Pecahan disebut benar jika pangkat tertinggi pembilangnya lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebutnya. Integral pecahan rasional murni berbentuk:
$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Rumus pengintegralan pecahan rasional bergantung pada akar polinomial penyebutnya. Jika polinomial $ ax^2+bx+c $ memiliki:
- Hanya akar kompleks, maka perlu untuk memilih kuadrat penuh darinya: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
- Beda akar real $ x_1 $ dan $ x_2 $, maka Anda perlu memperluas integral dan mencari koefisien tak tentu $ A $ dan $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
- Satu akar kelipatan $ x_1 $, kemudian kita perluas integralnya dan cari koefisien tak tentu $ A $ dan $ B $ untuk rumus ini: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$
Jika pecahannya adalah salah, yaitu derajat tertinggi pada pembilangnya lebih besar atau sama dengan derajat tertinggi penyebutnya, maka terlebih dahulu harus direduksi menjadi benar pikiran dengan membagi polinomial dari pembilang dengan polinomial dari penyebut. Dalam hal ini, rumus untuk mengintegrasikan pecahan rasional adalah:
$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$
Contoh solusi
| Contoh 1 |
| Mencari integral pecahan rasional: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$ |
| Keputusan |
|
Pecahan beraturan dan polinomial hanya memiliki akar kompleks. Oleh karena itu, kami memilih kotak penuh: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Kami menciutkan kuadrat penuh dan menjumlahkan di bawah tanda diferensial $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Dengan menggunakan tabel integral, kita peroleh: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi rinci. Anda akan dapat membiasakan diri dengan kemajuan perhitungan dan mengumpulkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan kredit dari guru tepat waktu! |
| Menjawab |
| $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ |
| Contoh 2 |
| Integralkan pecahan rasional: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$ |
| Keputusan |
|
Memecahkan persamaan kuadrat: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Mari kita tuliskan akarnya: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Dengan mempertimbangkan akar yang diperoleh, kami mengubah integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Kami melakukan ekspansi fraksi rasional: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Samakan pembilangnya dan temukan koefisien $ A $ dan $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Kapak + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(cases) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(cases) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ Kami mengganti koefisien yang ditemukan ke dalam integral dan menyelesaikannya: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
| Menjawab |
| $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$ |
Seperti yang telah saya catat, dalam kalkulus integral tidak ada rumus yang sesuai untuk mengintegrasikan pecahan. Dan karena itu, ada tren yang menyedihkan: semakin "mewah" pecahan, semakin sulit untuk menemukan integral darinya. Dalam hal ini, seseorang harus menggunakan berbagai trik, yang sekarang akan saya bahas. Pembaca yang siap dapat segera menggunakan Daftar isi:
- Cara menjumlahkan di bawah tanda diferensial untuk pecahan sederhana
Metode Transformasi Buatan Numerator
Contoh 1
Omong-omong, integral yang dipertimbangkan juga dapat diselesaikan dengan perubahan metode variabel, yang dinotasikan , tetapi penyelesaiannya akan lebih lama.
Contoh 2
Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.
Ini adalah contoh do-it-yourself. Perlu dicatat bahwa di sini metode penggantian variabel tidak akan berfungsi lagi.
Perhatian penting! Contoh No. 1, 2 adalah tipikal dan umum. Secara khusus, integral seperti itu sering muncul dalam penyelesaian integral lain, khususnya, ketika mengintegrasikan fungsi irasional (akar).
Metode di atas juga berfungsi dalam kasus ini jika pangkat tertinggi pembilangnya lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya.
Contoh 3
Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.
Mari kita mulai dengan pembilangnya.
Algoritma pemilihan pembilang adalah seperti ini:
1) Di pembilang saya perlu mengatur , tapi ada . Apa yang harus dilakukan? Saya lampirkan dalam tanda kurung dan kalikan dengan: .
2) Sekarang saya mencoba membuka tanda kurung ini, apa yang terjadi? . Hmm… sudah lebih baik, tapi tidak ada deuce dengan awalnya di pembilangnya. Apa yang harus dilakukan? Anda perlu mengalikan dengan:
3) Membuka kurung lagi: . Dan inilah kesuksesan pertama! Dibutuhkan ternyata! Tapi masalahnya adalah istilah tambahan telah muncul. Apa yang harus dilakukan? Agar ekspresi tidak berubah, saya harus menambahkan hal yang sama ke konstruksi saya: 
. Hidup menjadi lebih mudah. Apakah mungkin untuk mengatur lagi di pembilang?
4) Anda bisa. Kita coba: 
. Perluas tanda kurung dari suku kedua: 
. Maaf, tapi sebenarnya saya sudah di langkah sebelumnya, dan tidak . Apa yang harus dilakukan? Kita perlu mengalikan suku kedua dengan: 
5) Sekali lagi, untuk verifikasi, saya membuka tanda kurung di term kedua: 
. Sekarang sudah biasa: diperoleh dari konstruksi akhir paragraf 3! Tetapi sekali lagi ada "tetapi" kecil, istilah tambahan telah muncul, yang berarti bahwa saya harus menambahkan ekspresi saya: 
Jika semuanya dilakukan dengan benar, maka saat membuka semua kurung, kita harus mendapatkan pembilang asli dari integran. Kami memeriksa:
Bagus.
Dengan demikian: 
Siap. Dalam istilah terakhir, saya menerapkan metode membawa fungsi di bawah diferensial.
Jika kita menemukan turunan dari jawabannya dan membawa ekspresi ke penyebut yang sama, maka kita mendapatkan integran aslinya dengan tepat. Metode ekspansi yang dipertimbangkan menjadi jumlah tidak lebih dari tindakan terbalik untuk membawa ekspresi ke penyebut yang sama.
Algoritme pemilihan pembilang dalam contoh seperti itu paling baik dilakukan pada draf. Dengan beberapa keterampilan, itu juga akan bekerja secara mental. Saya ingat catatan waktu ketika saya melakukan seleksi untuk kekuatan ke-11, dan perluasan pembilang mengambil hampir dua baris Werd.
Contoh 4
Temukan integral tak tentu. Jalankan cek.
Ini adalah contoh do-it-yourself.
Cara menjumlahkan di bawah tanda diferensial untuk pecahan sederhana
Mari kita beralih ke jenis pecahan berikutnya.
, , , (koefisien dan tidak sama dengan nol).
Faktanya, beberapa kasus dengan arcsine dan arctangent telah dimasukkan ke dalam pelajaran Metode perubahan variabel dalam integral tak tentu. Contoh-contoh tersebut diselesaikan dengan membawa fungsi di bawah tanda diferensial dan kemudian mengintegrasikan menggunakan tabel. Berikut adalah beberapa contoh yang lebih umum dengan logaritma panjang dan tinggi:
Contoh 5
Contoh 6
Di sini disarankan untuk mengambil tabel integral dan mengikuti rumus dan sebagai transformasi terjadi. Catatan, bagaimana dan mengapa kotak disorot dalam contoh-contoh ini. Khususnya, dalam Contoh 6, pertama-tama kita harus menyatakan penyebutnya sebagai 
, kemudian bawa di bawah tanda diferensial. Dan Anda perlu melakukan semua ini untuk menggunakan rumus tabel standar 
.
Tapi apa yang harus dilihat, coba selesaikan sendiri contoh No. 7,8, terutama karena cukup singkat:
Contoh 7
Contoh 8
Tentukan integral tak tentu:
Jika Anda juga dapat memeriksa contoh-contoh ini, maka rasa hormat yang besar adalah keterampilan diferensiasi Anda yang terbaik.
Metode pemilihan kotak penuh
Integral bentuk , 
(koefisien dan tidak sama dengan nol) diselesaikan metode pemilihan kotak penuh, yang sudah muncul di pelajaran Transformasi Plot Geometris.
Faktanya, integral tersebut direduksi menjadi salah satu dari empat integral tabel yang baru saja kita bahas. Dan ini dicapai dengan menggunakan rumus perkalian singkat yang sudah dikenal:
Rumus diterapkan ke arah ini, yaitu, ide metode ini adalah untuk secara artifisial mengatur ekspresi dalam penyebut atau , dan kemudian mengonversinya, masing-masing, menjadi atau .
Contoh 9
Tentukan integral tak tentu
Ini adalah contoh paling sederhana di mana dengan istilah - koefisien satuan(dan bukan angka atau minus).
Kami melihat penyebutnya, di sini semuanya jelas direduksi menjadi kasus. Mari kita mulai mengubah penyebutnya:
Jelas, Anda perlu menambahkan 4. Dan agar ekspresi tidak berubah - empat yang sama dan kurangi:
Sekarang Anda dapat menerapkan rumus:
Setelah konversi selesai SELALU diinginkan untuk melakukan gerakan terbalik: semuanya baik-baik saja, tidak ada kesalahan.
Desain bersih dari contoh yang dimaksud akan terlihat seperti ini: 
Siap. Membawa fungsi kompleks "bebas" di bawah tanda diferensial: , pada prinsipnya, dapat diabaikan
Contoh 10
Tentukan integral tak tentu:
Ini adalah contoh untuk pemecahan diri, jawabannya ada di akhir pelajaran.
Contoh 11
Tentukan integral tak tentu:
Apa yang harus dilakukan ketika ada minus di depan? Dalam hal ini, Anda perlu menghilangkan tanda kurung dan mengatur persyaratan dalam urutan yang kita butuhkan:. Konstan("ganda" dalam hal ini) Jangan sentuh!
Sekarang kita tambahkan satu dalam tanda kurung. Menganalisis ekspresi, kami sampai pada kesimpulan bahwa kami membutuhkannya di belakang braket - tambahkan:
Ini rumusnya, terapkan:
SELALU kami melakukan pemeriksaan pada draft:
, yang akan diverifikasi.
Desain bersih dari contoh terlihat seperti ini: 
Kami memperumit tugas
Contoh 12
Tentukan integral tak tentu: 
Di sini, dengan istilah, itu bukan lagi koefisien tunggal, tetapi "lima".
(1) Jika konstanta ditemukan di, maka kami segera mengeluarkannya dari tanda kurung.
(2) Secara umum, selalu lebih baik untuk mengeluarkan konstanta ini dari integral, sehingga tidak menghalangi.
(3) Jelas bahwa semuanya akan direduksi menjadi formula. Perlu untuk memahami istilah, yaitu, untuk mendapatkan "dua"
(4) Ya, . Jadi, kita tambahkan ke ekspresi, dan kurangi pecahan yang sama.
(5) Sekarang pilih kotak penuh. Dalam kasus umum, juga perlu untuk menghitung , tetapi di sini kita memiliki rumus logaritma yang panjang 
, dan tindakan tidak masuk akal untuk dilakukan, mengapa - itu akan menjadi jelas sedikit lebih rendah.
(6) Sebenarnya, kita bisa menerapkan rumus 
, hanya alih-alih "x" yang kita miliki, yang tidak meniadakan validitas integral tabular. Sebenarnya, satu langkah tidak ada - sebelum integrasi, fungsi seharusnya berada di bawah tanda diferensial: 
, tetapi, seperti yang telah berulang kali saya catat, ini sering diabaikan.
(7) Dalam jawaban di bawah root, diinginkan untuk membuka kembali semua tanda kurung:
Rumit? Ini bukan yang paling sulit dalam kalkulus integral. Meskipun, contoh-contoh yang dipertimbangkan tidak terlalu rumit karena memerlukan teknik perhitungan yang baik.
Contoh 13
Tentukan integral tak tentu:
Ini adalah contoh do-it-yourself. Jawab di akhir pelajaran.
Ada integral dengan akar di penyebut, yang, dengan bantuan pengganti, direduksi menjadi integral dari jenis yang dipertimbangkan, Anda dapat membacanya di artikel Integral kompleks, tetapi dirancang untuk siswa yang sangat siap.
Menempatkan pembilang di bawah tanda diferensial
Ini adalah bagian terakhir dari pelajaran, namun, integral jenis ini cukup umum! Jika kelelahan sudah menumpuk, mungkin lebih baik membaca besok? ;)
Integral yang akan kita bahas mirip dengan integral paragraf sebelumnya, mereka memiliki bentuk: atau 
(koefisien , dan tidak sama dengan nol).
Artinya, kita memiliki fungsi linier dalam pembilangnya. Bagaimana cara menyelesaikan integral seperti itu?
Masalah menemukan integral tak tentu dari fungsi rasional pecahan direduksi menjadi pengintegrasian pecahan sederhana. Oleh karena itu, kami menyarankan Anda terlebih dahulu membiasakan diri dengan bagian teori penguraian pecahan menjadi pecahan sederhana.
Contoh.
Temukan integral tak tentu.
Keputusan.
Karena derajat pembilang dari integran sama dengan derajat penyebut, pertama-tama kita memilih bagian bilangan bulat dengan membagi polinomial dengan polinomial dengan kolom: 
Jadi, 
.
Penguraian pecahan rasional wajar yang diperoleh menjadi pecahan sederhana berbentuk 
. Karena itu, 
Integral yang dihasilkan merupakan integral dari pecahan paling sederhana dari tipe ketiga. Melihat ke depan sedikit, kami mencatat bahwa itu dapat diambil dengan membawanya di bawah tanda diferensial.
Sebagai 
, kemudian 
. Jadi 
Karena itu, 
Sekarang mari kita lanjutkan untuk menjelaskan metode pengintegrasian pecahan paling sederhana dari masing-masing empat jenis.
Integrasi pecahan paling sederhana dari jenis pertama
Metode integrasi langsung sangat ideal untuk memecahkan masalah ini:
Contoh.
Tentukan himpunan antiturunan dari suatu fungsi
Keputusan.
Mari kita cari integral tak tentu dengan menggunakan sifat-sifat antiturunan, tabel antiturunan, dan aturan integrasi.
Bagian atas halaman
Integrasi pecahan paling sederhana dari tipe kedua
Metode integrasi langsung juga cocok untuk memecahkan masalah ini: 
Contoh.
Keputusan.
Bagian atas halaman
Integrasi pecahan paling sederhana dari tipe ketiga 
Pertama, kami menyajikan integral tak tentu 
sebagai jumlah:
Kami mengambil integral pertama dengan metode subsuming di bawah tanda diferensial: 
Jadi, 
Kami mengubah penyebut dari integral yang dihasilkan: 
Karena itu, 
Rumus untuk mengintegrasikan pecahan paling sederhana dari jenis ketiga mengambil bentuk: 
Contoh.
Tentukan integral tak tentu 
.
Keputusan.
Kami menggunakan rumus yang dihasilkan: 
Jika kita tidak memiliki rumus ini, apa yang akan kita lakukan: 
Bagian atas halaman
Integrasi pecahan paling sederhana dari jenis keempat 
Langkah pertama adalah menjumlahkannya di bawah tanda diferensial: 
Langkah kedua adalah menemukan integral dari bentuk 
. Integral jenis ini ditemukan menggunakan rumus berulang. (Lihat bagian mengintegrasikan menggunakan rumus rekursif). Untuk kasus kami, rumus rekursif berikut cocok:
Contoh.
Tentukan integral tak tentu
Keputusan.
Untuk jenis integran ini, kami menggunakan metode substitusi. Mari kita perkenalkan variabel baru (lihat bagian tentang pengintegrasian fungsi irasional): 
Setelah substitusi, kami memiliki: 
Kami sampai pada menemukan integral dari pecahan tipe keempat. Dalam kasus kami, kami memiliki koefisien M=0, p=0, q=1, N=1 dan n=3. Kami menerapkan rumus rekursif: 
Setelah substitusi terbalik, kami mendapatkan hasil:
| Integrasi fungsi trigonometri | ||||||||||||||||||||
1. Integral bentuk    dihitung dengan mengubah produk fungsi trigonometri menjadi jumlah sesuai dengan rumus:  Misalnya, 2. Integral dari bentuk  , di mana m atau n- bilangan positif ganjil, dihitung dengan menjumlahkan di bawah tanda diferensial. Sebagai contoh,   3. Integral bentuk , di mana m dan n- bilangan genap positif, dihitung menggunakan rumus reduksi: Misalnya,  4. Integral  di mana dihitung dengan mengubah variabel: atau Misalnya,  5. Integral bentuk direduksi menjadi integral pecahan rasional menggunakan substitusi trigonometri universal maka (karena  =[setelah membagi pembilang dan penyebut dengan ]= ;  Sebagai contoh,  Perlu dicatat bahwa penggunaan substitusi universal sering menyebabkan perhitungan rumit. |
||||||||||||||||||||
| 5. Integrasi irasionalitas paling sederhana | ||||||||||||||||||||
Pertimbangkan metode untuk mengintegrasikan jenis irasionalitas yang paling sederhana. satu.  Fungsi jenis ini diintegrasikan dengan cara yang sama seperti pecahan rasional paling sederhana dari jenis ke-3: dalam penyebut, sebuah persegi penuh diekstraksi dari trinomial persegi dan variabel baru diperkenalkan. Contoh.  2. (di bawah tanda integral - fungsi rasional argumen). Integral semacam ini dihitung menggunakan substitusi . Secara khusus, dalam integral dari bentuk yang kami tunjukkan . Jika integran mengandung akar-akar dengan derajat yang berbeda:  , maka dilambangkan , dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut m, k. Contoh 1  Contoh 2  adalah pecahan rasional yang tidak tepat, pilih bagian bilangan bulat:
3. Integral bentuk
|
dihitung menggunakan substitusi trigonometri:
44 
45 Integral Pasti
integral tentu adalah fungsi normalisasi monoton aditif yang didefinisikan pada himpunan pasangan, komponen pertama adalah fungsi atau fungsional yang dapat diintegralkan, dan yang kedua adalah area dalam himpunan fungsi ini (fungsional).
Definisi
Biarkan didefinisikan pada . Mari kita pecah menjadi beberapa bagian dengan beberapa titik yang berubah-ubah. Kemudian kita katakan bahwa segmen tersebut telah dipartisi. Selanjutnya, kita memilih titik arbitrer 
, ,
Integral tentu dari suatu fungsi pada suatu segmen adalah limit jumlah integral karena pangkat partisi cenderung nol, jika ada tanpa memperhatikan partisi dan pilihan titik, yaitu
Jika limit ini ada, maka fungsi tersebut dikatakan integral pada Riemann.
Notasi
· - batasan yang lebih rendah.
· - batas atas.
· - fungsi integrasi.
· - panjang segmen parsial.
· adalah jumlah integral dari fungsi pada partisi yang sesuai .
· 
- panjang maksimum sebagian segmen.
Properti
Jika suatu fungsi dapat diintegralkan Riemann pada , maka fungsi tersebut terbatas pada fungsi tersebut.
pengertian geometris
Integral tentu sebagai luas suatu bangun
Integral tentu secara numerik sama dengan luas gambar yang dibatasi oleh sumbu x, garis lurus dan dan grafik fungsi.
teorema Newton-Leibniz
[sunting]
(dialihkan dari "rumus Newton-Leibniz")
rumus Newton - Leibniz atau teorema dasar analisis memberikan hubungan antara dua operasi: mengambil integral tertentu dan menghitung antiturunan.
Bukti
Biarkan fungsi integral diberikan pada segmen. Mari kita mulai dengan mencatat itu
yaitu, tidak peduli huruf ( atau ) mana yang berada di bawah tanda dalam integral tertentu selama selang .
Tetapkan nilai arbitrer dan tentukan fungsi baru 
. Didefinisikan untuk semua nilai , karena kita tahu bahwa jika ada integral dari , maka ada juga integral dari , Dimana . Ingatlah bahwa kami mempertimbangkan menurut definisi
(1)
perhatikan itu
Mari kita tunjukkan bahwa itu kontinu pada segmen . Memang, biarkan ; kemudian
dan jika , maka
Dengan demikian, adalah kontinu terlepas dari apakah ia memiliki diskontinuitas atau tidak; adalah penting bahwa itu terintegrasi pada .
Angka tersebut menunjukkan grafik. Luas bangun variabel adalah . Kenaikannya sama dengan luas gambar 
, yang, karena keterbatasan , jelas cenderung nol di terlepas dari apakah itu adalah titik kontinuitas atau diskontinuitas, misalnya, titik .
Sekarang biarkan fungsi tidak hanya terintegrasi pada , tetapi kontinu pada intinya . Mari kita buktikan bahwa kemudian memiliki turunan pada titik ini sama dengan
(2)
Memang, untuk poin yang diberikan
(1) , (3)
Kami menempatkan , dan karena konstanta relatif terhadap ,TO 
. Selanjutnya, karena kontinuitas pada titik, untuk setiap orang dapat menentukan sedemikian rupa sehingga untuk .
yang membuktikan bahwa ruas kiri pertidaksamaan ini adalah o(1) untuk .
Melewati limit pada (3) pada menunjukkan adanya turunan dari pada titik dan validitas persamaan (2). Di sini kita berbicara tentang turunan kanan dan kiri, masing-masing.
Jika suatu fungsi kontinu pada , maka, berdasarkan pembuktian di atas, fungsi yang bersesuaian
(4)
memiliki turunan sama dengan . Oleh karena itu, fungsinya adalah antiturunan untuk pada .
Kesimpulan ini kadang-kadang disebut Teorema Integral Batas Atas Variabel atau Teorema Barrow.
Kami telah membuktikan bahwa fungsi kontinu arbitrer pada suatu interval memiliki antiturunan pada interval ini, yang didefinisikan oleh persamaan (4). Ini membuktikan adanya antiturunan untuk setiap fungsi kontinu pada suatu interval.
Biarkan sekarang menjadi antiturunan sewenang-wenang dari suatu fungsi pada . Kita tahu bahwa , di mana adalah beberapa konstanta. Dengan asumsi persamaan ini dan dengan memperhitungkan bahwa , kita peroleh .
Dengan demikian, . Tetapi
Integral tak wajar
[sunting]
dari Wikipedia, ensiklopedia gratis
integral tentu ditelepon tidak pantas jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut ini benar:
· Batas a atau b (atau kedua batas) tidak terbatas;
· Fungsi f(x) memiliki satu atau lebih breakpoint di dalam segmen .
[sunting] Integral tak wajar jenis pertama
. Kemudian:
1. Jika 
dan integralnya disebut . Pada kasus ini disebut konvergen.
, atau hanya divergen.
Membiarkan didefinisikan dan kontinu pada himpunan dari dan 
. Kemudian:
1. Jika 
, maka notasinya 
dan integralnya disebut integral Riemann tak wajar jenis pertama. Pada kasus ini disebut konvergen.
2. Jika tidak ada yang berhingga 
( atau ), maka integral tersebut dikatakan divergen terhadap , atau hanya divergen.
Jika fungsi terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis real, maka mungkin terdapat integral tak wajar dari fungsi ini dengan dua batas integral tak hingga, yang ditentukan dengan rumus:
, di mana c adalah bilangan arbitrer.
[sunting] Arti geometris integral tak wajar jenis pertama
Integral tak wajar menyatakan luas trapesium lengkung tak terhingga panjangnya.
[sunting] Contoh
[sunting] Integral tak wajar jenis kedua
Biarkan terdefinisi pada , mengalami diskontinuitas tak hingga di titik x=a dan 
. Kemudian:
1. Jika 
, maka notasinya 
dan integralnya disebut
disebut divergen ke , atau hanya divergen.
Biarkan terdefinisi pada , mengalami diskontinuitas tak hingga di x=b dan 
. Kemudian:
1. Jika 
, maka notasinya dan integralnya disebut integral Riemann tak wajar jenis kedua. Dalam hal ini, integral disebut konvergen.
2. Jika atau , maka penunjukannya dipertahankan, dan disebut divergen ke , atau hanya divergen.
Jika fungsi mengalami diskontinuitas pada titik internal segmen, maka integral tak wajar jenis kedua ditentukan dengan rumus:
[sunting] Arti geometris dari integral tak wajar jenis kedua
Integral tak wajar menyatakan luas trapesium lengkung tak terhingga tinggi
[sunting] Contoh
[sunting] Kasus khusus
Biarkan fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu nyata dan memiliki diskontinuitas di titik .
Kemudian kita dapat menemukan integral tak wajar
[sunting] Kriteria Cauchy
1. Membiarkan didefinisikan pada himpunan dari dan 
.
Kemudian 
konvergen
2. Membiarkan didefinisikan pada dan 
.
Kemudian konvergen
[sunting] Konvergensi mutlak
Integral 
ditelepon benar-benar konvergen, jika 
konvergen.
Jika integral konvergen mutlak, maka integral tersebut konvergen.
[sunting] Konvergensi bersyarat
Integral tersebut disebut konvergen bersyarat jika konvergen dan divergen.
48 12. Integral tak wajar.
Ketika mempertimbangkan integral tertentu, kami mengasumsikan bahwa daerah integrasi terbatas (lebih khusus, itu adalah segmen [ sebuah ,b ]); untuk keberadaan integral tertentu, keterbatasan integral pada [ sebuah ,b ]. Kami akan memanggil integral tertentu yang memenuhi kedua kondisi ini (keterbatasan dari domain integrasi dan integran) memiliki; integral yang persyaratan ini dilanggar (yaitu, baik integran, atau domain integrasi, atau keduanya, tidak terbatas) bukan milik sendiri. Pada bagian ini, kita akan mempelajari integral tak wajar.
- 12.1. Integral tak wajar pada selang tak terbatas (integral takwajar jenis pertama).
- 12.1.1. Definisi integral tak wajar pada selang tak hingga. Contoh.
- 12.1.2. Rumus Newton-Leibniz untuk integral tak wajar.
- 12.1.3. Kriteria perbandingan untuk fungsi non-negatif.
- 12.1.3.1. Tanda perbandingan.
- 12.1.3.2. Sebuah tanda perbandingan dalam bentuk yang membatasi.
- 12.1.4. Konvergensi mutlak integral tak wajar pada selang tak hingga.
- 12.1.5. Kriteria konvergensi untuk Abel dan Dirichlet.
- 12.2. Integral tak wajar dari fungsi tak terbatas (integral tak wajar jenis kedua).
- 12.2.1. Definisi integral tak wajar dari fungsi tak terbatas.
- 12.2.1.1. Singularitas di ujung kiri interval integrasi.
- 12.2.1.2. Penerapan rumus Newton-Leibniz.
- 12.2.1.3. Singularitas di ujung kanan interval integrasi.
- 12.2.1.4. Singularitas pada titik interior interval integrasi.
- 12.2.1.5. Beberapa singularitas pada interval integrasi.
- 12.2.2. Kriteria perbandingan untuk fungsi non-negatif.
- 12.2.2.1. Tanda perbandingan.
- 12.2.2.2. Sebuah tanda perbandingan dalam bentuk yang membatasi.
- 12.2.3. Konvergensi mutlak dan bersyarat dari integral tak wajar dari fungsi tak kontinu.
- 12.2.4. Kriteria konvergensi untuk Abel dan Dirichlet.
12.1. Integral tak wajar pada selang tak terbatas
(integral tak wajar jenis pertama).
12.1.1. Definisi integral tak wajar pada selang tak hingga. Biarkan fungsinya f
(x
) didefinisikan pada setengah garis dan dapat diintegralkan pada sembarang interval [ dari, menyiratkan dalam setiap kasus ini keberadaan dan keterbatasan batas yang sesuai. Sekarang solusi dari contoh terlihat lebih sederhana: 
.
12.1.3. Kriteria perbandingan untuk fungsi non-negatif. Pada bagian ini, kita akan mengasumsikan bahwa semua integran adalah non-negatif di seluruh domain definisi. Sampai sekarang, kita telah menentukan kekonvergenan integral dengan menghitungnya: jika ada batas berhingga dari antiturunan dengan aspirasi yang sesuai ( atau ), maka integral tersebut konvergen, jika tidak maka divergen. Namun, ketika memecahkan masalah praktis, pertama-tama penting untuk menetapkan fakta konvergensi, dan baru kemudian menghitung integralnya (selain itu, antiturunan sering tidak dinyatakan dalam fungsi dasar). Kami merumuskan dan membuktikan sejumlah teorema yang memungkinkan kami untuk menetapkan konvergensi dan divergensi integral tak wajar dari fungsi nonnegatif tanpa menghitungnya.
12.1.3.1. Tanda perbandingan. Biarkan fungsi f
(x
) dan g
(x
) mengintegrasikan
Materi yang disampaikan pada topik ini didasarkan pada informasi yang disajikan pada topik "Pecahan rasional. Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan dasar (sederhana)". Saya sangat menyarankan Anda untuk setidaknya membaca sekilas topik ini sebelum melanjutkan membaca materi ini. Selain itu, kita akan membutuhkan tabel integral tak tentu.
Biarkan saya mengingatkan Anda tentang beberapa istilah. Mereka dibahas dalam topik yang relevan, jadi di sini saya akan membatasi diri pada rumusan singkat.
Rasio dua polinomial $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ disebut fungsi rasional atau pecahan rasional. Pecahan rasional disebut benar jika $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется salah.
Pecahan rasional dasar (paling sederhana) adalah pecahan rasional dari empat jenis:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Catatan (diinginkan untuk pemahaman teks yang lebih baik): tampilkan\sembunyikan
Mengapa kondisi $p^2-4q diperlukan?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Misalnya, untuk ekspresi $x^2+5x+10$ kita mendapatkan: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Karena $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Omong-omong, untuk pemeriksaan ini tidak perlu bahwa koefisien di depan $x^2$ sama dengan 1. Misalnya, untuk $5x^2+7x-3=0$ kita peroleh: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Karena $D > 0$, ekspresi $5x^2+7x-3$ dapat difaktorkan.
Contoh pecahan rasional (beraturan dan tak wajar), serta contoh pemuaian pecahan rasional menjadi pecahan dasar, dapat ditemukan. Di sini kita hanya tertarik pada pertanyaan tentang integrasi mereka. Mari kita mulai dengan integrasi pecahan dasar. Jadi, masing-masing dari keempat jenis pecahan dasar di atas mudah diintegrasikan menggunakan rumus di bawah ini. Saya ingatkan Anda bahwa ketika mengintegrasikan pecahan bertipe (2) dan (4) diasumsikan $n=2,3,4,\ldots$. Rumus (3) dan (4) memerlukan kondisi $p^2-4q< 0$.
\begin(persamaan) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(persamaan) \begin(persamaan) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(persamaan) \begin(persamaan) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(persamaan)
Untuk $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ dilakukan penggantian $t=x+\frac(p)(2)$, setelah itu integral yang dihasilkan adalah membelah menjadi dua. Yang pertama akan dihitung dengan menyisipkannya di bawah tanda diferensial, dan yang kedua akan terlihat seperti $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Integral ini diambil menggunakan relasi perulangan
\begin(persamaan) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\di N \end(persamaan)
Perhitungan integral tersebut dianalisis dalam contoh No. 7 (lihat bagian ketiga).
Skema untuk menghitung integral dari fungsi rasional (pecahan rasional):
- Jika integralnya elementer, maka terapkan rumus (1)-(4).
- Jika integralnya bukan elementer, nyatakan sebagai jumlah dari pecahan elementer, lalu integrasikan menggunakan rumus (1)-(4).
Algoritma di atas untuk mengintegrasikan pecahan rasional memiliki keunggulan yang tidak dapat disangkal - bersifat universal. Itu. Dengan menggunakan algoritma ini, seseorang dapat mengintegrasikan setiap pecahan rasional. Itulah sebabnya hampir semua penggantian variabel dalam integral tak tentu (substitusi Euler, Chebyshev, substitusi trigonometri universal) dilakukan sedemikian rupa sehingga setelah penggantian ini kita mendapatkan pecahan rasional di bawah interval. Dan menerapkan algoritma untuk itu. Kami akan menganalisis penerapan langsung dari algoritma ini menggunakan contoh, setelah membuat catatan kecil.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Pada prinsipnya, integral ini mudah diperoleh tanpa aplikasi mekanis dari rumus tersebut. Jika kita mengeluarkan konstanta $7$ dari tanda integral dan memperhitungkan bahwa $dx=d(x+9)$, maka kita mendapatkan:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Untuk informasi rinci saya sarankan untuk melihat topik. Ini menjelaskan secara rinci bagaimana integral tersebut diselesaikan. Omong-omong, rumusnya dibuktikan dengan transformasi yang sama yang diterapkan dalam paragraf ini saat menyelesaikan "secara manual".
2) Sekali lagi, ada dua cara: menerapkan formula yang sudah jadi atau melakukannya tanpanya. Jika Anda menerapkan rumus, maka Anda harus memperhitungkan bahwa koefisien di depan $x$ (angka 4) harus dihilangkan. Untuk melakukan ini, kami hanya mengambil empat dari mereka dalam tanda kurung:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\kanan)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\kanan)^8). $$
Sekarang saatnya menerapkan rumus:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \kanan)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$
Anda dapat melakukannya tanpa menggunakan rumus. Dan bahkan tanpa mengeluarkan $4$ konstan dari kurung. Jika kita memperhitungkan bahwa $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, maka kita mendapatkan:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Penjelasan rinci tentang menemukan integral tersebut diberikan dalam topik "Integrasi dengan substitusi (pengantar di bawah tanda diferensial)" .
3) Kita perlu mengintegrasikan pecahan $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Pecahan ini memiliki struktur $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, dengan $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Namun, untuk memastikan bahwa ini memang pecahan dasar dari tipe ketiga, Anda perlu memeriksa kondisinya $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \artg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \artg\frac(x+5)(3)+C. $$
Mari kita selesaikan contoh yang sama, tetapi tanpa menggunakan rumus yang sudah jadi. Mari kita coba mengisolasi turunan penyebut pada pembilangnya. Apa artinya ini? Kita tahu bahwa $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Ini adalah ekspresi $2x+10$ yang harus kita isolasi di pembilang. Sejauh ini, pembilang hanya berisi $4x+7$ , tapi ini tidak lama. Terapkan transformasi berikut ke pembilang:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -tigabelas. $$
Sekarang ekspresi yang diperlukan $2x+10$ telah muncul di pembilang. Dan integral kita dapat ditulis ulang sebagai berikut:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Mari kita pecahkan integran menjadi dua. Nah, dan, karenanya, integral itu sendiri juga "dibagi":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \kanan)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Mari kita bicara tentang integral pertama terlebih dahulu, yaitu. tentang $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Karena $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, maka diferensial penyebut terletak di pembilang integran. Singkatnya, sebagai gantinya dari ekspresi $( 2x+10)dx$ kita tulis $d(x^2+10x+34)$.
Sekarang mari kita bicara beberapa kata tentang integral kedua. Mari kita pilih persegi penuh dalam penyebutnya: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Selain itu, kami memperhitungkan $dx=d(x+5)$. Sekarang jumlah integral yang diperoleh sebelumnya dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sedikit berbeda:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ sembilan). $$
Jika kita membuat perubahan $u=x^2+10x+34$ pada integral pertama, maka akan berbentuk $\int\frac(du)(u)$ dan diambil hanya dengan menerapkan rumus kedua dari . Untuk integral kedua, penggantian $u=x+5$ layak untuk itu, setelah itu berbentuk $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ini adalah air paling murni, rumus kesebelas dari tabel integral tak tentu. Jadi, kembali ke jumlah integral, kita akan memiliki:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika menerapkan rumus , yang sebenarnya tidak mengejutkan. Secara umum, rumus dibuktikan dengan metode yang sama yang kita gunakan untuk menemukan integral ini. Saya percaya bahwa pembaca yang penuh perhatian mungkin memiliki satu pertanyaan di sini, oleh karena itu saya akan merumuskannya:
Pertanyaan 1
Jika kita menerapkan rumus kedua dari tabel integral tak tentu ke integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, maka kita mendapatkan yang berikut:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Mengapa modul hilang dari solusi?
Jawaban untuk pertanyaan #1
Pertanyaan itu sepenuhnya sah. Modulus tidak ada hanya karena ekspresi $x^2+10x+34$ untuk $x\in R$ lebih besar dari nol. Ini cukup mudah ditunjukkan dalam beberapa cara. Misalnya, karena $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ dan $(x+5)^2 0$, maka $(x+5)^2+9 > 0$ . Dimungkinkan untuk menilai dengan cara yang berbeda, tanpa melibatkan pemilihan kotak penuh. Sejak $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ untuk $x\in R$ apa pun (jika rantai logis ini mengejutkan, saya menyarankan Anda untuk melihat metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat). Bagaimanapun, karena $x^2+10x+34 > 0$, maka $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, mis. anda dapat menggunakan tanda kurung normal alih-alih modul.
Semua poin contoh No. 1 diselesaikan, tinggal menuliskan jawabannya.
Menjawab:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\artg\frac(x +5)(3)+C$.
Contoh #2
Temukan integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.
Sepintas, integral $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ sangat mirip dengan pecahan dasar dari tipe ketiga, yaitu. ke $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Tampaknya satu-satunya perbedaan adalah koefisien $3$ di depan $x^2$, tetapi tidak akan lama untuk menghapus koefisien (di luar tanda kurung). Namun, kesamaan ini terlihat. Untuk pecahan $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kondisi $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Koefisien kita di depan $x^2$ tidak sama dengan satu, jadi periksa kondisinya $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, jadi ekspresi $3x^2-5x-2$ dapat difaktorkan. Dan ini berarti bahwa pecahan $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ bukan merupakan pecahan dasar dari jenis ketiga, dan berlaku untuk integral $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ tidak diperbolehkan.
Nah, jika pecahan rasional yang diberikan tidak elementer, maka itu harus direpresentasikan sebagai jumlah dari pecahan elementer, dan kemudian diintegralkan. Singkatnya, jejak memanfaatkan . Cara menguraikan pecahan rasional menjadi pecahan dasar ditulis secara rinci. Mari kita mulai dengan memfaktorkan penyebutnya:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(sejajar) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(sejajar)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\kanan)\kanan)\cdot (x-2)= 3\cdot\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2). $$
Kami mewakili fraksi subinternal dalam bentuk berikut:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)). $$
Sekarang mari kita perluas pecahan $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ menjadi pecahan dasar:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan))(\kiri(x+ \frac(1)(3)\kanan)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\kiri(x+\frac(1)( 3)\benar). $$
Untuk mencari koefisien $A$ dan $B$ ada dua cara standar: metode koefisien tak tentu dan metode substitusi nilai parsial. Mari kita terapkan metode substitusi nilai parsial dengan mensubstitusi $x=2$ lalu $x=-\frac(1)(3)$:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\kiri(x+\frac(1)(3)\kanan).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\kiri(2+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\kanan); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Karena koefisien telah ditemukan, tinggal menuliskan ekspansi yang sudah selesai:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Pada prinsipnya, Anda dapat meninggalkan entri ini, tetapi saya suka versi yang lebih akurat:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\kanan)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Kembali ke integral asli, kami mengganti ekspansi yang dihasilkan ke dalamnya. Kemudian kami membagi integral menjadi dua, dan menerapkan rumus untuk masing-masing. Saya lebih suka untuk segera mengambil konstanta di luar tanda integral:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\kanan|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Menjawab: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Contoh #3
Temukan integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.
Kita perlu mengintegrasikan pecahan $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Pembilangnya adalah polinomial derajat kedua, dan penyebutnya adalah polinomial derajat ketiga. Karena derajat polinomial dalam pembilang lebih kecil dari derajat polinomial dalam penyebut, mis. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
Kita hanya perlu memecah integral yang diberikan menjadi tiga, dan menerapkan rumus untuk masing-masing. Saya lebih suka untuk segera mengambil konstanta di luar tanda integral:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \kanan)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Menjawab: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Kelanjutan dari analisis contoh topik ini terletak di bagian kedua.
Sebelum melanjutkan dengan integrasi pecahan paling sederhana untuk menemukan integral tak tentu dari fungsi rasional pecahan, disarankan untuk menyegarkan kembali memori bagian “Penguraian pecahan menjadi paling sederhana”.
Contoh 1
Tentukan integral tak tentu 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .
Keputusan
Kami memilih bagian bilangan bulat dengan membagi kolom polinomial dengan polinomial, dengan mempertimbangkan fakta bahwa derajat pembilang integran sama dengan derajat penyebut:
Jadi 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x . Kami mendapat pecahan rasional yang tepat - 2 x + 3 x 3 + x, yang sekarang kami dekomposisi menjadi pecahan sederhana - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Karena itu,
2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 d x + 3 x d x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x
Kami telah memperoleh integral dari pecahan paling sederhana dari tipe ketiga. Anda dapat mengambilnya dengan membawanya di bawah tanda diferensial.
Karena d x 2 + 1 = 2 x d x , maka 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 . Jadi
3 x + 2 x 2 + 1 d x = 3 x x 2 + 1 d x + 2 x 2 + 1 = 3 2 d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1
Karena itu,
2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , di mana C \u003d - C 1
Mari kita jelaskan metode untuk mengintegrasikan pecahan paling sederhana dari masing-masing dari empat jenis.
Integrasi pecahan paling sederhana tipe pertama A x - a
Kami menggunakan metode integrasi langsung untuk menyelesaikan masalah ini:
A x - a d x = A d x x - a = A ln x - a + C
Contoh 2
Tentukan himpunan antiturunan dari fungsi y = 3 2 x - 1 .
Keputusan
Menggunakan aturan integrasi, sifat-sifat antiturunan dan tabel antiturunan, kita menemukan integral tak tentu 3 d x 2 x - 1: f k x + b d x = 1 k F k x + b + C
3 d x 2 x - 1 = 3 d x 2 x - 1 2 = 3 2 d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C
Jawaban: 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C
Integrasi pecahan sederhana tipe kedua A x - a n
Disini kami juga menerapkan metode integrasi langsung: A x - a n d x = A x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C
Contoh 3
Diperlukan untuk mencari integral tak tentu d x 2 x - 3 7 .
Keputusan
d x 2 x - 3 7 = d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C
Menjawab: d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C
Integrasi pecahan sederhana tipe ketiga M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0
Sebagai langkah pertama, kita nyatakan integral tak tentu M x + N x 2 + p x + q sebagai jumlah:
M x + N x 2 + p x + q d x = M x x 2 + p x + q d x + N d x x 2 + p x + q
Untuk mengambil integral pertama, kami menggunakan metode subsuming di bawah tanda diferensial:
M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q
Jadi,
M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q + N d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q
Kami telah memperoleh integral d x x 2 + p x + q . Mari kita ubah penyebutnya:
d x x 2 + p x + q = d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1
Karena itu,
M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1
Rumus untuk mengintegrasikan pecahan paling sederhana dari jenis ketiga mengambil bentuk:
M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C
Contoh 4
Kita perlu mencari integral tak tentu 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .
Keputusan
Mari kita terapkan rumusnya:
2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2 , N = 1 , p = 2 , q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C
Solusi kedua terlihat seperti ini:
2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a n d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C
Jawaban: 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C
Integrasi Pecahan Tersederhana Keempat Tipe M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0
Pertama-tama, kami melakukan penjumlahan di bawah tanda diferensial:
M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 d x ( x 2 + p x + q) n
Kemudian kita cari integral dari bentuk J n = d x (x 2 + p x + q) n menggunakan rumus berulang. Informasi tentang rumus berulang dapat ditemukan di topik "Integrasi menggunakan rumus berulang".
Untuk menyelesaikan masalah kita, rumus berulang dalam bentuk J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .
Contoh 5
Kita perlu mencari integral tak tentu d x x 5 x 2 - 1 .
Keputusan
d x x 5 x 2 - 1 = x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x
Kami akan menggunakan metode substitusi untuk jenis integran ini. Mari kita perkenalkan variabel baru x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x
Kita mendapatkan:
d x x 5 x 2 - 1 = x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = d z (z 2 + 1) 3
Kami sampai pada menemukan integral dari pecahan tipe keempat. Dalam kasus kami, kami memiliki koefisien M=0, p=0, q=1, N=1 dan n=3. Kami menerapkan rumus rekursif:
J 3 \u003d d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C
Setelah substitusi terbalik z = x 2 - 1 kita mendapatkan hasil:
d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C
Menjawab: d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
