Setiap pengukuran selalu dilakukan dengan beberapa kesalahan yang terkait dengan akurasi terbatas alat ukur, pilihan yang salah, dan kesalahan metode pengukuran, fisiologi peneliti, karakteristik objek yang diukur, perubahan kondisi pengukuran, dll. Oleh karena itu, tugas pengukuran mencakup tidak hanya menemukan kuantitas itu sendiri, tetapi juga kesalahan pengukuran, yaitu. interval di mana nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur paling mungkin ditemukan. Sebagai contoh, ketika mengukur interval waktu t dengan stopwatch dengan nilai pembagian 0,2 s, kita dapat mengatakan bahwa nilai sebenarnya berada dalam interval dari s ke 
dengan. Dengan demikian, nilai yang diukur selalu mengandung beberapa kesalahan 
, di mana 
dan X masing-masing adalah nilai sebenarnya dan terukur dari besaran yang diteliti. Nilai 
ditelepon kesalahan mutlak(kesalahan) pengukuran, dan ekspresi 
mencirikan akurasi pengukuran disebut Kesalahan relatif.
Sangat wajar bagi eksperimenter untuk berusaha membuat setiap pengukuran dengan akurasi terbesar yang dapat dicapai, tetapi pendekatan seperti itu tidak selalu bijaksana. Semakin akurat kita ingin mengukur kuantitas ini atau itu, semakin kompleks instrumen yang harus kita gunakan, semakin banyak waktu yang diperlukan untuk pengukuran ini. Oleh karena itu, keakuratan hasil akhir harus sesuai dengan tujuan percobaan. Teori kesalahan memberikan rekomendasi tentang bagaimana pengukuran harus dilakukan dan bagaimana hasil harus diproses sehingga margin kesalahan sekecil mungkin.
Semua kesalahan yang timbul selama pengukuran biasanya dibagi menjadi tiga jenis - kesalahan sistematis, acak dan meleset, atau kesalahan besar.
Kesalahan sistematis karena keterbatasan akurasi pembuatan perangkat (kesalahan instrumen), kekurangan metode pengukuran yang dipilih, ketidaktepatan rumus perhitungan, pemasangan perangkat yang tidak tepat, dll. Dengan demikian, kesalahan sistematis disebabkan oleh faktor-faktor yang bertindak dengan cara yang sama ketika pengukuran yang sama diulang berkali-kali. Nilai kesalahan ini secara sistematis diulang atau diubah menurut hukum tertentu. Beberapa kesalahan sistematis dapat dihilangkan (dalam praktiknya, ini selalu mudah dicapai) dengan mengubah metode pengukuran, memperkenalkan koreksi pada pembacaan instrumen, dan mempertimbangkan pengaruh konstan dari faktor eksternal.
Meskipun kesalahan sistematis (instrumental) selama pengukuran berulang memberikan penyimpangan nilai terukur dari nilai sebenarnya dalam satu arah, kita tidak pernah tahu ke arah mana. Oleh karena itu, kesalahan instrumental ditulis dengan tanda ganda
Kesalahan acak disebabkan oleh sejumlah besar penyebab acak (perubahan suhu, tekanan, guncangan bangunan, dll.), yang efeknya pada setiap pengukuran berbeda dan tidak dapat diperhitungkan sebelumnya. Kesalahan acak juga terjadi karena ketidaksempurnaan organ indera peneliti. Kesalahan acak juga termasuk kesalahan karena sifat-sifat objek yang diukur.
Tidak mungkin untuk mengecualikan kesalahan acak dari pengukuran individu, tetapi dimungkinkan untuk mengurangi pengaruh kesalahan ini pada hasil akhir dengan melakukan beberapa pengukuran. Jika kesalahan acak ternyata jauh lebih kecil daripada kesalahan instrumental (sistematis), maka tidak ada gunanya mengurangi kesalahan acak lebih lanjut dengan meningkatkan jumlah pengukuran. Jika kesalahan acak lebih besar dari kesalahan instrumental, maka jumlah pengukuran harus ditingkatkan untuk mengurangi nilai kesalahan acak dan membuatnya kurang dari atau satu urutan besarnya dengan kesalahan instrumental.
Kesalahan atau blunder- ini adalah pembacaan yang salah pada perangkat, rekaman pembacaan yang salah, dll. Sebagai aturan, kesalahan karena alasan yang ditunjukkan terlihat jelas, karena bacaan yang sesuai dengannya sangat berbeda dari bacaan lain. Kesalahan harus dihilangkan dengan pengukuran kontrol. Dengan demikian, lebar interval di mana nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur terletak hanya akan ditentukan oleh kesalahan acak dan sistematis.
2 . Estimasi kesalahan sistematis (instrumental)
Untuk pengukuran langsung nilai besaran yang diukur dibaca langsung pada skala alat ukur. Kesalahan pembacaan bisa mencapai beberapa persepuluh dari pembagian skala. Biasanya, dalam pengukuran seperti itu, besarnya kesalahan sistematis dianggap sama dengan setengah pembagian skala alat ukur. Misalnya, saat mengukur dengan jangka sorong dengan nilai pembagian 0,05 mm, nilai kesalahan pengukuran instrumental diambil sama dengan 0,025 mm.
Alat ukur digital memberikan nilai besaran yang diukur dengan kesalahan yang sama dengan nilai satu satuan angka terakhir pada skala alat tersebut. Jadi, jika voltmeter digital menunjukkan nilai 20,45 mV, maka kesalahan mutlak dalam pengukuran adalah 
mV.
Kesalahan sistematis juga muncul saat menggunakan nilai konstanta yang ditentukan dari tabel. Dalam kasus seperti itu, kesalahan diambil sama dengan setengah dari angka penting terakhir. Misalnya, jika dalam tabel nilai densitas baja diberikan dengan nilai yang sama dengan 7,9∙10 3 kg / m 3, maka kesalahan mutlak dalam hal ini adalah sama dengan 
kg/m3.
Beberapa fitur dalam perhitungan kesalahan instrumental alat ukur listrik akan dibahas di bawah ini.
Saat menentukan kesalahan sistematis (instrumental) dari pengukuran tidak langsung nilai fungsional 
rumus yang digunakan
, (1)
di mana 
- kesalahan instrumen pengukuran langsung kuantitas 
, 
- turunan parsial dari fungsi terhadap variabel .
Sebagai contoh, kita akan memperoleh rumus untuk menghitung kesalahan sistematik saat mengukur volume tabung. Rumus untuk menghitung volume tabung adalah
.
Turunan parsial terhadap variabel d dan h akan sama
, 
.
Dengan demikian, rumus untuk menentukan kesalahan sistematik absolut dalam mengukur volume tabung sesuai dengan (2. ..) memiliki bentuk sebagai berikut
,
di mana 
dan 
kesalahan instrumental dalam mengukur diameter dan tinggi silinder
3. Estimasi kesalahan acak.
Interval Keyakinan dan Probabilitas Keyakinan
Untuk sebagian besar pengukuran sederhana, apa yang disebut hukum normal kesalahan acak dipenuhi dengan cukup baik ( hukum Gauss), diturunkan dari ketentuan empiris berikut.
kesalahan pengukuran dapat mengambil serangkaian nilai yang berkelanjutan;
dengan sejumlah besar pengukuran, kesalahan dengan besaran yang sama, tetapi dengan tanda yang berbeda, sering terjadi sama,
Semakin besar kesalahan acak, semakin kecil kemungkinan itu terjadi.
Grafik distribusi normal Gaussian ditunjukkan pada Gambar.1. Persamaan kurva memiliki bentuk
, (2)
di mana 
- fungsi distribusi kesalahan acak (kesalahan), mencirikan kemungkinan kesalahan 
, adalah kesalahan kuadrat rata-rata akar.
Nilai bukan merupakan variabel acak dan mencirikan proses pengukuran. Jika kondisi pengukuran tidak berubah, maka tetap konstan. Kuadrat dari besaran ini disebut dispersi pengukuran. Semakin kecil dispersi, semakin kecil penyebaran nilai individu dan semakin tinggi akurasi pengukuran.
Nilai pasti dari kesalahan akar-rata-rata-kuadrat , serta nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur, tidak diketahui. Ada yang disebut perkiraan statistik dari parameter ini, yang menurutnya kesalahan kuadrat rata-rata sama dengan kesalahan kuadrat rata-rata dari rata-rata aritmatika 
. Nilainya ditentukan oleh rumus
, (3)
di mana 
- hasil saya-dimensi; 
- rata-rata aritmatika dari nilai yang diperoleh; n
adalah jumlah pengukuran.
Semakin besar jumlah pengukuran, semakin kecil dan semakin mendekati . Jika nilai sebenarnya dari nilai terukur , nilai rata-rata aritmatika yang diperoleh sebagai hasil pengukuran , dan kesalahan mutlak acak , maka hasil pengukuran akan ditulis sebagai 
.
Interval nilai dari 
sebelum 
, di mana nilai sebenarnya dari besaran terukur jatuh, disebut interval kepercayaan. Karena itu adalah variabel acak, nilai sebenarnya jatuh ke dalam interval kepercayaan dengan probabilitas , yang disebut probabilitas kepercayaan, atau keandalan pengukuran. Nilai ini secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang diarsir. (lihat gambar.)
Semua ini berlaku untuk jumlah pengukuran yang cukup besar, ketika mendekati . Untuk menemukan interval kepercayaan dan tingkat kepercayaan untuk sejumlah kecil pengukuran, yang kita tangani selama pekerjaan laboratorium, kami menggunakan Distribusi probabilitas siswa. Ini adalah distribusi probabilitas dari variabel acak 
ditelepon Koefisien siswa, memberikan nilai interval kepercayaan dalam pecahan akar rata-rata kuadrat kesalahan rata-rata aritmatika.
. (4)
Distribusi probabilitas kuantitas ini tidak tergantung pada 2 , tetapi pada dasarnya tergantung pada jumlah percobaan n. Dengan peningkatan jumlah eksperimen n Distribusi siswa cenderung ke distribusi Gaussian.
Fungsi distribusi ditabulasikan (Tabel 1). Nilai koefisien Student berada pada perpotongan garis yang sesuai dengan banyaknya pengukuran n, dan kolom yang sesuai dengan tingkat kepercayaan
Tabel 1.
Dengan menggunakan data dalam tabel, Anda dapat:
tentukan selang kepercayaan, dengan probabilitas tertentu;
pilih selang kepercayaan dan tentukan tingkat kepercayaannya.
Untuk pengukuran tidak langsung, kesalahan akar rata-rata kuadrat dari rata-rata aritmatika fungsi dihitung dengan rumus:
. (5)
Interval kepercayaan dan probabilitas kepercayaan ditentukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus pengukuran langsung.
Estimasi kesalahan pengukuran total. Merekam hasil akhir.
Total error hasil pengukuran X akan didefinisikan sebagai nilai kuadrat rata-rata dari kesalahan sistematis dan acak
, (6)
di mana x - kesalahan instrumental, X adalah kesalahan acak.
X dapat berupa besaran yang diukur secara langsung atau tidak langsung.
, =…, =… (7)
Harus diingat bahwa rumus teori kesalahan itu sendiri berlaku untuk sejumlah besar pengukuran. Oleh karena itu, nilai acak, dan akibatnya, kesalahan total ditentukan untuk kecil n dengan kesalahan besar. Saat menghitung X dengan jumlah pengukuran 
direkomendasikan untuk dibatasi pada satu angka penting jika lebih besar dari 3 dan dua jika angka penting pertama lebih kecil dari 3. Misalnya, jika X= 0,042, lalu buang 2 dan tulis X=0,04, dan jika X=0,123, maka kita tulis X=0,12.
Jumlah digit hasil dan total error harus sama. Oleh karena itu, rata-rata aritmatika dari kesalahan harus sama. Oleh karena itu, rata-rata aritmatika pertama-tama dihitung dengan satu digit lebih banyak daripada pengukuran, dan saat merekam hasilnya, nilainya disempurnakan menjadi jumlah digit kesalahan total.
4. Metodologi untuk menghitung kesalahan pengukuran.
Kesalahan pengukuran langsung
Saat memproses hasil pengukuran langsung, disarankan untuk menggunakan urutan operasi berikut.
. (8)
.
.
Kesalahan total ditentukan
Kesalahan relatif dari hasil pengukuran diperkirakan
.
Hasil akhirnya ditulis sebagai
, dengan =… E=…%.
5. Kesalahan pengukuran tidak langsung
Ketika mengevaluasi nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur secara tidak langsung , yang merupakan fungsi dari kuantitas independen lainnya 
, dua metode dapat digunakan.
Cara pertama digunakan jika nilai kamu ditentukan dalam berbagai kondisi percobaan. Dalam hal ini, untuk setiap nilai, 
, dan kemudian rata-rata aritmatika dari semua nilai ditentukan kamu saya
. (9)
Kesalahan sistematis (instrumental) ditemukan berdasarkan kesalahan instrumental yang diketahui dari semua pengukuran menurut rumus. Kesalahan acak dalam hal ini didefinisikan sebagai kesalahan pengukuran langsung.
Cara kedua berlaku jika fungsi kamu ditentukan beberapa kali dengan pengukuran yang sama. Dalam hal ini, nilai dihitung dari nilai rata-rata. Dalam praktik laboratorium kami, metode kedua untuk menentukan kuantitas yang diukur secara tidak langsung lebih sering digunakan kamu. Kesalahan sistematis (instrumental), seperti pada metode pertama, ditemukan berdasarkan kesalahan instrumental yang diketahui dari semua pengukuran menurut rumus
Untuk menemukan kesalahan acak dari pengukuran tidak langsung, kesalahan akar kuadrat rata-rata dari rata-rata aritmatika pengukuran individu pertama-tama dihitung. Kemudian kesalahan akar rata-rata kuadrat ditemukan kamu. Menetapkan probabilitas kepercayaan , menemukan koefisien Student , menentukan kesalahan acak dan kesalahan total dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam kasus pengukuran langsung. Demikian pula, hasil dari semua perhitungan disajikan dalam bentuk
, dengan =… E=…%.
6. Contoh mendesain pekerjaan laboratorium
Lab #1
PENENTUAN VOLUME SILINDER
Aksesoris: jangka sorong dengan nilai pembagian 0,05 mm, mikrometer dengan nilai pembagian 0,01 mm, benda silinder.
Objektif: pengenalan dengan pengukuran fisik paling sederhana, menentukan volume silinder, menghitung kesalahan pengukuran langsung dan tidak langsung.
Perintah kerja
Ambil setidaknya 5 pengukuran diameter silinder dengan jangka sorong, dan tingginya dengan mikrometer.
Rumus perhitungan untuk menghitung volume silinder
di mana d adalah diameter silinder; h adalah ketinggian.
Hasil pengukuran
Meja 2.
Pengukuran No. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5%.
, E = 0,5%.
Jika besaran fisis yang diinginkan tidak dapat diukur secara langsung oleh alat, tetapi dinyatakan melalui besaran yang diukur dengan menggunakan rumus, maka pengukuran tersebut disebut tidak langsung.
Seperti halnya pengukuran langsung, Anda dapat menghitung kesalahan rata-rata absolut (rata-rata aritmatika) atau kesalahan akar kuadrat rata-rata dari pengukuran tidak langsung.
Aturan umum untuk menghitung kesalahan untuk kedua kasus diturunkan menggunakan kalkulus diferensial.
Misalkan besaran fisis j( x, y, z, ...) adalah fungsi dari sejumlah argumen independen x, y, z, ..., yang masing-masing dapat ditentukan secara eksperimental. Kuantitas ditentukan dengan pengukuran langsung dan kesalahan absolut rata-rata atau kesalahan akar kuadrat rata-rata dievaluasi.
Kesalahan absolut rata-rata pengukuran tidak langsung dari kuantitas fisik j dihitung dengan rumus
di mana adalah turunan parsial dari terhadap x, y, z dihitung untuk nilai rata-rata dari argumen yang sesuai.
Karena rumus menggunakan nilai absolut dari semua istilah jumlah, ekspresi untuk memperkirakan kesalahan maksimum dalam mengukur fungsi untuk kesalahan maksimum yang diberikan dari variabel independen.
Root mean square error pengukuran tidak langsung kuantitas fisik j
Kesalahan maksimum relatif pengukuran tidak langsung dari kuantitas fisik j
dimana, dll.
Demikian pula, kita dapat menulis kesalahan akar-rata-rata-kuadrat relatif dari pengukuran tidak langsung j
Jika rumus mewakili ekspresi yang sesuai untuk mengambil logaritma (yaitu, produk, pecahan, pangkat), maka akan lebih mudah untuk menghitung kesalahan relatif terlebih dahulu. Untuk melakukan ini (dalam kasus kesalahan absolut rata-rata), berikut ini harus dilakukan.
1. Ambil logaritma dari ekspresi untuk pengukuran tidak langsung dari kuantitas fisik.
2. Bedakan.
3. Gabungkan semua suku dengan diferensial yang sama dan keluarkan dari kurung.
4. Ambil ekspresi di depan berbagai diferensial modulo.
5. Ganti ikon diferensial secara resmi dengan ikon kesalahan absolut D.
Kemudian, mengetahui e, seseorang dapat menghitung kesalahan mutlak Dj dengan rumus
Contoh 1 Turunan rumus untuk menghitung kesalahan relatif maksimum dari pengukuran tidak langsung volume silinder.
Ekspresi untuk pengukuran tidak langsung dari kuantitas fisik (rumus awal)
Nilai diameter D dan tinggi silinder h diukur langsung oleh instrumen dengan kesalahan pengukuran langsung, masing-masingD D dan D h.
Kami mengambil logaritma dari rumus asli dan mendapatkan
Bedakan persamaan yang dihasilkan
Mengganti ikon diferensial dengan ikon kesalahan absolut D, kami akhirnya memperoleh rumus untuk menghitung kesalahan relatif maksimum dari pengukuran tidak langsung volume silinder
Sekarang perlu untuk mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana menemukan kesalahan kuantitas fisik kamu, yang ditentukan oleh pengukuran tidak langsung. Pandangan umum dari persamaan pengukuran
kamu=f(X 1 , X 2 , … , X n), (1.4)
di mana X j- berbagai besaran fisis yang diperoleh peneliti dengan pengukuran langsung, atau konstanta fisis yang diketahui dengan akurasi tertentu. Dalam sebuah rumus, mereka adalah argumen fungsi.
Dalam praktik pengukuran, dua metode untuk menghitung kesalahan pengukuran tidak langsung banyak digunakan. Kedua metode memberikan hasil yang hampir sama.
Metode 1. D absolut ditemukan terlebih dahulu, kemudian relatif d kesalahan. Metode ini direkomendasikan untuk persamaan pengukuran yang berisi jumlah dan perbedaan argumen.
Rumus umum untuk menghitung kesalahan absolut dalam pengukuran tidak langsung dari kuantitas fisik kamu untuk tampilan sewenang-wenang f fungsi terlihat seperti:
di mana turunan parsial dari fungsi kamu=f(X 1 , X 2 , … , X n) dengan argumen X j,
Kesalahan total pengukuran langsung kuantitas X j.
Untuk menemukan kesalahan relatif, Anda harus terlebih dahulu menemukan nilai rata-rata kuantitas kamu. Untuk melakukan ini, perlu untuk mengganti nilai rata-rata aritmatika dari kuantitas ke dalam persamaan pengukuran (1.4) Xj.
Artinya, nilai rata-rata dari nilai kamu sama dengan: . Sekarang mudah untuk menemukan kesalahan relatif: .
Contoh: temukan kesalahan dalam pengukuran volume V silinder. Tinggi h dan diameter D silinder dianggap ditentukan oleh pengukuran langsung, dan biarkan jumlah pengukuran n= 10.
Rumus untuk menghitung volume silinder, yaitu persamaan pengukurannya adalah:
Biarkan di P = 0,68;
Pada P = 0,68.
Kemudian, dengan mengganti nilai rata-rata ke dalam rumus (1,5), kami menemukan:
Kesalahan DV dalam contoh ini tergantung, seperti dapat dilihat, terutama pada kesalahan pengukuran diameter.
Volume rata-rata adalah: , kesalahan relatif dV adalah sama dengan:
Atau d V = 19%.
V=(47±9) mm 3 , d V = 19%, P= 0,68.
Metode 2. Metode penentuan kesalahan pengukuran tidak langsung ini berbeda dengan metode pertama dalam kesulitan matematika yang lebih sedikit, sehingga lebih sering digunakan.
Pertama, temukan kesalahan relatif d, dan hanya kemudian absolut D. Metode ini sangat cocok jika persamaan pengukuran hanya berisi produk dan rasio argumen.
Prosedurnya dapat dipertimbangkan dengan menggunakan contoh spesifik yang sama - menentukan kesalahan dalam mengukur volume silinder
Kami akan menyimpan semua nilai numerik dari jumlah yang termasuk dalam rumus sama seperti dalam perhitungan untuk cara 1.
Biarlah mm, ; pada P = 0,68;
; pada P=0,68.
Kesalahan pembulatan angka p(lihat gambar 1.1)
Menggunakan cara 2 harus bertindak seperti ini:
1) ambil logaritma dari persamaan pengukuran (kita ambil logaritma natural)
temukan perbedaan bagian kiri dan kanan, dengan mempertimbangkan variabel bebas,
2) ganti diferensial setiap nilai dengan kesalahan absolut dari nilai yang sama, dan tanda "minus", jika sebelum kesalahan, dengan "plus":
3) tampaknya dengan bantuan rumus ini sudah mungkin untuk memberikan perkiraan untuk kesalahan relatif , tetapi ini tidak benar. Diperlukan untuk memperkirakan kesalahan sedemikian rupa sehingga probabilitas kepercayaan dari perkiraan ini bertepatan dengan probabilitas kepercayaan untuk memperkirakan kesalahan dari istilah-istilah yang berada di sisi kanan rumus. Untuk melakukannya, agar kondisi ini terpenuhi, Anda perlu mengkuadratkan semua suku dari rumus terakhir, lalu mengekstrak akar kuadrat dari kedua sisi persamaan:
Atau dalam notasi lain, kesalahan relatif volume adalah:
selain itu, probabilitas perkiraan kesalahan volume ini akan bertepatan dengan kemungkinan memperkirakan kesalahan istilah yang termasuk dalam ekspresi radikal:
Setelah melakukan perhitungan, kami akan memastikan bahwa hasilnya sesuai dengan perkiraan dengan metode 1:
Sekarang, mengetahui kesalahan relatif, kami menemukan yang absolut:
D V=0,19 47=9,4 mm 3 , P=0,68.
Hasil akhir setelah pembulatan:
V\u003d (47 ± 9) mm 3, dV = 19%, P=0,68.
pertanyaan tes
1. Apa tugas pengukuran fisis?
2. Jenis pengukuran apa yang dibedakan?
3. Bagaimana kesalahan pengukuran diklasifikasikan?
4. Apa yang dimaksud dengan kesalahan mutlak dan kesalahan relatif?
5. Apa yang dimaksud dengan kesalahan, kesalahan sistematis dan kesalahan acak?
6. Bagaimana cara mengevaluasi kesalahan sistematik?
7. Apa mean aritmatika dari nilai yang diukur?
8. Bagaimana cara memperkirakan besarnya kesalahan acak, bagaimana hubungannya dengan standar deviasi?
9. Berapa peluang untuk menemukan nilai sebenarnya dari nilai terukur dalam interval dari X cf - s sebelum X cf + s?
10. Jika, sebagai perkiraan untuk kesalahan acak, kami memilih nilai 2 detik atau 3 detik, maka dengan probabilitas berapa nilai sebenarnya akan jatuh dalam interval yang ditentukan oleh perkiraan ini?
11. Bagaimana meringkas kesalahan dan kapan harus dilakukan?
12. Bagaimana cara membulatkan galat mutlak dan nilai rata-rata hasil pengukuran?
13. Metode apa yang ada untuk memperkirakan kesalahan dalam pengukuran tidak langsung? Bagaimana cara melanjutkan ini?
14. Apa yang harus dicatat sebagai hasil pengukuran? Nilai apa yang harus ditunjukkan?
Kuliah #8
Pengolahan hasil pengukuran
Pengukuran tunggal dan ganda langsung.
1. Pengukuran tunggal langsung .
Dalam kasus umum, tugas memperkirakan kesalahan hasil yang diperoleh biasanya dilakukan berdasarkan informasi tentang batas kesalahan utama alat ukur (sesuai dengan peraturan dan dokumentasi teknis untuk alat ukur yang digunakan) dan nilai kesalahan tambahan yang diketahui dari pengaruh besaran yang mempengaruhi. Nilai maksimum dari kesalahan total hasil pengukuran (tanpa memperhitungkan tanda) dapat ditemukan dengan menjumlahkan komponen dalam nilai absolut:
Perkiraan kesalahan yang lebih realistis dapat diperoleh dengan penambahan statistik komponen kesalahan:
di mana batas komponen ke-i yang tidak dikecualikan dari kesalahan sistematis; k- koefisien ditentukan oleh probabilitas kepercayaan yang diterima (pada P = 0,95, koefisien k= 1.11); m adalah jumlah komponen yang tidak dikecualikan.
Hasil pengukuran dicatat menurut bentuk pertama hasil pencatatan:
dimana hasil pengukuran tunggal; - kesalahan total hasil pengukuran; - probabilitas kepercayaan (pada = 0,95 mungkin tidak ditentukan).
Saat mengukur dalam kondisi normal, kita dapat mengasumsikan
2. Beberapa pengukuran langsung.
Dimungkinkan untuk secara akurat menilai nilai aktual dari kuantitas yang diukur hanya dengan beberapa pengukuran dan pemrosesan yang tepat dari hasilnya. Memproses dengan benar hasil pengamatan yang diperoleh berarti memperoleh perkiraan yang paling akurat dari nilai sebenarnya dari kuantitas yang diukur dan interval kepercayaan di mana nilai sebenarnya berada.
Dalam proses pengolahan hasil observasi, perlu secara konsisten menyelesaikan tugas pokok sebagai berikut:
Tentukan taksiran titik dan integral dari hukum distribusi hasil pengukuran dengan rumus:
di mana D(x) adalah estimasi titik varians;
Hilangkan "kehilangan" (sesuai dengan salah satu kriteria);
Menghilangkan kesalahan pengukuran sistematis;
Menentukan batas kepercayaan dari neraca yang tidak dikecualikan dari komponen sistematik, komponen acak dan kesalahan total hasil pengukuran;
Catat hasil pengukurannya.
Estimasi kesalahan pengukuran tidak langsung. Prinsip dasar dan tahapan perhitungan. GOST untuk memproses hasil.
Kesalahan pengukuran tidak langsung
Estimasi kesalahan yang timbul dari pengukuran tidak langsung didasarkan pada asumsi berikut:
1. Kesalahan relatif dari nilai-nilai yang diperoleh dengan pengukuran langsung dan terlibat dalam perhitungan nilai yang diinginkan harus kecil dibandingkan dengan satu kesatuan (dalam praktiknya, mereka tidak boleh melebihi 10%).
2. Untuk kesalahan semua besaran yang terlibat dalam perhitungan, probabilitas kepercayaan yang sama diterima. Kesalahan dari nilai yang diinginkan juga akan memiliki probabilitas kepercayaan yang sama.
3. Nilai yang paling mungkin dari nilai yang diinginkan diperoleh jika nilai yang paling mungkin dari nilai awal digunakan untuk perhitungannya, yaitu. rata-rata aritmatika mereka.
Kesalahan dalam kasus satu nilai awal.
Kesalahan mutlak. Biarkan nilai yang diinginkan kamu, diukur secara tidak langsung, hanya bergantung pada satu besaran sebuah diperoleh dengan pengukuran langsung. Batas-batas interval di mana nilai terletak dengan probabilitas tertentu sebuah, ditentukan oleh rata-rata aritmatika dan kesalahan mutlak total sebuah kuantitas sebuah. Artinya nilai sebuah mungkin terletak di dalam interval dengan batas ± sebuah.
Dengan pengukuran tidak langsung untuk kuantitas kamu(sebuah) batas-batas tersebut akan ditentukan oleh nilai yang paling mungkin = y() dan kesalahan kamu, yaitu nilai-nilai kamu terletak di dalam interval dengan batas ± kamu. Batas atas untuk kamu(dengan peningkatan monoton) akan ada nilai yang sesuai dengan batas atas sebuah, yaitu nilai + kamu= kamu( + sebuah) . Jadi, kesalahan mutlak kamu kuantitas kamu memiliki bentuk kenaikan fungsi y(a) disebabkan oleh penambahan argumennya sebuah dengan jumlah sebuah kesalahan mutlaknya. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan kalkulus diferensial, yang menurutnya, untuk nilai kecil sebuah kenaikan kamu kira-kira dapat dinyatakan sebagai
Berikut adalah turunan sehubungan dengan sebuah fungsi y(a) pada sebuah = .
Dengan demikian, kesalahan absolut dari hasil akhir dapat dihitung menggunakan rumus (1), dan probabilitas kepercayaan sesuai dengan probabilitas kepercayaan bahwa sebuah.
Kesalahan relatif. Untuk menemukan kesalahan relatif dari suatu nilai kamu, bagi (1) dengan kamu dan pertimbangkan bahwa
adalah turunan terhadap sebuah logaritma natural kamu. Hasilnya akan
Jika kita substitusikan ke dalam ekspresi ini sebuah= dan kamu= , maka nilainya akan menjadi kesalahan relatif kuantitas kamu.
Untuk mengolah hasil pengukuran digunakan GOST 8.207-76 “GSI. Pengukuran langsung dengan beberapa pengamatan. Metode untuk mengolah hasil observasi.
8.3. Hasil pengukuran dan estimasi standar deviasinya:
1. Metode untuk mendeteksi kesalahan kotor harus ditentukan dalam prosedur pengukuran. Jika hasil pengamatan dapat dianggap berdistribusi normal, kesalahan kotor dikecualikan.
2. Hasil pengukuran diambil sebagai rata-rata aritmatika dari hasil pengamatan, di mana koreksi sebelumnya telah diperkenalkan untuk menghilangkan kesalahan sistematis.
3. Standar deviasi S hasil observasi dievaluasi menurut NTD.
4. Standar deviasi hasil pengukuran diperkirakan dengan rumus
,
di mana x saya - saya-hasil observasi;
Hasil pengukuran (rata-rata aritmatika dari hasil pengamatan yang dikoreksi);
n- jumlah hasil observasi;
Estimasi simpangan baku hasil pengukuran.
8.4. Batas keyakinan kesalahan acak hasil pengukuran:
1. Batas keyakinan untuk kesalahan acak dari hasil pengukuran sesuai dengan Standar Internasional ini ditetapkan untuk hasil pengamatan yang termasuk dalam distribusi normal. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, metode untuk menghitung batas kepercayaan dari kesalahan acak harus ditentukan dalam prosedur untuk melakukan pengukuran tertentu.
1.1. Dengan banyaknya hasil observasi n>50 untuk memeriksa apakah mereka termasuk dalam distribusi normal menurut NTD, salah satu kriteria lebih disukai: 2 Pearson atau 2 Mises - Smirnov.
Saat mengolah hasil pengukuran tidak langsung suatu besaran fisis yang secara fungsional berhubungan dengan besaran fisis A, B dan C yang diukur secara langsung, terlebih dahulu tentukan kesalahan relatif pengukuran tidak langsung e = DX / X pr dengan menggunakan rumus diberikan dalam tabel (tanpa bukti).
Kesalahan absolut ditentukan oleh rumus DX \u003d X pr * e,
di mana e dinyatakan sebagai desimal, bukan sebagai persentase.
Hasil akhir dicatat dengan cara yang sama seperti dalam kasus pengukuran langsung.
| Tipe fungsi | Rumus |
| X=A+B+C | |
| X=A-B | |
| X=A*B*C | |
| X=A n | |
| X=A/B | |
| X= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm berguna) Cara melakukan pengukuran http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Contoh: Mari kita hitung kesalahan dalam mengukur koefisien gesekan menggunakan dinamometer. Pengalamannya adalah bahwa batang ditarik secara seragam sepanjang permukaan horizontal dan gaya yang diterapkan diukur: itu sama dengan gaya gesekan geser.
Menggunakan dinamometer, kami menimbang batang dengan beban: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N
= 0,33. Kesalahan instrumental dinamometer (temukan dari tabel) adalah dan \u003d 0,05N, Kesalahan membaca (setengah dari pembagian skala)
o \u003d 0,05N. Kesalahan mutlak dalam mengukur berat dan gaya gesekan adalah 0,1 N.
Kesalahan pengukuran relatif (baris ke-5 dalam tabel)
Oleh karena itu, kesalahan mutlak pengukuran tidak langsung adalah 0,22*0,33=0,074
Menjawab:
Mengukur besaran fisis berarti membandingkannya dengan besaran homogen lain yang diambil sebagai satuan ukuran. Pengukuran dapat dilakukan dengan menggunakan:
1. takaran, yaitu contoh satuan ukuran (meter, berat, bejana liter, dsb.),
2. alat ukur (amperemeter, pengukur tekanan, dll),
3. instalasi ukur, yang dipahami sebagai seperangkat alat ukur, alat ukur dan elemen bantu.
Pengukuran dilakukan secara langsung atau tidak langsung. Dalam pengukuran langsung besaran fisika diukur secara langsung. Pengukuran langsung misalnya mengukur panjang dengan penggaris, waktu dengan stopwatch, kuat arus dengan amperemeter.
Dalam pengukuran tidak langsung mereka secara langsung mengukur bukan kuantitas yang nilainya perlu diketahui, tetapi kuantitas lain yang dengannya kuantitas yang diinginkan dikaitkan dengan ketergantungan matematis tertentu. Misalnya, kerapatan suatu benda ditentukan dengan mengukur massa dan volumenya, dan resistansi ditentukan dengan mengukur arus dan tegangan.
Karena ketidaksempurnaan alat ukur dan alat ukur, serta indera kita, pengukuran tidak dapat dilakukan secara akurat, yaitu. setiap pengukuran hanya memberikan hasil perkiraan. Selain itu, sifat besaran ukur itu sendiri sering menjadi penyebab terjadinya penyimpangan hasil pengukuran. Misalnya, suhu yang diukur dengan termometer atau termokopel pada titik tertentu dalam tungku berfluktuasi karena konveksi dan konduktivitas termal dalam batas-batas tertentu. Ukuran untuk menilai keakuratan hasil pengukuran adalah kesalahan pengukuran (measurement error).
Untuk menilai akurasi, baik kesalahan absolut atau kesalahan pengukuran relatif ditunjukkan. Kesalahan mutlak dinyatakan dalam satuan besaran yang diukur. Misalnya, segmen jalan yang dilalui oleh tubuh, , diukur dengan kesalahan absolut . Kesalahan pengukuran relatif adalah rasio kesalahan absolut dengan nilai besaran yang diukur. Dalam contoh yang diberikan, kesalahan relatif adalah . Semakin kecil kesalahan pengukuran, semakin tinggi akurasinya.
Menurut sumber asalnya, kesalahan pengukuran dibagi menjadi sistematis, acak dan kasar (meleset).
1. Kesalahan sistematis- kesalahan pengukuran, yang nilainya tetap selama pengukuran berulang yang dilakukan dengan metode yang sama, menggunakan alat ukur yang sama. Alasan untuk kesalahan sistematis adalah:
malfungsi, ketidakakuratan alat ukur
ilegalitas, ketidaktepatan teknik pengukuran yang digunakan
Contoh kesalahan sistematis dapat berupa pengukuran suhu dengan termometer dengan titik nol yang digeser, pengukuran arus dengan ammeter yang dikalibrasi secara tidak benar, penimbangan benda pada timbangan menggunakan beban tanpa memperhitungkan gaya apung Archimedes.
Untuk menghilangkan atau mengurangi kesalahan sistematis, perlu untuk memeriksa alat ukur dengan hati-hati, mengukur jumlah yang sama dengan metode yang berbeda, dan memperkenalkan koreksi ketika kesalahan diketahui (koreksi untuk gaya apung, koreksi untuk pembacaan termometer).
2. Kesalahan besar (meleset)- kelebihan yang signifikan dari kesalahan yang diharapkan di bawah kondisi pengukuran yang diberikan. Kesalahan muncul sebagai akibat dari kesalahan pencatatan pembacaan instrumen, kesalahan pembacaan pada instrumen, akibat kesalahan perhitungan pada saat pengukuran tidak langsung. Sumber kesalahan adalah kurangnya perhatian peneliti. Cara untuk menghilangkan kesalahan ini adalah keakuratan eksperimen, pengecualian penulisan ulang protokol pengukuran.
3. Kesalahan acak- kesalahan, yang nilainya berubah secara acak selama pengukuran berulang dari nilai yang sama dengan metode yang sama menggunakan instrumen yang sama. Sumber kesalahan acak adalah reproduktifitas yang tidak terkendali dari kondisi pengukuran. Misalnya, selama pengukuran, suhu, kelembaban, tekanan atmosfer, tegangan dalam jaringan listrik, dan keadaan indera eksperimen dapat berubah secara tidak terkendali. Tidak mungkin untuk mengesampingkan kesalahan acak. Dengan beberapa pengukuran, kesalahan acak mematuhi hukum statistik, dan pengaruhnya dapat diperhitungkan.
