Kami memperkenalkan dua definisi baru. Jika sebuah? cenderung nol, hanya mengambil nilai positif, maka batas rasio
(jika ada) disebut turunan di sebelah kanan atau turunan kanan dari fungsi () pada titik?, dan jika? cenderung nol, hanya mengambil nilai negatif, maka batas rasio yang sama (jika ada) adalah turunan di kiri atau turunan kiri. Turunan di sebelah kanan dilambangkan dengan simbol, dan turunan di sebelah kiri dilambangkan dengan simbol.
Jika turunan di kanan dan turunan di kiri sama, maka fungsi tersebut jelas memiliki turunan di 0 dalam arti kata yang biasa.
Contoh paling sederhana dari fungsi yang memiliki turunan kanan dan kiri di beberapa titik yang tidak saling berhimpitan memberi kita fungsi yang grafiknya berupa garis putus-putus.
Memang, misalkan 1 , 2 , … , k, … , s adalah sejumlah titik yang berbeda pada sumbu. Mari kita buat sebuah garis putus-putus sehingga simpul-simpulnya memiliki absis sama dengan x 1 , 2 , … , k, … , s (Gbr. 12). Fungsi (), yang grafiknya adalah polyline *), tidak memiliki turunan pada titik 1 , 2 , … , k, … , s .
*) Jelas, setiap garis tegak lurus terhadap sumbu x memotong polyline paling banyak satu titik, dan polyline adalah grafik dari beberapa fungsi bernilai tunggal.
Untuk membuktikannya, perhatikan beberapa titik Q dengan absis k. Grafik fungsi di sekitar titik ini memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. tigabelas.
Untuk setiap garis lurus, garis potong di beberapa titiknya, dan, akibatnya, garis singgung (sebagai posisi pembatas garis potong ini), bertepatan dengan garis lurus itu sendiri; maka, sudut garis potong, dan, akibatnya, garis singgung garis dengan sumbu, adalah sama dengan sudut garis itu sendiri dengan sumbu x.
Mari kita nyatakan sudut garis AQ dengan sumbu melalui b dan sudut garis QB dengan sumbu melalui c. Kami menggambar garis potong melalui titik Q dan titik M 1 dan M 2 yang terletak di kiri dan kanan Q. Garis potong kiri bertepatan dengan garis AQ, dan garis potong kanan - dengan garis QB.
Jelas bahwa jika kita menganggap Q sebagai titik kontak, maka garis potong akan memiliki dua posisi batas, atau, seperti yang kadang-kadang dikatakan, kurva pada titik ini akan memiliki tangen kanan, bertepatan dengan garis QB, dan tangen kiri, bertepatan dengan garis lurus AQ. Sudut antara sumbu dan garis singgung kiri jelas 6, dan sudut antara sumbu dan garis singgung kanan adalah c. Karena b dan c berbeda, maka
Jadi, di titik Q, garis kita tidak memiliki garis singgung tertentu, dan karena turunannya sama dengan garis singgung sudut singgungnya dengan sumbu, maka turunan di sebelah kiri tidak sama dengan turunan di sebelah kanan dan tidak ada di titik Q.
Perhatikan contoh lain dari fungsi dengan turunan yang berbeda di kiri dan kanan. Biarkan diperlukan untuk menemukan turunan dari fungsi
Fungsi ini jelas didefinisikan dalam interval -1??+1. Grafiknya ditunjukkan pada Gambar. 14. Kurva berakhir di titik M(-1, +1) dan N(+1, +1), karena untuk ||>1 fungsi tidak terdefinisi.
Kami menemukan turunan di titik x:
Asumsikan x=0, kita cari nilai turunan di titik O(0, 0):
Untuk mencari limitnya, kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan
Karena nilai aritmatika (positif) dari akar kuadrat dipertimbangkan, maka 2 =?, jika? x> 0, tetapi 2 = -?, jika?<0.
Jadi, jika? > 0, maka
dan jika?<0, то
Kami melihat bahwa turunan di sebelah kiri tidak sama dengan turunan di sebelah kanan, dan karena itu fungsi kami tidak memiliki turunan. Titik (0, 0) adalah titik sudut di mana kurva tidak memiliki garis singgung yang ditentukan.
Catatan penting!
1. Jika alih-alih rumus Anda melihat abracadabra, kosongkan cache Anda. Cara melakukannya di browser Anda tertulis di sini:
2. Sebelum Anda mulai membaca artikel, perhatikan navigator kami untuk sumber daya yang paling berguna untuk
Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal di sepanjang jalan, dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:
Sumbu adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.
Bergerak maju di sepanjang jalan seperti itu, kita juga bergerak naik atau turun. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (bergerak sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (bergerak sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita berpikir tentang bagaimana menentukan "kecuraman" jalan kita? Apa yang bisa menjadi nilai ini? Sangat sederhana: berapa banyak perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang absis) satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan jumlah meter yang berbeda relatif terhadap permukaan laut (sepanjang ordinat).
Kami menunjukkan kemajuan ke depan (baca "delta x").
Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan besarnya, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan ukuran.
Penting: ekspresi adalah entitas tunggal, satu variabel. Anda tidak boleh merobek "delta" dari "x" atau huruf lainnya! Yaitu, misalnya, .
Jadi, kami telah bergerak maju, secara horizontal, terus. Jika kita membandingkan garis jalan dengan grafik fungsi, lalu bagaimana kita menunjukkan kenaikan? Tentu, . Artinya, ketika bergerak maju, kita naik lebih tinggi.
Sangat mudah untuk menghitung nilainya: jika pada awalnya kami berada di ketinggian, dan setelah bergerak kami berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah dari titik awal, itu akan menjadi negatif - ini berarti kita tidak naik, tetapi turun.
Kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) peningkatan ketinggian saat bergerak maju per satuan jarak:
Misalkan di beberapa bagian jalan, ketika maju sejauh km, jalan naik sejauh km. Kemudian kecuraman di tempat ini sama. Dan jika jalan, ketika maju sejauh m, tenggelam sejauh km? Maka kemiringannya sama.
Sekarang perhatikan puncak bukit. Jika Anda mengambil bagian awal setengah kilometer ke atas, dan ujungnya - setengah kilometer setelahnya, Anda dapat melihat bahwa tingginya hampir sama.
Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Banyak yang bisa berubah hanya beberapa mil jauhnya. Area yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk estimasi kecuraman yang lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Tetapi bahkan akurasi ini mungkin tidak cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa saja melewatinya. Berapa jarak yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!
Dalam kehidupan nyata, mengukur jarak ke milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Tapi matematikawan selalu berusaha untuk kesempurnaan. Oleh karena itu, konsepnya adalah kecil sekali, yaitu, nilai modulo lebih kecil dari angka apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda mengatakan: satu triliun! Kurang berapa? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan itu akan menjadi lebih sedikit. Dll. Jika kita ingin menulis bahwa nilainya sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung nol"). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini tidak sama dengan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya dapat dibagi menjadi.
Konsep yang berlawanan dengan kecil tak terhingga adalah besar tak terhingga (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan ketidaksetaraan: angka ini lebih besar dalam modulus daripada angka apa pun yang dapat Anda pikirkan. Jika Anda mendapatkan angka terbesar yang mungkin, kalikan saja dengan dua dan Anda akan mendapatkan lebih banyak lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga berbanding terbalik satu sama lain, yaitu di, dan sebaliknya: di.
Sekarang kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk segmen jalan yang sangat kecil, yaitu:
Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tapi izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan yang benar-benar biasa, misalnya,. Artinya, satu nilai kecil bisa persis dua kali lebih besar dari yang lain.
Mengapa semua ini? Jalannya, tanjakannya... Kami tidak pergi reli, tapi kami belajar matematika. Dan dalam matematika semuanya sama persis, hanya disebut berbeda.
Konsep turunan
Turunan suatu fungsi adalah rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen pada kenaikan argumen yang sangat kecil.
Kenaikan dalam matematika disebut perubahan. Berapa banyak argumen () telah berubah ketika bergerak sepanjang sumbu disebut penambahan argumen dan dilambangkan dengan Berapa banyak fungsi (tinggi) telah berubah ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan jarak disebut peningkatan fungsi dan ditandai.
Jadi, turunan dari suatu fungsi adalah hubungannya dengan kapan. Kami menunjukkan turunan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan goresan dari kanan atas: atau sederhana. Jadi, mari kita tulis rumus turunan menggunakan notasi ini:
Seperti dalam analogi jalan, di sini, ketika fungsi bertambah, turunannya positif, dan ketika berkurang, itu negatif.
Tetapi apakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya, jika kita mengemudi di jalan horizontal yang datar, kecuramannya adalah nol. Memang, ketinggiannya tidak berubah sama sekali. Jadi dengan turunannya : turunan dari suatu fungsi konstan (konstanta) sama dengan nol :
karena kenaikan fungsi tersebut adalah nol untuk sembarang.
Mari kita ambil contoh puncak bukit. Ternyata adalah mungkin untuk mengatur ujung-ujung segmen pada sisi-sisi yang berlawanan dari simpul sedemikian rupa sehingga ketinggian di ujung-ujungnya ternyata sama, yaitu, segmen itu sejajar dengan sumbu:
Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak akurat. Kami akan menaikkan segmen kami sejajar dengan dirinya sendiri, lalu panjangnya akan berkurang.
Pada akhirnya, ketika kita sangat dekat dengan puncak, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, itu tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian pada ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya
Ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di paling atas, pergeseran kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita dengan tidak berarti.
Ada juga penjelasan aljabar murni: di kiri atas, fungsi meningkat, dan di kanan menurun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, ketika fungsi meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, itu negatif. Tapi itu berubah dengan mulus, tanpa lompatan (karena jalan tidak mengubah kemiringannya dengan tajam di mana pun). Oleh karena itu, harus ada antara nilai negatif dan positif. Ini akan berada di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.
Hal yang sama berlaku untuk lembah (area di mana fungsi berkurang di sebelah kiri dan meningkat di sebelah kanan):
Sedikit lagi tentang kenaikan.
Jadi kami mengubah argumen menjadi nilai. Kita ubah dari nilai apa? Apa yang dia (argumen) sekarang menjadi? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari darinya.
Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: tingkatkan koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapakah nilai fungsi sekarang? Ke mana argumennya, fungsinya ada di sana: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Tidak ada yang baru: ini masih jumlah perubahan fungsi:
Berlatih menemukan kenaikan:
- Temukan kenaikan fungsi pada titik dengan kenaikan argumen sama dengan.
- Hal yang sama untuk fungsi di suatu titik.
Solusi:
Pada titik yang berbeda, dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Ini berarti bahwa turunan di setiap titik memilikinya sendiri (kami membahas ini di awal - kecuraman jalan pada titik yang berbeda berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:
Fungsi daya.
Fungsi daya disebut fungsi di mana argumennya sampai batas tertentu (logis, bukan?).
Dan - sampai batas tertentu: .
Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:
Mari kita cari turunannya di suatu titik. Ingat definisi turunan:
Jadi argumennya berubah dari ke. Apa itu peningkatan fungsi?
Kenaikan adalah. Tetapi fungsi pada titik mana pun sama dengan argumennya. Jadi:
turunannya adalah:
turunan dari adalah:
b) Sekarang perhatikan fungsi kuadrat (): .
Sekarang mari kita ingat itu. Ini berarti bahwa nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan karena itu tidak signifikan dengan latar belakang istilah lain:
Jadi, kami memiliki aturan lain:
c) Kami melanjutkan deret logis: .
Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan cara yang berbeda: buka kurung pertama menggunakan rumus perkalian singkat dari jumlah pangkat tiga, atau dekomposisi seluruh ekspresi menjadi faktor menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri dengan salah satu cara yang disarankan.
Jadi, saya mendapatkan yang berikut:
Dan mari kita ingat itu lagi. Ini berarti bahwa kita dapat mengabaikan semua istilah yang mengandung:
Kita mendapatkan: .
d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:
e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasi untuk fungsi pangkat dengan eksponen arbitrer, bahkan bilangan bulat:
| (2) |
Anda dapat merumuskan aturan dengan kata-kata: "derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi".
Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari turunan fungsi:
- (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);
fungsi trigonometri.
Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:
Saat ekspresi.
Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, Anda harus lulus ujian dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafis:
Kami melihat bahwa ketika fungsi tidak ada - titik pada grafik tertusuk. Tetapi semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya.Inilah yang paling "berusaha".
Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini dengan kalkulator. Ya, ya, jangan malu, ambil kalkulator, kita belum ujian.
Jadi mari kita coba: ;
Jangan lupa untuk mengganti kalkulator ke mode Radian!
dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.
a) Pertimbangkan sebuah fungsi. Seperti biasa, kami menemukan kenaikannya:
Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik ""):.
Sekarang turunannya:
Mari kita lakukan substitusi: . Kemudian, untuk sangat kecil, itu juga sangat kecil: . Ekspresi untuk mengambil bentuk:
Dan sekarang kita mengingatnya dengan ekspresi. Dan juga, bagaimana jika nilai yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah (yaitu, di).
Jadi kita mendapatkan aturan berikut: turunan sinus sama dengan cosinus:
Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:
Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.
Praktik:
- Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik;
- Temukan turunan dari fungsi tersebut.
Solusi:
eksponen dan logaritma natural.
Ada fungsi seperti itu dalam matematika, yang turunannya untuk sembarang sama dengan nilai fungsi itu sendiri untuk yang sama. Ini disebut "eksponen", dan merupakan fungsi eksponensial
Basis fungsi ini - konstanta - adalah pecahan desimal tak terbatas, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut "bilangan Euler", itulah sebabnya dilambangkan dengan huruf.
Jadi aturannya adalah:
Sangat mudah untuk diingat.
Baiklah, kita tidak akan jauh-jauh, kita akan langsung mempertimbangkan fungsi kebalikannya. Apa kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:
Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:
Logaritma semacam itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut "alami", dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulis sebagai gantinya.
Apa yang setara dengan? Tentu saja, .
Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:
Contoh:
- Temukan turunan dari fungsi tersebut.
- Apa turunan dari fungsi tersebut?
Jawaban: Eksponen dan logaritma natural adalah fungsi yang unik sederhana dalam hal turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lainnya akan memiliki turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita melalui aturan diferensiasi.
Aturan diferensiasi
Aturan apa? Istilah baru lagi, lagi?!...
Diferensiasi adalah proses menemukan turunannya.
Hanya dan segalanya. Apa kata lain dari proses ini? Bukan proizvodnovanie... Diferensial matematika disebut inkremental dari fungsi di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential - perbedaan. Di Sini.
Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga membutuhkan formula untuk kenaikannya:
Total ada 5 aturan.
Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.
Jika - beberapa angka konstan (konstan), maka.
Jelas, aturan ini juga berfungsi untuk perbedaan: .
Mari kita buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.
Contoh.
Cari turunan fungsi:
- pada intinya;
- pada intinya;
- pada intinya;
- pada intinya.
Solusi:
Turunan dari suatu produk
Semuanya serupa di sini: kami memperkenalkan fungsi baru dan menemukan kenaikannya:
Turunan:
Contoh:
- Cari turunan dari fungsi dan;
- Tentukan turunan suatu fungsi di suatu titik.
Solusi:
Turunan dari fungsi eksponensial
Sekarang pengetahuan Anda cukup untuk mempelajari cara menemukan turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).
Jadi di mana beberapa nomor.
Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba membawa fungsi kita ke basis baru:
Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:
Yah, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.
Telah terjadi?
Di sini, periksa diri Anda:
Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan dari eksponen: seperti itu, tetap, hanya faktor yang muncul, yang hanya angka, tetapi bukan variabel.
Contoh:
Cari turunan fungsi:
Jawaban:
Turunan dari fungsi logaritma
Ini mirip: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:
Oleh karena itu, untuk mencari arbitrer dari logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya:
Kita perlu membawa logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:
Hanya sekarang alih-alih kita akan menulis:
Penyebutnya ternyata hanya konstanta (angka konstan, tanpa variabel). Turunannya sangat sederhana:
Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.
Turunan dari fungsi kompleks.
Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika logaritma tampaknya sulit bagi Anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berhasil), tetapi dalam hal matematika, kata "kompleks" tidak berarti "sulit".
Bayangkan sebuah konveyor kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang cokelat dalam bungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Ternyata benda komposit seperti itu: sebatang coklat dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.
Mari kita buat jalur matematika yang serupa: pertama kita akan menemukan kosinus dari sebuah angka, dan kemudian kita akan mengkuadratkan angka yang dihasilkan. Jadi, mereka memberi kami nomor (cokelat), saya menemukan kosinusnya (pembungkus), dan kemudian Anda kuadratkan apa yang saya dapatkan (ikat dengan pita). Apa yang terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk menemukan nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua lainnya dengan apa yang terjadi sebagai akibat dari yang pertama.
Kami mungkin melakukan tindakan yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda kuadratkan, dan kemudian saya mencari kosinus dari angka yang dihasilkan:. Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsi berubah.
Dengan kata lain, Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya adalah fungsi lain: .
Untuk contoh pertama, .
Contoh kedua: (sama). .
Tindakan terakhir yang kita lakukan akan disebut fungsi "eksternal", dan tindakan yang dilakukan pertama - masing-masing fungsi "internal"(ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).
Coba tentukan sendiri fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal:
Jawaban: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan perubahan variabel: misalnya, dalam fungsi
kita mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.
Nah, sekarang kita akan mengekstrak cokelat kita - cari turunannya. Prosedurnya selalu dibalik: pertama kita cari turunan dari fungsi luar, lalu kita kalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi dalam. Untuk contoh aslinya, tampilannya seperti ini:
Contoh lain:
Jadi, mari kita merumuskan aturan resmi:
Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:
Semuanya tampak sederhana, bukan?
Mari kita periksa dengan contoh:
TURUNAN. SINGKAT TENTANG UTAMA
turunan fungsi- rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen dengan kenaikan argumen yang sangat kecil:
Turunan dasar:
Aturan diferensiasi:
Konstanta diambil dari tanda turunannya:
Turunan dari jumlah:
Produk turunan:
Turunan dari hasil bagi:
Turunan dari fungsi kompleks:
Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:
- Kami mendefinisikan fungsi "internal", temukan turunannya.
- Kami mendefinisikan fungsi "eksternal", temukan turunannya.
- Kami mengalikan hasil poin pertama dan kedua.
Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...
Untuk apa?
Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...
Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukan hal utama.
Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?
ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.
Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (belum tentu) dan kami pasti merekomendasikannya.
Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua opsi:
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.
"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrisnya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?
Arti geometris dan fisik dari turunan
Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi turunan:
Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.
Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:
Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:
turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.
Arti fisis turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.
Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . Kecepatan rata-rata selama periode waktu tertentu:
Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:
Aturan satu: keluarkan konstanta
Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .
Contoh. Mari kita hitung turunannya:
Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi
Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.
Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.
Cari turunan dari suatu fungsi:
Aturan tiga: turunan dari produk fungsi
Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:
Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:
Keputusan: 
Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen perantara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.
Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:
Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.
Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi
Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:
Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kedengarannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.
Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.
Ketika seseorang telah mengambil langkah independen pertama dalam studi analisis matematis dan mulai mengajukan pertanyaan yang tidak menyenangkan, tidak lagi mudah untuk menyingkirkan ungkapan bahwa "kalkulus diferensial ditemukan dalam kubis." Oleh karena itu, sudah saatnya untuk menentukan dan memecahkan misteri kelahiran tabel turunan dan aturan diferensiasi. Dimulai di artikel tentang arti turunan, yang sangat saya rekomendasikan untuk dipelajari, karena di sana kami baru saja mempertimbangkan konsep turunan dan mulai mengklik tugas pada topik tersebut. Pelajaran yang sama memiliki orientasi praktis yang jelas, apalagi,
contoh-contoh yang dipertimbangkan di bawah ini, pada prinsipnya, dapat dikuasai murni secara formal (misalnya, ketika tidak ada waktu / keinginan untuk mempelajari esensi turunan). Juga sangat diinginkan (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat menemukan turunan menggunakan metode "biasa" - setidaknya pada tingkat dua kelas dasar: Bagaimana menemukan turunan? dan Turunan dari fungsi kompleks.
Tapi tanpa sesuatu, yang sekarang sangat diperlukan, itu tanpa batas fungsi. Anda harus MEMAHAMI apa itu batas dan dapat menyelesaikannya, setidaknya pada tingkat menengah. Dan semua karena turunannya
fungsi di suatu titik ditentukan oleh rumus:
Saya mengingatkan Anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil penambahan argumen;
– peningkatan fungsi;
- ini adalah simbol TUNGGAL ("delta" tidak dapat "dirobek" dari "X" atau "Y").
Jelas, adalah variabel "dinamis", adalah konstanta dan hasil penghitungan limit 
- nomor (terkadang - "plus" atau "minus" tak terhingga).
Intinya, Anda dapat mempertimbangkan nilai APAPUN milik domain fungsi yang memiliki turunan.
Catatan: klausa "di mana turunannya ada" - umumnya signifikan.! Jadi, misalnya, titik, meskipun masuk ke domain fungsi, tetapi turunannya
tidak ada disana. Oleh karena itu rumus
tidak berlaku pada titik
dan kata-kata yang dipersingkat tanpa reservasi akan salah. Fakta serupa juga berlaku untuk fungsi lain dengan "putus" dalam grafik, khususnya, untuk arcsine dan arccosine.
Jadi, setelah mengganti , kami memperoleh rumus kerja kedua:
Perhatikan keadaan berbahaya yang dapat membingungkan teko: dalam batas ini, "x", menjadi variabel independen itu sendiri, memainkan peran tambahan, dan "dinamika" sekali lagi diatur oleh kenaikan. Hasil perhitungan limit
adalah fungsi turunan.
Berdasarkan hal tersebut di atas, kami merumuskan kondisi dua masalah yang khas:
- Mencari turunan di suatu titik menggunakan definisi turunan.
- Mencari fungsi turunan menggunakan definisi turunan. Versi ini, menurut pengamatan saya, lebih sering terjadi dan akan menjadi perhatian utama.
Perbedaan mendasar antara tugas adalah bahwa dalam kasus pertama diperlukan untuk menemukan nomor (opsional tak terhingga), dan yang kedua
fungsi . Selain itu, turunannya mungkin tidak ada sama sekali.
Bagaimana ?
Buat rasio dan hitung limitnya.
Dimana tabel turunan dan aturan diferensiasi ? Dengan satu batas
Sepertinya sihir, tapi
kenyataan - sulap dan tidak ada penipuan. Pada pelajaran Apa itu turunan? Saya mulai mempertimbangkan contoh spesifik, di mana, menggunakan definisi, saya menemukan turunan dari fungsi linier dan kuadrat. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu tabel turunan, mengasah algoritme dan solusi teknis:
Bahkan, diperlukan untuk membuktikan kasus khusus turunan dari fungsi pangkat, yang biasanya muncul dalam tabel: .
Solusinya secara teknis diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulai dengan pendekatan pertama yang sudah familiar: tangga dimulai dengan papan, dan fungsi turunan dimulai dengan turunan di suatu titik.
Pertimbangkan beberapa poin (konkret) milik domain fungsi yang memiliki turunan. Tetapkan kenaikan pada titik ini (tentu saja, tidak lebih dari itu o / o - z) dan buat peningkatan fungsi yang sesuai:
Mari kita hitung batasnya:
Ketidakpastian 0:0 dihilangkan dengan teknik standar yang dianggap sejak abad pertama SM. berkembang biak
pembilang dan penyebut per ekspresi adjoint 
:
Teknik untuk memecahkan batas seperti itu dibahas secara rinci dalam pelajaran pengantar. tentang limit fungsi.
Karena SETIAP titik interval dapat dipilih sebagai
Kemudian, dengan mensubstitusi, kita mendapatkan:
Sekali lagi, mari kita bersukacita pada logaritma:
Cari turunan fungsi menggunakan definisi turunan
Solusi: Mari kita pertimbangkan pendekatan berbeda untuk menjalankan tugas yang sama. Ini persis sama, tetapi lebih rasional dalam hal desain. Idenya adalah untuk menyingkirkan
subscript dan menggunakan huruf bukan huruf.
Pertimbangkan titik sewenang-wenang milik domain fungsi (interval), dan mengatur kenaikan di dalamnya. Dan di sini, omong-omong, seperti dalam kebanyakan kasus, Anda dapat melakukannya tanpa syarat apa pun, karena fungsi logaritmik dapat didiferensiasikan pada titik mana pun dalam domain definisi.
Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:
Mari kita cari turunannya:
Kesederhanaan desain diimbangi dengan kebingungan, yang dapat
muncul pada pemula (dan tidak hanya). Lagi pula, kita terbiasa dengan fakta bahwa huruf "X" berubah dalam batas! Tapi di sini semuanya berbeda: - patung antik, dan - pengunjung yang masih hidup, berjalan cepat di sepanjang koridor museum. Artinya, "x" adalah "seperti konstanta".
Saya akan mengomentari penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:
(1)
Menggunakan sifat logaritma
.
(2) Bagi pembilang dengan penyebut dalam tanda kurung.
(3) Dalam penyebut kita secara artifisial mengalikan dan membagi dengan "x" sehingga
manfaatkan yang indah 
, sedangkan sebagai kecil sekali melakukan.
Jawaban: Menurut definisi turunan:
Atau singkatnya:
Saya mengusulkan untuk secara mandiri membuat dua rumus tabel lagi:
Temukan turunan menurut definisi
Dalam hal ini, kenaikan yang dikompilasi segera nyaman untuk direduksi menjadi penyebut yang sama. Contoh perkiraan tugas di akhir pelajaran (metode pertama).
Temukan turunan menurut definisi
Dan di sini semuanya harus dikurangi hingga batas yang luar biasa. Solusinya dibingkai dengan cara kedua.
Demikian pula sejumlah lainnya turunan tabel. Daftar lengkap dapat ditemukan di buku teks sekolah, atau, misalnya, volume pertama Fichtenholtz. Saya tidak melihat banyak gunanya menulis ulang dari buku dan bukti aturan diferensiasi - mereka juga dihasilkan
rumus.
Mari kita beralih ke tugas kehidupan nyata: Contoh 5
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
, menggunakan definisi turunan
Solusi: gunakan gaya pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa poin yang termasuk, dan atur kenaikan argumen di dalamnya. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:
Mungkin beberapa pembaca belum sepenuhnya memahami prinsip yang harus dilakukan peningkatan. Kami mengambil titik (angka) dan menemukan nilai fungsi di dalamnya: 
, yaitu ke dalam fungsi
bukannya "x" harus diganti. Sekarang kita ambil
Peningkatan Fungsi Tersusun bermanfaat untuk segera disederhanakan. Untuk apa? Mempermudah dan memperpendek penyelesaian limit selanjutnya.
Kami menggunakan rumus, kurung buka, dan mengurangi semua yang dapat dikurangi:
Kalkun dimusnahkan, tidak ada masalah dengan daging panggang:
Pada akhirnya: 
Karena bilangan real apa pun dapat dipilih sebagai kualitasnya, kami membuat substitusi dan mendapatkan 
.
Menjawab : 
a-prioritas.
Untuk tujuan verifikasi, kami menemukan turunannya menggunakan aturan
diferensiasi dan tabel:
Itu selalu berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawaban yang benar terlebih dahulu, jadi lebih baik secara mental atau konsep membedakan fungsi yang diusulkan dengan cara "cepat" di awal solusi.
Temukan turunan suatu fungsi dengan definisi turunan
Ini adalah contoh do-it-yourself. Hasilnya terletak di permukaan:
Kembali ke Gaya #2: Contoh 7
Mari kita cari tahu segera apa yang seharusnya terjadi. Oleh aturan diferensiasi fungsi kompleks:
Keputusan: pertimbangkan titik sewenang-wenang milik, atur kenaikan argumen di dalamnya dan buat kenaikan
Mari kita cari turunannya:
(1) Kami menggunakan rumus trigonometri
(2) Di bawah sinus kami membuka tanda kurung, di bawah kosinus kami memberikan istilah yang sama.
(3) Di bawah sinus kami mengurangi istilah, di bawah kosinus kami membagi pembilang dengan penyebut istilah dengan istilah.
(4) Karena keanehan sinus, kami mengambil "minus". Di bawah kosinus
menunjukkan bahwa istilah .
(5) Kami mengalikan penyebut secara artifisial untuk digunakan batas indah pertama. Dengan demikian, ketidakpastian dihilangkan, kami menyisir hasilnya.
Jawaban: menurut definisi Seperti yang Anda lihat, kesulitan utama dari masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada
kompleksitas batas itu sendiri + sedikit orisinalitas kemasan. Dalam praktiknya, kedua metode desain ditemui, jadi saya menjelaskan kedua pendekatan itu sedetail mungkin. Mereka setara, tetapi tetap saja, dalam kesan subjektif saya, lebih bijaksana bagi boneka untuk tetap pada opsi pertama dengan "X nol".
Dengan menggunakan definisi, cari turunan dari fungsi
Ini adalah tugas untuk keputusan independen. Sampel diformat dengan semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.
Mari kita menganalisis versi masalah yang lebih jarang:
Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik menggunakan definisi turunan.
Pertama, apa yang harus menjadi garis bawah? Nomor Hitung jawaban dengan cara standar:
Keputusan: dari sudut pandang kejelasan, tugas ini jauh lebih sederhana, karena dalam rumus daripada
dianggap sebagai nilai tertentu.
Kami menetapkan kenaikan pada titik dan menyusun kenaikan fungsi yang sesuai:
Hitung turunan di suatu titik:
Kami menggunakan rumus yang sangat langka untuk perbedaan garis singgung 
dan untuk kesekian kalinya kita kurangi solusinya menjadi yang pertama
batas luar biasa:
Jawaban: menurut definisi turunan di suatu titik.
Tugasnya tidak begitu sulit untuk diselesaikan dan "secara umum" - cukup dengan mengganti paku atau sederhana, tergantung pada metode desain. Dalam hal ini, tentu saja, Anda tidak mendapatkan angka, tetapi fungsi turunan.
Contoh 10 Dengan menggunakan definisi, cari turunan dari suatu fungsi 
pada intinya
Ini adalah contoh do-it-yourself.
Tugas bonus terakhir ditujukan terutama untuk siswa dengan studi mendalam tentang analisis matematis, tetapi tidak akan merugikan orang lain juga:
Apakah fungsinya dapat diturunkan? 
pada intinya?
Penyelesaian: Jelas bahwa fungsi yang diberikan sepotong-sepotong kontinu pada suatu titik, tetapi apakah itu dapat diturunkan di sana?
Algoritma solusi, dan tidak hanya untuk fungsi piecewise, adalah sebagai berikut:
1) Temukan turunan kiri di titik tertentu: .
2) Temukan turunan kanan di titik yang diberikan: .
3) Jika turunan satu sisi berhingga dan berimpit:
, maka fungsi tersebut terdiferensialkan di titik dan
secara geometris, ada garis singgung yang sama di sini (lihat bagian teoretis dari pelajaran Definisi dan Arti Derivatif).
Jika dua nilai berbeda diterima: 
(salah satunya mungkin tak terbatas), maka fungsi tersebut tidak terdiferensialkan di suatu titik.
Jika kedua turunan satu sisi sama dengan tak terhingga
(walaupun mereka memiliki tanda yang berbeda), maka fungsinya tidak
terdiferensiasi di suatu titik, tetapi terdapat turunan tak hingga dan garis singgung vertikal bersama pada grafik (lihat Contoh 5 pelajaranPersamaan Normal) .
Konsep turunan
Biarkan fungsinya f(x) didefinisikan pada beberapa interval x. Mari kita berikan nilai argumen pada intinya x 0 X kenaikan acak Δ x jadi intinya x0 + Δ x juga milik x. Kemudian yang sesuai kenaikan fungsi f(x) akan menjadi pada = f(x0 + Δ x) - f(x0).
Definisi 1.Turunan dari fungsi f(x) pada intinya x0 disebut batas rasio kenaikan fungsi pada titik ini dengan kenaikan argumen di x 0 (jika batas ini ada).
Untuk menyatakan turunan suatu fungsi, digunakan simbol-simbol kamu (x0) atau f‘(x0):
Jika suatu saat x0 batas (4.1) tidak terbatas:
lalu mereka mengatakan itu pada intinya x0 fungsi f(x) Memiliki turunan tak terbatas.
Jika fungsi f(x) memiliki turunan di setiap titik himpunan x, maka turunannya f"(x) juga merupakan fungsi dari argumen X, ditentukan pada x.
Untuk memperjelas arti geometrik dari turunan, kita memerlukan definisi garis singgung grafik suatu fungsi pada suatu titik tertentu.
Definisi 2.Garis singgung ke grafik fungsi y = f(x) pada intinya M M N, kapan titik N cenderung ke satu titik M sepanjang kurva f(x).
Biar intinya M pada kurva f(x) cocok dengan nilai argumen x0, dan titik N- nilai argumen x0 + Δ x(Gbr. 4.1). Ini mengikuti dari definisi garis singgung yang karena keberadaannya di suatu titik x0 perlu ada batas , yang sama dengan sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu Sapi. Dari segitiga MNA mengikuti itu
Jika turunan dari fungsi f(x) pada intinya x0 ada, maka, menurut (4.1), kita peroleh
Dari sini mengikuti kesimpulan yang jelas bahwa turunan f‘(x0) sama dengan kemiringan (singgung sudut kemiringan ke arah positif sumbu Ox) menyinggung grafik fungsi y = f(x) di titik M(x0, f(x0)). Dalam hal ini, kemiringan garis singgung ditentukan dari rumus (4.2):
Arti fisik dari turunan
Mari kita asumsikan bahwa fungsi l = f(t) menggambarkan hukum gerak suatu titik material dalam garis lurus sebagai ketergantungan jalur aku dari waktu t. Maka selisihnya l = f(t +Δ t) - f(t) - adalah jarak yang ditempuh dalam selang waktu t, dan rasio aku/Δ t- kecepatan rata-rata dari waktu ke waktu t. Maka batas 
mendefinisikan titik kecepatan sesaat pada saat itu t sebagai turunan dari lintasan terhadap waktu.
Dalam arti tertentu, turunan dari fungsi pada = f(x) juga dapat diartikan sebagai laju perubahan fungsi: semakin besar nilainya f‘(x), semakin besar sudut kemiringan garis singgung kurva, semakin curam grafiknya f(x) dan fungsinya tumbuh lebih cepat.
Turunan kanan dan kiri
Dengan analogi dengan konsep batas satu sisi dari suatu fungsi, konsep turunan kanan dan kiri suatu fungsi pada suatu titik diperkenalkan.
Definisi 3.Kanan kiri) fungsi turunan pada = f(x) pada intinya x0 disebut limit kanan (kiri) dari relasi (4.1) sebagai x 0 jika batas ini ada.
Simbolisme berikut digunakan untuk menunjukkan turunan satu sisi:
Jika fungsi f(x) telah pada titik x0 turunan, maka ia memiliki turunan kiri dan kanan pada titik tersebut yang sama.
Mari kita berikan contoh fungsi yang memiliki turunan satu sisi di suatu titik yang tidak sama satu sama lain. Ini f(x) = |x|. Memang, pada intinya x = 0 kita punya f' +(0) = 1, f'-(0) = -1 (Gbr. 4.2) dan f' +(0) f' —(0), yaitu fungsi tidak memiliki turunan di X = 0.
Operasi mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi; Fungsi yang memiliki turunan di suatu titik disebut dapat dibedakan.
Hubungan antara diferensiasi dan kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik ditentukan oleh teorema berikut.
teorema 1 . Jika suatu fungsi terdiferensialkan di suatu titik x 0 , maka fungsi tersebut juga kontinu di titik tersebut.
Kebalikannya tidak benar: fungsi f(x) yang kontinu di suatu titik mungkin tidak memiliki turunan di titik tersebut. Contohnya adalah fungsi pada = |x|; itu kontinu pada titik x= 0, tetapi tidak memiliki turunan pada titik ini.
Dengan demikian, persyaratan bahwa suatu fungsi dapat didiferensiasikan lebih kuat daripada persyaratan untuk kontinuitas, karena yang kedua secara otomatis mengikuti dari yang pertama.
Persamaan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu
Seperti yang dinyatakan dalam bagian 3.9, persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M(x0, pada 0) dengan kemiringan k memiliki bentuk
Biarkan fungsinya pada = f(x). Kemudian sejak turunannya di beberapa titik M(x0, pada 0) adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi ini di titik M, maka persamaan garis singgung grafik fungsi f(x) pada titik ini memiliki bentuk
Sebelumnya19202122232425262728Berikutnya ⇒
y adalah fungsi y = y(x)
C = konstanta, turunan (y’) dari konstanta tersebut adalah 0
y = C => y' = 0
contoh: y = 5, y' = 0
Jika y adalah fungsi bertipe y = x n , rumus turunannya adalah:
y = x n => y' = nx n-1
contoh: y = x 3 y’ = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4
Dari rumus di atas, kita dapat mengatakan bahwa untuk turunan y’ dari fungsi y = x = x 1 bahwa:
jika y = x maka y’=1
y \u003d f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) ...=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...
Rumus ini merupakan turunan dari suatu fungsi yang merupakan jumlah dari fungsi.
Contoh: Jika kita memiliki dua fungsi f(x) = x 2 + x + 1 dan g(x) = x 5 + 7 dan y = f(x) + g(x) maka y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1
Jika suatu fungsi adalah produk dari dua fungsi, rumus turunannya terlihat seperti ini:
y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)
Jika f(x) = C(C konstan) dan y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)
y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)
Rumus untuk menghitung turunan
| y= | y' = |
|
y = ln x => y' = 1 / x
y = e x => y' = e x
y = sin x => y' = cos x
y = cos x => y' = -sin x
y = tg x => y' = 1 / cos 2 x
y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x
| y = busur x | => | y' = |
| y = busur x | => | y' = |
MENJAWAB: kita memiliki dua fungsi h(x) = x 10 dan g(x) = 4,15 + cos x
fungsi f(x) adalah h(x) dibagi dengan g(x).
Kalkulus Diferensial Fungsi
h "(x) \u003d 10x 9 g" (x) \u003d 0 - sin x \u003d -sin x
Lebih lanjut tentang turunan di halaman forum matematika
Forum tentang turunan
Apa itu turunan?
Konsep turunan
Derivatif adalah konsep yang paling penting dari analisis matematika. Ini mencirikan perubahan fungsi argumen x dalam beberapa kasus. Selain itu, turunan itu sendiri adalah fungsi dari argumen x
Fungsi turunan pada suatu titik disebut batas (jika ada dan berhingga) rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, asalkan yang terakhir cenderung nol.
Yang paling umum adalah sebagai berikut: notasi turunan :
Contoh 1 Mengambil keuntungan definisi turunan, cari turunan dari fungsi
Keputusan. Dari definisi turunan berikut skema perhitungannya.
Mari berikan argumen kenaikan (delta) dan temukan kenaikan fungsi:
Mari kita cari rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen:
Mari kita hitung limit rasio ini dalam kondisi bahwa kenaikan argumen cenderung nol, yaitu turunan yang diperlukan dalam kondisi masalah:
Arti fisik dari turunan
Ke konsep turunan memimpin studi Galileo Galilei tentang hukum jatuh bebas benda, dan dalam arti yang lebih luas, masalah kecepatan sesaat dari gerakan bujursangkar yang tidak seragam dari suatu titik.
Namun, gerakan tubuh yang jatuh bebas jelas tidak merata. Kecepatan v jatuh terus meningkat. Dan kecepatan rata-rata tidak lagi cukup untuk mencirikan kecepatan gerakan di berbagai bagian jalan. Karakteristik ini adalah semakin akurat, semakin pendek interval waktu.
turunan fungsi
Oleh karena itu, konsep berikut diperkenalkan: kecepatan sesaat dari gerakan bujursangkar (atau kecepatan pada saat waktu tertentu t) disebut batas kecepatan rata-rata pada:
(asalkan batas ini ada dan terbatas).
Jadi ternyata kecepatan sesaat adalah batas dari rasio kenaikan fungsi s(t) untuk kenaikan argumen t at Ini adalah turunannya, yang secara umum ditulis sebagai berikut:.
.
Solusi dari masalah yang ditunjuk adalah arti fisik dari turunan . Jadi turunan dari fungsi y=f(x) pada intinya x batas (jika ada dan terbatas) dari kenaikan fungsi ke kenaikan argumen disebut, asalkan yang terakhir cenderung nol.
Contoh 2 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Dari definisi turunan berikut skema perhitungannya.
Langkah 1. Mari kita tingkatkan argumen dan temukan
Langkah 2. Temukan kenaikan fungsi:
Langkah 3. Temukan rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen:
Langkah 4. Hitung limit rasio ini pada , yaitu turunannya:
Tidak punya waktu untuk mempelajari solusinya? Anda dapat memesan pekerjaan!
Arti geometris dari turunan
Jika ada
maka garis lurus dengan kemiringan
melewati titik disebut posisi batas garis potong PAK di (atau di).
Garis singgung grafik fungsi di suatu titik M disebut posisi batas garis potong PAK untuk , atau, yang sama untuk .
Ini mengikuti dari definisi bahwa untuk keberadaan garis singgung itu cukup bahwa ada batas
,
selain itu, batasnya sama dengan sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu.
Sekarang mari kita berikan definisi yang tepat dari sebuah garis singgung.
Garis singgung grafik fungsi pada suatu titik disebut garis lurus yang melalui titik tersebut dan memiliki kemiringan, yaitu garis lurus yang persamaannya
Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa turunan fungsi sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi ini pada titik dengan absis x. Ini adalah arti geometris dari turunan:
di mana adalah sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu x, mis. kemiringan tangen.
Contoh 3 Temukan turunan dari fungsi dan nilai turunan ini di .
Keputusan. Mari kita gunakan skema yang ditunjukkan pada contoh 1.
Ekspresi di bawah tanda limit tidak didefinisikan di (ketidakpastian bentuk 0/0), jadi kita ubah dengan menghilangkan irasionalitas dalam pembilang dan kemudian mengurangi pecahannya:
Mari kita cari nilai turunannya di:
Bagian atas halaman
Ikuti tes Derivatif, diferensial dan aplikasinya
Seluruh blok "Turunan"
Pengenalan ini akan memungkinkan Anda untuk:
- memahami esensi tugas sederhana dengan turunan;
- berhasil menyelesaikan tugas-tugas yang sangat sederhana ini;
— bersiaplah untuk pelajaran yang lebih serius tentang turunan.
Pertama, kejutan yang menyenangkan.
Definisi ketat turunan didasarkan pada teori limit, dan masalahnya agak rumit. Ini menjengkelkan. Tetapi penerapan praktis dari turunan, sebagai suatu peraturan, tidak memerlukan pengetahuan yang begitu luas dan mendalam!
Untuk berhasil menyelesaikan sebagian besar tugas di sekolah dan universitas, cukup mengetahui hanya beberapa istilah- untuk memahami tugas, dan hanya beberapa aturan- untuk menyelesaikannya. Dan itu saja. Ini membuatku senang.
Haruskah kita saling mengenal?)
Istilah dan sebutan.
Ada banyak operasi matematika dalam matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, eksponensial, logaritma, dll. Jika satu operasi lagi ditambahkan ke operasi ini, matematika dasar menjadi lebih tinggi. Operasi baru ini disebut diferensiasi. Definisi dan arti dari operasi ini akan dibahas dalam pelajaran terpisah.
Di sini penting untuk dipahami bahwa diferensiasi hanyalah operasi matematika pada suatu fungsi. Kami mengambil fungsi apa pun dan, menurut aturan tertentu, mengubahnya. Hasilnya adalah fungsi baru. Fungsi baru ini disebut: turunan.
Diferensiasi- tindakan pada suatu fungsi.
Turunan adalah hasil dari tindakan ini.
Sama seperti, misalnya, jumlah merupakan hasil penjumlahan. Atau pribadi merupakan hasil pembagian.
Mengetahui istilah, Anda setidaknya dapat memahami tugas.) Kata-katanya adalah sebagai berikut: menemukan turunan dari suatu fungsi; ambil turunannya; membedakan fungsi; menghitung turunan dll. itu semua sama. Tentu saja, ada tugas yang lebih kompleks, di mana menemukan turunan (diferensiasi) hanyalah salah satu langkah dalam menyelesaikan tugas.
Turunan dilambangkan dengan tanda hubung di kanan atas di atas fungsi. Seperti ini: kamu atau f"(x) atau S"(t) dll.
Baca y stroke, ef stroke dari x, es stroke dari te, baik Anda mengerti ...)
Sebuah prima juga dapat menunjukkan turunan dari fungsi tertentu, misalnya: (2x+3)', (x 3 )’ , (sinx)' dll.
Seringkali turunan dilambangkan menggunakan diferensial, tetapi kita tidak akan mempertimbangkan notasi seperti itu dalam pelajaran ini.
Misalkan kita telah belajar memahami tugas. Tidak ada yang tersisa - untuk mempelajari cara menyelesaikannya.) Biarkan saya mengingatkan Anda lagi: menemukan turunannya adalah transformasi fungsi menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini sangat sedikit.
Untuk menemukan turunan suatu fungsi, Anda hanya perlu mengetahui tiga hal. Tiga pilar di mana semua diferensiasi bersandar. Inilah ketiga paus tersebut:
1. Tabel turunan (rumus diferensiasi).
2. Aturan diferensiasi.
3. Turunan dari fungsi kompleks.
Mari kita mulai secara berurutan. Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan tabel turunan.
Tabel turunan.
Dunia memiliki jumlah fungsi yang tak terbatas. Di antara set ini ada fungsi yang paling penting untuk aplikasi praktis. Fungsi-fungsi ini duduk di semua hukum alam. Dari fungsi-fungsi ini, seperti dari batu bata, Anda dapat membangun yang lainnya. Kelas fungsi ini disebut fungsi dasar. Fungsi-fungsi inilah yang dipelajari di sekolah - linier, kuadrat, hiperbola, dll.
Diferensiasi fungsi "dari awal", mis. berdasarkan definisi turunan dan teori limit - hal yang agak memakan waktu. Dan matematikawan juga manusia, ya, ya!) Jadi mereka menyederhanakan hidup mereka (dan kita). Mereka menghitung turunan dari fungsi dasar sebelum kita. Hasilnya adalah tabel turunan, di mana semuanya sudah siap.)
Ini dia, piring ini untuk fungsi paling populer. Di sebelah kiri adalah fungsi dasar, di sebelah kanan adalah turunannya.
Saya sarankan untuk memperhatikan kelompok fungsi ketiga dalam tabel turunan ini. Turunan dari fungsi pangkat adalah salah satu rumus yang paling umum, jika bukan yang paling umum! Apakah petunjuknya jelas?) Ya, sebaiknya hafal tabel turunannya. Omong-omong, ini tidak sesulit kelihatannya. Cobalah untuk memecahkan lebih banyak contoh, tabel itu sendiri akan diingat!)
Menemukan nilai tabular dari turunan, seperti yang Anda pahami, bukanlah tugas yang paling sulit. Karena itu, sangat sering dalam tugas seperti itu ada chip tambahan. Baik dalam perumusan tugas, atau dalam fungsi aslinya, yang sepertinya tidak ada di meja ...
Mari kita lihat beberapa contoh:
1. Tentukan turunan dari fungsi y = x 3
Tidak ada fungsi seperti itu di tabel. Tetapi ada turunan umum dari fungsi pangkat (kelompok ketiga). Dalam kasus kami, n=3. Jadi kami mengganti triple alih-alih n dan dengan hati-hati menuliskan hasilnya:
(x 3) ' = 3x 3-1 = 3x 2
Itu saja.
Menjawab: y' = 3x 2
2. Tentukan nilai turunan dari fungsi y = sinx di titik x = 0.
Tugas ini berarti bahwa Anda harus terlebih dahulu menemukan turunan dari sinus, dan kemudian mengganti nilainya x = 0 untuk turunan yang sama ini. Itu dalam urutan itu! Jika tidak, kebetulan mereka segera mensubstitusi nol ke fungsi aslinya ... Kami diminta untuk menemukan bukan nilai fungsi aslinya, tetapi nilainya turunannya. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa turunannya sudah merupakan fungsi baru.
Di piring kami menemukan sinus dan turunan yang sesuai:
y' = (sinx)' = cosx
Substitusikan nol ke turunan:
y"(0) = cos 0 = 1
Ini akan menjadi jawabannya.
3. Bedakan fungsinya:
Apa yang menginspirasi?) Bahkan tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan.
Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk membedakan suatu fungsi cukup dengan mencari turunan dari fungsi ini. Jika Anda lupa trigonometri dasar, menemukan turunan dari fungsi kami cukup merepotkan.
Turunan, definisi dan konsep dasar.
Tabel tidak membantu...
Tetapi jika kita melihat bahwa fungsi kita adalah cosinus sudut ganda, maka semuanya segera menjadi lebih baik!
Ya ya! Ingat bahwa transformasi dari fungsi aslinya sebelum diferensiasi cukup dapat diterima! Dan itu terjadi untuk membuat hidup jauh lebih mudah. Menurut rumus kosinus sudut ganda:
Itu. fungsi rumit kami tidak lain adalah y = cox. Dan ini adalah fungsi tabel. Kami segera mendapatkan:
Menjawab: y' = -sin x.
Contoh untuk lulusan dan mahasiswa tingkat lanjut:
4. Temukan turunan dari suatu fungsi:
Tidak ada fungsi seperti itu di tabel turunan, tentu saja. Tetapi jika Anda ingat matematika dasar, tindakan dengan kekuatan... Maka sangat mungkin untuk menyederhanakan fungsi ini. Seperti ini:
Dan x pangkat sepersepuluh sudah merupakan fungsi tabel! Kelompok ketiga, n=1/10. Langsung sesuai dengan rumus dan tulis:
Itu saja. Ini akan menjadi jawabannya.
Saya berharap bahwa dengan paus diferensiasi pertama - tabel turunan - semuanya jelas. Masih berurusan dengan dua paus yang tersisa. Dalam pelajaran berikutnya, kita akan mempelajari aturan diferensiasi.
Halaman selanjutnya: Bagaimana cara mencari turunannya? Aturan diferensiasi. >>>>
Subjek. Turunan. Arti geometris dan mekanis dari turunan
Jika limit ini ada, maka fungsi tersebut dikatakan terdiferensiasi di suatu titik. Turunan dari suatu fungsi dinotasikan (rumus 2).
- Arti geometris turunan. Perhatikan grafik fungsi. Dapat dilihat dari Gambar 1 bahwa untuk sembarang dua titik A dan B dari grafik fungsi tersebut, rumus 3) dapat ditulis. Di dalamnya - sudut kemiringan garis potong AB.
Dengan demikian, rasio perbedaan sama dengan kemiringan garis potong. Jika kita memperbaiki titik A dan memindahkan titik B ke arahnya, maka titik itu berkurang tanpa batas dan mendekati 0, dan garis potong AB mendekati garis singgung AC. Oleh karena itu, batas perbandingan selisihnya sama dengan kemiringan garis singgung di titik A. Maka kesimpulannya adalah sebagai berikut.
Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi tersebut di titik tersebut. Ini adalah arti geometris dari turunan.
- persamaan tangen . Mari kita turunkan persamaan garis singgung ke grafik fungsi di titik tersebut. Dalam kasus umum, persamaan garis lurus dengan kemiringan memiliki bentuk: . Untuk mencari b, kita menggunakan fakta bahwa garis singgung melalui titik A: . Ini menyiratkan: . Mengganti ekspresi ini untuk b, kita memperoleh persamaan tangen (rumus 4).
