Biarkan perlu untuk menemukan nilai numerik x di mana beberapa pertidaksamaan rasional secara bersamaan berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang benar. Dalam kasus seperti itu, kita katakan bahwa kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan rasional dengan satu x yang tidak diketahui.

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan rasional, seseorang harus menemukan semua solusi untuk setiap pertidaksamaan dalam sistem tersebut. Kemudian bagian umum dari semua solusi yang ditemukan akan menjadi solusi sistem.

Contoh: Memecahkan sistem pertidaksamaan

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Pertama kita selesaikan pertidaksamaan

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

Dengan menerapkan metode interval (Gbr. 1), kita menemukan bahwa himpunan semua solusi pertidaksamaan (2) terdiri dari dua interval: (-, 1) dan (5, 7).

Gambar 1

Sekarang mari kita selesaikan ketidaksetaraan

Dengan menggunakan metode interval (Gbr. 2), kita menemukan bahwa himpunan semua solusi pertidaksamaan (3) juga terdiri dari dua interval: (2, 3) dan (4, +).

Sekarang kita perlu menemukan bagian umum dari solusi pertidaksamaan (2) dan (3). Mari kita menggambar sumbu koordinat x dan menandai solusi yang ditemukan di atasnya. Sekarang jelas bahwa bagian umum dari penyelesaian pertidaksamaan (2) dan (3) adalah interval (5, 7) (Gbr. 3).

Akibatnya, himpunan semua solusi untuk sistem pertidaksamaan (1) adalah interval (5, 7).

Contoh: Memecahkan sistem pertidaksamaan

x2 - 6x + 10< 0,

Selesaikan dulu pertidaksamaannya

x 2 - 6x + 10< 0.

Menerapkan metode kuadrat penuh, kita dapat menulis bahwa

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Oleh karena itu, pertidaksamaan (2) dapat ditulis sebagai

(x - 3) 2 + 1< 0,

yang menunjukkan bahwa ia tidak memiliki solusi.

Sekarang Anda tidak dapat menyelesaikan ketidaksetaraan

karena jawabannya sudah jelas: sistem (1) tidak memiliki solusi.

Contoh: Memecahkan sistem pertidaksamaan

Pertimbangkan dulu pertidaksamaan pertama; kita punya

1 < 0, < 0.

Dengan menggunakan kurva tanda, kami menemukan solusi untuk pertidaksamaan ini: x< -2; 0 < x < 2.

Mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem yang diberikan. Kami memiliki x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Setelah menandai solusi yang ditemukan dari pertidaksamaan pertama dan kedua pada garis nyata yang sama (Gbr. 6), kami menemukan interval di mana solusi ini bertepatan (penekanan solusi): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Contoh: Memecahkan sistem pertidaksamaan

Kami mengubah ketidaksetaraan pertama dari sistem:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0, atau x (x - 10) (x + 10) 0

(karena faktor-faktor dalam pangkat ganjil dapat digantikan oleh faktor-faktor yang bersesuaian dari tingkat pertama); menggunakan metode interval, kami menemukan solusi untuk pertidaksamaan terakhir: -10 x 0, x 10.

Pertimbangkan ketidaksetaraan kedua dari sistem; kita punya

Kami menemukan (Gbr. 8) x -9; 3< x < 15.

Menggabungkan solusi yang ditemukan, kita mendapatkan (Gbr. 9) x 0; x > 3.

Contoh: Temukan solusi bilangan bulat untuk sistem pertidaksamaan:

x + y< 2,5,

Solusi: Mari kita bawa sistem ke formulir

Menambahkan pertidaksamaan pertama dan kedua, kita mendapatkan y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

dari mana -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Metode jarak- ini adalah cara universal untuk menyelesaikan hampir semua ketidaksetaraan yang terjadi dalam kursus aljabar sekolah. Ini didasarkan pada sifat-sifat fungsi berikut:

1. Fungsi kontinu g(x) dapat berubah tanda hanya pada titik yang sama dengan 0. Secara grafik, ini berarti bahwa grafik fungsi kontinu dapat berpindah dari satu setengah bidang ke setengah bidang lainnya hanya jika melintasi x- sumbu (kita ingat bahwa ordinat titik mana pun yang terletak pada sumbu OX (sumbu absis) sama dengan nol, yaitu, nilai fungsi pada titik ini adalah 0):

Kita melihat bahwa fungsi y=g(x) yang ditunjukkan pada grafik memotong sumbu OX di titik-titik x= -8, x=-2, x=4, x=8. Titik-titik ini disebut nol fungsi. Dan pada titik yang sama fungsi g(x) berubah tanda.

2. Fungsi juga dapat mengubah tanda pada nol penyebut - contoh paling sederhana dari fungsi terkenal:

Kita melihat bahwa fungsi berubah tanda pada akar penyebut, di titik , tetapi tidak hilang di sembarang titik. Jadi, jika fungsi tersebut mengandung pecahan, ia dapat mengubah tanda pada akar-akar penyebutnya.

2. Namun, fungsi tersebut tidak selalu berubah tanda pada akar pembilang atau akar penyebut. Misalnya, fungsi y=x 2 tidak berubah tanda di titik x=0:

Karena persamaan x 2 \u003d 0 memiliki dua akar yang sama x \u003d 0, pada titik x \u003d 0, fungsinya, seolah-olah, berubah menjadi 0 dua kali. Akar seperti itu disebut akar dari multiplisitas kedua.

Fungsi mengubah tanda di nol dari pembilang, tetapi tidak mengubah tanda di nol dari penyebut: , karena akarnya adalah akar dari multiplisitas kedua, yaitu, dari multiplisitas genap:

Penting! Pada akar multiplisitas genap, fungsi tidak berubah tanda.

Catatan! Setiap non-linier ketidaksetaraan kursus aljabar sekolah, sebagai suatu peraturan, diselesaikan dengan menggunakan metode interval.

Saya menawarkan Anda yang terperinci, berikut ini Anda dapat menghindari kesalahan saat menyelesaikan pertidaksamaan nonlinier.

1. Pertama, Anda perlu membawa ketidaksetaraan ke formulir

P(x)V0,

di mana V adalah tanda pertidaksamaan:<,>,≤ atau . Untuk ini, Anda perlu:

a) pindahkan semua suku ke ruas kiri pertidaksamaan,

b) temukan akar dari ekspresi yang dihasilkan,

c. faktorkan ruas kiri pertidaksamaan

d) tuliskan faktor-faktor yang sama dengan derajat.

Perhatian! Tindakan terakhir harus dilakukan agar tidak membuat kesalahan dengan multiplisitas akar - jika hasilnya adalah pengganda dalam derajat genap, maka akar yang sesuai memiliki multiplisitas genap.

2. Letakkan akar-akar yang ditemukan pada garis bilangan.

3. Jika pertidaksamaan tegas, maka lingkaran yang menunjukkan akar pada sumbu numerik dibiarkan "kosong", jika pertidaksamaan tidak tegas, maka lingkaran tersebut dicat ulang.

4. Kami memilih akar dari multiplisitas genap - di dalamnya P(x) tandanya tidak berubah.

5. Tentukan tandanya P(x) di sisi kanan celah. Untuk melakukan ini, ambil nilai arbitrer x 0, yang lebih besar dari akar terbesar dan substitusikan ke P(x).

Jika P(x 0)>0 (atau 0), maka pada interval paling kanan kita beri tanda "+".

Jika P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Ketika melewati sebuah titik yang menunjukkan akar kelipatan genap, tandanya TIDAK berubah.

7. Sekali lagi kita lihat tanda pertidaksamaan asli, dan pilih interval dari tanda yang kita butuhkan.

8. Perhatian! Jika pertidaksamaan kita TIDAK KETAT, maka kita periksa kondisi persamaan ke nol secara terpisah.

9. Tuliskan jawabannya.

Jika aslinya pertidaksamaan mengandung penyebut yang tidak diketahui, maka kami juga mentransfer semua istilah ke kiri, dan mengurangi sisi kiri pertidaksamaan ke bentuk

(di mana V adalah tanda pertidaksamaan:< или >)

Ketidaksetaraan ketat semacam ini setara dengan ketidaksetaraan

Tidak tegas ketidaksamaan bentuk

sama dengan sistem:

Dalam praktiknya, jika fungsi memiliki bentuk , maka kita lanjutkan sebagai berikut:

1. Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya.
2. Kami menempatkan mereka di poros. Semua lingkaran dibiarkan kosong. Kemudian, jika pertidaksamaannya tidak tegas, maka kita mengecat akar pembilangnya, dan selalu membiarkan akar penyebutnya kosong.
3. Selanjutnya, kami mengikuti algoritma umum:
4. Kami memilih akar multiplisitas genap (jika pembilang dan penyebut mengandung akar yang sama, maka kami menghitung berapa kali akar yang sama muncul). Tidak ada perubahan tanda pada akar genap multiplisitas.
5. Kami menemukan tanda pada interval paling kanan.
6. Kami memasang tanda.
7. Dalam kasus pertidaksamaan tidak ketat, kondisi kesetaraan, kondisi kesetaraan ke nol, diperiksa secara terpisah.
8. Kami memilih interval yang diperlukan dan akar berdiri secara terpisah.
9. Kami menuliskan jawabannya.

Untuk lebih memahami algoritma untuk memecahkan ketidaksetaraan dengan metode interval, tonton PELAJARAN VIDEO di mana contoh dianalisis secara rinci penyelesaian pertidaksamaan dengan metode interval.

Kami terus menganalisis cara untuk memecahkan ketidaksetaraan yang memiliki satu variabel dalam komposisinya. Kita telah mempelajari pertidaksamaan linier dan kuadrat, yang merupakan kasus khusus pertidaksamaan rasional. Pada artikel ini, kami akan mengklarifikasi jenis pertidaksamaan apa yang rasional, kami akan memberi tahu Anda jenis apa yang dibagi (bilangan bulat dan pecahan). Setelah itu, kami akan menunjukkan cara menyelesaikannya dengan benar, memberikan algoritme yang diperlukan, dan menganalisis masalah tertentu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep persamaan rasional

Ketika topik pemecahan pertidaksamaan dipelajari di sekolah, mereka langsung mengambil pertidaksamaan rasional. Mereka memperoleh dan mengasah keterampilan bekerja dengan jenis ekspresi ini. Mari kita merumuskan definisi konsep ini:

Definisi 1

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan dengan variabel yang mengandung ekspresi rasional di kedua bagiannya.

Perhatikan bahwa definisi tersebut tidak mempengaruhi jumlah variabel dengan cara apa pun, yang berarti bahwa jumlah variabel dapat berubah-ubah. Oleh karena itu, pertidaksamaan rasional dengan 1, 2, 3 atau lebih variabel dimungkinkan. Paling sering, seseorang harus berurusan dengan ekspresi yang hanya berisi satu variabel, lebih jarang dua, dan ketidaksetaraan dengan sejumlah besar variabel biasanya tidak dipertimbangkan sama sekali dalam kerangka kursus sekolah.

Dengan demikian, kita dapat mempelajari pertidaksamaan rasional dengan melihat notasinya. Baik di sisi kanan maupun di sisi kiri harus memiliki ekspresi rasional. Berikut beberapa contohnya:

x > 4 x 3 + 2 y 5 (y 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Dan berikut adalah pertidaksamaan bentuk 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Semua pertidaksamaan rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.

Definisi 2

Persamaan rasional bilangan bulat terdiri dari ekspresi rasional bilangan bulat (di kedua bagian).

Definisi 3

Persamaan rasional fraksional- ini adalah persamaan yang mengandung ekspresi pecahan di salah satu atau kedua bagiannya.

Misalnya, pertidaksamaan bentuk 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 dan 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 adalah pecahan rasional dan 0 .5 x 3 (2 5 th) dan 1: x + 3 > 0- utuh.

Kami telah menganalisis apa itu ketidaksetaraan rasional dan mengidentifikasi jenis utamanya. Kita dapat beralih ke ikhtisar tentang cara menyelesaikannya.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk pertidaksamaan rasional bilangan bulat r(x)< s (x) , yang hanya mencakup satu variabel x . Di mana r(x) dan s(x) adalah bilangan atau ekspresi bilangan bulat apa pun, dan tanda pertidaksamaan mungkin berbeda. Untuk menyelesaikan tugas ini, kita perlu mengubahnya dan mendapatkan kesetaraan yang setara.

Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri. Kami mendapatkan yang berikut:

dalam bentuk r (x) s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Kami tahu itu r(x) s(x) akan menjadi nilai integer, dan ekspresi integer apa pun dapat dikonversi menjadi polinomial. Mari bertransformasi r(x) s(x) dalam h(x) . Ekspresi ini akan menjadi polinomial identik sama. Mengingat r (x) s (x) dan h (x) memiliki kisaran nilai x yang mungkin sama, kita dapat meneruskan ke pertidaksamaan h (x)< 0 (≤ , >, ) , yang akan setara dengan yang asli.

Seringkali transformasi sederhana seperti itu akan cukup untuk menyelesaikan pertidaksamaan, karena hasilnya bisa berupa pertidaksamaan linier atau kuadrat, yang nilainya tidak sulit untuk dihitung. Mari kita lihat masalah ini.

Contoh 1

Kondisi: menyelesaikan pertidaksamaan rasional bilangan bulat x (x + 3) + 2 x (x + 1) 2 + 1.

Larutan

Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan.

x (x + 3) + 2 x (x + 1) 2 1 0

Sekarang kita telah menyelesaikan semua operasi dengan polinomial di sebelah kiri, kita dapat beralih ke pertidaksamaan linier 3 x 2 0, setara dengan apa yang diberikan dalam kondisi. Menyelesaikannya mudah:

3 x 2 x 2 3

Menjawab: x 2 3 .

Contoh 2

Kondisi: temukan solusi pertidaksamaan (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Larutan

Kami mentransfer ekspresi dari sisi kiri ke sisi kanan dan melakukan transformasi lebih lanjut menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

(x 2 + 1) 2 3 x 2 (x 2 x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 3 x 2 x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Sebagai hasil dari transformasi kami, kami mendapatkan pertidaksamaan yang akan berlaku untuk semua nilai x, oleh karena itu, bilangan real apa pun dapat menjadi solusi dari pertidaksamaan asli.

Menjawab: sembarang bilangan asli.

Contoh 3

Kondisi: menyelesaikan pertidaksamaan x + 6 + 2 x 3 2 x (x 2 + x 5) > 0.

Larutan

Kami tidak akan mentransfer apa pun dari sisi kanan, karena ada 0 . Mari kita mulai dengan mengubah ruas kiri menjadi polinomial:

x + 6 + 2 x 3 2 x 3 2 x 2 + 10 x > 0 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Kami telah menurunkan ketidaksetaraan kuadrat yang setara dengan yang asli, yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan beberapa metode. Mari kita gunakan metode grafis.

Mari kita mulai dengan menghitung akar-akar trinomial kuadrat 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6

Sekarang pada diagram kami menandai semua nol yang diperlukan. Karena koefisien awal kurang dari nol, cabang-cabang parabola pada grafik akan melihat ke bawah.

Kita akan membutuhkan area parabola yang terletak di atas sumbu absis, karena kita memiliki tanda > pada pertidaksamaan. Interval yang diinginkan adalah (− 0 , 5 , 6) , oleh karena itu, kisaran nilai ini akan menjadi solusi yang kita butuhkan.

Menjawab: (− 0 , 5 , 6) .

Ada juga kasus yang lebih rumit ketika polinomial derajat ketiga atau lebih tinggi diperoleh di sebelah kiri. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu, disarankan untuk menggunakan metode interval. Pertama kita hitung semua akar polinomial h(x), yang paling sering dilakukan dengan memfaktorkan polinomial.

Contoh 4

Kondisi: menghitung (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Larutan

Mari kita mulai, seperti biasa, dengan memindahkan ekspresi ke sisi kiri, setelah itu perlu membuka tanda kurung dan mengurangi istilah serupa.

(x 2 + 2) (x + 4) 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Sebagai hasil dari transformasi, kami mendapatkan kesetaraan yang setara dengan yang asli, di sebelah kiri ada polinomial tingkat ketiga. Kami menerapkan metode interval untuk menyelesaikannya.

Pertama, kita menghitung akar polinomial, yang untuknya kita perlu menyelesaikan persamaan kubik x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Apakah itu memiliki akar rasional? Mereka hanya dapat berada di antara pembagi istilah bebas, mis. di antara bilangan ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Kami menggantinya secara bergantian ke persamaan asli dan menemukan bahwa angka 1, 2 dan 3 akan menjadi akarnya.

Jadi polinomialnya x 3 + 4 x 2 + 11 x 6 dapat digambarkan sebagai produk (x 1) (x 2) (x 3), dan pertidaksamaan x 3 + 4 x 2 + 11 x 6< 0 dapat disajikan sebagai (x 1) (x 2) (x 3)< 0 . Dengan pertidaksamaan semacam ini, maka akan lebih mudah bagi kita untuk menentukan tanda-tanda pada interval.

Selanjutnya, kami melakukan langkah-langkah tersisa dari metode interval: menggambar garis bilangan dan titik di atasnya dengan koordinat 1 , 2 , 3 . Mereka membagi garis lurus menjadi 4 interval di mana perlu untuk menentukan tanda-tanda. Kami menaungi celah dengan minus, karena pertidaksamaan asli memiliki tanda < .

Kita hanya perlu menuliskan jawaban siap: (− , 1) (2 , 3) ​​.

Menjawab: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Dalam beberapa kasus, lakukan transisi dari pertidaksamaan r (x) s (x)< 0 (≤ , >, ) ke h (x)< 0 (≤ , >, ) , dimana h(x)– polinomial lebih tinggi dari 2 tidak tepat. Ini meluas ke kasus di mana lebih mudah untuk menyatakan r(x) s(x) sebagai produk dari binomial linier dan trinomial persegi daripada memfaktorkan h(x) menjadi faktor yang terpisah. Mari kita lihat masalah ini.

Contoh 5

Kondisi: temukan solusi pertidaksamaan (x 2 2 x 1) (x 2 19) 2 x (x 2 2 x 1).

Larutan

Pertidaksamaan ini berlaku untuk bilangan bulat. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri, buka tanda kurung dan lakukan pengurangan suku, kita dapatkan x 4 4 x 3 16 x 2 + 40 x + 19 0 .

Memecahkan pertidaksamaan seperti itu tidak mudah, karena Anda harus mencari akar polinomial derajat empat. Itu tidak memiliki akar rasional (misalnya, 1 , 1 , 19 atau − 19 tidak cocok), dan sulit untuk mencari akar lainnya. Jadi kita tidak bisa menggunakan cara ini.

Tetapi ada juga solusi lain. Jika kita memindahkan ekspresi dari ruas kanan pertidaksamaan asal ke ruas kiri, maka kita dapat melakukan pengurungan faktor persekutuan x 2 2 x 1:

(x 2 2 x 1) (x 2 19) 2 x (x 2 2 x 1) 0 (x 2 2 x 1) (x 2 2 · x 19) 0 .

Kami telah memperoleh ketidaksetaraan yang setara dengan yang asli, dan solusinya akan memberi kami jawaban yang diperlukan. Temukan nol dari ekspresi di sisi kiri, yang untuknya kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 2 x 1 = 0 dan x 2 2 x 19 = 0. Akarnya adalah 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Kami beralih ke persamaan x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 0 , yang dapat diselesaikan dengan metode interval:

Menurut gambar, jawabannya adalah - , 1 - 2 5 1 - 2 5 , 1 + 2 1 + 2 5 , + .

Menjawab: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Kami menambahkan bahwa terkadang tidak mungkin menemukan semua akar polinomial h(x), oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakannya sebagai produk dari binomial linier dan trinomial persegi. Selesaikan pertidaksamaan berbentuk h(x)< 0 (≤ , >, ) kita tidak bisa, oleh karena itu, juga tidak mungkin untuk menyelesaikan ketidaksetaraan rasional asli.

Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional dalam bentuk r (x)< s (x) (≤ , >, ) , di mana r (x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, x adalah variabel. Setidaknya satu dari ekspresi yang ditentukan akan berupa pecahan. Algoritma solusi dalam kasus ini adalah sebagai berikut:

1. Kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x .
2. Kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ketidaksetaraan ke kiri, dan ekspresi yang dihasilkan r(x) s(x) direpresentasikan sebagai pecahan. Sementara itu dimana p(x) dan q(x) akan menjadi ekspresi bilangan bulat yang merupakan produk dari binomial linier, trinomial persegi yang tidak dapat diurai, serta pangkat dengan eksponen alami.
3. Selanjutnya, kami memecahkan ketidaksetaraan yang dihasilkan dengan metode interval.
4. Langkah terakhir adalah mengecualikan poin yang diperoleh selama solusi dari kisaran nilai yang dapat diterima untuk variabel x yang kita definisikan di awal.

Ini adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional. Sebagian besar jelas, penjelasan kecil diperlukan hanya untuk paragraf 2. Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dan mendapatkan r (x) s (x)< 0 (≤ , >, ) , lalu bagaimana membawanya ke bentuk p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Pertama, kita menentukan apakah transformasi yang diberikan selalu dapat dilakukan. Secara teoritis, selalu ada kemungkinan seperti itu, karena ekspresi rasional apa pun dapat diubah menjadi pecahan rasional. Di sini kita memiliki pecahan dengan polinomial di pembilang dan penyebut. Ingat teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dan tentukan bahwa setiap polinomial derajat ke-n yang mengandung satu variabel dapat diubah menjadi produk binomial linier. Oleh karena itu, secara teori, kita selalu dapat mengubah ekspresi dengan cara ini.

Dalam praktiknya, memfaktorkan polinomial seringkali merupakan tugas yang cukup sulit, terutama jika derajatnya lebih tinggi dari 4. Jika kita tidak dapat melakukan pemuaian, maka kita tidak akan dapat menyelesaikan ketidaksetaraan ini, tetapi masalah seperti itu biasanya tidak dipelajari dalam kerangka kursus sekolah.

Selanjutnya, kita perlu memutuskan apakah pertidaksamaan yang dihasilkan p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ) ekivalen terhadap r (x) s (x)< 0 (≤ , >, ) dan ke yang asli. Ada kemungkinan bahwa itu bisa berubah menjadi tidak setara.

Kesetaraan ketidaksetaraan akan dipastikan ketika kisaran nilai yang dapat diterima p(x) q(x) cocok dengan rentang ekspresi r(x) s(x). Maka paragraf terakhir dari instruksi untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional fraksional tidak perlu diikuti.

Tapi kisaran untuk p(x) q(x) mungkin lebih lebar dari r(x) s(x), misalnya, dengan mengurangi pecahan. Contohnya adalah dari x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 ke x x - 1 x + 3 . Atau ini bisa terjadi ketika menambahkan istilah serupa, misalnya, di sini:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hingga 1 x + 3

Untuk kasus seperti itu, langkah terakhir dari algoritma ditambahkan. Dengan menjalankannya, Anda akan menyingkirkan nilai-nilai asing dari variabel yang muncul karena perluasan rentang nilai yang valid. Mari kita ambil beberapa contoh untuk memperjelas apa yang kita bicarakan.

Contoh 6

Kondisi: temukan solusi dari persamaan rasional x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Larutan

Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang ditunjukkan di atas. Pertama, kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam hal ini ditentukan oleh sistem pertidaksamaan x + 1 x - 3 0 x - 3 2 0 x - 3 2 (x + 1) 0 , penyelesaiannya adalah himpunan (− ∞ , 1) (− 1 , 3) ​​(3 , + ) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) 0

Setelah itu, kita perlu mengubahnya agar nyaman untuk menerapkan metode interval. Pertama-tama, kita bawa pecahan aljabar ke penyebut persekutuan terkecil (x 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Kami menciutkan ekspresi dalam pembilang dengan menerapkan rumus kuadrat dari jumlah:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Rentang nilai valid dari ekspresi yang dihasilkan adalah (− ∞ , 1) (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ) . Kami melihat bahwa itu mirip dengan yang didefinisikan untuk kesetaraan asli. Kami menyimpulkan bahwa pertidaksamaan x + 2 2 x - 3 2 x + 1 0 setara dengan pertidaksamaan asli, yang berarti bahwa kita tidak memerlukan langkah terakhir dari algoritma.

Kami menggunakan metode interval:

Kami melihat solusi ( 2 ) (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ) , yang akan menjadi solusi dari pertidaksamaan rasional asli x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Menjawab: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Contoh 7

Kondisi: hitung penyelesaiannya x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Larutan

Kami menentukan area nilai yang dapat diterima. Dalam kasus pertidaksamaan ini, itu akan sama dengan semua bilangan real kecuali 2 , 1 , 0 dan 1 .

Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Mengingat hasilnya, kami menulis:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Untuk ekspresi - 1 x - 1, rentang nilai yang valid akan menjadi himpunan semua bilangan real kecuali satu. Kami melihat bahwa rentang nilai telah diperluas: 2 , 1 dan 0 . Jadi, kita perlu melakukan langkah terakhir dari algoritma.

Karena kita telah sampai pada pertidaksamaan - 1 x - 1 > 0 , kita dapat menulis ekivalennya 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Kami mengecualikan poin yang tidak termasuk dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari kesetaraan asli. Kita perlu mengecualikan dari (− , 1) angka 2 , 1 dan 0 . Jadi, solusi dari pertidaksamaan rasional x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 akan menjadi nilai (− ∞ , 2 ) (− 2 , 1) (− 1 , 0) (0 , 1) .

Menjawab: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Sebagai kesimpulan, kami memberikan satu lagi contoh masalah di mana jawaban akhir tergantung pada kisaran nilai yang dapat diterima.

Contoh 8

Kondisi: temukan solusi dari pertidaksamaan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 .

Larutan

Luas dari nilai-nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan yang ditentukan dalam kondisi ditentukan oleh sistem x 2 0 x 2 - x + 1 0 x - 1 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0.

Sistem ini tidak memiliki solusi karena

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Ini berarti bahwa persamaan asli 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 tidak memiliki solusi, karena tidak ada nilai dari variabel yang akan dibuat nalar.

Menjawab: tidak ada solusi.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

>>Matematika: Pertidaksamaan rasional

Pertidaksamaan rasional dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan bentuk - ekspresi rasional, mis. ekspresi aljabar yang terdiri dari angka dan variabel x menggunakan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan peningkatan ke kekuatan alami. Tentu saja, variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, tetapi dalam matematika, huruf x paling sering lebih disukai.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional, tiga aturan yang dirumuskan di atas dalam 1. Dengan bantuan aturan ini, pertidaksamaan rasional yang diberikan biasanya dikonversi ke bentuk / (x) > 0, di mana / (x) adalah aljabar pecahan (atau polinomial). Selanjutnya, dekomposisi pembilang dan penyebut pecahan f (x) menjadi faktor bentuk x - a (jika, tentu saja, ini mungkin) dan terapkan metode interval, yang telah kami sebutkan di atas (lihat contoh 3 di sebelumnya gugus kalimat).

Contoh 1 Selesaikan pertidaksamaan (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Larutan. Pertimbangkan ekspresi f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Ternyata 0 pada poin 1,-1,2; tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Garis numerik dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval (Gbr. 6), di mana masing-masing ekspresi f (x) mempertahankan tanda konstan. Untuk memverifikasi ini, kami akan melakukan empat argumen (untuk masing-masing interval ini secara terpisah).

Ambil sembarang titik x dari interval (2, Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kanan titik 1 dan di sebelah kanan titik 2. Artinya x > -1, x > 1, x > 2 (Gbr. 7) Tetapi kemudian x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, dan dengan demikian f (x)> 0 (sebagai produk dari pertidaksamaan rasional tiga positif bilangan). Jadi, pertidaksamaan f (x ) > 0.

Ambil sembarang titik x dari interval (1,2). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik-1, di sebelah kanan titik 1, tetapi di sebelah kiri titik 2. Oleh karena itu, x\u003e -1, x\u003e 1, tetapi x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Ambil sembarang titik x dari interval (-1,1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kiri titik 1 dan di sebelah kiri titik 2. Jadi x > -1, tetapi x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (sebagai produk dari dua bilangan negatif dan satu bilangan positif). Jadi, pada interval (-1,1) pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku.

Akhirnya, ambil sembarang titik x dari sinar terbuka (-oo, -1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kiri titik -1, di sebelah kiri titik 1, dan di sebelah kiri titik 2. Artinya x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Mari kita rangkum. Tanda-tanda ekspresi f (x) dalam interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 11. Kami tertarik pada mereka yang memenuhi pertidaksamaan f (x) > 0. Menggunakan model geometrik yang disajikan pada gambar. 11, kami menetapkan bahwa pertidaksamaan f (x) > 0 dipenuhi pada interval (-1, 1) atau pada balok terbuka
Menjawab: -1 < х < 1; х > 2.

Contoh 2 Selesaikan pertidaksamaan
Larutan. Seperti pada contoh sebelumnya, kami akan menarik informasi yang diperlukan dari Gambar. 11, tetapi dengan dua perubahan dibandingkan dengan contoh 1. Pertama, karena kita tertarik pada nilai x yang memenuhi pertidaksamaan f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Kedua, kami juga puas dengan titik-titik di mana persamaan f (x) = 0 terpenuhi Ini adalah poin -1, 1, 2, kami menandainya pada gambar dengan lingkaran hitam dan memasukkannya ke dalam jawaban. pada gambar. 12 menunjukkan model geometris dari respons, dari mana tidak sulit untuk pindah ke catatan analitik.
Menjawab:
CONTOH 3. Selesaikan pertidaksamaan
Larutan. Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar fx yang terdapat di ruas kiri pertidaksamaan. Di pembilang kami memiliki x 2 - x \u003d x (x - 1).

Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat x 2 - bx ~ 6 yang terdapat pada penyebut pecahan, kita cari akar-akarnya. Dari persamaan x 2 - 5x - 6 \u003d 0 kami menemukan x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Oleh karena itu, (kami menggunakan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Jadi, kita telah mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi bentuk

Pertimbangkan ekspresi:

Pembilang pecahan ini menjadi 0 pada titik 0 dan 1, dan menjadi 0 pada titik -1 dan 6. Mari kita tandai titik-titik tersebut pada garis bilangan (Gbr. 13). Garis numerik dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi lima interval, dan pada setiap interval ekspresi fx) mempertahankan tanda konstan. Berdebat dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahwa tanda-tanda ekspresi fx) dalam interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13. Kami tertarik di mana pertidaksamaan f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 jawaban: -1

Contoh 4 Selesaikan pertidaksamaan

Larutan. Ketika memecahkan pertidaksamaan rasional, sebagai aturan, mereka lebih suka meninggalkan hanya angka 0 di sisi kanan pertidaksamaan.Oleh karena itu, kami mengubah pertidaksamaan menjadi bentuk

Lebih jauh:

Seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, jika sisi kanan pertidaksamaan hanya berisi angka 0, akan lebih mudah untuk bernalar ketika pembilang dan penyebut di sisi kirinya memiliki koefisien awal yang positif. Dan apa yang kita miliki? Kita memiliki segalanya di penyebut pecahan dalam pengertian ini berurutan (koefisien utama, yaitu koefisien pada x 2, adalah 6 - angka positif), tetapi tidak semuanya dalam urutan pembilang - koefisien senior (koefisien pada x) adalah - 4 (bilangan negatif) Mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan -1 dan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi lawannya, kita memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen

Mari kita memfaktorkan pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar. Di pembilang, semuanya sederhana:
Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat yang terdapat pada penyebut suatu pecahan

(kami kembali menggunakan rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi).
Jadi, kami telah mengurangi ketidaksetaraan yang diberikan ke bentuk

Perhatikan ekspresi

Pembilang pecahan ini berubah menjadi 0 pada titik dan penyebut - pada titik Kami mencatat titik-titik ini pada garis bilangan (Gbr. 14), yang dibagi dengan titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval, dan pada setiap interval ekspresi f (x) mempertahankan tanda konstan (tanda-tanda ini ditunjukkan pada Gambar. 14). Kami tertarik pada interval di mana pertidaksamaan fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi pertidaksamaan ekuivalen dalam bentuk f (x) > 0 atau f (x)<0,где
Dalam hal ini, jumlah faktor pembilang dan penyebut suatu pecahan bisa berapa saja. Kemudian titik a, b, c, e ditandai pada garis bilangan. dan menentukan tanda-tanda ekspresi f (x) pada interval yang dipilih. Kita perhatikan bahwa di paling kanan interval yang dipilih, pertidaksamaan f (x) > 0 terpenuhi, dan kemudian tanda-tanda ekspresi f (x) bergantian sepanjang interval (lihat Gambar 16a). Pergantian ini dengan mudah diilustrasikan dengan bantuan kurva bergelombang, yang ditarik dari kanan ke kiri dan dari atas ke bawah (Gbr. 166). Pada interval di mana kurva ini (kadang-kadang disebut kurva tanda) terletak di atas sumbu x, pertidaksamaan f (x) > 0 terpenuhi; dimana kurva ini terletak di bawah sumbu x, pertidaksamaan f(x)< 0.

Contoh 5 Selesaikan pertidaksamaan

Larutan. Kita punya

(kedua bagian dari pertidaksamaan sebelumnya dikalikan 6).
Untuk menggunakan metode interval, tandai titik-titik pada garis bilangan (pada titik-titik ini pembilang pecahan yang terdapat di ruas kiri pertidaksamaan menghilang) dan titik-titik (pada titik-titik ini penyebut pecahan yang ditunjukkan menghilang). Biasanya, titik-titik ditandai secara skematis, dengan mempertimbangkan urutan yang mereka ikuti (mana yang ke kanan, mana yang ke kiri) dan tidak terlalu memperhatikan skalanya. Sudah jelas itu Situasinya lebih rumit dengan angka.Perkiraan pertama menunjukkan bahwa kedua angka sedikit lebih besar dari 2,6, dari mana tidak mungkin untuk menyimpulkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Misalkan (secara acak) bahwa Maka
Ternyata ketidaksetaraan yang benar, yang berarti tebakan kami dikonfirmasi: sebenarnya
Jadi,

Kami menandai 5 poin yang ditunjukkan dalam urutan yang ditunjukkan pada garis bilangan (Gbr. 17a). Atur tanda-tanda ekspresi
pada interval yang diperoleh: di paling kanan - tanda +, dan kemudian tanda-tanda bergantian (Gbr. 176). Mari kita menggambar kurva tanda dan memilih (dengan mengarsir) interval-interval yang memenuhi pertidaksamaan f (x) > 0 yang menarik bagi kita (Gbr. 17c). Akhirnya, kita memperhitungkan bahwa kita berbicara tentang pertidaksamaan tak tegas f (x) > 0, yang berarti bahwa kita juga tertarik pada titik-titik di mana ekspresi f (x) menghilang. Ini adalah akar-akar pembilang dari pecahan f (x), yaitu. poin kami menandainya pada Gambar. 17 di lingkaran hitam (dan, tentu saja, sertakan jawabannya). Sekarang inilah picnya. 17c memberikan model geometrik lengkap untuk solusi pertidaksamaan yang diberikan.

Tema pelajaran "Memecahkan sistem pertidaksamaan rasional"

Kelas 10

Jenis pelajaran: cari

Tujuan: menemukan cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan modulus, menerapkan metode interval dalam situasi baru.

Tujuan pelajaran:

Periksa keterampilan dalam memecahkan ketidaksetaraan rasional dan sistemnya; - tunjukkan kepada siswa kemungkinan menggunakan metode interval saat memecahkan pertidaksamaan dengan modul;

Ajarkan untuk berpikir logis;

Kembangkan keterampilan penilaian diri atas pekerjaan Anda;

Belajarlah untuk mengekspresikan pikiran Anda

Belajarlah untuk mempertahankan sudut pandang Anda dengan alasan;

Untuk membentuk dalam diri siswa motif positif untuk belajar;

Mengembangkan kemandirian siswa.

Selama kelas

SAYA. Mengatur waktu(1 menit)

Halo, hari ini kita akan terus mempelajari topik "Sistem ketidaksetaraan rasional", kita akan menerapkan pengetahuan dan keterampilan kita dalam situasi baru.

Tuliskan tanggal dan topik pelajaran "Memecahkan sistem ketidaksetaraan rasional." Hari ini saya mengundang Anda dalam perjalanan di sepanjang jalan matematika, di mana ujian menunggu Anda, ujian kekuatan. Anda memiliki peta jalan dengan tugas-tugas di meja Anda, waybill penilaian diri, yang akan Anda serahkan kepada saya (petugas operator) di akhir perjalanan.

Moto perjalanan akan menjadi pepatah "Jalan akan dikuasai oleh orang yang berjalan, dan orang yang berpikir matematika". Bawalah bagasi pengetahuan Anda. Hidupkan proses berpikir dan pergi. Di jalan kita akan ditemani oleh radio jalan.Sepotong suara musik (1 menit). Kemudian bunyi bip tajam.

II. Tahap uji pengetahuan. Pekerjaan kelompok."Pemeriksaan Bagasi"

Ini adalah tes pertama "Pemeriksaan Bagasi", menguji pengetahuan Anda tentang topik tersebut

Sekarang Anda akan dibagi menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari 3 atau 4 orang. Setiap orang memiliki lembar kerja di meja mereka. Bagikan tugas-tugas ini di antara mereka sendiri, selesaikan, tuliskan jawaban yang sudah jadi di lembar umum. Sekelompok 3 orang memilih 3 tugas. Siapa pun yang menyelesaikan semua tugas akan memberi tahu guru tentang hal itu. Saya atau asisten saya akan memeriksa jawaban, dan jika setidaknya ada satu jawaban yang salah, selembar dikembalikan ke kelompok untuk diperiksa ulang.. (anak-anak tidak melihat jawabannya, mereka hanya diberitahu di tugas mana jawabannya salah).Kelompok pertama yang menyelesaikan semua tugas tanpa kesalahan akan menang. Maju untuk menang.

Musiknya sangat tenang.

Jika dua atau tiga kelompok menyelesaikan pekerjaan pada saat yang bersamaan, maka salah satu siswa dari kelompok lain akan membantu guru untuk memeriksa. Jawaban di lembar bersama guru (4 eksemplar).

Pekerjaan berhenti ketika kelompok pemenang muncul.

Jangan lupa untuk melengkapi Checklist Self-Assessment. Dan kita melangkah lebih jauh.

Lembar dengan tugas untuk "Penyaringan bagasi"

1) 3)

2) 4)

AKU AKU AKU. Tahap memperbarui pengetahuan dan penemuan pengetahuan baru. "Eureka"

Pemeriksaan menunjukkan bahwa Anda memiliki banyak pengetahuan.

Tetapi ada berbagai situasi di jalan, terkadang kecerdikan diperlukan, dan jika Anda lupa membawanya, mari kita periksa.

Anda telah mempelajari cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan rasional menggunakan metode interval. Hari ini kita akan melihat solusi dari masalah mana yang disarankan untuk menggunakan metode ini. Tapi pertama-tama, mari kita ingat apa itu modul.

1. Lanjutkan kalimat “Modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri, jika…”(secara lisan)

"Modulus suatu bilangan sama dengan bilangan yang berlawanan jika..."

2. Misalkan A(X) suatu polinomial dalam x

Lanjutkan merekam:

Menjawab:

Tulis ekspresi yang berlawanan dengan ekspresi A (x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Siswa menulis di papan tulis, orang-orang menulis di buku catatan.

3. Sekarang mari kita coba mencari cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan modulus

Apa saran Anda untuk menyelesaikan ketidaksetaraan ini?

Dengarkan saran para pria.

Jika tidak ada proposal, maka ajukan pertanyaan: "Apakah mungkin untuk menyelesaikan ketidaksetaraan ini menggunakan sistem ketidaksetaraan?"

Siswa keluar dan memutuskan.

IV. Tahap konsolidasi utama pengetahuan baru, menyusun algoritma solusi. Pengisian kembali bagasi.

(Bekerja dalam kelompok yang terdiri dari 4 orang).

Sekarang saya sarankan Anda mengisi kembali barang bawaan Anda. Anda akan bekerja dalam kelompok.Setiap kelompok diberikan 2 kartu tugas.

Pada kartu pertama, Anda perlu menulis sistem untuk menyelesaikan ketidaksetaraan yang disajikan di papan tulis dan mengembangkan algoritme untuk menyelesaikan ketidaksetaraan tersebut, Anda tidak perlu menyelesaikannya.

Kartu pertama kelompok berbeda, yang kedua sama

Apa yang terjadi?

Di bawah setiap persamaan di papan tulis, Anda perlu menulis satu set sistem.

4 siswa keluar dan menulis sistem. Pada kali ini, kita membahas algoritma dengan kelas.

v. Tahap konsolidasi pengetahuan."Jalan pulang".

Bagasi diisi ulang, sekarang saatnya untuk kembali. Sekarang selesaikan secara independen setiap ketidaksetaraan yang diusulkan dengan modulus sesuai dengan algoritma yang dikompilasi.

Dengan Anda di jalan lagi akan menjadi radio jalan.

Nyalakan musik latar yang tenang. Guru memeriksa desain dan, jika perlu, memberi saran.

Tugas di papan tulis.

Pekerjaan telah selesai. Periksa jawaban (ada di bagian belakang papan), isi waybill penilaian diri.

Mengatur pekerjaan rumah.

Tuliskan pekerjaan rumah Anda (tulis ulang di buku catatan Anda ketidaksetaraan yang tidak Anda lakukan atau lakukan dengan kesalahan, tambahan No. 84 (a) pada halaman 373 dari buku teks jika Anda mau)

VI. Tahap relaksasi.

Seberapa bermanfaat perjalanan ini bagi Anda?

Apa yang telah Anda pelajari?

Meringkaskan. Hitung berapa banyak poin yang Anda peroleh masing-masing.(anak-anak menyebutkan skor akhir).Serahkan lembar penilaian diri kepada petugas operator, yaitu kepada saya.

Saya ingin mengakhiri pelajaran dengan sebuah perumpamaan.

“Seorang bijak sedang berjalan, dan tiga orang bertemu dengannya, yang membawa gerobak dengan batu untuk konstruksi di bawah terik matahari. Orang bijak itu berhenti dan mengajukan pertanyaan kepada masing-masing orang. Dia bertanya kepada yang pertama: “Apa yang kamu lakukan sepanjang hari?”, dan dia menjawab dengan seringai bahwa dia telah membawa batu terkutuk sepanjang hari. Orang bijak bertanya kepada yang kedua: "Apa yang kamu lakukan sepanjang hari?", Dan dia menjawab: "Saya melakukan pekerjaan saya dengan hati-hati," dan yang ketiga tersenyum, wajahnya bersinar dengan sukacita dan kesenangan: "Dan saya mengambil bagian dalam konstruksi. dari Kuil!”

Pelajaran sudah berakhir.

Lembar penilaian diri

Nama belakang, nama depan, kelas		Jumlah poin
Bekerja dalam kelompok untuk memecahkan ketidaksetaraan atau sistem ketidaksetaraan.	2 poin jika dilakukan dengan benar tanpa bantuan dari luar; 1 poin jika dilakukan dengan benar dengan bantuan dari luar; 0 poin jika Anda tidak menyelesaikan tugas 1 poin ekstra untuk kemenangan grup