Piramida disebut polihedron, salah satu wajahnya adalah poligon ( basis ), dan semua wajah lainnya adalah segitiga dengan simpul yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya adalah poligon beraturan dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut segi empat .

rusuk samping piramida disebut sisi sisi wajah yang bukan milik alas Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi sisi piramida beraturan adalah sama satu sama lain, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama. Tinggi sisi sisi piramida beraturan yang ditarik dari titik sudut disebut pendewaan . bagian diagonal Bagian dari piramida disebut bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak memiliki muka yang sama.

Luas permukaan samping piramida disebut jumlah luas semua sisi sisi. Luas permukaan penuh adalah jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah piramida semua sisi miring sama rata terhadap bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.

2. Jika dalam piramida semua tepi lateral memiliki panjang yang sama, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alas.

3. Jika dalam piramida semua wajah sama-sama condong ke bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya.

Untuk menghitung volume piramida sewenang-wenang, rumusnya benar:

di mana V- volume;

S utama- daerah dasar;

H adalah ketinggian piramida.

Untuk piramida biasa, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

h a- apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

S utama- daerah dasar;

V adalah volume piramida biasa.

piramida terpotong disebut bagian piramida yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida (Gbr. 17). Piramida terpotong yang benar disebut bagian dari piramida biasa, tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida.

Yayasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping - trapesium. Tinggi piramida terpotong disebut jarak antara alasnya. Diagonal Piramida terpotong adalah segmen yang menghubungkan simpulnya yang tidak terletak pada wajah yang sama. bagian diagonal Bagian dari piramida yang terpotong disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong, rumusnya valid:

(4)

di mana S 1 , S 2 - area pangkalan atas dan bawah;

S penuh adalah luas permukaan total;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V adalah volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong biasa, rumus berikut ini benar:

di mana p 1 , p 2 - perimeter dasar;

h a- apotema piramida terpotong biasa.

Contoh 1 Dalam piramida segitiga biasa, sudut dihedral di pangkalan adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping ke bidang alas.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya alasnya adalah segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki. Sudut dihedral pada alas adalah sudut kemiringan sisi muka piramida terhadap bidang alas. Sudut linier akan menjadi sudut sebuah antara dua garis tegak lurus: mis. Bagian atas piramida diproyeksikan di pusat segitiga (pusat lingkaran berbatas dan lingkaran bertulis di segitiga ABC). Sudut kemiringan rusuk samping (misalnya SB) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya ke bidang dasar. Untuk tulang rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk menemukan garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI dan OB. Biarkan panjang segmen BD adalah 3 sebuah. dot HAI segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kami menemukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2 Hitunglah volume limas segi empat beraturan jika diagonal alasnya cm dan cm dan tingginya 4 cm.

Keputusan. Untuk menemukan volume piramida terpotong, kami menggunakan rumus (4). Untuk menemukan luas alasnya, Anda perlu menemukan sisi-sisi bujur sangkar alas, mengetahui diagonal-diagonalnya. Sisi alasnya masing-masing adalah 2 cm dan 8 cm Ini berarti luas alas dan Mengganti semua data ke dalam rumus, kami menghitung volume piramida terpotong:

Menjawab: 112 cm3.

Contoh 3 Hitunglah luas permukaan sisi piramida beraturan segitiga terpotong, yang sisi alasnya adalah 10 cm dan 4 cm, dan tinggi piramida adalah 2 cm.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi sisi piramida ini adalah trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Basis diberikan oleh kondisi, hanya tingginya yang tidak diketahui. Temukan dari mana TETAPI 1 E tegak lurus dari suatu titik TETAPI 1 pada bidang alas bawah, A 1 D- tegak lurus dari TETAPI 1 on AC. TETAPI 1 E\u003d 2 cm, karena ini adalah ketinggian piramida. Untuk menemukan DE kita akan membuat gambar tambahan, di mana kita akan menggambarkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot HAI- proyeksi pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain Oke adalah jari-jari lingkaran tertulis dan om adalah jari-jari lingkaran tertulis:

MK=DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4 Di dasar piramida terletak trapesium sama kaki, yang alasnya sebuah dan b (sebuah> b). Setiap sisi wajah membentuk sudut yang sama dengan bidang alas piramida j. Temukan total luas permukaan piramida.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Luas permukaan total piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Kami menggunakan pernyataan bahwa jika semua wajah piramida memiliki kemiringan yang sama terhadap bidang alasnya, maka puncaknya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Dot HAI- proyeksi puncak S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang dasar. Menurut teorema pada area proyeksi ortogonal dari bangun datar, kita mendapatkan:

Demikian pula, itu berarti Jadi, masalahnya dikurangi menjadi menemukan luas trapesium ABCD. Menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot HAI adalah pusat lingkaran pada trapesium.

Karena lingkaran dapat ditulis dalam trapesium, maka atau Dengan teorema Pythagoras kita miliki

Pertimbangkan sifat-sifat piramida di mana sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya.

Jika sebuah dua sisi yang berdekatan dari sebuah piramida tegak lurus terhadap alasnya, kemudian tepi sisi yang sama dari wajah-wajah ini adalah ketinggian piramida. Jika tugas mengatakan bahwa tepi piramida adalah tingginya, maka kita berbicara tentang jenis piramida ini.

Wajah-wajah piramida yang tegak lurus dengan alasnya adalah segitiga siku-siku.

Jika alas piramida adalah segitiga

Permukaan lateral piramida seperti itu umumnya dicari sebagai jumlah dari luas semua permukaan lateral.

Dasar piramida adalah proyeksi ortogonal dari wajah yang tidak tegak lurus dengan alasnya (dalam hal ini SBC). Jadi, menurut teorema luas proyeksi ortogonal, luas alas sama dengan hasil kali luas permukaan ini dengan kosinus sudut antara itu dan bidang alas.

Jika alas piramida adalah segitiga siku-siku

Pada kasus ini semua sisi piramida adalah segitiga siku-siku.

Segitiga SAB dan SAC siku-siku, karena SA adalah tinggi piramida. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku.

Fakta bahwa segitiga SBC siku-siku mengikuti teorema pada tiga tegak lurus (AB adalah proyeksi miring SB ke bidang alas. Karena AB tegak lurus BC dengan syarat, maka SB juga tegak lurus BC ).

Sudut antara sisi muka SBC dan alas dalam hal ini adalah sudut ABS.

Luas permukaan lateral sama dengan jumlah luas segitiga siku-siku:

Karena dalam hal ini

Jika alas piramida adalah segitiga sama kaki

Dalam hal ini, sudut antara bidang sisi menghadap BCS dan bidang alas adalah sudut AFS, di mana AF adalah ketinggian, median, dan garis bagi segitiga sama kaki ABC.

Demikian pula - jika di dasar piramida terletak segitiga sama sisi ABC.

Jika alas piramida adalah jajar genjang

Dalam hal ini, alas piramida adalah proyeksi ortogonal dari sisi-sisi yang tidak tegak lurus dengan alasnya.

Jika alasnya kita bagi menjadi dua segitiga, maka

di mana dan masing-masing adalah sudut antara bidang ADS dan CDS dan bidang alas.

Jika BF dan BK adalah tinggi jajar genjang, maka sudut BFS adalah sudut kemiringan sisi CDS terhadap bidang alas, dan sudut BKS adalah sudut kemiringan sisi ADS.

(gambar dibuat untuk kasus ketika B adalah sudut tumpul).

Jika alas piramida adalah belah ketupat ABCD, maka sudut BFS dan BKS sama besar. Segitiga ABS dan CBS, serta ADS dan CDS juga sama dalam hal ini.

Jika alas piramid berbentuk persegi panjang

Dalam hal ini, sudut antara bidang sisi muka SAD dan bidang alas adalah sudut SAB,

dan sudut antara bidang sisi muka SCD dan bidang alas adalah sudut SCB

(dengan teorema tiga tegak lurus).

Ingat: apotema adalah ketinggian sisi sisi piramida, ditarik dari atas ke tepi alas.
Teorema 5 . Jika semua sisi sisi piramida dimiringkan ke bidang alas pada sudut yang sama, maka sebuah lingkaran dapat ditulis di dasar piramida semacam itu, dan ketinggian yang diturunkan dari atas ke alas jatuh ke tengah lingkaran yang tertulis di alasnya.
Teorema ini juga dapat dirumuskan sebagai berikut:
Teorema 5.1 . Jika semua apotema piramida adalah sama, maka sebuah lingkaran dapat ditulis di dasar piramida seperti itu, dan ketinggian yang diturunkan dari atas ke alas jatuh ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya.
Mari kita buktikan teorema menggunakan contoh piramida segi empat. Biarkan piramida KABCD diberikan, K adalah puncaknya, ABCD adalah alasnya. Gambarkan ketinggian KO piramida. Di setiap sisi sisi, kami menggambar ketinggian dari puncak piramida ke sisi alasnya. Di bidang alas, kami menghubungkan titik O (alas ketinggian) dengan titik alas ketinggian ini - apotema. OP, OT, OM dan OE masing-masing tegak lurus terhadap AB, BC, CD dan AD (teorema tiga tegak lurus). Menurut definisi, sudut KRO, KTO, KMO, KEO adalah sudut linier dari sudut dihedral antara sisi-sisi yang bersesuaian dan alas ABCD. Ketinggian KO tegak lurus dengan alas, oleh karena itu tegak lurus terhadap setiap garis lurus di bidang ini, mis. tegak lurus terhadap garis lurus OR, OT, OM dan OE. Ini mengatakan bahwa segitiga KRO, KTO, KMO, KEO adalah persegi panjang.
Dengan syarat (Teorema 5), ​​sudut KRO, KTO, KMO, KEO adalah sama besar. Pertimbangkan segitiga KRO, KTO, KMO, KEO, mereka adalah persegi panjang dan sama (sepanjang kaki dan sudut lancip, KO adalah umum dan sudut KRO, KTO, KMO, KEO sama dengan syarat).
Dengan syarat (teorema 5.1) KR, KT, KM dan KE adalah sama besar, maka segitiga KRO, KTO, KMO, KEO adalah persegi panjang dan sama kaki dan sisi miringnya.
Dari persamaan segitiga tersebut diketahui bahwa masing-masing sisi OR, OT, OM dan OE adalah sama, yang berarti bahwa pada segi empat ABCD terdapat sebuah titik yang berjarak sama dari sisi-sisinya, yaitu dapat dibuat lingkaran di dalamnya. .

Teorema 6 . Jika semua tepi sisi piramida dimiringkan ke bidang alas pada sudut yang sama, maka lingkaran dapat digambarkan di dekat alas piramida tersebut, dan ketinggian yang diturunkan dari atas ke alas jatuh ke pusat lingkaran yang dijelaskan di dekat alas.
Teorema ini juga dapat dirumuskan sebagai berikut:
Teorema 6.1 . Jika semua tepi sisi piramida sama, maka lingkaran dapat dibatasi di dekat dasar piramida seperti itu, dan ketinggian yang diturunkan dari atas ke alas jatuh ke pusat lingkaran terbatas di dekat alas.
Mari kita buktikan teorema dengan menggunakan contoh piramida segi empat. Biarkan piramida KABCD diberikan, K adalah puncaknya, ABCD adalah alasnya. Gambarkan ketinggian KO piramida. Pada bidang alas, hubungkan titik O (alas tinggi) dengan semua simpul alas A, B, C dan D. Sudut KBO adalah sudut antara tepi KB dan bidang alas ( sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis ini dan proyeksinya ke bidang ini). Dengan cara yang sama, kita buktikan bahwa sudut KSO, KAO dan KDO adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi yang bersesuaian KS, KA dan KD dengan bidang alas. Ketinggian KO tegak lurus dengan alas, oleh karena itu tegak lurus terhadap setiap garis lurus di bidang ini, mis. tegak lurus garis OA, OB, OC dan OD. Ini mengatakan bahwa segitiga KAO, KBO, KCO, KDO adalah persegi panjang.
Sudut-sudut KVO, KSO, KAO, dan KDO adalah sama (sesuai dengan ketentuan Teorema 6). Pertimbangkan segitiga KAO, KBO, KSO, KDO, mereka adalah persegi panjang dan sama (sepanjang kaki dan sudut lancip, KO adalah umum dan sudut KAO, KVO, KSO, KDO sama dengan syarat).
Membuktikan Teorema 6.1, kami juga mempertimbangkan segitiga KAO, KBO, KCO, KDO, mereka adalah persegi panjang dan sama kaki dan sisi miring (KO - persekutuan, KA=KV=KS=KD dengan kondisi teorema).
Dari persamaan segitiga tersebut diketahui bahwa masing-masing sisi OA, OB, OS dan OD adalah sama, yang berarti bahwa ada titik di alas yang berjarak sama dari titik sudut segi empat ABCD, yaitu lingkaran dapat dibatasi di sekitarnya.