akar nyata.
Menjawab
Tidak ada akar nyata. Akar kompleks:
;
;
.
Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya
10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Kepala: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
guru matematika
s.Kopyevo, 2007
1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat
1.1 Persamaan kuadrat di Babel kuno
1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat
1.3 Persamaan kuadrat di India
1.4 Persamaan kuadrat dalam al-Khawarizmi
1.5 Persamaan kuadrat di Eropa Abad XIII - XVII
1.6 Tentang teorema Vieta
2. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Kesimpulan
literatur
1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat
1.1 Persamaan kuadrat di Babel kuno
Kebutuhan untuk memecahkan persamaan tidak hanya dari yang pertama, tetapi juga dari tingkat kedua di zaman kuno disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan menemukan bidang tanah dan pekerjaan tanah yang bersifat militer, serta perkembangan astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat mampu memecahkan sekitar 2000 SM. e. Babilonia.
Menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks runcing mereka, selain yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Aturan untuk memecahkan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babilonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang modern, tetapi tidak diketahui bagaimana Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan masalah dengan solusi yang dinyatakan dalam bentuk resep, tanpa menunjukkan bagaimana mereka ditemukan.
Meskipun perkembangan aljabar tingkat tinggi di Babel, teks-teks runcing tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk memecahkan persamaan kuadrat.
1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan memecahkan persamaan kuadrat.
Aritmatika Diophantus tidak memuat eksposisi sistematis aljabar, tetapi memuat rangkaian masalah yang sistematis, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merumuskan persamaan berbagai derajat.
Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.
Di sini, misalnya, adalah salah satu tugasnya.
Tugas 11."Temukan dua angka yang mengetahui bahwa jumlah mereka adalah 20 dan produk mereka adalah 96"
Diophantus berpendapat sebagai berikut: mengikuti dari kondisi masalah bahwa angka yang diinginkan tidak sama, karena jika mereka sama, maka produk mereka tidak akan sama dengan 96, tetapi dengan 100. Dengan demikian, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu . 10+x, yang lainnya lebih kecil, yaitu 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x .
Oleh karena itu persamaan:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Dari sini x = 2. Salah satu nomor yang diinginkan adalah 12 , lainnya 8 . Keputusan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengetahui bilangan positif.
Jika kita memecahkan masalah ini dengan memilih salah satu angka yang diinginkan sebagai yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada solusi persamaan
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Jelas bahwa Diophantus menyederhanakan solusi dengan memilih setengah selisih dari angka yang diinginkan sebagai yang tidak diketahui; ia berhasil mengurangi masalah menjadi penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap (1).
1.3 Persamaan kuadrat di India
Masalah untuk persamaan kuadrat sudah ditemukan di saluran astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan aturan umum untuk memecahkan persamaan kuadrat yang direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:
ah 2+ b x = c, a > 0. (1)
Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali untuk sebuah, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan kita.
Di India kuno, kompetisi publik dalam memecahkan masalah sulit adalah hal biasa. Dalam salah satu buku India kuno, berikut ini dikatakan tentang kompetisi semacam itu: “Seperti halnya matahari menyinari bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang yang terpelajar akan lebih cemerlang dari kemuliaan orang lain dalam pertemuan-pertemuan publik, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Tugas sering didandani dalam bentuk puitis.
Inilah salah satu masalah matematikawan India terkenal abad XII. Bhaskara.
Tugas 13.
“Kawanan monyet yang lincah Dan dua belas di tanaman merambat ...
Setelah makan kekuatan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, menggantung ...
Bagian delapan dari mereka di kotak Berapa banyak monyet di sana,
Bersenang-senang di padang rumput. Anda memberitahu saya, dalam kawanan ini?
Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia tahu tentang akar persamaan kuadrat dua nilai (Gbr. 3).
Persamaan yang sesuai dengan masalah 13 adalah:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara menulis dengan kedok:
x 2 - 64x = -768
dan, untuk melengkapi sisi kiri persamaan ini menjadi persegi, ia menjumlahkan kedua sisinya 32 2 , diperoleh maka:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Persamaan kuadrat di al-Khorezmi
Risalah aljabar Al-Khorezmi memberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis membuat daftar 6 jenis persamaan, yang menyatakannya sebagai berikut:
1) "Persegi sama dengan akar", mis. sumbu 2 + c = b X.
2) "Persegi sama dengan angka", mis. sumbu 2 = s.
3) "Akar sama dengan angka", mis. ah = s.
4) "Kuadrat dan angka sama dengan akar", mis. sumbu 2 + c = b X.
5) "Kuadrat dan akar sama dengan angka", mis. ah 2+ bx = s.
6) "Akar dan angka sama dengan kuadrat", mis. bx + c \u003d kapak 2.
Bagi al-Khawarizmi, yang menghindari penggunaan bilangan negatif, suku-suku dari masing-masing persamaan ini adalah penjumlahan, bukan pengurangan. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis menguraikan metode penyelesaian persamaan tersebut, dengan menggunakan metode al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sesuai dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahwa itu murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari tipe pertama
al-Khorezmi, seperti semua matematikawan sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena itu tidak penting dalam masalah praktis tertentu. Ketika memecahkan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk memecahkan, dan kemudian bukti geometris, menggunakan contoh numerik tertentu.
Tugas 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (dengan asumsi akar persamaan x 2 + 21 = 10x).
Solusi penulis berjalan seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan dirinya sendiri, kurangi 21 dari produk, 4. Ambil akar 4, Anda dapatkan 2. Kurangi 2 dari 5, Anda dapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 hingga 5, yang akan menghasilkan 7, ini juga merupakan root.
Risalah al - Khorezmi adalah buku pertama yang sampai kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadrat dinyatakan secara sistematis dan formula untuk solusinya diberikan.
1.5 Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XVII abad
Rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat pada model al - Khorezmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun Yunani Kuno, dibedakan oleh kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa contoh aljabar baru untuk pemecahan masalah dan merupakan orang pertama di Eropa yang mendekati pengenalan bilangan negatif. Bukunya berkontribusi pada penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Prancis, dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak tugas dari "Book of the Abacus" masuk ke hampir semua buku teks Eropa abad ke-16 - ke-17. dan sebagian XVIII.
Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:
x 2+ bx = dengan,
untuk semua kemungkinan kombinasi tanda-tanda koefisien b , dengan diformulasikan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.
Vieta memiliki turunan umum dari rumus untuk memecahkan persamaan kuadrat, tetapi Vieta hanya mengenali akar positif. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama di abad ke-16. Memperhitungkan, selain akar positif, dan negatif. Hanya di abad XVII. Berkat karya Girard, Descartes, Newton, dan ilmuwan lain, cara menyelesaikan persamaan kuadrat menjadi modern.
1.6 Tentang teorema Vieta
Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akarnya, dengan nama Vieta, dirumuskan olehnya untuk pertama kalinya pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D dikalikan dengan A - A 2 , sama dengan BD, kemudian A sama dengan PADA dan sama D ».
Untuk memahami Vieta, seseorang harus ingat itu TETAPI, seperti vokal apa pun, berarti baginya yang tidak diketahui (kami X), vokal PADA, D- koefisien untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas berarti: jika
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Mengekspresikan hubungan antara akar dan koefisien persamaan dengan rumus umum yang ditulis menggunakan simbol, Viet menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Vieta masih jauh dari bentuk modernnya. Dia tidak mengenali bilangan negatif, dan karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus di mana semua akarnya positif.
2. Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah fondasi tempat berdirinya bangunan aljabar yang megah. Persamaan kuadrat banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritmik, irasional, dan transendental. Kita semua tahu bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) sampai lulus.
Saya harap setelah mempelajari artikel ini, Anda akan belajar cara menemukan akar persamaan kuadrat lengkap.
Dengan bantuan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap, metode lain digunakan, yang akan Anda temukan di artikel "Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap".
Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, Anda perlu menghitung diskriminan D.
D \u003d b 2 - 4ac.
Bergantung pada nilai apa yang dimiliki pembeda, kami akan menuliskan jawabannya.
Jika diskriminan adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.
Jika diskriminan adalah nol, maka x \u003d (-b) / 2a. Jika diskriminan adalah bilangan positif (D > 0),
maka x 1 = (-b - D)/2a, dan x 2 = (-b + D)/2a.
Sebagai contoh. selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.
D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x = (- (-4))/2 = 2
Jawaban: 2.
Selesaikan Persamaan 2 x 2 +x + 3 = 0.
D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
Jawaban: tidak ada akar.
Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x - 7 = 0.
D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - 81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5
x 2 \u003d (-5 + 81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
Jawaban: - 3.5; satu.
Jadi mari kita bayangkan solusi persamaan kuadrat lengkap dengan skema pada Gambar 1.
Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap. Anda hanya perlu berhati-hati untuk persamaan ditulis sebagai polinomial bentuk standar
sebuah x 2 + bx + c, jika tidak, Anda dapat membuat kesalahan. Misalnya, dalam menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda dapat salah menentukan bahwa
a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka
D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 dan kemudian persamaan memiliki dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat contoh 2 solusi di atas).
Oleh karena itu, jika persamaan tidak ditulis sebagai polinomial bentuk standar, pertama-tama persamaan kuadrat lengkap harus ditulis sebagai polinomial bentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus di tempat pertama, yaitu sebuah x 2 , maka dengan lebih sedikit – bx, dan kemudian istilah bebasnya dengan.
Saat menyelesaikan persamaan kuadrat di atas dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap untuk suku kedua, rumus lain juga dapat digunakan. Mari berkenalan dengan formula ini. Jika dalam persamaan kuadrat penuh dengan suku kedua koefisiennya genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 2.
Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisien di x 2 sama dengan satu dan persamaan mengambil bentuk x 2 + px + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk diselesaikan, atau diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisien sebuah berdiri di x 2 .
Gambar 3 menunjukkan diagram solusi kuadrat tereduksi persamaan. Perhatikan contoh penerapan rumus yang dibahas dalam artikel ini.
Contoh. selesaikan persamaannya
3x 2 + 6x - 6 = 0.
Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada Gambar 1.
D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
D = 108 = (36 3) = 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- (3))) / 6 \u003d -1 - 3
x 2 \u003d (-6 + 6 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + (3))) / 6 \u003d -1 + 3
Jawaban: -1 - 3; -1 + 3
Anda dapat melihat bahwa koefisien di x dalam persamaan ini adalah bilangan genap, yaitu b \u003d 6 atau b \u003d 2k, dari mana k \u003d 3. Kemudian mari kita coba menyelesaikan persamaan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram gambar D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27
(D 1) = 27 = (9 3) = 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - (3))) / 3 \u003d - 1 - 3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + (3))) / 3 \u003d - 1 + 3
Jawaban: -1 - 3; -1 + 3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dibagi, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x - 2 = 0 Kita selesaikan persamaan ini menggunakan rumus untuk persamaan kuadrat tereduksi persamaan gambar 3.
D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
(D 2) = 12 = (4 3) = 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - (3))) / 2 \u003d - 1 - 3
x 2 \u003d (-2 + 2 3) / 2 \u003d (2 (-1 + (3))) / 2 \u003d - 1 + 3
Jawaban: -1 - 3; -1 + 3.
Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai dengan baik rumus yang ditunjukkan pada diagram Gambar 1, Anda selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
