Cari hanya di bagian ini

Interval Keyakinan: Daftar Solusi Masalah

Interval kepercayaan: teori dan masalah

Memahami Interval Keyakinan

Mari kita perkenalkan secara singkat konsep selang kepercayaan, yang
1) memperkirakan beberapa parameter sampel numerik langsung dari data sampel itu sendiri,
2) mencakup nilai parameter ini dengan probabilitas .

Interval kepercayaan untuk parameter X(dengan probabilitas ) disebut interval dengan bentuk , sehingga , dan nilai dihitung dengan cara tertentu dari sampel .

Biasanya, dalam masalah yang diterapkan, probabilitas kepercayaan diambil sama dengan = 0,9; 0,95; 0,99.

Pertimbangkan beberapa sampel ukuran n, dibuat dari populasi umum, didistribusikan mungkin menurut hukum distribusi normal. Mari kita tunjukkan dengan rumus apa yang ditemukan interval kepercayaan untuk parameter distribusi- ekspektasi matematis dan dispersi (standar deviasi).

Interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis

Kasus 1 Varians distribusi diketahui dan sama dengan . Kemudian interval kepercayaan untuk parameter sebuah seperti:
t ditentukan dari tabel distribusi Laplace dengan rasio

Kasus 2 Varians distribusi tidak diketahui; estimasi titik varians dihitung dari sampel. Kemudian interval kepercayaan untuk parameter sebuah seperti:
, di mana mean sampel dihitung dari sampel, parameter t ditentukan dari tabel distribusi Student

Contoh. Berdasarkan data dari 7 pengukuran nilai tertentu, rata-rata hasil pengukuran ditemukan sama dengan 30 dan varians sampel sama dengan 36. Temukan batas-batas di mana nilai sebenarnya dari nilai yang diukur terkandung dengan reliabilitas 0,99 .

Keputusan. Ayo temukan . Kemudian batas kepercayaan untuk interval yang berisi nilai sebenarnya dari nilai terukur dapat ditemukan dengan rumus:
, di mana mean sampel, adalah varians sampel. Dengan memasukkan semua nilai, kita mendapatkan:

Interval kepercayaan untuk varians

Kami percaya bahwa, secara umum, ekspektasi matematis tidak diketahui, dan hanya estimasi tak bias titik dari varians yang diketahui. Maka interval kepercayaan terlihat seperti:
, di mana - kuantil distribusi ditentukan dari tabel.

Contoh. Berdasarkan data dari 7 tes, nilai perkiraan untuk standar deviasi ditemukan s = 12. Temukan dengan probabilitas 0,9 lebar interval kepercayaan yang dibangun untuk memperkirakan varians.

Keputusan. Interval kepercayaan untuk varians populasi yang tidak diketahui dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:

Ganti dan dapatkan:


Maka lebar selang kepercayaan adalah 465.589-71.708=393.881.

Interval kepercayaan untuk probabilitas (persentase)

Kasus 1 Biarkan ukuran sampel dan fraksi sampel (frekuensi relatif) diketahui dalam soal. Maka selang kepercayaan untuk pecahan umum (probabilitas sebenarnya) adalah:
, dimana parameter t ditentukan dari tabel distribusi Laplace dengan rasio .

Kasus 2 Jika masalah juga mengetahui ukuran total populasi dari mana sampel diambil, interval kepercayaan untuk fraksi umum (probabilitas benar) dapat ditemukan dengan menggunakan rumus yang disesuaikan:
.

Contoh. Diketahui bahwa Temukan batas-batas di mana bagian umum disimpulkan dengan probabilitas.

Keputusan. Kami menggunakan rumus:

Mari kita cari parameter dari kondisi , kita mendapatkan Substitusi dalam rumus:

Anda dapat menemukan contoh masalah lain dalam statistik matematika di halaman

Biarkan sampel dibuat dari populasi umum yang tunduk pada hukum normal distribusi X N( m;  ). Asumsi dasar statistik matematika ini didasarkan pada teorema limit pusat. Biarkan standar deviasi umum diketahui  , tetapi ekspektasi matematis dari distribusi teoretis tidak diketahui m(berarti ).

Dalam hal ini, sampel berarti , diperoleh selama percobaan (bagian 3.4.2), juga akan menjadi variabel acak m;
). Kemudian deviasi "dinormalisasi"
N(0;1) adalah variabel acak normal standar.

Masalahnya adalah untuk menemukan perkiraan interval untuk m. Mari kita buat selang kepercayaan dua sisi untuk m sehingga harapan matematis yang sebenarnya menjadi miliknya dengan probabilitas (keandalan) yang diberikan.  .

Tetapkan interval seperti itu untuk nilainya
berarti menemukan nilai maksimum dari kuantitas ini
dan minimal
, yang merupakan batas-batas daerah kritis:
.

Karena probabilitas ini adalah
, maka akar persamaan ini
dapat ditemukan menggunakan tabel fungsi Laplace (Tabel 3, Lampiran 1).

Kemudian dengan probabilitas  dapat dikatakan bahwa variabel acak
, yaitu, rata-rata umum yang diinginkan milik interval
. (3.13)

nilai
(3.14)

ditelepon ketepatan perkiraan.

Nomor
– kuantil distribusi normal - dapat ditemukan sebagai argumen dari fungsi Laplace (Tabel 3, Lampiran 1), dengan rasio 2Ф( kamu)=, yaitu F( kamu)=
.

Sebaliknya, sesuai dengan nilai deviasi yang ditentukan  adalah mungkin untuk menemukan dengan probabilitas berapa rata-rata umum yang tidak diketahui milik interval
. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung

. (3.15)

Biarkan sampel acak diambil dari populasi umum dengan metode pemilihan ulang. Dari persamaan
dapat ditemukan minimum volume sampel ulang n diperlukan untuk memastikan bahwa selang kepercayaan dengan keandalan yang diberikan tidak melebihi nilai preset  . Ukuran sampel yang dibutuhkan diperkirakan menggunakan rumus:

. (3.16)

Menjelajahi akurasi estimasi
:

1) Dengan meningkatnya ukuran sampel n besarnya  berkurang, dan karenanya keakuratan perkiraan meningkat.

2) C meningkat keandalan perkiraan nilai argumen bertambah kamu(karena F(kamu) meningkat secara monoton) dan karenanya meningkat  . Dalam hal ini, peningkatan keandalan mengurangi akurasi penilaiannya  .

Memperkirakan
(3.17)

ditelepon klasik(di mana t adalah parameter yang bergantung pada dan n), karena itu mencirikan hukum distribusi yang paling sering ditemui.

3.5.3 Interval kepercayaan untuk memperkirakan ekspektasi distribusi normal dengan standar deviasi yang tidak diketahui

Diketahui bahwa populasi umum tunduk pada hukum distribusi normal X N( m; ), dimana nilai akar rata-rata kuadrat penyimpangan tidak dikenal.

Untuk membangun interval kepercayaan untuk memperkirakan rata-rata umum, dalam hal ini, statistik digunakan
, yang memiliki distribusi Student dengan k= n-1 derajat kebebasan. Ini mengikuti dari fakta bahwa N(0;1) (lihat butir 3.5.2), dan
(lihat klausa 3.5.3) dan dari definisi distribusi Student (bagian 1. klausa 2.11.2).

Mari kita cari akurasi pendugaan klasik dari distribusi Student: mis. Temukan t dari rumus (3.17). Biarkan peluang memenuhi pertidaksamaan
diberikan oleh keandalan  :

. (3.18)

Sejauh T St( n-1), jelas bahwa t tergantung pada  dan n, jadi kita biasanya menulis
.

(3.19)

di mana
adalah fungsi distribusi Student dengan n-1 derajat kebebasan.

Memecahkan persamaan ini untuk m, kita dapatkan intervalnya
yang dengan keandalan mencakup parameter yang tidak diketahui m.

Nilai t  , n-1 , digunakan untuk menentukan interval kepercayaan dari variabel acak T(n-1), didistribusikan oleh Siswa dengan n-1 derajat kebebasan disebut Koefisien siswa. Itu harus ditemukan dengan nilai yang diberikan n dan dari tabel "Titik kritis distribusi Siswa". (Tabel 6, Lampiran 1), yang merupakan solusi dari persamaan (3.19).

Akibatnya, kita mendapatkan ekspresi berikut ketepatan interval kepercayaan untuk memperkirakan ekspektasi matematis (rata-rata umum), jika varians tidak diketahui:

(3.20)

Jadi, ada rumus umum untuk membangun interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dari populasi umum:

di mana akurasi interval kepercayaan  tergantung pada varians diketahui atau tidak diketahui ditemukan sesuai dengan rumus masing-masing 3.16. dan 3.20.

Tugas 10. Beberapa tes dilakukan, yang hasilnya tercantum dalam tabel:

Diketahui bahwa mereka mematuhi hukum distribusi normal dengan
. Temukan perkiraan m* untuk ekspektasi matematis m, buat interval kepercayaan 90% untuknya.

Keputusan:

Jadi, m(2.53;5.47).

Tugas 11. Kedalaman laut diukur dengan instrumen yang kesalahan sistematiknya 0, dan kesalahan acak didistribusikan menurut hukum normal, dengan standar deviasi  = 15m. Berapa banyak pengukuran independen yang harus dilakukan untuk menentukan kedalaman dengan kesalahan tidak lebih dari 5 m dengan tingkat kepercayaan 90%?

Keputusan:

Dengan kondisi masalah, kita memiliki X N( m;  ), di mana  = 15m,  = 5m,  =0.9. Mari kita cari volumenya n.

1) Dengan reliabilitas yang diberikan = 0,9, kami menemukan dari tabel 3 (Lampiran 1) argumen dari fungsi Laplace kamu  = 1.65.

2) Mengetahui akurasi estimasi yang diberikan  =kamu  = 5, temukan
. Kita punya

. Oleh karena itu, jumlah percobaan n 25.

Tugas 12. Pengambilan sampel suhu t selama 6 hari pertama bulan Januari disajikan dalam tabel:

Temukan Interval Keyakinan untuk Harapan m populasi umum dengan probabilitas keyakinan
dan perkirakan simpangan baku umum s.

Keputusan:

dan
.

2) Estimasi tak bias temukan dengan rumus
:

;
;

.

3) Karena varians umum tidak diketahui, tetapi estimasinya diketahui, maka untuk memperkirakan ekspektasi matematisnya m kami menggunakan distribusi Student (Tabel 6, Lampiran 1) dan rumus (3.20).

Karena n 1 =n 2 =6, maka ,
, s 1 = 6,85 kita memiliki:
, maka -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Oleh karena itu -33.3<m 1 <-25.1.

Demikian pula, kami memiliki
, s 2 = 4,8, jadi

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25.1) dan m 2 (-34.9;-29.1).

Dalam ilmu terapan, misalnya, dalam disiplin konstruksi, tabel interval kepercayaan digunakan untuk menilai keakuratan objek, yang diberikan dalam literatur referensi yang relevan.

Dalam statistik, ada dua jenis perkiraan: titik dan interval. Estimasi Poin adalah statistik sampel tunggal yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi. Misalnya, sampel berarti adalah estimasi titik dari rata-rata populasi, dan varians sampel S2- estimasi titik varians populasi 2. itu menunjukkan bahwa rata-rata sampel adalah perkiraan yang tidak bias dari harapan populasi. Rata-rata sampel disebut tidak bias karena rata-rata dari semua rata-rata sampel (dengan ukuran sampel yang sama) n) sama dengan ekspektasi matematis dari populasi umum.

Agar varians sampel S2 menjadi penduga tak bias dari varians populasi 2, penyebut varians sampel harus sama dengan n – 1 , tapi tidak n. Dengan kata lain, varians populasi adalah rata-rata dari semua varians sampel yang mungkin.

Ketika memperkirakan parameter populasi, harus diingat bahwa statistik sampel seperti: , tergantung pada sampel tertentu. Untuk mempertimbangkan fakta ini, untuk mendapatkan estimasi interval harapan matematis dari populasi umum menganalisis distribusi rata-rata sampel (untuk lebih jelasnya, lihat). Interval yang dibangun dicirikan oleh tingkat kepercayaan tertentu, yang merupakan probabilitas bahwa parameter sebenarnya dari populasi umum diperkirakan dengan benar. Interval kepercayaan serupa dapat digunakan untuk memperkirakan proporsi fitur R dan massa terdistribusi utama dari populasi umum.

Unduh catatan dalam atau format, contoh dalam format

Konstruksi interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dari populasi umum dengan standar deviasi yang diketahui

Membangun interval kepercayaan untuk proporsi suatu sifat dalam populasi umum

Pada bagian ini, konsep interval kepercayaan diperluas ke data kategorikal. Ini memungkinkan Anda untuk memperkirakan pangsa sifat dalam populasi umum R dengan sampel berbagi RS= X/n. Seperti yang disebutkan, jika nilai-nilai nR dan n(1 - hal) melebihi angka 5, distribusi binomial dapat didekati dengan distribusi normal. Oleh karena itu, untuk memperkirakan bagian suatu sifat dalam populasi umum R adalah mungkin untuk membangun interval yang tingkat kepercayaannya sama dengan (1 - )x100%.

di mana pS- bagian sampel fitur, sama dengan X/n, yaitu jumlah keberhasilan dibagi dengan ukuran sampel, R- bagian dari sifat dalam populasi umum, Z adalah nilai kritis dari distribusi normal standar, n- ukuran sampel.

Contoh 3 Mari kita asumsikan bahwa sampel diambil dari sistem informasi, terdiri dari 100 faktur yang diselesaikan selama sebulan terakhir. Katakanlah 10 dari faktur ini salah. Dengan demikian, R= 10/100 = 0,1. Tingkat kepercayaan 95% sesuai dengan nilai kritis Z = 1,96.

Dengan demikian, ada kemungkinan 95% bahwa antara 4,12% dan 15,88% faktur berisi kesalahan.

Untuk ukuran sampel tertentu, interval kepercayaan yang mengandung proporsi sifat dalam populasi umum tampaknya lebih lebar daripada variabel acak kontinu. Ini karena pengukuran variabel acak kontinu mengandung lebih banyak informasi daripada pengukuran data kategorikal. Dengan kata lain, data kategorikal yang hanya mengambil dua nilai mengandung informasi yang tidak cukup untuk memperkirakan parameter distribusinya.

PADAperhitungan perkiraan yang diambil dari populasi yang terbatas

Estimasi ekspektasi matematis. Faktor koreksi untuk populasi akhir ( fpc) digunakan untuk mengurangi kesalahan standar dengan faktor . Saat menghitung interval kepercayaan untuk estimasi parameter populasi, faktor koreksi diterapkan dalam situasi di mana sampel diambil tanpa pengembalian. Jadi, selang kepercayaan untuk ekspektasi matematis, yang memiliki tingkat kepercayaan sama dengan (1 - )x100%, dihitung dengan rumus:

Contoh 4 Untuk mengilustrasikan penerapan faktor koreksi untuk populasi yang terbatas, mari kita kembali ke masalah menghitung interval kepercayaan untuk jumlah rata-rata faktur yang dibahas dalam Contoh 3 di atas Misalkan sebuah perusahaan menerbitkan 5.000 faktur per bulan, dan X=110,27 USD, S= $28,95 N = 5000, n = 100, α = 0,05, t99 = 1,9842. Menurut rumus (6) kita mendapatkan:

Estimasi pangsa fitur. Saat memilih no return, interval kepercayaan untuk proporsi fitur yang memiliki tingkat kepercayaan sama dengan (1 - )x100%, dihitung dengan rumus:

Interval kepercayaan dan masalah etika

Saat mengambil sampel populasi dan merumuskan kesimpulan statistik, masalah etika sering muncul. Yang utama adalah bagaimana interval kepercayaan dan estimasi titik dari statistik sampel setuju. Menerbitkan perkiraan titik tanpa menentukan interval kepercayaan yang sesuai (biasanya pada tingkat kepercayaan 95%) dan ukuran sampel dari mana mereka berasal dapat menyesatkan. Ini mungkin memberi kesan kepada pengguna bahwa perkiraan titik adalah persis apa yang dia butuhkan untuk memprediksi sifat-sifat seluruh populasi. Dengan demikian, perlu dipahami bahwa dalam penelitian apa pun, bukan titik, tetapi perkiraan interval harus diletakkan di garis depan. Selain itu, perhatian khusus harus diberikan pada pilihan ukuran sampel yang benar.

Paling sering, objek manipulasi statistik adalah hasil survei sosiologis penduduk tentang berbagai masalah politik. Pada saat yang sama, hasil survei ditempatkan di halaman depan surat kabar, dan kesalahan pengambilan sampel dan metodologi analisis statistik dicetak di tengah. Untuk membuktikan validitas estimasi titik yang diperoleh, perlu untuk menunjukkan ukuran sampel berdasarkan mana mereka diperoleh, batas-batas interval kepercayaan dan tingkat signifikansinya.

Catatan berikutnya

Bahan dari buku Levin et al.Statistik untuk manajer digunakan. - M.: Williams, 2004. - hal. 448–462

Teorema limit pusat menyatakan bahwa, mengingat ukuran sampel yang cukup besar, distribusi sampel rata-rata dapat didekati dengan distribusi normal. Properti ini tidak tergantung pada jenis distribusi populasi.

Biarkan variabel acak (kita dapat berbicara tentang populasi umum) didistribusikan menurut hukum normal, yang varians D = 2 (> 0) diketahui. Dari populasi umum (pada himpunan objek yang variabel acaknya ditentukan), sampel berukuran n dibuat. Sampel x 1 , x 2 ,..., x n dianggap sebagai kumpulan n variabel acak independen yang didistribusikan dengan cara yang sama seperti (pendekatan yang dijelaskan di atas dalam teks).

Sebelumnya, persamaan berikut juga telah dibahas dan dibuktikan:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Cukup dengan membuktikan (kami menghilangkan buktinya) bahwa variabel acak dalam kasus ini juga terdistribusi menurut hukum normal.

Mari kita nyatakan nilai M yang tidak diketahui dengan a dan pilih angka d > 0 sesuai dengan keandalan yang diberikan sehingga kondisi berikut terpenuhi:

P(-a< d) = (1)

Karena variabel acak terdistribusi menurut hukum normal dengan ekspektasi matematis M = M = a dan varians D = D /n = 2 /n, kita peroleh:

P(-a< d) =P(a - d < < a + d) =

Tetap memilih d sedemikian rupa sehingga persamaan

Untuk siapa pun, seseorang dapat menemukan angka t dari tabel sehingga (t) \u003d / 2. Angka t ini kadang-kadang disebut kuantil.

Sekarang dari kesetaraan

tentukan nilai d:

Kami memperoleh hasil akhir dengan menyajikan rumus (1) dalam bentuk:

Arti dari rumus terakhir adalah sebagai berikut: dengan reliabilitas, interval kepercayaan

mencakup parameter yang tidak diketahui a = M dari populasi. Dapat dikatakan berbeda: estimasi titik menentukan nilai parameter M dengan akurasi d= t / dan reliabilitas.

Tugas. Misalkan ada populasi umum dengan beberapa karakteristik yang didistribusikan menurut hukum normal dengan dispersi sebesar 6,25. Sampel berukuran n = 27 dibuat dan diperoleh nilai sampel rata-rata dari karakteristik = 12. Carilah selang kepercayaan yang mencakup ekspektasi matematis yang tidak diketahui dari karakteristik yang dipelajari dari populasi umum dengan reliabilitas = 0,99.

Keputusan. Pertama, menggunakan tabel untuk fungsi Laplace, kami menemukan nilai t dari persamaan (t) \u003d / 2 \u003d 0,495. Berdasarkan nilai yang diperoleh t = 2,58, kami menentukan keakuratan estimasi (atau setengah panjang interval kepercayaan) d: d = 2.52.58 / 1.24. Dari sini kita memperoleh selang kepercayaan yang diinginkan: (10,76; 13,24).

hipotesis statistik variasi umum

Interval kepercayaan untuk ekspektasi distribusi normal dengan varians yang tidak diketahui

Membiarkan menjadi variabel acak terdistribusi menurut hukum normal dengan harapan matematis M yang tidak diketahui, yang kami dilambangkan dengan huruf a . Mari kita buat sampel berukuran n. Mari kita tentukan sampel rata-rata dan varians sampel terkoreksi s 2 menggunakan rumus yang diketahui.

Nilai acak

didistribusikan menurut hukum Student dengan n - 1 derajat kebebasan.

Tugasnya adalah menemukan bilangan t seperti itu menurut keandalan yang diberikan dan jumlah derajat kebebasan n - 1 sehingga persamaan

atau persamaan setara

Di sini, dalam tanda kurung, kondisi ditulis bahwa nilai parameter yang tidak diketahui a termasuk dalam interval tertentu, yang merupakan interval kepercayaan. Batasannya tergantung pada keandalan, serta pada parameter pengambilan sampel dan s.

Untuk menentukan nilai t berdasarkan besaran, kita ubah persamaan (2) ke dalam bentuk:

Sekarang, menurut tabel untuk variabel acak t, didistribusikan menurut hukum Student, menurut probabilitas 1 - dan jumlah derajat kebebasan n - 1, kita menemukan t. Rumus (3) memberikan jawaban atas masalah tersebut.

Tugas. Pada uji kontrol 20 lampu listrik, durasi rata-rata pengoperasiannya sama dengan 2000 jam dengan standar deviasi (dihitung sebagai akar kuadrat dari varians sampel yang dikoreksi) sama dengan 11 jam. Diketahui bahwa durasi operasi lampu adalah variabel acak yang terdistribusi normal. Tentukan dengan reliabilitas 0,95 interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dari variabel acak ini.

Keputusan. Nilai 1 - dalam hal ini sama dengan 0,05. Menurut tabel distribusi Student, dengan jumlah derajat kebebasan sama dengan 19, kita menemukan: t = 2.093. Sekarang mari kita hitung keakuratan perkiraan: 2.093121/ = 56,6. Dari sini kita mendapatkan interval kepercayaan yang diinginkan: (1943.4; 2056.6).