Bagaimana cara memasukkan rumus matematika di situs?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika mudah dimasukkan ke dalam situs dalam bentuk gambar yang dihasilkan Wolfram Alpha secara otomatis. Selain kesederhanaan, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah bekerja untuk waktu yang lama (dan saya pikir itu akan bekerja selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Namun, jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, maka saya sarankan Anda menggunakan MathJax, pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs Anda, yang akan dimuat secara otomatis dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unggah skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan hubungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua lebih rumit dan memakan waktu dan akan memungkinkan Anda untuk mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda sendiri dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama, karena lebih sederhana, lebih cepat, dan tidak memerlukan keterampilan teknis. Ikuti contoh saya, dan dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke kode halaman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag . Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MathJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka itu perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda menempelkan kode kedua, maka halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode pemuatan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak perlu, karena skrip MathJax dimuat secara tidak sinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk menyematkan rumus matematika ke dalam halaman web Anda.

Setiap fraktal dibangun sesuai dengan aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritme iteratif untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan wajahnya menjadi 27 kubus yang sama. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan dengannya di sepanjang permukaan dikeluarkan darinya. Ternyata satu set terdiri dari 20 kubus kecil yang tersisa. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kami mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kami mendapatkan spons Menger.

Dalam banyak kasus, memplot fungsi lebih mudah jika Anda terlebih dahulu memplot asimtot kurva.

Definisi 1. Asimtot disebut garis seperti itu, di mana grafik fungsi mendekati sedekat yang diinginkan ketika variabel cenderung plus tak terhingga atau minus tak terhingga.

Definisi 2. Garis lurus disebut asimtot dari grafik suatu fungsi jika jarak dari titik variabel M grafik fungsi hingga garis ini cenderung nol karena titik bergerak menjauh tanpa batas M dari titik asal koordinat sepanjang cabang mana pun dari grafik fungsi.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal, dan miring.

asimtot vertikal

Definisi. Lurus x = sebuah adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi jika titik x = sebuah adalah titik putus jenis kedua untuk fitur ini.

Ini mengikuti dari definisi bahwa garis x = sebuah adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi f(x) jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

Pada saat yang sama, fungsi f(x) mungkin tidak didefinisikan sama sekali, masing-masing, untuk x ≥ sebuah dan x ≤ sebuah .

Komentar:

Contoh 1 Grafik Fungsi kamu= ln x memiliki asimtot vertikal x= 0 (yaitu, bertepatan dengan sumbu Oy) pada batas domain definisi, karena limit fungsi sebagai x cenderung nol di sebelah kanan sama dengan minus tak terhingga:

(gbr. di atas).

sendiri dan kemudian lihat solusinya

Contoh 2 Temukan asimtot dari grafik fungsi .

Contoh 3 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

asimtot horisontal

Jika (batas fungsi ketika argumen cenderung plus atau minus tak terhingga sama dengan beberapa nilai b), kemudian kamu = b – asimtot horizontal bengkok kamu = f(x ) (kanan ketika x cenderung bertambah tak hingga, kiri ketika x cenderung minus tak terhingga, dan dua sisi jika batas ketika x cenderung plus atau minus tak terhingga adalah sama).

Contoh 5 Grafik Fungsi

pada sebuah> 1 memiliki asimtot horizontal kiri kamu= 0 (yaitu, bertepatan dengan sumbu Sapi), karena limit fungsi ketika "x" cenderung minus tak terhingga sama dengan nol:

Kurva tidak memiliki asimtot horizontal kanan, karena limit fungsi ketika x cenderung ditambah tak terhingga sama dengan tak terhingga:

Asimtot miring

Asimtot vertikal dan horizontal yang kami pertimbangkan di atas sejajar dengan sumbu koordinat, oleh karena itu, untuk membangunnya, kami hanya membutuhkan sejumlah tertentu - titik pada sumbu absis atau ordinat yang dilalui asimtot. Lebih banyak dibutuhkan untuk asimtot miring - kemiringan k, yang menunjukkan sudut kemiringan garis lurus, dan intersep b, yang menunjukkan seberapa banyak garis di atas atau di bawah titik asal. Mereka yang tidak punya waktu untuk melupakan geometri analitik, dan darinya - persamaan garis lurus, akan melihat bahwa untuk asimtot miring mereka temukan persamaan kemiringan. Keberadaan asimtot miring ditentukan oleh teorema berikut, yang menjadi dasar pencarian koefisien yang baru saja disebutkan.

Dalil. Untuk membuat kurva kamu = f(x) memiliki asimtot kamu = kx + b , perlu dan cukup bahwa ada batas yang terbatas k dan b dari fungsi yang sedang dipertimbangkan karena variabel cenderung x ke plus infinity dan minus infinity:

(1)

(2)

Angka-angka yang ditemukan k dan b dan adalah koefisien asimtot miring.

Dalam kasus pertama (ketika x cenderung ditambah tak terhingga), asimtot miring kanan diperoleh, dalam kasus kedua (ketika x cenderung minus tak terhingga), asimtot kiri diperoleh. Asimtot miring kanan ditunjukkan pada Gambar. dari bawah.

Ketika menemukan persamaan asimtot miring, perlu untuk memperhitungkan kecenderungan x ke plus tak terhingga dan minus tak terhingga. Untuk beberapa fungsi, misalnya, untuk rasional fraksional, batas-batas ini bertepatan, tetapi untuk banyak fungsi batas-batas ini berbeda, dan hanya satu yang bisa ada.

Ketika batas bertepatan dengan x cenderung plus tak terhingga dan minus tak terhingga, garis lurus kamu = kx + b adalah asimtot dua sisi dari kurva.

Jika setidaknya salah satu batas yang mendefinisikan asimtot kamu = kx + b , tidak ada, maka grafik fungsi tidak memiliki asimtot miring (tetapi mungkin memiliki asimtot vertikal).

Sangat mudah untuk melihat bahwa asimtot horizontal kamu = b adalah kasus khusus miring kamu = kx + b pada k = 0 .

Oleh karena itu, jika suatu kurva memiliki asimtot horizontal ke segala arah, maka tidak ada asimtot miring dalam arah itu, dan sebaliknya.

Contoh 6 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Fungsi didefinisikan pada seluruh garis bilangan kecuali x= 0 , yaitu

Oleh karena itu, pada titik puncak x= 0 kurva mungkin memiliki asimtot vertikal. Memang, limit fungsi karena x cenderung ke nol dari kiri adalah plus tak terhingga:

Karena itu, x= 0 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi ini.

Grafik fungsi ini tidak memiliki asimtot horizontal, karena limit fungsi ketika x cenderung ditambah tak hingga sama dengan plus tak hingga:

Mari kita cari tahu keberadaan asimtot miring:

Punya batas terbatas k= 2 dan b= 0 . Lurus kamu = 2x adalah asimtot miring dua sisi dari grafik fungsi ini (gbr. di dalam contoh).

Contoh 7 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Fungsi memiliki satu titik istirahat x= 1 . Mari kita menghitung batas satu sisi dan menentukan jenis diskontinuitas:

Kesimpulan: x= 1 adalah titik diskontinuitas jenis kedua, jadi garis x= 1 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi ini.

Mencari asimtot miring. Karena fungsi ini rasional fraksional, batas untuk dan untuk akan bertepatan. Jadi, kami menemukan koefisien untuk mensubstitusi garis lurus - asimtot miring ke dalam persamaan:

Mensubstitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam persamaan garis lurus dengan kemiringan, kita memperoleh persamaan asimtot miring:

kamu = −3x + 5 .

Pada gambar, grafik fungsi ditandai dengan warna merah anggur, dan asimtotnya berwarna hitam.

Contoh 8 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Karena fungsi ini kontinu, grafiknya tidak memiliki asimtot vertikal. Kami mencari asimtot miring:

.

Jadi, grafik fungsi ini memiliki asimtot kamu= 0 di dan tidak memiliki asimtot di .

Contoh 9 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Pertama, kami mencari asimtot vertikal. Untuk melakukan ini, kami menemukan domain fungsi. Fungsi didefinisikan ketika pertidaksamaan berlaku dan . tanda variabel x cocok dengan tandanya. Oleh karena itu, pertimbangkan pertidaksamaan ekuivalen . Dari sini kita mendapatkan ruang lingkup fungsi: . Asimtot vertikal hanya dapat berada pada batas domain fungsi. Tetapi x= 0 tidak bisa menjadi asimtot vertikal, karena fungsinya didefinisikan untuk x = 0 .

Pertimbangkan batas kanan di (batas kiri tidak ada):

.

Dot x= 2 adalah titik diskontinuitas jenis kedua, jadi garis x= 2 - asimtot vertikal dari grafik fungsi ini.

Kami mencari asimtot miring:

Jadi, kamu = x+ 1 - asimtot miring dari grafik fungsi ini di . Kami mencari asimtot miring untuk:

Jadi, kamu = −x − 1 - asimtot miring di .

Contoh 10 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Fungsi memiliki ruang lingkup . Karena asimtot vertikal dari grafik fungsi ini hanya dapat berada pada batas domain definisi, kita akan menemukan batas satu sisi dari fungsi di .

Asimtot dari grafik fungsi

Hantu asimtot telah berkeliaran di sekitar situs untuk waktu yang lama untuk akhirnya terwujud dalam satu artikel dan membawa kesenangan khusus bagi pembaca yang bingung. studi fungsi penuh. Menemukan asimtot grafik adalah salah satu dari sedikit bagian dari tugas yang ditentukan, yang tercakup dalam kursus sekolah hanya dalam urutan ikhtisar, karena peristiwa berkisar pada perhitungan batas fungsi, tetapi mereka masih termasuk dalam matematika yang lebih tinggi. Pengunjung yang kurang berpengalaman dalam analisis matematika, saya pikir petunjuknya bisa dimengerti ;-) ... stop-stop, mau kemana? batas- mudah!

Contoh asimtot bertemu langsung di pelajaran pertama tentang grafik fungsi dasar, dan sekarang topik tersebut menerima pertimbangan mendetail.

Jadi apa itu asimtot?

Membayangkan titik variabel, yang "berjalan" di sepanjang grafik fungsi. asimtotnya adalah lurus, ke mana penutupan tak terbatas grafik fungsi mendekati sebagai titik variabel pergi ke tak terhingga.

Catatan : definisi tersebut bermakna, jika memerlukan rumusan dalam notasi analisis matematis, silakan merujuk ke buku teks.

Di pesawat, asimtot diklasifikasikan menurut pengaturan alami mereka:

1) asimtot vertikal, yang diberikan oleh persamaan bentuk , di mana "alfa" adalah bilangan real. Perwakilan populer mendefinisikan sumbu y itu sendiri,
dengan serangan mual ringan, kita ingat hiperbola.

2) Asimtot miring ditulis secara tradisional persamaan garis lurus dengan faktor kemiringan. Terkadang kasus khusus dipilih sebagai kelompok terpisah - asimtot horizontal. Misalnya, hiperbola yang sama dengan asimtot .

Langsung saja, mari kita bahas topik dengan ledakan otomatis singkat:

Berapa banyak asimtot yang dapat dimiliki oleh grafik suatu fungsi?

Tidak ada, satu, dua, tiga ... atau jumlah yang tak terbatas. Kami tidak akan pergi jauh untuk contoh, kami akan mengingatnya fungsi dasar. Parabola, parabola kubik, sinusoidal tidak memiliki asimtot sama sekali. Grafik fungsi logaritma eksponensial memiliki asimtot tunggal. Arctangent, arccotangent memiliki dua di antaranya, dan tangen, cotangen memiliki jumlah tak terbatas. Tidak jarang sebuah graf memiliki asimtot horizontal dan vertikal. Hiperbola, akan selalu mencintaimu.

Apa artinya?

Asimtot vertikal dari grafik fungsi

Asimtot vertikal suatu graf biasanya di titik tak terhingga fungsi. Sederhana saja: jika pada suatu titik fungsi mengalami pemutusan tak hingga, maka garis lurus yang diberikan oleh persamaan tersebut adalah asimtot vertikal dari grafik tersebut.

Catatan : perhatikan bahwa notasi digunakan untuk merujuk pada dua konsep yang sama sekali berbeda. Intinya tersirat atau persamaan garis lurus - tergantung pada konteksnya.

Jadi, untuk menentukan keberadaan asimtot vertikal di suatu titik, cukup ditunjukkan bahwa setidaknya satu dari batas sepihak tak berujung. Paling sering, ini adalah titik di mana penyebut fungsi sama dengan nol. Faktanya, kita telah menemukan asimtot vertikal dalam contoh terakhir pelajaran. pada kontinuitas fungsi. Tetapi dalam beberapa kasus hanya ada satu batas satu sisi, dan jika itu tidak terbatas, sekali lagi - cintai dan sukai asimtot vertikal. Ilustrasi paling sederhana: dan sumbu y (lihat. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar).

Dari penjelasan di atas, fakta yang jelas juga mengikuti: jika fungsi tersebut kontinu pada, maka tidak ada asimtot vertikal. Untuk beberapa alasan, sebuah parabola muncul di benakku. Memang, di mana Anda bisa "menempel" garis lurus di sini? ... ya ... saya mengerti ... para pengikut Paman Freud meringkuk histeris =)

Pernyataan sebaliknya umumnya tidak benar: misalnya, fungsi tidak terdefinisi pada seluruh garis real, tetapi sama sekali tidak memiliki asimtot.

Asimtot miring dari grafik fungsi

Asimtot miring (sebagai kasus khusus - horizontal) dapat ditarik jika argumen fungsi cenderung "plus infinity" atau "minus infinity". Jadi grafik suatu fungsi tidak boleh memiliki lebih dari dua asimtot miring. Misalnya, grafik fungsi eksponensial memiliki satu asimtot horizontal di , dan grafik garis singgung busur di memiliki dua asimtot seperti itu, dan asimtot yang berbeda.

Ketika grafik di sana-sini mendekati satu-satunya asimtot miring, maka biasanya menyatukan "tak terhingga" di bawah satu entri. Misalnya, ... Anda menebaknya dengan benar: .

Aturan umum:

Jika ada dua terakhir membatasi , maka garis lurus adalah asimtot miring dari grafik fungsi di . Jika sebuah setidaknya satu dari batas-batas di atas tidak terbatas, maka tidak ada asimtot miring.

Catatan : rumus tetap valid jika "x" cenderung hanya "plus tak terhingga" atau hanya "minus tak terhingga".

Mari kita tunjukkan bahwa parabola tidak memiliki asimtot miring:

Limitnya tak hingga, jadi tidak ada asimtot miring. Perhatikan bahwa dalam mencari limit tidak diperlukan lagi karena jawabannya sudah diterima.

Catatan : jika kamu mengalami (atau akan) kesulitan memahami tanda plus-minus, minus-plus, silakan lihat bantuan di awal pelajaran
tentang fungsi sangat kecil, di mana saya memberi tahu cara menafsirkan tanda-tanda ini dengan benar.

Jelas bahwa setiap kuadrat, fungsi kubik, polinomial dari derajat ke-4 dan lebih tinggi juga tidak memiliki asimtot miring.

Dan sekarang mari kita pastikan bahwa pada grafik juga tidak memiliki asimtot miring. Untuk mengungkap ketidakpastian, kami menggunakan Aturan L'Hopital:
, yang akan diverifikasi.

Namun, ketika fungsi tumbuh tanpa batas, tidak ada garis lurus yang mendekati grafiknya sangat dekat.

Mari kita beralih ke bagian praktis dari pelajaran ini:

Bagaimana cara menemukan asimtot dari grafik suatu fungsi?

Beginilah cara tugas tipikal dirumuskan, dan ini melibatkan pencarian SEMUA asimtot grafik (vertikal, miring / horizontal). Meskipun, lebih tepatnya dalam perumusan pertanyaan, kita berbicara tentang studi tentang keberadaan asimtot (setelah semua, mungkin tidak ada sama sekali). Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana:

Contoh 1

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan Lebih mudah untuk memecahnya menjadi dua poin:

1) Pertama kita periksa apakah ada asimtot vertikal. Penyebut menghilang di , dan segera jelas bahwa pada titik ini fungsi tersebut menderita celah tak berujung, dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi . Tetapi sebelum menarik kesimpulan seperti itu, perlu untuk menemukan batas satu sisi:

Saya mengingatkan Anda tentang teknik perhitungan, yang juga saya bahas di artikel Kontinuitas fungsi. titik istirahat. Dalam ekspresi di bawah tanda batas, alih-alih "x" kami mengganti . Tidak ada yang menarik dalam pembilangnya:
.

Tapi di penyebut ternyata bilangan negatif tak terhingga:
, itu menentukan nasib batas.

Batas kiri tidak terbatas, dan, pada prinsipnya, sudah dimungkinkan untuk memberikan putusan tentang adanya asimtot vertikal. Tetapi batasan satu sisi diperlukan tidak hanya untuk ini - mereka MEMBANTU UNTUK MEMAHAMI, SEBAGAI grafik fungsi terletak dan plot itu BENAR. Oleh karena itu, kita juga harus menghitung limit kanan:

Kesimpulan: batas satu sisi yang tak terbatas, yang berarti bahwa garis adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi di .

Batas pertama terbatas, yang berarti perlu untuk "melanjutkan percakapan" dan menemukan batas kedua:

Batas kedua juga terbatas.

Jadi asimtot kita adalah:

Kesimpulan: garis lurus yang diberikan oleh persamaan adalah asimtot horizontal dari grafik fungsi di .

Untuk menemukan asimtot horizontal
Anda dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Jika ada terbatas limit , maka garis adalah asimtot mendatar dari grafik fungsi di .

Sangat mudah untuk melihat bahwa pembilang dan penyebut dari fungsi satu urutan pertumbuhan, yang berarti bahwa batas yang diinginkan akan terbatas:

Menjawab:

Menurut kondisinya, tidak perlu menyelesaikan gambar, tetapi jika dalam ayunan penuh penelitian fungsi, lalu pada draft kita langsung membuat sketsa :

Berdasarkan tiga limit yang ditemukan, cobalah untuk mencari sendiri bagaimana grafik fungsi dapat ditemukan. Sedikit sulit? Temukan 5-6-7-8 poin dan tandai pada gambar. Namun, grafik fungsi ini dibangun menggunakan transformasi dari grafik fungsi dasar, dan pembaca yang telah mempelajari Contoh 21 artikel ini dengan cermat akan dengan mudah menebak jenis kurva apa itu.

Contoh 2

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Ini adalah contoh do-it-yourself. Prosesnya, saya ingatkan Anda, dengan mudah dibagi menjadi dua titik - asimtot vertikal dan asimtot miring. Dalam solusi sampel, asimtot horizontal ditemukan menggunakan skema yang disederhanakan.

Dalam praktiknya, fungsi fraksional-rasional paling sering ditemui, dan setelah pelatihan tentang hiperbola, kami akan memperumit tugas:

Contoh 3

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan: Satu, dua dan selesai:

1) Asimtot vertikal ditemukan pada titik-titik diskontinuitas tak terbatas, jadi Anda perlu memeriksa apakah penyebutnya nol. Kami akan memutuskan persamaan kuadrat:

Diskriminan positif, sehingga persamaan memiliki dua akar real, dan pekerjaan ditambahkan secara signifikan =)

Untuk lebih lanjut menemukan batas satu sisi, akan lebih mudah untuk memfaktorkan trinomial kuadrat:
(untuk notasi ringkas, "minus" diperkenalkan di braket pertama). Untuk jaring pengaman, kami akan melakukan pemeriksaan, secara mental atau draft, membuka kurung.

Mari kita tulis ulang fungsinya dalam bentuk

Tentukan limit satu sisi di titik :

Dan pada intinya:

Dengan demikian, garis lurus adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi yang ditinjau.

2) Jika Anda melihat fungsinya , maka cukup jelas bahwa batasnya akan terbatas dan kami memiliki asimtot horizontal. Mari kita tunjukkan secara singkat:

Dengan demikian, garis lurus (absis) adalah asimtot horizontal dari grafik fungsi ini.

Menjawab:

Batas dan asimtot yang ditemukan memberikan banyak informasi tentang grafik fungsi. Cobalah untuk membayangkan secara mental gambar itu, dengan mempertimbangkan fakta-fakta berikut:

Buat sketsa versi grafik Anda pada draf.

Tentu saja, batasan yang ditemukan tidak secara tegas menentukan jenis grafik, dan Anda mungkin membuat kesalahan, tetapi latihan itu sendiri akan sangat membantu selama studi fungsi penuh. Gambar yang benar ada di akhir pelajaran.

Contoh 4

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Contoh 5

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Ini adalah tugas untuk keputusan independen. Kedua grafik kembali memiliki asimtot horizontal, yang segera dideteksi oleh fitur-fitur berikut: pada Contoh 4 urutan pertumbuhan penyebut lagi dari urutan pertumbuhan pembilangnya, dan pada Contoh 5 pembilang dan penyebutnya satu urutan pertumbuhan. Dalam larutan sampel, fungsi pertama diselidiki untuk keberadaan asimtot miring secara penuh, dan yang kedua - melalui batas .

Asimtot horizontal, dalam kesan subjektif saya, terasa lebih umum daripada yang "benar-benar miring". Kasus umum yang sudah lama ditunggu-tunggu:

Contoh 6

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan: klasik dari genre:

1) Karena penyebutnya positif, maka fungsi kontinu pada seluruh garis bilangan, dan tidak ada asimtot vertikal. …Apakah itu bagus? Bukan kata yang tepat - bagus! Item #1 ditutup.

2) Periksa adanya asimtot miring:

Batas pertama terbatas, jadi mari kita lanjutkan. Selama perhitungan batas kedua untuk dihilangkan ketidakpastian "tak terhingga dikurangi tak terhingga" kami membawa ekspresi ke penyebut yang sama:

Batas kedua juga terbatas, oleh karena itu, grafik fungsi yang ditinjau memiliki asimtot miring:

Kesimpulan:

Jadi, untuk grafik fungsi sangat dekat mendekati garis lurus:

Perhatikan bahwa itu memotong asimtot miringnya di titik asal, dan titik persimpangan seperti itu cukup dapat diterima - penting bahwa "semuanya normal" di tak terhingga (sebenarnya, di sanalah kita berbicara tentang asimtot).

Contoh 7

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan: tidak banyak yang perlu dikomentari, jadi saya akan membuat contoh perkiraan dari solusi akhir:

1) asimtot vertikal. Mari kita telusuri intinya.

Garis lurus adalah asimtot vertikal untuk plot di .

2) Asimtot miring:

Garis lurus adalah asimtot miring untuk grafik di .

Menjawab:

Batas satu sisi dan asimtot yang ditemukan memungkinkan kita untuk mengasumsikan dengan pasti seperti apa grafik fungsi ini. Gambar yang benar di akhir pelajaran.

Contoh 8

Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Ini adalah contoh untuk solusi independen, untuk kenyamanan menghitung beberapa batas, Anda dapat membagi pembilang dengan penyebut istilah dengan istilah. Dan sekali lagi, menganalisis hasilnya, coba gambarkan grafik fungsi ini.

Jelas, pemilik asimtot miring "nyata" adalah grafik dari fungsi pecahan-rasional yang tingkat pembilangnya tertinggi satu lagi derajat penyebut tertinggi. Jika lebih, tidak akan ada asimtot miring (misalnya, ).

Tapi keajaiban lain terjadi dalam hidup:

Contoh 9

Contoh 11

Perhatikan grafik fungsi asimtot

Keputusan: jelas itu , oleh karena itu, kami hanya mempertimbangkan setengah bidang kanan, di mana ada grafik fungsi.

Jadi, garis lurus (sumbu y) adalah asimtot vertikal untuk grafik fungsi di .

2) Studi asimtot miring dapat dilakukan sesuai dengan skema lengkap, tetapi dalam artikel Aturan L'Hospital kami menemukan bahwa fungsi linier dengan tingkat pertumbuhan yang lebih tinggi daripada fungsi logaritmik, oleh karena itu: (lihat contoh 1 dari pelajaran yang sama).

Kesimpulan: sumbu absis adalah asimtot horizontal dari grafik fungsi di .

Menjawab:
, jika ;
, jika .

Menggambar untuk kejelasan:

Menariknya, fungsi yang tampaknya serupa tidak memiliki asimtot sama sekali (mereka yang ingin dapat memeriksanya).

Dua contoh belajar mandiri terakhir:

Contoh 12

Perhatikan grafik fungsi asimtot

Berapa banyak asimtot yang dapat dimiliki oleh grafik suatu fungsi?

Tidak ada, satu, dua, tiga ... atau jumlah yang tak terbatas. Kami tidak akan pergi jauh untuk contoh, kami akan mengingat fungsi dasar. Parabola, parabola kubik, sinusoidal tidak memiliki asimtot sama sekali. Grafik fungsi logaritma eksponensial memiliki asimtot tunggal. Arctangent, arccotangent memiliki dua di antaranya, dan tangen, cotangen memiliki jumlah tak terbatas. Tidak jarang sebuah graf memiliki asimtot horizontal dan vertikal. Hiperbola, akan selalu mencintaimu.

Apa yang dimaksud dengan mencari asimtot suatu graf suatu fungsi?

Ini berarti menemukan persamaan mereka, dan menggambar garis lurus jika kondisi masalah mengharuskannya. Prosesnya melibatkan menemukan batas-batas fungsi.

Asimtot vertikal dari grafik fungsi

Asimtot vertikal dari grafik, sebagai suatu peraturan, berada pada titik diskontinuitas tak terhingga dari fungsi tersebut. Sederhana saja: jika pada suatu titik fungsi mengalami pemutusan tak hingga, maka garis lurus yang diberikan oleh persamaan tersebut adalah asimtot vertikal dari grafik tersebut.

Catatan: Harap dicatat bahwa notasi digunakan untuk merujuk pada dua konsep yang sama sekali berbeda. Intinya tersirat atau persamaan garis lurus - tergantung pada konteksnya.

Jadi, untuk menetapkan keberadaan asimtot vertikal di suatu titik, cukup untuk menunjukkan bahwa setidaknya satu dari batas satu sisi tidak terbatas. Paling sering, ini adalah titik di mana penyebut fungsi sama dengan nol. Faktanya, kita telah menemukan asimtot vertikal dalam contoh terakhir dari pelajaran tentang kontinuitas suatu fungsi. Tetapi dalam beberapa kasus hanya ada satu batas satu sisi, dan jika tidak terbatas, sekali lagi - cintai dan sukai asimtot vertikal. Ilustrasi paling sederhana: dan sumbu y.

Fakta nyata juga mengikuti dari atas: jika fungsi kontinu, maka tidak ada asimtot vertikal. Untuk beberapa alasan, sebuah parabola muncul di benakku. Memang, di mana Anda bisa "menempel" garis lurus di sini? ... ya ... saya mengerti ... para pengikut Paman Freud meringkuk histeris =)

Pernyataan sebaliknya umumnya tidak benar: misalnya, fungsi tidak terdefinisi pada seluruh garis real, tetapi sama sekali tidak memiliki asimtot.

Asimtot miring dari grafik fungsi

Asimtot miring (sebagai kasus khusus - horizontal) dapat ditarik jika argumen fungsi cenderung "plus infinity" atau "minus infinity". Oleh karena itu, grafik suatu fungsi tidak boleh memiliki lebih dari 2 asimtot miring. Misalnya, grafik fungsi eksponensial memiliki satu asimtot horizontal di, dan grafik arctangent di memiliki dua asimtot seperti itu, dan yang berbeda.

Asimtot dari grafik fungsi y \u003d f (x) disebut garis yang memiliki sifat bahwa jarak dari titik (x, f (x)) ke garis ini cenderung nol dengan penghapusan titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.

Gambar 3.10. contoh grafik diberikan vertikal, horisontal dan miring asimtot.

Menemukan asimtot dari grafik didasarkan pada tiga teorema berikut.

Teorema asimtot vertikal. Biarkan fungsi y \u003d f (x) didefinisikan di beberapa lingkungan titik x 0 (mungkin tidak termasuk titik ini sendiri) dan setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi sama dengan tak terhingga, mis. Maka garis x \u003d x 0 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi y \u003d f (x).

Jelas, garis x \u003d x 0 tidak dapat menjadi asimtot vertikal jika fungsi kontinu pada titik x 0, karena dalam kasus ini . Oleh karena itu, asimtot vertikal harus dicari pada titik diskontinuitas suatu fungsi atau di ujung domainnya.

Teorema pada asimtot horizontal. Biarkan fungsi y \u003d f (x) didefinisikan untuk x yang cukup besar dan ada batas terbatas dari fungsi . Maka garis y = b adalah asimtot mendatar dari grafik fungsi tersebut.

Komentar. Jika hanya salah satu limitnya yang berhingga, maka fungsinya masing-masing memiliki, sisi kiri atau sisi kanan asimtot horizontal.

Jika , fungsi mungkin memiliki asimtot miring.

Teorema asimtot miring. Biarkan fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x yang cukup besar dan ada batas yang terbatas . Maka garis y = kx + b adalah asimtot miring dari grafik fungsi tersebut.

Tanpa bukti.

Asimtot miring, sama seperti asimtot horizontal, dapat bertangan kanan atau kidal jika basis dari batas-batas yang bersesuaian adalah tak hingga dari suatu tanda tertentu.

Studi fungsi dan konstruksi grafiknya biasanya mencakup langkah-langkah berikut:

1. Temukan domain dari fungsi tersebut.

2. Selidiki fungsi genap-ganjil.

3. Temukan asimtot vertikal dengan memeriksa titik-titik diskontinuitas dan perilaku fungsi pada batas-batas domain definisi, jika terbatas.

4. Temukan asimtot horizontal atau miring dengan memeriksa perilaku fungsi di tak hingga.

5. Cari ekstrem dan interval monotonisitas fungsi.

6. Temukan interval konveksitas fungsi dan titik belok.

7. Temukan titik perpotongan dengan sumbu koordinat dan, mungkin, beberapa titik tambahan yang memperhalus grafik.

Diferensial fungsi

Dapat dibuktikan bahwa jika suatu fungsi memiliki suatu limit yang sama dengan suatu bilangan berhingga untuk suatu basis tertentu, maka fungsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari bilangan tersebut dan suatu nilai yang sangat kecil untuk suatu basis yang sama (dan sebaliknya): .

Mari kita terapkan teorema ini ke fungsi terdiferensiasi: .

Jadi, kenaikan fungsi Dy terdiri dari dua suku: 1) linier terhadap Dx, yaitu. f`(x)Dx; 2) non-linier sehubungan dengan Dx, yaitu. a(Dx)Dx. Pada saat yang sama, sejak , suku kedua ini adalah sangat kecil dari orde yang lebih tinggi daripada Dx (karena Dx cenderung nol, ia cenderung nol bahkan lebih cepat).

Diferensial fungsi disebut bagian utama dari kenaikan fungsi, linier terhadap Dx, sama dengan produk turunan dan kenaikan variabel bebas dy = f `(x)Dx.

Tentukan diferensial dari fungsi y = x.

Karena dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, maka dx = Dx, mis. diferensial variabel bebas sama dengan pertambahan variabel tersebut.

Oleh karena itu, rumus diferensial suatu fungsi dapat ditulis sebagai dy = f `(x)dх. Oleh karena itu, salah satu simbol turunannya adalah pecahan dy/dх.

Arti geometris dari diferensial diilustrasikan
gambar 3.11. Ambil titik sembarang M(x, y) pada grafik fungsi y = f(x). Mari kita beri argumen x kenaikan Dx. Maka fungsi y = f(x) akan menerima kenaikan Dy = f(x + Dх) - f(x). Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi di titik M, yang membentuk sudut a dengan arah sumbu x positif, yaitu. f `(x) = tg a. Dari segitiga siku-siku MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Jadi, diferensial suatu fungsi adalah pertambahan ordinat dari garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi tersebut pada suatu titik tertentu ketika x bertambah dengan Dx.

Sifat-sifat diferensial pada dasarnya sama dengan sifat turunan:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Namun, ada sifat penting dari diferensial suatu fungsi yang tidak dimiliki turunannya - ini adalah invarian bentuk diferensial.

Dari definisi diferensial untuk fungsi y = f(x), diferensialnya adalah dy = f`(x)dх. Jika fungsi y ini kompleks, mis. y = f(u), di mana u = j(x), maka y = f dan f `(x) = f `(u)*u`. Maka dy = f`(u)*u`dx. Tapi untuk fungsinya
u = j(x) diferensial du = u`dx. Oleh karena itu dy = f `(u)*du.

Membandingkan persamaan dy = f `(x)dх dan dy = f `(u)*du, kami memastikan bahwa rumus diferensial tidak berubah jika alih-alih fungsi dari variabel independen x kami mempertimbangkan fungsi dari variabel terikat u. Sifat diferensial ini disebut invarians (yaitu, invarians) dari bentuk (atau rumus) diferensial.

Namun, masih ada perbedaan dalam kedua rumus ini: pada yang pertama, diferensial variabel independen sama dengan kenaikan variabel ini, yaitu. dx = Dx, dan pada detik, diferensial fungsi du hanya bagian linier dari kenaikan fungsi Du ini, dan hanya untuk Dх du kecil » Du.