Pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil adalah konsep aritmatika utama yang memungkinkan Anda mengoperasikan pecahan biasa dengan mudah. KPK dan paling sering digunakan untuk mencari penyebut umum dari beberapa pecahan.

Konsep dasar

Pembagi bilangan bulat X adalah bilangan bulat Y lain yang X habis dibagi tanpa sisa. Misalnya, pembagi 4 adalah 2, dan 36 adalah 4, 6, 9. Kelipatan bilangan bulat X adalah bilangan Y yang habis dibagi X tanpa sisa. Misalnya, 3 adalah kelipatan 15, dan 6 adalah kelipatan 12.

Untuk pasangan bilangan apa pun, kita dapat menemukan pembagi dan kelipatannya yang sama. Misalnya, untuk 6 dan 9, kelipatan persekutuannya adalah 18, dan pembagi persekutuannya adalah 3. Jelaslah, pasangan dapat memiliki beberapa pembagi dan kelipatan, jadi pembagi terbesar dari GCD dan kelipatan terkecil KPK digunakan dalam perhitungan .

Pembagi terkecil tidak masuk akal, karena untuk bilangan berapa pun selalu satu. Kelipatan terbesar juga tidak berarti, karena barisan kelipatan cenderung tak terhingga.

Menemukan GCD

Ada banyak metode untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar, yang paling terkenal adalah:

• pencacahan pembagi berurutan, pemilihan yang umum untuk pasangan dan mencari yang terbesar dari mereka;
• dekomposisi angka menjadi faktor yang tidak dapat dibagi;
• algoritma Euclid;
• algoritma biner.

Saat ini, di lembaga pendidikan, metode dekomposisi paling populer menjadi faktor prima dan algoritma Euclidean. Yang terakhir, pada gilirannya, digunakan dalam memecahkan persamaan Diophantine: pencarian untuk GCD diperlukan untuk memeriksa persamaan untuk kemungkinan menyelesaikannya dalam bilangan bulat.

Menemukan NOC

Kelipatan persekutuan terkecil juga ditentukan secara tepat oleh enumerasi berulang atau faktorisasi menjadi faktor yang tidak dapat dibagi. Selain itu, mudah untuk menemukan KPK jika pembagi terbesar telah ditentukan. Untuk bilangan X dan Y, KPK dan KPK terkait dengan hubungan berikut:

KPK(X,Y) = X × Y / KPK(X,Y).

Misalnya, jika gcd(15,18) = 3, maka KPK(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Penggunaan KPK yang paling jelas adalah mencari penyebut persekutuan, yang merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan yang diberikan.

bilangan koprima

Jika suatu pasangan bilangan tidak memiliki pembagi persekutuan, maka pasangan tersebut disebut koprima. GCM untuk pasangan tersebut selalu sama dengan satu, dan berdasarkan hubungan pembagi dan kelipatan, GCM untuk coprime sama dengan produk mereka. Misalnya, angka 25 dan 28 adalah koprima, karena mereka tidak memiliki pembagi yang sama, dan KPK(25, 28) = 700, yang sesuai dengan produk mereka. Setiap dua bilangan yang tidak dapat dibagi akan selalu menjadi coprime.

Pembagi Umum dan Kalkulator Ganda

Dengan kalkulator kami, Anda dapat menghitung GCD dan LCM untuk sejumlah angka yang dapat dipilih. Tugas untuk menghitung pembagi umum dan kelipatan ditemukan di aritmatika kelas 5 dan 6, namun, KPK dan KPK adalah konsep kunci matematika dan digunakan dalam teori bilangan, planimetri dan aljabar komunikatif.

Contoh kehidupan nyata

Penyebut pecahan biasa

Kelipatan persekutuan terkecil digunakan untuk mencari penyebut persekutuan dari beberapa pecahan. Misalkan dalam masalah aritmatika diperlukan untuk menjumlahkan 5 pecahan:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Untuk menjumlahkan pecahan, ekspresi harus direduksi menjadi penyebut yang sama, yang mengurangi masalah menemukan KPK. Untuk melakukan ini, pilih 5 angka di kalkulator dan masukkan nilai penyebut di sel yang sesuai. Program akan menghitung KPK (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sekarang Anda perlu menghitung faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang didefinisikan sebagai rasio KPK dengan penyebut. Jadi pengganda tambahan akan terlihat seperti:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Setelah itu, kami mengalikan semua pecahan dengan faktor tambahan yang sesuai dan mendapatkan:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Kita dapat dengan mudah menjumlahkan pecahan tersebut dan mendapatkan hasilnya dalam bentuk 159/360. Kami mengurangi pecahan dengan 3 dan melihat jawaban akhir - 53/120.

Solusi persamaan Diophantine linier

Persamaan Linear Diophantine adalah ekspresi dari bentuk ax + by = d. Jika rasio d / gcd(a, b) adalah bilangan bulat, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bilangan bulat. Mari kita periksa beberapa persamaan untuk kemungkinan solusi bilangan bulat. Pertama, periksa persamaan 150x + 8y = 37. Dengan menggunakan kalkulator, kita menemukan gcd (150.8) = 2. Bagi 37/2 = 18.5. Bilangan tersebut bukan bilangan bulat, oleh karena itu persamaan tidak memiliki akar bilangan bulat.

Mari kita periksa persamaan 1320x + 1760y = 10120. Gunakan kalkulator untuk mencari gcd(1320, 1760) = 440. Bagi 10120/440 = 23. Hasilnya, kita mendapatkan bilangan bulat, oleh karena itu, persamaan Diophantine dapat diselesaikan dalam koefisien bilangan bulat .

Kesimpulan

GCD dan KPK memainkan peran penting dalam teori bilangan, dan konsep itu sendiri banyak digunakan di berbagai bidang matematika. Gunakan kalkulator kami untuk menghitung pembagi terbesar dan kelipatan terkecil dari sejumlah angka.

Definisi. Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar (gcd) angka-angka ini.

Mari kita cari pembagi persekutuan terbesar dari angka 24 dan 35.
Pembagi dari 24 adalah angka 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembagi dari 35 adalah angka 1, 5, 7, 35.
Kita melihat bahwa angka 24 dan 35 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut koprima.

Definisi. Bilangan asli disebut koprima jika pembagi persekutuan terbesarnya (gcd) adalah 1.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBK) dapat ditemukan tanpa menuliskan semua pembagi dari bilangan yang diberikan.

Memfaktorkan bilangan 48 dan 36, diperoleh:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dari faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama, kami menghapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam perluasan bilangan kedua (yaitu, dua deuces).
Faktor 2 * 2 * 3 tetap. Hasil kali mereka adalah 12. Angka ini adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 48 dan 36. Pembagi persekutuan terbesar dari tiga angka atau lebih juga ditemukan.

Mencari pembagi persekutuan terbesar

2) dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan tersebut, coretlah yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan lainnya;
3) menemukan produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Jika semua bilangan yang diberikan habis dibagi salah satunya, maka bilangan tersebut adalah pembagi persekutuan terbesar angka yang diberikan.
Misalnya, pembagi persekutuan terbesar dari 15, 45, 75, dan 180 adalah 15, karena membagi semua bilangan lain: 45, 75, dan 180.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) bilangan asli a dan b adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan dari a dan b. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 75 dan 60 dapat dicari tanpa menuliskan kelipatan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor sederhana: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan bilangan pertama, dan tambahkan faktor-faktor 2 dan 2 yang hilang dari perluasan bilangan kedua (yaitu, kita gabungkan faktor-faktornya).
Kami mendapatkan lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasilnya adalah 300. Angka ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60.

Temukan juga kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih.

Ke cari kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan asli, Anda perlu:
1) menguraikannya menjadi faktor prima;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan;
3) tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka-angka yang tersisa;
4) temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

Perhatikan bahwa jika salah satu dari angka-angka ini habis dibagi dengan semua angka lainnya, maka angka ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.
Misalnya, kelipatan persekutuan terkecil dari 12, 15, 20, dan 60 adalah 60, karena ia habis dibagi oleh semua bilangan yang diberikan.

Pythagoras (abad VI SM) dan murid-muridnya mempelajari masalah pembagian bilangan. Suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (tanpa bilangan itu sendiri), disebut bilangan sempurna. Misalnya, angka 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sempurna. Bilangan sempurna berikutnya adalah 496, 8128, 33.550.336. Orang Pythagoras hanya mengetahui tiga bilangan sempurna pertama. Yang keempat - 8128 - mulai dikenal pada abad ke-1. n. e. Kelima - 33 550 336 - ditemukan pada abad ke-15. Pada tahun 1983, 27 bilangan sempurna sudah diketahui. Namun hingga saat ini, para ilmuwan belum mengetahui apakah ada bilangan sempurna ganjil, apakah ada bilangan sempurna terbesar.
Ketertarikan para matematikawan kuno pada bilangan prima adalah karena fakta bahwa bilangan apa pun adalah prima atau dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima, yaitu, bilangan prima seperti batu bata yang darinya sisa bilangan asli dibangun.
Anda mungkin memperhatikan bahwa bilangan prima dalam deret bilangan asli muncul secara tidak merata - di beberapa bagian deret tersebut jumlahnya lebih banyak, di bagian lain - lebih sedikit. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sepanjang deret bilangan, semakin jarang bilangan prima. Timbul pertanyaan: apakah bilangan prima terakhir (terbesar) ada? Ahli matematika Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Awal", yang selama dua ribu tahun merupakan buku teks utama matematika, membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga, yaitu, di belakang setiap bilangan prima ada bilangan genap bilangan prima yang lebih besar.
Untuk menemukan bilangan prima, matematikawan Yunani lain pada waktu yang sama, Eratosthenes, menemukan metode seperti itu. Dia menuliskan semua angka dari 1 ke beberapa angka, dan kemudian mencoret unit, yang bukan bilangan prima atau gabungan, kemudian mencoret satu semua angka setelah 2 (angka yang merupakan kelipatan 2, yaitu 4, 6 , 8, dst). Angka sisa pertama setelah 2 adalah 3. Kemudian, setelah dua, semua angka setelah 3 dicoret (angka kelipatan 3, yaitu 6, 9, 12, dst). pada akhirnya, hanya bilangan prima yang tidak dicoret.

Ekspresi dan tugas matematika membutuhkan banyak pengetahuan tambahan. NOC adalah salah satu yang utama, terutama sering digunakan dalam topik. Topik dipelajari di sekolah menengah, meskipun tidak terlalu sulit untuk memahami materi, tidak akan sulit bagi seseorang yang akrab dengan kekuatan dan tabel perkalian untuk memilih angka yang diperlukan dan temukan hasilnya.

Definisi

Kelipatan persekutuan adalah bilangan yang dapat dibagi seluruhnya menjadi dua bilangan sekaligus (a dan b). Paling sering, angka ini diperoleh dengan mengalikan angka asli a dan b. Bilangan harus habis dibagi kedua bilangan sekaligus, tanpa simpangan.

NOC adalah nama pendek, yang diambil dari huruf pertama.

Cara mendapatkan nomor

Untuk mencari KPK, metode perkalian bilangan tidak selalu cocok, jauh lebih cocok untuk bilangan satu angka atau dua angka sederhana. Merupakan kebiasaan untuk membagi menjadi faktor, semakin besar jumlahnya, semakin banyak faktor yang akan ada.

Contoh 1

Untuk contoh paling sederhana, sekolah biasanya mengambil angka sederhana, satu digit atau dua digit. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan tugas berikut, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 7 dan 3, solusinya cukup sederhana, cukup kalikan saja. Akibatnya, ada angka 21, tidak ada angka yang lebih kecil.

Contoh #2

Opsi kedua jauh lebih sulit. Angka 300 dan 1260 diberikan, mencari KPK adalah wajib. Untuk menyelesaikan tugas, tindakan berikut diasumsikan:

Penguraian bilangan pertama dan kedua menjadi faktor yang paling sederhana. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Tahap pertama telah selesai.

Tahap kedua melibatkan bekerja dengan data yang sudah diperoleh. Setiap nomor yang diterima harus berpartisipasi dalam perhitungan hasil akhir. Untuk setiap faktor, jumlah kemunculan terbesar diambil dari bilangan asli. KPK adalah bilangan biasa, jadi faktor-faktor dari bilangan tersebut harus diulang di dalamnya sampai yang terakhir, bahkan yang ada dalam satu contoh. Kedua angka awal dalam komposisi mereka angka 2, 3 dan 5, dalam derajat yang berbeda, 7 hanya dalam satu kasus.

Untuk menghitung hasil akhir, Anda perlu memasukkan setiap angka dalam pangkat terbesar yang diwakilinya, ke dalam persamaan. Tetap hanya untuk mengalikan dan mendapatkan jawabannya, dengan pengisian yang benar, tugas tersebut menjadi dua langkah tanpa penjelasan:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Itulah keseluruhan tugas, jika Anda mencoba menghitung angka yang diinginkan dengan mengalikan, maka jawabannya pasti tidak benar, karena 300 * 1260 = 378.000.

Penyelidikan:

6300 / 300 = 21 - benar;

6300 / 1260 = 5 benar.

Kebenaran hasil ditentukan dengan mencentang - membagi KPK dengan kedua bilangan asli, jika bilangan tersebut adalah bilangan bulat dalam kedua kasus, maka jawabannya benar.

Apa arti NOC dalam matematika?

Seperti yang Anda ketahui, tidak ada satu pun fungsi yang tidak berguna dalam matematika, tidak terkecuali yang satu ini. Tujuan paling umum dari bilangan ini adalah untuk membawa pecahan ke penyebut yang sama. Apa yang biasanya dipelajari di kelas 5-6 sekolah menengah. Ini juga merupakan pembagi umum untuk semua kelipatan, jika kondisi seperti itu ada dalam masalah. Ekspresi seperti itu dapat menemukan kelipatan tidak hanya dari dua angka, tetapi juga dari angka yang jauh lebih besar - tiga, lima, dan seterusnya. Semakin banyak angka - semakin banyak tindakan dalam tugas, tetapi kompleksitas ini tidak meningkat.

Misalnya, mengingat angka 250, 600 dan 1500, Anda perlu mencari KPK totalnya:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - contoh ini menjelaskan faktorisasi secara rinci, tanpa pengurangan.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Untuk membuat ekspresi, semua faktor harus disebutkan, dalam hal ini diberikan 2, 5, 3 - untuk semua angka ini diperlukan untuk menentukan tingkat maksimum.

Perhatian: semua pengganda harus disederhanakan, jika mungkin, terurai ke tingkat satu digit.

Penyelidikan:

1) 3000 / 250 = 12 - benar;

2) 3000 / 600 = 5 - benar;

3) 3000/1500 = 2 benar.

Metode ini tidak memerlukan trik atau kemampuan tingkat jenius, semuanya sederhana dan jelas.

Cara lain

Dalam matematika, banyak yang terhubung, banyak yang dapat diselesaikan dengan dua cara atau lebih, hal yang sama berlaku untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, KPK. Metode berikut dapat digunakan dalam kasus bilangan dua digit dan satu digit sederhana. Sebuah tabel dikompilasi di mana pengganda dimasukkan secara vertikal, pengganda secara horizontal, dan produk ditunjukkan dalam sel-sel kolom yang berpotongan. Anda dapat mencerminkan tabel melalui garis, angka diambil dan hasil mengalikan angka ini dengan bilangan bulat ditulis berturut-turut, dari 1 hingga tak terhingga, terkadang 3-5 poin sudah cukup, angka kedua dan selanjutnya dikenakan untuk proses komputasi yang sama. Semuanya terjadi sampai kelipatan persekutuan ditemukan.

Mengingat angka 30, 35, 42, Anda perlu mencari KPK yang menghubungkan semua angka:

1) Kelipatan 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, dst.

2) Kelipatan 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, dst.

3) Kelipatan 42: 84, 126, 168, 210, 252, dst.

Terlihat bahwa semua angka sangat berbeda, satu-satunya angka yang umum di antara mereka adalah 210, jadi itu adalah KPK. Di antara proses yang terkait dengan perhitungan ini, ada juga pembagi persekutuan terbesar, yang dihitung menurut prinsip yang sama dan sering ditemukan dalam masalah tetangga. Selisihnya kecil, tetapi cukup signifikan, KPK melibatkan perhitungan bilangan yang habis dibagi semua nilai awal yang diberikan, dan GCD mengasumsikan perhitungan nilai terbesar yang digunakan untuk membagi bilangan awal.

Pembagi Umum Terbesar

Definisi 2

Jika bilangan asli a habis dibagi $b$, maka $b$ disebut pembagi $a$, dan bilangan $a$ disebut kelipatan $b$.

Biarkan $a$ dan $b$ menjadi bilangan asli. Angka $c$ disebut pembagi umum untuk $a$ dan $b$.

Himpunan pembagi persekutuan dari bilangan $a$ dan $b$ berhingga, karena tidak ada pembagi yang lebih besar dari $a$. Ini berarti bahwa di antara pembagi ini ada yang terbesar, yang disebut pembagi persekutuan terbesar dari angka $a$ dan $b$, dan notasi digunakan untuk menunjukkannya:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​atau \ D \ (a;b)$

Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan:

1. Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

Contoh 1

Temukan gcd dari angka $121$ dan $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pilih angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka ini

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

$gcd=2\cdot 11=22$

Contoh 2

Temukan GCD monomial $63$ dan $81$.

Kami akan menemukan sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini:

Mari kita uraikan bilangan menjadi faktor prima

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Kami memilih angka-angka yang termasuk dalam perluasan angka-angka ini

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Mari kita cari produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan.

$gcd=3\cdot 3=9$

Anda dapat menemukan KPK dari dua bilangan dengan cara lain, menggunakan himpunan pembagi bilangan.

Contoh 3

Temukan gcd dari angka $48$ dan $60$.

Keputusan:

Cari himpunan pembagi dari $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Sekarang mari kita cari himpunan pembagi dari $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Mari kita cari perpotongan dari himpunan ini: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - himpunan ini akan menentukan himpunan pembagi persekutuan dari bilangan $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam set ini adalah angka $12$. Jadi pembagi persekutuan terbesar dari $48$ dan $60$ adalah $12$.

Definisi NOC

Definisi 3

kelipatan persekutuan bilangan asli$a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang merupakan kelipatan dari $a$ dan $b$.

Kelipatan persekutuan bilangan adalah bilangan yang habis dibagi dengan aslinya tanpa sisa. Misalnya, untuk bilangan $25$ dan $50$, kelipatan persekutuannya adalah bilangan $50,100,150,200, dst.

Kelipatan persekutuan terkecil akan disebut kelipatan persekutuan terkecil dan dilambangkan dengan KPK$(a;b)$ atau K$(a;b).$

Untuk mencari KPK dari dua bilangan, Anda perlu:

1. Menguraikan bilangan menjadi faktor prima
2. Tuliskan faktor-faktor yang merupakan bagian dari bilangan pertama dan tambahkan faktor-faktor yang merupakan bagian dari kedua dan jangan pergi ke yang pertama

Contoh 4

Cari KPK dari angka $99$ dan $77$.

Kami akan menemukan sesuai dengan algoritma yang disajikan. Untuk ini

Menguraikan bilangan menjadi faktor prima

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam yang pertama!

tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang merupakan bagian dari yang kedua dan jangan pergi ke yang pertama

Temukan produk dari angka-angka yang ditemukan pada langkah 2. Angka yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Menyusun daftar pembagi angka seringkali sangat memakan waktu. Ada cara untuk menemukan GCD yang disebut algoritma Euclid.

Pernyataan yang menjadi dasar algoritma Euclid:

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli sehingga $b

Dengan menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita dapat mengecilkan bilangan-bilangan yang ditinjau secara berurutan sampai kita mencapai sepasang bilangan sedemikian rupa sehingga salah satunya habis dibagi yang lain. Kemudian yang lebih kecil dari angka-angka ini akan menjadi pembagi persekutuan terbesar yang diinginkan untuk angka $a$ dan $b$.

Sifat-sifat FPB dan KPK

1. Kelipatan persekutuan dari $a$ dan $b$ habis dibagi K$(a;b)$
2. Jika $a\vdots b$ , maka K$(a;b)=a$

Jika K$(a;b)=k$ dan $m$-bilangan asli, maka K$(am;bm)=km$

Jika $d$ adalah pembagi persekutuan untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ adalah kelipatan persekutuan dari $a$ dan $b$

Untuk bilangan asli $a$ dan $b$ persamaan

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Pembagi umum dari $a$ dan $b$ adalah pembagi dari $D(a;b)$

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan berhubungan langsung dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. Ini hubungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorema berikut.

Dalil.

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali a dan b dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari a dan b, yaitu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b).

Bukti.

Biarlah M adalah kelipatan dari bilangan a dan b. Artinya, M habis dibagi a, dan menurut definisi habis dibagi, ada beberapa bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga persamaan M=a·k benar. Tetapi M juga habis dibagi b, maka a k habis dibagi b.

Tunjukkan gcd(a, b) sebagai d . Kemudian kita dapat menuliskan persamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi bilangan prima. Oleh karena itu, kondisi yang diperoleh pada paragraf sebelumnya bahwa a k habis dibagi b dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: a 1 d k habis dibagi b 1 d , dan ini, karena sifat-sifat habis dibagi, setara dengan kondisi bahwa a 1 k habis dibagi b satu.

Kita juga perlu menuliskan dua konsekuensi penting dari teorema yang dipertimbangkan.

Kelipatan persekutuan dua bilangan sama dengan kelipatan kelipatan persekutuan terkecilnya.

Ini benar, karena kelipatan persekutuan dari M bilangan a dan b ditentukan oleh persamaan M=LCM(a, b) t untuk beberapa nilai bilangan bulat t .

Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan positif koprima a dan b sama dengan perkaliannya.

Alasan untuk fakta ini cukup jelas. Karena a dan b adalah koprima, maka gcd(a, b)=1 , oleh karena itu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b)=a b:1=a b.

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Bagaimana hal ini dilakukan ditunjukkan dalam teorema berikut: a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan kelipatan persekutuan bilangan m k-1 dan a k , oleh karena itu, bertepatan dengan kelipatan m k . Dan karena kelipatan positif terkecil dari bilangan m k adalah bilangan m k itu sendiri, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a 1 , a 2 , …, a k adalah m k .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar dan teori bilangan: Buku ajar untuk mahasiswa fiz.-mat. spesialisasi lembaga pedagogis.