Perhitungan kesalahan dalam pengukuran langsung dan tidak langsung
Pengukuran dipahami sebagai perbandingan nilai yang diukur dengan nilai lain, yang diambil sebagai unit pengukuran. Pengukuran dilakukan secara empiris menggunakan cara teknis khusus.
Pengukuran langsung disebut pengukuran, yang hasilnya diperoleh langsung dari data eksperimen (misalnya, mengukur panjang dengan penggaris, waktu dengan stopwatch, suhu dengan termometer). Pengukuran tidak langsung adalah pengukuran di mana nilai yang diinginkan dari suatu besaran ditemukan berdasarkan hubungan yang diketahui antara besaran ini dan besaran yang nilainya diperoleh dalam proses pengukuran langsung (misalnya, menentukan kecepatan sepanjang jarak yang ditempuh dan waktu https://pandia.ru/text/78/ 464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Setiap pengukuran, betapapun hati-hatinya dilakukan, pasti disertai dengan kesalahan (error) - penyimpangan hasil pengukuran dari nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur.
Kesalahan sistematik adalah kesalahan yang besarnya sama pada semua pengukuran yang dilakukan dengan metode yang sama dengan menggunakan alat ukur yang sama, dalam kondisi yang sama. Terjadi kesalahan sistematis:
Sebagai akibat dari ketidaksempurnaan instrumen yang digunakan dalam pengukuran (misalnya, jarum ammeter dapat menyimpang dari pembagian nol tanpa adanya arus; balok keseimbangan mungkin memiliki lengan yang tidak sama, dll.);
Sebagai akibat dari pengembangan teori metode pengukuran yang tidak memadai, yaitu metode pengukuran mengandung sumber kesalahan (misalnya, kesalahan terjadi ketika kehilangan panas ke lingkungan tidak diperhitungkan dalam pekerjaan kalorimetrik atau saat menimbang analisis analitik). keseimbangan dilakukan tanpa memperhitungkan gaya apung udara);
Sebagai akibat dari fakta bahwa perubahan kondisi percobaan tidak diperhitungkan (misalnya, selama aliran arus jangka panjang melalui sirkuit, sebagai akibat dari efek termal arus, parameter listrik perubahan sirkuit).
Kesalahan sistematis dapat dihilangkan jika fitur instrumen dipelajari, teori eksperimen dikembangkan lebih lengkap, dan atas dasar ini, koreksi dilakukan pada hasil pengukuran.
Kesalahan acak adalah kesalahan yang besarnya berbeda bahkan untuk pengukuran yang dilakukan dengan cara yang sama. Alasan mereka terletak pada ketidaksempurnaan indera kita, dan dalam banyak keadaan lain yang menyertai pengukuran, dan yang tidak dapat diperhitungkan sebelumnya (kesalahan acak terjadi, misalnya, jika kesetaraan bidang iluminasi fotometer diatur oleh mata. ; jika momen deviasi maksimum bandul matematika ditentukan oleh mata ; ketika menemukan momen resonansi suara oleh telinga; ketika menimbang timbangan analitik, jika getaran lantai dan dinding diteruskan ke timbangan, dll.) .
Kesalahan acak tidak dapat dihindari. Kemunculannya dimanifestasikan dalam kenyataan bahwa ketika mengulangi pengukuran dengan jumlah yang sama dengan perawatan yang sama, diperoleh hasil numerik yang berbeda satu sama lain. Oleh karena itu, jika nilai yang sama diperoleh saat mengulangi pengukuran, maka ini menunjukkan bukan tidak adanya kesalahan acak, tetapi sensitivitas metode pengukuran yang tidak mencukupi.
Kesalahan acak mengubah hasil baik dalam satu arah maupun ke arah lain dari nilai sebenarnya, oleh karena itu, untuk mengurangi pengaruh kesalahan acak pada hasil pengukuran, pengukuran biasanya diulang berkali-kali dan rata-rata aritmatika dari semua hasil pengukuran adalah diambil.
Hasil yang diketahui salah - kesalahan terjadi karena pelanggaran kondisi dasar pengukuran, sebagai akibat dari kurangnya perhatian atau kelalaian eksperimen. Misalnya, dalam pencahayaan yang buruk, alih-alih "3", tulis "8"; karena fakta bahwa eksperimen teralihkan, ia dapat tersesat ketika menghitung jumlah ayunan pendulum; karena kelalaian atau kurangnya perhatian, ia dapat mengacaukan massa beban saat menentukan kekakuan pegas, dll. Tanda eksternal dari miss adalah perbedaan besaran yang tajam dari hasil pengukuran lainnya. Jika kesalahan terdeteksi, hasil pengukuran harus segera dibuang, dan pengukuran itu sendiri harus diulang. Identifikasi kesalahan juga dibantu dengan perbandingan hasil pengukuran yang diperoleh oleh eksperimen yang berbeda.
Mengukur besaran fisika berarti menemukan selang kepercayaan di mana nilai sebenarnya terletak https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >. .png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> kasus, nilai sebenarnya dari nilai yang diukur berada dalam interval kepercayaan. nilai dinyatakan dalam pecahan unit, atau dalam persen Sebagian besar pengukuran dibatasi pada tingkat kepercayaan 0,9 atau 0,95 Kadang-kadang, ketika tingkat keandalan yang sangat tinggi diperlukan, tingkat kepercayaan 0,999 diberikan. Seiring dengan tingkat kepercayaan, tingkat signifikansi sering digunakan, yang menentukan probabilitas bahwa nilai sebenarnya tidak termasuk dalam interval kepercayaan. Hasil pengukuran disajikan sebagai
di mana https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> adalah kesalahan mutlak. Jadi, batas interval, https://pandia.ru / text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> terletak dalam kisaran ini.
Untuk menemukan dan , lakukan serangkaian pengukuran tunggal. Pertimbangkan contoh spesifik..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. Nilai dapat diulang, seperti nilai dan https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Dengan demikian, tingkat signifikansi .
Nilai rata-rata dari nilai terukur
Alat pengukur juga berkontribusi terhadap kesalahan pengukuran. Kesalahan ini disebabkan oleh desain perangkat (gesekan pada sumbu perangkat penunjuk, pembulatan yang dihasilkan oleh perangkat penunjuk digital atau diskrit, dll.). Berdasarkan sifatnya, ini adalah kesalahan sistematis, tetapi besaran maupun tandanya untuk instrumen khusus ini tidak diketahui. Kesalahan instrumental dievaluasi dalam proses pengujian serangkaian besar jenis instrumen yang sama.
Rentang kelas akurasi alat ukur yang dinormalisasi meliputi nilai-nilai berikut: 0,05; 0,1; 0.2; 0,5; 1.0; 1.5; 2.5; 4.0. Kelas akurasi perangkat sama dengan kesalahan relatif perangkat, dinyatakan sebagai persentase, dalam kaitannya dengan rentang skala penuh. Kesalahan paspor perangkat
Setiap pengukuran selalu dilakukan dengan beberapa kesalahan yang terkait dengan akurasi terbatas alat ukur, pilihan yang salah, dan kesalahan metode pengukuran, fisiologi peneliti, karakteristik objek yang diukur, perubahan kondisi pengukuran, dll. Oleh karena itu, tugas pengukuran mencakup tidak hanya menemukan kuantitas itu sendiri, tetapi juga kesalahan pengukuran, yaitu. interval di mana nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur paling mungkin ditemukan. Sebagai contoh, ketika mengukur interval waktu t dengan stopwatch dengan nilai pembagian 0,2 s, kita dapat mengatakan bahwa nilai sebenarnya berada dalam interval dari s ke 
dengan. Dengan demikian, nilai yang diukur selalu mengandung beberapa kesalahan 
, di mana 
dan X masing-masing adalah nilai sebenarnya dan terukur dari besaran yang diteliti. Nilai 
ditelepon kesalahan mutlak(kesalahan) pengukuran, dan ekspresi 
mencirikan akurasi pengukuran disebut Kesalahan relatif.
Sangat wajar bagi eksperimenter untuk berusaha membuat setiap pengukuran dengan akurasi terbesar yang dapat dicapai, tetapi pendekatan seperti itu tidak selalu bijaksana. Semakin akurat kita ingin mengukur kuantitas ini atau itu, semakin kompleks instrumen yang harus kita gunakan, semakin banyak waktu yang diperlukan untuk pengukuran ini. Oleh karena itu, keakuratan hasil akhir harus sesuai dengan tujuan percobaan. Teori kesalahan memberikan rekomendasi tentang bagaimana pengukuran harus dilakukan dan bagaimana hasil harus diproses sehingga margin kesalahan sekecil mungkin.
Semua kesalahan yang timbul selama pengukuran biasanya dibagi menjadi tiga jenis - kesalahan sistematis, acak dan meleset, atau kesalahan besar.
Kesalahan sistematis karena keterbatasan akurasi pembuatan perangkat (kesalahan instrumen), kekurangan metode pengukuran yang dipilih, ketidaktepatan rumus perhitungan, pemasangan perangkat yang tidak tepat, dll. Dengan demikian, kesalahan sistematis disebabkan oleh faktor-faktor yang bertindak dengan cara yang sama ketika pengukuran yang sama diulang berkali-kali. Nilai kesalahan ini secara sistematis diulang atau diubah menurut hukum tertentu. Beberapa kesalahan sistematis dapat dihilangkan (dalam praktiknya, ini selalu mudah dicapai) dengan mengubah metode pengukuran, memperkenalkan koreksi pada pembacaan instrumen, dan mempertimbangkan pengaruh konstan dari faktor eksternal.
Meskipun kesalahan sistematis (instrumental) selama pengukuran berulang memberikan penyimpangan nilai terukur dari nilai sebenarnya dalam satu arah, kita tidak pernah tahu ke arah mana. Oleh karena itu, kesalahan instrumental ditulis dengan tanda ganda
Kesalahan acak disebabkan oleh sejumlah besar penyebab acak (perubahan suhu, tekanan, guncangan bangunan, dll.), yang efeknya pada setiap pengukuran berbeda dan tidak dapat diperhitungkan sebelumnya. Kesalahan acak juga terjadi karena ketidaksempurnaan organ indera peneliti. Kesalahan acak juga termasuk kesalahan karena sifat-sifat objek yang diukur.
Tidak mungkin untuk mengecualikan kesalahan acak dari pengukuran individu, tetapi dimungkinkan untuk mengurangi pengaruh kesalahan ini pada hasil akhir dengan melakukan beberapa pengukuran. Jika kesalahan acak ternyata jauh lebih kecil daripada kesalahan instrumental (sistematis), maka tidak ada gunanya mengurangi kesalahan acak lebih lanjut dengan meningkatkan jumlah pengukuran. Jika kesalahan acak lebih besar dari kesalahan instrumental, maka jumlah pengukuran harus ditingkatkan untuk mengurangi nilai kesalahan acak dan membuatnya kurang dari atau satu urutan besarnya dengan kesalahan instrumental.
Kesalahan atau blunder- ini adalah pembacaan yang salah pada perangkat, rekaman pembacaan yang salah, dll. Sebagai aturan, kesalahan karena alasan yang ditunjukkan terlihat jelas, karena bacaan yang sesuai dengannya sangat berbeda dari bacaan lain. Kesalahan harus dihilangkan dengan pengukuran kontrol. Dengan demikian, lebar interval di mana nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur terletak hanya akan ditentukan oleh kesalahan acak dan sistematis.
2 . Estimasi kesalahan sistematis (instrumental)
Untuk pengukuran langsung nilai besaran yang diukur dibaca langsung pada skala alat ukur. Kesalahan pembacaan bisa mencapai beberapa persepuluh dari pembagian skala. Biasanya, dalam pengukuran seperti itu, besarnya kesalahan sistematis dianggap sama dengan setengah pembagian skala alat ukur. Misalnya, saat mengukur dengan jangka sorong dengan nilai pembagian 0,05 mm, nilai kesalahan pengukuran instrumental diambil sama dengan 0,025 mm.
Alat ukur digital memberikan nilai besaran yang diukur dengan kesalahan yang sama dengan nilai satu satuan angka terakhir pada skala alat tersebut. Jadi, jika voltmeter digital menunjukkan nilai 20,45 mV, maka kesalahan mutlak dalam pengukuran adalah 
mV.
Kesalahan sistematis juga muncul saat menggunakan nilai konstanta yang ditentukan dari tabel. Dalam kasus seperti itu, kesalahan diambil sama dengan setengah dari angka penting terakhir. Misalnya, jika dalam tabel nilai densitas baja diberikan dengan nilai yang sama dengan 7,9∙10 3 kg / m 3, maka kesalahan mutlak dalam hal ini adalah sama dengan 
kg/m3.
Beberapa fitur dalam perhitungan kesalahan instrumental alat ukur listrik akan dibahas di bawah ini.
Saat menentukan kesalahan sistematis (instrumental) dari pengukuran tidak langsung nilai fungsional 
rumus yang digunakan
, (1)
di mana 
- kesalahan instrumen pengukuran langsung kuantitas 
, 
- turunan parsial dari fungsi terhadap variabel .
Sebagai contoh, kita akan memperoleh rumus untuk menghitung kesalahan sistematik saat mengukur volume tabung. Rumus untuk menghitung volume tabung adalah
.
Turunan parsial terhadap variabel d dan h akan sama
, 
.
Dengan demikian, rumus untuk menentukan kesalahan sistematik absolut dalam mengukur volume tabung sesuai dengan (2. ..) memiliki bentuk sebagai berikut
,
di mana 
dan 
kesalahan instrumental dalam mengukur diameter dan tinggi silinder
3. Estimasi kesalahan acak.
Interval Keyakinan dan Probabilitas Keyakinan
Untuk sebagian besar pengukuran sederhana, apa yang disebut hukum normal kesalahan acak dipenuhi dengan cukup baik ( hukum Gauss), diturunkan dari ketentuan empiris berikut.
kesalahan pengukuran dapat mengambil serangkaian nilai yang berkelanjutan;
dengan sejumlah besar pengukuran, kesalahan dengan besaran yang sama, tetapi dengan tanda yang berbeda, sering terjadi sama,
Semakin besar kesalahan acak, semakin kecil kemungkinan itu terjadi.
Grafik distribusi normal Gaussian ditunjukkan pada Gambar.1. Persamaan kurva memiliki bentuk
, (2)
di mana 
- fungsi distribusi kesalahan acak (kesalahan), mencirikan kemungkinan kesalahan 
, adalah kesalahan kuadrat rata-rata akar.
Nilai bukan merupakan variabel acak dan mencirikan proses pengukuran. Jika kondisi pengukuran tidak berubah, maka tetap konstan. Kuadrat dari besaran ini disebut dispersi pengukuran. Semakin kecil dispersi, semakin kecil penyebaran nilai individu dan semakin tinggi akurasi pengukuran.
Nilai pasti dari kesalahan akar-rata-rata-kuadrat , serta nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur, tidak diketahui. Ada yang disebut perkiraan statistik dari parameter ini, yang menurutnya kesalahan kuadrat rata-rata sama dengan kesalahan kuadrat rata-rata dari rata-rata aritmatika 
. Nilainya ditentukan oleh rumus
, (3)
di mana 
- hasil saya-dimensi; 
- rata-rata aritmatika dari nilai yang diperoleh; n
adalah jumlah pengukuran.
Semakin besar jumlah pengukuran, semakin kecil dan semakin mendekati . Jika nilai sebenarnya dari nilai terukur , nilai rata-rata aritmatika yang diperoleh sebagai hasil pengukuran , dan kesalahan mutlak acak , maka hasil pengukuran akan ditulis sebagai 
.
Interval nilai dari 
sebelum 
, di mana nilai sebenarnya dari besaran terukur jatuh, disebut interval kepercayaan. Karena itu adalah variabel acak, nilai sebenarnya jatuh ke dalam interval kepercayaan dengan probabilitas , yang disebut probabilitas kepercayaan, atau keandalan pengukuran. Nilai ini secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang diarsir. (lihat gambar.)
Semua ini berlaku untuk jumlah pengukuran yang cukup besar, ketika mendekati . Untuk menemukan interval kepercayaan dan tingkat kepercayaan untuk sejumlah kecil pengukuran, yang kita tangani selama pekerjaan laboratorium, kami menggunakan Distribusi probabilitas siswa. Ini adalah distribusi probabilitas dari variabel acak 
ditelepon Koefisien siswa, memberikan nilai interval kepercayaan dalam pecahan akar rata-rata kuadrat kesalahan rata-rata aritmatika.
. (4)
Distribusi probabilitas kuantitas ini tidak tergantung pada 2 , tetapi pada dasarnya tergantung pada jumlah percobaan n. Dengan peningkatan jumlah eksperimen n Distribusi siswa cenderung ke distribusi Gaussian.
Fungsi distribusi ditabulasikan (Tabel 1). Nilai koefisien Student berada pada perpotongan garis yang sesuai dengan banyaknya pengukuran n, dan kolom yang sesuai dengan tingkat kepercayaan
Tabel 1.
Dengan menggunakan data dalam tabel, Anda dapat:
tentukan selang kepercayaan, dengan probabilitas tertentu;
pilih selang kepercayaan dan tentukan tingkat kepercayaannya.
Untuk pengukuran tidak langsung, kesalahan akar rata-rata kuadrat dari rata-rata aritmatika fungsi dihitung dengan rumus:
. (5)
Interval kepercayaan dan probabilitas kepercayaan ditentukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus pengukuran langsung.
Estimasi kesalahan pengukuran total. Merekam hasil akhir.
Total error hasil pengukuran X akan didefinisikan sebagai nilai kuadrat rata-rata dari kesalahan sistematis dan acak
, (6)
di mana x - kesalahan instrumental, X adalah kesalahan acak.
X dapat berupa besaran yang diukur secara langsung atau tidak langsung.
, =…, =… (7)
Harus diingat bahwa rumus teori kesalahan itu sendiri berlaku untuk sejumlah besar pengukuran. Oleh karena itu, nilai acak, dan akibatnya, kesalahan total ditentukan untuk kecil n dengan kesalahan besar. Saat menghitung X dengan jumlah pengukuran 
direkomendasikan untuk dibatasi pada satu angka penting jika lebih besar dari 3 dan dua jika angka penting pertama lebih kecil dari 3. Misalnya, jika X= 0,042, lalu buang 2 dan tulis X=0,04, dan jika X=0,123, maka kita tulis X=0,12.
Jumlah digit hasil dan total error harus sama. Oleh karena itu, rata-rata aritmatika dari kesalahan harus sama. Oleh karena itu, rata-rata aritmatika pertama-tama dihitung dengan satu digit lebih banyak daripada pengukuran, dan saat merekam hasilnya, nilainya disempurnakan menjadi jumlah digit kesalahan total.
4. Metodologi untuk menghitung kesalahan pengukuran.
Kesalahan pengukuran langsung
Saat memproses hasil pengukuran langsung, disarankan untuk menggunakan urutan operasi berikut.
. (8)
.
.
Kesalahan total ditentukan
Kesalahan relatif dari hasil pengukuran diperkirakan
.
Hasil akhirnya ditulis sebagai
, dengan =… E=…%.
5. Kesalahan pengukuran tidak langsung
Ketika mengevaluasi nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur secara tidak langsung , yang merupakan fungsi dari kuantitas independen lainnya 
, dua metode dapat digunakan.
Cara pertama digunakan jika nilai kamu ditentukan dalam berbagai kondisi percobaan. Dalam hal ini, untuk setiap nilai, 
, dan kemudian rata-rata aritmatika dari semua nilai ditentukan kamu saya
. (9)
Kesalahan sistematis (instrumental) ditemukan berdasarkan kesalahan instrumental yang diketahui dari semua pengukuran menurut rumus. Kesalahan acak dalam hal ini didefinisikan sebagai kesalahan pengukuran langsung.
Cara kedua berlaku jika fungsi kamu ditentukan beberapa kali dengan pengukuran yang sama. Dalam hal ini, nilai dihitung dari nilai rata-rata. Dalam praktik laboratorium kami, metode kedua untuk menentukan kuantitas yang diukur secara tidak langsung lebih sering digunakan kamu. Kesalahan sistematis (instrumental), seperti pada metode pertama, ditemukan berdasarkan kesalahan instrumental yang diketahui dari semua pengukuran menurut rumus
Untuk menemukan kesalahan acak dari pengukuran tidak langsung, kesalahan akar kuadrat rata-rata dari rata-rata aritmatika pengukuran individu pertama-tama dihitung. Kemudian kesalahan akar rata-rata kuadrat ditemukan kamu. Menetapkan probabilitas kepercayaan , menemukan koefisien Student , menentukan kesalahan acak dan kesalahan total dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus pengukuran langsung. Demikian pula, hasil dari semua perhitungan disajikan dalam bentuk
, dengan =… E=…%.
6. Contoh mendesain pekerjaan laboratorium
Lab #1
PENENTUAN VOLUME SILINDER
Aksesoris: jangka sorong dengan nilai pembagian 0,05 mm, mikrometer dengan nilai pembagian 0,01 mm, benda silinder.
Objektif: pengenalan dengan pengukuran fisik paling sederhana, menentukan volume silinder, menghitung kesalahan pengukuran langsung dan tidak langsung.
Perintah kerja
Ambil setidaknya 5 pengukuran diameter silinder dengan jangka sorong, dan tingginya dengan mikrometer.
Rumus perhitungan untuk menghitung volume silinder
di mana d adalah diameter silinder; h adalah ketinggian.
Hasil pengukuran
Meja 2.
Pengukuran No. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5%.
, E = 0,5%.
Dalam kebanyakan kasus, tujuan akhir pekerjaan laboratorium adalah menghitung nilai yang diinginkan menggunakan beberapa rumus, yang mencakup besaran yang diukur secara langsung. Pengukuran seperti itu disebut tidak langsung. Sebagai contoh, kami memberikan rumus untuk massa jenis benda silinder padat
di mana r adalah kepadatan tubuh, m- massa tubuh, d- diameter silinder, h- tinggi nya.
Ketergantungan (A.5) secara umum dapat direpresentasikan sebagai berikut:
di mana kamu adalah besaran yang diukur secara tidak langsung, dalam rumus (A.5) adalah densitas r; X 1 , X 2 ,... ,X n adalah kuantitas yang diukur secara langsung, dalam rumus (A.5) ini adalah: m, d, dan h.
Hasil pengukuran tidak langsung tidak dapat akurat, karena hasil pengukuran langsung besaran X 1 , x2, ... ,X n selalu mengandung kesalahan. Oleh karena itu, untuk pengukuran tidak langsung, maupun untuk pengukuran langsung, perlu dilakukan pendugaan selang kepercayaan (kesalahan mutlak) dari nilai yang diperoleh. DY dan kesalahan relatif e.
Saat menghitung kesalahan dalam kasus pengukuran tidak langsung, akan lebih mudah untuk mengikuti urutan tindakan berikut:
1) dapatkan nilai rata-rata dari setiap kuantitas yang diukur secara langsung á x1ñ, á x2ñ, …, á X nñ;
2) dapatkan nilai rata-rata dari besaran yang diukur secara tidak langsung á kamu dengan mensubstitusikan ke dalam rumus (A.6) nilai rata-rata dari besaran yang diukur secara langsung;
3) untuk mengevaluasi kesalahan absolut dari kuantitas yang diukur secara langsung DX 1 , DX 2 , ..., DXn, menggunakan rumus (A.2) dan (A.3);
4) berdasarkan bentuk eksplisit dari fungsi (A.6), dapatkan rumus untuk menghitung kesalahan absolut dari nilai yang diukur secara tidak langsung DY dan menghitungnya;
6) tuliskan hasil pengukuran, dengan memperhitungkan kesalahannya.
Di bawah ini, tanpa penurunan, diberikan rumus yang memungkinkan seseorang memperoleh rumus untuk menghitung galat absolut, jika bentuk eksplisit dari fungsi (A.6) diketahui:
dimana Y¤¶ x1 dll. - turunan parsial dari Y sehubungan dengan semua besaran yang diukur secara langsung X 1 , X 2 , …, X n (ketika turunan parsial diambil, misalnya X 1 , maka semua besaran lainnya X saya dianggap konstan dalam rumus), D X saya– kesalahan mutlak dari besaran yang diukur secara langsung, dihitung menurut (A.3).
Setelah menghitung DY, mereka menemukan kesalahan relatif.
Namun, jika fungsi (A.6) adalah monomial, maka jauh lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif terlebih dahulu, dan kemudian kesalahan absolut.
Memang, membagi kedua sisi persamaan (A.7) dengan kamu, kita mendapatkan
Tapi karena , kita bisa menulis
Sekarang, mengetahui kesalahan relatif, tentukan yang absolut.
Sebagai contoh, kami memperoleh rumus untuk menghitung kesalahan dalam kepadatan suatu zat, ditentukan oleh rumus (A.5). Karena (A.5) adalah monomial, maka, seperti disebutkan di atas, lebih mudah untuk terlebih dahulu menghitung kesalahan pengukuran relatif menurut (A.8). Dalam (A.8), di bawah akar kita memiliki jumlah kuadrat dari turunan parsial dari logaritma kuantitas terukur, jadi pertama-tama kita cari logaritma natural r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d–ln h,
dan kemudian kami menggunakan rumus (A.8) dan memperolehnya
Seperti dapat dilihat, dalam (A.9) nilai rata-rata dari besaran yang diukur secara langsung dan kesalahan absolutnya, yang dihitung dengan metode pengukuran langsung menurut (A.3), digunakan. Kesalahan yang disebabkan oleh angka p tidak diperhitungkan, karena nilainya selalu dapat diambil dengan akurasi yang melebihi akurasi pengukuran semua besaran lainnya. Menghitung e, kami menemukan .
Jika pengukuran tidak langsung independen (kondisi setiap percobaan berikutnya berbeda dari kondisi sebelumnya), maka nilai kuantitas kamu dihitung untuk setiap percobaan individu. Setelah menghasilkan n pengalaman, dapatkan n nilai-nilai aku. Selanjutnya, ambil masing-masing nilai aku(di mana saya- jumlah pengalaman) untuk hasil pengukuran langsung, hitung á kamu dan D kamu menurut rumus (A.1) dan (A.2), masing-masing.
Hasil akhir dari pengukuran langsung dan tidak langsung akan terlihat seperti ini:
di mana m- eksponen, kamu– satuan ukuran kamu.
KESALAHAN PENGUKURAN KUANTITAS FISIK DAN
PENGOLAHAN HASIL PENGUKURAN
dengan pengukuran disebut menemukan nilai besaran fisika secara empiris dengan bantuan sarana teknis khusus. Pengukuran dilakukan secara langsung atau tidak langsung. Pada langsung pengukuran, nilai yang diinginkan dari kuantitas fisik ditemukan secara langsung dengan bantuan alat ukur (misalnya, mengukur dimensi benda menggunakan jangka sorong). tidak langsung disebut pengukuran di mana nilai yang diinginkan dari suatu besaran fisis ditemukan berdasarkan hubungan fungsional yang diketahui antara besaran yang diukur dan besaran yang dikenai pengukuran langsung. Misalnya, ketika menentukan volume V sebuah silinder, diameter D dan tingginya H diukur, dan kemudian sesuai dengan rumus: p D 2/4 hitunglah volumenya.
Karena ketidaktepatan alat ukur dan sulitnya memperhitungkan semua efek samping dalam pengukuran, kesalahan pengukuran pasti muncul. kesalahan atau kesalahan pengukuran mengacu pada penyimpangan hasil pengukuran dari nilai sebenarnya dari besaran fisis yang diukur. Kesalahan pengukuran biasanya tidak diketahui, seperti nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur. Oleh karena itu, tugas pemrosesan dasar dari hasil pengukuran adalah untuk menetapkan interval di mana nilai sebenarnya dari kuantitas fisik yang diukur terletak dengan probabilitas tertentu.
Klasifikasi kesalahan pengukuran
Kesalahan dibagi menjadi tiga jenis:
1) kotor atau meleset,
2) sistematis,
3) acak.
kesalahan besar- ini adalah pengukuran yang salah akibat pembacaan yang ceroboh pada perangkat, rekaman pembacaan yang tidak terbaca. Misalnya, menulis hasil 26,5 bukannya 2,65; membaca pada skala 18 bukannya 13, dll. Jika kesalahan besar terdeteksi, hasil pengukuran ini harus segera dibuang, dan pengukuran itu sendiri harus diulang.
Kesalahan sistematis- kesalahan yang tetap konstan selama pengukuran berulang atau berubah menurut hukum tertentu. Kesalahan ini mungkin disebabkan oleh pilihan metode pengukuran yang salah, ketidaksempurnaan atau malfungsi instrumen (misalnya, pengukuran menggunakan instrumen yang memiliki offset nol). Untuk menghilangkan kesalahan sistematis sebanyak mungkin, seseorang harus selalu menganalisis metode pengukuran dengan hati-hati, membandingkan instrumen dengan standar. Di masa depan, kami akan berasumsi bahwa semua kesalahan sistematis telah dihilangkan, kecuali yang disebabkan oleh ketidakakuratan dalam pembuatan perangkat dan kesalahan membaca. Kami akan menyebut kesalahan ini perangkat keras.
Kesalahan acak - Ini adalah kesalahan, yang penyebabnya tidak dapat diperhitungkan sebelumnya. Kesalahan acak tergantung pada ketidaksempurnaan organ indera kita, pada tindakan terus menerus dari perubahan kondisi eksternal (perubahan suhu, tekanan, kelembaban, getaran udara, dll.). Kesalahan acak tidak dapat dihindari, mereka pasti ada di semua pengukuran, tetapi mereka dapat diperkirakan dengan menggunakan metode teori probabilitas.
Memproses hasil pengukuran langsung
Biarkan, sebagai hasil pengukuran langsung dari kuantitas fisik, serangkaian nilainya diperoleh:
x 1 , x 2 , ... x n .
Mengetahui rangkaian angka ini, Anda perlu menunjukkan nilai yang paling dekat dengan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur, dan menemukan nilai kesalahan acak. Masalah ini diselesaikan berdasarkan teori probabilitas, presentasi terperinci yang berada di luar cakupan kursus kami.
Nilai yang paling mungkin dari kuantitas fisik yang diukur (mendekati nilai sebenarnya) adalah mean aritmatika
. (1)
Di sini x i adalah hasil pengukuran ke-i; n adalah jumlah pengukuran. Kesalahan pengukuran acak dapat diperkirakan dengan kesalahan absolut D x, yang dihitung dengan rumus
,
(2)
dimana t(a ,n) - Koefisien siswa, tergantung pada jumlah pengukuran n dan tingkat kepercayaan sebuah . Nilai kepercayaan diri sebuah ditetapkan oleh eksperimenter.
Kemungkinan kejadian acak adalah rasio jumlah kasus yang menguntungkan untuk kejadian ini dengan jumlah total kasus yang kemungkinannya sama. Peluang suatu kejadian pasti adalah 1, dan yang tidak mungkin adalah 0.
Nilai koefisien Student yang sesuai dengan tingkat kepercayaan yang diberikan sebuah dan sejumlah pengukuran n, temukan menurut tabel. satu.
Tabel 1
|
Nomor pengukuran n |
Probabilitas keyakinan sebuah |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Dari Tabel. 1 dapat dilihat bahwa nilai koefisien Student dan kesalahan pengukuran acak semakin kecil, semakin besar n dan semakin kecil sebuah . Praktis memilih sebuah =0,95. Namun, peningkatan sederhana dalam jumlah pengukuran tidak dapat mengurangi kesalahan total menjadi nol, karena setiap alat pengukur memberikan kesalahan.
Mari kita jelaskan arti dari istilah kesalahan mutlak D x dan tingkat kepercayaan sebuah menggunakan garis bilangan. Biarkan nilai rata-rata dari kuantitas yang diukur
Gambar 1
Jika pengukuran besaran yang sama diulangi oleh alat yang sama dalam kondisi yang sama, maka nilai sebenarnya dari besaran yang diukur x ist akan jatuh ke dalam selang kepercayaan yang sama, tetapi pukulan tidak dapat diandalkan, tetapi dengan probabilitas sebuah.
Menghitung besarnya kesalahan absolut D x dengan rumus (2), nilai sebenarnya x dari besaran fisis terukur dapat ditulis sebagai x=
Untuk menilai keakuratan pengukuran besaran fisika, hitunglah Kesalahan relatif yang biasanya dinyatakan sebagai persentase
. (3)
Dengan demikian, saat memproses hasil pengukuran langsung, perlu dilakukan hal-hal berikut:
1. Lakukan pengukuran sebanyak n kali.
2. Hitung mean aritmatika menggunakan rumus (1).
3. Tetapkan tingkat kepercayaan diri a (biasanya ambil a = 0,95).
4. Berdasarkan Tabel 1, carilah koefisien Student yang sesuai dengan tingkat kepercayaan yang diberikan sebuah dan jumlah dimensi n.
5. Hitung galat mutlak menggunakan rumus (2) dan bandingkan dengan galat instrumental. Untuk perhitungan lebih lanjut, ambil yang lebih besar.
6. Dengan menggunakan rumus (3), hitung kesalahan relatif e.
7. Tuliskan hasil akhirnya
x=
Memproses hasil pengukuran tidak langsung
Biarkan kuantitas fisik yang diinginkan y dikaitkan dengan kuantitas lain x 1 , x 2 , ... x k oleh beberapa ketergantungan fungsional
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Diantara nilai x 1 , x 2 , ... x k terdapat nilai yang diperoleh dari pengukuran langsung dan data tabular. Hal ini diperlukan untuk menentukan mutlak D y dan kerabat e kesalahan dalam nilai y.
Dalam kebanyakan kasus, lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif terlebih dahulu, dan kemudian kesalahan absolut. Dari teori probabilitas, kesalahan relatif pengukuran tidak langsung
.
(5)
Di Sini 
, Dimana adalah turunan parsial dari fungsi terhadap variabel x i, dalam perhitungan yang semua nilai, kecuali untuk x i , dianggap konstan; D x i adalah kesalahan mutlak dari x i . Jika x i diperoleh sebagai hasil pengukuran langsung, maka nilai rata-ratanya
Mari kita tulis hasil akhirnya:
y=
Di Sini
Biasanya, kesalahan acak dan sistematis (instrumental) hadir dalam pengukuran nyata. Jika kesalahan acak yang dihitung dari pengukuran langsung sama dengan nol atau kurang dari kesalahan perangkat keras sebanyak dua kali atau lebih, maka ketika menghitung kesalahan pengukuran tidak langsung, kesalahan perangkat keras harus diperhitungkan. Jika kesalahan ini berbeda kurang dari dua kali, maka kesalahan absolut dihitung dengan rumus:
.
Pertimbangkan sebuah contoh. Biarkan perlu untuk menghitung volume silinder:
. (6)
Di sini D adalah diameter silinder, H adalah tingginya, diukur dengan jangka sorong dengan nilai pembagian 0,1 mm. Sebagai hasil dari pengukuran berulang, kami menemukan nilai rata-rata
,
(7)
dimana D D dan D H adalah kesalahan mutlak pengukuran langsung diameter dan tinggi. Nilainya dihitung dengan rumus (2): D D=0,01 mm; D H = 0,13 mm. Mari kita bandingkan kesalahan yang dihitung dengan kesalahan perangkat keras, sama dengan nilai pembagian caliper. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D bukan 0,01 mm, tetapi 0,1 mm.
nilai p harus dipilih sedemikian rupa sehingga kesalahan relatif Dp/p dalam rumus (7) dapat diabaikan. Dari analisis nilai terukur dan kesalahan absolut yang dihitung D D dan D H, dapat dilihat bahwa kesalahan pengukuran tinggi memberikan kontribusi terbesar terhadap kesalahan pengukuran volume relatif. Menghitung kesalahan ketinggian relatif memberikan e H = 0,01. Oleh karena itu, nilai p Anda perlu mengambil 3.14. Pada kasus ini Dp / p » 0,001 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002).
Satu angka penting tertinggal dalam kesalahan absolut.
Catatan.
1. Jika pengukuran dilakukan sekali atau hasil beberapa kali pengukuran sama, maka kesalahan pengukuran mutlak harus dianggap sebagai kesalahan instrumental, yang untuk sebagian besar alat yang digunakan sama dengan nilai pembagian alat (untuk lebih detail tentang kesalahan instrumental, lihat bagian “Alat ukur”).
2. Jika data tabular atau data eksperimen diberikan tanpa menentukan kesalahannya, maka kesalahan mutlak dari angka-angka tersebut diambil sama dengan setengah urutan digit signifikan terakhir.
Tindakan dengan perkiraan angka
Masalah akurasi perhitungan yang berbeda sangat penting, karena perkiraan akurasi perhitungan yang berlebihan menyebabkan banyak pekerjaan yang tidak perlu. Siswa sering menghitung nilai yang mereka cari dengan ketelitian lima atau lebih angka penting. Harus dipahami bahwa presisi ini berlebihan. Tidak masuk akal untuk melakukan perhitungan di luar batas akurasi, yang disediakan oleh akurasi penentuan kuantitas yang diukur secara langsung. Setelah memproses pengukuran, mereka sering tidak menghitung kesalahan hasil individu dan menilai kesalahan nilai perkiraan kuantitas, menunjukkan jumlah digit signifikan yang benar dalam angka ini.
Sosok penting Angka perkiraan disebut semua digit kecuali nol, serta nol dalam dua kasus:
1) ketika berdiri di antara angka penting (misalnya, dalam angka 1071 - empat angka penting);
2) ketika berdiri di akhir nomor dan ketika diketahui bahwa unit dari digit yang sesuai tidak tersedia di nomor yang diberikan. Contoh. Ada tiga angka penting dalam angka 5.20, dan ini berarti bahwa ketika mengukur kami memperhitungkan tidak hanya satuan, tetapi juga persepuluh dan perseratus, dan dalam angka 5.2 - hanya dua angka penting, yang berarti bahwa kami hanya memperhitungkan bilangan bulat dan sepersepuluh.
Perkiraan perhitungan harus dilakukan sesuai dengan aturan berikut.
1. Saat menambah dan mengurangi sebagai hasilnya, pertahankan tempat desimal sebanyak yang ada dalam angka dengan jumlah tempat desimal paling sedikit. Contoh: 0.8934+3.24+1.188=5.3214» 5.32. Jumlahnya harus dibulatkan menjadi seperseratus, mis. ambil sama dengan 5,32.
2. Saat mengalikan dan membagi sebagai hasilnya, banyak angka penting yang dipertahankan sebagai perkiraan angka dengan angka penting paling sedikit. Misalnya, Anda perlu mengalikan 8,632 2.8´ 3.53. Sebaliknya, ekspresi harus dievaluasi
8,6 2,8 3,5 » 81.
Saat menghitung hasil antara, mereka menyimpan satu digit lebih banyak daripada yang direkomendasikan oleh aturan (disebut digit cadangan). Pada hasil akhir, angka cadangan dibuang. Untuk memperjelas nilai digit signifikan terakhir dari hasil, Anda perlu menghitung digit di belakangnya. Jika ternyata kurang dari lima, itu harus dibuang, dan jika lima atau lebih dari lima, maka, setelah membuangnya, angka sebelumnya harus ditambah satu. Biasanya, satu digit signifikan tertinggal dalam kesalahan absolut, dan nilai terukur dibulatkan ke atas ke digit di mana digit signifikan dari kesalahan absolut berada.
3. Hasil perhitungan nilai fungsi x n , , lg( x) beberapa angka perkiraan x harus mengandung angka penting sebanyak yang ada pada bilangan tersebut x. Sebagai contoh: 
.
Merencanakan
Hasil yang diperoleh selama pelaksanaan pekerjaan laboratorium seringkali penting dan harus disajikan dalam hubungan grafis. Untuk membuat grafik, berdasarkan pengukuran yang dilakukan, perlu untuk menyusun tabel di mana setiap nilai dari salah satu kuantitas sesuai dengan nilai tertentu dari yang lain.
Grafik dibuat pada kertas grafik. Saat membuat grafik, nilai variabel independen harus diplot pada absis, dan nilai fungsi pada ordinat. Di dekat setiap sumbu, Anda perlu menulis penunjukan nilai yang ditampilkan dan menunjukkan dalam satuan apa yang diukur (Gbr. 2).
Gbr.2
Untuk konstruksi grafik yang benar, pemilihan skala penting: kurva menempati seluruh lembar, dan dimensi grafik panjang dan tinggi kira-kira sama. Skalanya harus sederhana. Cara termudah adalah jika unit nilai yang diukur (0,1; 10; 100, dll.) sesuai dengan 1, 2 atau 5 cm. Harus diingat bahwa perpotongan sumbu koordinat tidak harus bertepatan dengan nilai nol dari nilai yang diplot (Gbr. 2).
Setiap nilai eksperimen yang diperoleh diplot pada grafik dengan cara yang cukup mencolok: titik, tanda silang, dll.
Kesalahan ditunjukkan untuk nilai yang diukur dalam bentuk segmen dengan panjang interval kepercayaan, di mana titik eksperimental berada. Karena indikasi kesalahan mengacaukan grafik, ini dilakukan hanya jika informasi tentang kesalahan benar-benar diperlukan: ketika membangun kurva dari titik eksperimental, ketika menentukan kesalahan menggunakan grafik, ketika membandingkan data eksperimen dengan kurva teoretis (Gambar 2) . Seringkali cukup untuk menentukan kesalahan untuk satu atau lebih poin.
Hal ini diperlukan untuk menggambar kurva mulus melalui titik-titik eksperimental. Seringkali, titik-titik eksperimental dihubungkan oleh garis putus-putus sederhana. Jadi, seolah-olah, ditunjukkan bahwa kuantitas bergantung satu sama lain dalam beberapa cara yang gelisah. Dan ini luar biasa. Kurva harus mulus dan tidak boleh melewati titik-titik yang ditandai, tetapi dekat dengan titik-titik tersebut sehingga titik-titik ini berada di kedua sisi kurva pada jarak yang sama darinya. Jika ada titik yang sangat jatuh dari grafik, maka pengukuran ini harus diulang. Oleh karena itu, diinginkan untuk membangun grafik secara langsung selama percobaan. Grafik kemudian dapat berfungsi untuk mengontrol dan meningkatkan pengamatan.
ALAT UKUR DAN AKUNTANSI UNTUK KESALAHANNYA
Alat ukur digunakan untuk pengukuran langsung besaran fisis. Setiap alat ukur tidak memberikan nilai sebenarnya dari nilai yang diukur. Hal ini disebabkan, pertama, karena tidak mungkin untuk secara akurat membaca nilai yang diukur pada skala alat, dan kedua, karena ketidaktepatan dalam pembuatan alat ukur. Untuk memperhitungkan faktor pertama, kesalahan pembacaan x o diperkenalkan, untuk yang kedua - kesalahan yang diizinkanΔ x d. Jumlah kesalahan ini membentuk kesalahan instrumental atau absolut dari perangkatΔ x:
.
Kesalahan yang diizinkan dinormalisasi oleh standar negara bagian dan ditunjukkan dalam paspor atau deskripsi perangkat.
Kesalahan pembacaan biasanya diambil sama dengan setengah pembagian instrumen, tetapi untuk beberapa instrumen (stopwatch, barometer aneroid) - sama dengan pembagian instrumen (karena posisi panah instrumen ini berubah dalam lompatan satu divisi) dan bahkan beberapa pembagian skala, jika kondisi percobaan tidak memungkinkan dengan percaya diri menghitung hingga satu pembagian (misalnya, dengan penunjuk tebal atau pencahayaan yang buruk). Dengan demikian, kesalahan penghitungan ditentukan oleh eksperimen sendiri, yang sebenarnya mencerminkan kondisi eksperimen tertentu.
Jika kesalahan yang diizinkan jauh lebih kecil daripada kesalahan membaca, maka itu dapat diabaikan. Biasanya, kesalahan mutlak instrumen diambil sama dengan pembagian skala instrumen.
Penggaris pengukur biasanya memiliki pembagian milimeter. Untuk pengukuran, disarankan untuk menggunakan baja atau penggaris gambar dengan kemiringan. Kesalahan yang diizinkan dari penggaris tersebut adalah 0,1 mm dan dapat diabaikan, karena jauh lebih kecil daripada kesalahan membaca yang sama dengan ± 0,5 mm. Kesalahan yang diizinkan dari penggaris kayu dan plastik± 1mm.
Kesalahan pengukuran mikrometer yang diizinkan tergantung pada batas atas pengukuran dan dapat ± (3-4) m (untuk mikrometer dengan rentang pengukuran 0-25 mm). Setengah dari nilai pembagian diambil sebagai kesalahan pembacaan. Dengan demikian, kesalahan absolut mikrometer dapat diambil sama dengan nilai pembagian, yaitu. 0,01 mm.
Saat menimbang, kesalahan timbangan teknis yang diizinkan tergantung pada beban dan berjumlah 50 mg untuk beban 20 hingga 200 g, dan 25 mg untuk beban kurang dari 20 g.
Kesalahan instrumen digital ditentukan oleh kelas akurasi.
Rumus untuk menghitung kesalahan pengukuran tidak langsung didasarkan pada representasi kalkulus diferensial.
Biarkan ketergantungan kuantitas kamu dari nilai terukur Z memiliki bentuk sederhana: .
Di Sini dan merupakan konstanta yang nilainya diketahui. Jika z ditambah atau dikurangi dengan beberapa angka , maka akan berubah menjadi :
Jika - kesalahan dari nilai yang diukur Z, maka, masing-masing, akan menjadi kesalahan dari nilai yang dihitung kamu.
Kami memperoleh rumus untuk kesalahan absolut dalam kasus umum fungsi satu variabel. Biarkan grafik fungsi ini memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar.1. Nilai eksak dari argumen z 0 sesuai dengan nilai eksak dari fungsi y 0 = f(z 0).
Nilai terukur argumen berbeda dari nilai eksak argumen dengan nilai z karena kesalahan pengukuran. Nilai fungsi akan berbeda dari nilai eksaknya sebesar y.
Dari arti geometris turunan sebagai garis singgung dari kemiringan garis singgung kurva pada suatu titik tertentu (Gbr. 1), berikut ini:
. (10)
Rumus untuk kesalahan relatif pengukuran tidak langsung dalam kasus fungsi satu variabel adalah: 
. (11)
Mengingat bahwa diferensial fungsi adalah , kita mendapatkan
(12)
Jika pengukuran tidak langsung adalah fungsi m variabel 
, maka kesalahan pengukuran tidak langsung akan tergantung pada kesalahan pengukuran langsung. Kami menunjukkan kesalahan parsial yang terkait dengan kesalahan pengukuran argumen. Ini merupakan kenaikan fungsi dengan kenaikan, asalkan semua argumen lain tidak berubah. Jadi, kami menulis kesalahan mutlak parsial menurut (10) dalam bentuk berikut:
(13)
Jadi, untuk menemukan kesalahan parsial pengukuran tidak langsung , menurut (13), perlu untuk mengalikan turunan parsial dengan kesalahan pengukuran langsung . Saat menghitung turunan parsial dari suatu fungsi sehubungan dengan argumen yang tersisa, mereka dianggap konstan.
Kesalahan absolut yang dihasilkan dari pengukuran tidak langsung ditentukan oleh rumus, yang mencakup kuadrat kesalahan parsial
pengukuran tidak langsung:
atau mempertimbangkan (13)
(14)
Kesalahan relatif pengukuran tidak langsung ditentukan oleh rumus:
Atau dengan mempertimbangkan (11) dan (12)
. (15)
Menggunakan (14) dan (15), salah satu kesalahan ditemukan, absolut atau relatif, tergantung pada kemudahan perhitungan. Jadi, misalnya, jika rumus kerja memiliki bentuk produk, rasio jumlah yang diukur, mudah untuk mengambil logaritma dan menggunakan rumus (15) untuk menentukan kesalahan relatif dari pengukuran tidak langsung. Kemudian hitung kesalahan absolut menggunakan rumus (16):
Untuk mengilustrasikan prosedur di atas untuk menentukan kesalahan pengukuran tidak langsung, mari kembali ke pekerjaan laboratorium virtual "Menentukan percepatan jatuh bebas menggunakan bandul matematika".
Rumus kerja (1) berbentuk rasio nilai terukur:
Oleh karena itu, kita mulai dengan definisi kesalahan relatif. Untuk melakukan ini, kami mengambil logaritma dari ekspresi ini, dan kemudian menghitung turunan parsial:
; ; 
.
Substitusi ke rumus (15) mengarah ke rumus kesalahan relatif pengukuran tidak langsung:
(17)
Setelah mengganti hasil pengukuran langsung
{ 
; 
) pada (17) kita peroleh:
(18)
Untuk menghitung kesalahan absolut, kami menggunakan ekspresi (16) dan nilai yang dihitung sebelumnya (9) dari percepatan gravitasi g:
Hasil perhitungan galat mutlak dibulatkan menjadi satu angka penting. Nilai galat mutlak yang dihitung menentukan keakuratan pencatatan hasil akhir:
, 1. (19)
Dalam hal ini, probabilitas kepercayaan ditentukan oleh probabilitas kepercayaan dari pengukuran langsung yang memberikan kontribusi yang menentukan terhadap kesalahan pengukuran tidak langsung. Dalam hal ini, ini adalah pengukuran periode.
Jadi, dengan probabilitas mendekati 1, nilai g terletak antara 8 dan 12.
Untuk mendapatkan nilai percepatan jatuh bebas yang lebih akurat g perlu untuk meningkatkan teknik pengukuran. Untuk tujuan ini, perlu untuk mengurangi kesalahan relatif , yang, sebagai berikut dari rumus (18), terutama ditentukan oleh kesalahan pengukuran waktu.
Untuk melakukan ini, perlu untuk mengukur waktu bukan satu osilasi lengkap, tetapi, misalnya, 10 osilasi lengkap. Kemudian, sebagai berikut dari (2), rumus kesalahan relatif akan berbentuk:
. (20)
Tabel 4 menyajikan hasil pengukuran waktu untuk N = 10
Untuk kuantitas L ambil hasil pengukuran dari Tabel 2. Mengganti hasil pengukuran langsung ke dalam rumus (20), kami menemukan kesalahan relatif dari pengukuran tidak langsung:
Dengan menggunakan rumus (2), kami menghitung nilai besaran yang diukur secara tidak langsung:
.
.
Hasil akhirnya ditulis sebagai:
; ; .
Contoh ini menunjukkan peran rumus kesalahan relatif dalam analisis kemungkinan arah untuk meningkatkan teknik pengukuran.
